八年级数学期中精选试卷测试题(Word版 含解析)

2021-2022学年青岛新版八年级上册数学期中复习试卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列命题是真命题的个数为（）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②三角形的内角和是180°．③在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行．④相等的角是对顶角．⑤两点之间，线段最短．A．2B．3C．4D．53．如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD4．下列四个命题中，真命题有（）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2．③三角形的一个外角大于任何一个内角．④如果x2＞0，那么x＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB＝AC，AC＝AD，有四个结论：①AC⊥BD；②BC＝DC；③△ABC≌△ADC；④△ABD是等边三角形．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④7．若点P（2a﹣1，3）关于y轴对称的点为Q（3，b），则点M（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）8．如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH长为（）A．3B．4C．5D．6二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）9．如果点P在x轴下方，到x轴的距离是5，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为．10．如图，AB＝12cm，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4cm，P点从B向A运动，速度为1cm/s，Q点从B向D运动，速度为2cm/s，P、Q两点同时出发，运动秒后△CAP与△PQB全等．11．如果点P（x，y）的坐标满足x+y＝xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点”到x轴的距离为3，则P点的坐标为．12．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝8，AB的垂直平分线交BC于点D，那么△ADC的周长为．13．一个等腰三角形的一个外角等于130°，则这个等腰三角形的顶角度数是度．14．如图，将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开．如果∠1＝66°，那么∠2＝．三．解答题（共9小题，满分78分）15．（8分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（4，0），C（1，0）．（1）画出△ABC，直接写出△ABC的面积；（2）画格点D，连接AD，使直线AD平分△ABC的面积；（3）若∠CAE＝45°，直接写出满足条件的格点E的个数．16．（10分）如图，∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．在下列解答中，填空：证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知），∴AB∥DE（）．∴∠ABC＝∠BCD（）．∵∠P＝∠Q（已知），∴PB∥（）（）．∴∠PBC＝（）（两直线平行，内错角相等）．∵∠1＝∠ABC﹣（），∠2＝∠BCD﹣（），∴∠1＝∠2（等量代换）．17．（6分）（1）如图1，求作一点P，使P到两条直线的距离相等，且使PA＝PB；（保留作图痕迹）（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点M、N在边BC上，且AM＝AN，试判断BM和CN的大小关系，并说明理由．18．（10分）求证：三角形三个内角的和等于180°．19．（6分）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．20．（10分）已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，CD平分∠ACB，交AB于D，过B作BE⊥AC交AC于点E，交CD的于点F．（1）根据描述补全图形；（2）试判断△BDF的形状，并说明理由；（3）求证：．21．（8分）如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：（1）PC＝cm．（用t的代数式表示）（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D 运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．22．（10分）如图：已知△ABC中，AD⊥BC于D，AE为∠BAC的平分线，且∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数．23．（10分）如图，已知△ABC和△CDE均是直角三角形，∠ACB＝∠CED＝90°，AC＝CE，AB⊥CD于点F．（1）求证：△ABC≌△CDE；（2）若点B是EC的中点，DE＝10cm，求AE的长．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．2．解：①两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题．②三角形的内角和是180°，是真命题．③在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题．④相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题．⑤两点之间，线段最短，是真命题；故选：B．3．解：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC＝EF，又∵∠B＝∠E，∴当添加条件AB＝DE时，△ABC≌△DEF（SAS），故选项A不符合题意；当添加条件∠A＝∠D时，△ABC≌△DEF（AAS），故选项B不符合题意；当添加条件AC＝DF时，无法判断△ABC≌△DEF，故选项C符合题意；当添加条件AC∥FD时，则∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF（ASA），故选项D不符合题意；故选：C．4．解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2，所以②正确；三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，所以③错误；如果x2＞0，那么x≠0，所以④错误．故选：A．5．解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、添加AB＝DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选：D．6．解：∵AB＝AD，AC平分∠DAB，∴AC⊥BD，∴BE＝DE，∴AC是DB的垂直平分线，∴BC＝DC∵∴△ABC≌△ADC（SSS），∵AD＝BD，∠DAB≠60°∴△ABD是正三角形不一定成立的，所以④错误．故①②③正确，故选：A．7．解：∵点P（2a﹣1，3）关于y轴对称的点为Q（3，b），∴2a﹣1＝﹣3，b＝3，解得：a＝﹣1，故M（﹣1，3），关于x轴对称的点的坐标为：（﹣1，﹣3）．故选：C．8．解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM，∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90°，∵∠RHM＝∠QHN，∴∠PMH＝∠HNQ，在△MQP和△NQH中，，∴△MQP≌△NQH（ASA），∴PQ＝QH＝5，∵NQ＝MQ＝9，∴MH＝MQ﹣HQ＝9﹣5＝4，故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）9．解：因为点P在x轴下方，到x轴的距离是5，所以点P的纵坐标是﹣5；因为点P到y轴的距离是2，所以点P的横坐标是2或﹣2，所以点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣2，﹣5）．故答案为：（2，﹣5）或（﹣2，﹣5）．10．解：当△CPA≌△PQB时，BP＝AC＝4（cm），则BQ＝AP＝AB﹣BP＝12﹣4＝8（cm），A的运动时间是：4÷1＝4（秒），Q的运动时间是：8÷2＝4（秒），则当t＝4秒时，两个三角形全等；当△CPA≌△PQB时，BQ＝AC＝4（cm），AP＝BP＝AB＝6（cm），则P运动的时间是：6÷1＝6（秒），Q运动的时间是：4÷2＝2（秒），故不能成立．综上所述，运动4秒后，△CPA与△PQB全等．故答案为：4．11．解：∵某个“和谐点”到x轴的距离为3，∴y＝±3，∵x+y＝xy，∴x±3＝±3x，解得：x＝或x＝．则P点的坐标为：（，3）或（，﹣3）．故答案为：（，3）或（，﹣3）．12．解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴DA＝DB，∵△ADC的周长＝DA+DC+AC，∴△ADC的周长＝DB+DC+AC＝BC+AC，而AC＝5，BC＝8，∴△ADC的周长＝8+5＝13．故答案为13．13．解：①当130°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣130°＝50°，∴顶角度数是180°﹣50°﹣50°＝80°，②当130°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣130°＝50°，∴顶角为50°或80°．故答案为：50°或80°．14．解：由折叠的性质可知，∠1＝∠3，∵∠1＝66°，∴∠3＝66°，∵长方形的两条长边平行，∴∠2+∠1+∠3＝180°，∴∠2＝48°，故答案为：48°．三．解答题（共9小题，满分78分）15．解：（1）如图，△ABC即为所求；△ABC的面积＝3×3＝4.5；（2）点D即为所求；（3）如图，∠CAE＝45°，满足条件的格点E是6个．16．证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知），∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）．∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）．∵∠P＝∠Q（已知），∴PB∥（CQ）（内错角相等，两直线平行）．∴∠PBC＝（∠BCQ）（两直线平行，内错角相等）．∵∠1＝∠ABC﹣（∠PBC），∠2＝∠BCD﹣（∠BCQ），∴∠1＝∠2（等量代换）．故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；CQ，内错角相等，两直线平行；∠BCQ；∠PBC；∠BCQ．17．解：①②BM＝CN．过点A作AP⊥BC于P，∵AB＝AC，AP⊥BC，∴BP＝CP，又∵AM＝AN，AP⊥MN，∴PM＝PN，∴BP﹣MP＝CP﹣NP．即BM＝CN．18．已知：△ABC，如图：求证：∠A+∠B+∠C＝180°证明：过点A作直线MN∥BC，∵MN∥BC，∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C（两直线平行，同位角相等），∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°（平角的定义），∴∠B+∠BAC+∠C＝180°（等量代换），即：三角形三个内角的和等于180°．19．解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC，∴∠C＝∠CAE，∵∠BAE＝40°，∴∠AED＝70°，∴∠C＝∠AED＝35°；（2）∵△ABC周长13cm，AC＝6cm，∴AB+BE+EC＝7cm，即2DE+2EC＝7cm，∴DE+EC＝DC＝3.5cm．20．解：（1）如图所示，（2）△BDF为等腰三角形，理由如下：∵∠ABC＝90°，AB＝BC，BE⊥AC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠A＝∠BCA＝45°，∵CD平分∠BCA，∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，∴∠BFE＝∠BDC＝67.5，∴BD＝BF，∴△BDF为等腰三角形；（3）如图1，延长CB到H使BH＝BF，∵∠ABE＝∠CBE＝∠A＝∠BCA＝45°，∴BE＝EC＝EA＝，∵∠ABC＝90°，∴∠HBD＝90°，∵BD＝BF，∴BD＝BH，∴∠H＝∠BDH＝45°，在△ACD和△HCD中，，∴△ACD≌△HCD（AAS），∴AC＝CH，∴BE＝．21．解：（1）点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，点P的运动时间为t 秒时，BP＝2t，则PC＝（10﹣2t）cm；故答案为：（10﹣2t）；（2）当△ABP≌△DCP时，则BP＝CP＝5，故2t＝5，解得：t＝2.5；（3）①如图1，当△ABP≌△QCP，则BA＝CQ，PB＝PC，∵PB＝PC，∴BP＝PC＝BC＝5，2t＝5，解得：t＝2.5，BA＝CQ＝6，解得：v＝2.4（cm/秒）．②如图2，当△ABP≌△PCQ，则BP＝CQ，AB＝PC．∵AB＝6，∴PC＝6，∴BP＝10﹣6＝4，2t＝4，解得：t＝2，CQ＝BP＝4，v×2＝4，解得：v＝2；综上所述：当v＝2.4cm/秒或2cm/秒时△ABP与△PQC全等．22．解：∵∠B＝35°，∠C＝65°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣65°＝80°．∵AE为∠BAC的平分线，∴∠EAC＝∠BAC＝×80°＝40°．∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，在△ADC中，∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣65°＝25°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝40°﹣25°＝15°．23．（1）证明：∵AB⊥CD，∴∠FAC+∠ACF＝90°，∵∠ACE＝90°，∴∠DCB+∠ACF＝90°，∴∠FAC＝∠DCB，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（ASA）；（2）解：∵△ABC≌△CDE，∴DE＝BC＝10cm，∵点B是EC的中点，∴EC＝2BC＝20cm，∴AC＝EC＝20cm，在Rt△AEC中，根据勾股定理，得AE＝＝20（cm）．。

2020-2021学年天津市和平区八年级（下）期中数学试卷一．选择题（共12小题）1．在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3B．x＞3C．x≤3D．x＜32．计算：+＝（）A．8B．C．8a D．153．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6B．1，1，C．6，8，11D．5，12，234．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（）A．∠B＝∠BCF B．∠B＝∠F C．AC＝CF D．AD＝CF5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为（）A．4B．3C．2D．16．如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离是（）A．200m B．20m C．40m D．50m7．已知菱形ABCD，AC＝6，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于（）A．20B．25C．20D．15308．利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，使OA＝5，过点A作直线l垂直于OA，在1上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，以OB长为半径作弧，弧与数轴的交点为C，那么点C表示的无理数是（）A．B．C．7D．299．下列二次根式的运算正确的是（）A．＝﹣5B．C．D．10．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝5，BD＝4，DC＝2，则AC等于（）A．13B．C．D．511．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（）A．10B．12C．16D．1812．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP 的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.5二．填空题（共6小题）13．直角三角形的两个直角边分别为3和5，这个直角三角形的斜边长为．14．计算（﹣2）×（+2）的结果是．15．依次连接矩形中点得到的四边形一定是．16．如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于．17．如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是．18．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB＝6，M，N是直线BC上的动点，且MN＝2，则OM+ON的最小值是．三．解答题（共5小题）19．计算：（﹣）÷+．20．如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝13，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合，求CE的长．21．如图，BE是△ABC的中线，BD∥AC，且BD＝AC，连接AD、DE．（1）求证：BC＝DE；（2）当∠ABC＝90°时，判断四边形ADBE的形状，并说明理由．22．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．23．如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴的正半轴上，B（8，6），点D是射线AO上的一点，把△BAD沿直线BD折叠，点A的对应点为A′．（Ⅰ）若点A′落在矩形的对角线OB上时，OA′的长＝；（Ⅱ）若点A′落在边AB的垂直平分线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）若点A′落在边AO的垂直平分线上时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．2020-2021学年天津市和平区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3B．x＞3C．x≤3D．x＜3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，就可以求解．【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：3﹣x≥0解得：x≤3．故选：C．2．计算：+＝（）A．8B．C．8a D．15【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．【解答】解：原式＝3+5＝8．故选：A．3．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6B．1，1，C．6，8，11D．5，12，23【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2＝c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；B、∵12+12＝，∴能构成直角三角形，故B正确；C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．故选：B．4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（）A．∠B＝∠BCF B．∠B＝∠F C．AC＝CF D．AD＝CF【分析】利用三角形中位线定理得到DE∥AC，DE＝AC，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC，A、∵∠B＝∠BCF，∴CF∥AB，即CF∥AD，∴四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；B、根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；C、根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；D、根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；故选：A．5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为（）A．4B．3C．2D．1【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分，已知OA＝2，则AC＝2OA＝4，又BD＝AC，故可求．【解答】解：∵ABCD是矩形∴OC＝OA，BD＝AC又∵OA＝2，∴AC＝OA+OC＝2OA＝4∴BD＝AC＝4故选：A．6．如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离是（）A．200m B．20m C．40m D．50m【分析】在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可．【解答】解：∵CB＝60m，AC＝20m，AC⊥AB，∴AB＝＝40（m）．故选：C．7．已知菱形ABCD，AC＝6，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于（）A．20B．25C．20D．1530【分析】先利用菱形的面积公式计算出BD＝8，然后根据菱形的性质和勾股定理可计算出菱形的边长＝10，从而得到菱形的周长．【解答】解：∵菱形ABCD的面积是24，即×AC×BD＝24，∴BD＝＝8，∴菱形的边长＝＝5，∴菱形ABCD的周长＝4×5＝20．故选：A．8．利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，使OA＝5，过点A作直线l垂直于OA，在1上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，以OB长为半径作弧，弧与数轴的交点为C，那么点C表示的无理数是（）A．B．C．7D．29【分析】利用勾股定理列式求出OB判断即可．【解答】解：由勾股定理得，OB＝＝，∴点C表示的无理数是．故选：B．9．下列二次根式的运算正确的是（）A．＝﹣5B．C．D．【分析】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．【解答】解：A、原式＝5，所以A选项错误；B、原式＝＝，所以B选项正确；C、原式＝4，所以C选项错误；D、原式＝10×3＝30，所以D选项错误．故选：B．10．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝5，BD＝4，DC＝2，则AC等于（）A．13B．C．D．5【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理可求得AD，则在Rt△ACD中，由勾股定理可求得AC．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，由勾股定理可得AD＝＝＝3，在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC＝＝＝，故选：B．11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（）A．10B．12C．16D．18【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解．【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∵MP＝AE＝2∴S△DFP＝S△PBE＝×2×6＝6，∴S阴＝6+6＝12，故选：B．12．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP 的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.5【分析】先由勾股定理求出AB＝5，再证四边形CEMF是矩形，得EF＝CM，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出CM＝2.4，即可得出答案．【解答】解：连接CM，如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF＝CM，∵点P是EF的中点，∴CP＝EF，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，∴CM＝＝＝2.4，∴CP＝EF＝CM＝1.2，故选：A．二．填空题（共6小题）13．直角三角形的两个直角边分别为3和5，这个直角三角形的斜边长为．【分析】直接利用勾股定理计算即可．【解答】解：∵直角三角形的两个直角边分别为3和5，∴这个直角三角形的斜边长为＝．故答案为．14．计算（﹣2）×（+2）的结果是﹣1．【分析】利用平方差公式计算．【解答】解：原式＝（）2﹣22＝3﹣4＝﹣1．故答案为﹣1．15．依次连接矩形中点得到的四边形一定是菱形．【分析】连接矩形对角线．利用矩形对角线相等、三角形中位线定理证得四边形EFGH 是平行四边形，且EF＝FH＝HG＝EG；然后由四条边相等的平行四边形是菱形推知四边形EFGH是菱形．【解答】解：如图E、F、G、H是矩形ABCD各边的中点．连接AC、BD．∵AC＝BD（矩形的对角线相等），EF AC，HG AC，∴EF∥HG，且EF＝HG＝AC；同理HE∥GF，且HE＝GF＝BD，∴四边形EFGH是平行四边形，且EF＝FH＝HG＝EG，∴四边形EFGH是菱形．故答案是：菱形．16．如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于6cm．【分析】由菱形ABCD的周长为48cm，根据菱形的性质，可求得AD的长，AC⊥BD，又由E是AD的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得线段OE 的长．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为48cm，∴AD＝12cm，AC⊥BD，∵E是AD的中点，∴OE＝AD＝6（cm）．故答案是：6cm．17．如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是3．【分析】分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH 中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可．【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点H．∵∠A＝∠FPB＝60°，∴AH∥PF，∵∠B＝∠EP A＝60°，∴BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵G为EF的中点，∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．∵CD＝10﹣2﹣2＝6，∴MN＝3，即G的移动路径长为3．18．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB＝6，M，N是直线BC上的动点，且MN＝2，则OM+ON的最小值是2．【分析】利用轴对称变换以及平移变换，作辅助线构造平行四边形，依据平行四边形的性质以及轴对称的性质，可得当O，N，Q在同一直线上时，OM+ON的最小值等于OQ 长，利用勾股定理进行计算，即可得到OQ的长，进而得出OM+ON的最小值．【解答】解：如图所示，作点O关于BC的对称点P，连接PM，将MP沿着MN的方向平移MN长的距离，得到NQ，连接PQ，则四边形MNQP是平行四边形，∴MN＝PQ＝2，PM＝NQ＝MO，∴OM+ON＝QN+ON，当O，N，Q在同一直线上时，OM+ON的最小值等于OQ长，连接PO，交BC于E，由轴对称的性质，可得BC垂直平分OP，又∵矩形ABCD中，OB＝OC，∴E是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝AB＝3，∴OP＝2×3＝6，又∵PQ∥MN，∴PQ⊥OP，∴Rt△OPQ中，OQ＝＝＝2，∴OM+ON的最小值是2，故答案为：2．三．解答题（共5小题）19．计算：（﹣）÷+．【分析】先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可．【解答】解：原式＝﹣+＝2﹣+＝．20．如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝13，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合，求CE的长．【分析】结合已知条件可知AC＝4，利用三角形面积推出S△ABC＝S△BCE+S△BDE，即可推出CE的长度．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝13，∴AC＝12，根据将其三角形纸片ABC对折后点A落在BC的延长线上，则AB＝BD＝13，∵S△ABC＝S△BCE+S△BDE，∴×5×12＝BC×EC+EC×BD，∴30＝×EC（5+13），∴CE＝．21．如图，BE是△ABC的中线，BD∥AC，且BD＝AC，连接AD、DE．（1）求证：BC＝DE；（2）当∠ABC＝90°时，判断四边形ADBE的形状，并说明理由．【分析】（1）首先判定四边形DBCE是平行四边形，然后即可证得BC＝DE；（2）首先证得四边形ADBE是平行四边形，然后利用对角线互相垂直的平行四边形是平行四边形判定菱形即可．【解答】解：（1）证明：∵BE是△ABC的中线，∴EC＝AC，∵BD＝AC，∴BD＝CE，∵BD∥AC，∴四边形DBCE是平行四边形，∴BC＝DE；（2）四边形ADBE是菱形，理由如下：∵BE是△ABC的中线，∴EA＝AC，∵BD＝AC，∴BD＝AE，∵BD∥AC，∴四边形ADBE是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥DE，∴四边形ADBE是菱形．22．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．【分析】（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE＝∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；（2）分①BC＝BD时，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；②BC＝CD时，过点C作CG⊥AF于G，判断出四边形AGCB是矩形，再根据矩形的对边相等可得AG＝BC＝3，然后求出DG＝2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；③BD＝CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC＝2AD＝2，矛盾．【解答】（1）证明：∵∠A＝∠ABC＝90°，∴BC∥AD，∴∠CBE＝∠DFE，在△BEC与△FED中，，∴△BEC≌△FED，∴BE＝FE，又∵E是边CD的中点，∴CE＝DE，∴四边形BDFC是平行四边形；（2）①BC＝BD＝3时，由勾股定理得，AB＝＝＝2，所以，四边形BDFC的面积＝3×2＝6；②BC＝CD＝3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，所以，AG＝BC＝3，所以，DG＝AG﹣AD＝3﹣1＝2，由勾股定理得，CG＝＝＝，所以，四边形BDFC的面积＝3×＝3；③BD＝CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC＝2AD＝2，矛盾，此时不成立；综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．23．如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴的正半轴上，B（8，6），点D是射线AO上的一点，把△BAD沿直线BD折叠，点A的对应点为A′．（Ⅰ）若点A′落在矩形的对角线OB上时，OA′的长＝4；（Ⅱ）若点A′落在边AB的垂直平分线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）若点A′落在边AO的垂直平分线上时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）由点B的坐标知OA＝8、AB＝6、OB＝10，根据折叠性质可得BA＝BA′＝6，据此可得答案；（Ⅱ）连接AA′，利用折叠的性质和中垂线的性质证△BAA′是等边三角形，可得∠A′BD＝∠ABD＝30°，据此知AD＝AB tan∠ABD＝2，继而可得答案；（Ⅲ）分点D在OA上和点D在AO延长线上这两种情况，利用相似三角形的判定和性质分别求解可得．【解答】解：（Ⅰ）如图1，由题意知OA＝8、AB＝6，∴OB＝10，由折叠知，BA＝BA′＝6，∴OA′＝4，故答案为：4；（Ⅱ）如图2，连接AA′，∵点A′落在线段AB的中垂线上，∴BA＝AA′，∵△BDA′是由△BDA折叠得到的，∴△BDA′≌△BDA，∴∠A′BD＝∠ABD，A′B＝AB，∴AB＝A′B＝AA′，∴△BAA′是等边三角形，∴∠A′BA＝60°，∴∠A′BD＝∠ABD＝30°，∴AD＝AB tan∠ABD＝6tan30°＝2，∴OD＝OA﹣AD＝8﹣2，∴点D（8﹣2，0）．（Ⅲ）①如图3，当点D在OA上时，由旋转知△BDA′≌△BDA，∴BA＝BA′＝6，∠BAD＝∠BA′D＝90°，∵点A′在线段OA的中垂线上，∴BM＝AN＝OA＝4，∴A′M＝＝＝2，∴A′N＝MN﹣A′M＝AB﹣A′M＝6﹣2，由∠BMA′＝∠A′ND＝∠BA′D＝90°知△BMA′∽△A′ND，则＝，即＝，解得：DN＝3﹣5，则OD＝ON+DN＝4+3﹣5＝3﹣1，∴D（3﹣1，0）；②如图4，当点D在AO延长线上时，过点A′作x轴的平行线交y轴于点M，延长AB 交所作直线于点N，则BN＝CM，MN＝BC＝OA＝8，由旋转知△BDA′≌△BDA，∴BA＝BA′＝6，∠BAD＝∠BA′D＝90°，∵点A′在线段OA的中垂线上，∴A′M＝A′N＝MN＝4，则MC＝BN＝＝2，∴MO＝MC+OC＝2+6，由∠EMA′＝∠A′NB＝∠BA′D＝90°知△EMA′∽△A′NB，则＝，即＝，解得：ME＝，则OE＝MO﹣ME＝6+，∵∠DOE＝∠A′ME＝90°、∠OED＝∠MEA′，∴△DOE∽△A′ME，∴＝，即＝，解得：DO＝3+1，则点D的坐标为（﹣3﹣1，0），综上，点D的坐标为（3﹣1，0）或（﹣3﹣1，0）．。

