山东省滨州市高三数学上学期期末联考试题理(扫描版)

山东省滨州市高级中学2018-2019学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．1参考答案：A【考点】向量的共线定理．【分析】设，将向量用向量、表示出来，即可找到λ和μ的关系，最终得到答案．【解答】解：设则====（）∴∴故选A．【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来．属中档题．2. 已知p：则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A3. 设不等式组表示的平面区域为D．若圆C：不经过区域D上的点，则的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：C4. 设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1,2,3,…若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，a n＋1＝a n，b n＋1＝，c n＋1＝，则( )A、{S n}为递减数列B、{S n}为递增数列C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列参考答案：B5. 双曲线4x2+ty2-4t=0的虚轴长等于( )A. B．-2t C． D．4参考答案：C6. 已知函数f(x)＝9x－m·3x＋m＋1对x∈(0，＋∞)的图像恒在x轴上方，则m的取值范围是( )A．2－2<m<2＋2 B．m<2 C．m<2＋2 D．m≥2＋2参考答案：C7. 执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．10 B. -6C. 3D. -15参考答案：A8. 设偶函数对任意，都有，且当时，,则=A.10B.C.D.参考答案：B由知该函数为周期函数，所以9. 若变量x,y满足约束条件则目标函数Z==x+2y的取值范围是A. [2,6]B. [2,5]C. [3,6]D. [3,5]参考答案：A略10. 函数f（x）=x+的极值情况是（）A．既无极小值，也无极大值B．当x=﹣2时，极大值为﹣4，无极小值C．当x=2，极小值为4，无极大值D．当x=﹣2时，极大值为﹣4，当x=2时极小值为4参考答案：D【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，函数的f（x）的导数f′（x）=1﹣，由f′（x）＞0解得x＞2或x＜﹣1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜0或0＜x＜2，此时函数单调递减，故当x=2时，函数取得极小值f（2）=4，当x=﹣2时，函数取得极大值f（﹣2）=﹣4，故选：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知满足对任意都有成立，则的取值范围是___ ____．参考答案：由对任意都有成立 在R上递增，∴，解得，即的取值范围是。

2020-2021学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．设集合M＝{x|（x+3）（x﹣1）＜0}，N＝{x|0＜x＜4}，则M∩N＝（）A．（0，1）B．（﹣1，4）C．（0，3）D．（﹣1，3）2．已知i为虚数单位，若z＝，则z的共轭复数＝（）A．cosθ﹣i sinθB．sinθ﹣i cosθC．sinθ+i cosθD．cosθ+i sinθ3．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢．欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若大夫出4钱，则上造出的钱数为（）A．8B．12C．20D．284．函数f（x）＝2（x3﹣x）e|x|的图象大致是（）A．B．C．D．5．已知平面向量，满足•（+）＝3，且||＝2，||＝1，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．6．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣3，4），则cos2α＝（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+2）＝﹣f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（2021）﹣f（﹣2021）＝（）A．2B．1C．﹣1D．﹣28．已知双曲线C：是直线bx﹣ay+2a＝0上任意一点，若（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝2与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，C．（2，+∞）D．二、多项选择题（共4小题）.9．下列命题为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2C．若c＞a＞b＞0，则D．若a＞b＞c＞0，则10．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列说法正确的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥nB．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥αC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β11．二项展开式（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则（）A．a0＝﹣1B．5a5+4a4+3a3+2a2+a1＝10C．a3＝80D．a1+a2+a3+a4+a5＝112．已知函数f（x）＝a sin x+b cos x（ab≠0），且对任意x∈R都有，则（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在上单调递增C．是f（x）的一个零点D．三、填空题（共4小题）.13．曲线C：y＝xe x在点M（1，e）处的切线方程为．14．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于A，B两点，则|AB|＝．15．甲、乙两人从4门不同的课程中各随机选修2门课程，则甲、乙所选的课程中至少有1门课程不同的概率为．16．已知侧棱长为的正四棱锥S﹣ABCD的所有顶点都在球O的球面上，当该棱锥体积最大时，底面ABCD的边长为，此时球O的表面积为．四、解答题（共6小题）.17．