2017-2018学年度第一学期高三港澳台第一次模拟考试数学(一)

2017-2018 学年度咼三年级第一次模拟考试文科数学试卷一、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的A. 2 _2iB. 2 2iC. _2 _ 2 iD. -2 2i2. 已知命题p : -i n 三N , 3n .2018，则一p 为( )A. —n. N , 3n £；20 18B . —n^N , 3n .2018C.n N, 3n ^2 018 D. -I n 三 N , 3“ ：：： 2 01 8f1~]3. 设集合 M ={x|x —x,0} , N = x| 1 ，则是()IxJA. M ? NB. N ? MC. M =ND. M U N =R4.某校高中三个年级人数饼图如图所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本容量为（边过点 P (1, -2)，则 sin 2 v = ()3 3 4A.B .-C .—D5556.等腰直角三角形 ABC 中，A =90、，该三角形分别绕 AB , BC 所在直线旋转，则2个几 何体的体积之比为（1.2(1 —i)5.以角v 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系 xOy ,若角二终2A. 向右平移生个单位长度2B. 向右平移二个单位长度4C. 向左平移二个单位长度2D. 向左平移二个单位长度4B .求 135 - ... - (2 n - 1)C.求12 - 22・32亠 亠nA .1 :、、.、C7. 已知a =45c A. a ::: c ::.aC.b :::c ::8.为了得到yIx_可yD . 2 :1该程序所能实现的功能是 （）sin 2x •丄的图象（） I 3丿设计的程序框图,210.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（D.求12 ■■■■■ (n -1)A. 5 4、、2B. 9C. 6 5、, 2D. 2 3 4 5311. 已知P为抛物线亍二x上异于原点0的点，PQ _ x轴，垂足为Q ,过PQ的中点作x轴一P Q的平行线交抛物线于点M，直线QM交y轴于点N，则 ----------- =()N O2 3A. B. 1C. — D. 23 212. 已知函数f (x) =x -2xcosx，则下列关于f(x)的表述正确的是( )A. f (x)的图象关于y轴对称 B . f (x)的最小值为-1C. f (x)有4个零点 D . f (x)有无数个极值点二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知 a =(_1,1) , b =(1, _2)，贝U (a 2b) a =.x - y _ 0I14. 设x , y满足约束条件x・2y_3_0，则z = 2x 3 y的最小值是.x - 2 y -1 乞02 2x y15. 已知双曲线C : 1 (m .0)，则C的离心率的取值范围是.1 亠m 1 —mc a b16. 在八ABC中，角A , B , C的对边分别为a, b, c,若S ABC，贝V 的最大4 b a值是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)、(23)题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共60分.17.已知数列｛ a n ｝是以1为首项的等差数列，数列｛X ｝是以q （q =1）为公比的等比数列（1）求｛a n ｝和｛b n ｝的通项公式;天进货当天销售•如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失 3元.根据以往的销售情况，按 ［0,100），［1 00,200），［200,300），［3 00,400）， ［400,500］进行分组,得到如图所示的频率分布直方图（1） 根据频率分布直方图计算该种鲜鱼日需求量的平均数 X （同一组中的数据用该组区间中 点值代表）；（2） 该经销商某天购进了 300公斤这种鲜鱼，假设当天的需求量为 X 公斤（0乞X 空500），利 润为Y 元.求Y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润 Y 不小于700元的概率•19.如图，在三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中，平面 A ’B ’C _平面 AA 1C 1C ，乙BAC =90-（2） 若.'^1 B 1C 是边长为2的等边三角形，求点 B 1到平面ABC 的距离.(2)若 S 、= a 1b n 6"丄亠 亠％丄b 2-， 求S n .18.某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤 20元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当2 220.已知椭圆-:X2 - y2=1 （a b - 0）的左焦点为F，上顶点为A，长轴长为2 6，B为a b（1）若椭圆:的方程；（2）若C为椭圆:上一点，满足AC//BM , AMC=6 0；，求m的值.x 121. 已知函数 f （x）% ，g （x） = e* " .. .. In x —a .x（1）求f （x）的最大值；（2）若曲线y=g（x）与x轴相切，求a的值.（二）选考题：共10分•请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分•22. 选修4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆6 : （x-1）2 - / =1，圆C 2 : （X-3）2 ・y2=9.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求6， C2的极坐标方程；「X =t CO S 0（（2）设曲线C3 : （t为参数且t式0），C3与圆6，C2分别交于A，B，求S少cy =t sin a的最大值.23. 选修4-5 :不等式选讲设函数f（x）=|x+1| — x的最大值为m.（1）求m的值；2 2（2）若正实数a，b满足a • b = m，求—一-——的最小值.b 十1 a +1②一①可得，S= 2n +1 + (2n + 2n —1 + ・・・ +=2n +2— 2n — 4.(18) 解:(I) x = 50 x 0.001 O X 100 + 150X 0.002 0x 100 + 250 x 0.003 0 x 100+ 350 x 0.002 5x 100+ 450 x 0.001 5 x 100 = 265 .…4 分(H)当日需求量不低于 300公斤时，利润 Y = (20 — 15) x 300 = 1 500元；当日需求量不足 300公斤时，利润 Y = (20 — 15) x — (300 — x ) x 3 = 8x — 900元；故 Y =°x- 900, 0< X V 300,…8 分故 丫= 1 500, 300W x < 500. 分由 Y 》700 得，200W x < 500, 所以 F ( Y > 700) = P (200 w x w 500)=0.003 0x 100 + 0.002 5x 100 + 0.001 5x 100=0.7 .(19) 解:参考答案•选择题:A 卷: DACCD BDBCA CDB 卷: AACCD DBBCA CD •填空题： (13)— 4 (14)— 5(15) (1 ,2)(16) 2 2三•解答题: (17) 解:(I)设｛a n ｝的公差为 d , ｛6｝的首项为 b,贝 U a n = 1 + (n — 1) d , b n = bg n —1 •卩 + d= b,依题意可得孑2d = b 1(q — 1),2K1 + d ) bq = bq ,d =1,解得b 1= 2,q = 2,所以 a n = n , b n = 2.S= 1X 2n+ 2X 2n —1+ - +1n x 2 ,所以 n +12S = 1 x 2.. 2+ 2x 2 +•••+ n x 2 ,2 12) — n x 2…12分…12分(I)过点B作AC的垂线，垂足为0,由平面 ABC 丄平面 AACC,平面 ABC n 平面 AACC = AC 得BO ±平面AACQ,又AC 平面AACC 得B0丄AC. 由/BAC= 90°, AB// AB ，得 AB 丄 AC 又 BOd A 1B 1 = B i ,得 AC 丄平面 A i B i C. 又CA 平面ABC,得ACLCA .又 AML BM , AC// BM 所以 k BM = k AC =所以AB //平面ABC所以B 到平面ABC 的距离等于 A 到平面ABC 的距离，设其为 d , 由 Vq -AB = V B-AA 1 C 得，1 1 1 1 X-X ACX ABX d = ；x ：x ACX A C x B O,3 23 2所以 d = B 0= <;3.即点B 到平面ABC 的距离为，3. (20) 解：(I)依题意得 A (0 , b ) , F ( — c , 0)，当 ABL l 时，B ( — 3, b ),,r b b 2 2由 AF 丄 BF 得 k AF • k BF = • =— 1，又 b + c = 6.c — 3 + c解得 c = 2, b = ,2.2 2所以，椭圆r 的方程为x 6+2 =1.(n)由(I)得A (0 ,寸2)，所以 k AM =—…7分m厂所以直线AC 的方程为y =(^+羽,2 2m xv — 12my = —x + 订2与—+ — = 1 联立得(2 + 3m )x + 12mx= 0,所以 x c = ?十 §m ，—12m 乔（叶0），在直角△ AM （中，由/ AMC 60° 得，|AC = ,3|AM ，整理得：（，3m+ 2） 2= 0, 解得m=—晋.…10分…12分当X V 1时，f (x ) > 0, f ( x )单调递增;当X > 1时，f (X )V 0 , f ( x )单调递减,1 故x = 1时，f (X )取得最大值f (1) = e . e ,,, x —1 1 1(n)因为 g (x ) = e + -2— x — 1,X X 设切点为(t , 0)，则 g (t ) = 0,且 g (t ) = 0,t — 1 1 1 t —1 1即 e + 严一 -—1 = 0, e — t ■一 In t — t + a = 0,1 t 一!所以 a = - + In t +1 — e .人 X —1 1 1令 h ( x ) = e + 2— — 1, x x1 X 1 x — !由(I )得f ( X )<e ，所以g w e ，即e >x ，等号当且仅当x = 1时成立,21 1 (X — 1) (X + 1)所以h (x ) >x + T — - — 1 = - >0,等号当且仅当 x = 1时成立, X X X故 a = 1.(22)解:依题意得 I AB = 6cos a — 2cos C 2(3 , 0)到直线 AB 的距离 d = 3|sin a | ,1(21)解:1 — x(X )二丁所以当且仅当 x = 1 时，h ( x ) = 0, 所以t = 1.…11分 …12分 C 1：cos 0 , y = p sin 0 2 . 2 一 -2 2 2.2 p cos 0 + p sin 0 — 2 p cos 可得,+ 1= 1，所以2cosG: 2 2 2.2 p cos 0 + p sin 0 — 6 p cos + 9= 9，所以p = 6cos a = 4COS a ,所以S\ABC>= x d x | AB = 3|sin 2 a | ,故当a=±丁时，&AB(2取得最大值3. …10分4(23)解：丁一1, X W一1,(I) f (x) = |x + 1| —| x| = 2X + 1, —1 v X V 1,、1, X> 1,由f(x)的单调性可知，当x> 1时，f(x)取得最大值1.所以m= 1. …4分（n ）由（i ）可知， a + b = 1, bh +吕=3（bh +h b +1）+（a +1）] 2 . 2 . 1 22 a （a +1） b （b +1） =-[a + b ++] 3 b +1=1（a + b ）2 1 a = b = g 时取等号.b 21 —-的最小值为 a +1 3 > 1（a2 + b 2 + 2a （a + 1）b （b +1） b + 1 a +1 ） a + 1 当且仅当 …10分。