八年级数学上册期中精选试卷检测题（WORD版含答案）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB ，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3 cm/s的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=1（s），△ACP与△BPQ 是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，其他条件不变．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△ACP与△BPQ全等.（3）在图2的基础上延长AC，BD交于点E，使C，D分别是AE，BE中点，若点Q以（2）中的运动速度从点B出发，点P以原来速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABE三边运动，求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由见解析；线段PC与线段PQ垂直（2）1或32（3）9s 【解析】【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．（3）因为V Q＜V P，只能是点P追上点Q，即点P比点Q多走PB+BQ的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．【详解】（1）当t=1时，AP=BQ=3，BP=AC=9，又∵∠A=∠B=90°，在△ACP与△BPQ中，AP BQA BAC BP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，∠CPQ=90°，则线段PC与线段PQ垂直.（2）设点Q 的运动速度x,①若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BP ，AP=BQ ，912t t xt =-⎧⎨=⎩， 解得31t x =⎧⎨=⎩， ②若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BQ ，AP=BP ，912xt t t =⎧⎨=-⎩解得632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩， 综上所述，存在31t x =⎧⎨=⎩或632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. （3）因为V Q ＜V P ，只能是点P 追上点Q ，即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程，设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，∵AC=BD=9cm ，C ，D 分别是AE ，BD 的中点；∴EB=EA=18cm.当V Q =1时，依题意得3x=x+2×9，解得x=9；当V Q =32时， 依题意得3x=32x+2×9， 解得x=12.故经过9秒或12秒时P 与Q 第一次相遇.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.2．已知4AB cm =，3AC BD cm ==.点P 在AB 上以1/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在BD 上由点B 向点D 运动，它们运动的时间为()t s ．（1）如图①，AC AB ⊥，BD AB ⊥，若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当1t =时，ACP △与BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；（2）如图②，将图①中的“AC AB ⊥，BD AB ⊥”为改“60CAB DBA ∠=∠=︒”，其他条件不变．设点Q的运动速度为/xcm s，是否存在实数x，使得ACP△与BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）全等，PC与PQ垂直；（2）存在，11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．【详解】解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，又∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，AP BQA BAC BP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．∴∠CPQ=90°，即线段PC与线段PQ垂直．（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，34tt xt=-⎧⎨=⎩，解得11tx=⎧⎨=⎩，②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，34xtt t=⎧⎨=-⎩，解得232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩，综上所述，存在11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP与△BPQ全等．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用．3．如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5 cm， BC=12 cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？．（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()122t-；（2）3t=；（3）存在，2v=或53v=【解析】【分析】（1）根据P点的运动速度可得BP的长，再利用BC的长减去BP的长即可得到PC的长；（2）先根据三角形全等的条件得出当BP=CP，列方程求解即得；（3）先分两种情况：当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ；或当BA=CQ，PB=PC 时，△ABP≌△QCP，然后分别列方程计算出t的值，进而计算出v的值．【详解】解：（1）当点P以2cm/s的速度沿BC向点C运动时间为ts时2BP tcm=∵12BC cm=∴()122PC BC BP t cm=-=-故答案为：()122t-（2）∵ABP DCP∆≅∆∴BP CP=∴2122t t =-解得3t =．（3）存在，理由如下：①当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ，∴PC=AB=5∴BP=BC-PC=12-5=7∵2BP tcm =∴2t=7解得t=3.5∴CQ=BP=7，则3.5v=7解得2v =．②当BA CQ =，PB PC =时，ABP QCP ∆≅∆∵12BC cm = ∴162BP CP BC cm === ∵2BP tcm =∴26t = 解得3t =∴3CQ vcm =∵5AB CQ cm ==∴35v = 解得53v =． 综上所述，当2v =或53v =时，ABP ∆与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质，解题关键是将动态情况化为某一状态情况，并以这一状态为等量关系建立方程求解．4．如图1，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D 是BC 边的中点连接AD ，则易证AD ＝BD ＝CD ，即AD ＝12BC ；如图2，若将题中AB ＝AC 这个条件删去，此时AD 仍然等于12BC ． 理由如下：延长AD 到H ，使得AH ＝2AD ，连接CH ，先证得△ABD ≌△CHD ，此时若能证得△ABC ≌△CHA ，即可证得AH ＝BC ，此时AD ＝12BC ，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法．（1）请你先证明△ABC≌△CHA，并用一句话总结题中的结论；（2）现将图1中△ABC折叠（如图3），点A与点D重合，折痕为EF，此时不难看出△BDE和△CDF都是等腰直角三角形．BE＝DE，CF＝DF．由勾股定理可知DE2+DF2＝EF2，因此BE2+CF2＝EF2，若图2中△ABC也进行这样的折叠（如图4），此时线段BE、CF、EF还有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例．（3）在（2）的条件下，将图3中的△DEF绕着点D旋转（如图5），射线DE、DF分别交AB、AC于点E、F，此时（2）中结论还成立吗？请说明理由．图4中的△DEF也这样旋转（如图6），直接写出上面的关系式是否成立．【答案】（1）详见解析；（2）有这样分关系式；（3）EF2＝BE2+CF2.【解析】【分析】（1）想办法证明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可．（2）有这样分关系式．如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．证明△EDB≌△HD （SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．【详解】（1）证明：如图2中，∵BD＝DC，∠ADB＝∠HDC，AD＝HD，∴△ADB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，AB＝CH，∴AB∥CH，∴∠BAC+∠ACH＝180°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACH＝∠BAC＝90°，∵AC＝CA，∴△BAC≌△HCA（SAS），∴AH＝BC，∴AD＝DH＝BD＝DC，∴AD＝12 BC．结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（2）解：有这样分关系式．理由：如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．∵ED＝DH，∠EDB＝∠HDC，DB＝DC，∴△EDB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，BE＝CH，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠HCD＝90°，∴∠FCH＝90°，∴FH2＝CF2+CH2，∵DF⊥EH，ED＝DH，∴EF＝FH，∴EF2＝BE2+CF2．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．结论：EF2＝BE2+CF2．证明方法类似（2）．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．5．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m 上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，求证:△DEF 是等边三角形．【答案】(1)见解析；（2）成立，理由见解析；(3)见解析【解析】 【分析】（1）因为DE=DA+AE ，故通过证BDA AEC ≅△△，得出DA=EC ，AE=BD ，从而证得DE=BD+CE.（2）成立，仍然通过证明BDA AEC ≅△△，得出BD=AE ，AD=CE ，所以DE=DA+AE=EC+BD.（3）由BDA AEC ≅△△得BD=AE ，=BDA AEC ∠∠，ABF 与ACF 均等边三角形，得==60BA AC ︒∠F ∠F ，FB=FA ，所以=BA BA AC AC ∠F ＋∠D ∠F ＋∠E ，即FBD FAB ≅∠∠，所以BDF AEF ≅△△，所以FD=FE ，BFD AFE ≅∠∠，再根据=60BFD FA BFA =︒∠＋∠D ∠，得=60AF FA =︒∠E ＋∠D ，即=60FE =︒∠D ，故DFE △是等边三角形.【详解】证明：(1)∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m∴∠BDA ＝∠CEA=90°，∵∠BAC ＝90°∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD ，又AB=AC ，∴△ADB ≌△CEA∴AE=BD ，AD=CE ，∴DE=AE+AD= BD+CE(2)∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—α∴∠DBA=∠CAE ，∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC∴△ADB ≌△CEA ，∴AE=BD ，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE（3）由（2）知，△ADB ≌△CEA ， BD=AE ，∠DBA =∠CAE∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ，∴∠DBF=∠FAE∵BF=AF ，∴△DBF ≌△EAF∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°∴△DEF 为等边三角形.【点睛】利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）6．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．（1）求边AD的长；（2）如图，当点P在梯形ABCD内部时，求关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x＜103)；（2）1769或32【解析】【分析】（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC可得到HC的长度，从而得出HB的长，进而得出AD的长；（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ、PR的长，然后利用EB=PQ+PR得去x、y的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；（3）存在2种情况，一种是点P在梯形内，一种是在梯形外，分别根y的值求出x的值，然后根据梯形面积求解即可．【详解】（1）如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点H∵∠C=45°，DH⊥BC∴△DHC是等腰直角三角形∵四边形ABCD是梯形，∠B=90°∴四边形ABHD是矩形，∴DH=AB=8∴HC=8∴BH=BC－HC=6∴AD=6（2）如下图，过点P作EF的垂线，交EF于点Q，反向延长交BC于点R，DH与EF交于点G∵EF ∥AD,∴EF ∥BC∴∠EFP=∠C=45°∵EP ⊥PF∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形∵AE=x∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162x + 同理，PR=12y ∵AB=8，∴EB=8－x∵EB=QR∴8－x=()11622x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1∴1≤x ＜103（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=83=AE ∴188176662339ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：与（2）相同，可得y=3x －10则当y=2时，x=4，即AE=4∴()16644322ABCD S =⨯++⨯=梯形 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．7．（1）已知△ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知△ABC 中，∠C 是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC 与∠C 之间的关系．【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC 与∠C 之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C 或∠ABC＝3∠C 或∠ABC＝180°－3∠C 或∠ABC＝90°，∠C 是小于45°的任意锐角．【解析】试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．试题解析：(1)如图①②(共有2种不同的分割法)．(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.在△DBC中，①若∠C是顶角，如图，则∠CBD＝∠CDB＝90°－12x，∠A＝180°－x－y.故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋12x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°－x－y＝y－1902x⎛⎫-⎪⎝⎭，∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－34∠C.②若∠C是底角，第一种情况：如图，当DB＝DC时，∠DB C＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.若AB ＝AD ，则2x ＝y －x ，此时有y ＝3x ，∴∠ABC ＝3∠C.若AB ＝BD ，则180°－x －y ＝2x ，此时有3x ＋y ＝180°，∴∠ABC ＝180°－3∠C. 若AD ＝BD ，则180°－x －y ＝y －x ，此时有y ＝90°，即∠ABC＝90°，∠C 为小于45°的任意锐角．第二种情况：如图，当BD ＝BC 时，∠BDC ＝x ，∠ADB ＝180°－x ＞90°，此时只能有AD ＝BD ，∴∠A ＝∠ABD ＝12∠BDC ＝12∠C ＜∠C ，这与题设∠C 是最小角矛盾． ∴当∠C 是底角时，BD ＝BC 不成立．综上所述，∠ABC 与∠C 之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C 或∠ABC＝3∠C 或∠ABC＝180°－3∠C 或∠ABC＝90°，∠C 是小于45°的任意锐角．点睛：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．8．如图所示，已知ABC ∆中，10AB AC BC ===厘米，M 、N 分别从点A 、点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度是1厘米/秒的速度，点N 的速度是2厘米/秒，当点N 第一次到达B 点时，M 、N 同时停止运动.（1）M 、N 同时运动几秒后，M 、N 两点重合？（2）M 、N 同时运动几秒后，可得等边三角形AMN ∆？（3）M 、N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰AMN ∆，如果存在，请求出此时M 、N 运动的时间？【答案】（1）10；（2）点M 、N 运动103秒后，可得到等边三角形AMN ∆；（3）当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰AMN ∆，此时M 、N 运动的时间为403秒． 【解析】【分析】（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,1102x x ⨯+=；（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ∆，如图①，1AM t t =⨯=,102AN AB BN t =-=-根据等边三角形性质得102t t =-；（3）如图②，假设AMN ∆是等腰三角形，根据等腰三角形性质证ACB ∆是等边三角形，再证ACM ∆≌ABN ∆（AAS ），得CM BN =，设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、N 运动的时间y 秒时，AMN ∆是等腰三角形，故10CM y =-，302NB y =-，由CM NB =，得10302y y -=-；【详解】解：（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,1102x x ⨯+=解得：10x =（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ∆，如图①1AM t t =⨯=,102AN AB BN t =-=-∵三角形AMN ∆是等边三角形∴102t t =-解得103t = ∴点M 、N 运动103秒后，可得到等边三角形AMN ∆. （3）当点M 、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形，由（1）知10秒时M 、N 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设AMN ∆是等腰三角形，∴AN AM =，∴AMN ANM ∠=∠，∴AMC ANB∠=∠，∵AB BC AC==，∴ACB∆是等边三角形，∴C B∠=∠，在ACM∆和ABN∆中，∵AC ABC BAMC ANB=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴ACM∆≌ABN∆（AAS），∴CM BN=，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，AMN∆是等腰三角形，∴10CM y=-，302NB y=-，CM NB=，10302y y-=-解得：403y=，故假设成立.∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰AMN∆，此时M、N 运动的时间为403秒．【点睛】考核知识点：等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质.理解等腰三角形的判定和性质,把问题转化为方程问题是关键.9．已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别是直线AB，BC上的动点．（1）如图1，当点P从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时从顶点B沿BC向C点运动，它们的速度都为lcm/s，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．①当t＝2时，求∠AQP的度数．②当t为何值时△PBQ是直角三角形？（2）如图2，当点P在BA的延长线上，Q在BC上，若PQ＝PC，请判断AP，CQ和AC之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①∠AQP＝30°；②当t＝43秒或t＝83秒时，△PBQ为直角三角形；（2）AC＝AP+CQ，理由见解析.【解析】【分析】（1）①由△ABC是等边三角形知AQ⊥BC，∠B＝60°，从而得∠AQB＝90°，△BPQ是等边三角形，据此知∠BQP＝60°，继而得出答案；②由题意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，再分∠PQB＝90°和∠BPQ＝90°两种情况分别求解可得．（2）过点Q作QF∥AC，交AB于F，知△BQF是等边三角形，证∠QFP＝∠PAC＝120°、∠BPQ＝∠ACP，从而利用AAS可证△PQF≌△CPA，得AP＝QF，据此知AP＝BQ，根据BQ+CQ＝BC＝AC可得答案．【详解】解:（1）①根据题意得AP＝PB＝BQ＝CQ＝2，∵△ABC是等边三角形，∴AQ⊥BC，∠B＝60°，∴∠AQB＝90°，△BPQ是等边三角形，∴∠BQP＝60°，∴∠AQP＝∠AQB﹣∠BQP＝90°﹣60°＝30°；②由题意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得：4﹣t＝2t，解得t＝43；当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），解得t＝83；∴当t＝43秒或t＝83秒时，△PBQ为直角三角形；（2）AC＝AP+CQ，理由如下：如图所示，过点Q作QF∥AC，交AB于F，则△BQF 是等边三角形，∴BQ ＝QF ，∠BQF ＝∠BFQ ＝60°，∵△ABC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，∠BAC ＝∠BFQ ＝60°，∴∠QFP ＝∠PAC ＝120°，∵PQ ＝PC ，∴∠QCP ＝∠PQC ，∵∠QCP ＝∠B +∠BPQ ，∠PQC ＝∠ACB +∠ACP ，∠B ＝∠ACB ，∴∠BPQ ＝∠ACP ，在△PQF 和△CPA 中，∵BPQ ACP QFP PAC PQ PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PQF ≌△CPA （AAS ），∴AP ＝QF ，∴AP ＝BQ ，∴BQ +CQ ＝BC ＝AC ，∴AP +CQ ＝AC ．【点睛】考核知识点:等边三角形的判定和性质.利用全等三角形判定和性质分析问题是关键.10．如果一个三角形能被一条线段割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．（1）如图1，ABC ∆是等腰锐角三角形，()AB AC AB BC =>，若ABC ∠的角平分线BD 交AC 于点D ，且BD 是ABC ∆的一条特异线，则BDC ∠= 度．（2）如图2，ABC ∆中，2B C ∠=∠，线段AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交BC 于点E ，求证：AE 是ABC ∆的一条特异线；（3）如图3，若ABC ∆是特异三角形，30A ∠=，B 为钝角，不写过程，直接写出所有可能的B 的度数．【答案】（1）72；（2）证明见解析；（3）∠B度数为：135°、112.5°或140°.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得出∠C=∠ABC=∠BDC=2∠A，据此进一步利用三角形内角和定理列出方程求解即可；（2）通过证明△ABE与△AEC为等腰三角形求解即可；（3）根据题意分当BD为特异线、AD为特异线以及CD为特异线三种情况分类讨论即可.【详解】（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC，∵BD是△ABC的一条特异线，∴△ABD与△BCD为等腰三角形，∴AD=BD=BC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，设∠A=x，则∠C=∠ABC=∠BDC=2x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即：x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠BDC=72°，故答案为：72；（2）∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴△EAC为等腰三角形，∴∠EAC=∠C，∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，∴△EAB为等腰三角形，∴AE是△ABC的一条特异线；（3）如图3，当BD是特异线时，如果AB=BD=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°；如果AD=AC，DB=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°；如果AD=DB，DC=DB，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°，不符合题意，舍去；如图4，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC，则：∠ABC=180°−20°−20°=140°；当CD为特异线时，不符合题意；综上所述，∠B度数为：135°、112.5°或140°.【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B中纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请问两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：s =____________________；方法2：s =________________________； （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：()222,,a b a b ab ++之间的等量关系． _______________________________________________________；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：225,11a b a b +=+=，求ab 的值；②已知()()22202020195a a -+-=，则()()20202019a a --的值是____． 【答案】（1）()2a b +，222a ab b ++；（2）()2222a b a ab b +=++；（3）①7ab =，②2-【解析】【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b ）2，a 2+b 2，ab 之间的等量关系；（3）①依据a+b=5，可得（a+b ）2=25，进而得出a 2+b 2+2ab=25，再根据a 2+b 2=11，即可得到ab=7；②设2020-a=x ，a-2019=y ，即可得到x+y=1，x 2+y 2=5，依据（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，即可得出xy=()222()2x y x y +-+=2-，进而得到()()20202019a a --=2-． 【详解】 解：（1）图2大正方形的面积=()2a b +，图2大正方形的面积=222a ab b ++故答案为：()2a b +，222a ab b ++；（2）由题可得()2a b +，22a b +，ab 之间的等量关系为：()2222a b a ab b +=++故答案为：()2222a b a ab b +=++；（3）①()()2222a b a b ab +-+=2251114ab ∴=-=7ab ∴=②设2020-a=x ，a-2019=y ，则x+y=1，∵()()22202020195a a -+-=，∴x 2+y 2=5，∵（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，∴xy=()222()2x y x y +-+=-2， 即()()202020192a a --=-．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．12．观察下列等式：22()()a b a b a b -=-+3322()()a b a b a ab b -=-++443223()()a b a b a a b ab b -=-+++55432234()()a b a b a a b a b ab b -=-++++完成下列问题：（1）n n a b -=___________（2）636261322222221+++⋯⋯++++= （结果用幂表示）.（3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.【答案】（1）（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）264-1；（3）76.【解析】【分析】（1）根据规律可得结果（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）利用（1）得出的规律先计算（2-1）63626132(2222221+++⋯⋯++++)即可得出结果；（3）利用（1）得出的规律变形，再用完全平方公式进行变形，变成只含a-b 及ab 的形式，整体代入计算即可得到结果．【详解】解：（1）()()22a b a b a b -=-+，()()3322a b a b a ab b -=-++，()()443223a b a b a a b ab b -=-+++， ()()55432234a b a b a a b a b ab b -=-++++， 由此规律可得：a n -b n =（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1），故答案是：（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）由（1）的规律可得（2-1）()636261322222221+++⋯⋯++++=264-1，∴636261322222221+++⋯⋯++++=264-1.故答案是：264-1.（3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.()()3322a b a b a ab b -=-++=()() [a b a b --2+3 a b ]∴33a b -=24431⨯+⨯（）=76. 故答案是：76.【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．13．阅读以下文字并解决问题：对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成()2x a +的形式，但对于二次三项式2627x x +-，就不能直接用公式法分解了。

北京市顺义区2022-2023学年八年级下学期期中考试数 学2023.4考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟。

2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5. 考试结束，将答题卡交回。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．若分式的值为0，则的值为(A)0(B)1(C) -1(D) 0或12．在平面直角坐标系xOy 中，点A （-3，-2）到y 轴的距离是(A)3 (B)2 (C)-3 (D)-23．函数中，自变量x 的取值范围是(A) (B) (C) (D) 4．若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形的边数是(A)4 (B)5 (C)6 (D)7 5．下列关于菱形的描述不正确的是(A) 菱形是特殊的四边形 (B) 菱形是特殊的平行四边形(C) 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 (D) 有一个角是直角的平行四边形是菱形6．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，则下列结论正确的是(A) AH =BH (B) EH =FC (C) BE =CH (D) AF =CH7．列车从甲地出发去往乙地，在乙地停留一段时间后返回，列车与甲地的距离y （单位：km ）与时间x （单位：h ）的对应关系如图所示，下列叙述错误的是(A) 甲乙两地间的距离为720千米(B) 列车在乙地停留了18小时 (C) 列车从乙地返回甲地用了6小时(D) 列车从甲地去乙地的速度为80千米/小时，从乙地返回甲地的速度为120千米/小时1xx-x y =2x >2x <2x ≥2x ≤A8．下面表格中给出了三个变化过程中的两个变量x 和y ，在这三个变化过程中，y 是x 的函数的个数是YX1正方形的面积这个正方形的边长2矩形的面积这个矩形一边的长3多边形的内角和这个多边形的边数(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．计算=___________．10．下图是由射线AB ，BC ，CD ，DA 组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4= °．11．学习了四边形之后，若用如图所示的方式表示四边形与特殊四边形的关系，则图中的“A ”表示 ，“B ”表示 ．12．如图，在平行四边形ABCD 中，∠B =73°，则∠A = °，∠D = °．13．在平面直角坐标系xOy 中，若一次函数的图象在第二、三、四象限，则b 的值可以是 （写出一个即可）．14．在平面直角坐标系xOy 中，若一次函数的图象经过点P （3，5），则随着x 的增大，y 的值 （填“增大”或“减小”）．15．在平面直角坐标系xOy 中， A ，B 两点的坐标分别为（5，0），（2，3），若以O ，A ，P ，B 为顶点的四y/ABC D4321梯形四边形B矩形A 平行四边形222a a b ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x b =-+1y kx =+DCBA边形为平行四边形，则点P 的坐标为 ．16．在平面直角坐标系xOy 中，函数和的图象交于点P ，下面有四个结论：①关于x ，y 的二元一次方程组的解是②关于x 的不等式的解集为③关于x 的方程的解为④当时，上述结论中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题6分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：．18．计算：．19．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∠BCD 的平分线交AD 于点F ．求证：BE =DF ．20．已知一次函数．（1）在给定的平面直角坐标系xOy 中，画出一次函数的图象，求出它与x ，y 轴交点的坐标；（2）根据图象，直接写出y ≥0时x 的取值范围，并把图象上对应的部分描粗．y ax b =+y kx =y ax b y kx =+⎧⎨=⎩42x y =⎧⎨=-⎩4ax b +>-0x >0ax b +=8x =4x >ax b kx+<3a a a b b a+--1112mm m m m m-⎛⎫-⋅⎪-+⎝⎭23y x =-+23y x =-+ABCDEF21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过（-1，-3），（1，5）两点，求这个一次函数的表达式．22．如图，线段AB和BC，请在下图中画出平行四边形ABCD，并简述画图的过程及四边形ABCD是平行四边形的依据．（可以使用圆规、直尺、刻度尺、三角尺、量角器等作图工具）23．阅读材料，并完成任务．“平行四边形的判定”这节课上，研究了平行四边形的三个判定定理之后，老师问：“还有其它能够判定平行四边形的方法吗？”小禹说：“我发现一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形”．老师说：“这个命题是真命题”．要证明这个命题是真命题，需要先分清命题的题设和结论，然后画出相应的图形、写出已知和求证，最后完成证明，请你在下表中完成相应的任务．已知：求证：四边形ABCD是平行四边形．画图：证明：DCBACB24．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，BA ⊥AC 于点A ， AC =6，BD =10，求平行四边形ABCD 的各边长．25．在平面直角坐标系xOy 中，直线与直线 交于点A （2，m ），直线与x 轴交于点B ．（1）求k ，m 的值及△OAB 面积；（2）点P 为直线上一点，若△POB 的面积是△OAB 面积的2倍，直接写出点P 的坐标．26．如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，过点O 的直线交AB 边于点E ，交CD 边于点F ．连接EC ，ED ，FA ，FB ．（1）依题意补全图形；（2）①直接写出图中除平行四边形ABCD 外所有的平行四边形（可以标记字母）； ②选择①中的一个平行四边形加以证明．ODCBABD12y x =3y kx =+3y kx =+3y kx =+27． 某电器厂生产A 、B 两种家用小电器，若每天生产A 、B 两种电器共60件，这两种电器每件的成本和售价如下表：成本（元）售价（元）A 种电器85105B 种电器7085设每天生产A 种电器x 件，每天获得的利润为 y 元.（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果该电器厂每天最多投入成本为4590元，那么每天生产多少件 A 种电器时，所获利润最大？并求出这个最大利润．28．在平面直角坐标系xOy 中，直线与x 轴交于点．（1）求b 的值；（2）过点（n ≠1），作垂直于x 轴的直线，交直线于点B ，交直线于点C ．①当时，用等式表示线段PB 与PC 数量关系，并说明理由；②若点在第一象限，且，结合函数图象，直接写出n 的取值范围．的2y x b =+()1,0A -(),2P n n 2y x b =+2y =12n =(),2P n n PB PC >数学答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案AACBDDBC二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．； 10．360； 11．正方形、菱形； 12．107、73； 13．-1（答案不唯一）； 14．增大； 15．（-3，3），（7，3），（3，-3），； 16．①②③． 三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题6分，第28题7分）17．解：原式……………………………….…….…….………….……2分…………………….…….…….…….…….……….………….….5分18．解：原式…………………………….1分…………………………. 2分 ……………………………………………...……4分……………………………………………………………………….5分19．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAD =∠BCD ，∠B =∠D ，AB=CD ． ……………………………..…….2分又∵AE 平分∠BAD ，CF 平分∠BCD ，∴∠1=∠2．…………………………………...3分∴△ABE ≌△CDF ．…………………………...4分∴ BE=DF ．…………………………………...5分20．解： （1）………………..…….……………………………………2分b4-3a aa b a b=---2ab a=-()()()()()()11111112m m m m m m m m m m ⎛⎫+--=-⋅⎪ ⎪+-+-⎝⎭()()()()22111112m m m mm m m m m m ⎛⎫+--=-⋅ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭()()21112m m m m m-=+-g 11m =+12ABCDEF令y =0，则-2x +3=0，，∴一次函数的图象与x 轴交点坐标为，令x =0，则y =3，∴一次函数的图象与y 轴交点坐标为（0，3），…...4分（2）y ≥0时x 的取值范围是．………..……………………………………….5分21．解：（1）设一次函数的表达式为……………………..……………………………1分∵图象经过（-1，-3），（1，5）两点，∴ 解得………………………..………………………4分∴一次函数的表达式为．…………………………………………………...5分 22．………..…….………………………………………3分画图过程：（1）连接线段AC ；（2）用刻度尺量出线段AC 的长，并取线段AC 中点O ；（3）连接线段BO 并延长到点D ，使OD =OB （4）连接线段AD ，CD ．则四边形ABCD 是平行四边形．………………………..………... ……………………5分依据：四边形ABCD 是平行四边形的依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形．…...6分23．已知：AB ∥CD ，∠B =∠D ， ………...2分求证：四边形ABCD 是平行四边形．画图：证明：∵AB ∥CD ，∴∠1=∠2．…………………………………………………………...3分AB CDODCBA2132x =23y x =-+302⎛⎫ ⎪⎝⎭，23y x =-+32x ≤y kx b =+3,5.k b k b -+=-⎧⎨+=⎩4,1.k b =⎧⎨=⎩41y x =+又∵∠B =∠D ，AC =AC ，∴△ABC ≌△CDA ．…………………………………………………...4分∴ AB=CD ．…………………………………………………………...5分∴四边形ABCD 是平行四边形． …………………………………...6分24．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=AC ，BO=BD ，AB=CD ，AD=BC ．......... ……................…..2分∵AC =6，BD =10， ∴AO=3，BO=5． 又∵BA ⊥AC 于点A ，∴在Rt △ABO 中，AB=4，................................ .. .... .... .... . ……... .....…..3分∴在Rt △ABC 中，BC=................................ .. .... .... .... .... .....…..4分∴CD=4，AD=.．....... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..............…..6分25．（1）∵直线与直线 交于点A （2，m ），∴，，A 点坐标为（2，1），点A （2，1∴，，.……3分∴B 点坐标为（3，0），OB =3．∴△OAB 的面积=．………..4分（2）点P 的坐标为（1，2）或（5，-2）． …...6分26．（1）…..………………………………………………………1分（2）①平行四边形AECF ，平行四边形EBFD ，平行四边形ENFM ．……………….2分②选择平行四边形EBFD ．证明：∵点O 是对角线BD 的中点， ∴OB=OD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，121212y x=3y kx =+122m =⨯1m =123k =+1k =-3y x =-+133122⨯⨯=ODCBA∴AB ∥CD ，∴∠1=∠2，又∵∠BOE =∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF ． ……………………………………………………………..4分∴ BE=DF ．………………………………………………………………………..5分∴四边形EBFD 是平行四边形．………………………………………………….6分27．（1）依题意可列 ……………………….…..2分∴y 与x 之间的函数关系式…………………………………......3分（2）…………………………………………………………...4分 解得 …………………………………………………………………………....5分 ∵函数中，y 随x 的增大而增大，∴x =26时，利润y 最大．∴最大利润为元………………………………………..........6分答：每天生产26件 A 种电器时所获利润最大，最大利润是1030元．28．（1）∵直线与x 轴交于点．∴，，.……………………………………………….1分（2）①PB 与PC 数量关系为PB =2PC ．∵过点垂直于x 轴的直线交直线于点B交直线于点C ．∴时，P （，1），C （，2），B （，3），……3分∴PB =2，PC =1，PB =2PC ．.…………………………………5分②n 的取值范围是0<n <2（n ≠1）．.……………………………7分以上评标仅供参考！的()()()10585857060y x x =-+--5900y x =+()8570604590x x +-≤26x ≤5900y x =+5269001030y =⨯+=2y x b =+()1,0A -02b =-+2b =22y x =+(),2P n n 2y x b =+2y =12n =121212。

