北京市延庆县第三协作区2015_2016学年九年级数学上学期期中试题(含解析)新人教版

2015-2016学年北京市延庆县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点( )A．在⊙O内或⊙O上 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．在⊙O外或⊙O上2．把10cm长的线段进行黄金分割，则较长线段的长（≈2.236，精确到0.01）是( ) A．3.09cm B．3.82cm C．6.18cm D．7.00cm3．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD=4，DB=2，则AE：EC的值为( )A．0.5 B．2 C．D．4．反比例函数y=的图象如图所示，则k的值可能是( )A．B．1 C．2 D．﹣15．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，那么AB的长为( )A．sinA B．cosA C．D．6．如图，正三角形ABC内接于圆O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A，B重合，则∠BPC等于( )A．30°B．60°C．90°D．45°7．抛物线y=x2的图象向左平移2个单位，在向下平移1个单位，得到的函数表达式为( )A．y=x2+2x+1 B．y=x2+2x﹣2 C．y=x2﹣2x﹣1 D．y=x2﹣2x+18．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有( )A．2个B．3个C．4个D．5个9．如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE=30°；②CE2=AB•CF；③CF=FD；④△ABE∽△AEF．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图所示，已知△ABC中，BC=8，BC上的高h=4，D为BC上一点，EF∥BC，交AB 于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x 的函数的图象大致为( )A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若，则=__________．12．两个相似多边形相似比为1：2，且它们的周长和为90，则这两个相似多边形的周长分别是__________，__________．13．已知扇形的面积为15πcm2，半径长为5cm，则扇形周长为__________cm．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则以2.5为半径的⊙C与直线AB的位置关系是__________．15．请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是__________．16．如图，正方形OABC，ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上，点F在AB 上，点B、E 在函数（x＞0）的图象上，若阴影部分的面积为12﹣，则点E的坐标是__________．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：．18．如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，∠B=60°，解直角三角形．19．已知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限．（1）求k的取值范围；（2）取一个你认为符合条件的K值，写出反比例函数的表达式，并求出当x=﹣6时反比例函数y的值．20．已知圆内接正三角形的边心距为2cm，求它的边长．21．已知：如图，D是BC上一点，△ABC∽△ADE，求证：∠1=∠2=∠3．22．如图，A、B两座城市相距100千米，现计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段AB）．经测量，森林保护区中心P点既在A城市的北偏东30°的方向上，又在B城市的南偏东45°的方向上．已知森林保护区的范围是以P为圆心，35千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越森林保护区？请通过计算说明．（参考数据：≈1.732，≈1.414）23．如图，AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E，交劣弧CB于D，连接AC．（1）请写出两个不同的正确结论；（2）若CB=8，ED=2，求⊙O的半径．24．密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC 交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．26．已知：抛物线y=x2+bx+c经过点（2，﹣3）和（4，5）．（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，求图象G的表达式；（3）在（2）的条件下，当﹣2＜x＜2时，直线y=m与该图象有一个公共点，求m的值或取值范围．27．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．28．（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：①如图2，点M，N在反比例函数y=（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F，试证明：MN∥EF；②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行．29．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n 时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m．n]上的“闭函数”．如函数y=﹣x+4，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y=﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=是闭区间[1，2016]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若二次函数y=x2﹣2x﹣k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k的值；（3）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的表达式（用含m，n的代数式表示）．2015-2016学年北京市延庆县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点( )A．在⊙O内或⊙O上 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．在⊙O外或⊙O上【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据点与圆的位置关系进行判断．【解答】解：∵d≥R，∴点P在⊙O上或点P在⊙O外．故选D．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r点P在圆内⇔d＜r．2．把10cm长的线段进行黄金分割，则较长线段的长（≈2.236，精确到0.01）是( ) A．3.09cm B．3.82cm C．6.18cm D．7.00cm【考点】黄金分割．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：根据题意得：较长线段的长是10×=10×0.618=6.18cm．故选C．【点评】此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的是本题的关键．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD=4，DB=2，则AE：EC的值为( )A．0.5 B．2 C．D．【考点】平行线分线段成比例．【专题】几何图形问题．【分析】首先由DE∥BC可以得到AD：DB=AE：EC，而AD=4，DB=2，由此即可求出AE：EC的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴AD：DB=AE：EC，而AD=4，DB=2，∴AE：EC=AD：DB=4：2=2．故选B．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理，有的同学因为没有找准对应关系，从而导致错选其他答案．4．反比例函数y=的图象如图所示，则k的值可能是( )A．B．1 C．2 D．﹣1【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据函数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于1判断．【解答】解：∵反比例函数在第一象限，∴k＞0，∵当图象上的点的横坐标为1时，纵坐标小于1，∴k＜1，故选A．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，用到的知识点为：反比例函数图象在第一象限，比例系数大于0；比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，那么AB的长为( )A．sinA B．cosA C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．【解答】解：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，得sinA=．AB==，故选：D．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．6．如图，正三角形ABC内接于圆O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A，B重合，则∠BPC等于( )A．30°B．60°C．90°D．45°【考点】圆周角定理；等边三角形的性质．【专题】压轴题；动点型．【分析】由等边三角形的性质知，∠A=60°，即弧BC的度数为60°，可求∠BPC=60°．【解答】解：∵△ABC正三角形，∴∠A=60°，∴∠BPC=60°．故选B．【点评】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．和等边三角形的性质求解．7．抛物线y=x2的图象向左平移2个单位，在向下平移1个单位，得到的函数表达式为( )A．y=x2+2x+1 B．y=x2+2x﹣2 C．y=x2﹣2x﹣1 D．y=x2﹣2x+1【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，二次函数y=x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象表达式为y=（x+2）2﹣1，即y=x2+2x+1．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有( )A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题；数形结合．【分析】观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；当x=﹣1时图象在x轴下方得到y=a﹣b+c=0，即a+c=b；对称轴为直线x=1，可得x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c＞0；利用对称轴x=﹣=1得到a=﹣b，而a﹣b+c＜0，则﹣b﹣b+c＜0，所以2c＜3b；开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c，得到a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1）．【解答】解：开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0，则abc＜0，所以①不正确；当x=﹣1时图象在x轴下方，则y=a﹣b+c=0，即a+c=b，所以②不正确；对称轴为直线x=1，则x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c＞0，所以③正确；x=﹣=1，则a=﹣b，而a﹣b+c=0，则﹣b﹣b+c=0，2c=3b，所以④不正确；开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c；当x=m（m≠1）时，y=am2+bm+c，则a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤正确．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=﹣，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当△=b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．9．如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE=30°；②CE2=AB•CF；③CF=FD；④△ABE∽△AEF．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】由正方形的性质和三角函数得出∠BAE＜30°，①不正确；由题中条件可得△CEF∽△BAE，进而得出对应线段成比例，得出②正确，CF=FD，③不正确；进而又可得出△ABE∽△AEF，得出④正确，即可得出题中结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CAD，∠B=∠C=∠D=90°，∵E是BC的中点，∴BE=CE=BC=AB，∵AE＞AB，∴sin∠BAE=＜，∴∠BAE＜30°，①不正确；∵AE⊥EF，∴∠BAE=∠CEF，∴△CEF∽△BAE，∴==，∴CE•BE=AB•CF，CF=BE=CD，∵BE=CE，CF=FD，∴CE2=AB•CF，②正确，③不正确；由△CEF∽△BAE可得，∴∠EAF=∠BAE的正切值相同，∴∠EAF=∠BAE，又∠B=∠C=90°．∴△ABE∽△AEF，∴④正确；正确的有2个，故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、三角函数；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．10．如图所示，已知△ABC中，BC=8，BC上的高h=4，D为BC上一点，EF∥BC，交AB 于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x 的函数的图象大致为( )A．B．C．D．【考点】函数的图象；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．【解答】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似比可知：，即EF=2（4﹣x）所以y=×2（4﹣x）x=﹣x2+4x．故选D．【点评】考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若，则=．【考点】比例的性质．【专题】计算题．【分析】根据已知条件，可得出a和b的值，代入原式即可得出结果．【解答】解：根据题意，得a=，b=，则==，故填．【点评】考查了比例的基本性质及其灵活运用．12．两个相似多边形相似比为1：2，且它们的周长和为90，则这两个相似多边形的周长分别是30，60．【考点】相似多边形的性质．【分析】根据相似多边形的周长之比等于相似比，求出两个多边形的周长比，根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：∵两个相似多边形相似比为1：2，∴两个相似多边形周长比为1：2，设较小的多边形的周长为x，则较大的多边形的周长为x，由题意得，x+2x=90，解得，x=30，则2x=60，故答案为：30；60．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的周长之比等于相似比是解题的关键．13．已知扇形的面积为15πcm2，半径长为5cm，则扇形周长为6π+10cm．【考点】扇形面积的计算．【分析】根据扇形的面积公式求出扇形弧长，根据扇形周长公式计算即可．【解答】解：由扇形的面积公式S=lr，得，l==6πcm，则扇形周长=（6π+10）cm，故答案为：6π+10．=lR（其中l为扇形的弧长）是解题【点评】本题考查的是扇形的面积的计算，掌握S扇形的关键．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则以2.5为半径的⊙C与直线AB的位置关系是相交．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出d＜r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：以2.5为半径的⊙C与直线AB的位置关系是相交；理由如下：过C作CD⊥AB于D，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3，∴由勾股定理得：AB==5，∵△ABC的面积=AC×BC=AB×CD，∴3×4=5CD，∴CD=2.4＜2.5，即d＜r，∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交，故答案为：相交．【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，直线和圆的位置关系的应用；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交．15．请选择一组你喜欢的a 、b 、c 的值，使二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当x ＜2时，y 随x 的增大而增大；当x ＞2时，y 随x 的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是y=﹣x 2+4x ．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】压轴题；开放型．【分析】根据①的条件可知：a ＜0；根据②的条件可知：抛物线的对称轴为x=2；满足上述条件的二次函数解析式均可．【解答】解：由①知：a ＜0；由②知：抛物线的对称轴为x=2；可设抛物线的解析式为y=a （x ﹣2）2+h （a ＜0）；当a=﹣1，h=4时，抛物线的解析式为y=﹣（x ﹣2）2+4=﹣x 2+4x ．（答案不唯一）【点评】本题是一个开放性题目，主要考查二次函数的性质及解析式的求法．本题比较灵活，培养学生灵活运用知识的能力．16．如图，正方形OABC ，ADEF 的顶点A 、D 、C 在坐标轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在函数（x ＞0）的图象上，若阴影部分的面积为12﹣，则点E 的坐标是（+1，﹣1）．【考点】反比例函数系数k 的几何意义．【专题】计算题．【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义得到S 正方形OABC =S 正方形ODEG =4，则S 矩形BCGF =S正方形ADEF ，所以S 正方形ADEF =6﹣2，利用正方形的性质可计算出正方形的边长AD=DE==﹣1，则E 点的纵坐标为﹣1，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征可确定E 点坐标．【解答】解：∵四边形OABC ，ADEF 为正方形，∴S 正方形OABC =S 正方形ODEG =4，∴S 矩形BCGF =S 正方形ADEF ，而阴影部分的面积为12﹣，∴S 正方形ADEF =6﹣2，∴AD=DE==﹣1，当y=﹣1时，x==+1，∴E 点坐标为（+1，﹣1）． 故答案为（+1，﹣1）．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】分别把sin30°=，cos45°=，tan60°=代入计算即可．【解答】解：原式=4×﹣×+=2﹣1+3=4．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式等考点的运算．18．如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，∠B=60°，解直角三角形．【考点】解直角三角形．【分析】根据三角形的内角和求出∠A，再根据正弦定理求出AB，最后根据勾股定理即可求出AC．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=30°，∴sinA===，∴AB=16，∴AC===8．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解直角三角形要用到的关系：锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；三边之间的关系：a2+b2=c2；边角之间的关系：锐角三角函数关系．19．已知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限．（1）求k的取值范围；（2）取一个你认为符合条件的K值，写出反比例函数的表达式，并求出当x=﹣6时反比例函数y的值．【考点】反比例函数的性质．【分析】（1）由反比例函数图象过第一、三象限，得到反比例系数k﹣1大于0，列出关于k 的不等式，求出不等式的解集得到k的范围；（2）根据k的取值范围取k=2，得到y=，代入x=﹣6，求得即可．【解答】解：（1）∵反比例函数图象两支分别位于第一、三象限，∴k﹣1＞0，解得：k＞1；（2）∵k＞1，∴取k=2，在反比例函数的表达式为y=，把x=﹣6代入得，y==﹣．【点评】此题考查了反比例函数的性质．反比例函数y=（k≠0），当k＞0时函数图象位于第一、三象限；当k＜0时，函数图象位于第二、四象限．20．已知圆内接正三角形的边心距为2cm，求它的边长．【考点】正多边形和圆．【分析】如图，作辅助线；求出∠AOC=60°，借助直角三角形的边角关系求出AC的长，即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA、OB；∵AB为⊙O的内接正三角形的一边，OC⊥AB于点C；∴∠AOB==120°；∵OA=OB，∴∠AOC=∠AOB=60°，AC=BC；∵tan60°=，而OC=2，∴AC=2，AB=4（cm）．【点评】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．21．已知：如图，D是BC上一点，△ABC∽△ADE，求证：∠1=∠2=∠3．【考点】相似三角形的性质．【分析】由相似三角形的性质易证∠1=∠2，再由三角形内角和定理易证∠2=∠3，进而可证明∠1=∠2=∠3．【解答】证明：∵△ABC∽△ADE，∴∠C=∠E，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠1=∠2，在△AOE和△DOC中，∠E=∠C，∠AOE=∠DOC（对顶角相等），∴∠2=∠3，∴∠1=∠2=∠3．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的各种性质是解题关键．22．如图，A、B两座城市相距100千米，现计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段AB）．经测量，森林保护区中心P点既在A城市的北偏东30°的方向上，又在B城市的南偏东45°的方向上．已知森林保护区的范围是以P为圆心，35千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越森林保护区？请通过计算说明．（参考数据：≈1.732，≈1.414）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】过点P作PC⊥AB，C是垂足．AC与BC就都可以根据三角函数用PC表示出来．根据AB的长，得到一个关于PC的方程，解出PC的长．从而判断出这条高速公路会不会穿越森林保护区．【解答】解：过点P作PC⊥AB，C是垂足，则∠A=30°，∠B=45°，AC==PC，BC==PC．∵AC+BC=AB，∴PC+PC=100，∴PC=50（﹣1）≈50×（1.732﹣1）=36.6＞35．答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．23．如图，AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E，交劣弧CB于D，连接AC．（1）请写出两个不同的正确结论；（2）若CB=8，ED=2，求⊙O的半径．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】（1）根据直角所对的圆周角是直角、垂径定理写出结论；（2）根据勾股定理求出DE的长，设⊙O的半径为R，根据勾股定理列出关于R的方程，解方程得到答案．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∵OD⊥CB，∴CE=BE，=，则三个不同类型的正确结论：∠C=90°；CE=BE；=；（2）∵OD⊥CB，∴CE=BE=BC=4，又DE=2，∴OE2=OB2﹣BE2，设⊙O的半径为R，则OE=R﹣2，∴R2=（R﹣2）2+42，解得R=5．答：⊙O的半径为5．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．24．密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．【考点】二次函数的应用；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．【分析】因为拱门是抛物线形的建筑物，所以符合抛物线的性质，以CD的中垂线为y轴，CD所在的直线为x轴，可列出含有未知量的抛物线解析式，由A、B的坐标可求出抛物线的解析式，然后就变成求抛物线的顶点坐标的问题．【解答】解：如图所示建立平面直角坐标系，此时，抛物线与x轴的交点为C（﹣100，0），D（100，0），设这条抛物线的解析式为y=a（x﹣100）（x+100），∵抛物线经过点B（50，150），可得150=a（50﹣100）（50+100）．解得，∴．即抛物线的解析式为，顶点坐标是（0，200）∴拱门的最大高度为200米．【点评】本题考查的二次函数在实际生活中的应用，根据题意正确的建立坐标轴可使问题简单化，数形结合，很基础的二次函数问题．25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC 交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．【考点】切线的判定；平行线的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】证明题．【分析】连接0C，根据等腰三角形的性质和角平分线性质求出∠EAC=∠ACO，推出OC∥AE，推出OC⊥ED即可．【解答】证明：连接0C，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠OAC，则∠OCA=∠EAC，∴OC∥AE，∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题主要考查对平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，切线的判定，角平分线性质等知识点的理解和掌握，能推出OC⊥ED是解此题的关键．26．已知：抛物线y=x2+bx+c经过点（2，﹣3）和（4，5）．（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，求图象G的表达式；（3）在（2）的条件下，当﹣2＜x＜2时，直线y=m与该图象有一个公共点，求m的值或取值范围．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）直接把A、B两点的坐标代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线的解析式；利用配方法把解析式变形为顶点式，然后写出顶点坐标．（2）根据关于x轴对称的两点x坐标相同，y坐标互为相反数，即可求得图象G的表达式；（3）求得抛物线的顶点坐标和x=﹣2时的函数值，结合图象即可求得m的值．【解答】解：（1）根据题意得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．（2）根据题意，﹣y=x2﹣2x﹣3，所以y=﹣x2+2x+3．（3）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为（1，﹣4），当x=﹣2时，y=5，抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点（1，4），当x=﹣2时，y=﹣5．∴当﹣2＜x＜2时，直线y=m与该图象有一个公共点，则4＜m＜5或﹣5＜m＜﹣4．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及翻折的性质，（3）结合图象是解题的关键．27．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【考点】相似三角形的判定；一元二次方程的应用；分式方程的应用；矩形的性质．【专题】压轴题；动点型．【分析】（1）关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系；（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在．【解答】解：（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，解方程，得x1=1，x2=2，经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或即①，或②解①，得t=；解②，得t=经检验，t=或t=都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD 相似．【点评】主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程．要掌握矩形和相似三角形的性质，才会灵活的运用．注意：一般关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可．28．（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：①如图2，点M，N在反比例函数y=（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F，试证明：MN∥EF；②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行．【考点】反比例函数综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，根据CG∥DH，得到△ABC与△ABD同底，而两个三角形的面积相等，因而CG=DH，可以证明四边形CGHD 为平行四边形，∴AB∥CD．（2）判断MN与EF是否平行，根据（1）中的结论转化为证明S△EFM=S△EFN即可．【解答】解：（1）分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，则∠CGA=∠DHB=90°，∴CG∥DH∵△ABC与△ABD的面积相等∴CG=DH∴四边形CGHD为平行四边形∴AB∥CD．（2）①证明：连接MF，NE，设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），∵点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，∴x1y1=k，x2y2=k，∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，∴OE=y1，OF=x2，∴S△EFM=x1•y1=k，。

初中数学试卷桑水出品2015-2016学年第一学期九年级期中联考数学试卷答案三、解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题8分，第19题8分，第20题6分，第21题8分，第22题8分，第23题9分，共52分） 17．（5分）解： a ＝4.b ＝-8,c ＝-1 ……………………………………………… 1’ ∵ b 2-4ac ＝(-8) 2-4×4×(-1)＝80＞0…………………………………………………… 2’∴x ＝a ac b b 242-±-＝4280)8(⨯±--＝252±……………….4’∴x 1＝252+ ,x 2＝252- …………………………………….5’18.（8分）解：（1）P(摸到红球)＝31…………………… ……2’ (2)………… 6’一共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而两次取出相同颜色球的结果有3种，…∴P （两次取出相同颜色球）＝93＝31…… ……………… 8’19（8分） 证明：（1）∵四边形ABDE 是平行四边形（已知）， ∴AB ∥DE ，AB=DE （平行四边形的对边平行且相等）； ∴∠B=∠EDC （两直线平行，同位角相等）； 又∵AB=AC （已知）， ∴AC=DE （等量代换），∠B=∠ACB （等边对等角）， ∴∠EDC=∠ACD （等量代换）； ∵在△ADC 和△ECD 中，，∴△ADC ≌△ECD （SAS ）；(证得AC=DE 给2分，证得∠EDC=∠ACD 给2分，最后结论1分) （2）∵四边形ABDE 是平行四边形（已知），∴BD ∥AE ，BD=AE （平行四边形的对边平行且相等）， ∴AE ∥CD ； 又∵BD=CD ，∴AE=CD （等量代换），∴四边形ADCE 是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）； 7’ 由（1）可知，AC=DE ，∴▱ADCE 是矩形． 8’ 20．（6分） .解：（1）画图略 2分（2）画图略 2分 坐标为（1,0） 1分 （3）面积10平方单位 1分21.（8分）解：设每件衬衫应降价x 元. 1’ 则依题意，得：（40-x ）（20+2x ）=1200， 5’整理，得2302000x x -+=，解得:1210,20x x ==. 7’∵商场要尽快减少库存， ∴只取x 2=20答：若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价20元． 8’22.（8分）（1）证明∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，1’∴AE=DE，AF=DF，2’∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC，3’同理DF∥AE，∴四边形AEDF是平行四边形，4’∵AE=DE∴▱AEDF是菱形. 5’（2）解：∵▱AEDF是菱形.∴AE=DE=DF=AF，∵AF=4，∴AE=DE=DF=AF=4，6’∵DE∥AC，∴=，∵BD=6，AE=4，CD=3，∴=，∴BE=8，8’23.（9分）解：（1）∵矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上,∴BC∥x轴, BA∥y轴，∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），∴BC=2，∵点D为BC的中点，∴CD=1，∴点D的坐标为（1，3），1’代入双曲线y=（x＞0）得k=1×3=3；2’∵BA∥y轴，∴点E的横坐标与点B的横坐标相等，为2，∵点E在双曲线y=3x上，∴y=∴点E的坐标为（2，）；3’（2）∵点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），∴BD=1，BE=，BC=2当点F在点C的下方时，若△FBC∽△DEB，则即：∴FC=4 3∴OF=3-43=53∴点F1的坐标为（0，）4’设直线F1B的解析式y1=kx+b（k≠0）则解得：k=，b=∴直线F1B的解析式y1=2533x+5’若△FBC∽△E DB，则CF BC EB DB=即：2 31 2CF=∴FC=3∴OF=3-3=0∴点F2的坐标为（0，0）6’设直线F2B的解析式y2=mx（k≠0）则2m=3,解得：m=32，∴直线F2B的解析式y2=32x 7’当点F在点C上方时，同理可得：y3=21333x-+;y4=362x-+综上所述，直线FB的解析式有4种可能，分别是：y1=2533x+；y2=32x；y3=21333x-+;y4=362x-+9’。

