在不平的地面放稳椅子

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1 椅子能在不平的地面上放稳得问题的拓展.模型假设对椅子和地面应该作一些必要的假设:1.椅子的四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点。

四脚的连线呈长方形。

2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，即地面可视为数学上连续曲面。

3.对于脚的间距和椅腿的长度而言，地面时相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三个脚同时着地。

模型构成中心问题是用数学语言把椅子的四只脚同时着地的条件和结论表示出来。

首先要用变量把椅子的位置，注意到椅脚连线呈长方形。

以中心为对称点，长方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是因此可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。

在图中角线B’D’与X轴重合，椅子绕中心点O轴旋转角度θ后。

长方形A’B’C’D’转至ABCD位置。

用θ(对角线与x 轴的夹角)表示椅子位置，椅脚与地面距离为θ的函数.A,C 两脚与地面距离之和 ~ f (θ,),B,D 两脚与地面距离之和 ~ g (θ)地面为连续曲面 F (θ) , g(θ)是连续数.椅子在任意位置至少三只脚着地.对任意θ, f(θ ), g (θ )至少一个为0.已知： f (θ ) , g (θ )是连续函数 ;对任意θ， f (θ• g (θ )=0 ;且 g (0)=0， f (0) > 0.证明：存在θ0，使 f (θ0) = g (θ0) = 0.模型求解证明；设长方形的长为a ,宽为b。

将椅子旋转θ=2arctanb/a，对角线AC取代BD的位置。

由g(0)=0，f(0) > 0 ，知f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )>0.或,g（2arctanb/a )=0（1）f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )=0,桌子能放平衡。

（2）f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )>0令h(θ)= f(θ)–g(θ), 则h(0)>0和h(2arctanb/a)<0.由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在θ0 , 使h(θ0)=0, 即f(θ0) = g(θ0) .因为f(θ) • g(θ)=0, 所以f(θ0) = g(θ0) = 0.第一题一根1米长的水平弹性绳子，存在A端和B端。

数学建模作业1(长方形椅子能否在不平的地
面上放稳吗)
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
四、模型建立
（显示模型函数的构造过程）
在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。

于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．
如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．
我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ。

数学建模作业1-长方形椅子能在不平的地面上放稳吗？注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。

把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。

于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。

为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。

如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系。

椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置。

其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。

我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。

由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。

由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数。

而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。

因此，只需引入两个距离函数即可。

考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C 和B,D对换了．因此，记A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。

数学模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f（θ）?g(θ)＝0，证明：存在θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g（θ0）＝0成立。

五、模型求解（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）如果f（0）＝g（0）＝0，那么结论成立。

如果f（0）与g（0）不同时为零，不妨设f（0）＞0，g（0）＝0。

此时，将长方形ABCD。

其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。

椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，当距离为0时，就是椅子四只脚着地，所以这个距离就是椅子位置变量θ的函数。

虽椅子有四只脚，四个距离，但由长方形是中心对称图形可用两个距离函数就行了。

A,C 两脚与地面的距离之和为()f θB,D 两脚与地面的距离之和为()g θ由假设2知道地面为连续曲面所以()f θ，()g θ是连续函数。

由假设3可得对于任意的θ，()f θ，()g θ至少一个为0。

可以假设(0)f =0，(0)g 〉0，而当椅子旋转180度后，对角线AC ，BD 互换，于是()f π〉0，()g π=0。

这样，改变椅子的位置使四只脚着地，就归结为证明如下的数学问题：已知()f θ，()g θ是θ的连续函数， 对任意的θ，()f θ*()g θ=0，而且()(0)0f g π==， (0)0,()0f g π>>。

证明存在0θ，使(0)(0)0f g θθ==。

五、模型求解（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）令()()()h f g θθθ=-，则(0)0h <和()0h π>。

由f 和g 的连续性知h 也是连续函数。

根据连续函数的基本性质，比存在0(0)θθπ<<使得(0)0h θ=，即(0)(0)f g θθ=。

最后因为(0)*(0)0f g θθ=，所以(0)(0)0f g θθ==。

文案 编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。

现在指的是公司或企业中从事文字工作的职位，就是以文字来表现已经制定的创意策略。

文案它不同于设计师用画面或其他手段的表现手法，它是一个与广告创意先后相继的表现的过程、发展的过程、深化的过程，多存在于广告公司，企业宣传，新闻策划等。

基本信息中文名称文案外文名称Copy目录1发展历程2主要工作3分类构成4基本要求5工作范围6文案写法7实际应用折叠编辑本段发展历程汉字"文案"(wén àn)是指古代官衙中掌管档案、负责起草文书的幕友,亦指官署中的公文、书信等;在现代，文案的称呼主要用在商业领域，其意义与中国古代所说的文案是有区别的。

长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗？模型假设为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作出如下假设：（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断．（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．建立模型椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。

