江苏省常州市田家炳高级中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)----精校解析Word版

2017-2018学年第二学期期末教学情况调研高二年级生物试卷一、单项选择题：本部分包括20题，每题2分，共计40分。

每题只有一个选项最符合题意。

1．下图表示只含有两个碱基对的DNA，图中含有的磷酸二酯键与游离磷酸基团数目分别是A.6、2B.6、4C.2、2D.2、42．下列有关生物工程的叙述正确的是A．大肠杆菌是基因工程常用的载体B．植物组织培养是植物细胞工程的基础C．动物细胞融合技术的最重要的用途是培育杂种动物D．人工诱变、基因工程等都能对微生物进行定向改造3．以下操作中，不能防止目的基因随花粉逃逸的是A.将目的基因导入受体细胞的线粒体中B.将目的基因导入受体细胞的叶绿体中C.将目的基因导入受体细胞的细胞核中D.将目的基因导入受体细胞的细胞质基质中4．下列有关植物细胞工程应用的叙述，正确的是A.利用组织培养技术培育脱毒苗，获得具有抗病毒的新品种B.将植物组培获得的愈伤组织外包裹上人工种皮，即获得人工种子C.利用植物细胞培养技术获得紫草素，是利用了植物细胞全能性的原理D.将萝卜（二倍体）和甘蓝（二倍体）进行体细胞杂交，可获得四倍体的“萝卜—甘蓝”5．2015年2月3日，英国议会下院通过一项历史性法案，允许以医学手段培育“三亲婴儿”。

三亲婴儿的培育过程可选用如下技术路线。

据图分析，下列叙述错误的是A.该技术可避免母亲的线粒体遗传病基因传递给后代B.捐献者携带的红绿色盲基因不能遗传给三亲婴儿C.三亲婴儿的染色体全部来自母亲提供的细胞核D.三亲婴儿的培育还需要早期胚胎培养和胚胎移植等技术6．以下关于单克隆抗体制备的叙述正确的是A.需将瘤细胞与未经免疫的B淋巴细胞融合B.第一次筛选是为了获得能够产生特定抗体的杂交瘤细胞C.第二次筛选是为了获得既能无限增殖又能产生抗体的杂种细胞D.单克隆抗体制备需要以动物细胞融合和动物细胞培养为基础7．牛雄性胚胎中存在特异性的H-Y 抗原，可在牛早期胚胎培养液中添加H-Y 单克隆抗体，筛选胚胎进行移植，以利用乳腺生物反应器进行生物制药。

2017-2018学年第二学期期末教学情况调研高二年级物理试卷一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分。

每小题只有一个选项符合题意。

1、关于近代物理实验，下列说法正确的是A．黑体辐射的实验规律可用光的波动性解释B．利用α粒子散射实验可以估算核外电子的运动半径C．电子束通过双缝实验装置后可以形成干涉图样说明实物粒子也具有波动性D．汤姆逊研究阴极射线发现了电子，提出了原子核式结构模型2、某些放射性元素如的半衰期很短，在自然界很难被发现，可以在实验室使用人工的方法发现．已知经过一系列α衰变和β衰变后变成，下列说法正确的是A．的原子核比的原子核少28个中子B．衰变过程中共发生了4次α衰变和7次β衰变C．衰变过程中共有4个中子转变为质子D．若继续衰变成新核，需放出一个α粒子3、一质点做匀速直线运动，现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则A．质点一定做匀变速直线运动B．质点单位时间内速度的变化量相同C．质点可能做圆周运动D．质点速度的方向总是与该恒力的方向相同4、物体b在力F作用下将物体a压向光滑的竖直墙壁，a始终处于静止状态．如图所示，当F逐渐增大时下列说法中正确的是A．a受的摩擦力有两个B．a与b间的摩擦力大小随F的增大而增大C．a受的摩擦力大小不随F的增大而变化D．b相对a的运动趋势方向竖直向下5、如图，用OA、OB两根轻绳将花盆悬于两竖直墙之间，开始时OB绳水平．现保持O点位置不变，改变OB绳长使绳右端由B点缓慢上移至B′点，此时OB′与OA之间的夹角θ<90°．设此过程中OA、OB绳的拉力分别为F OA、F OB，则下列说法正确的是A．F OA一直减小B．F OA一直增大C．F OB一直减小D．F OB先增大后减小二、多项选择题：本题共5小题，每小题4分，共计20分。

每小题有多个选项符合题意。

全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不答得0分。

6.下列关于光谱的说法正确的是 ( )A．炽热固体、液体和高压气体发出的光谱是连续光谱B．太阳光谱中的暗线说明太阳上缺少与这些暗线相对应的元素C．连续光谱是不能用来作光谱分析的D．我们能通过月光的光谱分析鉴别月球的物质成份7、一遥控玩具小车在平直路上运动的位移一时间图象如图所示，则A.前15s内汽车的位移为30mB.20s末汽车的速度为—1m/sC.前5s内汽车的加速度为3m/sD.前25s内汽车做单方向直线运动8、在平直路上行驶的一节车厢内，用细线悬挂着一个小球，细线与竖直方向的夹角为θ，水平地板上的O点在小球的正下方，当细线被烧断，小球落在地板上的P点，则A.P与O重合B.当车向左运动时P在O点的左侧C.当车向右运动时P在O点的右侧D.当车向右运动时P在O点的左侧9、质量相同的木块A、B用轻弹簧相连，置于光滑水平面．现用一水平恒力F推A，则由开始到弹簧第一次压缩到最短的过程中A．A、B速度相同时，加速度a A＝a BB．A、B速度相同时，加速度aＡ< a BC．A、B加速度相同时，速度ｖA<ｖBD ．A、B加速度相同时，速度ＶA>ｖB10、如图所示为一输送带装置，传送带与水平方向夹角为θ，以速度V0顺时针匀速转动。

2017-2018学年第二学期期末教学情况调研高二年级物理试卷一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分。

每小题只有一个选项符合题意。

1、关于近代物理实验，下列说法正确的是A．黑体辐射的实验规律可用光的波动性解释B．利用α粒子散射实验可以估算核外电子的运动半径C．电子束通过双缝实验装置后可以形成干涉图样说明实物粒子也具有波动性D．汤姆逊研究阴极射线发现了电子，提出了原子核式结构模型2、某些放射性元素如的半衰期很短，在自然界很难被发现，可以在实验室使用人工的方法发现．已知经过一系列α衰变和β衰变后变成，下列说法正确的是A．的原子核比的原子核少28个中子B．衰变过程中共发生了4次α衰变和7次β衰变C．衰变过程中共有4个中子转变为质子D．若继续衰变成新核，需放出一个α粒子3、一质点做匀速直线运动，现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则A．质点一定做匀变速直线运动B．质点单位时间内速度的变化量相同C．质点可能做圆周运动D．质点速度的方向总是与该恒力的方向相同4、物体b在力F作用下将物体a压向光滑的竖直墙壁，a始终处于静止状态．如图所示，当F逐渐增大时下列说法中正确的是A．a受的摩擦力有两个B．a与b间的摩擦力大小随F的增大而增大C．a受的摩擦力大小不随F的增大而变化D．b相对a的运动趋势方向竖直向下5、如图，用OA、OB两根轻绳将花盆悬于两竖直墙之间，开始时OB绳水平．现保持O点位置不变，改变OB绳长使绳右端由B点缓慢上移至B′点，此时OB′与OA之间的夹角θ<90°．设此过程中OA、OB绳的拉力分别为F OA、F OB，则下列说法正确的是A．F OA一直减小B．F OA一直增大C．F OB一直减小D．F OB先增大后减小二、多项选择题：本题共5小题，每小题4分，共计20分。

每小题有多个选项符合题意。

全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不答得0分。

6.下列关于光谱的说法正确的是 ( )A．炽热固体、液体和高压气体发出的光谱是连续光谱B．太阳光谱中的暗线说明太阳上缺少与这些暗线相对应的元素C．连续光谱是不能用来作光谱分析的D．我们能通过月光的光谱分析鉴别月球的物质成份7、一遥控玩具小车在平直路上运动的位移一时间图象如图所示，则A.前15s内汽车的位移为30mB.20s末汽车的速度为—1m/sC.前5s内汽车的加速度为3m/sD.前25s内汽车做单方向直线运动8、在平直路上行驶的一节车厢内，用细线悬挂着一个小球，细线与竖直方向的夹角为θ，水平地板上的O 点在小球的正下方，当细线被烧断，小球落在地板上的P点，则A.P与O重合B.当车向左运动时P在O点的左侧C.当车向右运动时P在O点的右侧D.当车向右运动时P在O点的左侧9、质量相同的木块A、B用轻弹簧相连，置于光滑水平面．现用一水平恒力F推A，则由开始到弹簧第一次压缩到最短的过程中A．A、B速度相同时，加速度a A＝a BB．A、B速度相同时，加速度aＡ< a BC．A、B加速度相同时，速度ｖA<ｖBD ．A、B加速度相同时，速度ＶA>ｖB10、如图所示为一输送带装置，传送带与水平方向夹角为θ，以速度V0顺时针匀速转动。

