3-6有介质时电场方程
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大学物理常用公式(电场磁场 热力学)
第四章 电 场一、常见带电体的场强、电势分布2）均匀带电球面（球面半径 ）的电场：3）无限长均匀带电直线（电荷线密度为）: E = ，方向：垂直于带电直线。
2r( rR ) 4）无限长均匀带电圆柱面（电荷线密度为）:E =2r (rR )5）无限大均匀带电平面（电荷面密度为）的电场: E =/20 ，方向：垂直于平面。
二、静电场定理 1、高斯定理：e = ÑE v dS v = q 静电场是有源场。
Sq 指高斯面内所包含电量的代数和；E 指高斯面上各处的电场强度，由高斯面内外的全 部电荷产生； Ñ E vdS v 指通过高斯面的电通量，由高斯面内的电荷决定。
2、环路定理： Ñ E v dl v =0 静电场是保守场、电场力是保守力，可引入电势能三、求场强两种方法1、利用场强势叠加原理求场强 分离电荷系统： E v = E v i ；连续电荷系统： E v = dE v i =12、利用高斯定理求场强 四、求电势的两种方法n1、利用电势叠加原理求电势 分离电荷系统：U =U i ；连续电荷系统： U = dU i =1电势零点v v 2、利用电势的定义求电势 U =电势零点Edl五、应用vv b点电荷受力： F = qE电势差： U ab =U a -U b = b EdraE =1 qU =q4r 24r1）点电荷：E =0 (rR ) q2 (rR ) 4r 2U =q (r R ) 4r q (r R ) 4Ra 点电势能：W a = qU a由 a 到 b 电场力做功等于电势能增量的负值 A ab = -W = -（W b -W a ）六、导体周围的电场1、静电平衡的充要条件： 1）、导体内的合场强为 0，导体是一个等势体。
2）、导体表面的场强处处垂直于导体表面。
E v ⊥表面。
导体表面是等势面。
2、静电平衡时导体上电荷分布： 1）实心导体： 净电荷都分布在导体外表面上。
第 三 章 静电场中的电介质
第 三 章 静电场中的电介质 （6学时）一、目的要求1．掌握电介质极化机制，熟悉极化强度、极化率、介电常数等概念。
2．会求解极化强度和介质中的电场。
3．掌握有介质时的场方程。
4．理解电场能量、能量密度概念，会求电场的能量 。
二、教学内容与学时分配 1．电介质与偶极子（ 1学时） 2．电介质的极化（1学时） 3．极化电荷（ 1学时）4．有电介质时的高斯定理（1学时） 5．有介质的场方程（1学时） 6．电场的能量（1学时） 三、本章思路本章主要研究电介质在静电场中的特性，其基本思路是：电介质与偶极子→电介质的极化→电介质的极化规律 →有介质的静电场方程 →静电场的能量。
四、重点难点重点：有介质的静电场方程 难点：电介质的极化规律。
五、讲授要点§3.1 电介质与偶极子一、教学内容 1．电介质概述 2．电介质与偶极子3．偶极子在外电场中受到的力矩 4．偶极子激发的静电场 二、教学方式、 讲授三、讲课提纲 1.电介质概述电介质是绝缘材料，如橡胶、云母、玻璃、陶瓷等。
特点：分子中正负电荷结合紧密，处于束缚状态，几乎没有自由电荷。
当导体引入静电场中时，导体对静电场有很大的影响，因静电感应而出现的感应电荷产生的静电场在导体内部将原场处处抵消，其体内00='+=E E E ϖϖϖ，且表现出许多特性，如导体是等势体、表面是等分为面、电荷只能分布在表面等；如果将电介质引入电场中情况又如何呢？实验表明，电介质对电场也有影响，但不及导体的影响大。
它不能将介质内部的原场处处抵消，而只能削弱。
介质内的电场00≠'+=E E E ϖϖϖ。
2．电介质与偶极子 (1)电介质的电结构电介质原子的最外层电子不像金属导体外层电子那样自由，而是被束缚在原子分子上，处于事缚状态。
一般中性分子的正负电荷不止一个，且不集中于一点，但它们对远处一点的影响可以等效为一个点电荷的影响，这个等效点电荷的位置叫做电荷“重心”。
高电压技术课后答案
1 气体的绝缘特性与介质的电气强度1- 1 气体放电过程中产生带电质点最重要的方式是什么，为什么？1- 2 简要论述汤逊放电理论。
1- 3 为什么棒－板间隙中棒为正极性时电晕起始电压比负极性时略高？1- 4 雷电冲击电压的标准波形的波前和波长时间是如何确定的？1- 5 操作冲击放电电压的特点是什么？1- 6 影响套管沿面闪络电压的主要因素有哪些？1- 7 具有强垂直分量时的沿面放电和具有弱垂直分量时的沿面放电，哪个对于绝缘的危害比较大，为什么？1- 8某距离4m的棒-极间隙。
在夏季某日干球温度=30C,湿球温度=25C,气压=99.8kPa 的大气条件下，问其正极性50%操作冲击击穿电压为多少kV?（空气相对密度=0.95 ）1-9某母线支柱绝缘子拟用于海拔4500m的高原地区的35kV变电站，问平原地区的制造厂在标准参考大气条件下进行1min 工频耐受电压试验时，其试验电压应为多少kV？1- 1气体放电过程中产生带电质点最重要的方式是什么，为什么？答：碰撞电离是气体放电过程中产生带电质点最重要的方式。