于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．设A、C两脚与地面竖直距离之和为f（θ），B、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。

数学模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f （θ）•g(θ)＝0，证明：存在θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g（θ0）＝0成立。

求解模型如果f（0）＝g（0）＝0，那么结论成立。

如果f（0）与g（0）不同时为零，不妨设f（0）＞0，g（0）＝0。

这时，将长方形ABCD绕点O逆时针旋转角度π后，点A，B分别与C，D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知，f（π）＝g（0），g（π）＝f （0）.而由f（0）＞0，g（0）＝0，得g（π）＞0， f（π）＝0。

令h（θ）＝f(θ)－g（θ），由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数。

又h（0）＝f(0)－g（0）＞0，h（π）＝f(π)－g（π）＜0，,根据连续函数介值定理，必存在θ0∈（0，π）使得h（θ0）＝0，即f（θ0）＝g（θ0）；又因为f（θ0）•g（θ0）＝0，所以f（θ0）＝g（θ0）＝0。

平衡椅子的技巧
平衡椅子的关键是保持身体的稳定和重心的控制。

下面是一些平衡椅子的技巧：
1. 找到一个稳定的平面：选择一个平稳的地方，尽量避免在不平坦的地面上平衡椅子。

2. 保持身体放松：放松身体可以帮助你更好地控制重心。

保持身体放松，特别是腹部和背部肌肉。

3. 均衡重量：将重量均匀地分布在椅子的四个支撑点上。

不要倾斜或过于靠近椅子的一边。

4. 调整重心：通过微调身体的姿势和位置，来调整你的重心。

试着将身体向前、向后或向侧面倾斜，直到找到合适的平衡点。

5. 练习核心肌肉：强化核心肌肉可以提高平衡能力。

练习一些简单的核心肌肉训练，如平板支撑、仰卧起坐和桥式运动。

6. 不要乱动：在平衡椅子上时，尽量减少不必要的移动和晃动。

保持身体的稳定性，并尽量保持静止。

7. 保持专注：集中注意力，避免分散注意力。

专注于保持平衡和控制身体姿势。

请记住，平衡椅子需要一些练习和耐心。

开始时可能会感到困难，但通过不断地练习，你会逐渐掌握平衡椅子的技巧。

问题一：椅子能在不平的地面上放稳吗？假设：1、四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈长方形；2、地面高度连续变化，可视为数学上的连续面；3、地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。

长方形ABCD 可以围绕着对角线AC 、BD 的交点O 旋转，对角线AC 、BD 的夹角是1θ。

A,C 两脚与地面距离之和 ~ f (θ) B,D 两脚与地面距离之和 ~ g (-θ)。

已知： f (θ) , g (-θ)是连续函数 ;对任意θ，有f (θ) • g (-θ)=0 ;且 g (0)>0，f (0)=0.证明：存在0θ，使 f (0θ) = g (-0θ) = 0.解；将椅子顺时针旋转1θ ，则对角线BD 将旋转到AC 的位置，对角线AC 将旋转到与X 轴成180-1θ 的位置。

由g(0)>0,f(0) = 0 ，知f(1θ)>0 , g(1θ)=0。

令h(θ)= f(θ)–g(- θ), 则h(0)>0和h(1θ)<0.由 f, g 的连续性知 h 为连续函数, 据连续函数的基本性质, 在[0, 1θ]必存在0θ , 使h(0θ )=0.因为f (θ ) • g (θ)=0 , 所以f (0θ) = g (0θ) = 0.问题2 录像机计数器的用途经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061。