江苏省常州市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·河北期中) 与极坐标表示的不是同一点的极坐标是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二下·吉林月考) 若直线的参数方程为（为参数），则直线的斜率为（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·安徽模拟) 设、是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，若，且轴，则椭圆的离心率等于（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二下·济宁期中) 抛物线在点处切线的倾斜角是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·宁波期末) （已知函数f（x）= ，则y=f（x）的图象大致为（）A .B .C .D .6. （2分）由曲线y＝x2－1．直线x＝0．x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是（）A . (x2－1)dxB . |(x2－1)dx|C . |x2－1|dxD . (x2－1)dx＋(x2－1)dx7. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是（）A . 在上为减函数B . 在处取得最大值C . 在上为减函数D . 在处取得最小值8. （2分） (2016高二上·福州期中) 已知M= dx，N= cosxdx，由程序框图输出S的值为（）A . 1B . ln2C .D . 09. （2分） (2018高三上·重庆期末) 已知两非零复数，若，则一定成立的是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·南昌期末) 设i为虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A .B . ﹣2C .D . 211. （2分）定义在R上的可导函数f(x)，已知的图像如图所示，则的增区间是（）A .B .C . (0,1)D . (1,2)12. （2分） (2018高三上·河南期中) 已知关于的不等式有且仅有两个正整数解（其中e＝2．71828…为自然对数的底数），则实数的取值范围是（）A . （， ]B . （， ]C . [ ，）D . [ ，）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·九江期末) 若复数（）为纯虚数，则________.14. （1分） (2019高二上·武威期末) 若f(x)＝x3 ，f′(x0)＝3，则x0的值为________．15. （1分） (2019高三上·葫芦岛月考) 函数的极小值为________.16. （1分）(2017·东城模拟) （坐标系与参数方程选做题）已知直线（t为参数）与直线l2：2x﹣4y=5相交于点B，又点A（1，2），则|AB|=________三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数），A，B在曲线C上，且A，B两点的极坐标分别为A（ρ1 ，），B（ρ2 ，）．（I）把曲线C的参数方程化为普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）求线段AB的长度．18. （10分）(2017·鄂尔多斯模拟) 已知在直角坐标系xOy中，曲线C1：（θ为参数），在以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，曲线C2：ρsin（）=1．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）曲线C1上恰好存在三个不同的点到曲线C2的距离相等，分别求这三个点的极坐标．19. （10分）已知函数的图象如图，直线在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域（阴影）面积为 .（1）求的解析式；（2）若常数，求函数在区间上的最大值.20. （15分）(2017·息县模拟) 已知函数f（x）= + （1﹣a2）x2﹣ax，其中a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为8x+y﹣2=0，求a的值；（2）当a≠0时，求函数f（x）（x＞0）的单调区间与极值；（3）若a=1，存在实数m，使得方程f（x）=m恰好有三个不同的解，求实数m的取值范围．21. （5分）在△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c．虚数x=2+ai是实系数方程x2﹣cx+8=0的根．（1）求边长a，c．（2）若边长a，b，c成等比数列，求△ABC的面积．22. （5分）(2020·辽宁模拟) 如图，三棱柱中，平面，，，，，是的中点，是的中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）是线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、。

2017学年度第二学期期末质量调研高二数学理科试题参考公式：（1）若~(,)X B n p ，则()(1)V X np p =-； （2）球的体积为V =343r π，其中r 为球的半径.一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 若复数z 满足i 13i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 2. 用反证法证明“,,a b R ∈若33a ≥b ，则a b ≥”时，应假设 ▲ ． 3. 已知i 是虚数单位，则复数112i+的模为 ▲ ． 4. 用数学归纳法证明2135(21)n n ++++-=，则当1n k =+时左端应在n k =的基础上加上的项为 ▲ ． 5. 若348,n n A C =则n 的值为 ▲ ． 6. 在61()2x x-的展开式中，常数项的值为 ▲ ． 7. 已知向量(3,2,0),=a (2,1,2)=b ，若(+)(),k ⊥-a b a b 则实数k 的值为▲ ．8. 从2，4，8中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成 ▲ 个没有重复数字的四位数.（用数字作答）9. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独注意事项1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。