江苏省连云港市赣榆区2018-2019 学年八年级上学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题有8 小题，每小题 3 分，共24 分）1.下列四个图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．2.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】直接根据勾股定理求解即可．解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为=5．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．3.等腰三角形中，两边的长分别为3和7，则此三角形周长是（）A．13 B．17 C．13 或17 D．15【分析】分 3 是等腰三角形的腰长与底边两种情况讨论求解．解：①3 是腰长时，三角形的三边分别为3、3、7，∵3+3=6＜7，∴3、3、7 不能组成三角形，②3 是底边时，三角形的三边分别为3、7、7，能组成三角形，周长=3+7+7=17，综上所述，此三角形周长是17．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．4.如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB 的是（）A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS．5.如图，已知△ABC，∠C=90°，AD 是∠BAC 的角平分线，CD=3，AC=4，则点D到A B 的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】首先过点 D 作DE⊥AB 于E，由在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的角平分线，根据角平分线的性质，即可得DE=CD，解：过点D 作DE⊥AB 于E，∵在△ABC 中，∠C=90°，即DC⊥AC，∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴DE=CD=3．∴点D 到AB 的距离为3．故选：A．【点评】此题考查了角平分线的性质．此题比较简单，注意掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键．6.如图，在△ABC 中，AB=AC，D 为B C 中点，∠BAD=35°，则∠C 的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．60°【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．解：AB=AC，D 为BC 中点，∴AD 是∠BAC 的平分线，∠B=∠C，∵∠BAD=35°，∴∠BAC=2∠BAD=70°，∴∠C= （180°﹣70°）=55°．故选：C．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．7.已知：如图，点P在线段A B 外，且P A=PB，求证：点P在线段A B 的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）A.作∠APB 的平分线PC 交AB 于点CB.过点P 作PC⊥AB 于点C 且AC=BCC.取AB 中点C，连接PCD.过点P 作PC⊥AB，垂足为C【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．解：A、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，符合题意；C、利用SSS 判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA= ∠PCB=90°，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，符合题意；D、利用HL 判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，符合题意，B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．8.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若a b=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9 B．6 C．4 D．3【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab= ×8=4，∴4×ab+（a﹣b）2=25，∴（a﹣b）2=25﹣16=9，∴a﹣b=3，故选：D．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．二、填空题（本大题有8 小题，每小题 3 分，共24 分将结果直接填在横线上）9.已知△ABC 与△A′B′C′关于直线L 对称，且∠A=50 度，∠B′=70°，那么∠C′=60 度．【分析】根据成轴对称的两个图形全等求得未知角即可．解：∵△ABC 与△A′B′C′关于直线L 对称，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠B=∠B′=70°，∵∠A=50°，∴∠C′=∠C=180°﹣∠B﹣∠A=180°﹣70°﹣50°=60°．故答案为：60．【点评】本题考查轴对称的性质，属于基础题，注意掌握如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．10.如图，△ABC 中，AD⊥BC 于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件AB=AC ．【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB=AC．解：还需添加条件AB=AC，∵AD⊥BC 于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD 和Rt△ACD 中，，，故∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）答案为：AB=AC．【点评】此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是正确理解：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．11.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，以△ABC 的各边为边在△ABC 外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积若S1=9，S2=22，则S3= 13 ．【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式计算．解：∵∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，∵S1=AC2，S3=BC2，S2=AB2，∴S3=S2﹣S1=22﹣9=13，故答案为：13．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．12.如图，把长方形纸片沿着线段A B 折叠，重叠部分△ABC 的形状是等腰三角形．【分析】根据折叠的性质和平行线的性质即可得到结论．解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠ABC，∵把长方形纸片沿着线段AB 折叠，∴∠CAB=∠DAB，∴∠CAB=∠CBA，∴CA=CB，∴△ABC 的形状是等腰三角形，故答案为：等腰．【点评】本题考查矩形的性质、翻折变换、等腰三角形的判定、解题的关键是学会利用翻折不变性解决问题，属于中考常考题型．13.如图，DE 是△ABC 边A C 的垂直平分线，若B C=9，AD=4，则B D= 5【分析】根据垂直平分线的性质可得AD=CD，进而求出BD 的长度．解：∵DE 是△ABC 边AC 的垂直平分线，∴AD=CD，∵BC=9，AD=4，∴BD=BC﹣CD=BC﹣AD=9﹣4=5，故答案为：5．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．14.在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在B C 边上，连接A D，若△ABD 为直角三角形，则∠ADC 的度数为130°或90°．【分析】根据题意可以求得∠B 和∠C 的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC 的度数．解：∵在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°，∵点 D 在BC 边上，△ABD 为直角三角形，∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，∴∠ADC=130°，当∠ADB=90°时，则∠ADC=90°，故答案为：130°或90°．【点评】本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．15.直角三角形两直角边长分别为6和8，则它斜边上的高为．【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边上的高．解：设斜边长为c，高为h．由勾股定理可得：c2=62+82，则c=10，直角三角形面积S=×6×8= ×10×h，可得：h=．故答案为：．【点评】本题考查了利用勾股定理求直角三角形的边长及利用面积法求直角三角形的高，是解此类题目常用的方法．16.如图，∠AOB=30°，点P 为∠AOB 内一点，OP=8．点M、N 分别在OA、OB上，则△PMN 周长的最小值为8 ．【分析】分别作点P 关于OA、OB 的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA 于M，交OB 于N，△PMN 的周长=P1P2，然后证明△OP1P2是等边三角形，即可求解．解：分别作点P 关于OA、OB 的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA 于M，交OB 于N，连接OP，则OP1=OP=OP2，∠P1OA=∠POA，∠POB=∠P2OB，MP=P1M，PN=P2N，则△PMN 的周长的最小值=P1P2∴∠P1OP2=2∠AOB=60°，∴△OP1P2是等边三角形．△PMN 的周长=P1P2，∴P1P2=OP1=OP2=OP=8．故答案为：8．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确正确作出辅助线，证明△OP1P2 是等边三角形是关键．三、解答题（本脸有10 小题，共102 分，解答时应写出必要的步曝、过程成文字说明）17．（8 分）如图，已知线段AC，BD 相交于点E，AE=DE，BE=CE．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）当AB=5 时，求CD 的长．【分析】（1）根据AE=DE，BE=CE，∠AEB 和∠DEC 是对顶角，利用SAS 证明△AEB≌△DEC 即可．（2）根据全等三角形的性质即可解决问题．（1）证明：在△AEB 和△DEC 中，，．∴△AEB≌△DEC（SAS）（2）解：∵△AEB≌△DEC，∴AB=CD，∵AB=5，∴CD=5．【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，要求学生应熟练掌握．（8 分）如图，点B、C、E、F 在同一直线上，BE=CF，AC⊥BC 于点C，DF⊥ EF 18．于点F，AB=DE求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）AB∥DE．【分析】（1）根据HL 即可证明Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）利用全等三角形的性质即可解决问题；证明：（1）∵AC⊥ BC，DF⊥EF，∴∠ACB=∠DFE=90°，∵BE=CF，∴BC=EF，在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，．∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）（2）∵△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠DFE，∴AB∥DE．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．19．（8 分）已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200 元，问要多少投入？【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD 中可求得BD 的长，由BD、CD、BC 的长度关系可得三角形DBC 为一直角三角形，DC 为斜边；由此看，四边形ABCD 由Rt△ABD 和Rt△DBC 构成，则容易求解．解：连接BD，在Rt△ABD 中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，在△CBD 中，CD2=132BC2=122，而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，∴∠DBC=90°，S 四边形ABCD=S△BAD+S△DBC=，==36．．所以需费用36×200=7200（元）【点评】通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．（9 分）如图，在2×2 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别20．在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与△ABC 成轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的性质，不同的对称轴，可以有不同的对称图形，所以可以称找出不同的对称轴，再思考如何画对称图形．画对任意三种即可．．【点评】此题考查的是利用轴对称设计图案，基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．21．（10 分）如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD 上的点B 处，且BC=5m，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m 处的池塘A 处，另一只猴子乙先爬到树顶D 处后再沿缆绳DA 线段滑到A 处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD 为xm．（1）请用含有x的整式表示线段A D 的长为15﹣x m；（2）求这棵树高有多少米？【分析】已知BC，要求CD 求BD 即可，可以设BD 为x，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即BD+DA=BC+CA，根据此等量关系列出方程即可求解．解：（1）设BD 为x 米，且存在BD+DA=BC+CA，即BD+DA=15，DA=15﹣x，故答案为：15﹣x；（2）∵∠C=90°∴AD2=AC2+DC2∴（15﹣x）2=（x+5）2+102∴x=2.5∴CD=5+2.5=7.5答：树高7.5 米；【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出BD+DA=BC+CA 的等量关系并根据直角△ACD 求BD 是解题的关键．22．（11 分）作图题：如图所示是每一个小方格都是边长为1 的正方形网格，（1）利用网格线作图：①在BC 上找一点P，使点P 到AB 和AC 的距离相等；②在射线AP 上找一点Q，使QB=QC．（2）在（1）中连接CQ 与BQ，试说明△CBQ 是直角三角形．【分析】（1）根据网格特点作出∠A 的角平分线与BC 的交点就是点P，作BC 的垂直平分线与AP 的交点就是点Q．（2）首先利用勾股定理计算出CQ2、BQ2、BC2，然后利用勾股定理逆定理可得△CB Q 是直角三角形．解：（1）点P 就是所要求作的到AB 和AC 的距离相等的点，点Q 就是所要求作的使QB=QC 的点．（2）连接CQ、BQ，∵CQ2=12+52=26，BQ2=12+52=26，BC2=62+42=36+16=52，∴CQ2+BQ2=BC2，∴∠CQB=90°，∴△CBQ 是直角三角形．【点评】本题主要考查了利用网格结构作角的平分线，线段的垂直平分线，关键是掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．．23．（10 分）如图，在△ABC 中，CF⊥AB 于F，BE⊥AC 于E，M 为BC 的中点，BC=10，EF=4．（1）求△MEF 的周长：（2）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠EMF 的度数．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出EM、FM，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解；（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠BMF，∠CME，然后根据平角等于180°列式计算即可求出∠EMF．解：（1）∵CF⊥AB，BE⊥AC，M 为BC 的中点，∴EM= BC=5，FM= BC=5，∴△MEF 周长=EF+EM+FM=4+5+5=14；（2）∵BM=FM，∠ABC=50°，∴∠MBF=∠MFB=50°，∴∠BMF=180°﹣2×50°=80°，∵CM=EM，∠ACB=60°，∴∠MCE=∠MEC=60°，∴∠CME═180°﹣2×60°=60°，∴∠EMF=180°﹣∠BMF﹣∠CME=40°．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平角的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．24．（12 分）如图，已知等腰三角形ABC 中，AB=AC，点D、E 分别在边AB、AC 上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．（1）判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A、F 的直线垂直平分线段BC．（1）证得△ABE≌△ACD 后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；【分析】（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论．解：（1）∠ABE=∠ACD；在△ABE 和△ACD 中，，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD；（2）连接AF．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，由（1）可知∠ABE=∠ACD，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC，∵AB=AC，∴点A、F 均在线段BC 的垂直平分线上，即直线AF 垂直平分线段BC．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线段的性质的知识，解题的关键是能够从题目中整理出全等三角形，难度不大．25．（12 分）已知，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点D 为BC 的中点．（1）如图①，若点E、F 分别为AB、AC 上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF；（2）若点E、F 分别为AB、CA 延长线上的点，且D E⊥DF，那么BE=AF 吗？请利用图②说明理由．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△BDE≌△ADF ，再根据全等三角形的性质即可证出BE=AF；（ASA）（2）连接AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△EDB≌△ FDA（ASA），再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF．（1）证明：连接AD，如图①所示．∵∠A=90°，AB=AC，∴△ABC 为等腰直角三角形，∠EBD=45°．∵点 D 为BC 的中点，∴AD= BC=BD，∠FAD=45°．∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF．在△BDE 和△ADF 中，，，∴△BDE≌△ADF（ASA）∴BE=AF；（2）BE=AF，证明如下：连接AD，如图②所示．∵∠ABD=∠BAD=45°，∴∠EBD=∠FAD=135°．∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，∴∠EDB=∠FDA．在△EDB 和△FDA 中，，，∴△EDB≌△FDA（ASA）∴BE=AF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、补角及余角，解（2）根据题的关键是：（1）根据全等三角形的判定定理ASA 证出△BDE≌△ADF；全等三角形的判定定理ASA 证出△EDB≌△FDA．26．（14 分）如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点D 在线AC 上，将△ABC 沿着BD 折叠，点 C 恰好落在AB 边的点E．（1）求CD 的长．（2）P 为平面内，△ABC 外部的一点，且满足△ABD 与△ABP 全等，求点P 到直线AC 的距离．【分析】（1）由折叠可得：∠AED=∠BED=∠C=90°，BE=BC=6，CD=DE，根据勾股定理可求CD 的长；（2）分△APB≌△ADB 和ABP≌△BAD 两种情况讨论，根据全等三角形的性质可求点P 到直线AC 的距离．（1）解：在Rt△ABC 中∵∠C=900，AC=8，BC=6∴AB=10由折叠可知△BDC≌△BDE∴∠AED=∠BED=∠C=90°BE=BC=6，CD=DE∴AE=4设CD=x在RT△ADE 中，AE=4，DE=x，AD=8﹣x∵AE2+DE2=AD2∴42+x2=（8﹣x）2∴x=3，即CD 的长为 3（2）若△APB≌△ADB如图：过点P 作PF⊥AC 于点F，连接PD 交AB 于点 E∵△APB≌△ADB∴AP=AD=AC﹣CD=5，∠PAB=∠BAD∴PE=DE，AE⊥PD∵∠ABD=∠CBD，∠C=∠BED=90°∴DE=CD=3∴PD=6AE= =4∵S= ×AD×PF= ×PD×AE△APD∴PF=若△ABP≌△BAD如图：过点P 作PF⊥AC 于点 F∵△ABP≌△BAD∴∠PBA=∠DAB∴PB∥AD∵PF⊥AC，BC⊥AC∴PF∥BC 且PB∥AD∴四边形PFCB 是平行四边形∴PF=BC=6综上所述：点P 到直线AC 的距离为6 或【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了勾股定理以及全等三角形的性质．。