这是因为电子体积小，其自由行程（两次碰撞间质点经过的距离）比离子大得多，所以在电场中获得的动能比离子大得多。
其次.由于电子的质量远小于原子或分子，因此当电子的动能不足以使中性质点电离时，电子会遭到弹射而几乎不损失其动能；而离子因其质量与被碰撞的中性质点相近，每次碰撞都会使其速度减小，影响其动能的积累。
1- 2简要论述汤逊放电理论。
答：设外界光电离因素在阴极表面产生了一个自由电子，此电子到达阳极表面时由于〉过程，电子总数增至e：d个。
假设每次电离撞出一个正离子，故电极空间共有（e d—1）个正离子。
这些正离子在电场作用下向阴极运动，并撞击阴极.按照系数的定义，此（e d—1）个正离子在到达阴极表面时可撞出（e d—1）个新电子，则（e：d-1）个正离子撞击阴极表面时，至少能从阴极表面释放出一个有效电子，以弥补原来那个产生电子崩并进入阳极的电子，则放电达到自持放电。
大学物理常用公式(电场磁场-热力学)
第四章 电 场一、常见带电体的场强、电势分布 1）点电荷：2014q E r πε=04q U rπε=2）均匀带电球面（球面半径R ）的电场：200()()4r R E qr R r πε≤⎧⎪=⎨>⎪⎩00()4()4qr R r U q r R R πεπε⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩3）无限长均匀带电直线（电荷线密度为λ）:02E rλπε=，方向：垂直于带电直线。
4）无限长均匀带电圆柱面（电荷线密度为λ）: 00()()2r R E r R rλπε≤⎧⎪=⎨>⎪⎩5）无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）的电场:0/2E σε=，方向：垂直于平面。
二、静电场定理 1、高斯定理：0e Sq E dS φε=⋅=∑⎰静电场是有源场。
q ∑指高斯面内所包含电量的代数和；E指高斯面上各处的电场强度，由高斯面内外的全部电荷产生；SE dS ⋅⎰指通过高斯面的电通量，由高斯面内的电荷决定。
2、环路定理：0lE dl⋅=⎰ 静电场是保守场、电场力是保守力，可引入电势能三、求场强两种方法1、利用场强势叠加原理求场强 分离电荷系统：1ni i E E ==∑；连续电荷系统：E dE =⎰2、利用高斯定理求场强 四、求电势的两种方法1、利用电势叠加原理求电势 分离电荷系统：1nii U U==∑；连续电荷系统： U dU =⎰2、利用电势的定义求电势 rU E dl =⋅⎰电势零点五、应用点电荷受力：F qE = 电势差： bab a b aU U U E dr =-=⋅⎰a由a 到b六、导体周围的电场1、静电平衡的充要条件： 1）、导体内的合场强为0，导体是一个等势体。
2）、导体表面的场强处处垂直于导体表面。
E ⊥表表面。
导体表面是等势面。
2、静电平衡时导体上电荷分布： 1）实心导体： 净电荷都分布在导体外表面上。
2）导体腔内无电荷： 电荷都分布在导体外表面，空腔内表面无电荷。
3）导体腔内有电荷+q ，导体电量为Q ：静电平衡时，腔内表面有感应电荷-q ，外表面有电荷Q ＋q 。
第三章静电场中的电介质(10-10)
V
S
计算 q’ 与 ’
ˆ 在 S 上取 dS = dS n
附近 p = ql || P
l/ 2
P
ˆ n
l/ 2 dS 作斜柱体：l 为母线，dS 为底 （中心在斜柱体内的偶极子与 dS 相截） 体积： ldS |cos | （斜柱体） 偶极子数： n ldS |cos | （中心在斜柱体内） 电量： dq’ = -nqldS cos （下半柱体，即 V 内） dq’ = -npdS cos PdS cos P dS
ˆ n
01 (2) 0 0 01
01 ’
02
例题 2（p.104/[例2]）（2）
01 U Ed d
q0 01S
(3) C q0 S
U d S 无介质（真空）： C0 0 d C r C0
一. 极化电荷
极化电荷 —— 介质极化导致局部 V 内电 荷代数和不等于零
自由电荷：q0， ρ0， ϭ0 ( 包括导体感应电荷 ) 极化电荷： q ’， ρ’，ϭ’ ( 由于介质极化产生 )
E 未极化时 V 内 q= 0 极化后 V 内 q 0
二. ’ 与 P 的关系
整体位于 V 内的偶极子对 V 内的 q ’ 无贡献 只有与 V 的边界面 S 相截的偶极子才有贡献
ˆ ˆ ' P n 0 E n 0 E
0
ˆ ( E与n反向) 0 E 0 ' 0 0 E
’ -’ -0
解得 0 0 (1 ) E 0 r E
' 0 E 0 ( r 1) E
(2)
3-5有介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
r
R2
R1
（３）由（１）可知
U
E dr
R2
E
2π dr
0
r
r
(R1 r R2 ) ln R2
R1 2π 0 r r 2π 0 r R1
C Q 2π U
单位长度电容
0
C l
rl
ln R2 R1
2π 0
r
ln
r C0
R2 R1
真空圆柱形 电容器电容
r 又叫电容率