本试卷满分160分，考试时间120分钟。

2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡指定位置。

3．答题时，必须用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并加黑加粗，描写清楚。

5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

一律不准使用胶带纸、修正液及可擦洗的圆珠笔。

立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，此时~(10,).X B p 若() 2.1,V X =(3)(7),P X P X =<=则p = ▲ ．10. 已知423401234(1)(1)(1)(1)(1),x a a x a x a x a x +=+-+-+-+-则3a = ▲ ．11. 袋中有2个白球，1个红球，这些球除颜色外完全相同.现从袋中往外取球，每次任取1个记下颜色后放回，直到红球出现2次时停止，设停止时共取了X 次球，则(4)P X == ▲ ．12. 在平面几何中有如下结论：若正方形ABCD 的内切圆面积为1,S 外接圆面积为2,S 则1212S S =，推广到立体几何中可以得到类似结论： 若正方体1111ABCD A B C D -的内切球体积为1,V 外接球体积为2V ，则12V V = ▲ ． 13. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AC AA ===,E F 分别是,BC11A C 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF 所成角的余弦值为104，则线段BD 的长为 ▲ ．14. 在一个如图所示的6个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物，相邻的两块区域中种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则不同的栽 种方案的总数为 ▲ ．二﹑解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分）（1）已知矩阵10a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的一个特征值为2λ=-，其对应的特征向量12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α， 求矩阵A 及它的另一个特征值.（2）在极坐标系中，设P 为曲线C ：2ρ=上任意一点，求点P 到直线l ：πsin 33ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的最小距离.16.（本小题满分14分）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数（用数字作答）． （1）全体排成一行，其中男生甲不在最左边； （2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起； （3）全体排成一行，3名男生两两不相邻.17.（本小题满分14分）已知正项数列{}n a 中，121a =-且1111,N .n n n na a n a a *++-=+∈ （1）分别计算出234,,a a a 的值，然后猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 18.（本小题满分16分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,AA AB AC ===,AB AC ⊥,M N 分别是棱1,CC BC 的中点，点P 在线段1A B 上（包括两个端点．．．．．．）运动．（1）当P 为线段1A B 的中点时，①求证：1PN AC ⊥；②求平面PMN 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值； （2）求直线PN 与平面AMN 所成的角的正弦值的取值范围.19.（本小题满分16分）为了让观赏游玩更便捷舒适，常州恐龙园推出了代步工具租用服务.已知有脚踏自行车A 与电动自行车B 两种车型，采用分段计费的方式租用.A 型车每30分钟收费5元（不足30分钟的部分按30分钟计算），B 型车每30分钟收费10元（不足30分钟的部分按30分钟计算），现有甲乙丙丁四人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲乙丙丁不超过30分钟还车的概率分别为4321,,,5432，并且四个人每人租车都不会超过60分钟，甲乙丙均租用A 型车，丁租用B 型车． （1）求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率； （2）求甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率；（3）设甲乙丙丁四人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布和数学期望．20.（本小题满分16分） 已知2018220180122018(1).x a a x a x a x -=++++（1）求0a 及122018a a a +++的值；（2）求证：1111111()2k k k n n n n C n C C ++++=⨯++（,N k n k ≤∈），并求201801k ka =∑的值. （3）求1009211()2018k k k a =⋅⋅∑的值.高二期末数学参考答案及评分标准（理科）一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1﹑ 3； 2﹑a b <； 3﹑55； 4﹑21k +； 5﹑6； 6﹑52-； 7﹑15；8﹑216； 9﹑0.7； 10﹑8； 11﹑427； 12﹑39； 13﹑22；14﹑588.二﹑解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤.15.（1）解：由λ⋅=⋅A αα得：1112022a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，122,24,a b +=-⎧∴⎨=-⎩3,22,a b ⎧=-⎪∴⎨⎪=-⎩ …3分 矩阵A 的特征多项式为31()202f λλλ-=+ …5分 ，令()0f λ=，得(1)(2)0λλ-+=，解得1λ=或2,λ=- 所以矩阵A 的另一个特征值为 2.- …7分（2）解：以极点为原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系xOy ．因为()πsin 33ρθ-=，所以()31sin cos 322ρθθ-=，将其化为普通方程，得360.x y -+= ……… 9分 将曲线C ：2ρ=化为普通方程，得224x y +=． ……… 11分 所以圆心()00O ，到直线:360l x y -+=的距离63.31d ==+ ……… 13分 所以P 到直线l 的最小距离为2 1.d -= ……… 14分16.解：（1）先排最左边，除去甲外有16C 种，余下的6个位置全排有66A 种，则符合条件的排法共有16664320C A =种. ……3分（2）将女生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有4444A A =576种； ……8分 （3）先排好女生，然后将男生插入其中的五个空位，共有43451440A A ⋅=种；……13分 答：（1）全体排在一行，其中男生甲不在最左边的方法总数为4320种； （2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起的方法总数为576种； （3）全体排成一行，3名男生两两不相邻的方法总数为1440种；……14分17.解：（1） 令2,n =得2121112 2.a a a a -=+=化简得22(2)3a +=， 解得232a =-或23 2.a =--20,a >232a ∴=-. …… 1分令3,n =得32321123,a a a a -=+=化简得23(3)4a +=， 解得323a =-或32 3.a =--30,a >32 3.a ∴=- …… 2分令4,n =得4343114,a a a a -=+=化简得23(2)5a +=， 解得452a =-或45 2.a =--40,a >45 2.a ∴=- …… 3分猜想1.n a n n =+-（*） …… 5分（1）①当1n =时，12121a =-=-，（*）式成立； …… 6分②假设(1,)n k k k N *=≥∈时（*）式成立，即1k a k k =+-，那么当1n k =+时，1111112 1.k k k ka a k k k k k a a ++-=+=++++-=+……9分 化简得21(1)2,k a k k +++=+10,k a +>121,k a k k +∴=+-+所以当1n k =+时，（*）式也成立.……13分综上：由①②得当n N *∈时，1.n a n n =+- ……14分18. 解：以1{,,}AB AC AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A 1(0,0,2),A (2,0,0B ，1(0,2,0),(0,2,2)C C .因为,M N 分别是棱1,CC BC 的中点，所以(0,2,1),(1,1,0).M N（1）当P 为线段1A B 的中点时，则(1,0,1).P①因为(0,1,1),PN =-1(0,2,2),AC =所以10,PN AC ⋅=即1.PN AC ⊥……3分 ②因为(0,1,1),(1,P N M N =-=--设平面P M N 的一个法向量为(,,),n x y z =由,n PN ⊥n MN ⊥可得00y z x y z -=⎧⎨--=⎩，取1y =，则2,1,x z ==所以(2,1,1).n =……5分 又因为(0,0,1)m =是平面ABC 的一个法向量，设平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角为θ，则1cos cos 6m n m n m nθ⋅=<⋅>==⋅66=.因为θ为锐角，所以6cos ,6θ=所以平面PMN 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为6.6……8分 （2）因为P 在线段1A B 上，所以设11A P A B λ=（01λ≤≤），解得(2,0,22)P λλ-，所以(12,1,22)PN λλ=--. ……9分因为(0,2,1),(1,1,0),AM AN ==设平面AMN 的一个法向量为(,,),s x y z =由,s AM s AN⊥⊥可得200y z x y +=⎧⎨+=⎩，取1,y =则1,2,x z =-=-所以(1,1,2).s =--……11分设直线PN 与平面AMN 所成的角为,α则242sin cos ,,68126s PN s PN s PNλαλλ⋅-=<>==⋅⋅-+……12分因为[0,1],λ∈所以242sin ,68126λαλλ-=⋅-+设42,t λ=-则[2,4],t ∈所以2sin 621014t t t α=⋅-+，设2(),[2,4],621014tf t t t t =∈⋅-+则21()141062f t t t=⋅-+，设111[,],42u t =∈可求得214102u u -+的取值范围为31[,]142，进一步可求得()f t 的取值范围为37[,],33所以直线PN 与平面AMN 所成的角的正弦值的取值范围为37[,].33……16分 19.解：（1）记“甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元”为事件A ，即4人均不超过30分钟，则()P A =4321154325⋅⋅⋅=. 答：求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率是1.5···················3分 （2）由题意，甲乙丙丁在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为1111,,,5432，设“甲乙丙三人所付费用之和等于丁所付费用”为事件B ， 则()P B =13214121431113.54325432543260⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 答：甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率是1360．···················8分 （3）①若“4人均不超过30分钟”此时随机变量ξ的值为25，即为事件A ，由（1）所以1()5P A =. ②记“4人中仅有一人超过30分钟”为事件C ，事件C 又分成两种情况“超过30分钟的这一人是甲乙丙中的一个”和“超过30分钟的这一人是丁”，分别将上述两种情况记为事件1C 和2C .i .事件1C 对应的ξ的值为30，此时113214121431113()54325432543260P C =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=； ii .事件1C 对应的ξ的值为35，此时243211()54325P C =⋅⋅⋅=.③记“4人中仅有两人超过30分钟”为事件D ，事件D 又分成两种情况“超过30分钟的两人是甲乙丙中的两个”和“超过30分钟的两人是甲乙丙中的一个和丁”，分别将上述两种情况记为事件1D 和2D .i .事件1D 对应的ξ的值为35，此时11121131141113()54325432543240P D =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=； i .事件2D 对应的ξ的值为40，此时213214121431113().54325432543260P D =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=④记“4人中仅有三人超过30分钟”为事件E ，事件E 又分成两种情况“超过30分钟的三人是甲乙丙”和“超过30分钟的三人是甲乙丙中的两个和丁”，分别将上述两种情况记为事件1E 和2E .i .事件1E 对应的ξ的值为40，此时111111()5432120P E =⋅⋅⋅=； i .事件2E 对应的ξ的值为45，此时2()P E =112113114111354325432543240⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=. ⑤记“4人均超过30分钟”为事件F ，则随机变量ξ的值为50， 此时()P F =111115432120⋅⋅⋅=； 综上：随机变量ξ的所有取值为25，30，35，40，45，50，且1(25)()5P P A ξ===；113(30)()60P P C ξ===； ···············10分 211311(35)()()54040P P C P D ξ==+=+=； ···············11分 211319(40)()()6012040P P D P E ξ==+=+=； ···············12分 23(45)()40P P E ξ===；1(50)()120P P F ξ===； ···············14分 所以甲乙丙丁四人所付费用之和的分别为ξ 25 30 35 40 45 50P15 1360 1140940 340 1120所以11311931()253035404550560404040120E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=40712. 答：甲乙丙丁四人所付费用之和ξ的数学期望为407.12···············16分 （注：不作答扣1分，不多扣！） 20.解：（1）当2018n =时，201822018012(1)n x a a x a x a x -=++++（*）在（*）中，令0,x =得0 1.a = ···········1分 在（*）中，令1,x =得01220180a a a a ++++=，所以122018 1.a a a +++=-······3分（2）证明：因为1!()!1!()!(2)!2(1)!k n k n k n k n k n C n n n -+-⨯+==⨯++1!()!(11)2(1)!n k n k k n k n n +-⨯+++-=⨯++ 1!(1)!(1)!()![]2(1)!(1)!n k n k k n k n n n ++-+-=⨯++++111111()2k k n n n n C C ++++=⨯++， ······6分 （注：证明共3分，其他证法酌情给分！） 由二项式定理可得2018(1),0,1,2,,2018,kkk a C k =-= ······7分所以2018201800201811(1)k k k k k a C ===-∑∑201820180122018020182018201820182018(1)1111(1).k k k C C C C C=-==-+-+-∑因为12018201920191201911()2020k k k C C C +=⨯+， 所以20182018011220182019020192019201920192019201912019111111[()()(1)()]2020k ka C C C C CC==⨯+-+++-+∑02019201920192019112019().20201010C C =⨯+= ······9分 （3）法一：由（2）知(1),kkk n a C =-11!(1)!,!()!(1)!()!k k n n n n kC kn nC k n k k n k ---==⋅=---∴1212018201720162016(1)(1)2018(1)2018().k k k k k k k k k a k C C C C ---⋅=-⋅=-=-+ ·····12分江苏省常州市田家炳高级中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 11 / 11 因为1009224201620181()210081009k k k aa a a a =⋅=++++∑，所以10092242016201812()2420162018k k k aa a a a =⋅=++++∑0123201420152016201620162016201620162018()C C C C C C =+++++++201820182018C 0120152016201620162016201620162018()20182.C C C C =++++=⋅ ·····15分则1009201521()20182k k k a=⋅=⋅∑，所以10092015211()2.2018k k k a =⋅⋅=∑ ·····16分 法二：将2018220180122018(1)x a a x a x a x -=++++两边求导， 得201720171220182018(1)22018.x a a x a x --=+++·····10分令1,x =得123420172018023420172018a a a a a a =++++++；①·····11分 令1,x =-得20171234201720182018223420172018a a a a a a -⋅=-+-++-.②·····12分 ①-②得2017242018201822(242018)a a a ⋅=+++解得201624201824201820182a a a +++=⋅，·····15分 所以100920152242018111()(21009)2.20182008k k k a a a a =⋅⋅=+++=∑·····16分。