2018—2018年高三第一次模拟考试 数学试题参考解答及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．第（14）小题的第一个空2分、第二个空3分． （11）0.82 （12）3（13）320 （14）030 三、解答题（15）本小题主要考查等比数列的概念、通项公式及前n 项和公式等基本知识，考查运算求解能力．满分12分．解：由已知，得51113162,(13)242,13n a a -⎧⋅=⎪⎨-=⎪-⎩①②由①得 181162a =，解得 12a =． …9分将12a =代入②得()21324213n=-－，即 3243n=，解得 n ＝5．∴ 数列{}n a 的首项12a =，项数n ＝5． …12分 （16）本小题主要考查三角函数的图象和性质等基本知识以及利用三角公式进行恒等变换的技能，考查运算求解能力．满分14分．解：（Ⅰ）()f x ＝22sin 2cos sin x x x +-＝sin 2cos 2x x +…3分sin 2cos 222x x ⎫+⎪⎪⎭sin 2cos cos 2sin44x x ππ⎫+⎪⎭)4x π+． …7分（Ⅱ）列表如下：…3分…6分…14分（17）本小题主要考查空间线面关系，考查空间想像能力和推理论证能力．满分14分．证明：（Ⅰ）∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC．…2分∵C1C⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴BD⊥C1C．∵AC ⊂平面A1ACC1，C1C⊂平面A1ACC1，且AC∩C1C＝C，∴BD⊥平面A1ACC1．…5分∵BD⊂平面A1BD，∴平面1A BD⊥平面11A ACC．…7分（Ⅱ）连B1C．…9分在△1A BD中，∵O是BD的中点，M是BA1的中点，∴MO∥A1D．…10分∵A1 B1∥DC，且A1 B1＝DC，∴四边形A1 DC B1为平行四边形．∴ A 1D ∥B 1C ． …12分 ∴ MO ∥B 1C ， 且B 1C ⊂平面11B BCC ，MO ⊄平面11B BCC ，∴ MO //平面11B BCC ． …14分说明：直线在平面内，既可用符号“”表示，也可用符号“⊂”表示，而且应特别让学生知道后一种表示． （18）本小题主要考查运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<-≤<=时当时当时当50002000,1252032000500,251015000,201)(x x x x x x x f ……………6 分（2）∵ 17516525<<，∴ 老李2018年12月份的应纳税金额在500~2000元之间由16525101=-x ，得1900=x ， ……………………9分∴ 老李12月份的工资总收入为3500元，∴ 老李2018年1月份的工资总收入为4200%)201(3500=+⋅（元），应纳税金额为260016004200=-=x （元）， …………11分 ∴ 2651252600203)2600(=-⋅=f （元），即老李2018年1月份应缴纳个人所得税265元（12分） （19）本小题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基本知识，考查综合运用数学知识分析和 解决问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）依题意，可设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，且a 、b 满足方程组()3330,2231 1.3a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪⨯-=-⎪+⎩由此解得 0a b ==． …5分 又因为点P (1,1)在圆C 上，所以()()()()222221110102r a b =-+-=+++=．故圆C 的方程为222x y +=． …7分 （Ⅱ）由题意可知，直线PA 和直线PB 的斜率存在且互为相反数，故可设PA 所在的直线方程为1(1)y k x -=-，PB 所在的直线方程为1(1)y k x -=--．由221(1),2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩ 消去y ，并整理得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--=． ① …10分 设()11,A x y ，又已知P (1,1)，则1x 、1为方程①的两相异实数根，由根与系数的关系得()2121211k x k --=+，即212211k k x k --=+．同理，若设点B 22(,)x y ，则可得222211k k x k +-=+． …12分于是 12121212(1)(1)AB y y k x k x k x x x x --+-==--＝1212()2k x x k x x +--=1． 而直线OP 的斜率也是1，且两直线不重合，因此，直线OP 与AB 平行． …14分 （20）本小题主要考查函数、方程、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析和解决问题的能力．满分14 分．解：（Ⅰ）当0a =时，1()2f x x c =-+．由(1)0f =得：102c -+=，即12c =，∴ 11()22f x x =-+．显然x ＞1时，()f x ＜0，这与条件②相矛盾，不合题意． ∴ 0a ≠，函数21()2f x ax x c =-+是二次函数． …2分 由于对一切x ∈R ，都有()0f x ≥，于是由二次函数的性质可得20140.2a ac >⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，－－ 即010.(*)16a ac >⎧⎪⎨≥>⎪⎩，…4分 由(1)0f =得 12a c +=，即12c a =-，代入（*）得 11216a a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭． 整理得 2110216a a -+≤，即2104a ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭． 而2104a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，∴ 14a =．将14a =代入（*）得，14c =， ∴ 14a c ==． …7分另解：（Ⅰ）当0a =时，1()2f x x c =-+． 由(1)0f =得 102c -+=，即12c =， ∴ 11()22f x x =-+．显然x ＞1时，()f x ＜0，这与条件②相矛盾，∴ 0a ≠，因而函数21()2f x ax x c =-+是二次函数． …2分 由于对一切x ∈R ，都有()0f x ≥，于是由二次函数的性质可得20140.2a ac >⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，－－ 即010.16a ac >⎧⎪⎨≥>⎪⎩， …4分由此可知 a c >>0，0，∴ 22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．由(1)0f =，得 12a c +=，代入上式得 116ac ≤． 但前面已推得 116ac ≥， ∴ 116ac =． 由 1,161,2ac a c ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得 14a c ==． …7分（Ⅱ）∵ 14a c ==， ∴ 2111()424f x x x =-+． ∴ 2111()()424g x f x m x x m x ⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭． 该函数图象开口向上，且对称轴为21x m =+． …8分 假设存在实数m 使函数2111()()424g x f x mx x m x ⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭在区间[],2m m +上有最小值－5． ① 当m ＜－1时，21m +＜m ，函数()g x 在区间[],2m m +上是递增的， ∴ ()g m ＝－5，即21115424m m m ⎛⎫-++=- ⎪⎝⎭， 解得 m ＝－3或m ＝73． ∵ 73＞－1， ∴ m ＝73舍去． …10分② 当－1≤m ＜1时，m ≤21m +＜m ＋1，函数()g x 在区间[],21m m +上是递减的，而在区间[]21,2m m ++上是递增的，∴ ()21g m +＝－5，即()()211121215424m m m ⎛⎫+-+++=- ⎪⎝⎭．解得 m ＝12--m ＝12-+均应舍去． …12分 ③当m ≥1时，21m +≥m ＋2，函数()g x 在区间[],2m m +上是递减的， ∴ ()2g m +＝－5，即()()2111225424m m m ⎛⎫+-+++=- ⎪⎝⎭．解得 m ＝1--m ＝1-+m ＝1--应舍去．综上可得，当m ＝－3或m ＝1-+()()g x f x mx =-在区间[],2m m +上有最小值－5． …14分。