D2 2R2
3 – 5 有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
1 -P1 D1 0E1
2 -P2 D2 0E2
1
-
2R1
1
1
r
2
2R2
1
1
r
思索：可否由其他途 径求极化强度大小？
P 0E 0r 1E
1 P1 0 r 1E1 2 P2 0 r 1E2
3 – 5 有电介质时的高斯定理
-+
-+ -
-+E-1+ E2
-+--+-
-+ +-
0
1' 2'
2'
3 – 5 有电介质时的高斯定理
E1
D
0 r1
0 0 r1
E2
D
0
r2
0 0 r2
U
E dl
l
E1d1 E2d2
Q ( d1 d2 )
0S r1 r2
C Q0 0 r1 r2S U r1d2 r2d1
0
E
P) ds
q0
电介质物理课后答案
电荷所产生的电场。
答：在电场作用下平板电介质电容器的介质表面上的束缚电荷所产
的、与外电场方向相反的电场，起削弱外电场的作用，所以称为
退极化电场。
退极化电场：
平均宏观电场：
充电电荷所产生的电场：
1－3氧离子的半径为 ，计算氧的电子位移极化率。
提示：按公式 ，代入相应的数据进行计算。
1－4在标准状态下，氖的电子位移极化率为 。试求出氖的
解：在交变电场的作用下，由于电场的频率不同，介质的种类、所处
的温度不同，介质在电场作用下的介电行为也不同。
当介质中存在弛豫极化时，介质中的电感应强度D与电场强度E
在时间上有一个显著的相位差，D将滞后于E。 的简单表示式
不再适用了。并且电容器两个极板的电位于真实的电荷之间产生相位
差，对正弦交变电场来说，电容器的充电电流超前电压的相角小于
因素有关？关系如何？如何提高固体电介质的热击穿电压？
答：答案参考课本有关的章节。
3－14根据瓦格纳的热击穿电压的计算公式，解释能否利用增加固体电介质
的厚度来增加固体电介质的热击穿电压，为什么？
答：答案参考课本有关的章节。
3－15简要叙述瓦格纳的热击穿理论；瓦格纳的热击穿理论的实用性如何？
答：答案参考课本有关的章节。
少？
解：真空时：
介质中：
1－19一平行板介质电容器，其板间距离 ， ，介电系数 ＝
2，外界 的恒压电源。求电容器的电容量C；极板上的自由电荷q；
束缚电荷 ；极化强度P；总电矩 ；真空时的电场 以及有效电场
。
解：
1－20边长为10mm、厚度为1mm的方形平板介质电容器，其电介质的相对
介电系数为2000，计算相应的电容量。若电容器外接 的电压，
答：在电场作用下平板电介质电容器的介质表面上的束缚电荷所产
的、与外电场方向相反的电场，起削弱外电场的作用，所以称为
退极化电场。
退极化电场：
平均宏观电场：
充电电荷所产生的电场：
1－3氧离子的半径为 ，计算氧的电子位移极化率。
提示：按公式 ，代入相应的数据进行计算。
1－4在标准状态下，氖的电子位移极化率为 。试求出氖的
解：在交变电场的作用下，由于电场的频率不同，介质的种类、所处
的温度不同，介质在电场作用下的介电行为也不同。
当介质中存在弛豫极化时，介质中的电感应强度D与电场强度E
在时间上有一个显著的相位差，D将滞后于E。 的简单表示式
不再适用了。并且电容器两个极板的电位于真实的电荷之间产生相位
差，对正弦交变电场来说，电容器的充电电流超前电压的相角小于
因素有关？关系如何？如何提高固体电介质的热击穿电压？
答：答案参考课本有关的章节。
3－14根据瓦格纳的热击穿电压的计算公式，解释能否利用增加固体电介质
的厚度来增加固体电介质的热击穿电压，为什么？
答：答案参考课本有关的章节。
3－15简要叙述瓦格纳的热击穿理论；瓦格纳的热击穿理论的实用性如何？
答：答案参考课本有关的章节。
少？
解：真空时：
介质中：
1－19一平行板介质电容器，其板间距离 ， ，介电系数 ＝
2，外界 的恒压电源。求电容器的电容量C；极板上的自由电荷q；
束缚电荷 ；极化强度P；总电矩 ；真空时的电场 以及有效电场
。
解：
1－20边长为10mm、厚度为1mm的方形平板介质电容器，其电介质的相对
介电系数为2000，计算相应的电容量。若电容器外接 的电压，
第三章 电场中的电介质
注意： 是由介质2指向介质1 en
4.电介质外表面极化电荷面密度
ˆ dq P dS P dSn PndS
dq ˆ P n Pn dS
内
dS
P
面外
l
dS
ˆ P n
ˆ n
介质外法线方向
23
讨论：1）介质与真空界面
介质极化强度为 P2 ，真空
n
真空
极化强度为P1 0 ( P1
' P2 n P2n
pi )。 V
+
+
+
介质
n
2）介质金属界面
介质极化强度为 P2 ，金属内
电场为零，故极化强度 P1 0
金属
+
+
+
介质
' P2 n P2n
在极化的介质内任意作一闭合面S。
基本认识：
1）S 把位于S 附近的电介质分子分为两部分，
一部分在 S 内 ， 一部分在 S 外；
2）只有电偶极矩穿过S 的分子对
S内外的极化电荷才有贡献；
S
或被S截为两段的偶极子才对极化电荷有贡献。
17
1. 面元dS附近分子对面S内极化电荷的贡献