江苏省田家炳实验中学2017-2018学年高二数学下学期第二次学情调研考试试题理一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1、一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是______ ．2、如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为______ ．3、将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是______ 用数字作答4、200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于的汽车数量为______辆5、已知，则______．6、在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有______种不同的志愿者分配方案用数字作答7、的展开式中，的系数为______ ．用数字作答8、抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知，，则出现奇数点或2点的概率是______ ．9、长方形ABCD中，，，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为______ ．10、口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X的数学期望是______ ．11、设随机变量X的分布列如下：若数学期望，则方差 ______ ．12、已知0，，，若随机选取m，n，则直线恰好不经过第二象限的概率是______．13、若，，则 ______ ．14、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是______写出所有正确结论的编号．；；事件B与事件相互独立；，，是两两互斥的事件；的值不能确定，因为它与，，中哪一个发生有关．二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15、4男3女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？任何两名女生都不相邻，有多少种排法？男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？男甲在男乙的左边不一定相邻有多少种不同的排法？16、一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个球，记随机变量X为取出2球中白球的个数，已知．Ⅰ求袋中白球的个数；Ⅱ求随机变量X的分布列及其数学期望．17、已知展开式前三项的二项式系数和为22．Ⅰ求n的值；Ⅱ求展开式中的常数项；求展开式中二项式系数最大的项．18、已知空间三点0，，1，，0，，设，．Ⅰ求和的夹角的余弦值；Ⅱ若向量与互相垂直，求实数k的值；Ⅲ若向量与共线，求实数的值．分别是AB、PC的中点．求证：共面；求证：．20、某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数，如果，求的取值范围．答案和解析【答案】1. ：2.3. 364. 765. 1或36. 217.8. 9. 10. 11. 35 12. 13.3 14.15. 解：任何两名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有种不同排法．甲在首位的共有种，乙在末位的共有种，甲在首位且乙在末位的有种，因此共有种排法．人的所有排列方法有种，其中甲、乙、丙的排序有种，其中只有一种符合题设要求，所以甲、乙、丙顺序一定的排法有种男甲在男乙的左边的7人排列与男甲在男乙的右边的7人排列数相等，而7人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有种排法．16. 解：Ⅰ设袋中有白球n个，则，解得．Ⅱ由可知：袋中共有3个黑球，6个白球．随机变量X的取值为0，1，2，则，，．随机变量X的分布列如下：．17. 解：由题意，展开式前三项的二项式系数和为22．Ⅰ二项式定理展开：前三项系数为：，解得：或舍去．即n的值为6．Ⅱ由通项公式，令，可得：．展开式中的常数项为；是偶数，展开式共有7项则第四项最大展开式中二项式系数最大的项为．18. 解：，．Ⅰ，和的夹角的余弦值为．Ⅱ，向量与互相垂直，，或．Ⅲ，向量与共线，存在实数，使得即1，，或．19. 证明：如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设，，，则：0，，0，，2b，，2b，，0，，为AB的中点，F为PC的中点，0，，b，，b，，0，，2b，，，共面．0，，b，，0，，b，，，．20. 解：，，根据“先进和谐组”的定义可得该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率该小组在一次检测中荣获先进和谐组”的概率而，所以由知，解得：【解析】1. 解：一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，，解得，此组数据的方差，此组数据的标准差．故答案为：．由已知条件先求出x的值，再计算出此组数据的方差，由此能求出标准差．本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．2. 解：由已知可得甲的平均成绩为，方差为；乙的平均成绩为，方差为，所以方差较小的那组同学成绩的方差为．故答案为：由茎叶图数据分别求出甲乙两组的方差，比较大小．本题考查了茎叶图的数据统计中，求平均数以及方差，关键是熟记公式．3. 解：由题意知本题是一个分步计数问题，4位同学分到三个不同的班级，每个班级至少有一位同学，先选两个人作为一个整体，问题变为三个元素在三个位置全排列，共有种结果，故答案为：36．本题是一个分步计数问题，先选两个元素作为一个元素，问题变为三个元素在三个位置全排列，得到结果．本题考查分步计数原理，是一个基础题，也是一个易错题，因为如果先排三个人，再排最后一个人，则会出现重复现象，注意不重不漏．4. 解：时速不低于的汽车的频率为时速不低于的汽车数量为故答案为：76先根据“频率组距”求出时速不低于的汽车的频率，然后根据“频数频率样本容量”进行求解．本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，频数频率样本容量，属于基础题．5. 解：因为，可得或解得或．故答案为1或3由组合数的性质和方程，可得或，求解即可．本题考查组合及组合数公式，考查计算能力，是基础题．6. 解：若甲，乙都参加，则甲只能参加C项目，乙只能参见A项目，B项目有3种方法，若甲参加，乙不参加，则甲只能参加C项目，A，B项目，有种方法，若甲参加，乙不参加，则乙只能参加A项目，B，C项目，有种方法，若甲不参加，乙不参加，有种方法，根据分类计数原理，共有种．由题意可以分为四类，根据分类计数原理可得．本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于中档题．7. 解：的展开式的通项为，令，求得，的系数为故答案为：．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于，求出r的值，即可求得开式中x的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．8. 解：由题意知抛掷一粒骰子出现奇数和出现2点是互斥事件，，，出现奇数点或2点的概率根据互斥事件的概率公式得到，故答案为：由题意知抛掷一粒骰子出现奇数和出现2点是互斥事件，又根据两个事件的概率，根据互斥事件的概率之和得到出现奇数点或2点的概率．本题考查互斥事件的概率，解题的关键是看清两个事件的互斥关系，再根据互斥事件的概率公式得到结果，是一个基础题．9. 解：根据几何概型得：取到的点到O的距离大于1的概率：．故答案为：本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积欲求取到的点到O的距离大于1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可．本题主要考查几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积或体积成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．10. 解：由题设知X的可能取值为1，2，3，4，5．随机地取出两个球，共有：种，，，，，，随机变量X的分布列为故E．故答案为：．确定X的可能取值为1，2，3，4，5，求出相应的概率，可求随机变量X的数学期望本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，确定X的可能取值，求出相应的概率是关键．11. 解：，化为又，联立，解得故答案为利用，分布列的性质，联立即可解得，再利用方差的计算公式即可得出本题考查了离散型随机变量的分布列的数学期望及其方差，属于基础题．12. 解：由得，要使直线恰好不经过第二象限，则或者，即或，，或，共有2个结果．0，，，，n的选择共有个结果，则根据古典概率的概率公式得所求的概率，故答案为：根据古典概型的概率公式求出相应事件的个数，即可得到结论．本题主要考查古典概型的概率的计算，根据直线不经过第二象限，分别求出对应斜率和截距的关系是解决本题的关键，比较基础．13. 解：0，，1，本题直接根据空间向量的坐标运算即对应坐标想加减和模的公式即坐标的平方和的算术平方根进行计算即可本题主要考查了空间向量的概念及基本运算，属于基础题14. 解：易见，，是两两互斥的事件，．故答案为：本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键本题在，，是两两互斥的事件，把事件B的概率进行转化，可知事件B的概率是确定的．概率的综合问题，需要对基本概念和基本运算能够熟练掌握．15. 任何两个女生都不得相邻，利用插空法，问题得以解决，男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故问题得以解决，男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，问题得以解决．由于男甲要么在男乙的左边，要么在男乙的右边，故利用除法可得结论．本题考查排列、组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确选用方法是关键．16. 设袋中有白球n个，利用古典概型的概率计算公式即可得到，解出即可；由可知：袋中共有3个黑球，6个白球随机变量X的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可得出随机变量X的分布列及其数学期望．熟练掌握古典概型的概率计算公式和超几何分布的概率计算公式是解题的关键．17. Ⅰ利用公式展开得前三项，系数和为22，即可求出n．Ⅱ利用通项公式求解展开式中的常数项即可．利用通项公式求展开式中二项式系数最大的项．本题主要考查二项式定理的应用，通项公式的计算，属于基础题．18. 利用向量夹角公式即可得出；利用向量垂直于数量积的关系即可得出；利用向量共线定理即可得出．19. 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设，，，求出b，，0，，2b，，从而，由此能证明共面．求出0，，b，，由，能证明．本题考查三个向量共面的证明，考查两直线垂直的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20. 根据甲的命中率为，乙的命中率为，两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；由已知结合的结论，我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率含参数，由，可以构造一个关于的不等式，解不等式结合概率的含义即可得到的取值范围．本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，二项分布与n次独立重复试验的模型，中关键是要列举出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的所有可能性，的关键是要根据，可以构造一个关于的不等式．。

江苏省2017-2018学年度第二学期期末考试高二数学（理科）试题一、 填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）4!的值为 .1. 椭圆的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则该椭圆的普通方程为 .3.已知()()2,4,1,,1,0a b m =-= ，若a b ⊥ ，则m = .4.在[]2,1-上随机取一个数x ，使得1x <的概率为 .5．某高级中学共有2000名学生，为了了解不同年级学生的眼睛的近视情况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，高三年级抽取的学生人数为35人，则高三年级学生人数为 .6.右图是一个算法的流程图，则输出的k 的值是 .7.极坐标系中，点()1,0到直线()3R πθρ=∈的距离是 .8.一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6，将这颗骰子连续抛掷两次，观察向上的点数，则两点数之和不为5的概率为 .9.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 .10.现将5张连号的电影票分给5个人（5人中含甲乙两人），每人一张，且甲、乙两人分得的电影票连号，则共有不同的分法的种数为 .11.若33228x x x C C ++-=，则x 的值为 .12.若四位数M 满足：①组成该四位数的四个数字中首位数字最小；②相邻的两位数字不等且首尾两数字不等，则满足条件的四位数共有 个二、解答题：本大题共8小题，共100分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.13. （本题满分10分）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位，已知平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为122x t y t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）在极坐标系中，圆C 的圆心的极坐标为1,2C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为1. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）判断直线l 与圆C 的位置关系.14.（本题满分10分）82T x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （1）求T 的展开式中，含4x 的项；（2）求T 的展开式中，二项式系数最大的项.15.（本题满分10分）为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为N 的样本，数据的分组及各组的频数，频率如下表：（1）求N,a,b ；（2）根据以上数表绘制频率分布直方图，求落在[)10.95,11.15范围内的矩形的高；（3）若从样本中随机取两个产品，求这两个产品对应的数据落在[)11.35,11.55上的概率.16.（本题满分10分）若3221326.n n n A A A +=+ （1）求n 的值；（2）求101110n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的近似值（精确到0.01）.17.（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，且,2,3,3APB APC BPC PA PB PC M π∠=∠=∠====是PD 的中点.（1）若BD mPA nPB pPC =++ ，求m n p ++的值；（2）求线段BM 的长.18.（本题满分14分）某学校田径运动会跳远比赛规定：比赛设立及格线，每个运动员均有3次跳远的机会.若在比赛中连续两次跳不过及格线，则该运动员比赛结束.已知运动员甲每次跳远跳过及格线的概率为23，且该运动员不放弃任何一次跳远的机会. （1）求该运动员跳完两次就结束比赛的概率；（2）设该运动员比赛过程中跳过及格线的总次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望()E ξ.19.（本题满分16分）如图，长方体1111ABCD A BC D -中，12,3AB AD AA ===点,E F 分别在线段11,AA DD 上，且满足112,2A E EA D F DF ==，点P 是线段AC 上任意一点（不含端点）.（1）求直线EF 与直线AC 所成角的余弦值；（2）求平面FAB 与平面FEC 所成的锐二面角的大小；（3）求直线EP 与平面FAB 所成角的最大值.20.（本题满分16分）已知()()20111m n m nm n x x t a a x a x a x ++++=++++ ()()()2011222.m n m n b b x a x a x ++=+++++++（1）若1,2,8.m t n ===①求290129222b b b b ++++ 的值； ②求0129,,,,a a a a 中的最大项；（2）若, 1.m n t ==①求证：对任意,02k N k n *∈≤≤，都有121121k k n k a C n +++=+； ②求211n i k n k b -=-∑及2111n i kk b -=+∑的值.。