在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？假设：1、录像带运动速度是V 。

2、录像带厚度均匀且均为d 。

3、右盘的半径为r 。

右轮转一圈计数器就记一次数。

设计数器计数n ，时间t 。

则Vt id r ni =+∑=1)(2π。

得；V n d r dn t /])2([2πππ++=。

数学的实践与认识MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY1999　Vol.29　No.3 P.62-65在不平地面上把椅子放稳的充分必要条件赵彦晖摘　要：把椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地、放稳.本文指出，当且仅当椅子的四脚共圆时，才能在一般不平的地面上放稳，并对此建立了数学模型，给出了理论上的证明.关键词：椅子：不平地面；放稳；充分必要条件；数学模型The Sufficient and Necessary Condition toMake a Chair Steady on Uneven GroundZhao Yanhui(Xi′an Univ. of Arch. & Tech., Xi′an　710055)Abstract：Under normal conditions, it is impossible to make a chair Steady on uneven ground. In this paper, a mathematical model on this question is established, and it is proved that a sufficient and necessary conditon to make the chair Steady on uneven ground is four feet of the chair is on the common circle. Keywords：Chair, Uneven Ground, Stendy, Sufficient and Necessary Condition, Mathematical Model▲ 在不平的地面上能否把椅子放稳问题已在文［1］、［2］中作过介绍，但这些文献中都只就四脚连线呈正方形(或长方形)的椅子进行讨论.众所周知，我们日常生活中所遇到的椅子大都是四脚连线呈等腰梯形的椅子，那么，对这样的椅子甚至四脚连线为任意四边形的椅子是否也能在不平的地面上放稳?文［1］、［2］中并未讨论，也没有作出任何结论.对此，本文进行了全面的讨论，给出了完整的结论，使问题得到了圆满的解决.1　模型假设 首先讨论四脚共圆的椅子，对此，我们作如下的必要假设： 假设1　椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，椅子四脚连线为圆内接四边形　即椅子四个脚共面且共圆. 假设2　地面高度是连续变化的，即地面可视为数学上的连续曲面. 假设3　对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地. 上述假设显然是合理的［1］.2　模型建立 将椅子放在地面上任一位置，并使至少三只脚同时着地.这时以椅子四脚共圆的圆心O为原点，四脚所在的平面为xoy坐标面，并使椅脚之一(如椅脚A)在x轴的正半轴上建立平面坐标系，如图1.图1 由假设1，椅子四脚A、B、C、D共圆，设其圆的半径为R，则这四点必在圆周x2+y2=R2 (1)上，且各点的坐标分别为A(R，0)，B(Rcosθ1，Rsinθ1),C(Rcosθ2,Rsinθ2),D(Rcosθ3,Rsinθ3)，其中θ1,θ2,θ3分别为OB、OC、OD与OA的夹角.显然，这三个夹角应满足条件0＜θ1＜θ2＜θ3＜2π (2) 如果让椅子绕O点转动，则A、B、C、D四点将同时绕O点转动，并且转过同样的角度.设转过的角度为θ(取逆时针方向为正)，则转动后A、B、C、D四点对应的坐标分别为见图2.这样，参数θ就决定了椅子的位置.图2 由假设2，地面可视为数学上的连续曲面，因此，如果取过原点O，垂直于上述xoy面向上的轴为oz轴，则在如此选取的oxyz空间直角坐标系下，地面的方程便可写成z=f(x,y) (4)其中f(x,y)是x,y的二元连续函数.特别地，在圆周(1)上，z必为极角θ的以2π为周期的单值连续函数z=φ(θ) (5)于是，在空间直角坐标系下，地面上与(3)中A′,B′,C′,D′对应的点分别为 由假设3，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.这样，改变椅子位置(即让椅子绕O点转动)能否使四脚同时着地的问题就归结为求解是否存在θ∈[0,2π]使(6)中A"、B"、C"、D"四点共面.这就是我们对该问题建立的数学模型.3　模型求解 上面所建立的数学模型即证明下面的定理 定理1　设φ(θ)是以2π为周期的连续函数，R＞0，θ1,θ2,θ3是满足不等式(2)的任意常数，则一定存在θ0∈[0,2π]，使当θ=θ0时(6)中A",B",C",D"四点共面. 证　A",B",C",D"四点共面的充要条件是 (7)记，则直接计算可知将F(θ)在[0,2π]上积分，注意到φ(θ)是以2π为周期的连续函数，R,θ1,θ2,θ3均为常数，则立可得出于是，由积分中值定理知，存在θ0∈[0,2π]，使这说明，当θ=θ0时(7)式成立.从而，当θ=θ0时(6)中A",B",C",D"四点共面. 定理1说明，对四脚共圆的椅子，在不平的地面上，总可以经适当旋转把椅子放稳.4　放稳椅子的充要条件 前面，我们对四脚共圆的椅子进行了讨论，并建立了数学模型.那么，对四脚不共圆的椅子是否也能在一般不平的地面上放稳呢?回答是否定的，其反例如下： 例　设椅子的四脚共面但不共圆，地面为半径充分大的球面，则这样的椅子在相应的地面上总放不稳. 证　(用反证法)　假设在这样的球面上存在四点A、B、C、D使椅子的四脚在这四点同时着地，则这四点必共面，即在同一平面上.从而，这四点必在此平面与球面的交圆上，亦即，这四点必共圆.这就与椅子四脚不共圆矛盾，这个矛盾说明假设错而该例的结论真. 此例说明，当椅子四条腿一样长但四脚不共圆时，无论怎么放，也不可能在球面型的地面上放稳.而由前三部分所建立的数学模型及讨论说明，当椅子四条腿一样长且四脚共圆时，对任意的连续平坦地面，无论在何处，都可以经适当旋转把椅子放稳.这样，我们就证明了下面的结论： 定理2　在不平的地面上把椅子放稳的充分必要条件是椅子的四脚共圆.5　模型应用 椅子问题虽然是日常生活中一件非常普通的事，但在上段就一般椅子给出的结论对实践却有指导性的意义.通常，在制作椅子时，我们事先并不知道要把椅子放在什么样的地面上，因此，我们无法也不可能对地面提出任何要求，但为了保证椅子将来能在任何连续平坦的地面上放稳，我们可对椅子的设计提出一定的要求，这个要求就是，必须且只需把椅子做成四脚共圆或四脚连线呈圆内接四边形的形式.这也正好说明我们的祖先为什么都把椅子做成了正方形，长方形和等腰梯型，其原因就是它们都是圆内接四边形，这样的椅子能放稳. 当然，上述结论不只是对制作椅子有用，而对四脚共面的所有物体，如桌子，家用电器，甚至送上月球的四脚机器或设备等，都有设计方面的应用价值.■作者单位：赵彦晖(西安建筑科技大学，西安，710055)参考文献：［1］姜启源、数学模型，第二版，高等教育出版社，1993：8-11.［2］W.F.Lucas:Discrete and System Models.Springer-Verlay,1983收稿日期：1998-7-20在不平地面上把椅子放稳的充分必要条件作者：赵彦晖， Zhao Yanhui作者单位：西安建筑科技大学,西安,710055刊名：数学的实践与认识英文刊名：MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY年，卷(期)：1999，29(3)被引用次数：0次1.姜启源数学模型 19932.W F Lucas Discrete and System Models 1983本文链接：/Periodical_sxdsjyrs199903014.aspx授权使用：东北师范大学图书馆(dbsdt)，授权号：d07db1fe-35e1-4bd7-bb46-9df1010755d9下载时间：2010年9月14日。

椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。

下面用数学语言证明。

一、 模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：1、 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。

2、 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。

3、 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

二、模型建立中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论。

首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度θ这一变量来表示椅子的位置。

其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。

椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。

由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0。

当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g 。

三、模型求解将椅子旋转090，对角线AC 和BD 互换，由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g 。

令()()()h f g θθθ=-，则()()02,00<>πh h ，由f 、g的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在()2000πθθ<<使()00=θh ，()()00θθf g =，由()()0*00=θθf g ，所以()()000==θθf g 。

长方形的椅子能在不平的地面上站稳吗？一、问题提出椅子(四条腿的椅脚连线呈长方形)能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳,然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。

以下用数学语言证明。

二、问题分析该模型看似与数学与数学无关，但我们可以用数学语言给予表述，并用数学工具来证明，经过分析，我们可以一元变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离，进而把模型假设和椅子同时着地的结论用简单、精确的数学语言表达出来，构成了这个实际问题的数学模型。

三、模型假设为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，做出如下假设：（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的．四、模型建立在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来.首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。

于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来.我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地.由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数.由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记A，B两脚与地面竖直距离是之和为f（θ），C、D两脚与地面的竖直距离之和为g（θ），其中θϵ[0，π],从而将原问题转化成数学问题，数学模型：已知f（θ）和g（θ）是非负的连续函数，对于任意的θ，有f（θ）·g（θ）=0. 证明存在某个θ0 ϵ[0，π]，使得f（θ0）= g（θ0）=0成立.五、模型求解如果f（0）=g（0）=0，那么结论成立。