在①2sin A＝3sin B；②△ABC的面积为；③b（b cos C+c cos B）＝6这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a﹣b＝1，cos C＝﹣，______．（1）求c的值；（2）求tan2B的值．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且3S3＝S4+2S2，a1＝2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，c n＝a n+，求{c n}的前n项和T n．19．2020年春，我国出现病毒，感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等症状，严重的可导致肺炎甚至危及生命．病毒疫情牵动每一个中国人的心，为了遏制病毒的传播，危难时刻全国人民众志成城、共克时艰．某校为了了解学生对病毒的防护认识，对该校学生开展网上防疫知识有奖竞赛活动，并从男生、女生中各随机抽取20人，统计答题成绩分别制成如下频率分布直方图和频数分布表：女生成绩成绩[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数7742规定：成绩在80分以上（含80分）的同学称为“防疫明星”．（1）根据以上数据，完成以下2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“防疫明星”与性别有关；男生女生合计防疫明星非防疫明星合计（2）以样本估计总体，以频率估计概率，现从该校男生中随机抽取4人，其中“防疫明星”的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．附：参考公式其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820．如图1，一副标准的三角板中，∠B＝∠E＝90°，∠A＝60°，DE＝EF，BC＝DF．将三角板的边BC与DF重合，把两个三角板拼成一个空间图形，如图2．设M是AC的中点，N是BC的中点．（1）求证：平面ABC⊥平面EMN；（2）若AC＝2EM＝4，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．21．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点在椭圆C上，且满足．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：y＝kx+m与椭圆C交于不同两点M，N，且OM⊥ON．证明：总存在一个确定的圆与直线l相切，并求该圆的方程．22．已知函数f（x）＝﹣+lnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＝1，证明．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．设集合M＝{x|（x+3）（x﹣1）＜0}，N＝{x|0＜x＜4}，则M∩N＝（）A．（0，1）B．（﹣1，4）C．（0，3）D．（﹣1，3）解：M＝{x|（x+3）（x﹣1）＜0}＝{x|﹣3＜x＜1}，而N＝{x|0＜x＜4}，所以M∩N＝{x|0＜x＜1}．故选：A．2．已知i为虚数单位，若z＝，则z的共轭复数＝（）A．cosθ﹣i sinθB．sinθ﹣i cosθC．sinθ+i cosθD．cosθ+i sinθ解：∵z＝＝＝cosθ﹣i sinθ，∴＝cosθ+i sinθ，故选：D．3．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢．欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若大夫出4钱，则上造出的钱数为（）A．8B．12C．20D．28解：设首项为a1，公差为d＞0．由题意可得a1＝4，①S5＝5a1+＝100，②由①②联立可得d＝8，则上造出的钱数为a4＝a1+3d＝4+3×8＝28，故选：D．4．函数f（x）＝2（x3﹣x）e|x|的图象大致是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝2（x3﹣x）e|x|，则f（﹣x）＝﹣2（x3﹣x）e|x|＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，排除A选项．令f（x）＝0，可得x＝±1，当x＝时，可得f（）＝＜0，图象在x轴的下方，排除B，D选项．故选：C．5．已知平面向量，满足•（+）＝3，且||＝2，||＝1，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．解：∵＝2，∴＝4又∵•（+）＝3，∴+•＝4+•＝3，得•＝﹣1，设与的夹角为α，则•＝cosα＝﹣1，即2×1×cosα＝﹣1，得cosα＝﹣∵α∈[0，π]，∴α＝故选：C．6．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣3，4），则cos2α＝（）A．B．C．D．解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣3，4），∴sinα＝＝，则cos2α＝＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝﹣，故选：B．7．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+2）＝﹣f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（2021）﹣f（﹣2021）＝（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2解：∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），∴f（x）是周期为4的周期函数，∵当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），∴f（2021）＝f（1）＝log22＝1，由f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x）＝﹣f（x+2），f（﹣2021）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，∴f（2021）﹣f（﹣2021）＝2．故选：A．8．已知双曲线C：是直线bx﹣ay+2a＝0上任意一点，若（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝2与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，C．（2，+∞）D．