江苏省常州市重点名校2017-2018学年高二下学期期末达标测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°．若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝（ ） A ．1143+ B ．1353+ C ．1663- D ．19103-【答案】D 【解析】 【分析】设22BF m =，根据2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=o，以及双曲线的性质可得212(33),2(23)AF a AF a =-=-，再根据勾股定理求得,a c 的关系式，即可求解.【详解】由题意，设22BF m =，如图所示，因为2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=o， 由212AF AF a -=，所以132AF m a =-， 由212BF BF a -=，所以122BF m a =-，所以11AF BF AB +=，即3222m a m a m -+-=， 所以2(31)m a =-，所以232(31)2(33)AF a a =⋅-=-，12(33)22(23)AF a a a =--=-， 在直角12F AF ∆中，222124AF AF c +=，即222224(33)4(23)4a a c -+-=，整理得22(19103)a c -=，所以22219103c e a==-，故选D.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．.2．已知空间向量(3,a =r 1，0)，(),3,1b x =-r ，且a b ⊥r r ，则(x = )A ．3-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的充要条件，利用向量的数量积公式列出关于x 的方程，即可求解x 的值． 【详解】由题意知，空间向量a (3,r =1，0)，()b x,3,1=-r ，且a b ⊥rr ， 所以a b 0⋅=rr ，所以31(3)010x +⨯-+⨯=，即3x 30-=，解得x 1=.故选C ． 【点睛】本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量垂直的条件和数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 3． “0x ∀>，2sin x x >”的否定是( ) A ．0x ∀>，2sin x x < B ．0x ∀>，2sin x x ≤ C ．00x ∃≤，002sin x x ≤ D ．00x ∃>，002sin x x ≤【答案】D 【解析】 【分析】通过命题的否定的形式进行判断． 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，故“0x ∀>， 2sin x x >”的否定是“00x ∃>， 002sin x x ≤”. 故选D. 【点睛】本题考查全称命题的否定，属基础题. 4．下列关于独立性检验的叙述：①常用等高条形图展示列联表数据的频率特征； ②独立性检验依据小概率原理；③样本不同，独立性检验的结论可能有差异；④对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，X 与Y 有关系的把握程度就越大. 其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】分析：根据独立性检验的定义及思想，可得结论．详解：①常用等高条形图展示列联表数据的频率特征；正确； ②独立性检验依据小概率原理；正确；③样本不同，独立性检验的结论可能有差异；正确；④对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越大，X 与Y 有关系的把握程度就越大.故④错误. 故选C.点睛：本题考查了独立性检验的原理，考查了推理能力，属于基础题．5．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，且P 满足122PF PF b -=，则C 的离心率e 满足（ ）A ．2310e e -+=B ．42310e e -+=C ．210e e --=D ．4210e e --=【答案】D 【解析】分析：联立圆与渐近线方程，求得M 的坐标，由122PF PF b -=，得点P 在双曲线右支上，代入双曲线方程化简即可求． 详解：由222b y xa x y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得2222x a y b ⎧=⎨=⎩，即(),P a b ， 由122PF PF b -=，，即2b =，由222cb ac e a=-=， ， 化简得42240c a c a --=，即4210e e --=， 故选D.点睛：本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．6．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时()(1)f x x x =-．则当(2,1]x ∈--，()f x 的最小值是（ ）A ．12-B ．116-C ．18-D ．14-【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数()y f x =在区间(]2,1--上的解析式，利用二次函数的性质可求出函数()y f x =在区间(]2,1--上的最小值．【详解】由题意可知，函数()y f x =是以1为周期的周期函数，设(]2,1x ∈--，则(]20,1x +∈，则()()()()222132f x f x x x x x =+=++=++，即当(]2,1x ∈--时，()22313224f x x x x ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭， 可知函数()y f x =在32x =-处取得最小值，且最小值为()min3124f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 故选D. 【点睛】本题考查函数的周期性以及函数的最值，解决本题的关键就是根据周期性求出函数的解析式，并结合二次函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题．7．若关于x 的不等式22ln 0x a x +-<有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．1,ln 22⎛⎫-∞--⎪⎝⎭B ．1,ln 22⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．1ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．1ln 2,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先将不等式转化为2ln 2a x x <-，然后构造函数2()ln 2f x x x =-，只要a 小于()f x 的最大值即可【详解】解：由22ln 0x a x +-<，得2ln 2a x x <-，令2()ln 2(0)f x x x x =->，则2'114()4(0)x f x x x x x-=-=>当102x <<时，'()0f x >；当12x >时， '()0f x < 所以()f x 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减所以当12x =时，()f x 取最大值1111()ln 2ln 22242f =-⨯=--，所以1ln 22a <--故选：A 【点睛】此题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题 8．若函数没有零点，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 将问题转化为曲线与直线没有交点，并将函数表示为分段函数的形式，并作出该函数的图象，分析直线的斜率与函数图象每段折线的斜率的大小关系，结合图象得出实数的取值范围。

2017-18学年高二年级第二学期期末考试数学试卷（理数）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：１．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上． ２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}1,0=A ，{}A y A x y x z z B ∈∈+==,,|，则集合B 的子集个数为（ ） A .3 B .4 C . 7 D .8 2．若322->m x 是41<<-x 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是（ ）A .[]3,3-B .(][)+∞-∞-,33,C . (][)+∞-∞-,11,D .[]1,1-3．命题“[)+∞-∈∀,2x ，13≥+x ”的否定为( )A .[),,20+∞-∈∃x 130<+xB .[),,20+∞-∈∃x 130≥+xC .[)+∞-∈∀,2x ，13<+xD .()2,-∞-∈∀x ，13≥+x4．已知函数()x f 在()+∞∞-,单调递减，且为奇函数，若()11-=f ，则满足()121≤-≤-x f 的x 的取值范围是( ）A .[]2,2-B .[]1,1-C .[]4,0D .[]3,15．已知函数()xx f 5=，()x ax x g -=2，若()[]11=g f ，则=a ( )A .1B .2C .3D .1-6．已知函数()⎩⎨⎧>+≤+-=2,log 3,2,6x x x x x f a ，()1,0≠>a a 且的值域是[)+∞,4，则实数a 的取值范围是( )A .[]1,1-B .(]2,1C .[]4,0D .[]3,17．已知函数()ax f x x -+=212 是奇函数，则使()3>x f 成立x 的取值范围是 ( )A .()1,-∞-B .()0,1-C . ()1,0D .()+∞,18．若0>>b a ，10<<c ，则 ( )A .c c b a log log <B .b a c c log log <C .c c b a <D .a b c c > 9．已知函数()12-=-mx x f 为偶函数，记()3log 5.0f a = ，()5log 2f b = ，()m f c 2=，则c b a ,,的大小关系为 ( ) A .c b a << B .b c a << C . b a c << D .a c b <<10．已知函数()34213123-+-=x mx x x f 在区间[]2,1上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A .[]5,4B .[]4,2C . (][)+∞-∞-,11,D .(]4,∞- 11．已知函数()|1|23,0,21,0x x f x x x x -⎧>=⎨--+≤⎩若关于x 的方程()[]()()012=--+a x f a x f 有7个不等实根，则实数a 的取值范围是( )A .()1,2-B .[]4,2C . ()1,2--D .(]4,∞-12. 已知函数()a x x f ++-=13，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e ex ,1 与()x x g ln 3=的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A .[]4,03-eB .⎥⎦⎤⎢⎣⎡+21,03e C . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+4,2133e eD .[)+∞-,43e第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知函数()()2'11f x f x x =++，则()=⎰1dx x f .14．函数()()x x f cos sin lg =的定义域为_______________． 15．若()02222222≥++---x x xx a 在区间[]2,1上恒成立，则实数a 的取值范围是 ______．16．设()'f x 是奇函数()x f 的导函数，()02=-f ，当0>x 时，()()'0xf x f x ->，则使()0>x f 成立的x 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分 17．(本小题满分12分)在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且ab c b a 3222+=+.（1）求角C 的值；（2）若ABC ∆为锐角三角形,且1=c ,求b a -3的取值范围. 18．(本小题满分12分)（单位：（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在的概率；（2）求这50件产品尺寸的样本平均数x ；（3）根据频率分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸z 服从正态分布2(,)N μσ；其中μ近似为样本平均值x ，2σ近似为样本方差2S ，经计算得222.37S =，利用正态分布，求(27.43)P z ≥．19.(本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，CB AC =，1AA AB =，0160=∠BAA（1）证明：C A AB 1⊥；（2）若平面⊥ABC 平面B B AA 11，CB AB =，求直线C A 1与平面C C BB 11所成角的正弦值． 20. (本小题满分12分)已知三点()1,2-A ，()1,2B ，()0,0O ，曲线C 上任意一点()y x M ,满足||()M A M B O M O A O B+=++． （1） 求C 的方程；（2） 动点()00,y x Q ()220<<-x 在曲线C 上，l 是曲线C 在Q 处的切线．问：是否存在定点()t P ,0()0<t 使得l 与PB PA ,都相交，交点分别为E D ,，且ABQ ∆与PDE ∆的面积之比为常数？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由． 21.(本小题满分12分）()x x f ln =，()xe x g =．1）求函数()x x f y -=的单调区间；2）求证：函数()x f y =和()x g y=在公共定义域内，()()2>-x f x g 恒成立；3）若存在两个不同的实数1x ，2x ，满足()()a x x f x x f ==2211，求证：1221>exx ． （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作第一题计分.22.(本小题满分10分)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