数学八年级上册期中精选试卷试卷（word版含答案）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图1，等腰△ABC中，AC=BC＝42, ∠ACB=45˚，AO 是BC边上的高，D为线段AO上一动点，以CD为一边在CD下方作等腰△CDE,使CD=CE且∠DCE=45˚，连结BE.(1) 求证：△ACD≌△BCE；(2) 如图2，在图1的基础上，延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ,若CP＝CQ＝5,求PQ的长.(3) 连接OE，直接写出线段OE的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=422-【解析】试题分析：()1根据SAS即可证得ACD BCE≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，由等腰三角形的性质，即可求得45DAC∠=︒，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．()3OE BQ⊥时，OE取得最小值.试题解析：()1证明：∵△ABC与△DCE是等腰三角形，∴AC=BC,DC=EC,45ACB DCE∠=∠=，45ACD DCB ECB DCB∴∠+∠=∠+∠=，∴∠ACD=∠BCE；在△ACD和△BCE中，,AC BCACD BCEDC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ACD BCE∴≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，(2)过点C作CH⊥BQ于H，∵△ABC是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO是BC边上的高，45DAC∴∠=，ACD BCE≌，45PBC DAC∴∠=∠=，∴在Rt BHC中,2242422CH BC=⨯=⨯=，54PC CQ CH===，，3PH QH∴==，6.PQ∴=()3OE BQ⊥时，OE取得最小值.最小值为：42 2.OE=-2．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；(3)、AP＝CE理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC ∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE考点：三角形全等的证明3．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD=CE；（3）如图2，延长CE至点P，连接BP，∠BPC=30°，且CF=29CP，求PFAF的值．（提示：可以过点A作∠KAF=60°，AK交PC于点K，连接KB）【答案】（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）75【解析】【分析】（1）通过证明BCE CAD≌得到对应角相等，等量代换推导出60AFE∠=︒；（2）由（1）得到60AFE∠=︒，CE AD=则在Rt AHF△中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；（3）通过在PF上取一点K使得KF=AF，作辅助线证明ABK和ACF全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】（1）解：如图1中．∵ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，在BCE和CAD中，60BE CDCBE ACDBC CA=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴BCE CAD≌（SAS），∴∠BCE=∠DAC，∵∠BCE+∠ACE=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°，∴∠AFE=60°．（2）证明：如图1中，∵AH⊥EC，∴∠AHF=90°，在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，∴∠FAH=30°，∴AF=2FH，∵EBC DCA≌，∴EC=AD，∵AD=AF+DF=2FH+DF，∴2FH+DF=EC．（3）解：在PF上取一点K使得KF=AF，连接AK、BK，∵∠AFK =60°，AF =KF ， ∴△AFK 为等边三角形， ∴∠KAF =60°， ∴∠KAB =∠FAC ， 在ABK 和ACF 中，AB AC KAB ACF AK AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ ABK ACF ≌(SAS )，BK CF = ∴∠AKB =∠AFC =120°， ∴∠BKE =120°﹣60°=60°， ∵∠BPC =30°， ∴∠PBK =30°， ∴29BK CF PK CP ===， ∴79PF CP CF CP =-=， ∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP ==-+=-= ∴779559CPPF AF CP == . 【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.4．操作发现：如图，已知△ABC 和△ADE 均为等腰三角形，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将这两个三角形放置在一起，使点B ，D ，E 在同一直线上，连接CE ．（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．【答案】（1）见解析；（2）70°；（3）2【解析】【分析】（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE即可．（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．（3）同法可证△BAD≌△CAE，推出EC=BD=4，由∠BEC=∠BAC=120°，推出∠FCE=30°即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，∴∠EAD＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）解：如图1中，设AC交BE于O．∵∠ABC＝∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABO＝∠ECO，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠BAO＝70°，即∠BEC＝70°．（3）解：如图2中，∵∠CAB ＝∠EAD ＝120°， ∴∠BAD ＝∠CAE ， ∵AB ＝AC ，AD ＝AE ， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ）， ∴∠BAD ＝∠ACE ，BD ＝EC ＝4， 同理可证∠BEC ＝∠BAC ＝120°， ∴∠FEC ＝60°， ∵CF ⊥EF ， ∴∠F ＝90°， ∴∠FCE ＝30°，∴EF ＝12EC ＝2. 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．在等边ABC 中，点D 是边BC 上一点.作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为点E .连接CE 并延长，交射线AD 于点F . （1）如图，连接AE ，①AE 与AC 的数量关系是__________； ②设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的大小；（2）如图，用等式表示线段AF ，CF ，EF 之间的数量关系，并证明.【答案】(1)①AB=AE；②∠BCF=α；(2) AF-EF=CF，理由见详解.【解析】【分析】（1）①根据轴对称性，即可得到答案；②由轴对称性，得：AE=AB，∠BAF=∠EAF=α，由ABC是等边三角形，得AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可求解；（2）作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，易证∆FCG是等边三角形，得GF=FC，再证∆ACG≅∆BCF(SAS)，从而得AG=BF，进而可得到结论.【详解】（1）①∵点B关于射线AD的对称点为点E，∴AB和AE关于射线AD的对称，∴AB=AE.故答案是：AB=AE；②∵点B关于射线AD的对称点为点E，∴AE=AB，∠BAF=∠EAF=α，∵ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，∴∠EAC=60°-2α，AE=AC，∴∠ACE=1180(602)602αα⎡⎤--=+⎣⎦，∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=60α+-60°=α.（2）AF-EF=CF，理由如下：作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，∵∠BAF=∠BCF=α，∠ADB=∠CDF，∴∠ABC=∠AFC=60°，∴∆FCG是等边三角形，∴GF=FC，∵ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠ACG=∠BCF=α.在∆ACG和∆BCF中，∵CA CBACG BCFCG CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACG≅∆BCF(SAS)，∴AG=BF，∵点B关于射线AD的对称点为点E，∴AG=BF=EF，∵AF-AG=GF，∴AF-EF=CF.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA(如图1)．(1)求证：∠BAD=∠EDC；(2)若点E关于直线BC的对称点为M(如图2)，连接DM，AM．求证：DA=AM．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC=∠ACB=60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可.（2）根据轴对称的性质，可得DM=DA，然后结合（1）可得∠MDC=∠BAD，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可.【详解】解：(1)如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∴∠BAD=60°﹣∠DAE，∠EDC=60°﹣∠E，又∵DE=DA，∴∠E=∠DAE，∴∠BAD=∠EDC．(2)由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，∵DE=DA，∴DM=DA，由(1)可得，∠BAD=∠EDC，∴∠MDC=∠BAD，∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°﹣∠B=120°，∴∠MDC+∠ADB=120°，∴∠ADM=60°，∴△ADM是等边三角形，∴AD=AM．【点睛】本题主要考察了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质.7．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点 B是 y轴正半轴上一动点，点C、D在 x 正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE 是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长_____．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接 QD并延长，交 y轴于点 P，当点 C运动到什么位置时，满足 PD＝23DC？请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在 y轴上运动时，求OP的最小值．【答案】（1）6；（2）C的坐标为（12，0）；（3）3 2 .【解析】 【分析】（1）作∠DCH ＝10°，CH 交 BD 的延长线于 H ，分别证明△OBD ≌△HCD 和△AOB ≌△FHC ，根据全等三角形的对应边相等解答；（2）证明△CBA ≌△QBD ，根据全等三角形的性质得到∠BDQ ＝∠BAC ＝60°，求出 CD ，得到答案；（3）以 OA 为对称轴作等边△ADE ，连接 EP ，并延长 EP 交 x 轴于点 F ．证明点 P 在直线 EF 上运动，根据垂线段最短解答． 【详解】解：（1）作∠DCH ＝10°，CH 交 BD 的延长线于 H ， ∵∠BAO ＝60°， ∴∠ABO ＝30°， ∴AB ＝2OA ＝6，∵∠BAO ＝60°，∠BCO ＝40°， ∴∠ABC ＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∵BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝40°，∴∠CBD ＝∠DCB ，∠OBD ＝40°﹣30°＝10°， ∴DB ＝DC ， 在△OBD 和△HCD 中，==OBD HCD DB DC ODC HDC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴△OBD ≌△HCD （ASA ）， ∴OB ＝HC ， 在△AOB 和△FHC 中，==ABO FCH OB HC AOB FHC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴△AOB ≌△FHC （ASA ）， ∴CF=AB=6，故答案为6；（2）∵△ABD 和△BCQ 是等边三角形，∴∠ABD＝∠CBQ＝60°，∴∠ABC＝∠DBQ，在△CBA 和△QBD 中，BA BDABC DBQBC BQ=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBA≌△QBD（SAS），∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，∴∠PDO＝60°，∴PD＝2DO＝6，∵PD＝23DC，∴DC＝9，即 OC＝OD+CD＝12，∴点 C的坐标为（12，0）；（3）如图3，以 OA为对称轴作等边△ADE，连接 EP，并延长 EP交 x 轴于点F．由（2）得，△AEP≌△ADB，∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝3，∴点P在直线 EF上运动，当 OP⊥EF时，OP最小，∴OP＝12OF＝32则OP的最小值为32．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，点B 坐标为()6,0-，点A 是y 轴正半轴上一点，且10AB =，点P 是x 轴上位于点B 右侧的一个动点，设点P 的坐标为()0m ,.（1）点A 的坐标为___________；（2）当ABP △是等腰三角形时，求P 点的坐标；（3）如图2，过点P 作PE AB ⊥交线段AB 于点E ，连接OE ，若点A 关于直线OE 的对称点为A '，当点A '恰好落在直线PE 上时，BE =_____________.（直接写出答案） 【答案】（1）()0,8；（2）()4,0或()6,0或7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）425【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可以求出AO 的长，则可得出A 的坐标； （2）分三种情况讨论等腰三角形的情况，得出点P 的坐标； （3）根据PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，得到EAGOPG ，利用点A ，A '关于直线OE 对称点，根据对称性，可证'OPG EAO ，可得'8OP OA ，82AP，设BE x =，则有6AE x ，根据勾股定理，有：22222BP BE EP AP AE解之即可． 【详解】解：（1）∵点B 坐标为6,0，点A 是y 轴正半轴上一点，且10AB =，∴ABO 是直角三角形，根据勾股定理有：22221068AOAB BO ，∴点A 的坐标为()0,8； （2）∵ABP △是等腰三角形， 当BPAB 时，如图一所示：OP BP BO，∴1064∴P点的坐标是()4,0；=时，如图二所示：当AP ABOP BO∴6∴P点的坐标是()6,0；=时，如图三所示：当AP BP设OP x =，则有6AP x∴根据勾股定理有：222OP AO AP += 即：22286x x解之得：73x =∴P 点的坐标是7,03； （3）当ABP △是钝角三角形时，点A '不存在； 当ABP △是锐角三角形时，如图四示：连接'OA ，∵PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，∴AEG △和GOP 是直角三角形，EGAOGP∴EAGOPG ，∵点A ，A '关于直线OE 对称点， 根据对称性，有'8OA OA ，'EAEA∴'FAO FAO，'FAE FAE∴'EAGEAO则有：'OPG EAO∴'AOP 是等腰三角形，则有'8OP OA ，∴22228882APAO OP ，设BE x ，则有6AE x ，根据勾股定理，有：22222BP BE EP AP AE 即：2222688210x x解之得：425BE x【点睛】本题考查了三角形的综合问题，涉及的知识点有：解方程，等腰三角形的判定与性质，对称等知识点，能分类讨论，熟练运用各性质定理，是解题的关键．9．如图，在等边三角形ABC 的外侧作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，其中BD 交直线AP 于点E ． （1）依题意补全图形；（2）若∠PAC ＝20°，求∠AEB 的度数；（3）连结CE ，写出AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）补图见解析；（2）60°；（3）CE ＋AE ＝BE ． 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据轴对称的性质可得AC ＝AD ，∠PAC ＝∠PAD=20°，根据等边三角形的性质可得AC ＝AB ，∠BAC ＝60°，即可得AB ＝AD ，在△ABD 中，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠D 的度数，再由三角形外角的性质即可求得∠AEB 的度数； （3）CE ＋AE ＝BE ，如图，在BE 上取点M 使ME ＝AE ，连接AM ，设∠EAC ＝∠DAE ＝x ，类比（2）的方法求得∠AEB ＝60°，从而得到△AME 为等边三角形，根据等边三角形的性质和SAS 即可判定△AEC ≌△AMB ，根据全等三角形的性质可得CE ＝BM ，由此即可证得CE ＋AE ＝BE ． 【详解】 (1)如图：（2）在等边△ABC 中， AC ＝AB ，∠BAC ＝60°由对称可知：AC ＝AD ，∠PAC ＝∠PAD ， ∴AB ＝AD ∴∠ABD ＝∠D ∵∠PAC ＝20° ∴∠PAD ＝20°∴∠BAD ＝∠BAC+∠PAC +∠PAD =100°()1180402D BAD ︒︒∴∠=-∠=. ∴∠AEB ＝∠D +∠PAD ＝60° （3）CE ＋AE ＝BE ．在BE 上取点M 使ME ＝AE ，连接AM ，在等边△ABC 中， AC ＝AB ，∠BAC ＝60°由对称可知：AC ＝AD ，∠EAC ＝∠EAD ， 设∠EAC ＝∠DAE ＝x ． ∵AD ＝AC ＝AB ，∴()11802602D BAC x x ︒︒∠=-∠-=- ∴∠AEB ＝60－x ＋x ＝60°．∴△AME 为等边三角形． ∴AM=AE ，∠MAE=60°， ∴∠BAC=∠MAE=60°， 即可得∠BAM=∠CAE. 在△AMB 和△AEC 中，AB ACBAM CAEAM AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMB≌△AEC.∴CE＝BM.∴CE＋AE＝BE．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，解决第三问时，通过做辅助线，把AE转化到BE 上，再证明CE＝BM即可得结论．10．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A．点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动秒后，△AMN是等边三角形？（2）点M、N在BC边上运动时，运动秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN？（3）M、N同时运动几秒后，△AMN是直角三角形？请说明理由．【答案】（1）125；（2）485；（3）点M、N运动3秒或127秒或10秒或9秒后，△AMN为直角三角形．【解析】【分析】（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形．设运动时间为t秒，构建方程即可解决问题；（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN．构建方程即可解决问题；（3）据题意设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN，分四种情况讨论即可．【详解】（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形，设运动时间为t秒则有：2t＝12﹣3t解得t＝125故点M、N运动125秒后，△AMN是等边三角形；（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN则有：2t﹣12＝36﹣3t解得t＝48 5故运动485秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN；（3）设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN ①当M在AC上，N在AB上，∠ANM＝90°时，如图∵∠A＝60°∴∠AMN＝30°∴AM＝2AN则有2t＝2（12﹣3t）∴t＝3；②当M在AC上，N在AB上，∠AMN＝90°时，如图∵∠A＝60°∴∠ANM＝30°∴2AM＝AN∴4t＝12﹣3t∴t＝127；③当M、N都在BC上，∠ANM＝90°时，如图CN＝3t﹣24＝6解得t＝10；④当M 、N 都在BC 上，∠AMN ＝90°时，则N 与B 重合，M 正好处于BC 的中点，如图此时2t ＝12+6 解得t ＝9；综上所述，点M 、N 运动3秒或127秒或10秒或9秒后，△AMN 为直角三角形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．材料：数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：因()20a b -≥，将左边展开得到2220a ab b -+≥，移项可得：222a b ab +≥.数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数m 、n ，都存在2m n mn +≥m 、n 的和一定存在着一个最小值. 根据材料，解答下列问题： （1）()()2225x y +≥__________（0x >，0y >）；221x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭___________（0x >）； （2）求()5602x x x+>的最小值； （3）已知3x >，当x 为何值时，代数式92200726x x ++-有最小值，并求出这个最小值.【答案】（1）20xy ，2；（2）153）当92x =时，代数式92200726x x ++-的最小值为2019. 【解析】 【分析】（1）根据阅读材料即可得出结论；（2）根据阅读材料介绍的方法即可得出结论； （3）把已知代数式变为926201326x x -++-，再利用阅读材料介绍的方法，即可得到结论．【详解】（1）∵0x >，0y >，∴()()222522520x y x y xy +≥⨯⋅=，∵0x >， ∴221122x x x x ⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭； （2）当x 0>时，2x ，52x 均为正数，∴562x x +≥=所以，562x x+的最小值为 （3）当x 3>时，2x ，926x -，2x-6均为正数， ∴92200726x x ++- 92x 6201326x =-++-20132013≥= 2019= 由()20a b -≥可知，当且仅当a b =时，22a b +取最小值， ∴当92626x x -=-，即92x =时，有最小值．∵x 3> 故当92x =时，代数式92200726x x ++-的最小值为2019． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的变形应用，解答本题的关键是理解阅读材料所介绍的方法．12．阅读下列因式分解的过程，解答下列问题：1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＝(1＋x )[1＋x ＋x (x ＋1)]＝(1＋x )2(1＋x )＝(1＋x )3.(1)上述分解因式的方法是____________，共应用了________次；(2)若分解因式1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)2019，则需要应用上述方法________次，结果是________；(3)分解因式：1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)n (n 为正整数).【答案】(1)提取公因式法，2；(2)2019，(1＋x)2020；(3) (1＋x)n＋1.【解析】【分析】（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；（2）根据已知分解因式的方法可以得出答案；（3）由（1）中计算发现规律进而得出答案．【详解】(1)提取公因式法，2（因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次）(2)2019，(1＋x)2020（分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019，则需应用上述方法2019次，结果是(1＋x)2020）(3)原式＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－1]＝(1＋x)2[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－2]＝(1＋x)3[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－3]＝(1＋x)n(1＋x)＝(1＋x)n＋1.【点睛】本题考查的知识点是因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.13．一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m为“半期数”；把四位数m的各位上的数字依次轮换后得到新的四位数m′，设m′＝abcd，在m′的所有可能的情况中，当|b+2c﹣a ﹣d|最小时，称此时的m′是m的“伴随数”，并规定F（m′）＝a2+c2﹣2bd；例如：m＝2365，则m′为：3652，6523，5236，因为|6+10﹣3﹣2|＝11，|5+4﹣6﹣3|＝0，|2+6﹣5﹣6|＝3，0最小，所以6523叫做2365的“伴随数”，F（5236）＝52+32﹣2×2×6＝10．（1）最大的四位“半期数”为；“半期数”3247的“伴随数”是．（2）已知四位数P＝abcd是“半期数”，三位数Q＝2ab，且441Q﹣4P＝88991，求F（P'）的最大值．【答案】（1）4192，7324；（2）42.【解析】【分析】（1）根据“半期数”的定义分析最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192，分析3247的所有可能为，2473，4732，7324．根据题意|b+2c﹣a﹣d|最小的数是7324，所以3247的“伴随数”是：7324．（2）根据定义可知a+b=5，c+d=11．再根据441Q﹣4P=88991，可以算出P的值，从而求出F（P'）的最大值．【详解】解；（1）根据题意可得最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192．∵3247的所有可能为，2473，4732，7324．∵|4+14﹣2﹣3|=13，|7+6﹣4﹣2|=7，|3+4﹣7﹣4|=4， 4最小，所以7324为3247的“伴随数”．故答案为4192；7324．（2）∵P为“半期数”∴a+b=5，c+d=11，∴b=5﹣a，d=11﹣c，∴P=1000a+100（5﹣a）+10c+11﹣c=900a+9c+511．∵Q=200+10a+c，∴441Q﹣4P=88991，∴441（200+10a+c）﹣4（900a+9c+511）=88991化简得：2a+c=7①当a=1时，c=5，此时这个四位数为1456符合题意；②当a=2时，c=3，此时这个四位数为2338不符合题意，舍去；③当a=3时，c=1，不符合题意，舍去；综上所述：这个四位数只能是1456，则P'可能为4561，5614，6145．∵|5+12﹣4﹣1|=12，|6+2﹣5﹣4|=1，|1+8﹣6﹣5|=2，1最小，所以5614为P的“伴随数”，∴F（5614）=a2+c2﹣2bd=25+1﹣2×6×4=﹣22；F（4561）=a2+c2﹣2bd=16+36﹣2×5×1=42；F（6145）=a2+c2﹣2bd=36+16﹣2×1×5=42；∴F（P'）的最大值为42．【点睛】解决本道题的关键是理解好半期数的定义：一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m 为“半期数”，然后根据当|b+2c﹣a﹣d|最小时，称此时的m'是m的“伴随数”来确定伴随数．14．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q）．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并且规定F（n）＝pq．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这时就有F（18）＝3162．请解答下列问题：(1)计算：F（24）；(2)当n为正整数时，求证：F（n3+2n2+n）＝1n ．【答案】(1) 23；(2)1n.【解析】分析：（1）根据最佳分解的意义，把24分解成两数的积，找出差的绝对值最小的两数，求比值即可；（2）根据（1）的求法，确定差的绝对值最小的两数的特点，然后根据要求变形即可.详解：(1)∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，其中4与6的差的绝对值最小，∴F(24)＝46＝23. (2)∵n 3＋2n 2＋n ＝n(n ＋1)2，其中n(n ＋1)与(n ＋1)的差的绝对值最小，且(n ＋1)≤n(n ＋1)，∴F(n 3＋2n 2＋n)＝()n 1n n 1++＝1n . 点睛： 本题主要考查实数的运算，理解最佳分解的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．15．（知识生成）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式： ．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c ＝10，ab+ac+bc ＝35，则a 2+b 2+c 2＝ ．（3）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b ）（a+2b ）长方形，则x+y+z ＝ ．（知识迁移）（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： ．【答案】（1）（a+b+c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ；（2）30；（3）9；（4）x 3﹣x ＝（x+1）（x ﹣1）x【解析】【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c ）2；正方形的面积＝a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ，可得等式；（2）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5b2+2ab，即可得到x，y，z的值．（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．【详解】（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，∴102＝a2+b2+c2+2×35，∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，故答案为：30；（3）由题意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，∴225xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴x+y+z＝9，故答案为：9；（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．故答案为：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．【点睛】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．一件工程，甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23；若由甲队先做 20 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 60天完成．(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？(2)已知甲队每天的施工费用为 8.6 万元，乙队每天的施工费用为 5.4 万元，工程预算的施工费用为 1000 万元，若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天、180天(2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元 【解析】 试题分析：（1）首先表示出甲、乙两队需要的天数，进而利用由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成得出等式求出答案；（2）首先求出两队合作需要的天数，进而求出答案．试题解析：解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x 天，则甲队单独完成这项工程需要23x 天． 根据题意，得201160()12233x x x ++=，解得：x =180．经检验，x =180是原方程的根，∴23x =23×180=120，答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天和180天；（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y 天，则有11()1120180y +=，解得 y =72． 需要施工费用：72×（8.6+5.4）=1008（万元）．∵1008＞1000，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元．点睛：此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．17．阅读理解：把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将2131x x --表示成部分分式？设分式2131x x --=11m n x x +-+，将等式的右边通分得：(1)(1)(1)(1)m x n x x x ++-+-=()(1)(1)m n x m n x x ++-+-，由2131x x --= ()(1)(1)m n x m n x x ++-+-得：31m n m n +=-⎧⎨-=⎩，解得：12m n =-⎧⎨=-⎩，所以2131x x --=1211x x --+-+． （1）把分式1(2)(5)x x --表示成部分分式，即1(2)(5)x x --=25m n x x +--，则m = ，n = ；（2）请用上述方法将分式43(21)(2)x x x -+-表示成部分分式． 【答案】（1）13-，13；（2）21212x x ++-． 【解析】仿照例子通分合并后，根据分子的对应项的系数相等，列二元一次方程组求解.【详解】解：(1)∵()()()522525m n x m n m n x x x x +--+=----， ∴0521m n m n +=⎧⎨--=⎩， 解得：1313m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. (2)设分式()()43212x x x -+-=212m n x x ++-将等式的右边通分得：()()()()221212m x n x x x -+++-=()()()22212m n x m n x x +-++-， 由()()43212x x x -+-=()()()22212m n x m n x x +-++-， 得2423m n m n +=⎧⎨-+=-⎩， 解得21m n =⎧⎨=⎩. 所以()()43212x x x -+-=21212x x ++-.18．甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年1月甲参加了两次登山活动．（1）1月1日甲与乙同时开始攀登一座900米高的山，甲的平均攀登速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早15分钟到达顶峰．求甲的平均攀登速度是每分钟多少米？（2）1月6日甲与丙去攀登另一座h 米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出发0.5小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含h 的代数式表示）【答案】（1）甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）360h h+倍. 【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲的平均攀登速度；（2）根据（1）中甲的速度可以表示出丙的速度，再用甲的速度比丙的平均攀登速度即可解答本题．（1）设乙的速度为x 米/分钟，900900151.2x x+＝， 解得，x=10，经检验，x=10是原分式方程的解，∴1.2x=12，即甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）设丙的平均攀登速度是y 米/分，12h +0.5×60＝h y ， 化简，得 y=12360h h +， ∴甲的平均攀登速度是丙的：1236012360h h h h ++＝倍， 即甲的平均攀登速度是丙的360h h+倍．19．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．甲工程队施工一天，需付工程款1万元；乙工程队施工一天，需付工程款0.6万元．根据甲、乙工程队的投标书测算，可有三种施工方案：（A ）甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；（B ）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用4天；（C ）若甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．为了节省工程款，同时又能如期完工，你认为应选择哪一种方案？并说明理由．【答案】为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C 方案．【解析】试题分析：设完成工程规定工期为x 天，根据等量关系：甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工，列方程，求解即可得到甲、乙工程队单独完成所需的天数，然后求出每种方案所需的工程款，比较即可得出结论．试题解析：解：设完成工程规定工期为x 天，依题意得： 1133()144x xx x -++=++ 解得：x =12． 经检验，x =12符合原方程和题意，∴x +4=16．∴甲工程队单独完成需12天，乙工程队单独完成需16天．∵B 方案不能按时完成，∴要舍弃．A 方案的工程款为12×1=12（万元），C 方案的工程款为3×1＋12×0.6=10.2（万元）， ∴应选C 方案．答：为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C 方案．20．水蜜桃是无锡市阳山的特色水果，水蜜桃一上市，水果店的老板用2000元购进一批水密桃，很快售完；老板又用3300元购进第二批水蜜桃，所购件数是第一批的32倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）第一批水蜜桃每件进价是多少元？（2）老板以每件65元的价格销售第二批水蜜桃，售出80％后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批水密桃的销售利润不少于288元，剩余的仙桃每件售价最多打几折？(利润=售价-进价)【答案】（1）50；（2）6折．【解析】【分析】（1）根据题意设第一批水蜜桃每件进价是x 元，利用第二批水密桃进价建立方程求解即可；（2）根据题意设剩余的仙桃每件售价最多打m 折，并建立不等式，求出其解集即可得出剩余的仙桃每件售价最多打几折.【详解】解：（1）设第一批水蜜桃每件进价是x 元，则有： 20003(5)33002x x ⨯⨯+=，解得50x =， 所以第一批水蜜桃每件进价是50元.（2）由（1）得出第二批水密桃的进价为：55元，数量为：33006055=件， 设剩余的仙桃每件售价最多打m 折，则有： 6580606065(180)3300288m ⨯⨯+⨯⨯--≥％％，解得0.6m ≥，即最多打6折.【点睛】本题考查分式方程的实际应用以及不等式的实际应用，理解题意并根据题意建立方程和不等式是解题的关键.五、八年级数学三角形解答题压轴题（难）21．图（1）是我们常见的“箭头图”，其中隐藏着哪些数学知识呢？下面请你解决以下问题：（1）观察如图（1）“箭头图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间大小的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，回答下列两个问题：①如图（2），把一块三角板XYZ放置在△ABC上，使其两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C．若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX= ；②如图（3），∠ABD，∠ACD的五等分线分别相交于点G1、G2、G3、G4，若∠BDC=135°，∠BG1C=67°，求∠A的度数．【答案】（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C（2）①40°②50°【解析】试题分析：（1）连接AD并延长，根据三角形的外角和内角关系解答；（2）①利用（1）的结论，直接计算出∠ABX+∠ACX的度数；②图（3）利用（1）的结论，根据∠BDC=135°，∠BG1C=67°，计算出相等的角：∠DBG4+∠DCG4的和，再次利用（1）的结论，求出∠A的度数.试题解析：（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C．理由：连接AD并延长到M．因为∠BDM=∠BAD+∠B，∠CDM=∠CAD+∠C，所以∠BDM+∠CDM=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C．（2）①由（1）知：∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，由于∠BXC=90°，∠A=50°所以∠ABX+∠ACX=∠BXC﹣∠A=90°﹣50°=40°．。

2018—2019佳木斯市第五中学八年级（下）期中测试卷数 学 试 题考生注意： 1.考试时间120分钟.2. 全卷共三大题，满分120分. 题号 一 二 三总分 21 22 23 24 25 26 27 28 分数一、填空题（本大题共10小题，共30分）1．在平行四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是（ ） A ．1：2：3：4 B ．1：2：2：1 C ．1：2：1：2 D ．1：1：2：22．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ） A ．8米 B ．10米 C ．12米 D ．14米3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A ．1.5，2，2.5B ．4，5，6C ．2，3，4D ．1，，34．下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（ ） A ．一组对角相等B ．对角线互相平分C ．一组对边相等D ．对角线互相垂直5．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D ′处，则重叠部分△AFC 的面积为 （ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．126．下列二次根式中属于最简二次根式的是( ) A ．14 B ．48 C ．baD ．44+a7．下面正确的命题中，其逆命题不成立的是( ) A ．同旁内角互补，两直线平行 B ．全等三角形的对应边相等 C ．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D ．对顶角相等8．如图，在□ABCD 中，EF //AB ，GH //AD ，EF 与GH 交于点O ，则该图中面积相等的平行四边形的对数共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对.9．等腰三角形的一腰长为13，底边长为10，则它的面积为( ) A ．65 B ．60 C ．120 D ．130 10．四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四个条件： ①AD ∥BC ；②AD=BC ；③OA=OC ；④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有（ ） A ． 3种 B ． 4种 C ． 5种 D ． 6种二、填空题（每题3分，共30分）11．若直角三角形的边长分别为3㎝,4㎝，则第三边长为 ．12．如图，一只蚂蚁从长为4cm 、宽为3cm ，高是5cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是__________cm ． 13．二次根式31-x 有意义的条件是 ． 得分 评卷人得分 评卷人 O C DB A E FHG 第8题图 第12题图 第2题图第5题图F D'D CAB14．若x x -=-3)3(2，则x 的取值范围是__________．15．直角三角形两直角边长分别为6和8，则它斜边上的高为__________． 16．若一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线长x 的取值范围是17．如图，▱ABCD 中，AB 、BC 长分别为12和24，边AD 与BC 之间的距离为5，则AB 与CD 间的距离为__________．18.如图，利用四边形的不稳定性改变矩形ABCD 的形状，得到平行四边形A 1BCD 1，若平行四边形A 1BCD 1的面积是矩形ABCD 面积的一半，则∠A 1BC 的度数是 ．19．如图，Rt △ABC 的面积为20cm 2，在AB 的同侧，分别以AB ，BC ，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为 .20．如图,边长为1的菱形ABCD 中,∠DAB=60°.连接对角 线AC,以AC 为边作第二个菱形ACEF,使∠FAC=60°.连 接AE,再以AE 为边作第三个菱形AEGH 使∠HAE=60° …按此规律所作的第n 个菱形的边长是.三、解答题（本大题共60分） 21．（本小题5分）先简化，再求值：)111(1222+-+÷+-x x x x x ，其中12+=x ．22．（本小题6分）如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知AB=8cm ，BC=10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ），求EC ．23．（本小题6分） 数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简 b b c c a b a 2)()(22---++--24．（本小题7分）明想知道学校的旗杆有多高，他发现旗杆顶上的绳子BD 垂到地面还多CD=1米，当他把绳子的下端D 拉开5米到后，发现下端D 刚好接触地面A ．你能帮他把旗杆的高度求出来吗？得分 评卷人得分 评卷人得分 评卷人得分 评卷人 第20题图第17题图 第18题图 第19题图C B AB C A D A D B C A 1D 125．（本小题8分）华人民共和国道路交通安全法》规定：•小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，•某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30m处，•过了2s•后，•测得小汽车与车速检测仪间距离为50m．这辆小汽车超速了吗？26．（本小题8分）如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？27．（本小题10分）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，（1）若取AB的中点M并连接EM，可通过全等证出AE=EF，请写出证明过程．（2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE=EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；28．（本小题10分）如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE 于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，直接猜想△ABC的形状不用证明你的结论．得分评卷人得分评卷人得分评卷人得分评卷人小汽车观察点小汽车CAB。