在dS附近薄层内认为介质均匀极化 以dS为底、长为l（偶极子正负电 荷的距离）作斜圆柱。 只有中心落在薄层内的偶极子才 对面S内电荷有贡献。所以，
E0
-
E 介质
+ + +
E E0 E
26
例1 平行板电容器 ,自由电荷面密度为0 其间充满相对介电常数为r的均匀的各向 同性的线性电介质。 0 0 求:板内的场强。
电路第三章 恒定电场
1 2 ,1 2
图3-4 电流由电导率 大的媒质流入电导率小 的媒质
18
(3)边界条件的应用 在电力工程中，为了保证设备及人 身安全，必须设置专门的金属接地装置， 图(3-5)为简单的接地棒接地装置。若其 材料为钢，则其电导率约为5×106S/m， 如取地的土壤电导率为2×10-2S/m，当 钢中电流密度δ与交界面法线的交角α1 ＝89°59′时，得α2≈3′。由此可见， 当电流从电导率高的接地体流入电导率 低的土壤时，土壤中的电流密度线几乎 完全垂直于接地体表面，这时可以近似 图3-5 电流由导体 认为接地体表面为等位面。 流入土壤
恒定电场也是由电荷引起的。与静电场有所不同，这些电荷 对观察者来说是有相对运动的。它们虽在空间有宏观的运动，但 在导电媒质中的分布情况却是不随时间而改变的。也就是场域中 各处电流密度的分布是不随时间而改变的。
2
§3-1 导电媒质中的恒定电场、局外电场
1.电源
要在导线中维持恒定电流，必须 依靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电
11
单位长度上所消耗的功率
P P0 dV E dV
2 V V 2 2U 0 lnR2 R1
R2
R1
U0 R lnR R 2RdR 2 1
2
单位长度上的绝缘电阻
U 0 ln R2 R1 R0 I 2
（3-10）
24
于是，可由已知的电压U0求出I0
代入上式得到
2 1 2U 0 I0 R3 R2 2 ln 1 ln R1 R2
2 1 U 0 1 2 21 1n lnR R lnR R R 1 2 2 1 1 3 2 2 2
3-5有介质时的高斯定理
s
q0和 ′ S所围区域内 q是 所围区域内
的自由电荷及极化电荷
ε0
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
根据第四节的结果 则有
v r q′ = −∫ P⋅ ds
s
s ε0 r r r ∫ (ε 0 E + P ) ⋅ ds = q0 s
r r 1 r r ∫ E ⋅ ds = ( q0 − ∫ P ⋅ ds )
r r r D = ε0εr E = εE
r E
。
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
r D =
q0 r en 2 4π r
r r r D = ε0εr E = εE
r q0 >0， E离开球心向外 ， r r e q0 < 0， E 指向球心 r ， s e
n
r E=
q0 r en 2 4πε r
1 1 σ ′ = − σ 0 εr εr 1 2
讨论极化电荷正负
ε r −1 σ 1′ = σ0 εr
1 1
两种介质表面极化电荷面密度
εr −1 ′ σ2 = σ0 εr
2 2
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
常用的圆柱形电容器， 例3 常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1 的长 的薄导体圆筒组成， 直圆柱导体和同轴的半径为 R2 的薄导体圆筒组成， 并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 ε r 的 电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 电介质 设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 + λ ）电介质中的电场强度、 和 − λ . 求（1）电介质中的电场强度、电位移和极 化强度； 电介质内、外表面的极化电荷面密度； 化强度；（２）电介质内、外表面的极化电荷面密度； 此圆柱形电容器的电容． （３）此圆柱形电容器的电容．
q0和 ′ S所围区域内 q是 所围区域内
的自由电荷及极化电荷
ε0
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
根据第四节的结果 则有
v r q′ = −∫ P⋅ ds
s
s ε0 r r r ∫ (ε 0 E + P ) ⋅ ds = q0 s
r r 1 r r ∫ E ⋅ ds = ( q0 − ∫ P ⋅ ds )
r r r D = ε0εr E = εE
r E
。
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
r D =
q0 r en 2 4π r
r r r D = ε0εr E = εE
r q0 >0， E离开球心向外 ， r r e q0 < 0， E 指向球心 r ， s e