常州市“12校合作联盟”2017学年度第二学期期末质量调研高二数学理科试题（市区）参考公式：（1）若~(,)X B n p ，则()(1)V X np p =-； （2）球的体积为V =343r π，其中r 为球的半径.一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 若复数z 满足i 13i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 2. 用反证法证明“,,a b R ∈若33a ≥b ，则a b ≥”时，应假设 ▲ ． 3. 已知i 是虚数单位，则复数112i+的模为 ▲ ． 4. 用数学归纳法证明2135(21)n n ++++-=，则当1n k =+时左端应在n k =的基础上加上的项为 ▲ ． 5. 若348,n n A C =则n 的值为 ▲ ． 6. 在61()2x x-的展开式中，常数项的值为 ▲ ． 7. 已知向量(3,2,0),=a (2,1,2)=b ，若(+)(),k ⊥-a b a b 则实数k 的值为▲ ．8. 从2，4，8中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成 ▲ 个没有重复数字的四位数.（用数字作答）9. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，此时~(10,).X B p若() 2.1,V X =(3)(7),P X P X =<=则p = ▲ ．10. 已知423401234(1)(1)(1)(1)(1),x a a x a x a x a x +=+-+-+-+-则3a = ▲ ．11. 袋中有2个白球，1个红球，这些球除颜色外完全相同.现从袋中往外取球，每次任取1个记下颜色后放回，直到红球出现2次时停止，设停止时共取了X 次球，则(4)P X == ▲ ．12. 在平面几何中有如下结论：若正方形ABCD 的内切圆面积为1,S 外接圆面积为2,S 则1212S S =，推广到立体几何中可以得到类似结论： 若正方体1111ABCD A BC D -的内切球体积为1,V 外接球体积为2V ， 则12VV = ▲ ． 13. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AC AA ===,E F 分别是,BC11AC 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EFBD 的长为 ▲ ． 14. 在一个如图所示的6个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物，相邻的两块区域中种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则不同的栽 种方案的总数为 ▲ ．二﹑解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分）（1）已知矩阵10a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的一个特征值为2λ=-，其对应的特征向量12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α， 求矩阵A 及它的另一个特征值.（2）在极坐标系中，设P 为曲线C ：2ρ=上任意一点，求点P 到直线l ：πsin 33ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的最小距离.16.（本小题满分14分）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数（用数字作答）． （1）全体排成一行，其中男生甲不在最左边； （2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起； （3）全体排成一行，3名男生两两不相邻.17.（本小题满分14分）已知正项数列{}n a中，11a =且1111,N .n n n na a n a a *++-=+∈ （1）分别计算出234,,a a a 的值，然后猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 18.（本小题满分16分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,AA AB AC ===,AB AC⊥,M N 分别是棱1,CC BC 的中点，点P 在线段1A B 上（包括两个端点．．．．．．）运动． （1）当P 为线段1A B 的中点时，①求证：1PN AC ⊥；②求平面PMN 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值； （2）求直线PN 与平面AMN 所成的角的正弦值的取值范围.19.（本小题满分16分）为了让观赏游玩更便捷舒适，常州恐龙园推出了代步工具租用服务.已知有脚踏自行车A 与电动自行车B 两种车型，采用分段计费的方式租用.A 型车每30分钟收费5元（不足30分钟的部分按30分钟计算），B 型车每30分钟收费10元（不足30分钟的部分按30分钟计算），现有甲乙丙丁四人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲乙丙丁不超过30分钟还车的概率分别为4321,,,5432，并且四个人每人租车都不会超过60分钟，甲乙丙均租用A 型车，丁租用B 型车．（1）求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率； （2）求甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率；（3）设甲乙丙丁四人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布和数学期望．20.（本小题满分16分） 已知2018220180122018(1).x a a x a x a x -=++++（1）求0a 及122018a a a +++的值；（2）求证：1111111()2k k k n n n n C n C C ++++=⨯++（,N k n k ≤∈），并求201801k ka =∑的值. （3）求1009211()2018k k k a =⋅⋅∑的值.高二市区期末数学参考答案及评分标准（理科）一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1﹑ 3； 2﹑a b <； 34﹑21k +； 5﹑6； 6﹑52-； 7﹑15；8﹑216； 9﹑0.7； 10﹑8； 11﹑427； 1213﹑14﹑588.二﹑解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤.15.（1）解：由λ⋅=⋅A αα得：1112022a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，122,24,a b +=-⎧∴⎨=-⎩3,22,a b ⎧=-⎪∴⎨⎪=-⎩ …3分 矩阵A 的特征多项式为31()202f λλλ-=+ …5分 ，令()0f λ=，得(1)(2)0λλ-+=，解得1λ=或2,λ=- 所以矩阵A 的另一个特征值为 2.- …7分（2）解：以极点为原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系xOy ．因为()πsin 33ρθ-=，所以()1sin 3ρθθ=，60.y -+= ……… 9分 将曲线C ：2ρ=化为普通方程，得224x y +=． ……… 11分 所以圆心()00O ，到直线60l y -+=的距离 3.d == ……… 13分 所以P 到直线l 的最小距离为2 1.d -= ……… 14分16.解：（1）先排最左边，除去甲外有16C 种，余下的6个位置全排有66A 种，则符合条件的排法共有16664320C A =种. ……3分（2）将女生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有4444A A =576种； ……8分 （3）先排好女生，然后将男生插入其中的五个空位，共有43451440A A ⋅=种；……13分 答：（1）全体排在一行，其中男生甲不在最左边的方法总数为4320种；（2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起的方法总数为576种； （3）全体排成一行，3名男生两两不相邻的方法总数为1440种；……14分17.解：（1） 令2,n =得212111a a a a -=+=化简得22(3a =，解得2a =2a =20,a>2a ∴=…… 1分令3,n =得323211a a a a -=+=化简得23(4a =，解得32a =32a =-30,a>32a ∴= …… 2分令4,n =得4343114,a a a a -=+=化简得23(2)5a +=， 解得42a =或4 2.a =40,a>4 2.a ∴= …… 3分猜想n a =（*） …… 5分（1）①当1n =时，11a ==（*）式成立； …… 6分②假设(1,)n k k k N *=≥∈时（*）式成立，即k a =，那么当1n k =+时，1111k k k ka a a a ++-=+==……9分化简得21(2,k a k +=+10,k a +>1k a +∴=所以当1n k =+时，（*）式也成立.……13分综上：由①②得当n N *∈时，n a ……14分18. 解：以1{,,}AB AC AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),A 1(0,0,2),A (2,0,0)B ，1(0,2,0),(0,2,2)C C .因为,M N 分别是棱1,CC BC 的中点，所以(0,2,1),(1,1,0).M N（1）当P 为线段1A B 的中点时，则(1,0,1).P①因为(0,1,1),PN =-1(0,2,2),AC =所以10,PN AC ⋅=即1.PN AC ⊥……3分②因为(0,1,1),(1,1,PN MN =-=--设平面P M N 的一个法向量为(,,),n x y z =由,n PN ⊥n MN ⊥可得0y z x y z -=⎧⎨--=⎩，取1y =，则2,1,x z ==所以(2,1,1).n =……5分 又因为(0,0,1)m =是平面ABC 的一个法向量，设平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角为θ，则c o sc os 6m n m n m nθ⋅=<⋅>==⋅=.因为θ为锐角，所以cos θ=所以平面PMN 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为6……8分 （2）因为P 在线段1A B 上，所以设11A P A B λ=（01λ≤≤），解得(2,0,22)P λλ-，所以(12,1,22)PN λλ=--. ……9分因为(0,2,1),(1A M A N ==设平面AMN 的一个法向量为(,,),s x y z =由,s AM s AN ⊥⊥可得200y z x y +=⎧⎨+=⎩，取1,y =则1,2,x z =-=-所以(1,1,2).s =-- ……11分设直线PN 与平面AMN 所成的角为,α则sin cos ,6s PN s PN s PNα⋅=<>==⋅……12分因为[0,1],λ∈所以sin α=设42,t λ=-则[2,4],t ∈所以sin α=，设()[2,4],f t t =∈则()f t =设111[,],42u t=∈可求得214102u u -+的取值范围为31[,]142，进一步可求得()ft的取值范围为[,33所以直线PN 与平面AMN 所成的角的正弦值的取值范围为[33……16分19.解：（1）记“甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元”为事件A ，即4人均不超过30分钟，则()P A =4321154325⋅⋅⋅=. 答：求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率是1.5···················3分 （2）由题意，甲乙丙丁在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为1111,,,5432，设“甲乙丙三人所付费用之和等于丁所付费用”为事件B ， 则()P B =13214121431113.54325432543260⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 答：甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率是1360．···················8分 （3）①若“4人均不超过30分钟”此时随机变量ξ的值为25，即为事件A ，由（1）所以1()5P A =. ②记“4人中仅有一人超过30分钟”为事件C ，事件C 又分成两种情况“超过30分钟的这一人是甲乙丙中的一个”和“超过30分钟的这一人是丁”，分别将上述两种情况记为 事件1C 和2C .i.事件1C 对应的ξ的值为30，此时113214121431113()54325432543260P C =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=； ii.事件1C 对应的ξ的值为35，此时243211()54325P C =⋅⋅⋅=.③记“4人中仅有两人超过30分钟”为事件D ，事件D 又分成两种情况“超过30分钟的两人是甲乙丙中的两个”和“超过30分钟的两人是甲乙丙中的一个和丁”，分别将上述两种情况记为事件1D 和2D .i.事件1D 对应的ξ的值为35，此时11121131141113()54325432543240P D =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=； i.事件2D 对应的ξ的值为40，此时213214121431113().54325432543260P D =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=④记“4人中仅有三人超过30分钟”为事件E ，事件E 又分成两种情况“超过30分钟的三人是甲乙丙”和“超过30分钟的三人是甲乙丙中的两个和丁”，分别将上述两种情况记为事件1E 和2E .i.事件1E 对应的ξ的值为40，此时111111()5432120P E =⋅⋅⋅=； i.事件2E 对应的ξ的值为45，此时2()P E =112113114111354325432543240⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=.⑤记“4人均超过30分钟”为事件F ，则随机变量ξ的值为50， 此时()P F =111115432120⋅⋅⋅=； 综上：随机变量ξ的所有取值为25，30，35，40，45，50，且1(25)()5P P A ξ===；113(30)()60P P C ξ===； ···············10分211311(35)()()54040P P C P D ξ==+=+=； ···············11分211319(40)()()6012040P P D P E ξ==+=+=； ···············12分23(45)()40P P E ξ===；1(50)()120P P F ξ===； ···············14分所以甲乙丙丁四人所付费用之和的分别为所以11311931()253035404550560404040120E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=40712. 答：甲乙丙丁四人所付费用之和ξ的数学期望为407.12···············16分 （注：不作答扣1分，不多扣！） 20.解：（1）当2018n =时，201822018012(1)n x a a x a x a x -=++++（*）在（*）中，令0,x =得0 1.a = ···········1分在（*）中，令1,x =得01220180a a a a ++++=，所以122018 1.a a a +++=-······3分（2）证明： 因为1!()!1!()!(2)!2(1)!kn k n k n k n k n C n n n -+-⨯+==⨯++1!()!(11)2(1)!n k n k k n k n n +-⨯+++-=⨯++ 1!(1)!(1)!()![]2(1)!(1)!n k n k k n k n n n ++-+-=⨯++++111111()2k k n n n n C C ++++=⨯++， ······6分（注：证明共3分，其他证法酌情给分！）由二项式定理可得2018(1),0,1,2,,2018,k kk a C k =-= ······7分所以2018201800201811(1)k k k k k a C ===-∑∑201820180122018020182018201820182018(1)1111(1).k k k C C C C C =-==-+-+-∑因为12018201920191201911()2020k k k C C C +=⨯+， 所以20182018011220182019020192019201920192019201912019111111[()()(1)()]2020k k a C C C C C C ==⨯+-+++-+∑02019201920192019112019().20201010C C =⨯+= ······9分 （3）法一：由（2）知(1),kkk n a C =-11!(1)!,!()!(1)!()!k k n n n n kC kn nC k n k k n k ---==⋅=---∴1212018201720162016(1)(1)2018(1)2018().k k k k k k k k k a k C C C C ---⋅=-⋅=-=-+ ·····12分 因为1009224201620181()210081009kk k aa a a a =⋅=++++∑，所以10092242016201812()2420162018kk k aa a a a =⋅=++++∑0123201420152016201620162016201620162018()C C C C C C =+++++++201820182018C 0120152016201620162016201620162018()20182.C C C C =++++=⋅ ·····15分则1009201521()20182kk k a=⋅=⋅∑，所以10092015211()2.2018k k k a =⋅⋅=∑ ·····16分法二：将2018220180122018(1)x a a x a x a x -=++++两边求导，教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集专注专业学习坚持不懈勇攀高峰- 11 - 得201720171220182018(1)22018.x a a x a x --=+++·····10分令1,x =得123420172018023420172018a a a a a a =++++++；①·····11分 令1,x =-得20171234201720182018223420172018a a a a a a -⋅=-+-++-.②·····12分①-②得2017242018201822(242018)a a a ⋅=+++解得 201624201824201820182a a a +++=⋅，·····15分 所以100920152242018111()(21009)2.20182008k k k a a a a =⋅⋅=+++=∑·····16分。