12017-2018学年度第一学期高三港澳台12月月考 数学试卷（满分150分，考试用时120分钟）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1、设平面向量(1,2),(3,2)a b =-=-，则2+a b = （ ）（A ） (1,0) （B ）(1,2) （C ） (2,4) （D ）(2,2)2、设集合{}|24xA x =≤，集合{}|lg(1)B x y x ==-，则A B 等于( )（A ）(1,2)（B ） [)1,2 （C ）(]1,2 （D ）[]1,23、5)221(y x -的展开式中32y x 的系数是（ ）（A ）20- （B ） 5- （C ）5 （D ）20 4、设i为虚数单位，已知1211,12i z z i -==-++，则|z 1| ，|z 2| 的大小关系是( ) （A ）|z 1| <|z 2| （B ）|z 1| =|z 2| （C ）|z 1| >|z 2| （D ）无法比较5、函数cos()23x y π=+的图像按向量(,0)3a π=- 平移后，所得图像对应的函数为（ ）（A ）cos 2x y = （B ）cos 2x y =- （C ）sin 2x y = （D ）sin 2xy =-222624:1y y x C x C b=--=、设直线与双曲线的一条渐近线平行，则的离心率为（ ）（A（B（C ）3 （D ）57、六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A.192B.216C.240D.2888、投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312 9、函数()()sin cos 1sin cos 1y x x x x =+-的最大值为（ ）（A ） 1 （B ）34 （C ） 34- （D ） 1- 10、正四棱锥的各棱长均为1，则它的体积是（ ）61.62.63.33.D C B A 11、椭圆的中心为点(1,0),E -它的一个焦点为(3,0),F -相应于焦点F 的准线方程为7.2x =-则这个椭圆的方程是（ ）A 、222(1)21213x y -+= B 、222(1)21213x y ++=C 、22(1)15x y -+= D 、22(1)15x y ++= 12、已知函数f (x )的定义域为R.当x<0时,f (x )=x 3-1;当-1≤x ≤1时,f (-x )=-f (x ); 当x>12时,f 1x 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭=f 1x 2⎛⎫- ⎪⎝⎭,则f (6)= ( )A. 2B. 0C. 1D.-2二、填空题 ：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.） 13、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和, 若a 1+a 3+a 5=6, 则S 5=________ 14、点(31)，-关于直线0x y +=的对称点为_____________ 15、已知点P (3, 1, 5)及直线L :212111-=-+=-z y x 都在平面α上，则平面α的平面方程式是____________.16、用2x x +除多项式53343x x x ++-得到的余式为17、在平面直角坐标系中，O 为原点，)0,1(-A ，)3,0(B ，)0,3(C . 动点D 满足1||=，则||++的最大值是________.18、一公司计划从10名员工(6男4女)中选出一个5人小组参加某项目的研发,需要确定组长1人,副组长1人及组员3人,且组长、副组长中至少有一人为女性,则共有__________种不同的选取方法(用数字作答).22017-2018学年度第一学期高三港澳台12月月考数学答题卡（时间：120分钟 满分：150分）一、 单项选择题，每题5分，共60分二、填空题，每题5分，共30分13、______________ 14、______________15、______________ 16、______________ 17、______________ 18、______________三、解答题：本大题共4小题；每小题15分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

港澳台2017届高三数学上学期入学考试试题一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将答案填在题后括号内。

1.若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比为（ ）A ．ππ221+B ．ππ41+C ．ππ21+ D ．ππ21+ 2。

若0a b >>，则下列不等式不成立．．．的是（ ) A ．11a b < B ．||||a b > C ．ab b a 2>+ D ．b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛21213。

已知函数()()()246060x x x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩,则满足()()1f x f >的x 取值范围是（ ） A.()()3 13 -+∞，，B. ()()3 12 -+∞，，C. ()()1 13 -+∞，， D 。

()() 31 3-∞-，， 4．圆0204222=-+-+y x y x 截直线0125=+-c y x 所得弦长为8,则C 的值为（ )A 10B -68C 12D 10或-685．已知ΔABC 和点M 满足错误!＋错误!＋错误!＝0.若存在实数m 使得错误!＋错误!＝m 错误!成立，则m ＝( ）A ．2B ．3C ．4D ．5 6．如果方程x 2－4ax +3a 2=0的一根小于1，另一根大于1，那么实数a 的取值范围是（ ）A 113a << B 1a > C 13a < D 1a =7．将x y cos =的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，然后再将图象沿x 轴负方向平移4π个单位，则所得图象的解析式为（ ） （A)x y sin = （B ）x y 2sin -= （C)cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （D)cos 24xy π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8．数列a n ＝错误!，其前n 项之和为错误!,则在平面直角坐标系中，直线（n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为 （ ） A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．99。

2017年中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试数学答案解析一、1.【答案】D【点评】考查并集的概念、集合的简单运算，属于简单题。

【解析】并集就是所有可能的元素放到一起，重合的只写一次，此题已经给定了集合A 、B ,直接可得4UB ={1,2J,4}。

2.【答案]A【点评】考查两角的和差三角函数公式，特殊三角函数值，属千简单题。

【解析】直接套公式即得，cos20°cos25°-sin20°sin25°=c o s (2o 0.+i5°)=co s45°= -..{i, 23.【答案】C【点评】考查向量的夹角公式，向量的坐标运算，属于简单题。

【解析】直接套公式cos(a,E)吵.fi{-句+l•l1 =··, —= 摩1声产＝－－，故夹角为120°024.【答案】D【点评）考查复数的简单运算，属千简单题。

【解析】直接套公式得（妇)2 = 3+2../i;-1上乌2 42 25.【答案】A【点评】考查等差数列的通项公式和求和公式，解不等式，属千简单题。

【解析】直接套公式等差数列的前n 项和公式，S 52: S4 2: S 6 <=> 5a i + 10d�:� 屈+6d 2 6a 1 +15d得20+1Od216+ 6d 2 24 + 15d , 解得－区d�-...;..:8 9或s,-,,.s .-,,.s , �{s,-�产0=>尸'即尸丑心0'解得-I 年－汇S,.-SA云Oa �+a 长�02at + 9d�O 96.【答案】D【点评】考查椭圆的定义、几何性质，椭圆的焦点三角形，余弦公式，展千简单题。

【解析】我们强调过在椭圆的焦点三角形中，只需要利用余弦公式，和椭圆第一定义。

由余弦公式得平='\/22+22-2.x 2x2xcos 气幼；再用椭圆第一定义得，椭圆的长轴长2a=印屯P=2+2../3。

江苏省南通市2017届高三数学第一次模拟考试试题参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．棱锥的体积公式：13V Sh =棱锥，其中S 为棱锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 函数2sin(3)3y x π=-的最小正周期为 ▲ ．2． 设集合{}13A =，，{}25B a =+，，{}3A B =，则AB = ▲ ．3． 复数2(1+2i)z =，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ▲ ．4． 口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．已知摸出 红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为 ▲ ．5． 如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为 ▲ ． 6． 若实数x ，y 满足243700x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤，≤，≥，≥，则z ＝3x ＋2y 的最大值为 ▲ ．7． 抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。