目录摘要： (1)关键词: (1)Abstract : (1)Key word s: (1)前言 (1)1.椅子四脚连线为正方形的模型 (1)1.1 模型假设 (2)1.2 模型建立. (2)1.3 模型求解. (3)2、椅脚连线为长方形的情形 (3)2.1模型建立 (3)2.2模型求解. (4)3、椅脚连线为等腰梯形的情形 (4)4、椅脚连线为一般四边形的情形 (5)5、在不平地面上把椅子放稳的充分必要条件 (7)5.1模型建立 (7)5.2 模型求解 (8)5.3 放稳椅子的充要条件 (9)总结 (9)参考文献: (11)在不平的地面上把椅子放稳的充要条件摘要：把椅子放在不平的地面上,通常只有三只脚着地,放不稳然而只需稍挪动几次,就可以使四脚同时着地、放稳.文指出,当且仅当椅子的四脚共圆时,才能在一般不平的地面上放稳并对此建立了数学模型,给出了理论上的证明关键词: 椅子；不平地面；放稳；充分必要条件；数学模型The Sufficient and Necessary Conduction to Make a ChairSteady on Uneven GroundAbstract : Under normal conditions, it is impossible to make a chair Steady on uneven ground. In this paper, a mathematical model on this question is established, and it is proved that a sufficient and necessary conduction to make the chair Steady on uneven ground is four feet of the chair is on the common circle.Key words:前言在凸凹不平的地面上,很难一次将四条腿椅子放稳,但在任何位置,四条腿椅子至少有三条腿着地,然而将四条腿椅子旋转调整几次,就可以使其放稳.1.椅子四脚连线为正方形的模型为了比较彻底地解决这个问题,我们先从一种特殊的情形入手,假设椅子的四脚连线呈正方形.注意到椅脚连线是正方形,正方形绕它的中心旋转表示了椅子的位置改变.因此 ,可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置.椅子位于不同的位置 ,椅脚与地面之间的距离就不同 ,所以这个距离可以是旋转角度的函数.1.1 模型假设.(1)、 椅子四条腿一样长 ,即这样椅子绕中心旋转时 ,仅与旋转角有关 ,而不会因四条腿不一样长 ,而与椅腿有关 ,四只脚与地面接触处可视为一个点.(2)、 地面的高度是连续变化的 ,即为连续曲面 ,这样就不会出现台阶式地面.(3)、 对于椅子腿的长度和椅子脚之间的距离而言 ,地面是相对平坦的 ,也就是说 ,椅子在任何位置至少有三只脚可以同时着地.1.2 模型建立.现在根据模型假设 ,来建立数学模型.如图1 所示 , 图1ABCD 为椅子的初始位置 ,中心是O 点 ,''''A B C D 为椅子绕O 点旋转θ角后的位置 ,即''AC 与x 轴夹角为θ,记A ,C 两脚与地面距离之和为()f θ,BD 两脚与地面距离之和为 ()g θ .由假设 ,地面为连续曲面 ,则()f θ和()g θ 都是θ的连续函数 ,并且()0f θ≥,()0g θ≥,由于任何位置至少有三只脚着地 ,即对任意的θ,()f θ 和()g θ至少有一个为0 ,因此 ,恒有()()0f g θθ⋅=,不妨设当0θ=时,()0g θ= , ()0f θ≥.当椅子旋转2π时,只是AC 与BD 二位置互换 ,也就是AC 连线与BD 连线互换.这样当2πθ=时,有()0f θ=,()0g θ≥ .于是四条腿椅子放稳问题就成了数学问题.建立模型如下:已知()f θ,()g θ为连续函数 ,且对于任意的θ,恒有()()0f g θθ⋅=,并且当0θ=时,()0g θ=,()0f θ≥；当2πθ=时,()0f θ=,()0g θ≥.求证:存在0θ,使()00()0f g θθ== . 1.3 模型求解.引理:若函数()h x 在闭区间[]a b ，上连续 ,且()()0h a h b ⋅< (即()h a 与()h b 异号) ,则在区间(,)a b 至少存在一点ξ,使()0f ξ=.令()()()h f g θθθ=-则(0)0h ≥,()02h π≤因为()f θ,()g θ是连续函数 ,所以()h θ是连续函数 ,由引理知 ,必存在0θ,002πθ<<,使 0()0h θ=,即00()()0f g θθ-=又因为恒有()()0f g θθ⋅=,所以()00()0f g θθ⋅=,从而0()f θ和0()g θ 必有一个为零 ,于是00()()0f g θθ==,这就说明 ,存在0θ 方向 ,椅子的四条腿同时着地. 