解：双曲线C：﹣﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，即bx﹣ay ＝0，∵P（x0，y0）是直线bx﹣ay+2a＝0上任意一点，则直线bx﹣ay+2a＝0与直线bx﹣ay＝0的距离d＝＝，∵圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝2与双曲线C的右支没有公共点，∴d≥，∴≥，即e＝≤，故e的取值范围为（1，]，故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省滨州市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）集合U=R，A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合是（）A . {x|x≥1}B . {x|1≤x＜2}C . {x|0＜x≤1}D . {x|x≤1}2. （2分）复数z+1=(z-1)i,则z的值是A . iB . -iC . 1+iD . 1-i3. （2分） (2020高一下·林州月考) 函数的图象如图所示，则可能是（）A .B .C .D .4. （2分）己知向量=（﹣1，1），=（3，m），∥（+），则m=（）A . 2B . -2C . 3D . -35. （2分） (2016高二上·辽宁期中) 如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数为18，乙组数据的中位数为16，则x，y的值分别为（）A . 18，6B . 8，16C . 8，6D . 18，166. （2分）等差数列中，，则该数列的前5项的和为（）A . 10B . 16C . 20D . 327. （2分） (2017高二上·海淀期中) 已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面平面，得到如图所示的三棱锥．若为边的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且 .设，则三棱锥的体积的函数图象大致是（）A .B .C .D .8. （2分）在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作．设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是（）A . 0.35B . 0.65C . 0.85D .9. （2分）已知O是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的最小值是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二上·霍邱期中) 如图，在正方体中，点是上底面内一动点，则三棱锥的主视图与左视图的面积的比值为（）A . 2B . 1C . 3D . 411. （2分） (2017高一下·东丰期末) 已知等差数列的公差为3,若成等比数列,则（）A .B .C .D .12. （2分）设函数f(x)＝xex ，则（）A . x＝1为f(x)的极大值点B . x＝1为f(x)的极小值点C . x＝－1为f(x)的极大值点D . x＝－1为f(x)的极小值点二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）如图，矩形ORTM内放置5个边长均为的小正方形，其中A，B，C，D在矩形的边上，且E为AD的中点，则（﹣）•=________14. （1分） (2017高三上·廊坊期末) 设a= dx，则二项式（x2﹣）9的展开式中常数项为________．15. （1分） (2016高二上·仙桃期中) 在正三棱锥S﹣ABC中，侧棱SC⊥侧面SAB，侧棱SC= ，则此正三棱锥的外接球的表面积为________．16. （1分） (2017高一下·泰州期末) 若△ABC的面积为，BC=2，则的取值范围是________．三、解答题 (共7题；共50分)17. （10分） (2017高一下·怀远期中) 在△A BC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π﹣B）（1）求角B的大小；（2）若b=4，△ABC的面积为，求a+c的值．18. （5分）(2017·湖南模拟) 已知数列{an}满足a1=1，a2=4，且对任意m，n，p，q∈N* ，若m+n=p+q，则有am+an=ap+aq ．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{ }的前n项和为Sn ，求证：≤Sn＜．19. （10分）如图所示的三棱台中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1=1，AB=2，BC=4，∠ABB1=45°．（1）证明：AB1⊥平面BCC1B1；（2）若点D为CC1中点，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．20. （5分）(2017·上高模拟) 某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元．（Ⅰ）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列；（Ⅱ）试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？21. （10分） (2018高二下·绵阳期中) 某产品每件成本元，售价元，每星期卖出件.如果降低价格，销售量可以增加，即：若商品降低（单位：元，），则一个星期多卖的商品为件.已知商品单件降低元时，一星期多卖出件.（商品销售利润=商品销售收入-商品销售成本）（1）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大.22. （5分）已知曲线C的参数方程为（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′．（1）求曲线C′的普通方程；（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0），当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的轨迹方程．23. （5分）设函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|（I）若不等式f（x）≤a的解集为（﹣∞， ]．求a的值；（II）若∃x∈R．使f（x）＜m2﹣4m，求m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、。