绝密★启用前江苏省田家炳高级中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试卷一、填空题1．若复数满足，其中是虚数单位，则的实部为______．【答案】3【解析】【分析】由复数除法求得复数z，再求得复数实部。

【详解】由题意可得，所以的实部为3，填3.【点睛】本题主要考查复数的除法以及复数的实部辨析，属于简单题.2．用反证法证明“若，则”时，应假设______．【答案】【解析】【分析】反证法假设命题的结论不成立，即反面成立。

【详解】假设命题的结论不成立，即反面成立，所以应假设，填。

【点睛】反证法的步骤：①假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立（反设）；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾（归谬）；③由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论成立（结论）．3．已知是虚数单位，则复数的模为______．【答案】【解析】【分析】先由复数除法化简复数，再求得复数模。

【详解】由题意可得，所以，填。

【点睛】本题主要考查复数的除法以及复数的模，属于简单题.4．用数学归纳法证明，则当时左端应在的基础上加上的项为_______．【答案】【解析】【分析】分n=k和n=k+1写出等式左边的项，对比可得增加的项。

【详解】当n=k时，左边是，当时左边是,所以增加的项为，填。

【点睛】运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．5．若则的值为_______．【答案】【解析】【分析】由排列数和组合数展开可解得n=6.【详解】由排列数和组合数可知，化简得，所以n=6,经检验符合，所以填6.【点睛】本题考查排列数组合数方程，一般用公式展开或用排列数组合公式化简，求得n,注意n 取正整数且有范围限制。