2、 椅脚连线为长方形的情形2.1模型建立当问题为稍一般情形 ,即椅子四脚连线呈长形时 ,借鉴上面问题的解决方法 ,也是建立椅脚与地面距离和旋转角度的函数关系 ,只是在处理问题的技巧上有一些变化 ,简述如下:如图2所示,ABCD 为椅子初始位置 ,CDAB 为椅子绕O 点旋转180角的位置 ,记 AD 两脚与地面距离之和为()f θ,BC 两脚与地面距离之和为()g θ,则由于椅子必有三条腿同时着地 ,所以必有两条相邻的椅脚同时着地 ,亦即对任意的旋转角,()f θ和()g θ少有一个为0 ,因此恒有:()()0f g θθ⋅=,不妨设当0θ=时()0g θ=,()0f θ≥.图2当椅子旋转180时,AD 与BC 位置互换 ,这样 ,当θπ=时 ,有()0f θ=()0g θ≥,此模型如下:已知()f θ,()g θ为连续函数 ,且对于任意的θ,恒有()()0f g θθ⋅= ,并且当0θ=时,()0g θ=,()0f θ≥；当θπ=时,()0f θ=()0g θ≥.求证存在0θ ,使 00()()0f g θθ==2.2模型求解.令()()()h f g θθθ=-则(0)0h ≥,()02h π≤因为()f θ,()g θ是连续函数 ,所以 ()h θ 是连续函数 ,由引理知 ,必存在0θ,00θπ<<,使0()0h θ= ,即 00()()0f g θθ-=又因为恒有()()0f g θθ⋅=,所以()00()0f g θθ⋅=,从而0()f θ和0()g θ必有一个为零 ,于是00()()0f g θθ==,这就说明 ,存在0θ方向 ,椅子的四条腿同时着地 3、椅脚连线为等腰梯形的情形对于四脚呈等腰梯形的椅子情况,也可用零点存在定理解释.模型的假设与上面的类似:同样, 如果某个位置表示椅脚与地面的竖直距离,那么这个距离为零时就是椅脚着地了,椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同,所以这个距离也是椅子位置变量θ的函数.如图 3 所示,AC 两脚与地面的距离和为()f θ,BD 两脚与地面的距离和为()g θ,在任何情况下至少三脚着地, 即()f θ,()g θ至少有一个为0, 并且()0f θ≥, ()0g θ≥.当 0θ=时,不妨设()0g θ=,()0f θ≥,图3以对角钱AC 、BD 的交点O 为中心, 旋转α, 使AC 与原来的BD 重合,此时不考BD 所处的位置,则AC 边所对应的函数值由原来的()0f θ>变为()0f θ=,故()0f α=.构造辅助函数()()()h f g θθθ=-,则(0)(0)(0)(0)0h f g f =-=>；()()()(0)0h f g f ααα=-=<由连续函数的零点存在定理可知:(0,)α之间一正一负,至少有一个1θ, 11()()0f g θθ-=.在任何情况下至少三脚着地,即()f θ、()g θ至少有一个为0,故11()()0f g θθ==. 所以,也存在一个适当角度能使四脚连线呈等腰梯形的椅子平稳.4、椅脚连线为一般四边形的情形分析 首先,椅子绕中心轴旋转一周.显然的,椅子与地面的接触点组成了三维空间中的一条封闭曲线.下面主要考虑这条封闭曲线的性质.其次, 选择一个水平面, 那么曲线中的每一个点与水平面都有一个距离, 并且这个距离是椅子位置变量θ的连续函数. 如图4所示, 记封闭曲线上关于中心轴对称的A 、C 两点与水平面的距离之和为()f θ, 而对称的B 、D 两点与水平面的距离之和为()()g f θθα=+. 由于假设2知, ()f θ和()g θ都是连续函数.显然,四只脚同时着地也就是两个距离和相等.最后,把四只椅子四脚同时着地的问题归结为如下的数学问题：已知()f θ和()g θ是θ的周期为2π连续函数,对于任意的[]02θπ∈，,()()g f θθα=+ 证明:存在0θ,使得00()()0f g θθ==.证明 构造函数()()()=()()h f g f f θθθθθα=--+,显然()h θ连续.()f θ是θ的周期为2π连续函数,那么根据闭区间连续函数最值的性质,存在1θ、2θ, 使1()max{()|[02]}f f x x θπ=∈，,2()min{()|[02]}f f x x θπ=∈，. 那么1()0h θ≥,2()0h θ≤如果两个不等式有一个等号成立,那么问题得证; 否则1()0h θ>、2()0h θ<. 根据连续函数的零点定理, 存在0θ, 使0()0h θ=,即00()()0f g θθ==.图4图5对于一般的四边形如何考察呢？显然,可以在一个封闭曲面上考察的. 如图5所示, 让A 、C 两点保持定长在封闭曲面上移动,E 点与水平面的距离是一个双变量的连续函数(,)f x y ; 让B 、D 两点保持定长在封闭曲面上移动,E 点与水平面的距离是一个双变量的连续函数(,)g x y .具体结论如下:在封闭曲面Ω上,在保长度的移动过程中,线段AC 中的E 点与水平面的距离是一个双变量的连续函数(,)f x y 可以取到最大值M 和最小值m ,线段BD 中的E 点与水平面的距离是一个双变量的连续函数(,)g x y 可以取到最大值'M 和最小值'm .如果''>M M m m >>, 那么一定存在一点00(,)x y ,使得0000(,)(,)f x y g x y =, 即椅子可以放平.5、在不平地面上把椅子放稳的充分必要条件在以上的讨论叙述中,从特殊到一般我们说明了椅子在地面可以放稳的情况,但最一般的情况是什么呢?接下来我们就探讨这个问题,找出椅子要在不平的地面放稳的充要条件.