2020-2021学年度土主片区八年级数学期中考试卷满分150分. 考试时间：120分钟第一部分 选择题（共30分）一、选择题：本大题共10题，每题3分，共30分. 1．反比例函数2y x=()0x <的图象位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．某校组织学生参观植物园时，了解到某种花的花粉颗粒的直径大的为0.0000065米，将0.0000065用科学记数法表示应为（ ） A ．66.510⨯B ．76.510-⨯C ．56.510-⨯D ．66.510-⨯3．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（） A ．y =2x B ．y =1xC ．y =x +3D ．2yx4．若把分式x yxy-中的x ，y 都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A ．缩小到原来的 19B ．扩大到原来的3倍C ．不变D ．缩小到原来的135．函数2y x =-中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．1≥x B ．1x ≠ C ．1x >且2x ≠ D ．1≥x 且2x ≠6．若分式11x x -+的值为0，则x 的值是（ ） A ．1x =B ．1x =-C ．1x =±D ．1x ≠-7．已知点()11,P y -、点()23,Q y 在一次函数(21)2y m x =-+的图像上，且12y y >，则m 的取值范围是（ ） A ．12m <B ．12m >C ．m 1≥D ．1m <8．某工厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x 万个口罩，则可列方程为（ ） A ．18018011.5x xx x--=+ B ．180180115x xx x--=- C ．18018021.5x x=+ D ．18018021.5x x x-=- 9．如图，一次函数y kx b =+()0k ≠与反比例函数6y x=的图象交于A （m ，6），B （3，n ）两点，与坐标轴分别交于M ，N 两点．则△AOB 的面积为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．1210．如图所示，已知点()1,0N ，一次函数4y x =-+的图象与两坐标轴分别交于A ，B 两点，M ，P 分别是线段OB ，AB 上的动点，则PM MN +的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．2D ．第二部分 非选择题（共120分）二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.11．012⎛⎫- ⎪⎝⎭等于_______．12．若一次函数y=(m -3)x+(m -1)的图像经过原点，此时y 随x 的增大而__________. 13．一次函数 y ＝-2x+2 向上平移 3 个单位后的关系式为___________.14．()2275m m y m x --=- 是y 关于x 的反比例函数，且图象在第二、四象限，则m 的值为___________．15．若点P 关于x 轴的对称点P 1的坐标是(2,-5)，则点P 的坐标是___________. 16．甲、乙两车从A 城出发前往B 城．在整个行程中，汽车离开A 城的距离y 与时刻t 的对应关系如图所示，则当乙车到达B 城时，甲车离B 城的距离为________km ．三、(本大题共3题，每题9分，共27分) 17．计算： （1）()()220201120192-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭（2）()3104224232a a aa a ÷---⋅18．解方程：22124x x x -=--。

2020-2021学年浙江省杭州中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．下面四个图标中，中心对称图形个数是（）A．0B．1个C．2个D．3个2．下列各式计算正确的是（）A．8﹣2＝6B．5+5＝10C．4÷2＝2D．4×2＝8 3．若关于x的方程x2+ax+a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（）A．9B．4.5C．3D．﹣34．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9 5．若一组数据x1+1，x2+1，…，x n+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1+2，x2+2，…，x n+2的平均数和方差分别为（）A．17，2B．18，2C．17，3D．18，36．如图，在△ABC中，∠C＝50°，AC＝BC，点D在AC边上，以AB，AD为边作▱ABED，则∠E的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°7．某城市2013年底有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，要求到2015年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意列方程正确的是（）A．300（1+x）＝363B．300（1+x）2＝363C．300（1+2x）＝363D．363（1﹣x）2＝3008．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）A．10B．50C．120D．1309．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac＞0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0；③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；④若b＝2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④10．如图，▱ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S1＝2、S2＝12、S3＝3，则S4的值是（）A．4B．5C．6D．7二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．要使二次根式有意义，则a的取值范围是．12．已知正n边形的每个内角为144°，则n＝．13．某校规定：学生的单科学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得．已知某学生本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是90分、90分和95分，那么他本学期数学学期综合成绩是分．14．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是．15．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且∠B+∠C＝90°，分别以AB、AD、DC为边向形外作正方形ABEF、正方形ADHG、正方形DCJI，且其面积依次记为S1、S2、S3，若S1+S3＝4S2，则＝．16．在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE＝4，AB＝5，EC＝7，则平行四边形ABCD 的周长等于．三、解答题（本题有7个小题，共66分）17．计算下列各式：（1）﹣3+×；（2）（﹣）2+．18．解方程：（1）x2+x﹣1＝0；（2）x（x+4）＝3x+12．19．某公司计划从两家皮具生产能力相近的制造厂选择一家来承担外销业务，这两家厂生产的皮具款式和材料都符合要求，因此只需要检测皮具质量的克数是否稳定．现从两家提供的样品中各抽查10件，测得它们的质量如下（单位：克）甲：500，499，500，500，503，498，497，502，500，501，乙：499，500，498，501，500，501，500，499，500，502．你认为该选择哪一家制造厂？20．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，O是AC的中点，AB∥DC，AC＝10，BD＝8．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积．21．一家水果店以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？22．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF＝CD；（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．23．如图，长方形ABCD中（长方形的对边平行且相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t（s），问：（1）当t＝1s时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t＝s时，以点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）参考答案一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．下面四个图标中，中心对称图形个数是（）A．0B．1个C．2个D．3个【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．解：根据中心对称图形的定义可知从左到右第1个图形和第三个图形是中心对称图形，第二和第四个图形不是中心对称图形．故选：C．2．下列各式计算正确的是（）A．8﹣2＝6B．5+5＝10C．4÷2＝2D．4×2＝8【分析】根据同类二次根式的合并，及二次根式的乘除法则，分别进行各选项的判断即可．解：A、8﹣2＝6，原式计算错误，故A选项错误；B、5与5不是同类二次根式，不能直接合并，故B选项错误；C、4÷2＝2，原式计算错误，故C选项错误；D、4×2＝8，原式计算正确，故D选项正确；故选：D．3．若关于x的方程x2+ax+a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（）A．9B．4.5C．3D．﹣3【分析】把x＝﹣3代入方程x2+ax+a＝0得9﹣3a+a＝0，然后解关于a的方程即可．解：把x＝﹣3代入方程x2+ax+a＝0得9﹣3a+a＝0，解得a＝4.5．故选：B．4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．解：由原方程移项，得x2﹣2x＝5，方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x2﹣2x+1＝6∴（x﹣1）2＝6．故选：C．5．若一组数据x1+1，x2+1，…，x n+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1+2，x2+2，…，x n+2的平均数和方差分别为（）A．17，2B．18，2C．17，3D．18，3【分析】根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．解：∵数据x1+1，x2+1，…，x n+1的平均数为17，∴x1+2，x2+2，…，x n+2的平均数为18，∵数据x1+1，x2+1，…，x n+1的方差为2，∴数据x1+2，x2+2，…，x n+2的方差不变，还是2；故选：B．6．如图，在△ABC中，∠C＝50°，AC＝BC，点D在AC边上，以AB，AD为边作▱ABED，则∠E的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，再根据平行四边形的性质即可得∠E 的度数．解：∵∠C＝50°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°，∵四边形ABED是平行四边形，∴∠E＝∠A＝65°．故选：C．7．某城市2013年底有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，要求到2015年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意列方程正确的是（）A．300（1+x）＝363B．300（1+x）2＝363C．300（1+2x）＝363D．363（1﹣x）2＝300【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意即可列出方程．解：设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意即可列出方程300（1+x）2＝363．故选：B．8．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）A．10B．50C．120D．130【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．解：如图所示，∵它的每一级的长宽高为20cm，宽30cm，长50cm，∴AB＝＝50（cm）．答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是50cm，故选：B．9．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac＞0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0；③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；④若b＝2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【分析】①若a+b+c＝0，那么x＝1为一个实数根，如果原方程另一个实数根也是1，那么b2﹣4ac＝0，进而求解．②把x＝﹣1和2代入方程，建立两个等式，即可得到2a+c＝0．③方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则△＝﹣4ac＞0，左边加上b2就是方程ax2+bx+c＝0的△，由于加上了一个非负数，所以△＞0．④把b＝2a+c代入△，就能判断根的情况．解：①若a+b+c＝0，那么x＝1为一个实数根．如果原方程另一个实数根也是1，那么b2﹣4ac＝0，因此①错误；②把x＝﹣1代入方程得到：a﹣b+c＝0 （1）把x＝2代入方程得到：4a+2b+c＝0 （2）把（2）式加（1）式×2得到：6a+3c＝0，即：2a+c＝0，故正确；③方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则它的△＝﹣4ac＞0，∴b2﹣4ac＞0而方程ax2+bx+c＝0的△＝b2﹣4ac＞0，∴必有两个不相等的实数根．故正确；④若b＝2a+c则△＝b2﹣4ac＝（2a+c）2﹣4ac＝4a2+c2，∵a≠0，∴4a2+c2＞0故正确．②③④都正确，故选：C．10．如图，▱ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S1＝2、S2＝12、S3＝3，则S4的值是（）A．4B．5C．6D．7【分析】影阴部分S2是三角形CDF与三角形CBE的公共部分，而S1，S4，S3这三块是平行四边形中没有被三角形CDF与三角形CBE盖住的部分，故△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2＝平行四边形ABCD的面积，而△CDF与△CBE的面积都是平行四边形ABCD面积的一半，据此求得S4的值．解：设平行四边形的面积为S，则S△CBE＝S△CDF＝S，由图形可知，△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2＝平行四边形ABCD的面积∴S＝S△CBE+S△CDF+2+S4+3﹣12，即S＝S+S+2+S4+3﹣12，解得S4＝7，故选：D．二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．要使二次根式有意义，则a的取值范围是a≥1．【分析】根据二次根式有意义的条件列式计算可求解．解：由题意得a﹣1≥0，解得a≥1，故答案为a≥1．12．已知正n边形的每个内角为144°，则n＝10．【分析】根据多边形内角和外角的关系可求解正n边形的外角的度数，再根据多边形的外角和定理可直接求解．解：由题意得正n边形的每一个外角为180°﹣144°＝36°，n＝360°÷36°＝10，故答案为10．13．某校规定：学生的单科学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得．已知某学生本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是90分、90分和95分，那么他本学期数学学期综合成绩是92分．【分析】直接利用平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算，进而利用平时、期中和期末成绩分别是90分、90分和95分，代入求出答案．解：∵学生的单科学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得，某学生本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是90分、90分和95分，∴他本学期数学学期综合成绩是：×90+90×+×95＝92（分）．故答案为：92．14．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是m≤3且m≠2．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac的意义得到m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，解得m≤3，∴m的取值范围是m≤3且m≠2．故答案为m≤3且m≠2．15．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且∠B+∠C＝90°，分别以AB、AD、DC为边向形外作正方形ABEF、正方形ADHG、正方形DCJI，且其面积依次记为S1、S2、S3，若S1+S3＝4S2，则＝3．【分析】过点A作AE∥BC交CD于点E，得到平行四边形ABCE和Rt△ADE，根据平行四边形的性质和勾股定理，不难证明三个正方形的边长对应等于所得直角三角形的边．解：过点A作AE∥DC交CB于点E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD＝CE，DC＝AE，∠BCD＝∠AEB，∵∠ABC+∠BCD＝90°，∴∠ABC+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝90°，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，∵S1＝AB2，S2＝AD2＝BE2，S3＝DC2＝AE2，∵S1+S3＝4S2，∴AB2+DC2＝AB2+AE2＝4AD2＝BE2，∴＝，∴＝3．故答案为：3．16．在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE＝4，AB＝5，EC＝7，则平行四边形ABCD 的周长等于18或30．【分析】分∠ABC为锐角和钝角两种情况讨论，根据勾股定理计算得到BC的长即可．解：如图1，当∠ABC是锐角时，在直角△ABE中，AB＝5，AE＝4，由勾股定理得，BE＝3，又EC＝7，∴BC＝10，∴▱ABCD的周长等于30；如图2，当∠ABC是钝角时，在直角△ABE中，AB＝5，AE＝4，由勾股定理得，BE＝3，又EC＝7，∴BC＝4，∴▱ABCD的周长等于18；故答案为18或30．三、解答题（本题有7个小题，共66分）17．计算下列各式：（1）﹣3+×；（2）（﹣）2+．【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可；（2）利用完全平方公式计算．解：（1）原式＝6﹣6+＝；（2）原式＝2﹣2+3+2＝5．18．解方程：（1）x2+x﹣1＝0；（2）x（x+4）＝3x+12．【分析】（1）利用公式法求解即即可；（2）利用因式分解法求解即可．解：（1）∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，则x＝＝，∴x1＝，x2＝；（2）∵x（x+4）＝3x+12，∴x（x+4）﹣3（x+4）＝0，则（x+4）（x﹣3）＝0，∴x+4＝0或x﹣3＝0，解得x1＝﹣4，x2＝3．19．某公司计划从两家皮具生产能力相近的制造厂选择一家来承担外销业务，这两家厂生产的皮具款式和材料都符合要求，因此只需要检测皮具质量的克数是否稳定．现从两家提供的样品中各抽查10件，测得它们的质量如下（单位：克）甲：500，499，500，500，503，498，497，502，500，501，乙：499，500，498，501，500，501，500，499，500，502．你认为该选择哪一家制造厂？【分析】根据题意，要比较甲、乙两人的成绩更稳定，需求出甲、乙两人的成绩的方差；根据方差的计算方法，先求出甲乙的平均数，再根据公式计算方差，进行比较可得结论．解：甲的平均数：（500+499+500+500+503+498+497+502+500+501）＝500（克），乙的平均数：（499+500+498+501+500+501+500+499+500+502）＝500（克），s2甲＝×28＝2.8（克2），s2乙＝×12＝1.2（克2），∵s甲2＞s乙2，∴选乙．20．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，O是AC的中点，AB∥DC，AC＝10，BD＝8．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；（2）利用菱形的面积公式计算即可；【解答】证明：（1）∵AB∥DC∴∠OAB＝∠OCD，∠AOB＝∠COD，又∵AO＝CO∴△AOB≌△COD∴OD＝OB∴四边形ABCD是平行四边形．（2）∵AC⊥BD∴平行四边形ABCD是菱形∴平行四边形ABCD的面积为S＝AC×BD＝40．21．一家水果店以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？【分析】（1）销售量＝原来销售量+下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量×每斤利润＝总利润列出方程求解即可．解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20＝100+200x （斤）；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，解得：x1＝，x2＝1，当x＝时，销售量是100+200×＝200＜260；当x＝1时，销售量是100+200＝300（斤）．∵每天至少售出260斤，∴x＝1．答：水果店需将每斤的售价降低1元．22．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF＝CD；（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；（2）在（1）的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）根据ED∥FC，结合∠ACB＝60°，得出∠ACF＝∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED＝CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF＝DC．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，且∠BAD＝∠BAC＝30°，∵△AED是等边三角形，∴AD＝AE，∠ADE＝60°，∴∠EDB＝90°﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，∵ED∥CF，∴∠FCB＝∠EDB＝30°，∵∠ACB＝60°，∴∠ACF＝∠ACB﹣∠FCB＝30°，∴∠ACF＝∠BAD＝30°，在△ABD和△CAF中，，∴△ABD≌△CAF（ASA），∴AD＝CF，∵AD＝ED，∴ED＝CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF＝CD．（2）解：△AEF和△ABC的面积比为：1：4；（易知AF＝BF，延长EF交AD于H，△AEF的面积＝•EF•AH＝•CB•AD＝••BC•AD，由此即可证明）（3）解：成立．理由如下：∵ED∥FC，∴∠EDB＝∠FCB，∵∠AFC＝∠B+∠BCF＝60°+∠BCF，∠BDA＝∠ADE+∠EDB＝60°+∠EDB∴∠AFC＝∠BDA，在△ABD和△CAF中，∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD＝FC，∵AD＝ED，∴ED＝CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF＝DC．23．如图，长方形ABCD中（长方形的对边平行且相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t（s），问：（1）当t＝1s时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t＝或或或s时，以点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）【分析】（1）当t＝1时，可以得出CQ＝1cm，AP＝2cm，就有PB＝6﹣2＝4（cm），由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论，如图3，当PQ＝DQ时，如图4，当PD＝PQ时，如图5，当PD＝QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．∵CQ＝1cm，AP＝2cm，∴AB＝6﹣2＝4（cm）．∴S＝＝5（cm2）．答：四边形BCQP面积是5cm2；（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．∵AP＝2t（cm），∴PE＝6﹣2t﹣t＝（6﹣3t）cm．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝9，解得：t＝．如图2，作PE⊥CD于E，∴∠PEQ＝90°．∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE＝BC＝2cm，BP＝CE＝6﹣2t．∵CQ＝t，∴QE＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t﹣6）2+4＝9，解得：t＝．综上所述：t＝或；（3）如图3，当PQ＝DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．∵AP＝2t，∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．∵PQ＝DQ，∴PQ＝6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，解得：t＝．如图4，当PD＝PQ时，作PE⊥DQ于E，∴DE＝QE＝DQ，∠PED＝90°．∵∠A＝∠D＝90°，∴四边形APED是矩形，∴PE＝AD＝2cm．DE＝AP＝2t，∵DQ＝6﹣t，∴DE＝．∴2t＝，解得：t＝；如图5，当PD＝QD时，∵AP＝2t，CQ＝t，∴DQ＝6﹣t，∴PD＝6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2＝（6﹣t）2，解得t1＝，t2＝（舍去）．综上所述：t＝或或或．故答案为：或或或．。

2019—2020学年度第一学期期中考试八年级数学试卷一、选择题（本大题共小10题，每小题3分，共30分）1．“第七届世界军人运动会”已于2019年10月18日到27日在武汉矩形.本届军运会的会徽名为“和平友谊纽带”，寓意中国通过本届军运会，向国际社会传递了和平发展的理念，如下字体的四个三字中，是轴对称图形的是（ ）A ．和B ．平C ．友D ．谊2．下面四个图形中，不具有稳定性的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知一个三角形的两边长分别为1和4，第三遍长为整数，则该三角形的周长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．104．如图，将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含有30°角的三角板的一条直角边和含有45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α＝（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°5．如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列哪一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．∠A ＝∠DB ．AC ＝DFC ．AB ＝EDD ．BF ＝EC6．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结(如图1所示)，然后轻轻拉紧，压平就可以得到图2所示的正五边形ABCDE ，图2中，∠BAC 的大小是（ ）A ．72°B ．36°C ．30°D ．54°α30°45°F EDCB A图2ED C BAAC 长为半径画弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ，若点O 是AC 的中点，△CDF 的周长为8，则DF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．一个大正方形如图摆放有两个小正方形，他们的面积分别是S 1，S 2，则S 1，S 2的大小关系是（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＝S 2D ．不能确定9．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，F 为BC 延长线上一点，FG ⊥AE 交AD 的延长线于G ，AC 的延长线交FG 于H ，连接BG ，下列结论：①∠DAE ＝∠F ；②∠AGH ＝∠BAE ＋∠ACB ；③S △AEB ：S △AEC ＝AB ：AC .其中正确的结论有（ ）个A ．B ．C ．D ．10．如图，△ABC 中，BC ＝10，AC －AB ＝4，AD 是∠BAC 的角平分线，CD ⊥AD ，则S △BDC 的最大值为（ ）A ．40B ．28C ．20D ．10二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．点A (1，2)与点B 关于x 轴对称，则点B 的坐标是 ．12．在△ABC 中，∠A ＝50°，∠B ＝30°，点D 在边AB 上，连接CD ，若AC ＝AD ，则∠BCD 的大小是 ． 13．一个多边形的内角和为540°，且这个多边形的各个内角都相等，则这个多边形每个内角的大小是 ．14．如图，在小正三角形组成的网格图中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n 个小正三角形，使他们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰好有3条对称轴，则n 的最小值是 ．OFE CDB AS 2S 1HGFE DC B ADCBA15．如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，CD ＝4，那么△ADC 的面积为 ．16．如图，AB ＝AC ，D 是△ABC 外一点，BD 平分∠ADC ，若∠BCD ＝150°，则∠ABD 的大小是 ．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．(8分)已知一个等腰三角形的周长是18 cm ，其中一边是4 cm ，求这个三角形的边长．18．(8分)如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，FC ∥AB ，求证：AE ＝CE ．19．(8分)如图△ABC 中，AB ，AC 的垂直平分线分别交BC 于D ，E ，垂足分别是M ，N ．(1)若BC ＝10，求△ADE 的周长； (2)若∠BAC ＝100°，求∠DAE 的度数．CDB AACDBFED CBAN MEDCBA20．(8分)图①，图②都是由四条边长均为1的小四边形都成的网格，每个小四边形的顶点为格点，点O ，M ，N ，A ，B 均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图(保留连线痕迹)． (1)在图①中，画出△OMP ≌△ONP ，要求点P 在格点上；(2)在图②中，画出一个Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，要求点C 在格点上.21．(8分)△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，其中∠ACB ＝∠DCE ＝90°，AC ＝BC ，DC ＝EC ，连接BD ，BE ，AE ． (1)求证：BD ＝AE ；(2)若∠AEB ＝50°，求∠EBD 的度数；22．(10分)请按要求完成下面三道小题(本题作图不要求尺规作图)．(1)如图1，AB ＝AC ，这两条线段一定关于∠BAC 的所在直线对称，请画出该直线；(2)如图2，已知线段AB 和C ，求作线段CD ，使它与AB 成轴对称，且A 与C 是对称点，对称轴是线段AC 的；(3)如图3，任意位置(不成轴对称)的两条线段AB ，CD ，AB ＝CD ，你能从(1)，(2)中获得的启示，对其中一条线段作量尺轴对称使他们重合吗？如果能，请画出图形并简要描述操作步骤；如果不能，请说明理由．NMO①图BA②图ECDBA图1CBACA图2DCB A图323．(10分)已知在四边形ABCD 中，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，AB ＝BC ，点E ，F 分别在射线DA ，DC 上，满足EF ＝AE ＋CF ．(1)如图1，若点E ，F 分别在线段DA ，DC 上，求证：∠EBF ＝90°－12∠ADC ； (2)如图2，若点E ，F 分别在线段DA 延长线与DC 延长线上，请直接写出∠EBF 与∠ADC 的数量关系．24．(12分) 【实验操作】如图1，在△AB C 中，AB ＝AC ，现将AB 边沿∠ABC 的平分线BD 翻折，点A落在BC 边的点A 1处；再将线段CA 1沿CD 翻折到线段CA 2，连接DA 2．【探究发现】若点B ，D ，A 2三点共线，则∠ADB 的大小是，∠BAC 的大小是，此时三条线段AD ，BD ，BC 之间的数量关系是 【应用拓展】(1)如图2，将图1满足【实验操作】与【探究发现】的△ABC 的边AB 延长至E ，使得AE ＝BC ，连接CE ，直接写出∠BCE 的度数；(2)如图3，在△MNP 中，∠MNP ＝60°，∠MPN ＝70°，Q 为NP 上一点，且∠NMQ ＝20°，求证：MN ＋NQ ＝MQ ＋QP ．图1FEDCBAABCDEF 图2图11图2ABC图3QPNM。

重庆市巴川中学校2020—2021学年度秋期半期考试初2022届数学试题（本卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑.1．下列图标中，是轴对称图形的是（）A. B.C. D.2．下列运算结果正确．．的是（）A．B．C．D．3．在平面直角坐标系中，点M（2，3）关于y轴对称的点的坐标为（）A．（2，-3）B．（-2，-3）C．（-2，3）D．（3，2）4．如图，△ABC≌△A´B´C´,其中∠A=36°，∠C´=24°，则∠B的度数是（）A．150°B．120°C．90°D．60°5．下列说法不正确．．．的是（）A．等边三角形是等腰三角形B．所有的等腰三角形都是锐角三角形C．所有的等边三角形都是锐角三角形D．直角三角形两锐角的和是个定值6．将多项式a2﹣6a﹣5变为（x+p）2+q的形式，结果正确．．的是（）A．(a-3)2﹣14 B．(a+3)2﹣14 C．(a+3)2+4 D．(a﹣3)2+47．如图，在等腰△ABC中，∠B=∠C=65°，DE垂直平分AC，则∠DCE的度数等于（）A．30°B．40°C．50°D．65°A'ABDEB m 2 1BAD第4题图第7题图第8题图8．如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠B=30°，∠2＝25°，则∠1的度数是（）A．55°B．65°C．75°D．85°9．如图，△PBC的面积为15cm²，PB为∠ABC的角平分线，过点A作AP⊥BP于P，则△ABC的面积为（）A ．25cm ²B ．30 cm ²C ．32.5 cm ²D ．35 cm ²10．已知△ABC 三边长分别为3、a 、7（a 为整数），且关于x 的不等式组无解，则满足所有条件的a 的和为（ ） A ．17B ．26C ．27D ．3011．如图，正方形ABCD 中顶点A （1，1），B （3，1），D （1，3），规定把正方形ABCD “先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2020次变换后，正方形ABCD 的顶点C 的坐标为（ ） A ．（-2017，3）B ．（-2017，-3）C ．（-2018，3）D ．（-2018，-3）12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 上的点，过点D 作DE ⊥AB 交BC 于点F ，交AC 的延长线于点E ，连接CD ，∠DCA ＝∠DAC.下列结论：①∠DCB ＝∠B ；②CD ＝AB ；③△ADC 是等边三角形；④若∠E ＝30°，则DE ＝EF ＋CF .其中正确的是（ ） A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④PBACyxCD B A OFEBDAC第9题图 第11题图 第12题图二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将答案直接填在答题卡对应横线上． 13．已知等腰三角形的一个内角为102°，则等腰三角形的底角为__________. 14．已知，，则的值为_________.15．如果，那么代数式2x ²+2x +3的值为_________.16．如图，在△ABC 中，AB=9，AC =3，D 为BC 中点，则线段AD 的范围是_________.17．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a ，b ，a ＞b ）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为121，中间空缺的小正方形的面积为13，则下列关系式：①a +b =11；②（a -b ）²=13；③ab =27；④，其中中正确的是_________（填序号）18．如图，已知四边形ABCD 中，AB =12厘米，BC =8厘米，CD =14厘米，∠B =∠C ，点E 为线段AB 的中点.如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动，当点Q 的运动速度为___________厘米/秒时，能够使△BPE 与以C 、P 、Q 三点构成的三角形全等.BA E Q第16题图第17题图第18题图三、解答题（本大题共6个小题，共60 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．请将解答书写在答题卡中对应的位置上．19.（10分）因式分解：（1）（2）20.（10分）如图，AB=AD，BC=CD，AC与BD交于点O.（1）求证：OB=OD；（2）若AC=8，BD=6，求△ABC的面积.BO21.（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）.（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，请在网格中画出△A1B1C1，并写出△A1B1C1三顶点坐标：A1________，B1________，C1_______；（2）计算△ABC的面积；（3）若点P为x轴上一点，当P A+PB最小时，写出此时P点坐标________.yx–5–4–3–2–112345–5–4–3–2–112345CBA O22.（10分）先化简，再求值：（a -b ）²+（2a -b ）（a -2b ）-a （3a -b ），其中|a -1|+（2+b ）²=023.（10分）如果一个正整数能表示成两个连续偶数．．．．的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4＝22−02，12＝42−22，20＝62−42，因此4，12，20这三个数都是神秘数． （1）分别判断36和54这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2n 和2n −2（其中n 取正整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）小于101的所有神秘数共有_________个.24.（10分）如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC 于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP ＝OC ，连接OB. （1）已知∠ABO =17°，求∠DCO 的度数； （2）求证：AB ＝AO +AP四、解答题（本大题共2个小题，共18 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．请将解答书写在答题卡中对应的位置上．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A 、B 分别为x 轴，y 轴上的点，连接AB ，AF 、BE 为△ABC的角平分线，且交于点M ，过M 作MN ⊥AF 交x 轴于点G ，交y 轴于N 点． （1）求∠AME 的度数； （2）求证：AM =MN ；（3）连接FG ，判断FG 与BE 的位置关系，并证明．B26．（8分）小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边△ABC，如图，并在边AC上任意取了一点F（点F不与点A、点C重合），过点F作FH⊥AB交AB于点H，延长CB到G，使得BG=AF，连接FG交AB于点I.（1）若AC=10，求HI的长度；（2）延长BC到D，再延长BA到E，使得AE=BD，连接ED，EC，求证：∠ECD=∠EDC.。