常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题 2018年1月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．若集合2{2,0,1},{|1}A B x x =-=>，则集合A B =I ▲ ．2．命题“2[0,1],10x x ∃∈-≥”是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）． 3．若复数z 满足22i 1(i )z z ⋅=+其中为虚数单位，则z = ▲ ． 4．若一组样本数据2015，2017，x ，2018，2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为 ▲ ．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ ． 6．函数1()ln f x x=的定义域记作集合D ．随机地投掷一枚质地均匀的 正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1,2,,6L ），记骰子 向上的点数为t ，则事件“t D ∈”的概率为 ▲ ．7．已知圆锥的高为6，体积为8．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为 ▲ ．8．各项均为正数的等比数列{}n a 中，若234234a a a a a a =++，则3a 的最小值为 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，设直线:10l x y ++=与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ▲ ．10．已知实数,x y 满足0,220,240,x y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥则x y +的取值范围是 ▲ ．11．已知函数()ln f x bx x =+，其中b ∈R ．若过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切，则k b -的值为 ▲ ．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数sin()(0,0π)y x ωϕωϕ=+><<的图象与x 轴的交点,,A B C 满足2OA OC OB +=，则ϕ= ▲ ．13．在ABC ∆中，3,7,5===BC AC AB ，P 为ABC ∆内一点（含边界），若满足)(41R ∈+=λλBC BA BP ，则BP BA ⋅的取值范围为 ▲ ． 14．已知ABC ∆中，3AB AC ==，ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知ABC ∆中，a b c ,, 分别为三个内角A B C ,, 的对边，3sin cos b C c B c =+． （1）求角B ； （2）若2b ac =，求11tan tan A C+的值． 16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PC ABCD ⊥平面，PB PD =，点Q 是棱PC 上异于P ，C 的一点． （1）求证：BD AC ⊥；（2）过点Q 和AD 的平面截四棱锥得到截面ADQF （点F 在棱PB 上），求证：QF BC ∥．已知小明（如图中AB 所示）身高1.8米，路灯OM 高3.6米，AB ，OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点A ，O ．点光源从M 发出，小明在地面上的影子记作AB'．（1）小明沿着圆心为O ，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB'扫过的图形面积； （2）若3=OA 米，小明从A 出发，以1米/秒的速度沿线段1AA 走到1A ，3π1=∠OAA ，且101=AA 米．t 秒时，小明在地面上的影子长度记为)(t f （单位：米），求)(t f 的表达式与最小值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a bya x C 的右焦点为F ，点A 是椭圆的左顶点，过原点的直线MN 与椭圆交于N M ,两点（M 在第三象限），与椭圆的右准线交于P 点．已知MN AM ⊥，且243OA OM b ⋅=u u u r u u u u r ．（1）求椭圆C 的离心率e ； （2）若103AMN POF S S a ∆∆+=，求椭圆C 的标准方程．（第17题）已知各项均为正数的无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1a a =（其中a 为常数），1(1)(1)n n nS n S n n +=+++*()n ∈N ．数列{}n b满足n b =(*)n ∈N ．（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若无穷等比数列{}n c 满足：对任意的*n ∈N ，数列{}n b 中总存在两个不同的项s b ，t b （*,s t ∈N ），使得s n t b c b ≤≤，求{}n c 的公比q ．20．（本小题满分16分） 已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a 为常数． （1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在(0)a -，上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =-，设函数()f x 在(01)，上的极值点为0x ，求证：0()2f x <-．常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题） 2018年1月21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲在ABC ∆中，N 是边AC 上一点，且2CN AN =，AB 与NBC ∆的外接圆相切，求BCBN的值． B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵421a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 不存在逆矩阵，求： （1）实数a 的值； （2）矩阵A 的特征向量． C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C 的参数方程为2cos 1,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线l 的极坐标方程为πsin()24ρθ+=，直线l与曲线C 交于M ，N 两点，求MN 的长． D ．选修4—5：不等式选讲 已知0,0a b >>，求证：3322a b ab a b++≥．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回．2． 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3． 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5． 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知正四棱锥ABCD P -的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）； 若这两条棱所在的直线平行，则0=ξ；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）． （1）求)0(=ξP 的值；（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望)(ξE ．23．（本小题满分10分）记11(1)()()2x x x n+⨯+⨯⨯+L （2n ≥且*n ∈N ）的展开式中含x 项的系数为n S ，含2x 项的系数为n T ． （1）求n S ； （2）若2nnT an bn c S =++，对2,3,4n =成立，求实数a b c ,,的值； （3）对（2）中的实数a b c ,,，用数学归纳法证明：对任意2n ≥且*n ∈N ，2n nT an bn cS =++都成立．常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．{2}- 2．真 3．1 4．2 5．7 6．567．38．3 9．(1,2)10．4[,8]3 11．1e 12．34π 13．525[,]84 14．523二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）由正弦定理得3sin sin cos sin sin B C B C C =+，ABC ∆中，sin 0C >，所以3sin cos 1B B -=，所以1sin()62B π-=，5666B πππ-<-<，66B ππ-=，所以3B π=； （2）因为2b ac =，由正弦定理得2sin sin sin B A C =，11cos cos cos sin sin cos sin()sin()sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin A C A C A C A C B BA C A C A C A C A C A Cπ++-+=+==== 所以，211sin 123tan tan sin sin 3B AC B B +====16．（1）证明：PC ABCD ⊥平面，BD ABCD ⊂平面，所以BD PC ⊥，记AC BD ，交于点O ，平行四边形对角线互相平分，则O 为BD 的中点，又PBD ∆中，PB PD =，所以BD OP ⊥， 又=PC OP P I ，PC OP PAC ⊂，平面，所以BD PAC ⊥平面，又AC PAC ⊂平面，所以BD AC ⊥；（2）四边形ABCD 是平行四边形，所以AD BC ∥，又AD PBC ⊄平面，BC PBC ⊂平面，所以AD PBC 平面∥，又AD ADQF ⊂平面，ADQF PBC QF =I 平面平面，所以AD QF ∥，又AD BC ∥，所以QF BC ∥． 17．解：（1）由题意AB OM ∥，' 1.81' 3.62AB AB OB OM ===，3OA =，所以'6OB =，小明在地面上的身影AB'扫过的图形是圆环，其面积为226327()πππ⨯-⨯=平方米；（2）经过t 秒，小明走到了0A 处，身影为00'A B ，由（1）知000'12A B AB OB OM ==，所以22000000()'2cos f t A B OA OA AA OA AA OAA ===+-⋅∠，化简得2()39,010f t t t t =-+<≤，2327()24f t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当32t =时，()f t 的最小值为33， 答：2()39,010f t t t t =-+<≤，当32t =（秒）时，()f t 的最小值为33（米）．18．解：（1）由题意22222221()()22x y a b a a x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，消去y 得22220c x ax b a ++=，解得2122ab x a x c =-=-，， 所以22(,0)M ab x a c =-∈-，22243M A ab OA OM x x a b c ⋅===u u u r u u u u r ，2234c a =，所以e ；（2）由（1）2(,)33M b --，右准线方程为x ， 直线MN的方程为y =，所以)P ，212POF P S OF y ∆=⋅=，222AMN AOM M S S OA y b ∆∆==⨯=，所以22103a =2203b =，所以b a == 椭圆C 的标准方程为12822=+y x ． 19．解：（1）方法一：因为1(1)(1)n n nS n S n n +=+++①， 所以21(1)(2)(1)(2)n n n S n S n n +++=++++②，由②-①得，211(1)(2)(1)2(1)n n n n n S nS n S n S n ++++-=+-+++， 即21(1)(22)(1)2(1)n n n n S n S n S n +++=+-+++，又10n +>， 则2122n n n S S S ++=-+，即212n n a a ++=+．在1(1)(1)n n nS n S n n +=+++中令1n =得，12122a a a +=+，即212a a =+． 综上，对任意*n ∈N ，都有12n n a a +-=， 故数列{}n a 是以2为公差的等差数列． 又1a a =，则22n a n a =-+．方法二：因为1(1)(1)n n nS n S n n +=+++，所以111n n S S n n +=++，又11S a a ==，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以a 为首项，1为公差的等差数列， 因此1nS n a n=-+，即2(1)n S n a n =+-． 当2n ≥时，122n n n a S S n a -=-=-+，又1a a =也符合上式， 故22n a n a =-+(*)n ∈N ，故对任意*n ∈N ，都有12n n a a +-=，即数列{}n a 是以2为公差的等差数列． （2）令12122n n n a e a n a +==+-+，则数列{}n e 是递减数列，所以211n e a<+≤．考察函数1y x x =+(1)x >，因为2221110x y x x -'=-=>，所以1y x x=+在(1,)+∞上递增． 因此1422(2)n n e e a a <+++≤，从而n b =．因为对任意的*n ∈N ，总存在数列{}n b 中的两个不同项s b ，t b ，使得s n t b c b ≤≤，所以对任意的*n ∈N都有n c ∈，明显0q >．若1q >，当1log q n +≥有111n n n c c q --=>不符合题意，舍去；若01q <<，当1log qn +≥111n n n c c q --=，不符合题意，舍去；故1q =． 20．解：（1）当0a =时，2ln ()xf x x =，定义域为(0)+∞，． 312ln ()xf x x -'=，令()0f x '=，得x =∴当x =()f x 的极大值为2e，无极小值． （2）312ln ()()ax x f x x a +-'=+，由题意()0f x '≥对(0)x a ∈-，恒成立． ∵(0)x a ∈-，，∴3()0x a +<， ∴12ln 0ax x+-≤对(0)x a ∈-，恒成立． ∴2ln a x x x -≤对(0)x a ∈-，恒成立．令()2ln g x x x x =-，(0)x a ∈-，， 则()2ln 1g x x '=+， ①若120ea -<-≤，即120ea ->≥-，则()2ln 10g x x '=+<对(0)x a ∈-，恒成立，∴()2ln g x x x x =-在(0)a -，上单调递减，则2()ln()()a a a a ---≤-，∴ln()a -0≤，∴1a -≤与12e a -≥-矛盾，舍去；②若12ea -->，即12ea -<-，令()2ln 10g x x '=+=，得12ex -=，当120e x -<<时，()2ln 10g x x '=+<，∴()2ln g x x x x =-单调递减，当12ex a -<<-时，()2ln 10g x x '=+>，∴()2ln g x x x x =-单调递增，∴当12ex -=时，1111122222min [()](e)2eln(e )e2eg x g -----==-=-g ，∴122e a --≤． 综上122ea --≤．（3）当1a =-时，2ln ()(1)x f x x =-，312ln ()(1)x x xf x x x --'=-． 令()12ln h x x x x =--，(01)x ∈，，则()12(ln 1)2ln 1h x x x '=-+=--，令()0h x '=，得12e x -=．①当12e1x -<≤时，()0h x '≤，∴()12ln h x x x x =--单调递减，12()(02e 1]h x -∈-，，∴312ln ()0(1)x x x f x x x --'=<-恒成立，∴2ln ()(1)x f x x =-单调递减，且12()(e )f x f -≤， ②当120ex -<≤时，()0h x '≥，∴()12ln h x x x x =--单调递增，其中1111()12ln()02222h =--⋅=>，又222225(e )e 12e ln(e )10eh ----=--⋅=-<， ∴存在唯一201(e ,)2x -∈，使得0()0h x =，∴0()0f x '=，当00x x <<时，()0f x '>，∴2ln ()(1)xf x x =-单调递增， 当120ex x -<≤时，()0f x '<，∴2ln ()(1)x f x x =-单调递减，且12()(e )f x f -≥， 由①和②可知，2ln ()(1)xf x x =-在0(0)x ，单调递增，在0(1)x ，上单调递减，∴当0x x =时，2ln ()(1)xf x x =-取极大值．∵0000()12ln 0h x x x x =--=，∴0001ln 2x x x -=， ∴00220000ln 11()112(1)(1)2()22x f x x x x x ===----， 又01(0)2x ∈，，∴201112()(0)222x --∈-，，∴0201()2112()22f x x =<---．常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲解：记NBC ∆外接圆为圆O ，AB 、AC 分别是圆O 的切线和割线，所以2AB AN AC =⋅， 又A A ∠=∠，所以ABN ∆与ACB ∆相似，所以BC AB ACBN AN AB==，所以 23BC AB AC AC BN AN AB AN ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，BC BN B ．选修4—2：矩阵与变换 （2）42=021λλ----，即(4)(1)40λλ---=，所以250λλ-=，解得120,5λλ== 10λ=时，42020x y x y --=⎧⎨--=⎩，2y x =-，属于10λ=的一个特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；25λ=时，20240x y x y -=⎧⎨-+=⎩，2x y =，属于10λ=的一个特征向量为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦．C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：曲线22:(1)4C x y -+=，直线:20l x y +-=，圆心(1,0)C 到直线l 的距离为d =MN ==D ．选修4—5：不等式选讲证明：0,0a b >>，不妨设0a b >≥，则5522a b ≥，1122a b ≥，由排序不等式得5151515122222222a ab b a b b a ++≥，所以51515151222222222222a ab b a b b aa b a b ++++≥【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到PAC ∆，PBD ∆为等腰直角三角形．ξ的可能取值为：ππ0,,32，共2828C =种情况，其中：0ξ=时，有2种；π3ξ=时，有34+24=20⨯⨯种；π2ξ=时，有2+4=6种； （1）141282)0(===ξP ； （2）7528164)3π(=+==ξP ，143286)2π(===ξP ．再根据（1）的结论，随机变量ξ的分布列如下表：根据上表，π8414273140)(=⨯+⨯+⨯=ξE ． 23．解：（1）1122!(1)!nn n S n n ++++==-L ． （2）222=3T S ，3311=6T S ，447=2T S ， 则2=42311=93671692a b c a b c a b c ⎧++⎪⎪⎪++⎨⎪⎪=++⎪⎩，，， 解得1114126a b c ==-=-，，． （3）①当2n =时，由（2）知等式成立；②假设*(N ,2)n k k k =∈且≥时，等式成立，即21114126k k T k k S =--； 当1n k =+时，由2111()(1)()()()21111[(1)()()]()2111()()!1k k f x x x x x k k x x x x k k S x T x x k k =+⨯+⨯⨯+⨯++=+⨯+⨯⨯+⨯++=+++++L L L知211111112[1()]1(1)!14126k k kk T S T k k k k k ++=+=+--+-+，所以2211111112[1()]32(35)(1)!14126(1)11212122!k k k k k T k k k k k k k k k S k k ++++----+-+==++=+++⎛⎫⎪⎝⎭，又2111(35)(1)(1)412612k k k k ++-+-=，等式也成立； 综上可得，对任意2n ≥且*n ∈N ，都有2nnT an bn c S =++成立．。