在上述的假设的基础上我们添加条件:椅子四脚连线为圆内接四边形,即椅子四个脚共面且共圆:5.1模型建立将椅子放在地面上任一位置,并使至少三只脚同时着地,这时以椅子四脚共圆的圆心为原点,四脚所在的平面为坐标面 ,并使椅脚之一 (如椅脚A )在x 轴的正半轴上建立平面坐标系,如图6由假设,椅子四脚A 、B 、C 、D 共圆,设其圆的半径为R ,则这四点必在圆周222x y R += (1)上,且各点的坐标分别为(,0)A R 11(cos ,sin )B R R θθ,22(cos ,sin )C R R θθ, 33(cos ,sin )D R R θθ,其中1θ,2θ,3θ分别为OB 、OC 、OD 与OA 的夹角. 显然, 这三个夹角应满足条件12302θθθπ<<<< (2)如果让椅子绕O 点转动,则A 、B 、C 、D 四点将同时绕O 点转动,并且转过同样的角度.设转过的角度为θ(取逆时针方向为正) ,则转动后A 、B 、C 、D 四点对应的坐标分别为'(cos ,sin )A R R θθ,'11(cos(),sin())B R R θθθθ++,'22(cos(),sin())C R R θθθθ++,'33(cos(),sin())D R R θθθθ++ (3)见图7 这样 , 参数 就决定了椅子的位置 图6 图7 由假设2, 地面可视为数学上的连续曲面 ,因此 ,如果取过原点O 垂直于上述xoy 面向上的轴为oz 轴,则在如此选取的oxyz 空间直角坐标系下,地面的方程便可写成(,)z f x y = (4)其中(,)f x y 是,x y 的二元连续函数.特别地,在圆周(1)上, z 必为极角θ的以2π为周期的单值连续函数()z ϕθ= (5)于是在空间直角坐标系下,地面上与(3)中'A ,'B ,'C ,'D 对应的点分别为 "(cos ,sin ,())A R R θθϕθ"111(cos(),sin(),())B R R θθθθϕθθ+++"222(cos(),sin(),())C R R θθθθϕθθ+++"333(cos(),sin(),())D R R θθθθϕθθ+++由假设3 ,地面是相对平坦的 ,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.这样,改变椅子位置(即让椅子绕O 点转动)能否使四脚同时着地的问题就归结为求解是否存在[]0,2θπ∈使上"A 、"B 、"C 、"D 四点共面,这就是我们对该问题建立的数学模型.5.2 模型求解上面所建立的数学模型即有下面的定理定理1 设()ϕθ是以2π为周期的连续函数, 0R >是满足不等式(2)的任意常数则一定存在[]00,2θπ∈,使当0θθ=时"A 、"B 、"C 、"D 四点共面定理1说明,四脚共圆的椅子,在不平的地面上总可以经适当旋转把椅子放稳.5.3 放稳椅子的充要条件前面,我们对四脚共圆的椅子进行了讨论,并建立 了数学模型.那么,对四脚不共圆的椅子是否也能在一般不平的地面上放稳呢?回答是否定的,其反例如下:例 设椅子的四脚共面但不共圆,地面为半径充分大的球面,则这样的椅子在相应的地面上总使放不稳.证 用反证法 假设在这样的球面上存在四点A 、B 、C 、D 使椅子的四脚在这四点同时着地,则这四点必共面,即在 同一平面上.从而,这四点必在此平面与球面的交圆上,亦即,这四点必共圆.这就与椅子四脚不共圆矛盾,这个矛盾说明假设错而该例的结论真.此例说明,当椅子四条腿一样长但四脚不共圆时,无论怎么放也不可能在球面型的地面上放稳.而由前几部分所建立的数学模型及讨论说明,当椅子四条腿一样长且四脚共圆时,对任意的连续平坦地面,无论在何处,都可以经适 当旋转把椅子放稳.这样,我们就证明了下面的结论:定理2 在不平的地面上把椅子放稳的充分必要条件是椅子的四脚共圆. 总结椅子问题虽然是日常生活 中一件非常普通的事,但在上段就一般椅子给出的结论对实践却有指导性的意义.通常,在制作椅子时,我们事先并不知道要把椅子放在什么样的地面上,因此,我们无法也不可能对地面提出任何要求,但为了保证椅子将来能在任何连续平坦的地面上放稳,我们可对椅子的设计提出一定的要求,这个要求就是,必须且只需把椅子做成四脚共圆或四脚连线呈圆内接四边形的形式.这也正好说明我们的祖先为什么都把椅子做成了正方形,长方形和等腰梯型,其原因就是它们都是圆内接四边形,这样的椅子能放稳.当然 ,上述结论不只是对制作椅子有用 ,而对四脚共面的所有物体,如桌子,家用电器,甚至送上月球的四脚机器或设备等,都有设计方面的应用价值.参考文献:[1] 邹云. 关于“稳定的椅子”模型问题[J]. 应用数学, 1990,(04)[2] 王文武. 椅子在不平的地面放平模型. 西南民族大学学报(自然科学版), 2010年03期[3] 陈雪梨. 椅子放稳问题另解. 湖州职业技术学院学报, 2008年03期[4] 李亮. 许宏伟; 王建军; 椅子放稳问题中的数学探究. 黑龙江科技信息, 2009年17期[5] 王焕许. 四条腿椅子能在不平地面放稳的数学模型. 绥化学院学报, 2005年03期[6] 赵彦晖. 平地面上把椅子放稳的充分必要条件. 数学的实践与认识, 1999年03期[7] 姜启源等。