延庆区2016年毕业考试试卷初三数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．龙庆峡冰灯于2016年1月中旬接待游客。

今年的龙庆峡冰灯以奥运五环、冬奥会运动项目等奥运元素为题材，分为彩灯区、娱乐区、冰展区，总面积达到200 000平方米。

将200 000用科学记数法表示应为A ．20×104B ．0.20×106C ．2.0×106D ．2.0×1052. 如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示互为相反数的点是A ．点A 与点BB ．点A 与点DC ．点B 与点DD ．点B 与点C3．一个布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸 出1个球，则摸出的球是白球的概率为 A ．21B ．31C ．32 D ．61 4. 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是中心对称图形的为A ．B ．C ．D ． 5. 若分式21x x --的值为0，则x 的值为 A ． 1或2 B ．2C ．1D ．0 6．如图，在4×4的正方形网格中，tan α的值等于A ．2B ．12CD7. 已知如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ,CD =6,AE则⊙O 的直径为A . 6B.8C.10D.12 8．若将抛物线y=12x 2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是A ．21(2)12y x =+- B ．21(2)12y x =-- C ．2(2)1y x =+- D ．1)2x (21y +-=9. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出A O B AOB '''∠=∠的依据是 A ．（SAS ） B ．（SSS ） C ．（AAS ） D ．（ASA ）10．如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x ，大小正方形重叠部分的面积为y ，则 下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A B C D图③图②图①二、填空题（本题共18分, 每小题3分）11．分解因式：22an amn 2am +-= . 12.函数y =x 的取值范围是 .13. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为图方便，我们 把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为： .14. 如图，AB ∥DC ，要使四边形ABCD 是平行四边形， 还需补充一个．．条件： .15. 关于x 的一元二次方程a x 2+bx +41=0有实数根，写出一组满足条件的实数a ，b 的值： a =______，b =______．16. 下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”， 此图揭示了()na b +（n 为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．请你观察，并根据此规律写出：（a+b ）7的展开式共有 项， na b +（）的展开式共有 项，各项的系数和．．．是 ．三、3219423x y x y ⎧⎨⎩+=+=共有5项共有3项共有2项共有4项各项系数和：4各项系数和：2各项系数和：8各项系数和：16(a+b)4 = a 4+4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4• • • • • • •(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3• • • • • • •• • • • • • •(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a+b)1=a+b • • • • • • •644113311211111四、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17. 计算:1tan 602-+-18.已知：x 2-5x =6，请你求出代数式10x -2x 2+5的值．19. 解方程：542332x x x+=--20. 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+.321),2(542x x x x 把它的解集在数轴上表示出来，并求它的整数解.21. 已知：如图，菱形ABCD 中，过AD 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AB 于点M ，交CB 的延长线于点F ．如果FB 的长是2，求菱形ABCD 的周长．22. 如图，点P （－3，1）是反比例函数my x=的图象上的 一点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）设直线y kx =与双曲线m y x =的两个交点分别为P 和P′，当mx＜kx 时，直接写出x 的取值范围．23. 列方程或方程组解应用题：食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知生产100瓶A、B两种饮料中，共添加270克该添加剂，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？24.如图，甲船在港口P的南偏西60︒方向，距港口86海里的A处，沿AP方向以每小时15海里的速度匀速驶向港口P．乙船从港口P出发，沿南偏东45︒方向匀速驶离港口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（结果精1.4141.7322.236≈）A25. 已知：如图，AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30．（1）求∠P的大小；（2）若AB=6，求PA的长．26.阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校倡导学生读书，下面的表格是学生阅读课外书籍情况统计表，图1是该校初中三个年级学生人数分布的扇形统计图，其中八年级学生人数为204人，请你根据图表中提供的信息，解答下列问题：（1）求该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比；（2）求表中a，b的值；（3）求该校学生平均每人读多少本课外书？27. 已知：抛物线y=x²+bx+c经过点A（2，-3）和B（4，5）. （1）求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G1，求图象G1的表达式；（3）设B点关于对称轴的对称点为E，抛物线G2:y＝ax2（a≠0）与线段EB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：如果()()0'0y x y y x ⎧⎪=⎨-⎪⎩≥＜，那么称点Q 为点P 的“妫川伴侣”． 例如：点（5，6）的“妫川伴侣”为点（5，6），点（－5，6）的“妫川伴侣” 为点（－5，－6）．（1）① 点（2，1）的“妫川伴侣”为 ；② 如果点A （3，－1），B （－1，3）的“妫川伴侣”中有一个在函数3y x=的图象上，那么这个点是 （填“点A ”或“点B ”）．（2）①点M *（－1，－2）的“妫川伴侣”点M 的坐标为 ；② 如果点N *（m +1，2）是一次函数y = x + 3图象上点N 的“妫川伴侣”， 求点N 的坐标．（3）如果点P 在函数24y x =-+（－2＜x ≤a ）的图象上，其“妫川伴侣”Q 的纵坐标y ′的取值范围是－4＜y ′≤4，那么实数a 的取值范围是 ．()图2图1A'B29. 阅读下面材料:小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB =2，AC =4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。

E D CBA延庆区2015-2016学年第一学期期末测试卷初三数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．⊙O 的半径为R ，点P 到圆心O 的距离为d ，并且d ≥ R ，则P 点 A.在⊙O 内或圆周上 B.在⊙O 外C.在圆周上D.在⊙O 外或圆周上2. 把10cm 长的线段进行黄金分割，则较长线段的长（236.25≈, 精确到0.01）是A ．3.09cmB ．3.82cmC ．6.18cmD ．7.00cm 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ， 若AD =4，DB =2，则AE ︰EC 的值为 A . 0.5 B . 2 C . 32 D . 23 4. 反比例函数xky =的图象如图所示,则K 的值可能是 A .21B . 1C . 2D . -1 5. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =1，那么AB 的长为A ．sin AB ．cos AC ．1cos AD ． 1sin A6．如图，正三角形ABC 内接于⊙O ，动点P 在圆周的劣弧AB 上， 且不与A,B 重合，则∠BPC 等于A .30︒B .60︒ C. 90︒ D. 45︒ 7．抛物线y=21x 2的图象向左平移2个单位，在向下平移1个单位，得到的函数表达式为A . y =21x 2+ 2x + 1B ．y =21x 2+ 2x - 2C . y =21x 2 - 2x - 1 D. y =21x 2- 2x + 18. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论： ① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ； ④ b c 32<； ⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个9. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上的一点，AE ⊥EF ，下列结论：①∠BAE ＝30°；②CE 2＝AB·CF ；③CF ＝31FD ；④△ABE ∽△AEF .其中正确的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10．如图，已知△ABC 中，BC =8，BC 边上的高h =4，D 为BC 边上一个动点，EF ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，设E 到BC 的距离为x ，△DEF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致为A. B. C. D.二、填空题（本题共18分, 每小题3分） 11．若5127==b a ，则32ba -= ． 12. 两个相似多边形相似比为1:2,且它们的周长和为90,则这两个相似多边形的周长分别 是 , ． 13.已知扇形的面积为15πcm 2,半径长为5cm ,则扇形周长为 cm ．14. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4, BC =3,则以2.5为半径的⊙C 与直线AB 的位置关系 是 ．15. 请选择一组你喜欢的a,b,c 而减小.16. 如图，正方形OABC ，。

北京市北京三中2015-2016学年度九年级数学上学期期中试题考生须知1．本试卷共8页，共五道大题，29道小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效。

3．在答题纸上，除作图使用铅笔外，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

4．不得使用涂改液（带），没有在指定位置答题或在答题框外答题一律不给分.选择题（本题共30分，每小题3分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． １．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD ∶BD =1∶2，若△ADE 的面积等于2，则△ABC 的面积等于（ ）.A.6B.8C.12D.182．在平面直角坐标系中，已知点(3,0)A 和点)4,0(-B ，则OAB ∠cos 等于（ ）.A ．43B ．53C ．43- D ．543．抛物线()225y x =--+的顶点坐标是（ ）.A ．(-2，5)B ．(2，5)C ．(-2，-5)D ．(2，-5)4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AC ＝2，则sin A 的值为（ ）. A 5B 25 C ．12D ．2 5．下列三角函数值错误的是（ ）. A ．sin 1302︒=B ．3sin 60︒=．tan 451︒= D ．cos603︒= 6． 如图，身高为1.6米的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC ＝2.0米， BC ＝8.0米，则旗杆的高度是（ ）.A ．6.4米B ．7.0米C ．8.0米D ．9.0米7．将抛物线 224=+y x 绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）. A ． 224=--y xB ． 224=-+y xC ．224=-y xD ． 22=-y x8． 如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△A 1B 1C 1（顶点均在格点上），若它们是以P 点为位似中心的A CB 第1题图第6题图A位似图形，则P 点的坐标是（ ）. A ．(-3，-3) B ． (-3，-4) C ．(-4，-3) D ． (-4，4)9．同一直角坐标系中，函数y mx m =+和12++-=x mx y （m 是常数，且0m ≠）的图象可能是（ ）10．如图，正方形ABCD 中，AB ＝8cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别从B ，C 两点同的速度沿BC ，CD 运动，到点C D 时停止运动．设运动时间为t (s)，△OEF 的面积为S (cm 2)，则S (cm 2)与t (s)的函数关系可用图象表示为( )A B C D二、填空题（本题共18分，每小题3分）11． 如图，在△ABC 中，DE ∥AB 分别交AC ，BC 于点D ，E ，若AD =3，CD =4，则△CDE 与△CAB 的周长的比为 ．12．点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在二次函数221y x x =--的图象上，若2x ＞1x ＞1，则 1y 与2y 的大小关系是1y 2y ．（用“＞”、“＜”、“=”填空） 13. 在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则tan B 的值为__________．14．关于x 的二次函数22y x kx k =-+-的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，请写出一个．．满足条件的二次函数的表达式： ．15. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5，CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的 值是 ． xoy 中，直线2x =和抛物线2y ax =在第16. 在平面直角坐标系一象限交于点A ， 过A 作AB x ⊥轴于点B .如果a 取1，2，3，…，xy O Ａ． xy O Ｂ． x yO Ｃ．x yO Ｄ． A B E O F第8题图第10题图n时对应的△AOB 的面积为,,,321S S S …，n S ，那么1S =_____；+++321S S S …+n S =___________.三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：32sin 453tan 30cos602︒-︒+︒+-.18．若二次函数23y ax bx =++的图象经过A （1，0）、B （2，－1）两点，求此二次函数的解 析式.19．如图，△ABC 中，点D 在AB 上，∠ACD =∠ABC ，若AD =2，AB =6，求AC 的长．20．已知二次函数342+-=x x y （1）用配方法将342+-=x x y 化成k h x a y +-=2）（的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）当30<<x 时，求y 的取值范围． 21． 如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10m ，到达B 点，在B 处测得树顶C 的仰角高度为60°（A 、B 、D 三点在同一直线上）。

2015-2016学年北京十五中九年级（上）期中数学试卷一、选择题1.二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A．y=2（x+3）2+4 B．y=2（x+3）2﹣4 C．y=2（x﹣3）2﹣4 D．y=2（x﹣3）2+43．在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB=，则tanA的值为（）A．B．C．D．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（）A．130°B．120°C．80° D．60°5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是（）A．B．C．D．6．已知二次函数y=2（x+1）（x﹣a），其中a＞0，且对称轴为直线x=2，则a的值是（）A．3 B．5 C．7 D．不确定7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2 B．4 C．4 D．88．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C．a﹣b+c＞0D．当x＞2时，y随x的增大而增大9．设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d10．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题11.比较大小：cos27°cos63°．12．关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数的表达式：．13．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是．14．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB= ．15．课本上将绳的一端固定住，另一端系一支笔，将绳子绷直，用笔绕着另一端画一圈就是一个圆，于是我们定义：圆是由到一定点距离都等于定长的所有的点组成的图形．下面是一种画椭圆的方法：（1）在地平面上选两个点，钉上两个钉子；（2）测量两个钉子间距离；（3）选用大于两钉子间距离长度的绳子；（4）将绳子两端分别系在钉子上；（5）将绳子绷直，用笔在绷直的拐角地方划线；（6）将绳子绕一圈，椭圆就得到啦！（如图所示）根据这个过程请你给椭圆下一个定义：．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1）．B是以点B 为圆心，BA为半径的圆弧；O是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，C是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，A是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为“正方形的渐开线”，那么点A5的坐标是，点A2015的坐标是．三、解答题（第17～26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分.本题共72分）17．计算：sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°．18．在△ABC中，∠A=120°，AB=12，AC=6．求tanB的值．19．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）该函数的顶点坐标是，与x轴的交点坐标是；（2）在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；（3）根据图象回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是．20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=CD，sin∠CBD=，求AD的长和tanA的值．22．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值： =1.732， =1.414）23．我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆．不难理解，经过一个已知点A作圆，能作出无数个．回答下列问题：（1）经过两个已知点A，B作圆，能作出圆个，圆心分布在；（2）如图，已知不共线的三点A，B，C，能作出圆个，请你利用尺规作图，确定圆心O的可能的位置．（要求保留作图痕迹，不写作法）24．如图，AB是⊙O的直径，过点B作BM⊥AB，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA=DC，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）若DE=1，求圆O的半径．25．设函数y=（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]（k是常数）．（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；（2）根据图象，写出你发现的一条结论．26．阅读下面材料：小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA边上的点，且AE=BC，BD=CE，BE与AD的交点为P，求∠APE的度数；小乔发现题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图2，过点B作BF∥AD且BF=AD，连接EF，AF，从而构造出△AEF与△CBE全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠APE的度数为．参考小乔同学思考问题的方法，解决问题：如图3，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，D、E分别为CB，CA上的点，且AE=BC，BD=，BE 与AD交于点P，在图3中画出符合题意的图形，并求出sin∠APE的值．27．已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB=．点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D．设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长；（3）如果把A、B之间的抛物线（包含A、B两点）图象记为G，直线l：y=﹣x+b与图象G只有一个公共点，求b的值．28．设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离．例如正方形ABCD满足A （1，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），那么点O（0，0）到正方形ABCD的距离为1．（1）如果⊙P是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O（0，0）到⊙P的距离为；（2）①求点M（3，0）到直线y=2x+1的距离；②如果点N（0，a）到直线y=2x+1的距离为3，那么a的值是；（3）如果点G（0，b）到抛物线y=x2的距离为3，请直接写出b的值．29．在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A和点C（4，0）．（1）求该抛物线的表达式．（2）连接CB，并延长CB至点D，使DB=CB，请判断点D是否在该抛物线上，并说明理由．（3）在（2）的条件下，过点C作x轴的垂线EC与直线y=2x+2交于点E，以DE为直径画⊙M，①求圆心M的坐标；②若直线AP与⊙M相切，P为切点，直接写出点P的坐标．2015-2016学年北京十五中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1.二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】二次函数的最值．【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（﹣1，﹣2），也就是当x=﹣1，函数有最大值﹣2．【解答】解：∵y=﹣（x+1）2﹣2，∴此函数的顶点坐标是（﹣1，﹣2），即当x=﹣1函数有最大值﹣2故选：A．【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．2．把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A．y=2（x+3）2+4 B．y=2（x+3）2﹣4 C．y=2（x﹣3）2﹣4 D．y=2（x﹣3）2+4【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】计算题．【分析】抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），则把它向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的顶点坐标为（﹣3，4），然后根据顶点式写出解析式．【解答】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB=，则tanA的值为（）A．B．C．D．2【考点】解直角三角形；勾股定理；锐角三角函数的定义．【分析】首先根据勾股定理求得直角边AC的长度；然后由锐角三角函数的定义求得tanA的值．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB=，∴AC==2；∴tanA==；故选C．【点评】本题综合考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、勾股定理．掌握相应的锐角三角函数值的求法是解决本题的关键．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（）A．130°B．120°C．80° D．60°【考点】圆内接四边形的性质．【分析】由四边形ABCD内接于⊙O，可得∠B+∠ADC=180°，又由∠ADC+∠ADE=180°，即可求得∠B=∠ADE=120°．【解答】解：∵∠ADC+∠ADE=180°，∠B+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADE=120°．故选B．【点评】此题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【分析】首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，再根据同角的余角相等得出∠A=∠BCD，进而利用锐角三角函数关系即可求出sin∠BCD的值．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴AB==13，．∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∠A+∠B=90°，∴∠A=∠BCD，∴sin∠BCD=sinA==．故选B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系的定义，得出sin∠BCD=sinA是解题关键．6．已知二次函数y=2（x+1）（x﹣a），其中a＞0，且对称轴为直线x=2，则a的值是（）A．3 B．5 C．7 D．不确定【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数y=2（x+1）（x﹣a），得出二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（a，0），则对称轴为x==2，进一步求得a的数值即可．【解答】解：∵二次函数y=2（x+1）（x﹣a）与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（a，0），∴对称轴x==2，解得：x=5．故选：B．【点评】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称性、求对称轴的方法以及求与x轴交点的坐标是解决问题的关键．7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2 B．4 C．4 D．8【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．【解答】解：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．8．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C．a﹣b+c＞0D．当x＞2时，y随x的增大而增大【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）．【分析】根据图象开口方向向下得出a的符号，进而利用图象的对称轴得出图象与x轴的交点坐标，再利用图象得出不等式ax2+bx+c＞0的解集．【解答】解：A、图象开口方向向下，则a＜0，故此选项错误；B、∵图象对称轴为直线x=2，则图象与x轴另一交点坐标为：（﹣1，0），∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5，故此选项正确；C、当x=﹣1，a﹣b+c=0，故此选项错误；D、当x＞2时，y随x的增大而减小，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数与不等式的解集，利用数形结合得出是解题关键．9．设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】首先根据一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象经过点（x1，0），可得y2=d（x﹣x1），y=y1+y2=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1；然后根据函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，可得函数y=y1+y2与x轴的交点为（x1，0），再结合对称轴公式求解．【解答】解：∵一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象经过点（x1，0），∴dx1+e=0，∴y2=d（x﹣x1），∴y=y1+y2=a（x﹣x1）（x﹣x2）+d（x﹣x1）=ax2﹣axx2﹣ax1x+ax1x2+dx﹣dx1=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1∵当x=x1时，y1=0，y2=0，∴当x=x1时，y=y1+y2=0，∵y=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1与x轴仅有一个交点，∴y=y1+y2的图象与x轴的交点为（x1，0）∴=x1，化简得：a（x2﹣x1）=d故选：B．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数y=y1+y2与x轴的交点为（x1，0）．10．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】作OC⊥AP，根据垂径定理得AC=AP=x，再根据勾股定理可计算出OC=，然后根据三角形面积公式得到y=x•（0≤x≤2），再根据解析式对四个图形进行判断．【解答】解：作OC⊥AP，如图，则AC=AP=x，在Rt△AOC中，OA=1，OC===，所以y=OC•AP=x•（0≤x≤2），所以y与x的函数关系的图象为A选项．故选：A．排除法：很显然，并非二次函数，排除B选项；采用特殊位置法；当P点与A点重合时，此时AP=x=0，S△PAO=0；当P点与B点重合时，此时AP=x=2，S△PAO=0；当AP=x=1时，此时△APO为等边三角形，S△PAO=；排除B、C、D选项，故选：A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．二、填空题11.比较大小：cos27°＞cos63°．【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据余弦函数随锐角的增大而减小，可得答案．【解答】解：由余弦函数随锐角的增大而减小，得cos27°＞cos63°，故答案为＞．【点评】本题考查了锐角三角函数的增加性，利用余弦函数随锐角的增大而减小是解题关键．12．关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数的表达式：y=x2﹣3x+1答案不唯一．【考点】二次函数的性质．【专题】开放型．【分析】与y轴的交点在x轴的上方即常数项大于0，据此求解．【解答】解：∵关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，∴k﹣2＞0，解得：k＞2，∴答案为：y=x2﹣3x+1答案不唯一．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解与y轴的交点在x轴的上方即常数项大于0．13．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是．【考点】圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠AED，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出cos∠ABC的值，即为cos∠AED的值．【解答】解：∵∠AED与∠ABC都对，∴∠AED=∠ABC，在Rt△ABC中，AB=2，AC=1，根据勾股定理得：BC=，则cos∠AED=cos∠ABC==．故答案为：【点评】此题考查了圆周角定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．14．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB= 90°．【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】由经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．【解答】解：∵∠AOB=90°，∴∠ACB=∠AOB=90°．故答案为：90°．【点评】此题考查了圆周角的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．15．课本上将绳的一端固定住，另一端系一支笔，将绳子绷直，用笔绕着另一端画一圈就是一个圆，于是我们定义：圆是由到一定点距离都等于定长的所有的点组成的图形．下面是一种画椭圆的方法：（1）在地平面上选两个点，钉上两个钉子；（2）测量两个钉子间距离；（3）选用大于两钉子间距离长度的绳子；（4）将绳子两端分别系在钉子上；（5）将绳子绷直，用笔在绷直的拐角地方划线；（6）将绳子绕一圈，椭圆就得到啦！（如图所示）根据这个过程请你给椭圆下一个定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹．【考点】圆的认识．【分析】根据椭圆的定义，可得答案．【解答】解：椭圆下一个定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹，故答案为：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹．【点评】本题考查了圆的认识，利用椭圆的画法获得有效信息是解题关键．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1）．B是以点B 为圆心，BA为半径的圆弧；O是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，C是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，A是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为“正方形的渐开线”，那么点A5的坐标是（6，0），点A2015的坐标是（﹣2015，1）．【考点】规律型：点的坐标．【分析】点A的坐标为（1，1），则BA1=1，A1坐标为（2，0），依此类推，A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），A5是以B为圆心，BA4为半径的圆弧与x轴的交点，则A5（6，0），2015÷4=503…3，A2015应与A3（﹣3，1）的坐标规律一样，故A2015（﹣2015，1）．【解答】解：∵点A的坐标为（1，1），四边形ABOC是正方形，BA1=1，∴A1坐标为（2，0），∵O是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，∴A2（0，﹣2），∵C是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，∴A3（﹣3，1），∵A是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，∴A4（1，5），依此类推，A5是以B为圆心，BA4为半径的圆弧与x轴的交点，则A5（6，0），A5（6，0）与A1（2，0）坐标规律相同，∵2015÷4=503…3，∴A2015应与A3（﹣3，1）的坐标规律一样，故A2015（﹣2015，1）．故答案为：（6，0），（﹣2015，1）．【点评】本题主要考查了点的坐标的变化规律和对“正方形的渐开线”的理解，发现规律，理解“正方形的渐开线”是解答此题的关键．三、解答题（第17～26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分.本题共72分）17．计算：sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入，然后合并运算即可．【解答】解：原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，一些特殊角的三角函数值是要求同学们熟练记忆的内容．18．在△ABC中，∠A=120°，AB=12，AC=6．求tanB的值．【考点】解直角三角形．【分析】过点C作CD⊥AB，根据∠A=120°，∠DAC=60°，由三角函数得出AD，CD，在Rt△BCD中，∠B的正切即可得出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∴∠A=120°，∴∠D AC=60°，∴cos60°=，sin60°=，∵AB=12，AC=6，∴AD=AC•cos60°=6×=3，CD=AC•sin60°=6×=3，在Rt△BCD中，tanB===．【点评】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的关键是把给出的这些三角形的条件放到直角三角形中，如果不是直角三角形就要通过添加辅助线来完成．19．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）该函数的顶点坐标是（2，﹣1），与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）；（2）在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；（3）根据图象回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3 ．【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可，再令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到与x轴的交点坐标；（2）根据二次函数与坐标轴的交点和顶点坐标作出图象即可；（3）根据函数图象写出y的取值范围即可．【解答】解：（1）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴顶点坐标为（2，﹣1），令y=0，则x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，所以，与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）；（2）如图所示；（3）0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．故答案为：（1）（2，﹣1），（1，0），（3，0）；（3）﹣1≤y≤3．【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键．20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；（2）由（1）的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）由题意，得y=（100﹣5x）（2x+4），y=﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整数）；答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；（2）∵y=﹣10x2+180x+400，∴y=﹣10（x﹣9）2+1210．∵1≤x≤10的整数，∴x=9时，y最大=1210．答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元．【点评】本题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=CD，sin∠CBD=，求AD的长和tanA的值．【考点】解直角三角形；勾股定理．【分析】在Rt△DBC中利用三角函数即可求得CD的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长，则AD 即可求得，进而求得AC的长，然后利用三角函数的定义即可求解．【解答】解：∵∠C=90°，sin∠CBD=，DB=6，∴CD=DB•sin∠CBD=6×=4．∴AD=CD=×4=2．∵CB===2，AC=AD+CD=2+4=6，在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanA===．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．22．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值： =1.732， =1.414）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】设CF=x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，分别用CF表示AC、BC的长度，然后根据AC﹣BC=1200，求得x的值，用h﹣x即可求得最高海拔．【解答】解：设CF=x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，∵∠BAF=30°，∠CBF=45°，∴BC=CF=x，=tan30°，即AC=x，∵AC﹣BC=1200米，∴x﹣x=1200，解得：x=600（+1），则DF=h﹣x=2001﹣600（+1）≈362（米）．答：钓鱼岛的最高海拔高度约362米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形求出AC、BC 的长度，难度一般．23．我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆．不难理解，经过一个已知点A作圆，能作出无数个．回答下列问题：（1）经过两个已知点A，B作圆，能作出圆无数个个，圆心分布在线段AB的垂直平分线上；（2）如图，已知不共线的三点A，B，C，能作出圆 1 个，请你利用尺规作图，确定圆心O的可能的位置．（要求保留作图痕迹，不写作法）【考点】作图—应用与设计作图；圆的认识．【分析】（1）根据圆的定义，垂直平分线的性质即可得到答案．（2）画出线段AB、BC的垂直平分线的交点就是圆心点O．【解答】解：（1）经过两个已知点A，B作圆，能作出无数个圆个，圆心在线段AB的垂直平分线上．故答案分别为无数个、线段AB的垂直平分线上．（2）过不在同一直线上的三点可以确定一个圆．故答案为1．作线段AB的垂直平分线MN，作线段BC的垂直平分线EF，直线MN与直线EF的交点就是圆心点O的位置．（见下图）【点评】本题考查圆的有关性质，确定圆有两个要素①圆心②半径，通过训练此题可以培养动手能力．24．如图，AB是⊙O的直径，过点B作BM⊥AB，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA=DC，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）若DE=1，求圆O的半径．【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；圆周角定理．【分析】（1）由BM⊥AB，CD∥BM，得到CD⊥AB，而AB是⊙O的直径，根据垂径定理得到=，于是得到AD=AC，然后根据已知DA=DC，得出AD=AC=CD，即可证明△ACD是等边三角形；（2）连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性质得到BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为r，则ON=r，AN=DN=r，由于得到EN=1+r，BE=AE=，在Rt△ONE与Rt△BEO中，由勾股定理列方程即可求解．【解答】（1）证明：∵BM⊥AB，CD∥BM，∴AB⊥CD，∵AB是⊙O的直径，∴=，∴AD=AC，∵DA=DC，∴AD=AC=CD，∴△ACD是等边三角形；（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°．∵AD=AC，CD⊥AB，∴∠DAB=30°，∴BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为r，∴ON=r，AN=DN=r，∴EN=1+r，BE=AE=．在Rt△ONE与Rt△BEO中，OE2=ON2+NE2=OB2+BE2，即（r）2+（1+r）2=r2+（）2，解得r1=，r2=﹣（不合题意舍去）．故圆O的半径为．【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，过O作ON⊥AD于N，构造直角三角形是解题的关键．25．设函数y=（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]（k是常数）．（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；（2）根据图象，写出你发现的一条结论函数图象都经过点（1，0）和（﹣1，4）（答案不唯一）．【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】（1）把k=0代入函数解析式即可得到所求的函数解析式，根据函数解析式作出图象；（2）根据函数图象回答问题．【解答】解：（1）当k=0时，y=﹣（x﹣1）（x+3），所画函数图象如图所示：（2）根据图象知，函数图象都经过点（1，0）和（﹣1，4）故答案为：函数图象都经过点（1，0）和（﹣1，4）（答案不唯一）．故答案为：函数图象都经过点（1，0）和（﹣1，4）（答案不唯一）．【点评】本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意画出函数图象，利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．26．阅读下面材料：小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA边上的点，且AE=BC，BD=CE，BE与AD的交点为P，求∠APE的度数；小乔发现题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图2，过点B作BF∥AD且BF=AD，连接EF，AF，从而构造出△AEF与△CBE全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠APE的度数为45°．参考小乔同学思考问题的方法，解决问题：如图3，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，D、E分别为CB，CA上的点，且AE=BC，BD=，BE 与AD交于点P，在图3中画出符合题意的图形，并求出sin∠APE的值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）利用平行四边形的判定与性质得出AF=BD，进而得出△AEF≌△CBE（SAS），即可得出：∠APE的度数；（2）根据题意首先得出△AEF∽△CBE，进而得出tan∠FBE==，即可求出sin∠APE的值．【解答】解：（1）如图2，过点B作BF∥AD且BF=AD，连接EF，AF，∵BF∥AD且BF=AD，∴四边形AFBD是平行四边形，∴AF=BD，在△AEF和△CBE中∵，∴△AEF≌△CBE（SAS），∴EF=BE，∠AEF+∠CEB=90°，∴∠EBF=45°，∵AD∥BF，∴∠APE=45°；故答案为：45°；（2）如图3，过点B作FB∥AD且FB=AD，连接EF和AF，∴四边形AFBD是平行四边形，∠APE=∠FBE，AF=DB，∵AB是⊙O直径，∴∠C=90°，∴∠FAE=∠BCE=90°，∵CE=2BD，BC=2AE，∴CE=2AF，∴ ==2，∴△AEF∽△CBE，。