n
r E=
q0 r en 2 4πε r
1 1 σ ′ = − σ 0 εr εr 1 2
讨论极化电荷正负
ε r −1 σ 1′ = σ0 εr
1 1
两种介质表面极化电荷面密度
εr −1 ′ σ2 = σ0 εr
2 2
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
常用的圆柱形电容器， 例3 常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1 的长 的薄导体圆筒组成， 直圆柱导体和同轴的半径为 R2 的薄导体圆筒组成， 并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 ε r 的 电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 电介质 设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 + λ ）电介质中的电场强度、 和 − λ . 求（1）电介质中的电场强度、电位移和极 化强度； 电介质内、外表面的极化电荷面密度； 化强度；（２）电介质内、外表面的极化电荷面密度； 此圆柱形电容器的电容． （３）此圆柱形电容器的电容．
3.6磁介质中的场方程3.7恒定磁场的边界条件
2 rH I 2 rdr 0 a2 Ir H e 2 a 2
r
当a r b时
Ir B 0 H e 0 2 , M 0 2 a
a
b
c
H dl I H e I 2 r
c
I 2 r 0 I B M H e 0 0 2 r
在r=a处的磁化面电流为
J ms
பைடு நூலகம்
r a
M n
r a
M (er )
r a
0
在r=b处的磁化面电流为
J ms
r b
M n
r b M er
r b ez
0 I 0 2 b
3.7 恒定磁场的边界条件
n b
n
n
lo
S
1
B1n 1
2
B1
1 a
h
H 1t
l
1
H1 b
2
B2
B2 n
图1
2 d
H2 H 2t
2
c
图2
H1t H 2t J s H1t H 2t ( J s 0)
B1n B2 n
静电场
D1n D2n s D1n D2n ,( s 0)
E1t E2t
1 2 2 s n n 1 1 2 2 , ( s 0) n n
第三章 恒定电流 的电场和磁场
3.6磁介质中的场方程 3.7恒定磁场的边界条件
主要内容
磁介质的磁化机理 磁化电流（体电流、面电流）的计算 磁介质中的基本方程 磁介质中的本构关系 恒定磁场中 B, H , 满足的边界条件
r
当a r b时
Ir B 0 H e 0 2 , M 0 2 a
a
b
c
H dl I H e I 2 r
c
I 2 r 0 I B M H e 0 0 2 r
在r=a处的磁化面电流为
J ms
பைடு நூலகம்
r a
M n
r a
M (er )
r a
0
在r=b处的磁化面电流为
J ms
r b
M n
r b M er
r b ez
0 I 0 2 b
3.7 恒定磁场的边界条件
n b
n
n
lo
S
1
B1n 1
2
B1
1 a
h
H 1t
l
1
H1 b
2
B2
B2 n
图1
2 d
H2 H 2t
2
c
图2
H1t H 2t J s H1t H 2t ( J s 0)
B1n B2 n
静电场
D1n D2n s D1n D2n ,( s 0)
E1t E2t
1 2 2 s n n 1 1 2 2 , ( s 0) n n
第三章 恒定电流 的电场和磁场
3.6磁介质中的场方程 3.7恒定磁场的边界条件
主要内容
磁介质的磁化机理 磁化电流（体电流、面电流）的计算 磁介质中的基本方程 磁介质中的本构关系 恒定磁场中 B, H , 满足的边界条件
静电场中的电介质
有介质时的静电场基本方程：
r
rr
引入电位移矢量：D 0 E P
rr
Ò D dS q0
Sr r
3
Ñ l E dl 0
对各向同性线性电介质 D E
电场的能量
§3.7 电场的能量
一. 电场是能量的携带者
➢ 对平行板电容器
We
1 CU 2 2
1
(
S )( Ed )2
2d
1
2
E 2V
E2
静电能由电场携带,存在于电场中.
b uur r
Aab q E d l q(Ua Ub ) qUab (E pb E pa )
a
10
3. 电势叠加原理
(1)点电荷的电势分布:
(2)点电荷系的电势分布:
(3)任意带电体的电势分布:
电势的计算
11
叠加法 定义法
Ui dU
UP E dl P
静电场中的导体和电介质
一.静电场中的导体 1.导体静电平衡条件:
4 r R d 2
q '內
( r 1)q r
q '外
( r 1)q r
r R
空间的电势分布是三个带电球面的电势叠加：
r
r R:
Ur
q
4 0 R
q '內
4 0 R
q '外
40 R d
q ( r 1)q ( r 1)q q ( 1 r 1 ) 4 0 R 4 0 r R 4 0 r ( R d ) 4 0 r R R d
B