注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。

把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。

于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。

为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。

如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系。

椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置。

其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。

我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。

由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。

由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数。

而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。

因此，只需引入两个距离函数即可。

考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。

数学模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f（θ）•g(θ)＝0，证明：存在θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g（θ0）＝0成立。

五、模型求解（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）如果f（0）＝g（0）＝0，那么结论成立。

如果f（0）与g（0）不同时为零，不妨设f（0）＞0，g（0）＝0。

此时，将长方形ABCD。

实验1 椅子能在不平的地面上放稳吗“椅子能在不平的地面上放稳吗”是来源于日常生活中一件普通的事实：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。

不难看出，有二个对象：一是椅子；二是不平的地面（此后，我们把不平的地面简称为地面）。

而其中的关键：地面是不平的。

显然，“椅子往不平的地面上放”不是一个数学上的平面问题。

纵览全节，除在模型假设2把地面“视为数学上的连续曲面”外，通篇看作平面问题；用一元函数来处理的。

那么，这样能合理的构成模型，严密地求得正确的解吗？先从模型假设开始，本示例作了三个假设。

假设1是对第一个对象——椅子所作的。

它将椅脚与地面接触处视为一个点，四脚的连线呈正方形（关于这一点，后面再讨论）。

于是，椅子的四只脚在一个平面上（其实，三只脚就可以确定一个平面了，第四只脚必在此平面上），不妨称其为椅脚平面。

假设2是对第二个对象——地面的数学描述。

地面可视为数学上的连续曲面，并且没有台阶。

不妨假想有一个平面（比如水平面），我们称其为地平面，地面只是在此地平面上下起伏。

假设3是对地面的不平坦程度作进一步假设，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

在这里值得注意的有二点：其一，“椅子在任何位置”应是指椅子放置在地面上后所处的位置，并非指空间的任何位置；其二，任意二个位置至少有三只脚同时着地时，这二个椅脚平面不能确保在同一平面上，也不能确保在地平面上。

接着来看椅子位置的改变。

文中是以椅脚连线构成的正方形绕此正方形的中心点旋转代表椅子位置的改变。

注意，这里是在这个正方形所在的平面（椅脚平面）中的旋转。

我们不妨假设初始位置时，椅子是放置在地面上的，由假设3此时至少有三只脚同时着地，我们称由这三只脚构成的平面为初始椅脚平面。

椅子绕此椅脚连线构成的正方形的中心点旋转一个角度之后，代表椅脚的正方形的四个点仍在此初始椅脚平面上，但这并不表明已确实把椅子放置在地面上了。

在不平的地面放稳椅子摘要针对在不平的地面将椅子放平稳的问题，文章建立了三个模型来解决该问题。

将椅子的四脚连线看作特殊的四边形进行求解。

对于问题1，正方形是最简单也是最特殊的一种情况，我们用连续函数零点存在定理，证明出一定可以使椅子放稳。

对于问题2，我们采用和问题1相同的方法与过程，证明出可以放稳。

对于问题3，等腰梯形和正方形、长方形有一些区别，它更加一般化，旋转的区间范围更大，在]2,0[ 上进行旋转，也可以找出能放稳的点，方法与问题1、问题2相同。

文章在解决这些特殊化问题后，对一般性结论进行了猜想与论证，并最终得出结论，对一般的四边形，也能使它在不平的地面上放稳。

关键词：椅子；不平地面；放稳；数学模型；连续函数；零点存在1.问题的重述在不平的地面上，椅子通常只有三只脚着地，只需稍挪动几次，就能使四只脚同时着地，即放稳了。

问题1：椅子四脚连线呈正方形；问题2：椅子四脚连线呈长方形；问题3：椅子四脚连线呈等腰梯形。

2.问题的分析当椅子放稳时应为椅子的四条腿同时着地（即椅子的四条腿脚与地面的的距离为零），用连续函数的零点存在定理，找出在某一范围内一定存在的点，能让四条腿同时着地。

3．模型的假设与符号说明3．1 模型的假设（1）假设一：椅子的四条腿一样长，将椅子与地面的接触看作一个点。

（2）假设二：将不平的地面看作连续的曲面，没有间断点。

（3）假设三：椅子在任何位置至少有三脚着地，才能保证椅子能放平稳。

3．2 符号说明符号一：D C B A ,,,为四边形上四点，',',','D C B A 为旋转后四边形上四点。

符号二：O 为四边形的中心。

符号三：θ为旋转角度。

4．模型的准备连续函数零点存在定理：对)(x F ∀，若)(x F 在],[b a 上为连续函数，且0)()(≤⋅b F a F ，则],[b a ∈∃ξ，使得0)(=ξF .5．模型的建立与求解5．1 问题1的模型建立与求解模型建立：1.正方形ABCD 为椅子四脚的连线，2.椅子中心为O 点，3.当椅子绕中心O 点旋转θ度后，椅子从正方形ABCD 变为正方 形''''D C B A ，旋转角度为θ.设椅脚C A ,与地面的距离之和为)(θf ，D B ,两脚与地面距离之和为)(θg ，其中)(θf 、)(θg ≥0。