北京市教院附中2015-2016学年九年级数学上学期期中试题一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．如果4x=5y（y≠0），那么下列比例式成立的是（）A． =B． =C． =D． =3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）A．B．C．D．34．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD：BD=1：2，若△ADE的面积等于2，则△ABC的面积等于（）A．6 B．8 C．12 D．185．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则cosB的值是（）A．B．C．D．6．把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）A．y=（x+3）2﹣1 B．y=（x+3）2+3 C．y=（x﹣3）2﹣1 D．y=（x﹣3）2+37．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（）A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞08．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．89．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C．a﹣b+c＞0D．当x＞2时，y随x的增大而增大10．如图，在等边△ABC中，AB=4，当直角三角板MPN的60°角的顶点P在BC上移动时，斜边MP 始终经过AB边的中点D，设直角三角板的另一直角边PN与AC相交于点E．设BP=x，CE=y，那么y 与x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）分别为抛物线y=x2﹣4x+3上的两点，则y1y2．（用“＞”或“＜”填空）．12．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m．13．在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB= ．14．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于．15．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为．16．如图，点A1、A2、A3、…，点B1、B2、B3、…，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，…．那么A2B2= ，A n B n= ．（n 为正整数）三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：tan60°﹣cos30°×tan45°+sin30°．18．若二次函数y=ax2+bx+3的图象经过A（1，0）、B（2，﹣1）两点，求此二次函数的解析式．19．已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED=∠C．（1）求证：△AED∽△ACB；（2）若AB=6，AD=4，AC=5，求AE的长．20．如图，△ABC的顶点在格点上，且点A（﹣5，﹣1），点C（﹣1，﹣2）．以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′并写出△A′B′C′各顶点坐标．21．已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3．（1）与x轴的交点坐标是，顶点坐标是；y的取值范围是．22．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．24．已知抛物线y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线y=x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．25．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足y=﹣2x+80 （20≤x≤40），设销售这种产品每天的利润为W（元）．（1）求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？26．有这样一个问题：探究函数y=x2+的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=x2+的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x2+的自变量x的取值范围是；1﹣（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A 关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．28．对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为；（2）判断点A是否在抛物线L上；（3）求n的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为．【应用】二次函数y=﹣3x2+5x+2是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．29．矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N 在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．2015-2016学年北京市教院附中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】二次函数的最值．【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（﹣1，﹣2），也就是当x=﹣1，函数有最大值﹣2．【解答】解：∵y=﹣（x+1）2﹣2，∴此函数的顶点坐标是（﹣1，﹣2），即当x=﹣1函数有最大值﹣2故选：A．【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．2．如果4x=5y（y≠0），那么下列比例式成立的是（）A． =B． =C． =D． =【考点】比例的性质．【分析】根据等式的性质：等式的两边都除以同一个不为零的数，结果不变，可得答案．【解答】解：4x=5y（y≠0），两边都除以20，得=，故B正确；故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，利用了等式的性质：等式的两边都除以20是解题关键．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）A．B．C．D．3【考点】射影定理．【分析】根据射影定理得到：AC2=AD•AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴AC2=AD•AB，又∵AC=3，AB=6，∴32=6AD，则AD=．故选：A．【点评】本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．4．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD：BD=1：2，若△ADE的面积等于2，则△ABC的面积等于（）A．6 B．8 C．12 D．18【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由条件可以求出AD：BD=2；3，再由条件可以得出△ADE∽△ABC，最后由相似三角形的性质就可以得出结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：BD=1：2，∴AD：AB=DE：BC=1：3，∴S△ADE：S△ABC=（AD）2：（AB）2=1：9，∵△ADE的面积等于2，∴△ABC的面积等于18，故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定及相似三角形的面积之比等于相似比的平方运用．解答本题求出两三角形相似是关健．5．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则cosB的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：在Rt，△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，由勾股定理，得AB==．cosB===，故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数，利用勾股定理求出斜边，再利用余弦等于邻边比斜边．6．把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）A．y=（x+3）2﹣1 B．y=（x+3）2+3 C．y=（x﹣3）2﹣1 D．y=（x﹣3）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，1），∴平移后抛物线的顶点为（3，﹣1），∴新抛物线解析式为y=（x﹣3）2﹣1，故选：C．【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点．7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（）A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】由于开口向下可以判断a＜0，由与y轴交于正半轴得到c＞0，又由于对称轴x=﹣＜0，可以得到b＜0，所以可以找到结果．【解答】解：根据二次函数图象的性质，∵开口向下，∴a＜0，∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，又∵对称轴x=﹣＜0，∴b＜0，所以A正确．故选A．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．8．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】位似变换．【专题】计算题．【分析】根据位似变换的性质得到=，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到=，所以=，然后把OC1=OC，AB=4代入计算即可．【解答】解：∵C1为OC的中点，∴OC1=OC，∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，∴=，B1C1∥BC，∴=，∴=，即=∴A1B1=2．故选B．【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．9．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C．a﹣b+c＞0D．当x＞2时，y随x的增大而增大【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）．【分析】根据图象开口方向向下得出a的符号，进而利用图象的对称轴得出图象与x轴的交点坐标，再利用图象得出不等式ax2+bx+c＞0的解集．【解答】解：A、图象开口方向向下，则a＜0，故此选项错误；B、∵图象对称轴为直线x=2，则图象与x轴另一交点坐标为：（﹣1，0），∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5，故此选项正确；C、当x=﹣1，a﹣b+c=0，故此选项错误；D、当x＞2时，y随x的增大而减小，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数与不等式的解集，利用数形结合得出是解题关键．10．如图，在等边△ABC中，AB=4，当直角三角板MPN的60°角的顶点P在BC上移动时，斜边MP 始终经过AB边的中点D，设直角三角板的另一直角边PN与AC相交于点E．设BP=x，CE=y，那么y 与x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据等边三角形的性质得BD=2，PC=4﹣x，∠B=∠C=60°，由于∠MPN=60°，易得∠DPB=∠PEC，根据三角形相似的判定方法得到△BPD∽△CEP，利用相似比即可得到y=x（4﹣x），配方得到y=﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：∵等边△ABC中，AB=4，BP=x，∴BD=2，PC=4﹣x，∠B=∠C=60°，∵∠MPN=60°，∴∠DPB+∠EPC=120°，∵∠EPC+∠PEC=120°，∴∠DPB=∠PEC，∴△BPD∽△CEP，∴=，即=，∴y=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+2，（0≤x≤4）．故选B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．也考查了等边三角形的性质．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）分别为抛物线y=x2﹣4x+3上的两点，则y1＞y2．（用“＞”或“＜”填空）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为直线x=2，再根据二次函数的增减性，x＜2时，y随x 的增大而减小解答．【解答】解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，∵2＞﹣1＞﹣2，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．12．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为24 m．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得， =，解得x=24，即这栋建筑物的高度为24m．故答案为：24．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键．13．在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB= ．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据题意画出图形，设BC=4x，则AC=3x，根据勾股定理求出AB的长，进而可得出结论．【解答】解：如图所示，∵在△ABC中，∠C=90°，tanA=，∴设BC=4x，则AC=3x，∴AB==5x，∴s inB===．故答案为：．【点评】本题考查的是互余两三角函数的关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．14．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于．【考点】相似三角形的判定．【专题】计算题．【分析】根据对顶角相等得到∠AEC=∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当=时，△BDE∽△ACE，然后利用比例性质计算CE的长．【解答】解：∵∠AEC=∠BED，∴当=时，△BDE∽△ACE，即=，∴CE=．故答案为．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角．15．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为 3 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，∴a＞0．﹣=﹣3，即b2=12a，∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，∴m的最大值为3，故答案为3．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．16．如图，点A1、A2、A3、…，点B1、B2、B3、…，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，…．那么A2B2= 6 ，A n B n= n（n+1）．（n为正整数）【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】规律型．【分析】根据OA1=1，求出A1A2、A2A3、A3A4的值，推出A n A n﹣1的值，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出A2B2=6=2×（2+1），A3B3=12=3×（3+1），A4B4=20=4（4+1），推出A n B n=n（n+1）即可．【解答】解：∵OA1=1，∴A1A2=2×1=2，A2A3=3×1=3，A3A4=4，…A n﹣2A n﹣1=n﹣1，A n﹣1A n=n，∵A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…，∴=，∴=，∴A2B2=6=2×（2+1），A3B3=12=3×（3+1），A4B4=20=4（4+1），…，∴A n B n=n（n+1），故答案为：6，n（n+1）．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是根据求出的结果得出规律，题型较好，但是有一定的难度．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：tan60°﹣cos30°×tan45°+sin30°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=﹣×1+=+．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．18．若二次函数y=ax2+bx+3的图象经过A（1，0）、B（2，﹣1）两点，求此二次函数的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】先把A点和B点坐标代入y=ax2+bx+3得到关于a和b的方程组，然后解方程组即可．【解答】解：根据题意得，解得．所以此二次函数的解析式为y=x2﹣4x+3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．19．已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED=∠C．（1）求证：△AED∽△ACB；（2）若AB=6，AD=4，AC=5，求AE的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据有两对角相等的两个三角形相似证明即可．（2）由（1）中的相似三角形可得关于AE的比例式，代入已知数据计算即可求出AE的长．【解答】（1）证明：∵∠AED=∠ABC，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC；（2）∵△AED∽△ABC，∴，∵AB=6，AD=4，AC=5，∴，∴AE=．【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．20．如图，△ABC的顶点在格点上，且点A（﹣5，﹣1），点C（﹣1，﹣2）．以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出△ABC放大后的图形△A′B′C′并写出△A′B′C′各顶点坐标．【考点】作图-位似变换．【分析】直接利用位似图形的性质结合位似比得出对应点坐标，进而得出答案．【解答】解：如图所示：△A′B′C′即为所求，A′（10，2），B′（10，6），C′（2，4）．【点评】此题主要考查了位似变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．21．已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3．（1）与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），顶点坐标是（1，﹣4）；y的取值范围是当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3 ．【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）根据抛物线y=x2﹣2x﹣3，可以求得抛物线与x轴和y轴的交点；（2）根据第一问中的三个坐标和二次函数图象具有对称性，在表格中填入合适的数据，然后再描点作图即可；（3）根据第二问中的函数图象结合对称轴可以直接写出答案．【解答】解：（1）令y=0，则0=x2﹣2x﹣3．解得x1=﹣1，x2=3．抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交点的坐标为（﹣1，0），（3，0）．y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）x2﹣4，所以它的顶点坐标为（1，﹣4）；图象如图所示：；（3）当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与x轴、y轴的交点、求顶点坐标，画二次函数的图象，关键是可以根据图象得出所求问题的答案．22．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度．【考点】解直角三角形的应用．【分析】先根据题意得出AD的长，在Rt△ACD中利用锐角三角函数的定义求出CD的长，由CE=CD+DE 即可得出结论．【解答】解：由题意，易知∠CAD=30°，∠CDA=90°，AD=3，CE⊥BE，DE=AB=1.7米，∴，∴．∴CE=3+1.7=4.7．答：这棵树的高度为4.7米．【点评】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．【考点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD；（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．24．已知抛物线y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线y=x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即△＞0即可；（2）根据题意，令x=0，整理方程可得关于m的方程，解可得m的值．【解答】（1）证明：令y=0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m=0，∵△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1＞0，∴方程有两个不等的实数根，∴原抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）解：令x=0，根据题意有：m2﹣m=﹣3m+3，解得m=﹣3或1．【点评】本题是二次函数的综合题，考查二次函数和一元二次方程的关系，二次函数的图象与解析式的关系，抛物线与x轴的交点等．25．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足y=﹣2x+80 （20≤x≤40），设销售这种产品每天的利润为W（元）．（1）求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据“总利润=单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可；（2）将得到的二次函数配方后即可确定最大利润．【解答】解：（1）w=y（x﹣20）=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600（2）w=2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，则当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是200元．【点评】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．26．有这样一个问题：探究函数y=x2+的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=x2+的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x2+的自变量x的取值范围是x≠0；1﹣（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）该函数没有最大值．【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数的性质．【分析】（1）由图表可知x≠0；（2）根据图表可知当x=3时的函数值为m，把x=3代入解析式即可求得；（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．【解答】解：（1）x≠0，（2）令x=3，∴y=×32+=+=；∴m=；（3）如图（4）该函数的其它性质：①该函数没有最大值；②该函数在x=0处断开；③该函数没有最小值；④该函数图象没有经过第四象限．故答案为该函数没有最大值．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A 关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．【考点】二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）当y=2时，则2=x﹣1，解得x=3，确定A（3，2），根据AB关于x=1对称，所以B（﹣1，2）．（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得，求出b，c的值，即可解答；（3）画出函数图象，把A，B代入y=ax2，求出a的值，即可解答．【解答】解：（1）当y=2时，则2=x﹣1，解得：x=3，∴A（3，2），∵点A关于直线x=1的对称点为B，∴B（﹣1，2）．（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得：解得：∴y=x2﹣2x﹣1．顶点坐标为（1，﹣2）．（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，代入A（3，2）则9a=2，解得：a=，代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2，解得：a=2，∴．【点评】本题考查了二次函数的性质，解集本题的关键是求出二次函数的解析式，并结合图形解决问题．28．对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为（1，﹣2）；（2）判断点A是否在抛物线L上；（3）求n的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为（2，0）、（﹣1，6）．．【应用】二次函数y=﹣3x2+5x+2是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】【尝试】（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；（2）将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可；（3）已知点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n的值．【发现】将抛物线l展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标．【应用1】将【发现】中得到的两个定点坐标代入二次函数y=﹣3x2+5x+2中进行验证即可．【解答】解：【尝试】（1）∵将t=2代入抛物线l中，得：y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=2x2﹣4x=2（x﹣1）2﹣2，∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．（2）∵将x=2代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得 y=0，∴点A（2，0）在抛物线l上．（3）将x=﹣1代入抛物线l的解析式中，得：n=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=6．【发现】∵将抛物线E的解析式展开，得：y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4∴抛物线l必过定点（2，0）、（﹣1，6）．【应用1】将x=2代入y=﹣3x2+5x+2，y=0，即点A在抛物线上．将x=﹣1代入y=﹣3x2+5x+2，计算得：y=﹣6≠6，即可得抛物线y=﹣3x2+5x+2不经过点B，二次函数y=﹣3x2+5x+2不是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”．【点评】考查了二次函数的综合知识，该题通过新定义的形式考查了二次函数等综合知识，理解新名词的含义尤为关键．最后一题的综合性较强，通过几何知识找出C、D点的坐标是此题的难点所在．29．矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N 在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）①先证出∠C=∠D=90°，再根据∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可证出△OCP∽△PDA；②根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，求出x，最后根据AB=2OP即可求出边AB的长；（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ=PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，再求出EF=PB，由（1）中的结论求出PB==4，最后代入EF=PB即可得出线段EF的长度不变．【解答】解：（1）①如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，又∵∠D=∠C，∴△OCP∽△PDA；②如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴===，∴CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，。