万州二中初2019级八年级上中期考试数 学 试 题（全卷共26个小题 满分150分 考试时间120分钟）一、选择题：（本大题12个小题，共48分）请将答案直接填涂在答题卡对应的位置．1．在下列实数227，3.14159265，2，－8，－234.070070007…，36，3中无理数有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．下列运算结果正确的是（ ）A ．3x 2＋4x 2＝7x 4B ．x 3·x 5＝x 15C ．x 4÷x ＝x 3D ．（x 5）2＝x 73．估算481的值（ ）A ．在7和8之间B ．在6和7之间C ．在5和6之间D ．在4和5之间4．如图，已知AE ＝AC ，∠C ＝∠E ，下列条件中，无法判定△ABC ≌△ADE 的是（ ）A ．∠B ＝∠D B ．BC ＝DE C ．∠1＝∠2D ．AB ＝AD5．已知多项式4x 2－2（k ＋1）x ＋1是完全平方式则k 的值为（ ）A ．－3B ．－3或1C ．1D ．3或－16．下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，…，则图7中有（ ）个棋子．A ．35B ．40C ．45D ．507．如图CD ＝CB ，AB ＝AD ，DA 延长线交BC 于点E ，∠EAC ＝49°，∠BAE 的度数（ ）A ．60°B ．45°C ．82°D ．71°8．下列命题：①有两边和一角分别相等的两个三角形全等；②无理数是无限小数；③斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；④立方根等于它本身的数是±1；⑤416的算术平方根是，其中真命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知(2019)(2022)4x y x y ，则22(2019)(2022)x y x y 的值为（ ）第4题 第10题第7题A．1 B．4 C．5 D．910．将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a＋b）的正方形，图中空白部分的面积之和为S1，阴影部分的面积之和为S2．若S1＝53S2，则a，b满足（）A．2a＝5b B．2a＝3b C．a＝3b D．3a＝2b11．如果关于x的不等式组11132231xxx a x有且只有三个整数解，且关于x的方程2＋a＝3（4－x）有整数解，那么符合条件的所有整数a的和为（）A．－5 B．－6 C．－9 D．－1312．小林在测量如图所示的四边形ABCD时，测得该四边形的面积为32cm2，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，他马上得到AC的长度为（）．A．4cm B．8cm C．10cm D．82cm二、填空题：（本大题6个小题，共24分）请将答案直接填在答题卡对应的横线上．13．如果（x－3）（2x＋m）的积中不含x的一次项，则m的值是_______.14．若2,3,4m n pa a a，则p nma-+2的值是_______.15．如图，△ACB和△DCE中，AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ADC＝∠BEC 若AB＝17，BD＝5，则S△BDE＝.16．化简：()()233b c a c a b++-+-=17．若实数x满足x2－3x－1＝0，则2x3－5x2－5x－2020的值为________.18．某水稻种植中心培育了甲、乙、丙三种水稻，将这三种水稻分别种植于三块大小各不相同的试验田里．去年，三种水稻的平均亩产量分别为300kg，500kg，400kg，总平均亩产量为450kg，且丙种水稻的的总产量是甲种水稻总产量的4倍，今年初，研究人员改良了水稻种子，仍按去年的方式种植，三种水稻的平均亩产量都增加了．总平均亩产量增长了40%，甲、丙两种水稻的总产量增长了30%，则乙种水稻平均亩产量的增长率为．三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时必须写出必要的演算过程或推理步骤．第12题第15题第16题19．计算：2020202020203(1)(1)128(32)(32)2(2)()(2)x+y x x y20．分解因式：（1）3x2y－18xy2＋27y3 （2）a2＋bc－b2＋ac21．如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）若∠B＝50°，∠D＝22°，求∠AFG的度数．22．化简求值：[（a－b）2－（a－2b）（2a＋5b）＋（a＋b）（a－b）]÷2b，其中a、b满足=4+42 b a a--+23．已知a、b、c为实数，且多项式x3＋ax2＋bx＋c能被多项式x2＋3x－4整除，（1）求4a＋c的值；（2）若a、b、c为整数，且c≥a＞1，试确定a、b、c的值．24．11月份，是猕猴桃上市的季节，猕猴桃酸甜，含有丰富的维生素c和大量的营养元素．万州某水果超市的红心猕猴桃与黄心猕猴桃这两种水果很受欢迎，红心猕猴桃售价12元/千克，黄心猕猴桃售价9元/千克．（1）若第一周红心猕猴桃的销量比黄心猕猴桃的销量多200千克，要使这两种水果的总销售额不低于6600元，则第一周至少销售红心猕猴桃多少千克？（2）若该水果超市第一周按照（1）中红心猕猴桃和黄心猕猴桃的最低销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果，第二周红心猕猴桃售价不变，销量比第一周增加了43a%，黄心猕猴桃的售价保持不变，销量比第一周增加了31a%，结果这两种水果第二周的总销售额比第一周增加了711a%的基础上还多了280元，求a的值．25．教科书中这样写道：“我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式．原式＝x2＋2x－3 = (x2＋2x＋1)－4 = (x＋1)2－22= (x＋1＋2)(x＋1－2) = (x＋3)(x－1) ；例如：求代数式2x2＋4x－6 的最小值．原式＝2x2＋4x－6 = 2(x2＋2x－3) = 2(x＋1)2－8．可知当x =－1时，2x2＋4x－6 有最小值，最小值是－8．（1）分解因式：a2－2a－3＝．（2）试说明：x、y取任何实数时，多项式x2＋y2－4x＋2y＋6的值总为正数．（3）当m，n为何值时，多项式m2－2mn＋2n2－4m－4n＋25有最小值，并求出这个最小值．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须写出必要的演算过程或推理步骤．26．已知等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，点D是AC边上一点，以BD为边作等腰直角△BDE，其中BD＝BE，∠DBE=90°，边AB与DE交于点F，点G是BC上一点．（1）如图1，若DG⊥DE，连接FG．求证：DG＋FG＝EF；（2）如图2，若DG⊥BD，EP⊥BE交BA的延长线于点P，连接PG，请猜想线段PG，DG，PE之间的数量关系，并证明．万州二中初2022级八上期中数学答案1---5:ACCDB 6---10:DCBAC 11---12:DB13、6； 14、3 ； 15、30； 16、-2b ; 17、-2019; 18、45%19、（1）3+2 （2）2x 2+y 220、（1）3y(x-3y)2 （2）（a+b ）（a-b+c ）21、（1）证明：∵CE ∥AB ，∴∠B ＝∠DCE ，在△ABC 与△DCE 中，，∴△ABC ≌△DCE （SAS ）；（2）解：∵△ABC ≌△DCE ，∠B ＝50°，∠D ＝22°，∴∠ECD ＝∠B ＝50°，∠A ＝∠D ＝22°，∵CE ∥AB ，∴∠ACE ＝∠A ＝22°，∵∠CED ＝180°﹣∠D ﹣∠ECD ＝180°﹣22°﹣50°＝108°，∴∠AFG ＝∠DFC ＝∠CED ﹣∠ACE ＝108°﹣22°＝86°．22、解：原式＝（a 2﹣2ab +b 2﹣2a 2﹣5ab +4ab +10b 2+a 2﹣b 2）÷2b＝（﹣3ab +10b 2）÷2b＝﹣a +5b ，46-10240404==∴==∴≥-≥-原式b a a a23、解：（1）∵x 2+3x ﹣4是x 3+ax 2+bx +c 的一个因式，∴x 2+3x ﹣4＝0，即x ＝﹣4，x ＝1是方程x 3+ax 2+bx +c ＝0的解，∴，①×4+②得4a +c ＝12③；（2）∵c ≥a ＞1，又a ＝3﹣，∴a ＝3﹣＜c ，即1＜3﹣＜c ，解得＜c＜8，又∵a、c是大于1的正整数，∴c＝3、4、5、6、7，但a＝3﹣，a也是正整数，∴c＝4，∴a＝2，∴b＝﹣4﹣c＝﹣7．24、解：（1）设第一周销售红心猕猴桃x千克．则黄心猕猴桃（x﹣200）千克，根据题意得：12x+9（x﹣200）≥6600，解得：x≥400．答：第一周至少销售红心猕猴桃400千克；（2）根据题意得：12×400（1+a%）+9×200（1+a%）＝6600（1+%）+280，∴a=10答：a的值为10．25、（1）（a-3）（a+1）（2）解：原式=（x+2）2+（y+1）2+1∵（x+2）2≥0，（y+1）2≥0∴原式≥1 ∴原式的值总为正数（3）解：原式=（m-n-2）2-（n-4）2+5≥526、证明（1）：如图2，在ED上截取EH＝DG，连接BH，∵DG⊥DE，BD＝BE，∴∠E＝45°，∠BDG＝∠EDG﹣∠EDB＝45°，∵在△EBH与△DBG中，∴△EBH≌△DBG（SAS）∴BH＝BG，∠EBH＝∠DBG，∴∠HBG＝∠DBG+∠HBD＝∠EBH+∠HBD＝90°，又∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ABC＝∠HBA＝45°，∵在△FHB与△FGH中，∴△FHB≌△FGB（SAS），∴HF＝FG，∴DG＝EH＝EF﹣HF＝EF﹣FG，∴DG＝EF﹣FG；（2）PE＝PG+DG．证明：如图3，在EP上截取EM＝DG，连接BM，∵DG⊥BD，EP⊥BE，∴∠PEB＝∠BDG＝90°，∵在△DBG与△MEB中，∴△DBG≌△MEB（SAS），∴BG＝BM，∠DBG＝∠EBM，∴∠MBC＝∠MBD+∠DBG＝∠MBD+∠MBE＝90°，∴∠MBP＝∠PBC＝45°，∵在△GBP与△MBP中，∴△GBP≌△MBP（SAS），∴PG＝PM，∴PE＝PM+EM＝PG+DG，∴PE＝PG+DG．。

2021——2022学年度第一学期八年级数学期中试题 （满分120分，时间：120分钟） 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂到答题卡上，每小题3分，共24分）1.下列各数中是无理数的是A ．3.1415B ．5C ．13 D ．38 2.下列计算正确的是A ．325B ．326C ．1233 D ．824 3.如果点P （2，y ）在第四象限，则y 的取值范围是A ．y ＜0B ．y ＞0C ．y ≤0D ．y ≥04.如图，在灯塔O 的东北方向8海里处有一轮船A ，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B ，则AB 间的距离为A ．9海里B ．10海里C ．11海里D ．12海里5.如图，在行距、列距都是1的4×4的方格网中，将任意连接两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能等于A ．2B ．5C ．7D ．96.如图，这是一所学校的平面示意图，在同一平面直角坐标系中，教学楼A 的坐标为（-3，0），实验楼B 的坐标为（2，0），则图书馆C 的坐标为A ．（0，-3）B ．（-1，-3）C ．（3，0）D ．（-2，0）7.若实数k 、b 满足k+b ＝0，且k ＜b ，则一次函数y ＝kx+b 的图象可能是8.如图所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．下图反映了这个过程中，小明离家的距离y （单位：km ）与时间x （单位：min ）之间对应关系．根据图象判断下列说法错误的是第4题图 第6题图 第5题图 A C B D第8题图A ．食堂离小明家0.6km B．小明在图书馆读报用了30minC．食堂离图书馆0.2km D．小明从图书馆回家平均速度是0.02km/min二、填空题（每小题3分，共18分）9.若一个三角形的三边长为m+1，8，m+5，当m＝时，这个三角形是直角三角形，且斜边长为m+5;10.0.25的算术平方根是;11.在平面直角坐标系中，点A（1，﹣1）和B（1，1）关于轴对称;12.已知一次函数y＝2x﹣1的图象经过A（x1，1），B（x2，3）两点，则x1x2（填“＞”“＜”或“＝”）;13.如图，数轴上A、B两点表示的数分别为﹣2和5，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是 ;第13题图14.将一次函数y＝-3x+2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为．三、解答题（共78分,解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.(6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都为1(1)正方形①的面积S1= cm2，正方形②的面积S2= cm2，正方形③的面积S3= cm2;(2)S1,S2,S3之间存在什么关系?(3)猜想：如果Rt△ABC的三边BC，AC，AB的长分别为a，b，c，那么它们之间存在什么关系?第15题图第16题图16.（6分）学校要征收一块土地，形状如图所示，∠B=∠D=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，土地价格为1000元/m2，请你计算学校征收这块地需要多少钱?17.（8分）计算： （1）(83)6 （2）(4236)22 （3）(53)(53) （4）2(5325) 18.（7分）已知1(2)a ，5924b ，0(2021)c ，d=|2-5|（1）请化简a,b,c,d 这四个数；（2）根据化简结果，求出这四个数中“有理数的和m ”和“无理数的和n ”，并比较m 、n 的大小.19.(8分）如图是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：(1)请在网格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为(－2，4)，点B 的坐标为(－4，2)；(2)在第二象限内的格点上找一点C ，使点C 与线段AB 组成一个以AB 为底的等腰三角形，且腰长是无理数，画出△ABC ，则点C 的坐标是___，△ABC 的周长是____(结果保留根号)；(3)作出△ABC 关于x 轴对称的△A ′B ′C ′.20.(8分）南湖公园有四棵古树A ，B ，C ，D （单位：米).(1)写出A,B,C,D 四点的坐标;(2)为了更好地保护古树，公园管理处决定将如图所示的四边形EFGH 用围栏圈起来，划为保护区，请你计算保护区的面积.21.(8分）一个正比例函数和一个一次函数，它们的图象都经过点P(－2，2)，且一次函数的图象与y 轴相交于点Q(0，4)．(1)求出这两个函数的表达式；(2)在同一坐标系中，分别画出这两个函数的图象；第20题图 第21题图第19题图。

福建省厦门市2020-2021学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列计算结果正确的是（）A．2a3+a3=3a6B．（﹣a）2•a3=﹣a6C．（﹣12）﹣2=4 D．（﹣2）0=﹣13．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．11 B．16 C．17 D．16或17 4．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=12AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（）A．150°B．160°C．130°D．60°6．已知正五边形的对称轴是过任意一个顶点与该顶点对边中点的直线．如图所示的正五边形中相邻两条对称轴所夹锐角α的度数为（）A．75°B．72°C．70°D．60°7．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）作法：①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS8．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且2EC AE=，Rt FEG∆的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A ．223aB ．214aC ．25a 9 D ．249a 9．如图，AD 是△ABC 的角平分线，则AB ：AC 等于（ ）A ．BD ：CDB ．AD ：CDC ．BC ：AD D ．BC ：AC二、填空题 10．如图，已知△ABC ≌△ADE ，D 是∠BAC 的平分线上一点，且∠BAC ＝60°，则∠CAE ＝____．11．如图，△ABC ≌△ADE ，①若△ABC 周长为24，AD =6，AE =9，则BC =______；②若∠BAD =42°，则∠EFC =______．12．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED ≌△AFD ，需添加一个条件是_____．13．如图△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB=4，AC=2，且△ABD 的面积为3，则△ACD 的面积为____．14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点Ｄ，DE ⊥AB 于点E ，若AB ＝5 cm ，则△BDE 的周长为________．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC＝_____度．16．若a2n=5，b2n=16，则（ab）n=______．17．如图是4×4正方形网络，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有_____个．三、解答题18．如图，已知△ABC和直线m，画出与△ABC关于直线m对称的图形（不要求写出画法，但应保留作图痕迹）19．已知：∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AC=AD20．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB =10，S△ABD=15，求CD的长．22．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC(顶点是网格线的交点)．(1)请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；(2)将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A2C2，并以它为一边作一个格点△A2B2C2，使A2B2＝C2B2.23．若x m+n=12，x n=3，（x≠0），求x2m+n的值．24．已知：如图，AB=AD，∠ABC=∠ADC．试说明：CB=CD．25．如图，点C是线段AB上除A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB 的同旁作等边三角形ACD和等边三角形BEC，连结AE交DC于M，连结BD交CE 于N，AE与BD交于F（1）求证：AE=BD；（2）连结MN，仔细观察△MNC的形状，猜想△MNC是什么三角形？说出你的猜想，并加以证明．26．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒．解答下列问题：（1）用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；（2）当t为何值时△APQ是以PQ为底的等腰三角形？PQ BC？（3）当t为何值时//参考答案1．B【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．【详解】A ．不是轴对称图形，故本选项错误；B ．是轴对称图形，故本选项正确；C ．不是轴对称图形，故本选项错误；D ．不是轴对称图形，故本选项错误．故选B ．2．C【详解】A.3336233a a a a +=≠ ，错误；B.2356()a a a a -⋅=≠- ，错误；C.21()42--= ，正确；D.0(2)11-=≠- ，错误.故选C.3．D【详解】试题分析：由等腰三角形的两边长分别是5和6，可以分情况讨论其边长为5，5，6或者5，6，6，均满足三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的条件，所以此等腰三角形的周长为5+5+6=16或5+6+6=17.故选项D 正确.考点：三角形三边关系；分情况讨论的数学思想4．D【详解】试题解析：在△ABD 与△CBD 中， {AD CDAB BC DB DB===，∴△ABD ≌△CBD （SSS ），故③正确；∴∠ADB=∠CDB ，在△AOD 与△COD 中，{AD CDADB CDB OD OD=∠=∠=，∴△AOD ≌△COD （SAS ），∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC ，∴AC ⊥DB ，故①②③正确；故选D ．考点：全等三角形的判定与性质．5．A【详解】试题分析：∵AB ∥ED ，∴∠E=180°﹣∠EAB=180°﹣120°=60°，∵AD=AE ，∴△ADE 是等边三角形，∴∠EAD=60°，∴∠BAD=∠EAB ﹣∠DAE=120°﹣60°=60°，∵AB=AC=AD ，∴∠B=∠ACB ，∠ACD=∠ADC ，在四边形ABCD 中，∠BCD=12（360°﹣∠BAD ）=12（360°﹣60°）=150°．故选A ．考点：1．等腰三角形的性质；2．平行线的性质；3．多边形内角与外角．6．B【详解】试题分析：根据正五边形的对称性及周角的度数即可求得结果.由图可得360572α=︒÷=︒，故选B.考点：正五边形的对称性点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握正五边形的对称性，即可完成.7．C【详解】试题分析：如图，连接EC 、DC ．根据作图的过程知，在△EOC 与△DOC 中，，△EOC ≌△DOC （SSS ）．故选C ．考点：1.全等三角形的判定；2.作图—基本作图．8．D【分析】过E 作EP ⊥BC 于点P ，EQ ⊥CD 于点Q ，△EPM ≌△EQN ，利用四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积求解．【详解】解：如图，过点E 作EP BC ⊥于点P ，EQ CD ⊥于点Q ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90BCD ︒∠=，又∵90EPM EQN ︒∠=∠=，∴90PEQ ︒∠=，∴90PEM MEQ ︒∠+∠=，∴四边形PCQE 为矩形．在Rt FEG ∆中，90NEF QEN MEQ ︒∠=∠+∠=，∴PEM QEN ∠=∠．∵CA 平分BCD ∠，90EPC EQC ︒∠=∠=，∴EP EQ =，∴四边形PCQE 是正方形．在EPM ∆和EQN ∆中，PEM QEN EP EQ EPM EQN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，， ∴EPM EQN ∆∆≌，∴EQN EPM S S ∆∆=，∴四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积．∵正方形ABCD 的边长为a ，∴AC =，又∵2EC AE =，∴EC =， ∴23EP PC a ==， ∴正方形PCQE 的面积为2224339a a a ⨯=， ∴四边形EMCN 的面积为249a ． 故选D ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM ≌△EQN ．9．A【详解】试题分析：如图，过点B 作BE ∥AC 交AD 延长线于点E ，∵BE ∥AC ，∴∠DBE=∠C ，∠E=∠CAD，∴△BDE∽△CDA，∴BD BECD AC=，又∵AD是角平分线，∴∠E=∠DAC=∠BAD，∴BE=AB，∴AB BDAC CD=，∴AB：AC=BD：CD．故选A．考点：角平分线的性质．10．30°【分析】由△ABC≌△ADE可得∠BAC=∠DAE=60°，由D是∠BAC的平分线上一点可得∠BAD=∠DAC=12∠BAC=30°，即可得∠CAE的度数．【详解】∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE=60°，∵D是∠BAC的平分线上一点，∴∠BAD=∠DAC=12∠BAC=30°，∴∠CAE=∠DAE-∠DAC=60°-30°=30°．故答案为30°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质及角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．11．9 42°【分析】①根据全等三角形对应边相等可得AB=AD，AC=AE，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解；②根据全等三角形对应角相等可得∠BAC=∠DAE，∠C=∠E，再求出∠CAE=∠BAD，然后根据三角形的内角和定理可得∠EFC=∠CAE．【详解】解：①∵△ABC≌△ADE，∴AB=AD=6，AC=AE=9，∵△ABC周长为24，∴BC=24-6-9=9；②∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠C=∠E，∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠CAE=∠BAD=42°，∴∠EFC=∠CAE=42°．故答案为：9；42°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．12．AE＝AF或∠EDA＝∠FDA或∠AED＝∠AFD【分析】【详解】①添加条件：AE=AF，证明：在△AED与△AFD中，∵AE=AF，∠EAD=∠FAD，AD=AD，∴△AED≌△AFD（SAS），②添加条件：∠EDA=∠FDA，证明：在△AED与△AFD中，∵∠EAD=∠FAD，AD=AD，∠EDA=∠FDA，∴△AED≌△AFD （ASA）．故答案为AE=AF或∠EDA=∠FDA．13．．【详解】试题分析：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线的性质可得出DE=DF，再由AB=4，△ABD的面积为3求出DE的长，由AC=2即可得出△ACD的面积．解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∵AB=4，△ABD的面积为3，∴S△ABD=AB•DE=×4×DE=3，解得DE=；∴DF=，∵AC=2，∴S△ACD=AC•DF=×2×=．故答案为．考点：角平分线的性质．14．5 cm【详解】∵AD平分∠BAC,∠C=90∘，DE⊥AB，∴CD=DE，在△ACD和△AED中, AD=AD，CD=DE，∴△ACD≌△AED(HL)，∴AC=AE，∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，∵AB=5cm，∴△BDE的周长=5cm.故答案为5cm.15．30o【详解】试题分析：根据AB=AC，∠A=40°可得：∠ABC=∠C=70°，根据中垂线的性质可得：∠ABD=∠A=40°，则∠DBC=∠ABC －∠ABD=70°－40°=30°. 考点：(1)、等腰三角形；(2)、线段中垂线16．45【分析】由222()n n n a b ab ⎡⎤=⎣⎦，即可求出()n ab 的大小． 【详解】∵2222()()51680n n n n a b ab ab ⎡⎤===⨯=⎣⎦，∴()n ab ==±， 故答案为：45．【点睛】本题主要考查积的乘方的逆用和幂的乘方的逆用，利用平方根的含义解方程，二次根式的化简，熟练掌握上述公式，是解题的关键．17．4【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．【详解】如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形.故答案为4.【点睛】此题考查轴对称图案，解题关键在于利用对称轴找出对称图案即可.18．见解析．【分析】找出点A 、B 、C 关于直线m 的对称点的位置，然后顺次连接即可．【详解】解：如图所示，△A ′B ′C ′即为△ABC 关于直线m 对称的图形．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，准确找出点A、B、C的对称点的位置是解题的关键．19．见解析【分析】由∠3=∠4可得∠ABD=∠ABC，然后即可根据ASA证明△ABC≌△ABD，再根据全等三角形的性质即得结论．【详解】证明：∵∠3=∠4，∴∠ABD=∠ABC，在△ABC和△ABD中，∵∠2=∠1，AB=AB，∠ABC=∠ABD，∴△ABC≌△ABD（ASA），∴AC=AD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于基础题型，证明△ABC≌△ABD是解本题的关键．20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；（2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，等量代换得出结论．【详解】（1）证明：由于AB=AC，故△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB；∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEC=∠BEC=90°，∠ADB=90°；∴∠BAD+∠ABC=90°，∠ECB+∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ECB，在Rt△AEF和Rt△CEB中∠AEF=∠CEB，AE=CE，∠EAF=∠ECB，所以△AEF≌△CEB（ASA）（2）∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，故BD=CD，即CB=2CD，又∵△AEF≌△CEB，∴AF=CB=2CD．21．3【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD，∴S△ABD=12AB•DE=12×10•DE=15，解得DE=3．∴CD=3.【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．22．见解析【详解】试题分析：（1）根据轴对称作图作出即可；（2）根据平移的性质作出A 2C 2，在作出△A 2B 2C 2，使A 2C 2=C 2B 2（答案不唯一）．试题解析：（1）△A 1B 1C 1如图所示；（2）线段A 2C 2和△A 2B 2C 2如图所示（符合条件的△A 2B 2C 2不唯一）．考点：轴对称作图；平移的性质．23．48【分析】首先利用同底数幂的除法法则求出m x 的值，然后再利用同底数幂的乘法以及幂的乘方的运算法则计算即可．【详解】∵x m +n =12，x n =3，4m m n n m n n x x x x +-+∴==÷=，()22224348m n m n m n x x x x x +∴=⋅=⋅=⨯=．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握同底数幂的乘除法及幂的乘方的运算法则计算即可．24．见解析．【分析】连接BD，由AB=AD，根据等边对等角，可得∠ADB=∠ABD，由∠ABC=∠ADC，根据等式的基本性质，可得∠CBD=∠CDB，根据等角对等边，所以CD=CB．【详解】证明：如图，连接BD，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，即∠CBD=∠CDB，∴CD=CB．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，用角相等来求边相等是本题的解题思路．25．（1）详见解析；（2）△MNC是等边三角形，理由详见解析.【分析】（1）先由△ACD和△BCE是等边三角形，可知AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，故可得出∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，根据SAS定理可知△ACE≌△DCB，由全等三角形的性质即可得出结论；（2）由（1）中△ACE≌△DCB，可知∠CAM=∠CDN，再根据∠ACD=∠ECB=60°，A、C、B三点共线可得出∠DCN=60°，由全等三角形的判定定理可知，△ACM≌△DCN，故MC=NC，再根据∠MCN=60°可知△MCN为等边三角形．【详解】（1）证明：∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，∵∠DCA=∠ECB=60°，∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE ，∠ACE=∠DCB ，在△ACE 与△DCB 中，∵AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACE ≌△DCB ，∴AE=BD ；（2）解：△MNC 是等边三角形．理由如下：∵由（1）得，△ACE ≌△DCB ，∴∠CAM=∠CDN ，∵∠ACD=∠ECB=60°，而A 、C 、B 三点共线，∴∠DCN=60°，在△ACM 与△DCN 中，∵CAM NDC AC DC ACM DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACM ≌△DCN ，∴MC=NC ，∵∠MCN=60°，∴△MCN 为等边三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．26．（1）AP =12-2t ，AQ =t ；（2）当t =4s 时△APQ 是以PQ 为底的等腰三角形；（3）当t =3s 时,//PQ BC ．【分析】（1）由题意，可知BP =2t ，AP =AB -BP ，AQ =t ．（2）若△APQ 是以PQ 为底的等腰三角形，则有AP =AQ ，即12-2t =t ，求出t 即可．（3）若//PQ BC ，则有AQ ：AC =AP ：AB ．再由题意可得∠B =30°，AC =6cm ．从而问题可求．【详解】解：（1）∵AB =12，∴由题意得：BP =2t ，AP =AB -BP =12-2t ，AQ =t ．（2）∵△APQ 是以PQ 为底的等腰三角形，∴AP =AQ ，即12-2t =t ，解得t =4，即当t =4秒时△APQ 是等腰三角形．（3）∵Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，∴∠B =30°．∵当30QPA B ∠=∠=︒时，有//PQ BC ，2,AP AQ ∴=1222,t t ∴-=∴解得t =3．即当t =3秒时，//PQ BC ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和直角三角形的性质等知识点的综合应用能力．。