2024年山东省滨州市三校联考数学高三上期末联考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( )A ．65B C ．5D ．62．2-31ii =+（ ） A ．15-22i B ．15--22i C ．15+22i D ．15-+22i3．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭4．若复数z 满足)1z z i -+=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．12-+ 5．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．2B ．32C ．2D ．126．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（ ）ABC ．D 7．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列8．双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一个焦点为(c,0)F （0c >），且双曲线1C 的两条渐近线与圆2C ：222()4c x c y -+=均相切，则双曲线1C 的渐近线方程为（ ）A ．30x y ±=B ．30x y ±=C ．50x y ±=D ．50x y ±=9．已知i 是虚数单位，若1zi i=-，则||z =（ ） A ．2 B ．2 C ．3D ．310．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．11．设i 是虚数单位，a R ∈，532aii a i+=-+，则a =（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．212．若复数1a iz i-=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省滨州市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）若，，，则（）A .B .C .D .2. （2分）在正方体中，M、N分别是CD、的中点，则异面直线与DN所成角的大小是（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·宿州模拟) 将函数的图象向左平移个单位，再向下平移4个单位，得到函数g（x）的图象，则函数f（x）的图象与函数g（x）的图象（）A . 关于点（﹣2，0）对称B . 关于点（0，﹣2）对称C . 关于直线x=﹣2对称D . 关于直线x=0对称4. （2分）(2018·安徽模拟) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提出如下问题：“今有刍童，下广两丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈，问积几何？”翻译成现代文是“今有上下底面皆为长方形的草垛，下底（指面积较小的长方形）宽丈，长丈；上底（指面积较大的长方形）宽丈，长丈；高丈.问它的体积是多少？”现将该几何体的三视图给出如图所示，则该几何体的体积为（）立方丈.A .B .C .D .5. （2分）已知数列{an}为等比数列，若a2•a3=2a1 ，且a4与2a7的等差中项为，则a1=（）A . 8B . 16C . 32D . 646. （2分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻面系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知，点满足，则直线被点的轨迹截得的弦长为（）A .B .C .D .7. （2分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f （x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x=R恒成立；④存在三个点A（x1 ， f （x1）），B（x2 ， f（x2）），C（x3 ， f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8. （2分） (2015高二下·淄博期中) 把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形（如图），试求第七个三角形数是（）A . 27B . 28C . 29D . 30二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分） (2017高二上·安阳开学考) 已知双曲线x2﹣y2=1，点F1 ， F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2 ，则|PF1|+|PF2|的值为________．10. （1分）(2016·福建模拟) 已知平面向量、满足| |=2，| |=1，与的夹角为120°，且（+λ ）⊥（2 ﹣），则实数λ的值为________．11. （1分） (2017高一下·赣州期末) 设x、y满足约束条件则取值范围________．12. （1分） (2016高一下·湖南期中) 已知函数f（x）=3sin（2x+ ）的图象为C，关于函数f（x）及其图象的判断如下：①图象C关于点（，0）对称；②图象C关于直线x= 对称；③由图象C向右平移个单位长度可以得到y=3sin2x的图象；④函数f（x）在区间（﹣，）内是减函数；⑤函数|f（x）+1|的最小正周期为．其中正确的结论序号是________．（把你认为正确的结论序号都填上）13. （1分）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F 分别为AB、BC的中点。

山东省滨州市高级中学2022年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若实数满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为，则在点处取得最大值的概率为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A约束条件为一个三角形及其内部，其中，要使函数在点处取得最大值，需满足，将一颗骰子投掷两次共有36个有序实数对，其中满足有6+6+5+5+4+4=30对,所以所求概率为选A．2. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体最长的棱长度为（）A．B．C．3 D．参考答案：D【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC．由正方体的性质可得：这个几何体最长的棱长度为PC．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC．由正方体的性质可得：这个几何体最长的棱长度为PC=2．故选：D．3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，向量，则b的值为A.3B. C 4 D. 5参考答案：D4. 设且.若对恒成立,则的取值范围是A. B.C. D.参考答案：D略5. 设集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，B={0，1}，则?A B=（）A．{﹣3，﹣2，﹣1} B．{﹣1，2，3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1}参考答案：B【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】列举出全集A，即可确定出B的补集．【解答】解：∵合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}={﹣1，0，1，2，3}，B={0，1}，∴?U A={﹣1，2，3}．故选B．6. 已知是定义在上的奇函数，满足,当时, ，则函数在区间上的零点个数是A．3 B．5 C．7 D．9参考答案：D7. 已知函数是定义在R上的增函数，函数的图像关于点（1，0）对称，若对任意的恒成立，则当的取值范围是（）A．（3，7）B．（9，25）C．（13，49）D．（9，49）参考答案：C略8.满足集合,且＝的集合的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B9. 已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：【知识点】函数的图象．B9【答案解析】C 解析：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，且函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，∴h（0）=﹣lna＞0，∴lna＜ln，∴0＜a＜，∴a的取值范围是（0，），故选：B【思路点拨】由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），结合函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）图象和性质，可得h（0）=﹣lna＞0，进而得到答案．10. 秦九韶，中国古代数学家，对中国数学乃至世界数学的发展做出了杰出贡献．他所创立的秦几韶算法，直到今天，仍是多项式求值比较先进的算法．用秦九韶算法是将化为再进行运算，在计算的值时，设计了如下程序框图，则在◇和中可分别填入（）A. 和B. 和C. 和D. 和参考答案：C【分析】由题意结合秦九韶算法和流程图确定所需填入的程序语句即可.【详解】由题意可知，当时程序循环过程应该继续进行，时程序跳出循环，故判断框中应填入，由秦九韶算法的递推关系可知矩形框中应填入的递推关系式为：，故选：C.【点睛】本题主要考查流程图问题，流程图与秦九韶算法的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若是等差数列的前项和,且，则的值为．参考答案：44试题分析：由,解得,又由12. 在平面直角坐标系xOy中，角与均以为始边，它们的终边关于y 轴对称，若，则．参考答案：13. 在中，角，，所对边的长分别为，，，为边的中点，且，又已知，则角．参考答案：【知识点】平面向量的几何应用【试题解析】因为为边的中点，所以又，所以所以即，所以C=。

高三数学（理科）试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}24A x x =≥，{}1B x x =>，则()U C AB =（ ）A ．{}22x x -<<B ．{}12x x ≤≤C ．{}21x x -<≤D ．{}21x x -≤< 2.已知复数21iz i-=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z 在复平面上所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.设随机变量ξ服从正态分布()0 1N ，，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<=（ ） A ．12p + B ．1p - C ．12p - D ．12p -4.设变量 x y ，满足约束条件1010410x y x x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则目标函数13y z x +=+的最大值为（ ） A ．14 B ．23 C.32D ．2 5.已知向量a ，b 满足1a =，a b ⊥，则向量2b a -在向量a 方向上的投影为（ ） A ．1 BC.1- D． 6.“0a <”是“函数()f x x a x =-+在区间[)0 +∞，上为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件7.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2017B ．2 C.12D ．1- 8.要得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象， 只需将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移2π个单位B ．向左平移4π个单位C.向右平移2π个单位 D ．向右平移4π个单位9.已知双曲线()22122:10 0x y C a b a b -=>>，的两条渐近线与抛物线22:4C y x =的准线所围成的三角形的面积为2，则双曲线1C 的离心率为（ ） A10.已知函数()21 12 1 1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-++≥⎪⎩，，，则函数()()22x g x f x =-的零点个数为（ ）第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到的数据如下表： bx -，据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为 万元．12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．13.若6x ⎛- ⎝的展开式中常数项是60，则实数a = ． 14.已知直线()800 0ax by a b -+=>>，经过圆22440x y x y ++-=的圆心，则11a b+的最小值为 ．15.