北京市延庆区2016届九年级上学期期末考试数学试题满分为120分．考试时间120分钟.一、选择题(每小题3分，共30分)1.⊙O 的半径为R ，点P 到圆心O 的距离为d ，并且d ≥ R ，则P 点A.在⊙O 内或圆周上B.在⊙O 外C.在圆周上D.在⊙O 外或圆周上【答案】D【解析】试题分析：因为⊙O 的半径为R ，点P 到圆心O 的距离为d ，所以当d ＞R 时, P 点在⊙O 外，当d=R 时, P 点在圆周上，所以d ≥ R ，时P 点在⊙O 外或圆周上，故选：D.考点：点与圆的位置关系.2.把10cm 长的线段进行黄金分割，则较长线段的长（236.25≈, 精确到0.01）是A ．3.09cmB ．3.82cmC ．6.18cmD ．7.00cm【答案】C【解析】试题分析：把10cm10 ≈6.18cm ，故选：C. 考点：黄金分割 3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，若AD=4，DB=2，则AE ︰EC 的值为 A. 0.5 B. 2 C. 32 D. 23 E DC BA【答案】B试题分析：因为DE ∥BC ，所以AE ︰EC= AD ：DB=4：2=2，故选：B.考点：平行线分线段成比例定理.4.反比例函数x k y =的图象如图所示,则K 的值可能是 A. 21 B. 1 C.2 D. -1【答案】A【解析】试题分析：由反比例函数的图象可知：当x=1时，y=k ＜1，所以k=21，故选：C. 考点：反比例函数5.在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=1，那么AB 的长为A ．sin AB ．cos AC ．1cos A D ． 1sin A 【答案】D【解析】试题分析：因为在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=1，所以sinA=BC AB ,所以AB=1sin A，故选：D. 考点：三角函数.6.如图，正三角形ABC 内接于⊙O ，动点P 在圆周的劣弧AB 上，且不与A,B 重合，则∠BPC 等于A.30︒B.60︒C. 90︒D. 45︒【答案】B【解析】试题分析：因为△ABC 是正三角形，所以∠A=60°，所以由圆周角定理的推论可知：∠BPC=∠A=60°，故考点：1.正三角形的性质2. 圆周角定理的推论7.抛物线y=21x 2的图象向左平移2个单位，在向下平移1个单位，得到的函数表达式为 A. y =21x 2+ 2x + 1 B ．y =21x 2 + 2x - 2 C. y =21x 2 - 2x - 1 D. y =21x 2 - 2x + 1 【答案】A【解析】试题分析：根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，可知：抛物线y=21x 2的图象向左平移2个单位，在向下平移1个单位，得到的函数表达式为y=21（x+2）2-1= y =21x 2+ 2x + 1，故选：A. 考点：抛物线的平移8.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<； ⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【解析】试题分析：因为抛物线开口向下，所以a ＜0，又抛物线与y 轴交于正半轴，所以c ＞0，因为对称轴是x=1，所以a 、b 异号，所以b ＞0，所以abc ＜0，所以①错误；观察图象可知：当x=-1时，y=a-b+c ＜0，所以②错误；当x=2时，y=4a+2b+c ＞0，所以③正确；当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c ＜0，且，即，代入得＜0，得2c ＜3b ，故④正确；当x=1时，y 的值最大．此时，，而当x=m 时，，∴＞，故＞，即＞，故⑤错误，综上所述，①③④正确，故选：B.考点：二次函数的图象和性质.9.如图所示，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上的一点，AE ⊥EF ，下列结论：①∠BAE ＝30°；②CE 2＝AB·CF；③CF ＝31FD ； ④△ABE ∽△AEF.其中正确的有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 FEB C A D【答案】C考点：1.正方形的性质2.相似三角形的判定与性质.10.如图，已知△ABC 中，BC=8，BC 边上的高h=4，D 为BC 边上一个动点，EF ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，设E 到BC的距离为x ，△DEF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致为【答案】D【解析】试题分析：过点A 向BC 作AH⊥BC 于点H ，因为EF ∥BC ，所以△A EF ∽△A BC ，所以44EF x BC -=，即484EF x -=，解得：EF=2（4-x ）， 则△DEF 的面积y=12×2（4-x ）x=-x 2+4x ，故y 关于x 的函数图象是一个开口向下的抛物线．故选D ．考点：1.相似三角形的判定与性质2.函数的图像. 二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）11.若5127==b a ，则32b a -= ． 【答案】15 【解析】 试题分析：因为5127==b a ，所以a=75，b=25，所以32b a -=15. 考点：比例的性质12.两个相似多边形相似比为1:2,且它们的周长和为90,则这两个相似多边形的周长分别是 , ．【答案】30,60【解析】试题分析：因为相似多边形周长的比等于相似比1:2，又它们的周长和为90,所以两个相似多边形的周长分别90×13=30,90×23=60. 考点：相似三角形的性质. 13.已知扇形的面积为15πcm 2,半径长为5cm ,则扇形周长为 cm ．【答案】6π+10【解析】试题分析：因为扇形的面积为15πcm 2,半径长为5cm ,所以扇形的弧长=15265ππ⨯=，所以扇形周长为6π+10cm.考点：扇形的面积与周长14.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4, BC=3,则以2.5为半径的⊙C 与直线AB 的位置关系是 ．【答案】相交【解析】试题分析：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5．如图，作CD ⊥AB 于D 点．S △ABC =12AC •BC=12AB •CD ，即5•CD=12，∴CD=2.4＜2.5cm 为半径，∴⊙C 与AB 相交． 考点：直线与圆的位置关系.15.请选择一组你喜欢的a,b,c 的值，使二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象同时满足下列条件：①开口向下，②当2<x 时，y 随x 的增大而增大；当2>x 时，y 随x 的增大而减小.这样的二次函数的表达式可以是 .【答案】答案不唯一,如122---=)(x y .【解析】试题分析：答案不唯一,只要满足a ＜0,且对称轴为x=2即可,如122---=)(x y 等考点：二次函数.F 在AB 上，点B 、E 在函数xy 4=（0x >）E 的坐标是 .试题分析：∵四边形OABC ，ADEF 为正方形，点B 、E 在函数xy 4=（0x >）的图象上，∴S 正方形OABC =S 矩形ODEG=4，∴S 矩形GFBC =S 正方形ADEF ，∵阴影部分的面积为12 -54，∴S 矩形GFBC =S 正方形ADEF=6-1=-,∴，∴E 点坐标为（15+，15-）. 考点：反比例函数图象的性质三、解答题 （本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17.4sin 304560︒︒︒．【答案】4【解析】试题分析：先把各个特殊角的三角函数值代入，然后计算即可.试题解析：原式=33222214⨯+⨯-⨯ =2-1+3 =4 考点：特殊角的三角函数值18.如图：在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=8，∠B=60°, 解直角三角形.B C A【答案】∠A=30°，AB=16，AC=【解析】试题分析：利用互余可得出∠A=30°，利用sinA 可得AB 的长，利用tanA 或勾股定理可求出AC 的长. 试题解析：∵在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°∵∠A=90°-∠B =30°∴AB==16∴AC=BCtanB=考点：解直角三角形19.已知反比例函数x1k y -=图象的两个分支分别位于第一、第三象限． （1）求k 的取值范围；（2）取一个你认为符合条件的K 值，写出反比例函数的表达式，并求出当x=﹣6时反比例函数y 的值；【答案】（1）k ＞1；（2）答案不唯一【解析】试题分析：（1）反比例函数图象的性质可得k ﹣1＞0，从而得k ＞1；（2）答案不唯一，如：k=2，k=3都可以.试题解析：（1）∵反比例函数图象两支分别位于第一、三象限，∴k ﹣1＞0，解得：k ＞1；（2）取k=3，∴反比例函数表达式为x 2y =当x=﹣6时，3162x 2y -=-==； （答案不唯一）考点：反比例函数图象的性质20.已知圆内接正三角形边心距为2cm ，求它的边长.【答案】43 cm【解析】试题分析：画图，然后解直角三角形即可得出结论.试题解析：如图:连接OB,过O 点作OD ⊥BC 于点D ，在Rt△OBD 中,∵∠BOD =︒︒=606360，∵ BD=OD ·tan60°=23，∴BC=2BD=43 ∴三角形的边长为43 cm考点：正多边形与圆.21.已知：如图，D 是BC 上一点，△ABC ∽△ADE ，求证：∠1＝∠2＝∠3 .AB C D E123o【答案】证明见解析【解析】试题分析：利用△ABC ∽△ADE 的性质和角的关系可得∠1＝∠3，然后通过证明△DOC ∽△AOE ，得出∠2＝∠3，然后即可得出结论.试题解析：∵△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∠C ＝∠E ，∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，∴∠1＝∠3，又∵∠C ＝∠E ，∠DOC ＝∠AOE ，∴△DOC ∽△AOE ，∴∠2＝∠3 ，∴∠1＝∠2＝∠3．考点：相似三角形的判定与性质.22.如图，A 、B 两座城市相距100千米，现计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段AB ）．经测量，森林保护区中心P 点既在A 城市的北偏东30°的方向上，又在B 城市的南偏东45°的方向上．已知森林保护区的范围是以P 为圆心，35千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越森林保护区？请通过计算说明．（参考数据：3≈1.732，2≈1.414）【答案】不会穿过保护区．【解析】试题分析：过P 作PD ⊥AB 于D ，在Rt △PBD 中，得出BD ＝PD ，在Rt △PAD 中，得出AD ＝3PD ，然后根据AD ＋BD ＝AB ＝100，解关于PD 的方程，得PD 的长，然后比较大小即可.试题解析：过P 作PD ⊥AB 于D ，在Rt △PBD 中，∠BDP ＝90°，∠B＝45°，∴BD ＝PD ．在Rt △PAD 中，∠ADP ＝90°，∠A ＝30°，∴AD ＝A PD tan ＝ 30tan PD ＝3PD ， 由题意，AD ＋BD ＝AB ＝100，得3PD ＋PD ＝100，∴PD ＝13100 ≈36.6＞35， 故计划修筑的高速公路不会穿过保护区．考点：解直角三角形的应用.23.如图，AB 是⊙O 的直径，CB 是弦，OD ⊥CB 于E ，交劣弧CB 于D ，连接AC ． （1）请写出两个不同的正确结论； （2）若CB=8，ED=2，求⊙O 的半径．【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）5 【解析】试题分析：（1）可以从线段的关系、角的关系、三角形的关系等等方面说明；（2）设的半径等于R ，利用垂经定理和勾股定理可求出圆的半径.试题解析：（1）不同类型的正确结论有：①BE=CE；②BD=CD；③∠BED=90°；④∠BOD=∠A；⑤AC//OD；⑥AC⊥BC；⑦222OE +BE =OB ；⑧OE BC S ABC ∙=∆；⑨△BOD 是等腰三角形；⑩ΔBOE ΔBAC ~；等等。