八年级上册潍坊数学期中精选试卷测试题（Word 版 含解析）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，在ABC 中，45ABC ∠=,AD ,BE 分别为BC ,AC 边上的高，连接DE ,过点D 作DF DE ⊥与点F ，G 为BE 中点，连接AF ，DG ．（1）如图1，若点F 与点G 重合，求证：AF DF ⊥；（2）如图2，请写出AF 与DG 之间的关系并证明．【答案】(1)详见解析;(2)AF=2DG,且AF ⊥DG,证明详见解析.【解析】【分析】(1) 利用条件先△DAE ≌△DBF,从而得出△FDE 是等腰直角三角形,再证明△AEF 是等腰直角三角形,即可.(2) 延长DG 至点M,使GM=DG,交AF 于点H,连接BM, 先证明△BGM ≌△EGD,再证明△BDM ≌△DAF 即可推出.【详解】解:（1）证明:设BE 与AD 交于点H..如图，∵AD,BE 分别为BC,AC 边上的高,∴∠BEA=∠ADB=90°.∵∠ABC=45°,∴△ABD 是等腰直角三角形.∴AD=BD.∵∠AHE=∠BHD,∴∠DAC=∠DBH.∵∠ADB=∠FDE=90°,∴∠ADE=∠BDF.∴△DAE ≌△DBF.∴BF=AE,DF=DE.∴△FDE是等腰直角三角形.∴∠DFE=45°.∵G为BE中点,∴BF=EF.∴AE=EF.∴△AEF是等腰直角三角形.∴∠AFE=45°.∴∠AFD=90°,即AF⊥DF.（2）AF=2DG,且AF⊥DG.理由:延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM,∵点G为BE的中点,BG=GE.∵∠BGM∠EGD,∴△BGM≌△EGD.∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE.∴∠MBE=∠EFD,BM=DF.∵∠DAC=∠DBE,∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE.∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF,∴∠BDF=45°-∠DBE.∵∠ADE=∠BDF,∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD.∵BD=AD,∴△BDM≌△DAF.∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM.∵∠BDM+∠MDA=90°,∴∠MDA+∠FAD=90°.∴∠AHD=90°.∴AF⊥DG.∴AF=2DG,且AF⊥DG【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于灵活运用性质.2．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以6cm /s 的速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？【答案】（1）①△BPD ≌△CQP ，理由见解析；②V 7.5Q =（厘米/秒）；（2）点P 、Q 在AB 边上相遇，即经过了803秒，点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇． 【解析】【分析】（1）①先求出t=1时BP=BQ=6，再求出PC=10=BD ，再根据∠B ＝∠C 证得△BPD ≌△CQP ；②根据V P ≠V Q ，使△BPD 与△CQP 全等，所以CQ ＝BD ＝10，再利用点P 的时间即可得到点Q 的运动速度；（2）根据V Q ＞V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程，设运动x 秒，即可列出方程1562202x x ，解方程即可得到结果. 【详解】（1）①因为t ＝1（秒），所以BP ＝CQ ＝6（厘米）∵AB ＝20，D 为AB 中点，∴BD ＝10（厘米）又∵PC ＝BC ﹣BP ＝16﹣6＝10（厘米）∴PC ＝BD∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，在△BPD 与△CQP 中， BP CQ B C PC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BPD≌△CQP（SAS），②因为V P≠V Q，所以BP≠CQ，又因为∠B＝∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP＝CP＝8，即△BPD≌△CPQ，故CQ＝BD＝10．所以点P、Q的运动时间84663BPt（秒），此时107.543QCQVt（厘米/秒）．（2）因为V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得156220 2x x，解得x=803(秒)此时P运动了8061603（厘米）又因为△ABC的周长为56厘米，160＝56×2+48，所以点P、Q在AB边上相遇，即经过了803秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．【点睛】此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.3．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足a2+b2+4a﹣8b+20＝0．（1）求a，b的值；（2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°，①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为；②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标．【答案】（1）a＝﹣2，b＝4；（2）①（4，0）；②P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【解析】【分析】（1）利用非负数的性质解决问题即可．（2）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．②分两种情形：如图2中，若∠ABP=90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．如图3中，若∠BAP=90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．分别利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】（1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0∴a＝﹣2，b＝4．（2）①如图1中，∵∠APB＝45°，∠POB＝90°，∴OP＝OB＝4，∴P（4，0）．故答案为（4，0）．②∵a＝﹣2，b＝4∴OA＝2OB＝4又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45°∴只有两种情况，∠ABP＝90°或∠BAP＝90°①如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．∴∠PCB＝∠BOA＝90°，又∵∠APB＝45°，∴∠BAP＝∠APB＝45°，∴BA＝BP，又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°，∴∠ABO＝∠BPC，∴△ABO≌△BPC（AAS），∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，∴P（4，2）．②如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．∴∠PDA＝∠AOB＝90°，又∵∠APB＝45°，∴∠ABP＝∠APB＝45°，∴AP＝AB，又∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠DPA+∠DAP＝90°，∴∠BAD＝∠DPA，∴△BAO≌△APP（AAS），∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4，∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2，∴P（2，﹣2）．综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．4．如图1，等腰△ABC中，AC=BC＝42∠ACB=45˚，AO是BC边上的高，D为线段AO上一动点，以CD为一边在CD下方作等腰△CDE,使CD=CE且∠DCE=45˚，连结BE.(1) 求证：△ACD≌△BCE；(2) 如图2，在图1的基础上，延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ,若CP＝CQ＝5,求PQ的长.(3) 连接OE，直接写出线段OE的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=422-【解析】试题分析：()1根据SAS即可证得ACD BCE≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，由等腰三角形的性质，即可求得45DAC∠=︒，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．()3OE BQ⊥时，OE取得最小值.试题解析：()1证明：∵△ABC与△DCE是等腰三角形，∴AC=BC,DC=EC,45ACB DCE∠=∠=，45ACD DCB ECB DCB∴∠+∠=∠+∠=，∴∠ACD=∠BCE；在△ACD和△BCE中，,AC BCACD BCEDC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ACD BCE∴≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，(2)过点C 作CH ⊥BQ 于H ，∵△ABC 是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO 是BC 边上的高，45DAC ∴∠=，ACD BCE ≌，45PBC DAC ∴∠=∠=，∴在Rt BHC 中,2242422CH BC =⨯=⨯=， 54PC CQ CH ===，，3PH QH ∴==，6.PQ ∴=()3OE BQ ⊥时，OE 取得最小值.最小值为：42 2.OE =-5．如图，在ABC ∆中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD .以AD 为直角边且在AD 的上方作等腰直角三角形ADF .（1）若AB AC =，90BAC ∠=︒①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），试探讨CF 与BD 的数量关系和位置关系； ②当点D 在线段C 的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中面出相应的图形并说明理由；（2）如图3，若AB AC ≠，90BAC ∠≠︒，45BCA ∠=︒，点D 在线段BC 上运动，试探究CF 与BD 的位置关系.【答案】（1）①CF ⊥BD ，证明见解析；②成立，理由见解析；（2）CF ⊥BD ，证明见解析.【解析】【分析】（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△ABD 全等，②先求出∠CAF=∠BAD ，然后与①的思路相同求解即可；（2）过点A 作AE ⊥AC 交BC 于E ，可得△ACE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE ，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△AED 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED ，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF ⊥BD ．【详解】解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；②成立，理由如下：如图2：∵∠CAB=∠DAF=90°，∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，∴CF⊥BD；（2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，∵∠BCA=45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC=AE，∠AED=45°，∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠EAD，在△ACF和△AED中，∵AC=AE，∠CAF=∠EAD，AD=AF，∴△ACF≌△AED(SAS)，∴∠ACF=∠AED=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，∴CF⊥BD．【点睛】本题考查全等三角形的动点问题，综合性较强，有一定难度，需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1）．（1）请运用所学数学知识构造图形求出AB的长；（2）若Rt△ABC中，点C在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C后不用计算写出你能写出的点C的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使PA=PB且PA+PB最小？若存在，就求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．【答案】（1）AB=52）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样的点P．【解析】【分析】（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；（2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．【详解】解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=25（2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2．②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4．③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）．（3）不存在这样的点P．作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，由图可以看出两线交于第一象限．∴不存在这样的点P．【点睛】本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．7．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC （图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）MB=MC．理由见解析；（3）MB=MC还成立，见解析．【解析】【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根据等角对等边即可得证；（3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．【详解】（1）如图（2），连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE.∵MD=ME，∴∠MAD=∠MAE，∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE，即∠BAM=∠CAM.在△ABM和△ACM中，AB=AC，∠BAM=∠CAM，AM=AM，∴△ABM≌△ACM（SAS），∴MB=MC.（2）MB=MC．理由如下：如图（3），延长CM交DB于F，延长BM到G，使得MG=BM，连接CG.∵CE∥BD，∴∠MEC=∠MDF，∠MCE=∠MFD.∵M是ED的中点，∴MD=ME.在△MCE和△MFD中，∠MCE=∠MFD，∠MEC=∠MDF，MD=ME，∴△MCE≌△MFD（AAS）.∴MF=MC.∴在△MFB和△MCG中，MF=MC，∠FMB=∠CMG，BM=MG，∴△MFB≌△MCG（SAS）.∴FB=GC，∠MFB=∠MCG，∴CG∥BD，即G、C、E在同一条直线上.∴∠GCB=90°.在△FBC和△GCB中，FB=GC，∠FBC=∠GCB，BC=CB，∴△FBC≌△GCB（SAS）.∴FC=GB.∴MB=12GB=12FC=MC.（3）MB=MC还成立．如图（4），延长BM交CE于F，延长CM到G，使得MG=CM，连接BG.∵CE∥BD，∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE.又∵M是DE的中点，∴MD=ME.在△MDB和△MEF中，∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，MD=ME，∴△MDB≌△MEF（AAS），∴MB=MF.∵CE∥BD，∴∠FCM=∠BGM.在△FCM和△BGM中，CM=MG，∠CMF=∠GMB，MF=MB，∴△FCM≌△BGM（SAS）.∴CF=BG，∠FCM=∠BGM.∴CF//BG，即D、B、G在同一条直线上.在△CFB和△BGC中，CF=BG，∠FCB=∠GBC，CB=BC，∴△CFB≌△BGC（SAS）.∴BF=CG.∴MC=12CG=12BF=MB．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键．8．（1）问题发现．如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．①求证：ADC BEC ∆∆≌．②求AEB ∠的度数．③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________．（2）拓展探究．如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．①请判断AEB ∠的度数为____________．②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明）【答案】（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+【解析】【分析】（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．【详解】解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACD ECB ∠=∠，∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．②∵CDE ∆为等边三角形，∴60CDE ∠=︒．∵点A 、D 、E 在同一直线上，∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，又∵ADC BEC ∆∆≌，∴120ADC BEC ∠=∠=︒，∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．③AD BE =ADC BEC ∆∆≌，∴AD BE =．故填：AD BE =；（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，∴ACD ECB ∠=∠，在ACD ∆和BCE ∆中，AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴E ACD BC ∆∆≌，∴ADC BEC ∠∠=．∵点A 、D 、E 在同一直线上， ∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒．②∵CDA CEB ∆∆≌，∴BE AD =．∵CD CE =，CM DE ⊥，∴DM ME =．又∵90DCE ∠=︒，∴2DE CM =，∴2AE AD DE BE CM =+=+．故填：①90°；②2AE BE CM =+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．9．如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =12BC ，点D 为BC 的中点，AB =DE ，BE ∥AC ． （1）求证：△ABC ≌△DEB ；（2）连结AD 、AE 、CE ，如图2．①求证：CE 是∠ACB 的角平分线；②请判断△ABE是什么特殊形状的三角形，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②△ABE是等腰三角形，理由详见解析.【解析】【分析】（1）由AC//BE，∠ACB=90°可得∠DBE=90°，由AC=12BC，D是BC中点可得AC=BD，利用HL即可证明△ABC≌△DEB；（2）①由（1）得BE=BC，由等腰直角三角形的性质可得∠BCE=45°，进而可得∠ACE=45°，即可得答案；②根据SAS可证明△ACE≌△DCE，可得AE=DE，由AB=DE可得AE=AB即可证明△ABE是等腰三角形.【详解】（1）∵∠ACB=90°，BE∥AC∴∠CBE=90°∴△ABC和△DEB都是直角三角形∵AC=12BC，点D为BC的中点∴AC=BD又∵AB=DE∴△ABC≌△DEB（H.L.）（2）①由（1）得：△ABC≌△DEB ∴BC=EB又∵∠CBE=90°∴∠BCE=45°∴∠ACE=90°-45°=45°∴∠BCE=∠ACE∴CE是∠ACB的角平分线②△ABE是等腰三角形，理由如下：在△ACE和△DCE中AC DCACE BCECE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE≌△DCE（SAS）.∴AE=DE又∵AB=DE∴AE=AB∴△ABE是等腰三角形【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判断与性质，熟练掌握判定定理是解题关键.10．如果一个三角形能被一条线段割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．（1）如图1，ABC∆是等腰锐角三角形，()AB AC AB BC=>，若ABC∠的角平分线BD交AC于点D，且BD是ABC∆的一条特异线，则BDC∠=度．（2）如图2，ABC∆中，2B C∠=∠，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，求证：AE是ABC∆的一条特异线；（3）如图3，若ABC∆是特异三角形，30A∠=，B为钝角，不写过程，直接写出所有可能的B的度数．【答案】（1）72；（2）证明见解析；（3）∠B度数为：135°、112.5°或140°.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得出∠C=∠ABC=∠BDC=2∠A，据此进一步利用三角形内角和定理列出方程求解即可；（2）通过证明△ABE与△AEC为等腰三角形求解即可；（3）根据题意分当BD为特异线、AD为特异线以及CD为特异线三种情况分类讨论即可.【详解】（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC，∵BD是△ABC的一条特异线，∴△ABD与△BCD为等腰三角形，∴AD=BD=BC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，设∠A=x，则∠C=∠ABC=∠BDC=2x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即：x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠BDC=72°，故答案为：72；（2）∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴△EAC为等腰三角形，∴∠EAC=∠C，∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，∴△EAB为等腰三角形，∴AE是△ABC的一条特异线；（3）如图3，当BD是特异线时，如果AB=BD=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°；如果AD=AC，DB=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°；如果AD=DB，DC=DB，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°，不符合题意，舍去；如图4，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC，则：∠ABC=180°−20°−20°=140°；当CD为特异线时，不符合题意；综上所述，∠B度数为：135°、112.5°或140°.【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B中纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请问两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：s =____________________；方法2：s =________________________；（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：()222,,a b a b ab ++之间的等量关系． _______________________________________________________；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：225,11a b a b +=+=，求ab 的值；②已知()()22202020195a a -+-=，则()()20202019a a --的值是____． 【答案】（1）()2a b +，222a ab b ++；（2）()2222a b a ab b +=++；（3）①7ab =，②2-【解析】【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b ）2，a 2+b 2，ab 之间的等量关系；（3）①依据a+b=5，可得（a+b ）2=25，进而得出a 2+b 2+2ab=25，再根据a 2+b 2=11，即可得到ab=7；②设2020-a=x ，a-2019=y ，即可得到x+y=1，x 2+y 2=5，依据（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，即可得出xy=()222()2x y x y +-+=2-，进而得到()()20202019a a --=2-． 【详解】 解：（1）图2大正方形的面积=()2a b +，图2大正方形的面积=222a ab b ++故答案为：()2a b +，222a ab b ++；（2）由题可得()2a b +，22a b +，ab 之间的等量关系为：()2222a b a ab b +=++故答案为：()2222a b a ab b +=++；（3）①()()2222a b a b ab +-+=2251114ab ∴=-=7ab ∴=②设2020-a=x ，a-2019=y ，则x+y=1，∵()()22202020195a a -+-=，∴x 2+y 2=5，∵（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，∴xy=()222()2x y x y +-+=-2， 即()()202020192a a --=-．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．12．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每一个数为它上方（左右）两数的和．事实上，这个三角形给出了()n a b +(1,2,3,4,5,6)n =的展开式（按a 的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第三行的3个数1,2,1，恰好对应着222()2a b a ab b +=++展开式中的各项系数，第四行的4个数1,3,3,1，恰好对应着+=+++33223()33a b a a b ab b 展开式中的各项系数，等等．请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题：（1）写出4()a b +的展开式；（2）利用整式的乘法验证你的结论．【答案】（1）++++432234a 4a b 6a b 4ab b ；（2）见解析【解析】【分析】(1)运用材料所提供的结论即可写出；（2）利用整式的乘法求解验证即可.【详解】（1）4322344()464a b a a b a b ab b +=++++，（2）方法一：()()()43a b a b a b +=+•+=()()322333a b a a b ab b ++++4322332234=33+33a a b a b ab a b a b ab b ++++++432234464a a b a b ab b =++++方法二：()()()422a b a b a b +=+•+=2222(2)(2)a ab b a ab b ++++=43223223223422422a a b a b a b a b ab a b ab b ++++++++= ++++432234a 4a b 6a b 4ab b .【点睛】解决阅读题的关键是读懂题目所给材料并理解，应用题目中给出的信息解决问题.13．若一个正整数x 能表示成22a b -(,a b 是正整数，且a b >)的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a 与b 是x 的一个平方差分解. 例如：因为22532=-，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：22222222()M x xy x xy y y x y y =+=++-=+-(,x y 是正整数)，所以M 也是“明礼崇德数”，()x y +与y 是M 的一个平方差分解.(1)判断：9_______“明礼崇德数”(填“是”或“不是”)；(2)已知2246N x y x y k =-+-+(,x y 是正整数，k 是常数，且1x y >+)，要使N 是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由；(3)对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“七喜数”.若m 既是“七喜数”，又是“明礼崇德数”，请求出m 的所有平方差分解.【答案】（1）是；（2）k=-5；（3）m=279，222794845=-，222792011=-.【解析】【分析】(1)根据9=52-42，确定9是“明礼崇德数”；(2)根据题意分析N 应是两个完全平方式的差，得到k=-5，将k=-5代入计算即可将N 平方差分解，得到答案；(3)确定“七喜数”m 的值，分别将其平方差分解即可.【详解】(1)∵9=52-42，∴9是“明礼崇德数”，故答案为：是；(2)当k=-5时，N 是“明礼崇德数”，∵当k=-5时，22465N x y x y =-+--，=224649x y x y -+-+-，=22(44)(69)x x y y ++-++，=22(2)(3)x y +-+，=(23)(23)x y x y ++++--=(5)(1)x y x y ++--.∵,x y 是正整数，且1x y >+，∴N 是正整数，符合题意，∴当k=-5时，N 是“明礼崇德数”；(3)由题意得：“七喜数”m=178或279，设m=22a b -=（a+b ）（a-b ），当m=178时，∵178=2⨯89，∴892a b a b +=⎧⎨-=⎩，得45.543.5a b =⎧⎨=⎩（不合题意，舍去）； 当m=279时，∵279=3⨯93=9⨯31，∴①933a b a b +=⎧⎨-=⎩，得4845a b =⎧⎨=⎩，∴222794845=-， ②319a b a b +=⎧⎨-=⎩，得2011a b =⎧⎨=⎩，∴222792011=-， ∴既是“七喜数”又是“明礼崇德数”的m 是279，222794845=-，222792011=-.【点睛】此题考查因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的前提，(3)是此题的难点，解题时需根据百位与个位数字的关系确定具体的数据，再根据“明礼崇德数”的要求进行平方差分解.14．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式, 我们把这样的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：21124x x ++＝222111111()()2422x x ++-+ ＝21125()24x +- ＝115115()()2222x x +++-＝(8)(3)x x ++ 根据以上材料，解答下列问题： （1）用多项式的配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式；（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式2340x x --进行分解因式的解答过程：老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“ ”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：（3）求证：x ，y 取任何实数时，多项式222416x y x y +--+的值总为正数．【答案】（1）2(4)17x +- ；（2）(5)(8)x x +-；（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据配方法，可得答案；（2）根据配方法，可得平方差公式，再根据平方差公式，可得答案；（3）根据交换律、结合率，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．试题解析：解：（1）281x x +-=2228441x x ++--=2(4)17x +-（2）2340x x --=222333()()40222x x -+-- =23169()24x -- =313313()()2222x x -+-- =(5)(8)x x +- （3）证明：222416x y x y +--+=22214411x x y y -++-++=22(1)(2)11x y -+-+∵2(1)x -≥0，2(2)y -≥0，∴22(1)(2)110x y -+-+>．∴x ，y 取任何实数时，多项式222416x y x y +--+的值总是正数．点睛：本题考查了配方法，利用完全平方公式：a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2配方是解题关键．15．阅读材料：要把多项式am+an+bm+bn 因式分解，可以先把它进行分组再因式分解：am+an+bm+bn=（am +an ）+（bm +bn ）=a （m +n ）+b （m +n ）=（a +b ）（m +n ），这种因式分解的方法叫做分组分解法．（1）请用上述方法因式分解：x 2-y 2+x-y（2）已知四个实数a 、b 、c 、d 同时满足a 2+ac=12k ，b 2+bc=12k ．c 2+ac=24k ，d 2+ad=24k ，且a ≠b ，c≠d ，k≠0①求a+b+c 的值；②请用含a 的代数式分别表示b 、c 、d【答案】（1）（x −y ）（x +y +1）；（2）①0a b c ++=；②3b a =-，2c a =，3d a =-【解析】【分析】（1）将x 2 - y 2分为一组，x-y 分为一组，前一组利用平方差公式化为(x+y)(x-y)，再提取公因式即可求解．（2）①已知22a ac b bc +=+=12k ，可得220a b ac bc -+-=，将等号左边参照（1）因式分解，即可求解．②由a 2+ac=12k ，c 2+ac=24k 可得2(a 2+ac)= c 2+ac ，即可得出c=2a ，同理得出3b a =-，3d a =-【详解】（1）x 2-y 2+x-y = (x 2 -y 2)+(x-y)=(x+y)(x-y)+(x-y)=(x-y)(x+y+1)故答案为：(x-y)(x+y+1)（2）①22a ac b bc +=+=12k220a b ac bc -+-=()()0a b a b c -++=∵a b∴0a b c ++=②∵a 2+ac=12k ，c 2+ac=24k2(a 2+ac)= c 2+ac∴2a 2+ac- c 2=0得(2a-c)(a+c)=0∵a 2+ac=12k ≠0即a(a+c)≠0∴c=2a ，a 2=4k∵b 2+bc=12k∴b 2+2ba=3a 2则（a −b ）（3a +b ）=0∵a ≠b∴3b a =-同理可得d 2+ad=24k ，c 2+ac=24kd 2+ad=c 2+ac（d −c ）（a +d +c ）=0∵c d ≠∴0a d c ++=∴3d a =-故答案为：0a b c ++=；3b a =-，2c a =，3d a =-【点睛】本题考查了用提取公因式法、运用公式法、分组分解法进行因式分解．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S 米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．（2）若甲工程队每天可以改造a 米道路，乙工程队每天可以改造b 米道路，（其中a b ）．现在有两种施工改造方案： 方案一：前12S 米的道路由甲工程队改造，后12S 米的道路由乙工程队改造； 方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造． 根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用的时间少【解析】【分析】（1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；（2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论．【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，则甲工程队每天道路的长度为()30x +米， 根据题意，得：36030030x x=+， 解得：150x =，检验，当150x =时，()300x x +≠，∴原分式方程的解为：150x =，30180x +=，答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）设方案一所用时间为：111()222s s a b s t a b ab+=+=， 方案二所用时间为2t ，则221122t a t b s +=，22s t a b=+， ∴22()22()a b a b S S S ab a b ab a b +--=++， ∵a b ，00a b >>，，∴()20a b ->， ∴202a b S S ab a b+->+，即：12t t >， ∴方案二所用的时间少．【点睛】 本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式的通分，是解题的关键．17．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：76112333+==+. 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”. 例如：像33x x -+，23x x -，…这样的分式是假分式；像23x -，23x x -，…这样的分式是真分式. 类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式. 例如：将分式2253x x x +-+拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法一：解：由分母为3x +，可设225(3)()x x x x a b +-=+++则由22225(3)()33(3)(3)x x x x a b x ax x a b x a x a b +-=+++=++++=++++ 对于任意x ，上述等式均成立，∴3235a a b +=⎧⎨+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩∴225(3)(1)2(3)(1)22133333x x x x x x x x x x x x +-+--+-==-=--+++++ 这样，分式2253x x x +-+就被拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法二：解：2225332(3)(3)2(3)32213333333x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+---+-+-++===--=--+++++++ 这样，分式2253x x x +-+就拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. （1）请仿照上面的方法，选择其中一种方法将分式2731x x x ---拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式；（2）已知整数x 使分式225112x x x +-+的值为整数，求出满足条件的所有整数x 的值. 【答案】（1）961x x ---；（2）x=-1或-3或11或-15. 【解析】【分析】 （1）先变形2731x x x ---=26691x x x x --+--，由“真分式”的定义，仿照例题即可得出结论；（2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定整数x 的值．【详解】解：（1）2731x x x ---=26691x x x x --+-- =(1)6(1)91x x x x ----- =961x x ---； （2）225112x x x +-+= 2242132x x x x +++-+ =2(2)(2)132x x x x +++-+ =13212x x +-+， ∵x 是整数，225112x x x +-+也是整数， ∴x+2=1或x+2=-1或x+2=13或x+2=-13，∴x=-1或-3或11或-15.【点睛】本题考查了逆用整式和分式的加减法对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义对分子进行拆分．18．一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a b c ++，abc ，22a b +，含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是+a b 和ab ，像22a b +，(2)(2)a b ++等对称式都可以用+a b 和ab 表示，例如：222()2a b a b ab +=+-．请根据以上材料解决下列问题：（1）式子①22a b ，②22a b -，③11a b +中，属于对称式的是__________（填序号）．（2）已知2()()x a x b x mx n ++=++．①若m =-n =，求对称式b a a b+的值． ②若4n =-，直接写出对称式442211a b a b+++的最小值． 【答案】（1）①③．（2）①2．②172【解析】试题分析：（1）由对称式的定义对三个式子一一进行判断可得属于对称式的是①、③；（2）①将等号左边的式子展开， 由等号两边一次项系数和常数项对应相等可得a +b =m ，ab =n ，已知m 、n 的值，所以a +b 、ab 的值即求得，因为b a +a b =22a b ab +=()22a b ab ab +-，所以将a +b 、ab 的值整体代入化简后的式子计算出结果即可；②421a a ++421b b+= a 2+21a +b 2+21b =（a +b ）2－2ab ()2222a b ab a b+-+=m 2+8+2816m +=21716m +172，因为1716m 2≥0，所以1716m 2+172≥172，所以421a a ++421b b +的最小值是172． 试题解析：（1）∵a 2b 2=b 2a 2，∴a 2b 2是对称式，∵a 2-b 2≠b 2－a 2，∴a 2－b 2不是对称式， ∵1a +1b =1b +1a ，∴1a +1b是对称式， ∴①、③是对称式；（2）①∵（x +a ）（x +b ）=x 2+（a +b ）x +ab =x 2+mx +n ，∴a +b =m ，ab =n ，∵m =－n， ∴b a +a b =22a b ab +=()22a b ab ab +-22-－2；②421a a ++421b b+， =a 2+21a +b 2+21b， =（a +b ）2－2ab +()2222a b ab a b +-，=m 2+8+2816m +， =21716m +172， ∵1716m 2≥0， ∴1716m 2+172≥172， ∴421a a ++421b b+的最小值是172． 点睛：本题关键在于理解对称式的定义，并利用分式的性质将分式变形求解.19．探索：（1）如果32311x m x x -=+++，则m=_______； （2）如果53522x m x x -=+++，则m=_________； 总结：如果ax b m a x c x c +=+++（其中a 、b 、c 为常数），则m=________； （3）利用上述结论解决：若代数式431x x --的值为整数，求满足条件的整数x 的值． 【答案】（1）-5；（2）-13 ； b -ac ;（3）0或2【解析】试题解析： ()323(1)55133.1111x x m x x x x -+-==-=+++++ 5.m ∴=-()535(2)1313255.2222x x m x x x x -+-==-=+++++ 13.m ∴=-总结：().ax b a x c b ac b ac m a a x c x c x c x c+++--==+=+++++ .m b ac ∴=-。