3． 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。

输出n 11n a ←←，16a <结束（第5题）开始32a a ←+2n n ←+N Y学生 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 65 80 70 85 75 乙8070758070则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 ▲ ． 8． 如图，在正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，3cm AB =，11cm AA =，则三棱锥D 1–A 1BD 的体积为 ▲ 3cm ．9． 在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线，则该双曲线 的离心率为 ▲ ．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 ▲ 升． 11．在△ABC 中，若2BC BA AC AB CA CB ⋅+⋅=⋅，则sin sin AC的值为 ▲ ． 12．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，π(0)2x ∈，相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为 ▲ ．13．已知函数()4f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(11)A ，，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ． 以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB 25． ABCDA 1B 1C 1D 1 （第8题）（1）求cos β的值； （2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP =OC ，PA ⊥PD ．求证：（1）直线PA ∥平面BDE ； （2）平面BDE ⊥平面PCD ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线2y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．18．（本小题满分16分）如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点， 点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在 直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪． （1）当∠EFP =4π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．AB CDFEP（第16题）ABCODPExyA 1 B（第15题）β αOxyQOP（第17题）219．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ．（1）当38a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点； （3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…(12k k <<…n k <<…)成等比数列，公比为q ．（1）若11k =，23k =，38k =，求1a d的值； （2）当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列； （3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a 的取值 范围．南通市2017届高三第一次调研测试数学Ⅱ（附加题）若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C 为AO 的中点，弦DE 过 点C 且满足CE =2CD ，求△OCE 的面积．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点11P （，）在矩阵A 对应的变换作用下变为33P '（，），求矩阵A ．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出OA BEDC（第21-A 题）文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，P 为棱C 1D 1的中点，Q 为棱BB 1上的点， 且1(0)BQ BB λλ=≠．（1）若12λ=，求AP 与AQ 所成角的余弦值；（2）若直线AA 1与平面APQ 所成的角为45°， 求实数λ的值．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(1)M m ，到焦点F 的距离为2． （1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直 线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求△EAB 面积的最小值．y = f (x )（第23题）yOxF AB PEBADC 1（第22题）A 1D 1B 1CQP南通市2017届高三第一次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 函数2sin(3)3y x π=-的最小正周期为 ▲ ．【答案】23π 2． 设集合{}13A =，，{}25B a =+，，{}3A B =，则AB = ▲ ．【答案】{}135，，3． 复数2(1+2i)z =，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ▲ ．【答案】3-4． 口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为▲ ． 【答案】0.175． 如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为 ▲ ．【答案】56． 若实数x ，y 满足243700x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤，≤，≥，≥，则z ＝3x ＋2y 的最大值为 ▲ ．【答案】77． 抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 ▲ ． 【答案】208． 如图，在正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，3cm AB =，（第5题）A 1BC 1D 111cm AA =，则三棱锥D 1–A 1BD 的体积为 ▲ 3cm ．【答案】329． 在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 ▲ ．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 ▲ 升． 【答案】132211．在△ABC 中，若2BC BA AC AB CA CB ⋅+⋅=⋅，则sin sin AC的值为 ▲ ．12．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，π(0)2x ∈，相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为 ▲ ．13．已知函数()4f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为 ▲ ．【答案】(2)(2)-∞-+∞，，14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(11)A ，，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为 ▲ ．【答案】+二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ．以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB． （1）求cos β的值； （2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标． 【解】（1）在△AOB 中，由余弦定理得，2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅∠，所以222cos 2OA OB AB AOB OA OB +-∠=⋅ ……………2分22211352115+-==⨯⨯，即3cos 5β=． ………………………………………………………………………6分 （2）因为3cos 5β=，π(0)2β∈，，所以4sin 5β==． …………………………………………8分因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，5cos 13α=，因为α为锐角，所以12sin 13α． ……………………10分所以()5312433cos cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-，………………12分 ()1235456sin sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯=． 所以点3356()6565B -，． …………………………………………………………14分 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP =OC ，PA ⊥PD ．求证：（1）直线PA ∥平面BDE ； （2）平面BDE ⊥平面PCD ．【证明】（1）连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 中点． 又因为E 为PC 的中点，所以OE ∥PA ． ……………………4分（第15题）（第16题）ABCODPE又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以直线PA ∥平面BDE ． ……………………………………………………6分 （2）因为OE ∥PA ，PA PD ⊥，所以OE PD ⊥． ………………………………8分因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥． …………………………10分 又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PCPD P =，所以OE ⊥平面PCD ． …………………………………………………………12分 又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD ． ……………………14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值． 【解】（1）由题意得，c a =，21a c c-=， …………2分解得a 1c =，1b =．所以椭圆的方程为2212x y +=． …………………………………………………4分（2）由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，OP =，OQ =22111OP OQ +=． …………6分 当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y kx =．由2212x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得()22212k x +=，解得22221x k =+，所以222221k y k =+，所以2222221k OP k +=+． ………………………………………………………………9分因为OP OQ ⊥，所以直线OQ 的方程为1y x k=-．由1y y xk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得x =，所以2222OQ k =+． ………………………………12分（第17题）所以222221*********k OP OQ k k ++=+=++． 综上，可知22111OP OQ +=． ……………………………………………………14分 18．（本小题满分16分）如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点， 点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在 直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪． （1）当∠EFP =4π时，试判断四边形MNP E 的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由． 【解】（1）当∠EFP =4π时，由条件得 ∠EFP =∠EFD =∠FEP =4π． 所以∠FPE =2π．所以FN ⊥BC ， 四边形MNPE 为矩形．…… 3分 所以四边形MNPE 的面积S=PN MN ⋅=2 m 2．………… 5分（2）解法一：设<<2EFD θθπ∠=（0），由条件，知∠EFP =∠EFD =∠FEP =θ．所以22sin sin PF=θθ=π-22（）， 23sin NP=NF PF θ-=-2， 23tan ME θ=-． ………………………………………………………………8分 由230sin 230tan <<2θθθ⎧->⎪2⎪⎪->⎨⎪⎪π⎪⎩，，0，得2sin 32tan 3<<.2θθθ⎧2>⎪⎪⎪>⎨⎪⎪π⎪⎩*，，（）0 所以四边形MNPE 面积为ABCDFEPMN（第18题）1()2S=NP ME MN +122(3)(3)22sin tan +θθ⎡⎤=--⨯⎢⎥2⎣⎦226tan sin 2=θθ--2222(sin cos )6tan 2sin cos =θθθθθ+--36(tan )tan θθ=-+ ………………………………………………………12分362tan 623tan θθ-=-≤． 当且仅当3tan tan =θθ，即tan 33==θθπ，时取“=”．………………14分 此时，*（）成立． 答：当3EFD π∠=时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大， 最大值为623- m 2． …………………………………………………………16分 解法二：设BE t = m ，3<<6t ，则6ME t =-．因为∠EFP =∠EFD =∠FEP ，所以PE =PF 2232BP t BP -+=-（）． 所以21323t BP=t --（），213333323t NP=PF=PE=t BP =t t ------+-（）（）． ………8分 由223<<613023133023t tt tt t ⎧⎪⎪-⎪>⎨-⎪⎪--+>⎪-⎩，，（），（）得23<<61312310.t t t t ⎧⎪>⎨⎪-+<⎩*，，（）所以四边形MNPE 面积为1()2S=NP ME MN +2113362223t t +t t ⎡⎤-=-+-⨯⎢⎥-⎣⎦（）（）（） 23306723t t t -+=-（）…………………………………………………………12分 326323t +t ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦（）62 3.-≤当且仅当32323t =t --（），即=3+3t +时取“=”． ………14分 此时，*（）成立．答：当点E 距B 点3时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为6- m 2． …………………………………………………………16分19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ．（1）当38a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点； （3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．【解】（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--．所以(32)(2)31()144x x f x x x x+-'=--=，（x>0）． ……………………………2分令()0f x '=，得2x =，当(02)x ∈，时，()0f x '<；当(2)x ∈+∞，时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(02)，上单调递减，在(2)+∞，上单调递增．所以当2x =时，()f x 有最小值1(2)ln 22f =--．………………………………4分（2）由2()ln f x ax x x =--，得2121()210ax x f x ax x x x--'=--=>，． 所以当0a ≤时，221()<0ax x f x x--'=， 函数()f x 在(0+)∞，上单调递减，所以当0a ≤时，函数()f x 在(0+)∞，上最多有一个零点．……………………6分因为当0a -1≤≤时，(1)1<0f a =-，221e e ()>0e ea f -+=， 所以当0a -1≤≤时，函数()f x 在(0+)∞，上有零点．综上，当0a -1≤≤时，函数()f x 有且只有一个零点． ………………………8分 （3）解法一：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0+)∞，上最多有一个零点．因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ． ………………………………………9分由2()ln f x ax x x =--，得221()(0)ax x f x x x--'=>，，令2()21g x ax x =--．因为(0)10g =-<，2>0a ，所以函数()g x 在(0)+∞，上只有一个零点，设为0x ．当0(0)x x ∈，时，()0()0g x f x '<<，；当0()x x ∈+∞，时，()0()0g x f x '>>，． 所以函数()f x 在0(0)x ，上单调递减；在0()x +∞，上单调递增． 要使得函数()f x 在(0+)∞，上有两个零点，只需要函数()f x 的极小值0()0f x <，即200ln 0ax x x --<． 又因为2000()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +->， 又因为函数()2ln 1h x =x x +-在(0+)∞，上是增函数，且(1)0h =， 所以01x >，得0101x <<． 又由20210ax x --=，得22000111112()()24a x x x =+=+-， 所以01a <<． ……………………………………………………………………13分 以下验证当01a <<时，函数()f x 有两个零点．当01a <<时，21211()10a ag a a a a -=--=>，所以011x a<<． 因为22211e e ()10e e e e a af -+=-+=>，且0()0f x <．所以函数()f x 在01()ex ，上有一个零点．又因为2242222()ln (1)10a f a a a a a a =----=>≥（因为ln 1x x -≤），且0()0f x <．所以函数()f x 在02()x a，上有一个零点．所以当01a <<时，函数()f x 在12()e a，内有两个零点．综上，实数a 的取值范围为(1)0，． ……………………………………………16分 下面证明：ln 1x x -≤．设()1ln t x x x =--，所以11()1x t x x x-'=-=，（x>0）． 令()0t x '=，得1x =．当(01)x ∈，时，()0t x '<；当(1)x ∈+∞，时，()>0t x '． 所以函数()t x 在(01)，上单调递减，在(1)+∞，上单调递增． 所以当1x =时，()t x 有最小值(1)0t =． 所以()1ln 0t x x x =--≥，得ln 1x x -≤成立． 解法二：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0+)∞，上最多有一个零点．因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ． ………………………………………9分 由2()ln 0f x ax x x =--=，得关于x 的方程2ln x x a x+=，（x>0）有两个不等 的实数解． 又因为ln 1x x -≤，所以222ln 211(1)1x x x a x x x +-==--+≤，（x>0）． 因为x>0时，21(1)11x--+≤，所以1a ≤．又当=1a 时，=1x ，即关于x 的方程2ln x x a x+=有且只有一个实数解． 所以<<1a 0． ……………………………………………………………………13分 （以下解法同解法1）20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…(12k k <<…n k <<…)成等比数列，公比为q ．（1）若11k =，23k =，38k =，求1a d的值； （2）当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列；（3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a 的取值 范围．【解】（1）由已知可得：1a ，3a ，8a 成等比数列，所以2111(2)(7)a d a a d +=+， ………2分整理可得：2143d a d =．因为0d ≠，所以143a d =． ……………………………4分 （2）设数列{}n k 为等比数列，则2213k k k =．又因为1k a ，2k a ，3k a 成等比数列，所以[][][]2111312(1)(1)(1)a k d a k d a k d +-+-=+-． 整理，得21213132132(2)(2)a k k k d k k k k k k --=---+． 因为2213k k k =，所以1213213(2)(2)a k k k d k k k --=--． 因为2132k k k ≠+，所以1a d =，即11a d=．………………………………………6分 当11a d=时，1(1)n a a n d nd =+-=，所以n k n a k d =． 又因为1111n n n k k a a q k dq --==，所以11n n k k q -=． 所以1111nn n n k k q q k k q +-==，数列{}n k 为等比数列． 综上，当11a d=时，数列{}n k 为等比数列．………………………………………8分 （3）因为数列{}n k 为等比数列，由（2）知1a d =，11(1)n n k k q q -=>．1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，11(1)n a a n d na =+-=．因为对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立． 所以不等式1111112n n na k a q k q --+>，即111112n n k q a n k q -->+，111111110222n n n n k q q na k q k q --+<<=+恒成立．……………………10分下面证明：对于任意的正实数(01)εε<<，总存在正整数1n ，使得11n n εq <． 要证11n n εq<，即证11ln ln ln n n q ε<+．因为11ln e 2x x x <≤，则1122111ln 2ln n n n =<，解不等式1211ln ln n n q ε<+，即1122211()ln ln 0n q n ε-+>， 可得121114ln ln q εn +->，所以21114ln ln ()q εn +->． 不妨取20114ln ln ()1q εn ⎡⎤+-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则当10n n >时，原式得证． 所以11102a <≤，所以12a ≥，即得1a 的取值范围是[)2+∞，． ……………16分 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C 为AO 的中点，弦DE 过点C 且满足CE =2C D ，求△OCE 的面积． 【解】设CD x =，则2CE x =．因为1CA =，3CB =，由相交弦定理，得CA CB CD CE ⋅=⋅， 所以21322x x x ⨯=⋅=，所以6x =2分 取DE 中点H ，则OH DE ⊥．因为2222354()28OH OE EH x =-=-=，所以10OH =．…………………………………………………………………………6分 又因为26CE x ==，所以△OCE 的面积111015622S OH CE =⋅= …………………………10分 B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点11P （，）在矩阵A 对应的变换作用下变为33P '（，），求矩阵A ． 【解】设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，OEDC（第21-A 题）H因为向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量，所以111(1)111a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以11a b c d -=-⎧⎨-=⎩，． ………………………………4分 因为点11P （，）在矩阵A 对应的变换作用下变为33P '（，），所以1313a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以+3+3a b c d =⎧⎨=⎩，． …………………………………………………8分解得1a =，2b =，2c =，1d =，所以1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．………………………………10分 C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． 【解】解法一：在4sin ρθ=中，令π4θ=，得π4sin =224ρ=，即AB =22． …………………10分 解法二：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线π()4θρ=∈R 的直角坐标方程为y x =①， ………………………………………3分 曲线4sin ρθ=的直角坐标方程为2240x y y +-=②． ……………………………6分 由①②得00x y =⎧⎨=⎩，，或22x y =⎧⎨=⎩，，……………………………………………………………8分所以(00)(22)A B ，，，， 所以直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长AB =22． ………………10分 D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin 222cos 2y x x =++【解】23sin 222cos 2=3sin 4cos y x x x x =+++…………………………………………2分由柯西不等式得2222222(3sin cos )(34)(sin cos )25y x x x x =+++=≤，……………………………8分所以max 5y =，此时3sin =5x ．所以函数3sin y x =+5． …………………………………10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，P 为棱C 1D 1的中点，Q 为棱BB 1上的点， 且1(0)BQ BB λλ=≠． （1）若12λ=，求AP 与AQ 所成角的余弦值； （2）若直线AA 1与平面APQ 所成的角为45°， 求实数λ的值．【解】以{}1AB AD AA ，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -．（1）因为=(122)AP ，，，=(201)AQ ，，， 所以cos =||||AP AQ AP AQ AP AQ ⋅<>，．所以AP 与AQ ．………………………………………4分 （2）由题意可知，1=(002)AA ，，，=(202)AQ λ，，． 设平面APQ 的法向量为n ()x y z =，，， 则00AP AQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即220220x y z x z λ++=⎧⎨+=⎩，．令2z =-，则2x λ=，2y λ=-．所以n (222)λλ=--，，．…………………………………………………………6分 又因为直线1AA 与平面APQ 所成角为45°， 所以|cos<n ，1AA >|11=||||AA AA⋅n n ==（第22题）可得2540λλ-=，又因为0λ≠，所以45λ=． ……………………………10分 23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(1)M m ，到焦点F 的距离为2． （1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直 线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求△EAB 面积的最小值． 【解】（1）抛物线22(0)x py p =>的准线方程为2p y =-， 因为(1)M m ，，由抛物线定义，知12pMF =+， 所以122p+=，即2p =， 所以抛物线的方程为24x y =．……………………………………………………3分 （2）因为214y x =，所以12y x '=． 设点2()04t E t t ≠，，，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．令0y =，则2t x =，即点(0)2tP ，．因为(0)2t P ，，(01)F ，，所以直线PF 的方程为2()2ty x t =--，即20x ty t +-=． 则点2()4t E t ，到直线PF的距离为d ==．…………………5分联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，，消元，得2222(216)0t y t y t -++=． 因为2242(216)464(4)0t t t ∆=+-=+>，所以1y =，2y =，y = f (x )（第23题）yOxF AB PEaa所以221212222164(4)1122t t AB y y y y t t ++=+++=++=+=． ………………7分 所以△EAB的面积为3222214(4)1(4)22t t S t t++=⨯=⨯． 不妨设322(4)()x g x x +=(0)x >，则12222(4)()(24)x g x x x+'=-．因为(0x ∈时，()0g x '<，所以()g x在(0上单调递减；)x ∈+∞上，()0g x '>，所以()g x在)+∞上单调递增．所以当x =时，32min 4)()g x ==所以△EAB的面积的最小值为10分欢迎您的下载，资料仅供参考！。