A
5.静电屏蔽问题：
E
空腔导体屏蔽外电场
13
接地导体壳有效的屏蔽了内电场
大学物理常用公式(电场磁场 热力学)
第四章 电 场一、常见带电体的场强、电势分布 1）点电荷：2014q E r πε=04q U rπε=2）均匀带电球面（球面半径R ）的电场：200()()4r R E qr R r πε≤⎧⎪=⎨>⎪⎩00()4()4qr R r U q r R R πεπε⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩3）无限长均匀带电直线（电荷线密度为λ）:02E rλπε=，方向：垂直于带电直线。
4）无限长均匀带电圆柱面（电荷线密度为λ）: 00()()2r R E r R rλπε≤⎧⎪=⎨>⎪⎩5）无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）的电场:0/2E σε=，方向：垂直于平面。
二、静电场定理 1、高斯定理：0e Sq E dS φε=⋅=∑⎰静电场是有源场。
q ∑指高斯面内所包含电量的代数和；E指高斯面上各处的电场强度，由高斯面内外的全部电荷产生；SE dS ⋅⎰指通过高斯面的电通量，由高斯面内的电荷决定。
2、环路定理：0lE dl⋅=⎰ 静电场是保守场、电场力是保守力，可引入电势能三、求场强两种方法1、利用场强势叠加原理求场强 分离电荷系统：1ni i E E ==∑；连续电荷系统：E dE =⎰2、利用高斯定理求场强 四、求电势的两种方法1、利用电势叠加原理求电势 分离电荷系统：1nii U U==∑；连续电荷系统： U dU =⎰2、利用电势的定义求电势 rU E dl =⋅⎰电势零点五、应用点电荷受力：F qE = 电势差： bab a b aU U U E dr =-=⋅⎰a由a 到b六、导体周围的电场1、静电平衡的充要条件： 1）、导体内的合场强为0，导体是一个等势体。
2）、导体表面的场强处处垂直于导体表面。
E ⊥表表面。
导体表面是等势面。
2、静电平衡时导体上电荷分布： 1）实心导体： 净电荷都分布在导体外表面上。
2）导体腔内无电荷： 电荷都分布在导体外表面，空腔内表面无电荷。
3）导体腔内有电荷+q ，导体电量为Q ：静电平衡时，腔内表面有感应电荷-q ，外表面有电荷Q ＋q 。
第三章静电场中的电介质
1 E ds ( q0 q)
s
0
s内
s内
q P ds
s内 s
1 1 E dS q0 q q0 P dS 0 0 S S
0 E P dS q0
四、 有介质时的高斯定理应用
令D 0 E P
S
引入辅助物理量：电位移矢量(electric displacement)
D 0E P
介质存在时高斯定理:
D ds q0
s s内
电位移矢量对任意闭合曲面的通量等于该曲面内所有自由 电荷的代数和。 二、电位移矢量D 1、定义：
(S )
_
E0
内
ds
l
P dS q
( S内)
V
S
外
V 内的极化电荷总量 q P ds s P d s 该点的极化电荷体密度 ' s V
'
P ds / V
' s
* 此式为各点极化电荷体密度和该点极化强度的关系。
q' , ' , ' 分别表示极化电荷、体密度、面密度 • q0 , 0 , 0 分别表示自由电荷、体密度、面密度
•
二、极化电荷体密度与极化强度的关系：
1、以位移极化为例 极化分子电矩
p分子
ql
S
E0
ds
单位体积有 n 个分子 极化强度矢量
l
0
P np分子 nql
D E
第三篇6 静电场(电容电介质)
在已极化的介质内任意作一闭合面S S 将把位于S 附近的电介质分子分为两部分
一部分在 S 内
一部分在 S 外
S
电偶极矩穿过S 的分子对S 内的极化电荷有贡献 1.小面元dS对面S内极化电荷的贡献
在dS附近薄层内认为介质均匀极化
dS
dS
外场
l
分子数 密度
dq qnl dS cos PdS cos
E3
R1 r<R2 <
r2
Q Q ^ ^ r P3 0 r 2 1 r 2 2 4 0 r 2 r 4 0 r 2 r
r> R2
E4
Q 4 0 r
2
^ r
P0
2)求紧贴导体球表面处的极化电荷
^ P n
r R0 Q 0 r1 1 2 41 R0
§4 电容器及电容 capacitor capacity
一.孤立导体的电容 定义
孤立导体的电势U Q
量纲： SI
Q C U
单位:法拉
F
Q C U
IT 1 2 4 2 2 3 1 M L T I ML T I
电容只与几何因素和介质有关 固有的容电本领
例 求真空中孤立导体球的电容(如图)
S
六.有介质时的电容器的电容
自由电荷 Q0 E0
C C0 r
Q0 U0 C0 U 0
有介质时 E
E0
r
U
U
r
Q0 C U
Q0 r C0 r U 0
C r C0
电容率
Polarization vector
V
宏观上无限小 微观上无限大 的体积元 V
一部分在 S 内
一部分在 S 外
S
电偶极矩穿过S 的分子对S 内的极化电荷有贡献 1.小面元dS对面S内极化电荷的贡献
在dS附近薄层内认为介质均匀极化
dS
dS