北京延庆县中学九年级上册期中试卷检测题一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售． 【解析】 【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折． 【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得： （400﹣x ﹣240）（200+10x×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0． 解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80%400⨯=． 答：该店应按原售价的8折出售． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．2．已知关于x 的一元二次方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根分别为1x ，2x ，且满足1212215x x x x +=-，求m 的值． 【答案】（1）14m <且0m ≠；（2）15m =- 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到：()22140m m ∴∆=-->且20m ≠，然后求出两个不等式解集的公共部分即可.（2）利用根与系数的关系得到12221m x x m -+=， 1221x x m =，加上14m <且0m ≠，则可判断10x <，20x <，所以1212215x x x x --=-，2221215m m m--=-，然后解方程求出m 即可得到满足条件的m 的值. 【详解】（1）因为方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根，()221240m m ∴∆=-->，解得14m <； 又因为是一元二次方程，所以20m ≠，0m ∴≠．m ∴的取值范围是14m <且0m ≠． （2）1x ，2x 为原方程的两个实数根，12221m x x m -∴+=，1221x x m = 14m <且0m ≠，122210m x x m -∴+=<，12210x x m=>，10x ∴<，20x <． 1212215x x x x +=-，1212215x x x x --=-，2221215m m m -∴-=-，215210m m ∴--=，解得113m =，215m =-， 14m <且0m ≠，113m ∴=不合题意，舍去，15m ∴=-． 【点睛】 此题主要考查一元一次方程的定义和判别式的意义，正确理解概念和熟练运用根的判别式是解题的关键.3．如图，∠ AOB ＝90°，且点A ，B 分别在反比例函数1k y x =（x ＜0），2ky x=（x ＞0）的图象上，且k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根． （1）求k 1，k 2的值；（2）连接AB ，求tan ∠ OBA 的值．【答案】（1）k 1＝－2，k 2＝3． （2）tan∠OBA ＝63． 【解析】解：（1）∵k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根，∴解方程x 2－x －6＝0，得x 1＝3，x 2＝－2．结合图像可知：k 1＜0，k 2＞0，∴k 1＝－2，k 2＝3．（2）如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥y 轴于点D ．[来源:学&科&网Z&X&X&K]由（1）知，点A ，B 分别在反比例函数2y x =-（x ＜0），3y x=（x ＞0）的图象上， ∴S △ACO ＝12×2-＝1 ，S △ODB ＝12×3＝32．∵∠ AOB ＝90°， ∴∠ AOC ＋∠ BOD ＝90°，∵∠ AOC ＋∠ OAC ＝90°，∴∠ OAC ＝∠ BOD ． 又∵∠ACO ＝∠ODB ＝90°，∴△ACO ∽△ODB ．∴S S ACO ODB ∆∆＝2OA OB ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝23，∴OA OB ＝±63（舍负取正），即OA OB ＝63． ∴在Rt △AOB 中，tan ∠ OBA ＝OA OB ＝63．4．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD .（1）若28A ∠=︒，求ACD ∠的度数； （2）设BC a =，AC b =；①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗？说明理由. ②若线段AD EC =，求ab的值. 【答案】（1）ACD ∠＝31︒；（2）①是；②34a b =. 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B ，根据等腰三角形的性质求出∠BCD ，计算即可； （2）①根据勾股定理求出AD ，利用求根公式解方程，比较即可； ②根据勾股定理列出算式，计算即可． 【详解】（1）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒. ∴90B A ∠=︒-∠9028=︒-︒ 62=︒，∵BC BD =，∴1802BBCD BDC ︒-∠∠=∠=180622︒-︒=59=︒.∴DCA ACB BCD ∠=∠-∠9059=︒-︒31=︒.（2）①BD BC a ==， ∴AD AB BD =-AB a =-.在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB ==∵2220x ax b +-=，∴22a x -±=a =- a AB =-±.∴线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根. ②∵AE AD =， 又∵AD EC =， ∴2b AE EC ==， ∴2b AD =. 在Rt ABC ∆中，222AB AC BC =+，∴2222b a b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 22224b a ab b a ++=+，∴234b ab =. ∵0b >， ∴34b a =， ∴34a b =. 【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在y 轴正半轴上，顶点B 在x 轴正半轴上，OA 、OB 的长分别是一元二次方程x 2﹣7x+12=0的两个根（OA ＞OB ）． （1）求点D 的坐标． （2）求直线BC 的解析式．（3）在直线BC 上是否存在点P ，使△PCD 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）D（4，7）（2）y=3944x （3）详见解析【解析】试题分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，过点D作DE⊥y于点E，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后写出点D的坐标即可；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b （k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C 的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．试题解析：（1）x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4，∵OA＞OB，∴OA=4，OB=3，过D作DE⊥y于点E，∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAB=90°，∠DAE+∠OAB=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠ABO=∠DAE，∵DE⊥AE，∴∠AED=90°=∠AOB，∵DE⊥AE∴∠AED=90°=∠AOB，∴△DAE≌△ABO（AAS），∴DE=OA=4，AE=OB=3，∴OE=7，∴D（4，7）；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同上可证得△BCM≌△ABO，∴CM=OB=3，BM=OA=4，∴OM=7，∴C（7，3），设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），代入B（3，0），C（7，3）得，，解得，∴y=x ﹣；（3）存在．点P 与点B 重合时，P 1（3，0）， 点P 与点B 关于点C 对称时，P 2（11，6）．考点：1、解一元二次方程；2、正方形的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、一次函数二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．如图，过原点的抛物线y=﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于点A （4，0），B 为抛物线的顶点，连接OB ，点P 是线段OA 上的一个动点，过点P 作PC ⊥OB ，垂足为点C ． （1）求抛物线的解析式，并确定顶点B 的坐标；（2）设点P 的横坐标为m ，将△POC 绕着点P 按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m 的值；（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n （0＜n ＜2）个单位，点B 、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n ，使得四边形OB′C″A 的周长最短？若存在，请直接写出n 的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2122y x x =-+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=27时，抛物线向左平移．【解析】 【分析】（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离． 【详解】解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12-x 2+bx+c ． 得040c b b c =⎧⎨-++=⎩，∴02c b =⎧⎨=⎩．∴22112(2)222y x x x =-+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）．（2）∵点B 坐标为（2，2）． ∴∠BOA=45°．∴△PDC 为等腰直角三角形． 如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．∵O′P=OP=m ． ∴C′D=12O′P=12m ． ∴点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m ）．当点O′在y=12-x 2+2x 上．则−12m 2+2m ＝m ． 解得：12m =，20m =（舍去）． ∴m=2． 当点C′在y=12-x 2+2x 上， 则12-×(32m )2+2×32m ＝12m ，解得：1209m =，20m =（舍去）． ∴m=209（3）存在n=27，抛物线向左平移． 当m=209时，点C′的坐标为（103，109）．如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处．以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″． 当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短． ∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A （4，0），点C′（103，109），点B （2，2）． ∴点A′（83，89）． ∴点A″的坐标为（83，289）． 设直线OA″的解析式为y=kx ，将点A″代入得：82839k =， 解得：k=76． ∴直线OA″的解析式为y=76x ． 将y=2代入得：76x=2，解得：x=127， ∴点B′得坐标为（127，2）． ∴n=212277-=． ∴存在n=27，抛物线向左平移．【点睛】本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m）以及点B′的坐标是解题的关键．7．如图，抛物线y =ax 2+bx +2经过点A(−1，0)，B(4，0)，交y 轴于点C ； （1）求抛物线的解析式(用一般式表示)；（2）点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D 使S △ABC =23S △ABD ?若存在，请求出点D 坐标；若不存在，请说明理由；（3）将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长.【答案】（1）213222y x x =-++（2）存在，D （1，3）或（2，3）或（5，3-）（3）10 【解析】 【分析】（1）由A 、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可求得点D 到x 轴的距离，即可求得D 点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D 点坐标；（3）由条件可证得BC ⊥AC ，设直线AC 和BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，则可得BF=BC ，利用平行线分线段成比例可求得F 点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE 解析式，联立直线BE 和抛物线解析式可求得E 点坐标，则可求得BE 的长． 【详解】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （-1，0），B （4，0），∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线解析式为：213222y x x =-++； （2）由题意可知C （0，2），A （-1，0），B （4，0），∴AB=5，OC=2，∴S △ABC =12AB•OC=12×5×2=5， ∵S △ABC =23S △ABD ， ∴S △ABD =315522⨯=， 设D （x ，y ）， ∴11155222AB y y •=⨯•=， 解得：3y =；当3y =时，2132322y x x =-++=， 解得：1x =或2x =，∴点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）；当3y =-时，2132322y x x =-++=-， 解得：5x =或2x =-（舍去），∴点D 的坐标为：（5，-3）；综合上述，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）；（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，∴AC ==BC ==∴222AC BC AB +=，∴△ABC 为直角三角形，即BC ⊥AC ，如图，设直线AC 与直线BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，由题意可知∠FBC=45°，∴∠CFB=45°， ∴25CF BC == ∴AO AC OM CF =，即1525OM = 解得：2OM =， ∴OC AC FM AF =，即2535FM = 解得：6FM =，∴点F 为（2，6），且B 为（4，0），设直线BE 解析式为y=kx+m ，则2640k m k m +=⎧⎨+=⎩，解得312k m =-⎧⎨=⎩， ∴直线BE 解析式为：312y x =-+；联立直线BE 和抛物线解析式可得：231213222y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩， 解得：40x y =⎧⎨=⎩或53x y =⎧⎨=-⎩， ∴点E 坐标为：(5,3)-， ∴22(54)(3)10BE =-+-=【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D 点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE 的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．8．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点D．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y=x2﹣4x+3；(2) P1（1，0），P2（2，﹣1）；(3) F1（22，1），F2（22，1）．【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P 点的坐标；（3）很显然当P、B重合时，不能构成以A、P、E、F为顶点的四边形，因为点P、F都在抛物线上，且点P为抛物线的顶点，所以PF与x轴不平行，所以只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P、F的纵坐标互为相反数，可据此求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．【详解】（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入上式，得：3=a （0﹣2）2﹣1，a=1；∴y=（x ﹣2）2﹣1，即y=x 2﹣4x+3；（2）分两种情况：①当点P 1为直角顶点时，点P 1与点B 重合；令y=0，得x 2﹣4x+3=0，解得x 1=1，x 2=3；∵点A 在点B 的右边，∴B （1，0），A （3，0）；∴P 1（1，0）；②当点A 为△AP 2D 2的直角顶点时；∵OA=OC ，∠AOC=90°，∴∠OAD 2=45°；当∠D 2AP 2=90°时，∠OAP 2=45°，∴AO 平分∠D 2AP 2；又∵P 2D 2∥y 轴，∴P 2D 2⊥AO ，∴P 2、D 2关于x 轴对称；设直线AC 的函数关系式为y=kx+b （k≠0）．将A （3，0），C （0，3）代入上式得：303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得13k b =-⎧⎨=⎩； ∴y=﹣x+3；设D 2（x ，﹣x+3），P 2（x ，x 2﹣4x+3），则有：（﹣x+3）+（x 2﹣4x+3）=0，即x 2﹣5x+6=0；解得x 1=2，x 2=3（舍去）；∴当x=2时，y=x 2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1；∴P 2的坐标为P 2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）．∴P 点坐标为P 1（1，0），P 2（2，﹣1）；（3）由（2）知，当P 点的坐标为P 1（1，0）时，不能构成平行四边形；当点P的坐标为P2（2，﹣1）（即顶点Q）时，平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于F；∵P（2，﹣1），∴可设F（x，1）；∴x2﹣4x+3=1，解得x1=2﹣2，x2=2+2；∴符合条件的F点有两个，即F1（2﹣2，1），F2（2+2，1）．【点睛】此题主要考查了二次函数的解析式的确定、直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大.9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣12x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣12x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N的坐标．（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝12时，求点F的坐标．（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤tS与t的函数关系式．【答案】（1）y＝﹣12x2+32x+2；（2）点N的坐标为（5，-3）；（3）点F的坐标为：（3，2）或（173，﹣509）；（4）25,049494t tS tt⎧⎛≤≤⎪⎪⎝⎭=-<≤+<≤．【解析】【分析】（1）点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），将点A、C坐标代入抛物线表达式即可求解；（2）抛物线的对称轴为：x＝32，点N的横坐标为：37522+=，即可求解；（3）分点F在直线AC下方、点F在直线AC的上方两种情况，分别求解即可；（4）分0≤t＜t＜t【详解】解：（1）直线y＝﹣12x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣12x2+bx+2，将点C坐标代入上式并解得：b＝32，故抛物线的表达式为：y＝﹣12x2+32x+2…①；（2）抛物线的对称轴为：x＝32，点N的横坐标为：375 22+=，故点N的坐标为（5，-3）；（3）∵tan∠ACO＝2142AOCO==＝tan∠FAC＝12，即∠ACO＝∠FAC，①当点F在直线AC下方时，设直线AF交x轴于点R，∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝32，即点R的坐标为：（32，0），将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：230 2nm n=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：432mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故直线AR的表达式为：y＝﹣43x+2…②，联立①②并解得：x＝173，故点F（173，﹣509）；②当点F在直线AC的上方时，∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，则点F′（3，2）；综上，点F的坐标为：（3，2）或（173，﹣509）；（4）如图2，设∠ACO＝α，则tanα＝12AOCO=，则sinα5，cosα5①当0≤t 35时（左侧图），设△AHK移动到△A′H′K′的位置时，直线H′K′分别交x轴于点T、交抛物线对称轴于点S，则∠DST ＝∠ACO ＝α，过点T 作TL ⊥KH ，则LT ＝HH ′＝t ，∠LTD ＝∠ACO ＝α，则DT ＝'52co 5c s 2os L HH T t αα===，DS ＝tan DT α， S ＝S △DST ＝12⨯DT ×DS ＝254t ； 35＜t 35时（右侧图）， 同理可得：S ＝''DGS T S 梯形＝12⨯DG ×（GS ′+DT ′）＝12⨯3+55﹣323594-； 35＜t 53594+； 综上，S ＝2535,023593535,(245435935(5)1044t t t t t t ⎧⎛≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎨-<≤⎪⎪⎪+<≤⎪⎩． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形平移、图形的面积计算等，其中（3）、（4），要注意分类求解，避免遗漏．10．在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k 与直线y=kx+1交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A ，B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k （k ＞0）与x 轴交于点C 、D 两点（点C 在点D 的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A(-1,0) ，B(2,3)（2）△ABP 最大面积s=1927322288⨯=; P （12，﹣34） （3）存在；25 【解析】【分析】（1） 当k=1时，抛物线解析式为y=x 2﹣1，直线解析式为y=x+1，然后解方程组211y x y x ⎧=⎨=+⎩﹣即可； （2） 设P （x ，x 2﹣1）．过点P 作PF ∥y 轴，交直线AB 于点F ，则F （x ，x+1），所以利用S △ABP =S △PFA +S △PFB ，，用含x 的代数式表示为S △ABP=﹣x 2+x+2，配方或用公式确定顶点坐标即可．（3） 设直线AB ：y=kx+1与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，用k 分别表示点E 的坐标，点F 的坐标，以及点C 的坐标，然后在Rt △EOF 中，由勾股定理表示出EF 的长，假设存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，设点N 为OC 中点，连接NQ ，根据条件证明△EQN ∽△EOF ，然后根据性质对应边成比例，可得关于k 的方程，解方程即可.【详解】解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x 2﹣1，直线解析式为y=x+1．联立两个解析式，得：x 2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A （﹣1，0），B （2，3）．（2）设P （x ，x 2﹣1）．如答图2所示，过点P 作PF ∥y 轴，交直线AB 于点F ，则F （x ，x+1）．∴PF=y F ﹣y P =（x+1）﹣（x 2﹣1）=﹣x 2+x+2．S △ABP =S △PFA +S △PFB =PF （xF ﹣xA ）+PF （xB ﹣xF ）=PF （xB ﹣xA ）=PF∴S △ABP=（﹣x 2+x+2）=﹣（x ﹣12）2+278 当x=12时，yP=x 2﹣1=﹣34． ∴△ABP 面积最大值为，此时点P 坐标为（12，﹣34）． （3）设直线AB ：y=kx+1与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，则E （﹣1k ，0），F （0，1），OE=1k，OF=1． 在Rt △EOF 中，由勾股定理得：EF=22111=k k +⎛⎫+ ⎪⎝⎭．令y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k=0，即（x+k ）（x ﹣1）=0，解得：x=﹣k 或x=1． ∴C （﹣k ，0），OC=k ．假设存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，如答图3所示，则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°． 设点N 为OC 中点，连接NQ ，则NQ ⊥EF ，NQ=CN=ON=2k ． ∴EN=OE ﹣ON=1k ﹣2k ． ∵∠NEQ=∠FEO ，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN ∽△EOF ，∴NQEN OF EF=，即：1221kk k k-=，解得：k=±25， ∵k ＞0， ∴k=25． ∴存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，此时k=25． 考点：1.二次函数的性质及其应用；2.圆的性质；3.相似三角形的判定与性质.三、初三数学 旋转易错题压轴题（难）11．探究：如图1和图2，四边形ABCD 中，已知AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，点E 、F 分别在BC 、CD 上，∠EAF ＝45°．（1）①如图1，若∠B 、∠ADC 都是直角，把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，使AB 与AD 重合，直接写出线段BE 、DF 和EF 之间的数量关系 ；②如图2，若∠B 、∠D 都不是直角，但满足∠B +∠D ＝180°，线段BE 、DF 和EF 之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（2）拓展：如图3，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝22．点D 、E 均在边BC 边上，且∠DAE ＝45°，若BD ＝1，求DE 的长．【答案】（1）①EF ＝BE +DF ；②成立，理由详见解析；（2）DE ＝53． 【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质得出AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，BE ＝DG ，求出∠EAF ＝∠GAF ＝45°，根据SAS 推出△EAF ≌△GAF ，根据全等三角形的性质得出EF ＝GF ，即可求出答案； ②根据旋转的性质作辅助线，得出AE ＝AG ，∠B ＝∠ADG ，∠BAE ＝∠DAG ，求出C 、D 、G 在一条直线上，根据SAS 推出△EAF ≌△GAF ，根据全等三角形的性质得出EF ＝GF ，即可求出答案；（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC ＝∠C ＝45°，BC ＝4，根据旋转的性质得出AF ＝AE ，∠FBA ＝∠C ＝45°，∠BAF ＝∠CAE ，求出∠FAD ＝∠DAE ＝45°，证△FAD ≌△EAD ，根据全等得出DF ＝DE ，设DE ＝x ，则DF ＝x ，BF ＝CE ＝3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．【详解】解：（1）∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠ADC+∠ADG＝90°∴F、D、G共线，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵AF AFEAF GAFAE AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，故答案为：EF＝BE+DF；②成立，理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠ADG＝180°，∴C、D、G在一条直线上，与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵AF AFEAF GAFAE AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝BE+DF；（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝22，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，由勾股定理得：BC＝22AB AC+＝4，如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，∵∠DAE＝45°，∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，在△FAD和△EAD中AD ADFAD EADAF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，∵BC＝4，∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，∴∠FBD＝90°，由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，x2＝（3﹣x）2+12，解得：x＝53，即DE＝53．【点睛】本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试题，运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．12．边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中， AB边交DF于点M，BC边交DG于点N.（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图2)，求正方形ABCD旋转的度数；（3）如图3，设△MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）；（2）；（3）不变化，证明见解析.【解析】试题分析：（1）将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，DA旋转了，从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的面积.（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求正方形ABCD旋转的度数为.（3）延长BA交DE轴于H点，通过证明和可得结论.（1）∵A点第一次落在DF上时停止旋转，∴DA旋转了.∴DA在旋转过程中所扫过的面积为.（2）∵MN∥AC，∴,.∴.∴.又∵，∴.又∵,∴.∴.∴.∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形ABCD旋转的度数为.(3)不变化，证明如下：如图，延长BA交DE轴于H点，则，，∴.又∵.∴．∴．又∵, ,∴．∴.∴.∴.∴在旋转正方形ABCD的过程中，值无变化.考点：1.面动旋转问题；2．正方形的性质；3.扇形面积的计算；4.全等三角形的判定和性质.13．如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.（1）求证：BE＝CE（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②2；③62 4.【解析】【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE．（2）①解：如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45°，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EBM=∠ECN=45°，∵∠MEN=∠BEC=90°，∴∠BEM=∠CEN，∵EB=EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，∴S△BMN=12•x（4-x）=-12（x-2）2+2，∵-12＜0，∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．∴3（3m，∵S△BEG=12•EG•BN=12•BG•EH，∴EH=3?(13)m m+3+3m，在Rt△EBH中，sin∠EBH=3+362246EHEB m==．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，14．如图，△ABC和△DEC都是等腰三角形，点C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F 为线段AD的中点，连接CF．（1）如图1，当D点在BC上时，BE与CF的数量关系是__________；（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转90°，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，把△DEC绕C点顺时针旋转一个钝角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如成立，请证明；如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．【答案】（1）BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据“SAS”证明△ACD≌△BCE，可得AD=BE，又因为AD=2CF，从而BE=2CF；（2）由点F是AD中点，可得AD=2DF，从而AC= 2DF+CD，又由△ABC和△CDE是等腰直角三角形，可知BC=2DF+CE，所以BE= 2（DF+CE），CF= DF+CD，从而BE=2CF；（3）延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，可证△CDF≌△GAF，再证明△BCE≌△ACG，从而BE=CG=2CF成立.解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD=CE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，在Rt△ACD中，点F是AD中点，∴AD=2CF，∴BE=2CF，故答案为BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由：∵点F是AD中点，∴AD=2DF，∴AC=AD+CD=2DF+CD，∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∴BC=2DF+CE，∴BE=BC+CE=2DF+CE+CE=2（DF+CE），∵CF=DF+CD=DF+CD，∴BE=2CF；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由：如图3，延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，∵点F是AD中点，∴AF=DF，在△CDF和△GAF中，，∴△CDF≌△GAF，∴AG=CD=CE，∠CDF=∠GAF，∴∠CAG=∠CAD+∠GAF=∠CAD+∠ADC=180°﹣∠ACD，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCE=360°﹣∠ACB﹣∠DCE﹣∠ACD=180°﹣∠ACD，∴∠CAG=∠BCE，连接BE，在△BCE和△ACG中，，∴△BCE≌△ACG，∴BE=CG=2CF，即：BE=2CF．点睛：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质，考查了学生综合运用知识的能力，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．15．已知，如图：正方形ABCD，将Rt△EFG斜边EG的中点与点A重合，直角顶点F落在正方形的AB边上，Rt△EFG的两直角边分别交AB、AD边于P、Q两点，（点P与点F重合），如图1所示：（1）求证：EP2+GQ2=PQ2；（2）若将Rt△EFG绕着点A逆时针旋转α（0°＜α≤90°），两直角边分别交AB、AD边于P、Q两点，如图2所示：判断四条线段EP、PF、FQ、QG之间是否存在什么确定的相等关系？若存在，证明你的结论．若不存在，请说明理由；（3）若将Rt△EFG绕着点A逆时针旋转α（90°＜α＜180°），两直角边所在的直线分别交BA、AD两边延长线于P、Q两点，并判断四条线段EP、PF、FQ、QG之间存在何种确定的相等关系？按题意完善图3，请直接写出你的结论（不用证明）．【答案】（1）见解析；（2）PF2+FQ2=EP2+GQ2；（3）四条线段EP、PF、FQ、QG之间的关系为PF2+GQ2=PE2+FQ2．【解析】【分析】（1）过点E作EH∥FG，由此可证△EAH≌△GAQ，然后根据全等三角形的性质得到EH=QG，又PQ=PH，在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，由此可以得到EP2+GQ2=PQ2；（2）过点E作EH∥FG，交DA的延长线于点H，连接PQ、PH，由此可证△EAH≌△GAQ，然后根据全等三角形的性质得到EH=QG，又PH=PQ，在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，即EP2+GQ2=PH2，在Rt△PFQ中，PF2+FQ2=PQ2，故PF2+FQ2=EP2+GQ2；（3）四条线段EP、PF、FQ、QG之间的关系为PE2+GQ2=PF2+FQ2，证明方法同上．【详解】（1）过点E作EH∥FG，连接AH、FH，如图所示：∵EA=AG，∠HEA=∠AGQ，∠HAE=∠GAD，∴△EAH≌△GAQ，∴EH=QG，HA=AQ，∵FA⊥AD，∴PQ=PH．在Rt△EPH中，∵EP2+EH2=PH2，∴EP2+GQ2=PQ2；（2）过点E作EH∥FG，交DA的延长线于点H，连接PQ、PH，∵EA=AG，∠HEA=∠AGQ，∠HAE=∠GAD，∴△EAH≌△GAQ，∴EH=QG，HA=AQ，∵PA⊥AD，∴PQ=PH．在Rt△EPH中，∵EP2+EH2=PH2，∴EP2+GQ2=PH2．在Rt△PFQ中，∵PF2+FQ2=PQ2，∴PF2+FQ2=EP2+GQ2．（3）四条线段EP、PF、FQ、QG之间的关系为PF2+GQ2=PE2+FQ2．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三线合一，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键.四、初三数学圆易错题压轴题（难）16．已知：四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，DE⊥AB，垂足为点E，DE的锯长线交⊙O于点F，DC的延长线与FB的延长线交于点G．（1）如图1，求证：GD＝GF；（2）如图2，过点B作BH⊥AD，垂足为点M，B交DF于点P，连接OG，若点P在线段OG上，且PB＝PH，求∠ADF的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，点M是PH的中点，点K在BC上，连接DK，PC，D交PC点N，连接MN，若AB＝122，HM+CN＝MN，求DK的长．【答案】（1）见解析；（2）∠ADF＝45°；（3）1810．【解析】【分析】（1）利用“同圆中，同弧所对的圆周角相等”可得∠A＝∠GFD，由“等角的余角相等”可得∠A＝∠GDF，等量代换得∠GDF＝∠GFD，根据“三角形中，等角对等边”得GD＝GF；（2）连接OD、OF，由△DPH≌△FPB可得：∠GBH＝90°，由四边形内角和为360°可得：∠G＝90°，即可得：∠ADF＝45°；（3）由等腰直角三角形可得AH＝BH＝12，DF＝AB＝12，由四边形ABCD内接于⊙O，可得：∠BCG＝45°＝∠CBG，GC＝GB，可证四边形CDHP是矩形，令CN＝m，利用勾股定理可求得m＝2，过点N作NS⊥DP于S，连接AF，FK，过点F作FQ⊥AD于点Q，过点F 作FR⊥DK交DK的延长线于点R，通过构造直角三角形，应用解直角三角形方法球得DK．【详解】解：（1）证明：∵DE⊥AB∴∠BED＝90°∴∠A+∠ADE＝90°∵∠ADC＝90°∴∠GDF+∠ADE＝90°∴∠A＝∠GDF∵BD BD∴∠A＝∠GFD∴∠GDF＝∠GFD∴GD＝GF（2）连接OD、OF∵OD ＝OF ，GD ＝GF ∴OG ⊥DF ，PD ＝PF 在△DPH 和△FPB 中PD PF DPH FPB PH PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DPH ≌△FPB （SAS ） ∴∠FBP ＝∠DHP ＝90° ∴∠GBH ＝90°∴∠DGF ＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90° ∴∠GDF ＝∠DFG ＝45° ∴∠ADF ＝45°（3）在Rt △ABH 中，∵∠BAH ＝45°，AB ＝∴AH ＝BH ＝12 ∴PH ＝PB ＝6 ∵∠HDP ＝∠HPD ＝45° ∴DH ＝PH ＝6∴AD ＝12+6＝18，PN ＝HM ＝12PH ＝3，PD ＝∵∠BFE ＝∠EBF ＝45° ∴EF ＝BE∵∠DAE ＝∠ADE ＝45° ∴DE ＝AE ∴DF ＝AB ＝∵四边形ABCD 内接于⊙O ∴∠DAB +∠BCD ＝180° ∴∠BCD ＝135° ∴∠BCG ＝45°＝∠CBG ∴GC ＝GB又∵∠CGP ＝∠BGP ＝45°，GP ＝GP ∴△GCP ≌△GBP （SAS ） ∴∠PCG ＝∠PBG ＝90° ∴∠PCD ＝∠CDH ＝∠DHP ＝90° ∴四边形CDHP 是矩形∴CD ＝HP ＝6，PC ＝DH ＝6，∠CPH ＝90° 令CN ＝m ，则PN ＝6﹣m ，MN ＝m +3 在Rt △PMN 中，∵PM 2+PN 2＝MN 2 ∴32+（6﹣m ）2＝（m +3）2，解得m ＝2。