2017年港澳台联考数学（真题）一：选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。

1.若集合{}{},4,3,2,3,2,1==B A 则)(=⋃B A2.设向量()()1,3,1,3-==→→b a ，则→→b a 和的夹角为（ ） 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，,,46451S S S a ≥≥=则公差d 的取值范围是（ ）4.椭圆C 的焦点为),0,1(),0,1(21F F -点P 在C 上，,32,2212π=∠=P F F P F 则C 的长轴长为（ ） 5.函数)(x f y =的图像与函数)1ln(-=x y 的图像关于y 轴对称，则)()(=x f 6.设10<<a ，则（ ）9.4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有（ ）个10.正三棱锥111C B A ABC -各棱长均为1，D 为1AA 的中点，则四面体BCD A 1的体积是（ ）11.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点为)0,(c F ，直线)(c x k y -=与C 的右支有两个交点，则（ ）12.函数)(x f 的定义域()+∞∞-,，若)1()(+=x f x g 和)1()(-=x f x h 都是偶函数，则（ ） 二：填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分。

13.6)2(-x 的展开式中5x 的系数是 .（用数字作答）14.在ABC ∆中，D 为BC 的中点，,5,6,8===AD AC AB 则=BC .15.若曲线)1(11>-+=x x x y 的切线l 与直线x y 43=平行，则l 的方程为 . 16.直线023=--y x 被圆0222=-+x y x 截得的线段长为 .17.若多项式)(x p 满足2)1(,1)2(=-=p p ，则)(x p 被22--x x 除所得的余式为 .18.在空间直角坐标系中，向量→a 在三个坐标平面内的正投影长度分别为1,2,2，则→a = . 三：解答题：本大题共4小题；每小题15分，共60分。