设函数()sin f x x x =+，则不等式()()1ln ln 12f x f x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭<的解集是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）在ABC △中，角 A B C ，，的对边分别为 a b c ，，sin cC=. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若6a =，求ABC △的周长的取值范围. 17.（本小题满分12分）如图，在四棱锥C ABDE -中，F 为CD 的中点，BD ⊥平面ABC ，BD AE ∥且2BD AE =.（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ；（Ⅱ）已知2AB BC CA BD ====，求平面ECD 与平面ABC 所成的角（锐角）的大小.18.（本小题满分12分）某小组共7人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，2，3，现从这7人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（Ⅰ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； （Ⅱ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，11a =，且2614a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n b 满足：23122312222n n n b b b b a n ++++=++…，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20.（本小题满分13分） 已知函数()()()212221ln 2f x x a x a x =-+++. （Ⅰ）讨论函数()y f x =的单调性；（Ⅱ）对任意的1 22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，[]()1212 1 2x x x x ∈≠，，，恒有()()121211f x f x x x λ-<-，求正实数λ的取值范围. 21.（本小题满分14分）() x y ，对应点的轨迹是C . （Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与曲线C 交于不同的两点A ，B ，与圆221x y +=相切于点M . （i ）证明：OA OB ⊥（O 为坐标原点）； （ii ）设AM BMλ=，求实数λ的取值范围.高三数学（理科）试题参考答案一、选择题1-5:CADCC 6-10:ADBDD二、填空题11.11.8 12.(12π+ 13.4 14.115.()0 e ，三、解答题16.解：sin cC=， 由正弦定理得，sin sin a c A C ==，……………………1分即sin A A =.…………………………2分所以b B =，c C =， 又()23C A B B ππ=-+=-，…………………………6分所以)sin sin b c B C +=+2sin sin 3B B π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦……………………7分3sin 2B B ⎫=⎪⎪⎭……………………8分 12sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.………………………………9分因为203B π<<， 所以5666B πππ<+<，……………………………………10分 所以612sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即612b c <+≤（当3B π=时，等号成立）.………………11分所以ABC △的周长的取值范围是(]12 18，.………………12分 法二：由已知得0b >，0c >，6b c a +>=.………………5分 由余弦定理得 22362cos3b c bc π=+-…………………………6分()23b c bc =+-……………………………………7分()()()2223144b c b c b c ≥+-+=+.………………8分 当且仅当b c =时，等号成立……………………9分 所以()2436b c +≤⨯，所以12b c +≤，…………………………10分 又6b c +>，所以612b c <+≤，……………………11分所以ABC △的周长的取值范围为(]12 18，.………………12分 17.解：（Ⅰ）证明：取BC 的中点M ，连接MF ，AM .…………1分 又F 为CD 的中点，所以FM BD ∥，且2BD FM =.…………………………2分 又因为AE BD ∥，且2BD AE =，所以AE FM ∥，且AE FM =，……………………3分 所以四边形AEFM 为平行四边形.所以EF AM ∥.…………………………4分 又AM ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .………………………………5分（Ⅱ）解法一：如图，在平面ABC 内过点B 作BP AB ⊥，以点B 为原点，分别以直线BA ，BP ，BD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0 0 0B ，，，()0 0 2D ，，，()1 0C ，，()2 0 1E ，，，所以()2 0 1ED =-，，，()1 2CD =--，，.…………6分 设平面CDE 的法向量为() n x y z =，，，则n ED n CD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，所以00n ED n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，…………………………7分 所以2020x z x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，………………………………8分令1x =，则y =2z =，即()1 3 2n =，，.…………………………9分 又因为BD ⊥平面ABC ，所以()0 0 2BD =，，是平面ABC 的一个法向量.………………10分所以cos 28n BD n BD n BD⋅<>===⋅，.……………………11分 所以平面ECD 与平面ABC 所成的角（锐角）的大小为4π.………………12分解法二：如图，延长DE 交BA 的延长线于M ，连结MC ， 由题意知，平面ECD平面ABC MC =，…………6分因为BD AE ∥，且2BD AE =，所以12MA MB =， 又因为2AB BC CA ===， 所以12AC MB =， 所以2MCB π∠=，即CM CB ⊥.