山东省临沂市沂水县2018--2019学年度上学期期中考试八年级数学试题2018.11注意事项：姓名：成绩：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间90分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分．第Ⅰ卷（选择题共42分）一、选择题（本题共14小题，每小题3分，共36分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A. B. C. D.2.在下列所给的四根已知长度的细木条中,能与长度为6cm,13cm的两根木条首尾相接钉成一个三角形木架的木条是A. 6cmB. 7cmC. 13cmD. 20cm3.若△ABC的三个内角的比为2：5：3，则△ABC的形状是A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形4.如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是A．8 B．9 C．10 D．115.下列选项中,不是依据三角形全等知识解决问题的是A. 利用尺规作图，作一个角等于已知角B. 工人师傅用角尺平分任意角C. 利用卡钳测量内槽的宽D. 用放大镜观察蚂蚁的触角6.若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．17.只给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小是不确定的，在下列给定的两个条件上C．∠A=30°,∠C=50° D. BC=3cm, AC=6cm8.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为A．50°B．70°C．75°D．80°第8题第9题第10题9. 如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE 等于A. 15°B. 30°C.45°D. 60°10. 如图,∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，AE=5cm，BD=2cm，则DE 的长是A．8 B．5 C．4 D．311. 如图,△ABC中,∠B=∠C=65°,BD=CE ,BE=C F ,若∠A=50°,则∠DEF的度数是A. 75°B. 70°C. 65°D. 60°第11题第12题第13题12.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=A. 60°B. 55°C. 45°D. 35°13.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是14. 如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若AC=5,BC=3,则BD的长为A. 1B. 1.5C.D. 4第Ⅱ卷（非选择题共78分）二、填空题（本大题共5小题，每小题分，共15分）把答案填在题中横线上．15.如图,在△ABC和△DEF中,点B,F,C,E在同一直线上,BF=CE,AC∥DF,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF,这个添加的条件可以是(只需写一个,不添加辅助线)第15题第16题第17题16.如图,在平面直角坐标系中,点P(−1,2)关于直线x=1的对称点的坐标为__ _.17.如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为度．18.如图,△ABC三个内角的平分线交于点O,点D在CA的延长线上,且DC=BC,若∠D=20°，则∠ABC的度数为___.19. 如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，点D，E分别为AB，AC上的点，沿DE折叠，使点A落在BC边上点F处，若△EFC为直角三角形，则∠BDF的度数为_________．三．解答题：（共7小题，共63分）20．（本题8分）如图，已知BD为△ABC的角平分线，请按如下要求操作解答：（1）过点D画DE∥BC交AB于E，若∠A=68°，∠AED=42°，求∠BDC的度数.（2）画△ABC的角平分线CF交BD于点M,若∠A=60°，求∠CMD的度数.21. （本题8分）如图，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC.D是AP上的一点，求证：BD=CD.22. （本题8分）如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形。

2021-2022学年浙江省温州市鹿城区实验学校八年级第一学期期中数学试卷一、单选题1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．在下列长度的四根木棒中，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（）A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm3．若x＜y成立，则下列不等式一定成立的是（）A．4x＜3y B．﹣2x＜﹣2yC．x2＜y2D．x﹣2018＜y﹣20184．如图，△ABC中，∠C＝80°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（）A．360°B．260°C．180°D．140°5．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠C＝∠A﹣∠B，④a：b：c＝3：4：5中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为（）A．50°B．130°C．50°或130°D．55°或130°7．把不等式组的解集表示在数轴上，下列不符合题意的是（）A．B．C．D．8．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°9．如图，将直角边AC＝6cm，BC＝8cm的直角△ABC纸片折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（）A．B．C．D．10．如图，△ABC与△CED均为等边三角形，且B，C，D三点共线．线段BE，AD相交于点O，AF⊥BE于点F．若OF＝1，则AF的长为（）A．1B．C．D．2二、填空题（本题有8题，每小题3分，共24分）11．命题“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是．12．如图，BD是Rt△ABC斜边AC上的中线，若∠CDB＝130°，则∠C＝度．13．在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4，则点D到斜边AB的距离为．14．一个等腰三角形的底边长为5，一腰上的中线把它的周长分成的两部分的差为2，则这个等腰三角形的腰长为．15．如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝4，CD＝2，BD＝6．则∠ACD＝度．16．如图，∠ABC＝30°，AB＝8，F是射线BC上一动点，D在线段AF上，以AD为腰作等腰直角三角形ADE（点A，D，E以逆时针方向排列），且AD＝DE＝1，连接EF，则EF的最小值为．三、解答题（本大题共8小题，17-19小题每小题7分，20-22小题每小题7分，23-24小题12分，共66分）17．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF．18．a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O 点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置（不写作法，保留作图痕迹）．19．如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处．求∠1+∠2的度数．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点O为BD上任意一点，过点O的直线分别交AD，BC于M，N两点．求证：∠1＝∠2．21．小王准备用一段长30m的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养家兔，已知第一条边长为am，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2m．（1）请用a表示第三条边长．（2）问第一条边长可以为7m吗？请说明理由．22．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB＝AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F．（1）求证：△ABD≌△ACF；（2）若BD平分∠ABC，求证：CE＝BD；（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，直接写出它的度数．23．问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）；（1）特例探究：如图2，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN 的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；（2）归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；（3）拓展应用：如图4，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为3，则△ACF与△BDE的面积之和为．24．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线l过点M（3，0）且平行于y 轴．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标．（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求P1P2的长．（用含a的代数式表示）（3）通过计算加以判断，PP2的长会不会随点P位置的变化而变化．参考答案一、单选题1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项A、B、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C．2．在下列长度的四根木棒中，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（）A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm【分析】易得第三边的取值范围，看选项中哪个在范围内即可．解：设第三边为ccm，则（9+4）cm＞c＞（9﹣4）cm，即13cm＞c＞5cm．只有9cm符合要求．故选：C．3．若x＜y成立，则下列不等式一定成立的是（）A．4x＜3y B．﹣2x＜﹣2yC．x2＜y2D．x﹣2018＜y﹣2018【分析】根据不等式的性质解决此题．解：A．根据不等式的性质，由x＜y，得3x＜3y，但4x＜3y不一定成立，如1＜1.1，4＞3.3，那么A不成立，故A不符合题意．B．根据不等式的性质，由x＜y，得﹣2x＞﹣2y，那么B不成立，故B不符合题意．C．由x＜y，当﹣2＜1，但（﹣2）2＞1，那么C不成立，故C不符合题意．D．根据不等式的性质，由x＜y，得x﹣2018＜y﹣2018，那么D成立，故D符合题意．故选：D．4．如图，△ABC中，∠C＝80°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（）A．360°B．260°C．180°D．140°【分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，即∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4）＝80°+180°＝260°．故选：B．5．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠C＝∠A﹣∠B，④a：b：c＝3：4：5中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理分别进行分析可得答案．解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝75°，故△ABC不是直角三角形；③∵∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，故△ABC是直角三角形；④∵a：b：c＝3：4：5，∴a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形；故选：C．6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为（）A．50°B．130°C．50°或130°D．55°或130°【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°；另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为130°．解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，∴∠A＝50°，即顶角的度数为50°．②如图2，等腰三角形为钝角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA＝40°，∴∠BAD＝50°，∴∠BAC＝130°，即顶角的度数为130°．故选：C．7．把不等式组的解集表示在数轴上，下列不符合题意的是（）A．B．C．D．【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．解：，解不等式②得：x≤1，所以不等式组的解集是﹣1＜x≤1，在数轴上表示为：，故选：B．8．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A＝∠CDA＝50°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B＝25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE，根据平角的定义即可求出选项．解：∵AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，∴∠A＝∠CDA＝50°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED，∵∠B+∠DCB＝∠CDA＝50°，∴∠B＝25°，∵∠B+∠EDB+∠DEB＝180°，∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣25°）＝77.5°，∴∠CDE＝180°﹣∠CDA﹣∠EDB＝180°﹣50°﹣77.5°＝52.5°，故选：D．9．如图，将直角边AC＝6cm，BC＝8cm的直角△ABC纸片折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（）A．B．C．D．【分析】设CD＝x，先根据翻折变换的性质可得到AD＝DE，则AD＝8﹣x，再根据勾股定理即可求解．解：设CD＝x，则DE＝8﹣x，∵△BDE是△ADE沿直线DE翻折而成，∴AD＝BD＝8﹣x，∵△ACD是直角三角形，∴AC2＝AD2﹣CD2，即62＝（8﹣x）2﹣x2，解得x＝．故选：C．10．如图，△ABC与△CED均为等边三角形，且B，C，D三点共线．线段BE，AD相交于点O，AF⊥BE于点F．若OF＝1，则AF的长为（）A．1B．C．D．2【分析】根据等边三角形的性质利用SAS判定△ACD≌△BCE，从而得到∠ADC＝∠BEC，∠CAD＝∠CBE，根据三角形的内角和公式可得到∠BOD的度数，进而利用含30°的直角三角形的性质解答即可．解：∵△ABC和△ECD均为等边三角形∴AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，∴∠BCE＝∠ACD＝120°在△ACD与△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠ADC＝∠BEC，∠CAD＝∠CBE∵∠BOD＝180°﹣∠EBC﹣∠CDA∵∠BCE＝∠ACD＝120°∴∠EBC+∠CEB＝∠EBC+∠ADC＝60°∴∠BOD＝180°﹣60°＝120°．∴∠AOB＝60°，∵AF⊥BE于点F．OF＝1，∴AF＝，二、填空题（本题有8题，每小题3分，共24分）11．命题“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是在同一个三角形中，等边对等角．【分析】先改写成“如果…，那么…”的形式，然后交换题设和结论即可写出该命题的逆命题．解：由于命题“在同一个三角形中，等角对等边”可改写成：在同一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的两条边相等．所以其逆命题为：在同一个三角形中，等边对等角，故答案为：在同一个三角形中，等边对等角．12．如图，BD是Rt△ABC斜边AC上的中线，若∠CDB＝130°，则∠C＝25度．【分析】根据直角三角形的性质得到DB＝DC，根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质计算即可．解：∵BD是Rt△ABC斜边AC上的中线，∴DB＝DC，∴∠C＝∠DBC＝×（180°﹣130°）＝25°，故答案为：25．13．在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4，则点D到斜边AB的距离为4．【分析】根据角平分线的性质定理，解答出即可；解：如右图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），∴DE＝4．故答案为：4．14．一个等腰三角形的底边长为5，一腰上的中线把它的周长分成的两部分的差为2，则这个等腰三角形的腰长为3或7．【分析】设腰长为x，得出方程（2x+x）﹣（5+x）＝2或（5+x）﹣（2x+x）＝2，求出x 后根据三角形三边关系进行验证即可．解：设腰长为2x，则（2x+x）﹣（5+x）＝2或（5+x）﹣（2x+x）＝2，解得：x＝3.5，x＝1.5，∴2x＝7或3，①三角形ABC三边长为7、7、5，符合三角形三边关系定理；②三角形ABC三边是3、3、5，符合三角形三边关系定理；故答案为：3或7．15．如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝4，CD＝2，BD＝6．则∠ACD＝45度．【分析】根据勾股定理求出BC，根据勾股定理的逆定理得到∠BCD＝90°，结合图形计算，得到答案．解：∵∠A＝90°，AC＝AB＝4，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，在Rt△ABC中，BC＝＝4，CD2+BC2＝22+（4）2＝36，BD2＝62＝36，∴CD2+BC2＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴∠ACD＝45°，故答案为：45．16．如图，∠ABC＝30°，AB＝8，F是射线BC上一动点，D在线段AF上，以AD为腰作等腰直角三角形ADE（点A，D，E以逆时针方向排列），且AD＝DE＝1，连接EF，则EF的最小值为．【分析】由题意EF＝＝，推出当DF的值最小时，EF的值最小，根据垂线段最短即可解决问题；解：∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADE＝∠EDF＝90°，∵AD＝DE＝1，∴EF＝＝，∴当DF的值最小时，EF的值最小，∵AF⊥BC时，AF的值最小，∴DF的值最小，∵∠B＝30°，∴此时AF＝AB＝4，DF＝3，EF＝，故答案为．三、解答题（本大题共8小题，17-19小题每小题7分，20-22小题每小题7分，23-24小题12分，共66分）17．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF．【分析】首先根据AF＝DC，可推得AF﹣CF＝DC﹣CF，即AC＝DF；再根据已知AB ＝DE，BC＝EF，根据全等三角形全等的判定定理SSS即可证明△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AF＝DC，∴AF﹣CF＝DC﹣CF，即AC＝DF；在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）．18．a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O 点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】连接MN，先画出a、b两线所组成的角的平分线，然后再画出线段MN的中垂线．这两条直线的交点即为所求．解：点O或点O′就是所求的点．19．如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处．求∠1+∠2的度数．【分析】根据翻折变换前后对应角不变，故∠B＝∠HOG，∠A＝∠DOE，∠C＝∠EOF，∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE＝360°，进而求出∠1+∠2的度数．解：∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，∴∠B＝∠HOG，∠A＝∠DOE，∠C＝∠EOF，∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE＝360°，∵∠HOG+∠EOF+∠DOE＝∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠1+∠2＝360°﹣180°＝180°，20．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点O为BD上任意一点，过点O的直线分别交AD，BC于M，N两点．求证：∠1＝∠2．【分析】由条件可证得四边形ABCD为平行四边形，再由平行四边形的性质可证得结论．【解答】证明：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠2．21．小王准备用一段长30m的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养家兔，已知第一条边长为am，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2m．（1）请用a表示第三条边长．（2）问第一条边长可以为7m吗？请说明理由．【分析】（1）三角形的第三边＝周长﹣另外两边的和；（2）根据三角形的三边关系即可判断；解：（1）第三边为：30﹣a﹣（2a+2）＝（28﹣3a）m．（2）第一条边长不可以为7m．理由：a＝7时，三边分别为7，16，7，∵7+7＜16，∴不能构成三角形，即第一条边长不可以为7m．22．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB＝AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F．（1）求证：△ABD≌△ACF；（2）若BD平分∠ABC，求证：CE＝BD；（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，直接写出它的度数．【分析】（1）利用等角的余角相等判断出∠ABD＝∠ACF，即可得出结论；（2）先判断出BC＝CF，进而判断出CF＝2BD，即可得出结论；（3）作出辅助线，利用全等三角形的面积相等，进而判断出AH＝AG，即可得出AE是∠BEF的角平分线．解：（1）∵∠BAC是直角，CE⊥BD，∴∠BAC＝∠CAF＝∠BEC＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝90°，∠ABD+∠ADB＝90°，∵∠ADB＝∠CDE，∴∠ABD＝∠ACF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA）；（2）由（1）知，△ABD≌ACF，∴BD＝CF，∵BD⊥CE，BD平分∠ABC，∴BC＝BF，∵BD⊥CE，∴CE＝EF，∴CE＝CF＝BD；（3）∠AED不变化理由：如图，过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA），∴S△BAD＝S△CAF，BD＝CF，∴BD•AH＝CF•AG，而BD＝CF，∴AH＝AG，∵AH⊥EB，AG⊥EG，∴EA平分∠BEF，∴∠BEA＝∠BEG＝45°，即：∠AED不变化．23．问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）；（1）特例探究：如图2，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN 的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；（2）归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；（3）拓展应用：如图4，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为3，则△ACF与△BDE的面积之和为1．【分析】（1）根据图②，求出∠BDA＝∠AFC＝90°，∠ABD＝∠CAF，根据AAS证两三角形全等即可；（2）根据图③，运用三角形外角性质求出∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，根据ASA 证两三角形全等即可；（3）根据图④，由CD＝2BD，△ABC的面积为3，可求出△ABD的面积为1，根据△ABE≌△CAF，得出△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积，据此即可得出答案．【解答】（1）证明：如图②，∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，∴∠BDA＝∠AFC＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠CAF＝90°，∴∠ABD＝∠CAF，在△ABD和△CAF中，∴△ABD≌△CAF（AAS）；（2）证明：如图③，∵∠1＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∴∠ABE＝∠CAF，∵∠2＝∠FCA+∠CAF，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠BAC，∴∠BAE＝∠FCA，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（ASA）；（3）如图④，∵△ABC的面积为3，CD＝2BD，∴△ABD的面积＝×3＝1，由（2）可得△ABE≌△CAF，即：S△ACF＝S△ABE，∴S△ACF+S△BDE＝S△ABE+S△BDE＝S△ABD＝1即△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积1，故答案为1．24．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线l过点M（3，0）且平行于y 轴．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标．（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求P1P2的长．（用含a的代数式表示）（3）通过计算加以判断，PP2的长会不会随点P位置的变化而变化．【分析】（1）如图1，分别作出点B、C关于y轴的对称点，再顺次连接可得；（2）P与P1关于y轴对称，利用关于y轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出P1的坐标，再由直线l的方程为直线x＝3，利用对称的性质求出P2的坐标，即可P1P2的长．（3）根据以上两种情况，分别利用PP2＝PP1+P1P2、PP2＝PP1﹣P1P2计算可得结论．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1（0，4）、B1（2，2）C1（1，1）；（2）①如图2，当0＜a≤3时，∵P与P1关于y轴对称，P（﹣a，0），∴P1（a，0），又∵P1与P2关于l：直线x＝3对称，设P2（x，0），可得：＝3，即x＝6﹣a，∴P2（6﹣a，0），则P1P2＝6﹣a﹣a＝6﹣2a．②如图3，当a＞3时，∵P与P1关于y轴对称，P（﹣a，0），∴P1（a，0），又∵P1与P2关于l：直线x＝3对称，设P2（x，0），可得：＝3，即x＝6﹣a，∴P2（6﹣a，0），则P1P2＝a﹣（6﹣a）＝2a﹣6．综上所述，当0＜a≤3时，P1P2＝6﹣2a；当a＞3时，P1P2＝2a﹣6；（3）当0＜a≤3时，PP2＝PP1+P1P2＝2a+6﹣2a＝6；当a＞3时，PP2＝PP1﹣P1P2＝2a﹣（2a﹣6）＝6；∴PP2的长不会随点P位置的变化而变化．。