全国港澳台数学联考阶段测试（一）（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题。

（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把所选项目的字母填在对应的答题卡上）1、()51x -的展开式中，2x 的系数是（ ）A . 5 B. -5 C. 10 D. -102、已知(1,1,2),(2,,4)a b x =-=-，且//a b ，则x 的值是（ ）A . -10 B. 10 C. 2 D. -23、已知点A(1,-1,2)和点B(-1,0,4)，与向量AB方向相反的单位向量是（ ）A ．()2,1,2-B ．()2,1,2--C ．212,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．212,,333--⎛⎫⎪⎝⎭4、用2x x +除多项式54442x x x -++得到的余式是（ ） A ．4+2x B ．9+2x C ．+2x D ．9-7x5、下列多项式是多项式332x x x -+的因式是（ ）A ．2-1xB ．-2xC ．+2xD ．+1x6、某人有3个不同的电子邮箱，他要发5个电子邮件，发送的方法的种数（ ）A . 8 B. 15 C. 243 D. 125 7、过点P(3，2，5)且与z 轴平行的直线方程是（）A ．32x y =⎧⎨=⎩B ．35x z =⎧⎨=⎩C ．25y z =⎧⎨=⎩ D ．5z =8、若点（1，2）既在函数y k ，b 的值分别为（ ）A ．-3，7B ．3，7C ．3，-7D ．-3，-79、4名男生和2名女生排成一排照相，要求2名女生必须相邻，则不同的排列方法为（ ）10、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，要求至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）A ．140种 B.84种 C.70种 D.35种11、下列四个运算中，正确的是（ ）0.lim 1x x A x →= ()()x 21c o s ()21(),l i m 12s i n ()2x x f x x f x x x ππππ→⎧+<⎪⎪⎪===⎨⎪⎪>⎪⎩B.若则 11.lim11x x C x →--=- .l i 1x D →= 12、四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有（ ）A ．150种 B.147种 C.144种D.141种二、填空题。

2017-2018学年度第一学期高三第一次考试答题时间：120分钟，满分：150分第一部分：阅读理解（共20小题，每小题3分，满分60分）第一节（共15小题，每小题3分，满分45分）从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项ARoma Pass Kit (套装) enables both tourists and interested local residents the op portunity to benefit from various discounts and services that m ake it easier and cheaper to enjoy the sights of Rome．Free entry to the first 2 visited museums and / or archaeolo gical sites of your choice．Concessionary(优惠的)ticket to all other museums and / or archaeological sites vis ited thereafter．Free use of the city’s public transport network．Valid until midnight of the third day inclusive that of the first validation for ATAC public transport within the territory of the Municipality o f Rome．Discounted tickets to exhibitions，events and other cooperating operators and businesses (Rom a Pass Guide)．Tourist cultural services Roma Passè．At the Colosseum a reserved turnstile(旋转栅门) is available for Roma Pass holders to get direct access to the monument．In the kit：The Roma Pass card：the card used to visit museums / archaeological sites and on t he public transport system as described above．Roma MAP：A map with all the Tourist Information Points，Metro stations，museums and other sites of interest；Roma Pass Guide：the list of under agreement museums ／sites．and the list of all the partners of the Roma Pass which offer discounts to card holders；Roma Passè：the card with the App activation code to download the best of the city．How to use it：The overleaf(背面的)form must be filled with name，surname and validation date．The card is valid for three days and is activated at the timeof the first entry to the museums／sites，and／or at the first journey on public transport，up until midnight of the third day, including the day of the activ ation．It must be produced along with your identity papers when r equired by the staff in charge．Please note that most museums generally are closed on M ondays (with the exception of the Colosseum and the Baths of Caracalla)．Almost all the museums normally are closed on December 25 , January l and May l too．We advise you to ch eck in advance．1．With Roma Pass you can enjoy __________．A．reserved access to 2 sitesB．free entry to any museumsC．free use of ATAC within ItalyD．discounts for certain exhibitions2．When using the Roma Pass card，you must bring your __________．A．activation code B．ID documentC．purchase receipt D．Roma Pass Guide3．Where will you possibly find the passage?A．In a tourist guide． B. In a history textbook．C．On a transport notice． D. On a shopping list．4．What can we learn from the passage?A．The Roma Pass card is valid for at least 72 hours．B．The Colosseum is not open to the public on Mondays． C．Only foreign tourists are qualified to buy the Roma Pass ．D．You’d better avoid visiting Roma museums at Christmas ．BAre traditional fairytales good all the time? Recent research f ound one in five parents have abandoned those old classics s uch as Snow White and the Seven Dwarves and Hansel and Gretel and they’re in favor of more modern books.One third of parents said their children have been left in tears after hearing the terrible details of Little Red Riding Hood. The survey of 2,000 adults was carried out to mark the launch of t he hit US drama GRIMM, which starts tonight at 9:00 pm on Watch, and sees six series based on traditional fairytales. The research found a quarter of parents wouldn’t consider readin g a fairytale to their child until they had reached the age of fiv e, as they cause too many awkward questions. And 52 perce nt of the parents said Cinderella didn’t send a good message t o their children as it portrays (描绘) a young woman doing housework all day. Similarly, Goldilocks and the Three Bears was also a tale likely to be left on th e book shelf as parents felt it condones (宽恕) stealing.Steve Hornsey, General Manager of Watch, said: “Bedtime st ories are supposed to relax the children and send them off to sleep soundly. But as we see in GRIMM, fairytales can be dar k and dramatic tales so it’s understandable that parents worry about reading them to young children. As adults we can see t he innocence in fairytales, but a five-year-old with an over active imagination could think they are true. Despite the dark nature of classic fairytales, as we see in GRI MM, good will defeat evil and there is always a moral to the st ory.”Though half of parents said traditional tales are more likely to have a strong moral message than a lot of modern kids’ book s, two thirds of mums and dads said they were no longer appr opriate to soothe youngsters before bed. On the contrary, the y might give their children nightmares.5. Why aren’t some traditional fairytales read by parents to chi ldren?A. They are forbidden to read according to the rules.B. They are difficult for their children to understand.C. They are too scary for their young children to hear.D. They don’t have any strong moral messages in them.6. Which of the traditional fairytales tells one can get away with stealing?A. Snow White and the Seven Dwarves.B. Little Red Ridi ng Hood.C. Goldilocks and the Three Bears.D. Hansel and Gr etel.7. What’s the author’s attitude towards traditional fairytales?A. Objective.B. Supporting.C. Disapproving.D. Doubtf ul.8. The underlined word “soothe” in the last paragraph means “_______”.A. surpriseB. astonishC. stressD. comfortCMost people don't notice I'm polite, which is the point. I am big and look less energetic. Still, every year or so, someone t akes me aside and says, “You actually are polite, aren’t you?” I'm always thrilled. They noticed. That's the thing. When we t alk about politeness, we usually think of please; thank you; I li ke your hat; etc. AW we need to do is to hear, not to notice.When I was in high school, I read etiquette manuals (手册) . No one noticed my politeness except for one kid. He yelled at me about it. “It's strange that you are always so polite,”he said. I took that as praise and made a note to hide my polit eness further. Real politeness, I believed, was invisible(看不见的) . It adapted itself to the situation.Politeness leaves doors open. I’ve met so many people who m, if I had trusted my first impressions, I would never have wa nted to meet again. Yet many of them are now great friends. One of those people is my wife. On our first date, she told me in detail that she had an operation to remove a cyst (瘤) from her body. Of course, it killed the chemistry. But when I walked her home, I told her I'd had a great time. We talked a little aft er that. I kept everything pleasant and brief. Much later, I lear ned that she’d been having a very bad day in a very bad year. People silently suffer from all kinds of terrible things. The g ood thing about politeness is you can regard these people ex actly the same and wait to see what happens. You don't have to have an opinion. You don't need to make a judgment.Last week, my two-year-old son, Abraham met a foreign woman in the playground. Ou t of curiosity, I suppose, he asked, “What's your name?” The woman told him. Then he put out his little hand and said, “Nic e to meet you!” Everyone laughed and he smiled. He shared with her his firmest handshake, like I taught him.9.Why do many people think the author is impoliteA. Because he doesn't look politeB. Because he doesn't say polite wordsC. Because he doesn't listen to others politelyD. Because he doesn't behave politely towards strangers10. What does the underlined word “it” in Paragraph 2 refer to ?A. The author's good manners.B. The author's strange behavior.C. The author always making notes.D. The author reading etiquette manuals.11. What can we learn about politeness according to Paragra ph 3 ?A. keep everything pleasantB. help people make friendsC. be good for people's healthD. give people second chancesDYou get anxious if there’s no wi-fi in the hotel or mobile phone signal up the mountain. You fee l upset if your phone is getting low on power, and you secretlyworry things will go wrong at work if you’re not there. All thes e can be called “always on” stress caused by smart phone ad diction.For some people, smart phones have liberated them from the nine-to-five work. Flexible working has given them more autonomy(自主权) in their working lives and enabled them to spend more tim e with their friends and families. For many others though, sma rt phones have become tyrants (暴君) in their pockets, never allowing them to turn them off, rela x and recharge their batteries.Pittsburgh-based developer Kevin Holesh was worried about how much he was ignoring his family and friends in favor of his iPhone. So he developed an app — Moment — to monitor his usage. The app enables users to see how much time they’re spendin g on the device and set up warnings if the usage limits are bre ached (突破). “Moment’s goal is to promote balance in your life,” his we bsite explains. “Some time on your phone, some time off it enj oying your loving family and friends around you.”Dr Christine Grant, an occupational psychologist at CoventryUniversity, said, “The effects of this ‘always on’ culture are tha t your mind is never resting, and you’re not giving your body ti me to recover, so yo u’re always stressed. And the more tired and stressed we get, the more mistakes we make. Physical a nd mental health can suffer.”And as the number of connected smart phones is increasing, so is the amount of data. This is leading to a sort of decision p aralysis (瘫痪) and is creating more stress in the workplace because peo ple have to receive a broader range of data and communicati ons which are often difficult to manage. “It actually makes it m ore difficult to make decisions and many do less because they ’re controlled by it all and feel they can never escape the offic e,” said Dr Christine Grant.12. What’s the first paragraph mainly about?A. The popularity of smart phones.B. The progress of mod ern technology.C. The signs of “always on” stress.D. The cause of smart ph one addiction.13. Kevin Holesh developed Moment to __________.A. research how people use their mobile phonesB. help people control their use of mobile phonesC. make people better use mobile phonesD. increase the fun of using mobile phones14. What’s Dr Christine Grant’s attitude towards “always on” c ulture?A. Confused.B. Positive.C. Doubtful.D. Critical.15. According to the last paragraph, a greater amount of data means __________.A. we will become less productiveB. we can make a decisi on more quicklyC. we will be equipped with more knowledgeD. we can work more effectivelyE第二节（共5小题，每小题3分，共15分）根据短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项，选项中有两项为多余选项How to Build Healthy Interpersonal RelationshipHuman beings are social creatures and thrive(茁壮成长) in relationships with others. A healthy part to be a well-rounded, happy individual is engaging in healthy relationships with others. These friendships can provide safe environments in which individuals can thrive and help promote general well-being. __16__1．Know your worth.One of the first steps in building healthy interpersonal relation ships is understanding one's value. When an individual is awa re of and treasures what he or she has, the building of relation ships can be founded on that knowledge. __17__. Everyone h as talents. When this worth is discovered, a person can then make use of these skills in approaching interpersonal relation ships. If someone is a good listener, showing how to develop t his skill can attract relationships with individuals who have a n eed for this talent.2．Recognize the value of others.__18__ In a healthy interpersonal relationships, both parties s hould be respected and feel as if they are valued in the friend ship. When contributions to the relationship become one－sided, the relationship will move from healthy to unhealthy. 3．__19__Another way to build healthy relationships is to make friends with someone who shares the same value systems and lifesty les. Knowing that a friend will not request something from an i ndividual will help to foster trust in the relationship. __20__The relationship can grow on this familiarity. Trust can also devel op from these similarities and go a long way in fostering a hea lthy friendship.A. Everyone has worthB. Be true to yourself.C. Seek out individuals with similar value systems.D. A healthy interpersonal relationship cannot be built on dish onesty.E. Also, having the same lifestyle can provide a link of familiar ity.F. Here are some tips to build healthy interpersonal relationsh ips.G. Along with understanding one's worth is recognizing and u nderstanding the worth of others.第二部分完形填空（每空2分。