外场
l
分子数 密度
dq qnl dS cos PdS cos
E3
R1 r<R2 <
r2
Q Q ^ ^ r P3 0 r 2 1 r 2 2 4 0 r 2 r 4 0 r 2 r
r> R2
E4
Q 4 0 r
2
^ r
P0
2)求紧贴导体球表面处的极化电荷
^ P n
r R0 Q 0 r1 1 2 41 R0
§4 电容器及电容 capacitor capacity
一.孤立导体的电容 定义
孤立导体的电势U Q
量纲： SI
Q C U
单位:法拉
F
Q C U
IT 1 2 4 2 2 3 1 M L T I ML T I
电容只与几何因素和介质有关 固有的容电本领
例 求真空中孤立导体球的电容(如图)
S
六.有介质时的电容器的电容
自由电荷 Q0 E0
C C0 r
Q0 U0 C0 U 0
有介质时 E
E0
r
U
U
r
Q0 C U
Q0 r C0 r U 0
C r C0
电容率
Polarization vector
V
宏观上无限小 微观上无限大 的体积元 V
2.5 介质中的高斯定理
10
r=a的球面上， r=a的球面上， 的球面上
σ P |r = a = P ⋅ n |r = a 1
2）电荷q集中在球心时，电场分布为 电荷q集中在球心时，
4πε r q E2 = e 2 r 4πε 0 r
2
E1 =
q
er
(r < a)
(r > a)
在r=a的球面上， r=a的球面上， 的球面上
∇× E = 0 真空中， 真空中， 自由电荷是激发静电场的源 ρ ⇒ 自由电荷是激发静电场的源 ∇⋅E = 1 ε0
ρ 自由电荷： 自由电荷： , E0
ρ 介质被极化－ 极化电荷： 介质被极化－>极化电荷： P , E '
介质空间中电场： 介质空间中电场：
E = E0 + E '
ρP
介质中的泊松方程
介质中的拉普拉斯方程
线性媒质：媒质参数不随电场的值而变化，反之， 线性媒质：媒质参数不随电场的值而变化，反之，称为 非线性媒质； 媒 非线性媒质； 均匀媒质：媒质参数不随空间坐标而变化，反之，称为 均匀媒质：媒质参数不随空间坐标而变化，反之， 质 非均匀媒质； 非均匀媒质； 各向同性媒质：媒质特性不随电场的方向改变,反之，称 各向同性媒质：媒质特性不随电场的方向改变,反之， 为各向异性媒质。 8 为各向异性媒质。
1 d 2 K K ρ P = −∇ ⋅ P = − 2 (r ⋅ ) = − 2 r r dr r 的球面上， 在 r = a 的球面上，束缚电荷面密度为 K σ P = n ⋅ P |r =a = e r ⋅ P r =a = a
13
2)由于 2)由于 D = ε 0 E + P ，所以
r=a的球面上， r=a的球面上， 的球面上
σ P |r = a = P ⋅ n |r = a 1
2）电荷q集中在球心时，电场分布为 电荷q集中在球心时，
4πε r q E2 = e 2 r 4πε 0 r
2
E1 =
q
er
(r < a)
(r > a)
在r=a的球面上， r=a的球面上， 的球面上
∇× E = 0 真空中， 真空中， 自由电荷是激发静电场的源 ρ ⇒ 自由电荷是激发静电场的源 ∇⋅E = 1 ε0
ρ 自由电荷： 自由电荷： , E0
ρ 介质被极化－ 极化电荷： 介质被极化－>极化电荷： P , E '
介质空间中电场： 介质空间中电场：
E = E0 + E '
ρP
介质中的泊松方程
介质中的拉普拉斯方程
线性媒质：媒质参数不随电场的值而变化，反之， 线性媒质：媒质参数不随电场的值而变化，反之，称为 非线性媒质； 媒 非线性媒质； 均匀媒质：媒质参数不随空间坐标而变化，反之，称为 均匀媒质：媒质参数不随空间坐标而变化，反之， 质 非均匀媒质； 非均匀媒质； 各向同性媒质：媒质特性不随电场的方向改变,反之，称 各向同性媒质：媒质特性不随电场的方向改变,反之， 为各向异性媒质。 8 为各向异性媒质。
1 d 2 K K ρ P = −∇ ⋅ P = − 2 (r ⋅ ) = − 2 r r dr r 的球面上， 在 r = a 的球面上，束缚电荷面密度为 K σ P = n ⋅ P |r =a = e r ⋅ P r =a = a
13
2)由于 2)由于 D = ε 0 E + P ，所以
大学物理之63电位移有介质时高斯定理
(2) E 2 π 0 rr
E1 2 π 0 r R1
E2
2
π 0 r R2
(r R1) (r R2 )
1'
( r
1) 0E1
( r 1) 2 π r R1
2'
( r
1) 0E2
( r 1) 2 π r R2
r
R2 R1
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
εE S
dS
Q0
电位移矢量
电位移通量
D 0 r E E
SD dS
有介质时的高斯定理
n
D dS S
Q0i
i 1
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
例1 把一块相对电容率r =3的电介质，
放在相距d=1 mm的两平行带电平板之间.