延庆县九年级上学期数学期中试题(含答案解析)A． B． C． D．27．二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是A．函数有最小值B ．当－1 2时，C．D．当，y随x的增大而减小8．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是边BC，AD的中点，AB=3，BC=4，一动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D﹣C在矩形的边上运动，运动到点C停止，点M为图1中某一定点，设点P运动的路程为x，△BPM的面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示．则点M的位置可能是图1中的A．点C B．点F C．点D D．点O二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积是________ cm2．10. 请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，-2）的抛物线的表达式__________．11. 已知关于的一元二次方程无实数根，那么m的取值范围是____．12. 如图，AD是⊙O的直径．(1)如图1，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是，∠B2的度数是；(2)如图2，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，则∠B3的度数是；(3)如图3，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3 C3，…，BnCn把圆周2n等分，则∠Bn的度数是（用含n的代数式表示∠Bn的度数）．三、解答题（本题共35分，每小题5 分）13. 计算：14. 解方程：15. 已知：二次函数的图象过点A（2，-3），且顶点坐标为C（1，-4）．（1）求此二次函数的表达式；（2）画出此函数图象，并根据函数图象写出：当时，y的取值范围.16. 如图，在⊙O中，弦AC与BD交于点E，AB=8，AE=6，ED=4，求CD的长．17．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进30海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，求海岛C到航线AB的距离CD的长（结果保留根号）．18. 已知：AD是△ABC的高，，AB=4，，求BC的长.19. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y = ax2 + bx﹣75．其图象如图．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？四、解答题（本题共15分，每小题5分）20. 有六张完全相同的卡片，分A，B两组，每组三张，在A 组的卡片上分别画上☆○☆，B组的卡片上分别画上☆○○，如图1 所示.（1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是☆的概率（请用画树形图法或列表法求解）（2）若把A，B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到3张卡片，其正反面标记如图2所示，将卡片正面朝上摆放在桌上，并用瓶盖盖住标记.若揭开盖子，看到的卡片正面标记是☆后，猜想它的反面也是☆，求猜对的概率是多少？21. 如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F.（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）CF=5，cos∠A = 25，求BE的长.[来~源#:*中教网%] 22. 探究发现:如图1，△ABC是等边三角形，点E在直线BC上，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；数学思考: 某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）（其它条件不变），结论AE=EF 仍然成立．请你从“点E在线段BC上”；“点E在线段BC 延长线”；“点E在线段 BC反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF．拓展应用:当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在图3中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：S△AEF的值．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题9分，第25题6分）23. 已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.（1）求的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移9个单位，求平移后的图象的表达式；（3）在（2）的条件下，平移后的二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），直线过点B，且与抛物线的另一个交点为C，直线BC上方的抛物线与线段BC组成新的图象，当此新图象的最小值大于-5时，求k的取值范围. 24. 已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，在∠BAC所对弧AC上，任取一点D，连接AD，BD，CD，（1）如图1，，直接写出∠A DB的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，如果BAC=60°，求证：BD+CD=AD；（3）如图3，如果BAC=120°，那么BD+CD与AD之间的数量关系是什么？写出猜测并加以证明；（4）如果，直接写出BD+CD与AD之间的数量关系.25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1: （）与抛物线C2: ，（1）抛物线C1与轴交于点A，其对称轴与轴交于点B．求点A，B的坐标；（2）若抛物线C1在这一段位于C2下方，并且抛物线C1在这一段位于C2上方，求抛物线C1的解析式.延庆县2019九年级上学期数学期中试题(含答案解析)参考答案一、选择题（共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B C A B C A B D二、填空题（共16分，每题4分）题号 9 10 11 12答案三、解答题（本题共35分，每小题5分）13. 计算：=514．解方程：解1:解2:解3:∵a=1,b=-4,c=-515.(1) 设二次函数的表达式为∵此函数图象顶点C（1，﹣4）过点A（2，-3），∴a=1∴二次函数的解析式:二次函数的解析式:当x= -1时，y=0当x=1时，y有最小值，为y=-4∵x=1在内∴当时，y的取值范围-4 ≤ y ＜016. 解：∵∠B=∠C，∠A=∠D∴△ABE∽△CDE∵AB=8，AE=6，ED=4，17. 解：∵DA⊥AD，∠DAC=60°，∴∠1=30°.∵EB⊥AD，∠EBC=30°，∴∠2=60°.∴∠ACB=30°.∴BC = AB=30.在Rt△ ACD中，∵∠CDB=90°，∠2=60°，18. 分两种情况：（1）如图1在Rt△ABD中，∠CDB=90°，，AB=4，由勾股定理可得： .在Rt△ACD中，∠ADC=90°，，∴CD=1.∴BC=4.（2）如图2同理可求：BD=3，CD=1∴BC=2.综上所述：BC的长为4或2.19. 解：（1）y=ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16），解得，y=﹣x2+20x﹣75的顶点坐标是（10，25）当x=10时，y最大=25，答：销售单价为10元时，该种商品每天销售利润最大，最大利润为25元；（2）∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象的对称轴为直线x=10，可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），又∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16．答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该商品每天销售利润不低于16元．20.（1）方法1：由题意：从树状图中可以看到，所有可能结果共9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是☆的结果共2种，所以 .方法1：由题意可列表如下：从表中可以看到，所有可能结果共9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是☆的结果共2种，所以 .（2）21.证明：（1）连接CD∵AO=CO，CD=BD∴OD //AB∴∠ODE=∠DEB∵DE⊥AB∴∠DEB=90°∴∠ODE=90°∴OD⊥BC∴直线EF是⊙O的切线（2）设⊙O的半径为x，则OC=OA=OD，∵OD //AB∴∠ODC=∠B，∠FOD=∠A∵OC=OD∴∠ODC=∠OCD∴∠B =∠OCD∴AC=BC=2x在Rt△ODF中，∠ODF=90°，在Rt△AEF中，∠FEA=90°，∴BE=222. 数学思考:证明：如图一，在AB上截取AG，使AG=EC，连接EG，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．∵AG=EC，∴BG=BE，∴△BEG是等边三角形，∠BGE=60°，∴∠AGE=120°．∵FC是外角的平分线，∴∠ECF=120°=∠AGE．∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，∴∠GAE=∠FEC．在△AGE和△ECF中∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；拓展应用：如图二：∵△ABC是等边三角形，BC=CE∴CE=BC=AC，∴∠CAH=30°，作CH⊥AE于H点，∴∠AHC=90°．∴CH= AC，AH= AC，∵AC=CE，CH⊥AE∴AE=2AH= AC．由数学思考得AE=EF，又∵∠AEF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴△ABC ∽△AEF．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题9分，第 25题6分）23.（1）∵关于的一元二次方程有实数根∴ …………………………………………………1分∵ 为正整数∴ 的值是1,2,3 ……………………………………2分（2）方程有两个非零的整数根当时，，不合题意，舍当时，，不合题意，舍当时，，∴ ……………………………3分∴平移后的图象的表达式………………4分（3）令y =0 ，∵与x轴交于点A，B（点A在点B左侧）∴A（-4,0），B（2,0）∵直线l：经过点B，∴函数新图象如图所示，当点C在抛物线对称轴左侧时，新函数的最小值有可能大于．令，即．解得，（不合题意，舍去）．∴抛物线经过点．……………5分当直线经过点（-3，-5），（2,0）时，可求得…………6分由图象可知，当时新函数的最小值大于．………………………7分（也可以用三角形相似求出-5以及k的值）24.………………1分（2）延长BD到E，使得DE=DC∵ BAC=60°，AB=AC∴△ABC是等边三角形………………2分∴BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°∵四边形ABCD内接于圆∴∠BAC+∠BDC=180°∵∠BDC+∠EDC=180°∴∠BAC=∠EDC=60°∵DC=DE∴△DCE是等边三角形………………3分∴∠DCE=60° ∴∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE ∴BE=AD∵BE=BD+DE∴AD=BD+CD ………………4分（3）延长DB到E，使得BE=DC，连接AE，过点A作AF⊥BD于点F，∵AB=AC ∴∠1=∠2 ………………5分∵四边形ABCD内接于圆∴∠DBA+∠ACD=180°∵∠EBA+∠DBA =180°∴∠EBA=∠DCA∵BE=CD，AB=AC∴△EBA≌△DCA ∴∠E=∠1∴AE=AD………………6分在Rt△ADF中，∠AFD=90°，∴ ………………………………7分∵∠1=90°- =30°, ∴∵ BE=BD+CD∴ …………………………………………8分(4) ……………………………………………9分25.（1）根据:可得点A(0,4)，B(1,0) ……………………………2分(2)根据对称, 抛物线C1在这一段位于C2下方,相当于抛物线C1在这一段位于C2下方… …………………………3分∵抛物线C1在这一段位于C2上方，∴两条抛物线的交点横坐标:x=3 (4)分∴把x=3代入∴y=3∴抛物线C1：经过点（3,3）……………………………5分∴抛物线C1的解析式: ……………………………6分。

2015-2016学年北京XX中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1．已知3x=4y，则的值为( )A． B． C．7 D．2．如图，点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10，OA′=20，则五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值是( )A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：43．如图，D是△ABC的边AC上的一点，则下列条件中不能判定△ABC∽△ADE的是( ) A．∠ADE=∠B B．= C．∠AED=∠C D．=4．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( )A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：25．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是( )A． B． C． D．6．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( )A． B． C． D．7．（1998•台州）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( )A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x+2）2﹣1 C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+18．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( )A． B． C． D．9．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x …0 1 2 3 4 y … 4 1 0 1 4 点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y210．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( )A． B． C． D．二．填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）11．利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，小雪的身高是1.6m，他在阳光下的影长是2.4m，在同一时刻测得某棵树的影长为15m，则这棵树的高度约为__________m．12．已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为__________．13．如图，在▱ABCD中，E为线段AD上一点，AE=4ED，CE、BD交于点F，若DF=4cm，则BF的长为__________cm．14．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为__________；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为__________．15．在△ABC中，AB=6，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF的长为__________．16．已知二次函数y=ax2+bx+c满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有__________．①a＜0 ②a﹣b+c＜0 ③c＞0 ④a﹣2b＞0 ⑤．三、解答题（共6个小题，每小题5分，共30分）17．已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，且∠ACD=∠B，若AB=10，求AC的长．18．若二次函数图象的对称轴方程是x=1，并且图象经过A（0，﹣4），B（4，0），（1）求此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标；（2）求此函数的解析式．19．对于抛物线y=x2﹣4x+3．（1）将抛物线的解析式化为顶点式．（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x ……y ……（3）结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范围__________．20．如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，并写出点B1的坐标；（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC 的位似比等于2：1．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且=，连结DE．若AC=3，AB=5．求证：（1）△ABC∽△AED；（2）DE⊥AB．22．如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE＞CE），连接AE，并过点E作AE 的垂线交BC于点F，若AB=9，BF=7，求DE长．四、解答题（共4个小题，每小题5分，共20分）23．已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．24．百货商店服装柜在销售中发现：某童装每天可卖20件，每件盈利40元，为迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现：每件童装降价1元，每天可多卖2件，要想平均每天获利1200元，那么每件童装应降价多少元？要使每天盈利最多，每件应降价多少元？25．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上一个动点（不与B、C点重合），∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE．（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．（3）当点D在线段BC的什么位置时，AE的长度最短？请说明理由，并求出AE的最短长度是多少？26．阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．五．综合运用（27、28题7分，29题8分，共22分）27．已知抛物线y=（m﹣1）x2﹣2mx+m+1（m＞1）．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为2，求m的值；（3）若一次函数y=kx﹣k的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式．28．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值．29．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年北京XX中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1．已知3x=4y，则的值为( )A． B． C．7 D．【考点】比例的性质．【分析】根据等式的性质，可得用x表示y，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：由3x=4y，得y=．===7．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出y=是解题关键，又利用了分式的性质．2．如图，点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10，OA′=20，则五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值是( )A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4【考点】位似变换．【分析】由以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10cm，OA′=20cm，可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20=1：2，然后由相似多边形的性质可得：五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值．【解答】解：∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10cm，OA′=20cm，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20=1：2，∴五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积比是：1：4．故选：D．【点评】此题考查了位似图形的性质，利用相似多边形的面积比等于相似比得出答案是解题关键．3．如图，D是△ABC的边AC上的一点，则下列条件中不能判定△ABC∽△ADE的是( )A．∠ADE=∠B B．= C．∠AED=∠C D．=【考点】相似三角形的判定．【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，∴△ABC∽△ADE，A正确；∵，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，B正确；∵∠AED=∠C，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，C正确；D不符合两边成比例且夹角相等，D错误；故选：D．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况，常用的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．4．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( )A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2【考点】三角形中位线定理；相似三角形的应用．【专题】几何图形问题．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN∥AB，MN=AB，再根据相似三角形的判定解答．【解答】解：∵M、N分别是AC，BC的中点，∴MN∥AB，MN=AB，∴AB=2MN=2×12=24m，△CMN∽△CAB，∵M是AC的中点，∴CM=MA，∴CM：MA=1：1，故描述错误的是D选项．故选：D．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定，熟记定理并准确识图是解题的关键．5．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是( )A． B． C． D．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选：B．【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．6．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( )A． B． C． D．【考点】二次函数的图象．【分析】根据二次函数图象得出顶点位置，进而根据各选项排除即可．【解答】解：根据二次函数顶点坐标位于第三象限，只有选项D的顶点符合要求，故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数图象，根据图象得出顶点位置是解题关键．7．（1998•台州）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( )A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x+2）2﹣1 C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】变化规律：左加右减，上加下减．【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y=3（x+2）2+1．故选D．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．8．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( )A． B． C． D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；故选：D．【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．9．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x …0 1 2 3 4 y … 4 1 0 1 4 点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】由表格可知，当1＜x ＜2时，0＜y ＜1，当3＜x ＜4时，1＜y ＜4，由此可判断y 1 与y 2的大小．【解答】解：∵当1＜x ＜2时，函数值y 小于1，当3＜x ＜4时，函数值y 大于1， ∴y 1＜y 2．故选B ．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是由表格判断自变量取值范围内，函数值的大小．10．如图，正方形ABCD 中，AB=8cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动，设运动时间为t （s ），△OEF 的面积为s （cm 2），则s （cm 2）与t （s ）的函数关系可用图象表示为( )A ．B ．C ．D ．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】由点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC ，CD 运动，得到BE=CF=t ，则CE=8﹣t ，再根据正方形的性质得OB=OC ，∠OBC=∠OCD=45°，然后根据“SAS ”可判断△OBE ≌△OCF ，所以S △OBE =S △OCF ，这样S 四边形OECF =S △OBC =16，于是S=S 四边形OECF ﹣S △CEF =16﹣（8﹣t ）•t ，然后配方得到S=（t ﹣4）2+8（0≤t ≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：根据题意BE=CF=t ，CE=8﹣t ，∵四边形ABCD 为正方形，∴OB=OC ，∠OBC=∠OCD=45°，∵在△OBE 和△OCF 中，∴△OBE ≌△OCF （SAS ），∴S △OBE =S △OCF ，∴S 四边形OECF =S △OBC =×82=16，∴S=S 四边形OECF ﹣S △CEF =16﹣（8﹣t ）•t=t 2﹣4t+16=（t ﹣4）2+8（0≤t ≤8），∴s （cm 2）与t （s ）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t ≤8． 故选：B ．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．二．填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）11．利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，小雪的身高是1.6m ，他在阳光下的影长是2.4m ，在同一时刻测得某棵树的影长为15m ，则这棵树的高度约为10m ．【考点】相似三角形的应用．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】解：因为=，所以：树的高度=×树的影长=×15=10（m ）．故答案是：10．【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．12．已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为k≤4．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】分为两种情况：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，求出△=b2﹣4ac=﹣4k+16≥0的解集即可；②当k﹣3=0时，得到一次函数y=2x+1，与X轴有交点；即可得到答案．【解答】解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，△=b2﹣4ac=22﹣4（k﹣3）×1=﹣4k+16≥0，k≤4；②当k﹣3=0时，y=2x+1，与x轴有交点；故k的取值范围是k≤4，故答案为：k≤4．【点评】本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．13．如图，在▱ABCD中，E为线段AD上一点，AE=4ED，CE、BD交于点F，若DF=4cm，则BF的长为20cm．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】由在▱ABCD中，且AE=4ED，易得DE：BC=1：5，△ADF∽△EBF，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵AE=4ED，∴DE：AD=1：5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∴DE：BC=1：5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴DE：BC=DF：BF=1：5，∵DF=4cm，∴BF=20cm．故答案为：20．【点评】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．14．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为0；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为y=x2﹣2x．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点P的坐标代入二次函数解析式计算即可得解；根据点P确定出平移方法，再求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式解析式形式写出即可．【解答】解：∵点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，∴（﹣1）2﹣1=m，解得m=0，平移方法为向右平移1个单位，平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（1，﹣1），平移后的函数图象所对应的解析式为y=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x，即y=x2﹣2x．故答案为：0，y=x2﹣2x．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．15．在△ABC中，AB=6，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF的长为或3．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据相似三角形的相似比求AF，注意分情况考虑．【解答】解：∵∠A=∠A，∴两种情况进行讨论：①当时，△ABC∽△AEF，即，解得：AF=；②当时，△ABC∽△AFE，即，解得：AF=3；综上所述：AF的长为或3；故答案为：或3．【点评】本题考查了相似三角形的判定；熟练掌握相似三角形的判定，分情况讨论是解决本题的关键．16．已知二次函数y=ax2+bx+c满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有①②③⑤．①a＜0 ②a﹣b+c＜0 ③c＞0 ④a﹣2b＞0 ⑤．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】由抛物线满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：∵（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；∴图象过（1，0）点，∵a＜b＜c，a+b+c=0，∴a＜0，c＞0，故①③正确，∵图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；∴图象一定不过（﹣1，0）点，且另一交点坐标在（﹣1，0）右侧，∴a﹣b+c＜0，故②正确，∴图象对称轴一定在x轴的正半轴，∴0＜﹣＜1，∴a，b异号，∴a﹣2b＜0，故④此选项错误，∵b＜c，a+b+c=0，∴c=﹣（a+b），∴b＜﹣（a+b），即a+2b＜0，∴2b＜﹣a，∴＞，∴＞﹣，∴﹣＜，故⑤选项正确，故正确的有：①②③⑤，故答案为：①②③⑤．【点评】此题考查了二次函数各系数与函数图象的关系，解题的关键是注意数形结合思想的应用．三、解答题（共6个小题，每小题5分，共30分）17．已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，且∠ACD=∠B，若AB=10，求AC的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】首先根据∠ACD=∠B，∠A=∠A得到△ACD∽△ABC，然后利用相似三角形对应边的比相等得到，再根据D是AB的中点和AB=10得到后代入以上比例式后即可求得AC 的长．【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．∴．∵D是AB的中点，AB=10，∴．∴．∴AC2=50．∴（舍负）．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形得到正确的比例式是解决本题的关键．18．若二次函数图象的对称轴方程是x=1，并且图象经过A（0，﹣4），B（4，0），（1）求此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标；（2）求此函数的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化-对称．【分析】（1）直接利用对称性求解即可；（2）利用待定系数法把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=1代入解析式，解三元一次方程组可得y=x2﹣x﹣4．【解答】解：（1）∵二次函数图象的对称轴方程是x=1，∴此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标为：B′（﹣2，0）；（2）设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=1代入解析式得：，解得：，故二次函数解析式为：．【点评】此题主要考查了二次函数的概念、性质以及待定系数法求解析式，正确掌握待定系数法求二次函数解析式是解题关键．19．对于抛物线y=x2﹣4x+3．（1）将抛物线的解析式化为顶点式．（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x ……y ……（3）结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范围﹣1≤y＜3．【考点】二次函数的图象．【分析】（1）由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）利用列表、描点、连线的方法画出图形即可；（3）根据函数图象回答即可．【解答】解：（1）y=x2﹣4x+3=（x2﹣4x+4）﹣4+3=（x﹣2）2﹣1．∴抛物线的顶点式为故答案为：y=（x﹣2）2﹣1．（2）列表：x …0 1 2 3 4 …y … 3 0 ﹣1 0 3 …函数图象如图所示：（3）根据函数图象可知：当0＜x＜3时，y的取值范围﹣1≤y＜3．故答案为：﹣1≤y＜3．【点评】本题主要考查的是二次函数的顶点式、画函数的图象，利用函数图象求得y的取值范围是解题的关键．20．如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，并写出点B1的坐标；（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC 的位似比等于2：1．【考点】作图-位似变换；作图-旋转变换．【分析】（1）由题意得，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．则AB1⊥AB，AC1⊥AC，画出图形写出坐标．（2）根据以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，可以得出A 1，B 1，C 1的坐标扩大2倍，且横纵坐标改变符号，得出即可．【解答】解：（1）如图：正确画出△AB1C1，B1（1，2），（2）如图：正确画出△A2B2C2，【点评】此题主要考查了图形的旋转与位似，利用位似图形的性质得出A 1，B 1，C 1的坐标是解决问题的关键．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且=，连结DE．若AC=3，AB=5．求证：（1）△ABC∽△AED；（2）DE⊥AB．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据已知条件得到，由于∠A=∠A，于是得到△ADE∽△ACB；（2）根据相似三角形的性质得到∠ADE=∠C=90°，由垂直的定义即可得到结论．【解答】证明：（1）∵，=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）∵△ABC∽△AED，∴∠ADE=∠C=90°，∴DE⊥AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE＞CE），连接AE，并过点E作AE 的垂线交BC于点F，若AB=9，BF=7，求DE长．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】首先由正方形的性质和已知条件证明△ADE∽△ECF，根据相似三角形的性质可知：，设DE=x，则EC=9﹣x，代入计算求出x的值即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AD=BC=AB=9，∠D=∠C=90°，∴CF=BC﹣BF=2，在Rt△ADE中，∠DAE+∠AED=90°，∵AE⊥EF于E，∴∠AED+∠FEC=90°，∴∠DAE=∠FEC，∴△ADE∽△ECF，∴，设DE=x，则E C=9﹣x，∴，解得x1=3，x2=6，∵DE＞CE，∴DE=6．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是设DE=x，利用方程思想解决几何问题．四、解答题（共4个小题，每小题5分，共20分）23．已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】探究型．【分析】（1）根据抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点时，可知（m﹣2）x2+2mx+m+3=0时，△＞0且m﹣2≠0，从而可以解答本题；（2）根据第一问求得的m的取值范围，可以得到m的最大整数，从而可以求得抛物线与x 轴有两个交点的坐标．【解答】（1）∵抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点，∴y=0时，（m﹣2）x2+2mx+m+3=0，则△=（2m）2﹣4×（m﹣2）×（m+3）＞0，m﹣2≠0，解得m＜6且m≠2．即m的取值范围是：m＜6且m≠2．（2）∵m＜6且m≠2，∴m满足条件的最大整数是m=5．∴y=3x2+10x+8．当y=0时，3x2+10x+8=0．解得．即抛物线与x轴有两个交点的坐标是：（﹣2，0），（，0）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确抛物线与x轴的交点与（m﹣2）x2+2mx+m+3=0时，△的值有关．24．百货商店服装柜在销售中发现：某童装每天可卖20件，每件盈利40元，为迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现：每件童装降价1元，每天可多卖2件，要想平均每天获利1200元，那么每件童装应降价多少元？要使每天盈利最多，每件应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【分析】（1）利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程解答即可；（2）设每天销售这种童装利润为y，利用上面的关系列出函数，利用配方法解决问题．【解答】解：（1）设每件童装应降价x元，根据题意列方程得，（40﹣x）=1200，解得x1=20，x2=10（因为尽快减少库存，不合题意，舍去）．答：每件童装降价20元；（2）设每天销售这种童装利润为y，则y=（40﹣x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x﹣15）2+1250，答：当每件童装降价15元时，能获最大利润1250元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．25．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上一个动点（不与B、C点重合），∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE．（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．（3）当点D在线段BC的什么位置时，AE的长度最短？请说明理由，并求出AE的最短长度是多少？【考点】相似形综合题．【分析】（1）先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠B=∠C=45°，再利用三角形内角和得到∠1+∠2=135°，利用平角定义得到∠2++∠3=135°，则∠1=∠3，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论；（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式；（3）根据函数图象的顶点坐标可求出其最小值．【解答】（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∴∠1+∠2=180°﹣∠B=135°，∵∠ADE=45°，∴∠2+∠3=135°，∴∠1=∠3，∵∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE；（2）解：由（1）得△ABD∽△DCE，∴，∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴BC=，DC=﹣x，EC=1﹣y，∴，∴y=x2﹣x+1（0＜x）；（3）解：∵y=x2﹣x+1=，∴当x=时，y有最小值为，即BD=时，AE的最短长度是．【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质定理和等腰直角三角形的性质，综合运用相似三角形的判定及性质定理和二次函数的最值是解答此题的关键．26．阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．【考点】相似形综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．【解答】解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°．∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°．∴∠ADE=∠BEC．∵∠A=∠B，。