2017-2018学年上学期高三数学（理）第一次模拟考试一、选择题：1．若“01x <<”是“()[(2)]0x a x a --+≤”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 A ．(,0][1,)-∞+∞ B ．(1,0)- C ．[1,0]-D ．(,1)(0,)-∞-+∞ （ ） 2．复数21ii -=-（）A ．322i -B ．322i +C ．322i -+ D ．322i-- 3．若整数x ，y 满足不等式组0,2100,0,x y x y y ⎧->⎪--<⎨+- 则2x ＋y 的最大值是（ ）A ．11B ．23C ．26D ．30 4．在△ABC 中，“sin 1B =”是“△ABC 为直角三角形”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．下列命题中错误．．的是（ ）A. 如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l =βα ，那么γ⊥lB. 如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD. 如果平面⊥α平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β 6．已知()sin (0)f x x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，则()y g x =是减函数的区间为（ ）A ．(,)43ππ B ． (,)44ππ- C ． (0,)3π D ．(,0)3π- 7．已知函数2||()2x f x kx x =-+（x R ∈）有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．0k <B ．1k <C ．01k <<D ．1k >8．已知双曲线C ：()0,012222>>=-b a by a x 的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于P 、Q 两点，若∠PAQ=60°，且4=，则双曲线的离心率为（ ）A ．5132 B ．27 C ．9392 D ．3 9．已知函数()c bx ax x x f +++=23（c b a ,,均为非零整数），满足()3a a f =，()()b a b b f ≠=3，则=c （ ）A ．16B ．8C ．4D ．110．在△ABC 中，已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ∆⋅==⋅=，P 为线段AB 上的点，且,||||CA CBCP x y xy CA CB =⋅+⋅则的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥体积是 ，四个面的面积中最大的是 ．12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知316a =，610a =， 则公差d = ；n S 为最大值时的n = ．13．若x ＞0，y ＞0，且x+2y=1，那么+的最小值是 ，2x+3y 2的取值范围是 ．14．已知点P 在抛物线x y 42=上，则点P 到点Q （2，-1）的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小值为______，此时点P 的坐标为 .15．已知函数()2xf x x e =，若()f x 在[],1t t +上不单调．．．，则实数t 的取值范围是 ． 16．已知数列{}n a 满足：n n n a a a a +==+211,21，用[x]表示不超过x 的最大整数，则122012111111a a a ⎡⎤+++⎢⎥+++⎣⎦的值等于 ． 17．三棱锥O ABC -中，,OA OB OC ,两两垂直且相等，点P ，Q 分别是BC 和OA 上的动点，且满足1233BC BP BC ≤≤，1233OA OQ OA ≤≤，则PQ 和OB 所成角余弦值的取值范围是 ． 三、解答题：16．已知函数.3cos 33cos 3sin)(2xx x x f += (Ⅰ)求函数)(x f 图象对称中心的坐标；俯视图侧（左）视图正（主）视图(Ⅱ)如果ABC Δ的三边c b a ,,满足ac b =2，且边b 所对的角为B ，求)(B f 的取值范围。