放入之前，两板的电势差是1 000 V . 试求
U=1 000 V
+++++++++++
U εr
d
-----------
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
例2 图中是由半径为R1的 长直圆柱导体和同轴的半径为
R2的薄导体圆筒组成，其间充
以相对电容率为r的电介质. 设
直导体和圆筒单位长度上的电
荷分别为+和- . 求(1)电介 质中的电场强度、电位移和极
6S
S
1 ε0
(Q0
Q')
Q'
εr εr
1
Q0
E dS
Q0
S
ε0εr
S 0r E dS Q0
电容率 ε ε0εr
S
' +- + +-+ +-+ +-+ + -+ +
电磁学公式
电磁学公式
电磁学常用公式库仑定律：F=kQq/r² 电场强度：E=F/q 点电荷电场强度：E=kQ/r² 匀强电场：E=U/d 电势能：E₁ =qφ 电势差:U₁₂=φ₁-φ₂静电力做功:W₁₂=qU₁₂电容定义式:C=Q/U 电容:C=εS/4πkd 带电粒子在匀强电场中的运动加速匀强电场:1/2*mv² =qU v² =2qU/m 偏转匀强电场: 运动时间:t=x/v₀垂直加速度:a=qU/md 垂直位移:y=1/2*at₂ =1/2*(qU/md)*(x/v₀)² 偏转角:θ=v⊥/v₀=qUx/md(v₀)² 微观电流：I=nesv 电源非静电力做功：W=εq 欧姆定律：I=U/R 串联电路电流：I₁=I₂=I₃ = …… 电压：U =U₁ +U₂ +U₃ + …… 并联电路电压：U₁=U₂=U₃= …… 电流：I =I₁+I₂+I₃+ …… 电阻串联：R =R₁+R₂+R₃+ …… 电阻并联：1/R =1/R₁+1/R₂+1/R₃+ …… 焦耳定律：Q=I² Rt P=I² R P=U² /R 电功率：W=UIt 电功:P=UI 电阻定律：R=ρl/S 全电路欧姆定律：ε=I(R+r) ε=U外+U内安培力：F=ILBsinθ 磁通量：Φ=BS 电磁感应感应电动势：E=nΔΦ/Δt 导线切割磁感线：ΔS=lvΔt E=Blv*sinθ 感生电动势：E=LΔI/Δt。
4电位移 有介质时的高斯定理
P = χε 0 E
令 得
χ:
电极化率
D = ε 0ε r E = ε E
D = ε 0 E + P = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 (1 + χ ) E 1+ χ = εr 介质的相对电容率
E= D = D
式中εຫໍສະໝຸດ ε 0ε rε 0 : 真空电容率 ε = ε 0ε r : 介质电容率
6
8-3 电位移矢量 有介质
高
有介质时的高斯定理
∫ D ⋅ dS = ∑ Q
S i =1
n
0i
电位移通量 电位移矢量
∫ D ⋅ dS
S
D = ε 0ε r E = ε E
7
电位移矢量 有介质
高
的电介质， 例1 把一块相对电容率εr =3的电介质， 的电介质 放在相距d=1mm的两平行带电平板之间 的两平行带电平板之间. 放在相距 的两平行带电平板之间 放入之前，两板的电势差是1000V . 试求 放入之前，两板的电势差是 两板间电介质内的电场强度E 两板间电介质内的电场强度 ，电极化强 度P ，板和电介质 的电荷面密度， 的电荷面密度， +++++++++++ 电介质内的电位 U εr d 移D.
S
Q0
S
Q'
−σ' - - - - -
+++++++++++
εr
+ σ' + + + + +
-----------
6 有电介质时的高斯定理
于该闭合曲面所包围的自由电荷的代数和.
E dS
S 0r
Q
0i
i
自由电荷 代数和
讨论 电场中充满均匀各向同性电介质的情况下
1、定义：电位移矢量 D 0rE E
: 电容率,决定于电介质种类的常数
说明
(1)是描述电场辅助性矢量
(2) 对应电场线起始于正自由电荷，
(3)
终止于负自由电荷
电位移通量 Ψ D
二、电介质中的静电场环路定理
l E dl 0
D dl 0 l
电位移 有介质时的高斯定理
一、电介质中的高斯定理 电位移矢量 D
加入电介质(εr )
E dS
1
S
0
qi
i
1
0
(
0 )S
'(1 1r Nhomakorabea)
0
EdS Q
S 0r i
E
dS
0S
1
S
0 r 0 r
Q0i
i
0i
自由电荷的代数和
令： D0ErE
电位移矢量
DdS
S
Q0i
i
电介质中通过任一闭合曲面的电位移通量等
D
s
dS
电力线与电位移线的比较
E线
D线
+Q
+Q
r
r
2、电介质中电场 强度
E
、电极化强度
P
和电位移矢量D 之间的 关系
电位移
D 0rE E
电极化强度
P
(r1)0 E
D P 0E
3、电介质中的高斯定理
D dS Q0i
S
i
(自由电荷
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q 为自由
电荷与极化电荷之和。 电荷与极化电荷之和。为了使极化电荷在方程中不 r 出现， 得有介质时的静电场方程。 出现，引入电位移 D ，得有介质时的静电场方程。
3 – 6 有介质时的静电场方程 有介质时的静电场方程。 有介质时的静电场方程。
第三章 静电场中的电介质
r r D ⋅ ds = q0 ∫s r rr d E ⋅ dsl = 0 ∫l r r D = εE
r r 决定矢量 D、 E
电介质的性 静电场方程 静电场两个基本方程： 静电场两个基本方程：
第三章 静电场中的电介质
r r q ∫ E ⋅ ds =
s
r r ∫ E ⋅ dl = 0
l
ε0
（对任意闭合曲面） 对任意闭合曲面） （对任意闭合曲线） 对任意闭合曲线）
r 决定矢量E
当电场中有介质时，上式仍然成立， 当电场中有介质时，上式仍然成立，