2015-2016学年北京十五中九年级（上）期中数学试卷一、选择题1.二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A．y=2（x+3）2+4 B．y=2（x+3）2﹣4 C．y=2（x﹣3）2﹣4 D．y=2（x﹣3）2+43．在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB=，则tanA的值为（）A．B．C．D．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（）A．130°B．120°C．80° D．60°5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是（）A．B．C．D．6．已知二次函数y=2（x+1）（x﹣a），其中a＞0，且对称轴为直线x=2，则a的值是（）A．3 B．5 C．7 D．不确定7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2 B．4 C．4 D．88．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C．a﹣b+c＞0D．当x＞2时，y随x的增大而增大9．设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d10．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题11.比较大小：cos27°cos63°．12．关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数的表达式：．13．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是．14．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB= ．15．课本上将绳的一端固定住，另一端系一支笔，将绳子绷直，用笔绕着另一端画一圈就是一个圆，于是我们定义：圆是由到一定点距离都等于定长的所有的点组成的图形．下面是一种画椭圆的方法：（1）在地平面上选两个点，钉上两个钉子；（2）测量两个钉子间距离；（3）选用大于两钉子间距离长度的绳子；（4）将绳子两端分别系在钉子上；（5）将绳子绷直，用笔在绷直的拐角地方划线；（6）将绳子绕一圈，椭圆就得到啦！（如图所示）根据这个过程请你给椭圆下一个定义：．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1）．B是以点B 为圆心，BA为半径的圆弧；O是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，C是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，A是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为“正方形的渐开线”，那么点A5的坐标是，点A2015的坐标是．三、解答题（第17～26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分.本题共72分）17．计算：sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°．18．在△ABC中，∠A=120°，AB=12，AC=6．求tanB的值．19．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）该函数的顶点坐标是，与x轴的交点坐标是；（2）在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；（3）根据图象回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是．20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；质量档次 1 2 ... x (10)日产量（件） 95 90 ... 100﹣5x (50)单件利润（万元） 6 8 ... 2x+4 (24)为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=CD，sin∠CBD=，求AD的长和tanA的值．22．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值： =1.732， =1.414）23．我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆．不难理解，经过一个已知点A作圆，能作出无数个．回答下列问题：（1）经过两个已知点A，B作圆，能作出圆个，圆心分布在；（2）如图，已知不共线的三点A，B，C，能作出圆个，请你利用尺规作图，确定圆心O的可能的位置．（要求保留作图痕迹，不写作法）24．如图，AB是⊙O的直径，过点B作BM⊥AB，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA=DC，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）若DE=1，求圆O的半径．25．设函数y=（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]（k是常数）．（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；（2）根据图象，写出你发现的一条结论．26．阅读下面材料：小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA边上的点，且AE=BC，BD=CE，BE与AD的交点为P，求∠APE的度数；小乔发现题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图2，过点B作BF∥AD且BF=AD，连接EF，AF，从而构造出△AEF与△CBE全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠APE的度数为．参考小乔同学思考问题的方法，解决问题：如图3，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，D、E分别为CB，CA上的点，且AE=BC，BD=，BE 与AD交于点P，在图3中画出符合题意的图形，并求出sin∠APE的值．27．已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB=．点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D．设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长；（3）如果把A、B之间的抛物线（包含A、B两点）图象记为G，直线l：y=﹣x+b与图象G只有一个公共点，求b的值．28．设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离．例如正方形ABCD满足A （1，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），那么点O（0，0）到正方形ABCD的距离为1．（1）如果⊙P是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O（0，0）到⊙P的距离为；（2）①求点M（3，0）到直线y=2x+1的距离；②如果点N（0，a）到直线y=2x+1的距离为3，那么a的值是；（3）如果点G（0，b）到抛物线y=x2的距离为3，请直接写出b的值．29．在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A和点C（4，0）．（1）求该抛物线的表达式．（2）连接CB，并延长CB至点D，使DB=CB，请判断点D是否在该抛物线上，并说明理由．（3）在（2）的条件下，过点C作x轴的垂线EC与直线y=2x+2交于点E，以DE为直径画⊙M，①求圆心M的坐标；②若直线AP与⊙M相切，P为切点，直接写出点P的坐标．2015-2016学年北京十五中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1.二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】二次函数的最值．【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（﹣1，﹣2），也就是当x=﹣1，函数有最大值﹣2．【解答】解：∵y=﹣（x+1）2﹣2，∴此函数的顶点坐标是（﹣1，﹣2），即当x=﹣1函数有最大值﹣2故选：A．【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．2．把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A．y=2（x+3）2+4 B．y=2（x+3）2﹣4 C．y=2（x﹣3）2﹣4 D．y=2（x﹣3）2+4【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】计算题．【分析】抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），则把它向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的顶点坐标为（﹣3，4），然后根据顶点式写出解析式．【解答】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB=，则tanA的值为（）A．B．C．D．2【考点】解直角三角形；勾股定理；锐角三角函数的定义．【分析】首先根据勾股定理求得直角边AC的长度；然后由锐角三角函数的定义求得tanA的值．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB=，∴AC==2；∴tanA==；故选C．【点评】本题综合考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、勾股定理．掌握相应的锐角三角函数值的求法是解决本题的关键．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（）A．130°B．120°C．80° D．60°【考点】圆内接四边形的性质．【分析】由四边形ABCD内接于⊙O，可得∠B+∠ADC=180°，又由∠ADC+∠ADE=180°，即可求得∠B=∠ADE=120°．【解答】解：∵∠ADC+∠ADE=180°，∠B+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADE=120°．故选B．【点评】此题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【分析】首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，再根据同角的余角相等得出∠A=∠BCD，进而利用锐角三角函数关系即可求出sin∠BCD的值．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴AB==13，．∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∠A+∠B=90°，∴∠A=∠BCD，∴sin∠BCD=sinA==．故选B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系的定义，得出sin∠BCD=sinA是解题关键．6．已知二次函数y=2（x+1）（x﹣a），其中a＞0，且对称轴为直线x=2，则a的值是（）A．3 B．5 C．7 D．不确定【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数y=2（x+1）（x﹣a），得出二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（a，0），则对称轴为x==2，进一步求得a的数值即可．【解答】解：∵二次函数y=2（x+1）（x﹣a）与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（a，0），∴对称轴x==2，解得：x=5．故选：B．【点评】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称性、求对称轴的方法以及求与x轴交点的坐标是解决问题的关键．7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2 B．4 C．4 D．8【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．【解答】解：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．8．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C．a﹣b+c＞0D．当x＞2时，y随x的增大而增大【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）．【分析】根据图象开口方向向下得出a的符号，进而利用图象的对称轴得出图象与x轴的交点坐标，再利用图象得出不等式ax2+bx+c＞0的解集．【解答】解：A、图象开口方向向下，则a＜0，故此选项错误；B、∵图象对称轴为直线x=2，则图象与x轴另一交点坐标为：（﹣1，0），∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5，故此选项正确；C、当x=﹣1，a﹣b+c=0，故此选项错误；D、当x＞2时，y随x的增大而减小，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数与不等式的解集，利用数形结合得出是解题关键．9．设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】首先根据一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象经过点（x1，0），可得y2=d（x﹣x1），y=y1+y2=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1；然后根据函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，可得函数y=y1+y2与x轴的交点为（x1，0），再结合对称轴公式求解．【解答】解：∵一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象经过点（x1，0），∴dx1+e=0，∴y2=d（x﹣x1），∴y=y1+y2=a（x﹣x1）（x﹣x2）+d（x﹣x1）=ax2﹣axx2﹣ax1x+ax1x2+dx﹣dx1=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1∵当x=x1时，y1=0，y2=0，∴当x=x1时，y=y1+y2=0，∵y=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1与x轴仅有一个交点，∴y=y1+y2的图象与x轴的交点为（x1，0）∴=x1，化简得：a（x2﹣x1）=d故选：B．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数y=y1+y2与x轴的交点为（x1，0）．10．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】作OC⊥AP，根据垂径定理得AC=AP=x，再根据勾股定理可计算出OC=，然后根据三角形面积公式得到y=x•（0≤x≤2），再根据解析式对四个图形进行判断．【解答】解：作OC⊥AP，如图，则AC=AP=x，在Rt△AOC中，OA=1，OC===，所以y=OC•AP=x•（0≤x≤2），所以y与x的函数关系的图象为A选项．故选：A．排除法：很显然，并非二次函数，排除B选项；采用特殊位置法；当P点与A点重合时，此时AP=x=0，S△PAO=0；当P点与B点重合时，此时AP=x=2，S△PAO=0；当AP=x=1时，此时△APO为等边三角形，S△PAO=；排除B、C、D选项，故选：A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．二、填空题11.比较大小：cos27°＞cos63°．【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据余弦函数随锐角的增大而减小，可得答案．【解答】解：由余弦函数随锐角的增大而减小，得cos27°＞cos63°，故答案为＞．【点评】本题考查了锐角三角函数的增加性，利用余弦函数随锐角的增大而减小是解题关键．12．关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数的表达式：y=x2﹣3x+1答案不唯一．【考点】二次函数的性质．【专题】开放型．【分析】与y轴的交点在x轴的上方即常数项大于0，据此求解．【解答】解：∵关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，∴k﹣2＞0，解得：k＞2，∴答案为：y=x2﹣3x+1答案不唯一．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解与y轴的交点在x轴的上方即常数项大于0．13．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是．【考点】圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠AED，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出cos∠ABC的值，即为cos∠AED的值．【解答】解：∵∠AED与∠ABC都对，∴∠AED=∠ABC，在Rt△ABC中，AB=2，AC=1，根据勾股定理得：BC=，则cos∠AED=cos∠ABC==．故答案为：【点评】此题考查了圆周角定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．14．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB= 90°．【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】由经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．【解答】解：∵∠AOB=90°，∴∠ACB=∠AOB=90°．故答案为：90°．【点评】此题考查了圆周角的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．15．课本上将绳的一端固定住，另一端系一支笔，将绳子绷直，用笔绕着另一端画一圈就是一个圆，于是我们定义：圆是由到一定点距离都等于定长的所有的点组成的图形．下面是一种画椭圆的方法：（1）在地平面上选两个点，钉上两个钉子；（2）测量两个钉子间距离；（3）选用大于两钉子间距离长度的绳子；（4）将绳子两端分别系在钉子上；（5）将绳子绷直，用笔在绷直的拐角地方划线；（6）将绳子绕一圈，椭圆就得到啦！（如图所示）根据这个过程请你给椭圆下一个定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹．【考点】圆的认识．【分析】根据椭圆的定义，可得答案．【解答】解：椭圆下一个定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹，故答案为：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹．【点评】本题考查了圆的认识，利用椭圆的画法获得有效信息是解题关键．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1）．B是以点B 为圆心，BA为半径的圆弧；O是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，C是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，A是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为“正方形的渐开线”，那么点A5的坐标是（6，0），点A2015的坐标是（﹣2015，1）．【考点】规律型：点的坐标．【分析】点A的坐标为（1，1），则BA1=1，A1坐标为（2，0），依此类推，A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），A5是以B为圆心，BA4为半径的圆弧与x轴的交点，则A5（6，0），2015÷4=503…3，A2015应与A3（﹣3，1）的坐标规律一样，故A2015（﹣2015，1）．【解答】解：∵点A的坐标为（1，1），四边形ABOC是正方形，BA1=1，∴A1坐标为（2，0），∵O是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，∴A2（0，﹣2），∵C是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，∴A3（﹣3，1），∵A是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，∴A4（1，5），依此类推，A5是以B为圆心，BA4为半径的圆弧与x轴的交点，则A5（6，0），A5（6，0）与A1（2，0）坐标规律相同，∵2015÷4=503…3，∴A2015应与A3（﹣3，1）的坐标规律一样，故A2015（﹣2015，1）．故答案为：（6，0），（﹣2015，1）．【点评】本题主要考查了点的坐标的变化规律和对“正方形的渐开线”的理解，发现规律，理解“正方形的渐开线”是解答此题的关键．三、解答题（第17～26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分.本题共72分）17．计算：sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入，然后合并运算即可．【解答】解：原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，一些特殊角的三角函数值是要求同学们熟练记忆的内容．18．在△ABC中，∠A=120°，AB=12，AC=6．求tanB的值．【考点】解直角三角形．【分析】过点C作CD⊥AB，根据∠A=120°，∠DAC=60°，由三角函数得出AD，CD，在Rt△BCD中，∠B的正切即可得出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∴∠A=120°，∴∠D AC=60°，∴cos60°=，sin60°=，∵AB=12，AC=6，∴AD=AC•cos60°=6×=3，CD=AC•sin60°=6×=3，在Rt△BCD中，tanB===．【点评】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的关键是把给出的这些三角形的条件放到直角三角形中，如果不是直角三角形就要通过添加辅助线来完成．19．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）该函数的顶点坐标是（2，﹣1），与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）；（2）在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；（3）根据图象回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3 ．【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可，再令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到与x轴的交点坐标；（2）根据二次函数与坐标轴的交点和顶点坐标作出图象即可；（3）根据函数图象写出y的取值范围即可．【解答】解：（1）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴顶点坐标为（2，﹣1），令y=0，则x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，所以，与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）；（2）如图所示；（3）0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．故答案为：（1）（2，﹣1），（1，0），（3，0）；（3）﹣1≤y≤3．【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键．20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；质量档次 1 2 ... x (10)日产量（件） 95 90 ... 100﹣5x (50)单件利润（万元） 6 8 ... 2x+4 (24)为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；（2）由（1）的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）由题意，得y=（100﹣5x）（2x+4），y=﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整数）；答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；（2）∵y=﹣10x2+180x+400，∴y=﹣10（x﹣9）2+1210．∵1≤x≤10的整数，∴x=9时，y最大=1210．答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元．【点评】本题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=CD，sin∠CBD=，求AD的长和tanA的值．【考点】解直角三角形；勾股定理．【分析】在Rt△DBC中利用三角函数即可求得CD的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长，则AD 即可求得，进而求得AC的长，然后利用三角函数的定义即可求解．【解答】解：∵∠C=90°，sin∠CBD=，DB=6，∴CD=DB•sin∠CBD=6×=4．∴AD=CD=×4=2．∵CB===2，AC=AD+CD=2+4=6，在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanA===．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．22．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值： =1.732， =1.414）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】设CF=x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，分别用CF表示AC、BC的长度，然后根据AC﹣BC=1200，求得x的值，用h﹣x即可求得最高海拔．【解答】解：设CF=x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，∵∠BAF=30°，∠CBF=45°，∴BC=CF=x，=tan30°，即AC=x，∵AC﹣BC=1200米，∴x﹣x=1200，解得：x=600（+1），则DF=h﹣x=2001﹣600（+1）≈362（米）．答：钓鱼岛的最高海拔高度约362米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形求出AC、BC 的长度，难度一般．23．我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆．不难理解，经过一个已知点A作圆，能作出无数个．回答下列问题：（1）经过两个已知点A，B作圆，能作出圆无数个个，圆心分布在线段AB的垂直平分线上；（2）如图，已知不共线的三点A，B，C，能作出圆 1 个，请你利用尺规作图，确定圆心O的可能的位置．（要求保留作图痕迹，不写作法）【考点】作图—应用与设计作图；圆的认识．【分析】（1）根据圆的定义，垂直平分线的性质即可得到答案．（2）画出线段AB、BC的垂直平分线的交点就是圆心点O．【解答】解：（1）经过两个已知点A，B作圆，能作出无数个圆个，圆心在线段AB的垂直平分线上．故答案分别为无数个、线段AB的垂直平分线上．（2）过不在同一直线上的三点可以确定一个圆．故答案为1．作线段AB的垂直平分线MN，作线段BC的垂直平分线EF，直线MN与直线EF的交点就是圆心点O的位置．（见下图）【点评】本题考查圆的有关性质，确定圆有两个要素①圆心②半径，通过训练此题可以培养动手能力．24．如图，AB是⊙O的直径，过点B作BM⊥AB，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA=DC，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）若DE=1，求圆O的半径．【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；圆周角定理．【分析】（1）由BM⊥AB，CD∥BM，得到CD⊥AB，而AB是⊙O的直径，根据垂径定理得到=，于是得到AD=AC，然后根据已知DA=DC，得出AD=AC=CD，即可证明△ACD是等边三角形；（2）连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性质得到BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为r，则ON=r，AN=DN=r，由于得到EN=1+r，BE=AE=，在Rt△ONE与Rt△BEO中，由勾股定理列方程即可求解．【解答】（1）证明：∵BM⊥AB，CD∥BM，∴AB⊥CD，∵AB是⊙O的直径，∴=，∴AD=AC，∵DA=DC，∴AD=AC=CD，∴△ACD是等边三角形；（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°．∵AD=AC，CD⊥AB，∴∠DAB=30°，∴BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为r，∴ON=r，AN=DN=r，∴EN=1+r，BE=AE=．在Rt△ONE与Rt△BEO中，OE2=ON2+NE2=OB2+BE2，即（r）2+（1+r）2=r2+（）2，解得r1=，r2=﹣（不合题意舍去）．故圆O的半径为．【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，过O作ON⊥AD于N，构造直角三角形是解题的关键．25．设函数y=（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]（k是常数）．（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；（2）根据图象，写出你发现的一条结论函数图象都经过点（1，0）和（﹣1，4）（答案不唯一）．【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】（1）把k=0代入函数解析式即可得到所求的函数解析式，根据函数解析式作出图象；（2）根据函数图象回答问题．【解答】解：（1）当k=0时，y=﹣（x﹣1）（x+3），所画函数图象如图所示：（2）根据图象知，函数图象都经过点（1，0）和（﹣1，4）故答案为：函数图象都经过点（1，0）和（﹣1，4）（答案不唯一）．故答案为：函数图象都经过点（1，0）和（﹣1，4）（答案不唯一）．【点评】本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意画出函数图象，利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．26．阅读下面材料：小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA边上的点，且AE=BC，BD=CE，BE与AD的交点为P，求∠APE的度数；小乔发现题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图2，过点B作BF∥AD且BF=AD，连接EF，AF，从而构造出△AEF与△CBE全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠APE的度数为45°．参考小乔同学思考问题的方法，解决问题：如图3，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，D、E分别为CB，CA上的点，且AE=BC，BD=，BE 与AD交于点P，在图3中画出符合题意的图形，并求出sin∠APE的值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）利用平行四边形的判定与性质得出AF=BD，进而得出△AEF≌△CBE（SAS），即可得出：∠APE的度数；（2）根据题意首先得出△AEF∽△CBE，进而得出tan∠FBE==，即可求出sin∠APE的值．【解答】解：（1）如图2，过点B作BF∥AD且BF=AD，连接EF，AF，∵BF∥AD且BF=AD，∴四边形AFBD是平行四边形，∴AF=BD，在△AEF和△CBE中∵，∴△AEF≌△CBE（SAS），∴EF=BE，∠AEF+∠CEB=90°，∴∠EBF=45°，∵AD∥BF，∴∠APE=45°；故答案为：45°；（2）如图3，过点B作FB∥AD且FB=AD，连接EF和AF，∴四边形AFBD是平行四边形，∠APE=∠FBE，AF=DB，∵AB是⊙O直径，∴∠C=90°，∴∠FAE=∠BCE=90°，∵CE=2BD，BC=2AE，∴CE=2AF，∴ ==2，∴△AEF∽△CBE，。