2017-2018学年第一次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,0,1A =-，21|sin,2k B x x k Z π+⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则A B =ð（ ） A ．∅ B ．0 C ．{}0 D ．{}1,1-2．61()x x-的展开式中含2x 的项的系数是（ ） A ．20- B ．20 C ．15- D ．15 3．已知122ii a bi+=-+（i 为虚数单位，a ，b R ∈），在||a bi -=（ ） A ．i - B ．1 C ．2 D ．54．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）A ．43 B ．83 C ．4 D ．623+5．11()e x dx x+⎰=（ ）A ．2e B ．212e + C ．212e - D ．232e +6．设数列{}n a 满足1a a =，2121n n n a a a +-=+（*n N ∈），若数列{}n a 是常数列，则a =（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．(1)n-7．设向量(cos ,sin )a x x =-r ，(cos(),cos )2b x x π=--r ，且a tb =r r ，0t ≠，则sin 2x 的值等于（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．08．已知双曲线221x y -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若1260F PF ∠=︒，则三角形12F PF 的面积为（ ）A ．2B ．．9．设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X 表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对立，则方差()D X =（ ） A ．2 B ．1C ．23 D ．3410．下列四个结论：①若0x >，则sin x x >恒成立；②命题“若sin 0x x -=，则0x =”的逆否命题为“若0x ≠，则sin 0x x -≠”； ③“命题p q ∧为真”是“命题p q ∨为真”的充分不必要条件； ④命题“x R ∀∈，ln 0x x ->”的否定是“0x R ∃∈，00ln 0x x -<”． 其中正确结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个11．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如果是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）1.732≈，sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈）A ．12B ．24C ．36D ．4812．若直线0ax y -=（0a ≠）与函数22cos 1()2ln2x f x x x +=+-图象交于不同的两点A ，B ，且点(6,0)C ，若点(,)D m n 满足DA DB CD +=u u u r u u u r u u u r，则m n +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．a第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题 ，每小题5分，满分20分）13．如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是 ____________（用数字作答）.14．已知直线:(0)l y kx k =>，圆221:(1)1C x y -+=与222:(3)1C x y -+=.若直线l 被圆1C ，2C 所截得两弦的长度之比是3，则实数k =____________.15．已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈在区间(0,1)内有两个零点，是3a b +的取值范围是________. 16．曲线C 是平面内到直线l 1：x=﹣1和直线l 2：y=1的距离之积等于常数k 2（k ＞0）的点的轨迹，下列四个结论：①曲线C 过点（﹣1，1）；②曲线C 关于点（﹣1，1）成中心对称；③若点P 在曲线C 上，点A 、B 分别在直线l 1、l 2上，则|PA|+|PB|不小于2k ；④设P 0为曲线C 上任意一点，则点P 0关于直线l 1：x=﹣1，点（﹣1，1）及直线f （x ）对称的点分别为P 1、P 2、P 3，则四边形P 0P 1P 2P 3的面积为定值4k 2；其中， 所有正确结论的序号是 ．三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos 0a b C c B ++=． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin cos A B 的取值范围．18．张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如下表：（Ⅰ）求身高y 关于年龄x 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ()()()111211ni ni xx y y b x x==--=-∑∑)，a y b x =-)．19．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ＞时，()()313f x x ax a R =+∈，且曲线()f x 在12x =处的切线与直线314y x =--平行．（Ⅰ）求a 的值及函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()y f x m =-在区间⎡-⎣上有三个零点，求实数m 的取值范围． 20．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()1n a n N =+∈︒． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若()12n n n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21．已知函数()()x f x ae x a R =-∈，其中e 为自然对数的底数， 2.71828e =…． （Ⅰ）判断函数()f x 的单调性，并说明理由；（Ⅱ）若[]1,2x ∈，不等式()x f x e -≥恒成立，求a 的取值范围． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线133cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）经过伸缩变换32x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，后的曲线为2C ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求2C 的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线3C 的极坐标方程为sin 16πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且曲线3C 与曲线2C 相交于P ，Q 两点，求PQ 的值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x b x =+--+，()2222g x x a c x b =+++-，其中a ，b ，c 均为正实数，且1ab bc ac ++=． （Ⅰ）当1b =时，求不等式()1f x ≥的解集；（Ⅱ）当x R ∈时，求证()()f x g x ≤．2017-2018学年第一次模拟考试数学（理）试题答案一、1-12：CDBAB ACCCD BB 二、 13、10. 14、13. 15、(5,0)-. 16、②③④ 三、17、（Ⅰ）首先利用正弦定理将已知条件等式中的边化为角，然后利用两角和的正弦公式结合三角形内角和定理求得cos C 的值，从而求得角C 的大小；（Ⅱ）首先结合（Ⅰ）得到角B 与角A 间的关系，然后利用两角和与差的正弦与余弦公式将sin cos A B 化为关于角A 的关系式，由此求得其取值范围． 试题解析：（Ⅰ）因为()2cos cos 0a b C c B ++=，所以()2cos cos cos a C b C c B =-+， 由正弦定理得()()2sin cos sin cos sin cos sin sin A C B C C B B C A =-+=-+=-，因为在ABC ∆中sin 0A ≠，所以1cos 2C =-，（以上也可这样解：由cos cos b C c B a +=，所以2cos a C a =-，所以1cos 2C =-）所以23C π=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知3A B π+=，所以033B A A ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜＜，所以1sin cos sin cos sin cos 32A B A A A A A π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin 22sin 2423A A A π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为03A π＜＜，所以2333A πππ--＜＜，此时1sin 223A π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则10sin 223A π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＜ 所以sin cos A B的取值范围为⎛ ⎝⎭．18、（Ⅰ）首先根据表格与公式求得相关数据，然后代入线性回归方程求得$a ，由此求得线性回归方程；（Ⅱ）将15x =代入（Ⅰ）中的回归方程即可求得张三同学15岁时的身高． 试题解析：（Ⅰ）由题意得()178910111213107x =++++++=， ()11211281351411481541601417y =++++++=． ()721941014928i i x x=-=++++++=∑，()()()()()()()()71320213160017213319182ii i xx y y =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，所以()()()12118213282iii ii x x y y b x x ππ==--===-∑∑)，$1314110762a y b x =-=-⨯=)，所求回归方程为13762y x =+)．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1302b =)＞，故张三同学7岁至13岁的身高每年都在增高，平均每年增高6．5cm ．将15x =代入（Ⅰ）中的回归方程，得131576173.52y =⨯+=)，故预测张三同学15岁的身高为173．5cm ．19、（Ⅰ）首先求得导函数，然后利用导数的几何意义结合两直线平行的关系求得a 的值，由此求得函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将问题转化为函数()f x 的图象与y m =有三个公共点，由此结合图象求得m 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）当0x ＞时，()2f x x a '=+，因为曲线()f x 在12x =处的切线与直线314y x =--平行， 所以113244f a ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭，解得1a =-，所以()313f x x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()36f -=-，()213f -=，()213f =-，0f =，所以函数()y f x m =-在区间⎡-⎣上有三个零点，等价于函数()f x 在⎡-⎣上的图象与y m =有三个公共点．结合函数()f x 在区间⎡-⎣上大致图象可知，实数m 的取值范围是2,03⎛⎤- ⎥⎝⎦．20、（Ⅰ）首先利用n S 与n a 的关系结合已知条件等式推出数列{}n a 是等差数列，由此求得数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）首先结合（Ⅰ）求得n b 的表达式，然后利用错位相减法求解即可．试题解析：（Ⅰ）当1n =时，有11a =+，解得11a =；当2n ≥时，由1n a =+得2421n n n S a a =++，2111421n n n S a a -=--++，两式相减得()221142n n n n n a a a a a --=-+-，所以()()1120n n n n a a a a --+--=，因为数列{}n a 的各项为正，所以120n n a a ---=， 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()212122224an n n n n n b a n n n -=+⋅=⋅=⋅=⋅． 所以231424344n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅L ，()23414142434144n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，两式相减得()2311414344444414n n n n n T n n ++--=++++-⋅=-⋅-L 141433n n +⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭，所以1431499n n n T +-=+⋅．21、（Ⅰ）首先求出导函数，然后分0a ≤、0a ＞求得函数的单调区间；（Ⅱ）首先将问题转化为[]1,2x ∈，21x x xe a e +≥恒成立，由此令()21xx xe g x e+=，然后通过求导研究其单调性并求得其最大值，从而求得a 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由题可知，()x f x ae x =-，则()1x f x ae '=-， （i ）当0a ≤时，()0f x '＜，函数()x f x ae x =-为R 上的减函数， （ii ）当0a ＞时，令10x ae -=，得ln x a =-，①若(),ln x a ∈-∞-，则()0f x '＜，此时函数()f x 为单调递减函数； ②若()ln ,x a ∈-+∞，则()0f x '＞，此时函数()f x 为单调递增函数． （Ⅱ）由题意，问题等价于[]1,2x ∈，不等式x x ae x e --≥恒成立， 即[]1,2x ∈，21xx xe a e+≥恒成立，令()21xx xe g x e+=，则问题等价于a 不小于函数()g x 在[]1,2上的最大值．由()()()()221214212x xx xxe exe e x e xxx e g x e '+-+--'==，当[]1,2x ∈时，()0g x '＜，所以函数()g x 在[]1,2上单调递减， 所以函数()g x 在[]1,2x ∈的最大值为()2111g e e=+， 故[]1,2x ∈，不等式()x f x e -≥恒成立，实数a 的取值范围为11,2e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭．22、（Ⅰ）由题意得曲线2C 的参数方程为1cos sin x y αα'=+⎧⎨'=⎩（α为参数），则曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y ''-+=， 所以曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线2C 是以()1,0为圆心，半径为1的圆，而曲线3C 为直线，直角坐标方程为20x --=．曲线2C 的圆心()1,0到直线3C 的距离12d ==，所以弦PQ 的值为=．23、（Ⅰ）由题意，当1b =时，()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x --⎧⎪=-⎨⎪⎩≤＜＜≥当1x -≤时，()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解；当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜．当1x ≥时，()21f x =≥恒成立， 所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（Ⅱ）当x R ∈时，()()22221111f x x b x x b x b b =+--+++-+=+=+≤；()()222222222222g x x a c x b x a c x b a c b =+++-++--=++≥． 而()2222222211a c b b a c b ++-+=++-()222222112a b b c c a =+++++-()122212ab bc ac ++-≥ 1ab bc ac =++-0=当且仅当a b c ==222221a c b b +++≥， 因此，当x R ∈时，()()222212f x b a c b g x +++≤≤≤， 所以，当x R ∈时，()()f x g x ≤．。