九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.剪纸是扬州的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（）A. B.C. D.2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AC=2，则sin A的值为（）A. B. C. D. 23.将抛物线y=4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A. B. C.D.4.如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A.B.C.D.5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=x2-2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A. 2B. 4C. 8D. 166.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A. 2B.C.D.7.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（-2，5）的对应点A′的坐标是（）A.B.C.D.8.某抛物线的顶点为（2，-1），与x轴相交于P、Q两点，若此抛物线通过（1，a）、（3，b）、（-1，c）、（-3，d）四点，则a、b、c、d中最大值是（）A. aB. bC. cD. d9.2（1）ac＜0；（2）抛物线顶点坐标为（1，5）；（3）3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根；（4）当-1＜x＜3时，ax2+（b-1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个10.二次函数y=2x2-8x+m满足以下条件：当-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（）A. 8B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.若0°＜α＜90°，，则sinα= ______ ．12.已知抛物线的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（-1，0），则它与x轴的另一个交点为______ ．13.长方体底面周长为50cm，高为10cm，则长方体体积y（cm3）关于底面的一条边长x（cm）的函数解析式是______ ，其中x的取值范围是______ ．14.将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA=2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为______ ．15.两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF=______cm．16.定义：直线y=ax+b（a≠0）称作抛物线y=ax2+bx（a≠0）的关联直线．根据定义回答以下问题：（1）已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）的关联直线为y=x+2，则该抛物线的顶点坐标为______ ；（2）当a=1时，请写出抛物线y=ax2+bx与其关联直线所共有的特征（写出一条即可）：______ ．三、计算题（本大题共3小题，共15.0分）17.计算：20160+（）-1-sin45°+tan60°．18.如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）19.已知：二次函数y=x2+bx-3的图象经过点A（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y=（x-h）2+k的形式．四、解答题（本大题共10小题，共57.0分）20.如图，△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，求tan C的值．21.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1，3），B（-4，0），C（0，0）（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．22.已知：如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AD=5，AB=3，求BC的长．23.某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？24.设二次函数y1=x2-4x+3的图象为C1，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象与C1关于y轴对称．（1）求二次函数y2=ax2+bx+c的解析式；（2）当-3＜x≤0时，直接写出y2的取值范围；（3）设二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为点A，与y轴的交点为点B，一次函数y3=kx+m（k，m为常数，k≠0）的图象经过A，B两点，当y2＜y3时，直接写出x的取值范围．25.如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，且满足∠EBD=70°，求∠AEB的度数．26.阅读材料，解答问题例：用图象法解一元二次不等式：x2-2x-3＞0．解：设y=x2-2x-3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3．∴由此得抛物线y=x2-2x-3的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x＜-1或x＞3时，y＞0．∴x2-2x-3＞0的解集是：x＜-1或x＞3．（1）观察图象1，直接写出一元二次不等式：x2-2x-3＜0的解集是______ ；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：-x2+4x-3＜0．27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m-1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．28.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你回答：图1中∠APB的度数等于______ ．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，PB=1，PD=，则∠APB 的度数等于______ ，正方形的边长为______ ；（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2，PB=1，PF=，则∠APB 的度数等于______ ，正六边形的边长为______ ．29.阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=-x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是中心对称图形，故错误；B、不是中心对称图形，故错误；C、是中心对称图形，故正确；D、不是中心对称图形，故错误；故选：C．根据中心对称图形的概念进行判断．本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】A【解析】解：在直角△ABC中，AB==，则sinA===．故选A．首先利用勾股定理求得AB的长度，然后利用三角函数的定义求解．本题考查三角函数的定义，理解定义是关键．3.【答案】B【解析】解：∵抛物线y=4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位的顶点坐标为（1，3），∴得到的抛物线的解析式为y=4（x-1）2+3．故选B．根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的变化确定函数解析式的变化是解题的关键，平移的规律：左加右减，上加下减．4.【答案】B【解析】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=，∴AD=4sin60°=2（m），在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=，∴AC==2（m）．故选B．先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可．本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=tanα．5.【答案】B【解析】解：过点C作CA⊥y，∵抛物线y==（x2-4x）=（x2-4x+4）-2=（x-2）2-2，∴顶点坐标为C（2，-2），对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4，故选：B．根据抛物线解析式计算出y=的顶点坐标，过点C作CA⊥y轴于点A，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积，然后求解即可．本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．7.【答案】B【解析】解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，∴AO=A′O．作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，∴∠ACO=∠A′C′O=90°．∵∠COC′=90°，∴∠AOA′-∠COA′=∠COC′-∠COA′，∴∠AOC=∠A′OC′．在△ACO和△A′C′O中，，∴△ACO≌△A′C′O（AAS），∴AC=A′C′，CO=C′O．∵A（-2，5），∴AC=2，CO=5，∴A′C′=2，OC′=5，∴A′（5，2）．由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O，∠AOA′=90°，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC=A′C′，CO=C′O，由A的坐标就可以求出结论．本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键．8.【答案】D【解析】解：由题意得，抛物线开口向上，即a＞0，∵抛物线的对称轴是x=2，当x＜2时，y随x的增大而减小，∴a＜c＜d，a=b，∴a、b、c、d中最大值是d，故选：D．根据抛物线的对称轴和开口方向进行判断即可．本题考查的是二次函数的性质，根据对称轴和开口方向确定二次函数的性质是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：∵根据二次函数的x与y的部分对应值图∴a-b+c=-1，c=3，a+b+c=5，∴a-b=-4，a+b=2，∴a=-1，b=3，∴ac=-3＜0，故（1）正确；∴函数解析式为：y=-x2+3x+3，即y=-（x-）2+，∴抛物线的顶点坐标为：（，），故（2）错误；∵方程-x2+2x+3=0，∴把x=3代入方程中得：-9+6+3=0，∵-x2+2x+5=-（x-1）2+6，∴令h=-（x-1）2+6，∴此函数图象开口向下，且当1-＜x＜1+时，h＞0，∵3＜1+，∴（4）是正确的；∴下列结论正确的有（1）（3）（4），故选：B．根据函数中的x与y的部分对应值表，可以求得abc的值然后在根据函数解析式及其图象即可判断（1）（2）（3）（4）的正确项．本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．10.【答案】D【解析】不如先通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D 选项带入其中，并根据二次函数对称周两侧图象增减性特点令x=-2时y值小于零和x=6时y值大于零去取舍各位合理．忘老师能够采纳．解：∵抛物线y=2x2-8x+m=2（x-2）2-8+m的对称轴为直线x=2，而抛物线在-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，∴m＜0，当m=-10时，则y=2x2-8x-10，令y=0，则2x2-8x-10=0，解得x1=-1，x2=5，则有当-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的上方；当m=-42时，则y=2x2-8x-42，2解得x1=-3，x2=7，则有当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的下方；当m=-24时，则y=2x2-8x-24，令y=0，则2x2-8x-24=0，解得x1=-2，x2=6，则有当-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方；故选：D．根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=2，通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D选项带入其中，并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理．本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11.【答案】【解析】解：如图在Rt△ACB中，∠C=90°，∠B=α，tanB==，设AC=k，BC=2k，由勾股定理得：AB=k，则sinα=sinB===，画出直角三角形，根据tanB==设AC=k，BC=2k，由勾股定理求出AB=k，代入sinα=sinB=求出即可．本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，主要考查学生的计算能力．12.【答案】（5，0）【解析】解：设它与x轴的另一个交点为（x，0），∵抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0），对称轴是x=2，∵抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等∴x==2，解得：x=5，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是：（5，0）．故答案为：（5，0）．根据抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，设另一个交点为（x，0），由抛物线的对称轴可得到关于x的方程，解得x的值即可．本题考查了求抛物线与x轴的交点问题，根据抛物线的对称轴可得到关于x 的方程，求出x的值是解题关键．13.【答案】y=-10x2+250x；0＜x＜25【解析】解：∵长方体底面周长为50cm，底面的一条边长x（cm），∴底面的另一条边长为：（25-x）cm，根据题意得出：y=x（25-x）×10=-10x2+250x（0＜x＜25）．故答案为：y=-10x2+250x，0＜x＜25．根据长方体的面积等于底面积乘以高这一计算方法列出函数关系式即可．本题考查了函数关系式及自变量的取值范围的知识，解题的关键是正确的表示出长方体的体积．14.【答案】（，-）解：∵三角板绕原点O顺时针旋转75°，∴旋转后OA与y轴夹角为45°，∵OA=2，∴OA′=2，∴点A′的横坐标为2×=，纵坐标为-2×=-，所以，点A′的坐标为（，-）．故答案为：（，-）．求出旋转后OA与y轴夹角为45°，然后求出点A′的横坐标与纵坐标，从而得解．本题考查了坐标与图形变化-旋转，准确识图求出旋转后OA与y轴的夹角为45°是解题的关键．15.【答案】2【解析】解：∵将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A 恰好落在边DE上，∴DC=AC，∠D=∠CAB，∴∠D=∠DAC，∵∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，∴∠D=∠CAB=60°，∴∠DCA=60°，∴∠ACF=30°，可得∠AFC=90°，∵AB=8cm，∴AC=4cm，∴FC=4cos30°=2（cm）．故答案为：2．利用旋转的性质得出DC=AC，∠D=∠CAB，再利用已知角度得出∠AFC=90°，再利用直角三角形的性质得出FC的长．此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，正确得出∠AFC的度数是解题关键．16.【答案】（-1，-1）；（1，1+b）解：（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）的关联直线为y=x+2，∴a=1，b=2，∴抛物线解析式为y=x2+2x=（x+1）2-1，∴抛物线顶点坐标为（-1，-1），故答案为：（-1，-1）；（2）当a=1时，抛物线解析式为y=x2+bx，则关联直线解析式为y=x+b，∴当x=1时，函数值都为1+b，∴抛物线及其关联直线都过点（1，1+b），故答案为：过点（1，1+b）．（1）由关联直线的定义可求得a和b的值，可求得抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；（2）由关联直线的定义可求得关联直线解析式，可写出其共有特征．本题主要考查二次函数的性质，理解好题目中所给关联直线的解析式与抛物线解析式之间的关系是解题的关键．17.【答案】解：原式=1+2-1+=2+．【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.【答案】解：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABH中，∵sin∠BAH=，∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m；（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，∴CE=200•sin45°=100≈141.4，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABH中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．本题考查了解直角三角形的应用-坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i═tanα．19.【答案】解：（1）∵二次函的图象经过点A（2，5），∴4a+2b-3=5，解得b=2，∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3；（2）令y=0，则x2+2x-3=0，解得x1=-3，x2=1，∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为（-3，0）和（1，0）；（3）y=x2+2x-3=（x+1）2-4．【解析】（1）直接把A点坐标代入y=x2+bx-3可求出b，从而确定二次函数的解析式；（2）根据抛物线与x轴的交点解方程x2+2x-3=0，即可得到二次函数的图象与x轴的交点坐标；（3）利用配方法求解．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．20.【答案】解：∵△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AB=2BD，∴BD=6，∴AD=，∴tan C=．即tan C的值是．【解析】根据在△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，可以求得BD、AD、CD的长，从而可以求得tanC的值．本题考查解直角三角形，解题的关键是计算出题目中各边的长，找出所求问题需要的条件．21.【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求做的三角形；（2）如图所示，△A2B2O为所求做的三角形；（3）∵A2坐标为（3，1），A3坐标为（4，-4），∴A2A3所在直线的解析式为：y=-5x+16，令y=0，则x=，∴P点的坐标（，0）．【解析】（1）分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接；（2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；（3）利用最短路径问题解决，首先作A1点关于x轴的对称点A3，再连接A2A3与x轴的交点即为所求．本题考查了利用旋转和平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．22.【答案】解：延长DC，AB交于点E，在△DAE中，∵∠A=90°，∠D=60°，AD=5，∴AE=AD•tan∠ADE=5×=15，∴BE=AE-AB=15-3=12，在直角三角形BCE中，∴BC=BE=6．【解析】延长DC，AB交于点E，求出AE的长，进而求出BE的长，利用30°角对应的直角边等于斜边的一半即可得到答案．此题考查了解直角三角形，以及含30°直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．23.【答案】解：（1）根据题意得：y=（30+x-20）（230-10x）=-10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；（2）当y=2520时，得-10x2+130x+2300=2520，解得x1=2，x2=11（不合题意，舍去）当x=2时，30+x=32（元）答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．（3）根据题意得：y=-10x2+130x+2300=-10（x-6.5）2+2722.5，∵a=-10＜0，∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5，∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x=6时，30+x=36，y=2720（元），当x=7时，30+x=37，y=2720（元），答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．【解析】（1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x-20）元，月销售量为（230-10x），然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式．（2）把y=2520时代入y=-10x2+130x+2300中，求出x的值即可．（3）把y=-10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x=6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，分别计算出当x=6和x=7时y的值即可．本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方24.【答案】解：（1）二次函数y1=x2-4x+3=（x-2）2-1图象的顶点（2，-1），关于y轴的对称点坐标为（-2，-1）所以，所求的二次函数的解析式为y2=（x+2）2-1，即y2=x2+4x+3；（2）如图，-3＜x≤0时，y2的取值范围为：-1≤y2≤3；（3）y2＜y3时，-2＜x＜0．【解析】（1）求出抛物线C1的顶点坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出抛物线C2的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可；（2）作出函数图象，然后根据图形写出y2的取值范围即可；（3）根据函数图象写出抛物线C2在直线AB的下方部分的x的取值范围即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化更简便．25.【答案】解：∵知△ABC与△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=∠DEC=∠EDC=60°．∴∠ACB-∠BCE=∠DCE-∠BCE，∴∠ACE=∠BCD．在△AEC和△BDC中，∴△AEC≌△BDC（SAS），∴∠AEC=∠BDC=∠BDE+60°．∵∠AEB=360°-∠AEC-∠DEC-∠BED，=360°-60°-∠BDE-60°-∠BED，=240°-（∠BDE+∠BED），=240°-（180°-∠DBE）．∵∠DBE=70°，∴∠AEB=240°-180°+70°=130°．答：∠AEB=130°．【解析】根据等边三角形的性质就可以得出△AEC≌△BDC，就可以得出∠AEC=∠BDC，再由周角的定义就可以得出∠AEB的值．本题考查了等边三角形的性质的运用，周角的定义的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．26.【答案】-1＜x＜3【解析】解：（1）观察函数图象可知：当-1＜x＜3时，y＜0．∴x2-2x-3＜0的解集是：-1＜x＜3，故答案为：-1＜x＜3；（2）设y=-x2+4x-3，则y是x的二次函数．∵a=-1＜0∴抛物线开口向下，又∵当y=0时，-x2+4x-3=0，解得x1=1，x2=3，∴由此得抛物线y═-x2+4x-3的大致图象如图2所示，观察函数图象可知：当x＜1或x＞3时，y＜0，∴-x2+4x-3＜0的解集是：x＜1或x＞3．（1）根据函数图形回答即可；（2）先判断出抛物线的开口方向，然后求得抛物线与x轴交点坐标，最后根据函数图象进行判断即可．本题主要考查的是二次函数与不等式组，利用函数图象确定出不等式组的解集是解题的关键．27.【答案】解：（1）∵y=mx2-2mx+m-1=m（x-1）2-1，∴抛物线顶点坐标（1，-1）．（2）①∵m=1，∴抛物线为y=x2-2x，令y=0，得x=0或2，不妨设A（0，0），B（2，0），∴线段AB上整点的个数为3个．②如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，∴点A在（-1，0）与（-2，0）之间（包括（-1，0）），当抛物线经过（-1，0）时，m=，当抛物线经过点（-2，0）时，m=，∴m的取值范围为＜m≤．【解析】（1）利用配方法即可解决问题．（2）①m=1代入抛物线解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题．②根据题意判断出点A的位置，利用待定系数法确定m的范围．本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．28.【答案】150°；135°；；120°；【解析】解：阅读材料：把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，由旋转的性质，P′A=PA=3，P′D=PB=4，∠PAP′=60°，∴△APP′是等边三角形，∴PP′=PA=3，∠AP′P=60°，∵PP′2+P′C2=32+42=25，PC2=52=25，∴PP′2+P′C2=PC2，∴∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；故∠APB=∠AP′C=150°；（1）如图3，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′，由旋转的性质，P′A=PA=2，P′D=PB=1，∠PAP′=90°，∴△APP′是等腰直角三角形，∴PP′=PA=×2=4，∠AP′P=45°，∵PP′2+P′D2=42+12=17，PD2=2=17，∴PP′2+P′D2=PD2，∴∠PP′D=90°，∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D=45°+90°=135°，故，∠APB=∠AP′D=135°，∵∠APB+∠APP′=135°+45°=180°，∴点P′、P、B三点共线，过点A作AE⊥PP′于E，则AE=PE=PP′=×4=2，∴BE=PE+PB=2+1=3，在Rt△ABE中，AB===；（2）如图4，∵正六边形的内角为×（6-2）•180°=120°，∴把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AFP′，由旋转的性质，P′A=PA=2，P′F=PB=1，∠PAP′=120°，∴∠APP′=∠AP′P=（180°-120°）=30°，过点A作AM⊥PP′于M，设PP′与AF相交于N，则AM=PA=×2=1，P′M=PM===，∴PP′=2PM=2，∵PP′2+P′F2=（2）2+12=13，PF2=2=13，∴PP′2+P′F2=PF2，∴∠PP′F=90°，∴∠AP′F=∠AP′P+∠PP′F=30°+90°=120°，故，∠APB=∠AP′F=120°，∵P′F=AM=1，∵△AMN和△FP′N中，，∴△AMN≌△FP′N（AAS），∴AN=FN，P′N=MN=P′M=，在Rt△AMN中，AN===，∴AF=2AN=2×=．故答案为：150°；（1）135°，；（2）120°，．阅读材料：把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，根据旋转的性质可得P′A=PA，P′C=PB，∠PAP′=60°，然后求出△APP′是等边三角形，根据等边三角形的性质求出PP′=PA=3，∠AP′P=60°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′C=90°，然后求出∠AP′C，即为∠APB的度数；（1）把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′，根据旋转的性质可得P′A=PA，P′D=PB，∠PAP′=90°，然后判断出△APP′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出PP′，∠AP′P=45°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′D=90°，然后求出∠AP′D，即为∠APB的度数；再求出点P′、P、B三点共线，过点A作AE⊥PP′于E，根据等腰直角三角形的性质求出AE=PE=PP′，然后求出BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理列式求出AB即可；（2）把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AFP′，根据旋转的性质可得P′A=PA，P′F=PB，∠PAP′=120°，然后求出△APP′是底角为30°的等腰三角形，过点A作AM⊥PP′于M，设PP′与AF相交于N，求出AM=1，再求出PP′，∠AP′P=30°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′F=90°，然后求出∠AP′F，即为∠APB的度数；根据P′F、AM的长度得到P′F=AM，利用“角角边”证明△AMN 和△FP′N全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=FN，P′N=MN，然后求出MN，在Rt△AMN中，利用勾股定理列式求出AN，然后求出AF即可．本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，（1）（2）两问求多边形的边长有一定的难度，作辅助线构造出直角三角形与全等三角形是解题的关键．29.【答案】解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n-m，y=-x+m+n；（2）点D有一条特征线是y=x+1，∴n-m=1，∴n=m+1∵抛物线解析式为，∴y=（x-m）2+m+1，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴（2m-m）2+n=2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3；∴D（2，3），∴抛物线解析式为y=（x-2）2+3（3）如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时，根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴抛物线需要向下平移的距离=3-=．如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，设A′（p，3），则OA′=OA=4，OE=3，EA′==，∴A′F=4-，设P（4，c）（c＞0），，在Rt△A′FP中，（4-）2+（3-c）2=c2，∴c=，∴P（4，）∴直线OP解析式为y=x，∴N（2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3-=，即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．【解析】（1）根据特征线直接求出点D的特征线；（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，特征线的理解，解本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标．。

专题二：三大函数的大小关系问题学 习 目 标： 1. 二次函数与一次函数，反比例函数之间的联系真 题 汇 编：第一部分 选择题（2016-2017北京西城实验中学初三上期中）已知二次函数221--=x x y 和一次函数12+=x y 的两个交点分别为A (-1，0)，B (3，4)，当21y y >时，自变量x 的取值范围是（ ） A ．31>-<x x 或 B ．31<<-x C ．1-<x D ．3>x【方法总结】第二部分（填空题）(2013-2014西城）如图，是二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 和一次函数y 2＝mx ＋n 的图象，观察图象写出y 2>y 1时，x 的取值范围__________．（2016-2017北京北京师范大学附属实验中学初三上期中）15.．已知二次函数 (a ≠ 0) 与一次函数(k ≠ 0)的图象相交于点A (-2,4)、B (8, 2)(如图所示), 则能使y 1>y 2成立的x 的取值范围是______【方法总结】第三部分（解答题）（2016-2017北京四十四中初三上期中）. 如图，抛物线c bx ax y ++=2经过A （-4，0）、B （1，0）、C （0，3）三点，直线 y=mx+n 经过A （-4，0）、C （0，3）两点.（1）写出方程02=++c bx ax 的解；. （2）若c bx ax ++2＞mx+n ，写出x 的取值范围.【方法总结】（2015-2016年北京市第三十五中学）已知：抛物线y =22(1)2(0)ax a x a a --+->． （1）求证：抛物线与x 轴有两个交点；（2）设抛物线与x 轴有两个交点的横坐标分别为1x ，2x （其中1x ＞2x ）．若y 是关于a 的函数，且21y ax x =+，求这个函数的表达式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使231y a ≤-+，则自变量a 的取值范围为．21y ax bx c =++2y kx m =+备用图【方法总结】（2015-2016延庆县中学第三协作区）已知二次函数y 1=ax 2＋bx －3的图象经过点A （2，-3），B （-1,0），与y 轴交于点C ，与x 轴另一交点交于点D .（1）求二次函数的表达式； （2）求点C 、点D 的坐标； （3）画出二次函数的图像。