……………………8分又BD ⊥平面ABC ，且CM ⊂平面ABC ， 所以CM DB ⊥，又CB ⊂平面BCD ，DB ⊂平面BCD ，CBDB B =，所以MC ⊥平面BCD ，………………………………9分 又CD ⊂平面BCD ，所以MC CD ⊥，……………………10分所以BCD ∠就是所求的平面ECD 与平面ABC 所成的角（锐角）的平面角.……11分 因为2BC BD ==，且BD BC ⊥，所以4BCD π∠=.所以平面ECD 与平面ABC 所成的角（锐角）的大小为4π.………………12分18.解：（Ⅰ）由已知，有()1122322713C C C P A C +==.…………………………4分 所以，事件A 发生的概率为13.……………………………………5分（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.……………………6分()222223275021C C C P X C ++===，……………………………………7分 ()121122232710121C C C C P X C +===，……………………………………8分 ()112327622217C C P X C ====．………………………………9分所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()5102220122121721E X =⨯+⨯+⨯=．………………12分 19.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ， 因为2614a a +=，所以，12614a d +=，…………1分 又11a =，所以2d =．……………………2分所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-．………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知23122322222n n b b b b n n ++++=+…．① 所以，当1n =时，132b =，即15b =．…………………………4分 当2n ≥时，()()231122311212222n n b b b b n n --++++=-+-…．②……5分 ①式减去②式，得212nnb n =+． 所以()212n n b n =+．……………………………………6分 又16b =也符合上式，所以()212n n b n =+．…………………………………………7分 所以()()1231325272212212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-++…，③所以()()23412325272212212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-++…，④……8分 ③式减去④式，得()()23162222212n n n T n +-=++++-+……………………………9分()211226221212n n n +++=+⨯-+-…………………………………………10分()12122n n +=-+-．……………………………………11分所以()12122n n T n +=-+．………………………………12分 20.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0+∞，，()()()2222121'22x a x a a f x x a x x-++++=-++=．………………1分 由()'0f x =，得1x =或21x a =+． （1）当210a +≤，即12a ≤-时，由()'0f x >得1x >，()'0f x <得01x <<，函数()f x 在区间()1+∞，上单调递增，在区间()01，上单调递减．……2分 （2）当0211a <+<，即102a -<<时，由()'0f x >得021x a <<+，或1x >，由()'0f x <得211a x +<<，函数()f x 在区间()021a +，和()1+∞，上分别单调递增，在区间()211a +，上单调递减．……3分（3）当211a +=即0a =时，()'0f x ≥在()0+∞，上恒成立， 函数()f x 在区间()0+∞，上单调递增．…………………………4分 （4）当211a +>，即0a >时，由()'0f x >得01x <<，或21x a >+，由()'0f x <得121x a <<+，函数()f x 在区间()01，和()21a ++∞，上分别单调递增，在()121a +，上单调递减． (5)分 综上所述，当12a ≤-时，函数()f x 在区间()1+∞，上单调递增，在()01，上单调递减； 当102a -<<时，函数()f x 在区间()021a +，和()1+∞，上分别单调递增，在区间()211a +，上单调递减． 当0a =时，函数()f x 在区间()0+∞，上单调递增；当0a >时，函数()f x 在区间()01，和()21a ++∞，上分别单调递增，在()121a +，上单调递减．……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，()f x 在[]12，上单调递减， 不妨令12x x <，则1211x x >，且()()12f x f x >， 所以()()121211f x f x x x λ-<-可化为()()121211f x f x x x λ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，……7分 即()()1212f x f x x x λλ-<-对任意的122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，[]1212x x ∈，，恒成立．……8分 令()()g x f x x λ=-，[]12x ∈，，则()g x 在[]12，上单调递增，…………………………9分 即()()2''0g x f x x λ=+≥对任意122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，[]1212x x ∈，，恒成立， 即()()221'220a g x x a x x λ+=-+++≥， 化简得()()2222210x a x a x λ-++++≥，即()2322220x x a x x x λ-+-++≥在122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，………………10分 因为[]12x ∈，，所以2220x x -≤，所以()232222y x x a x x x λ=-+-++在122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上是常函数或者单调递减函数， 所以只需()23222220x x x x x λ-+-++≥，即32650x x x λ-++≥对任意的[]12x ∈，恒成立．………………11分 令()3265h x x x x λ=-++，[]12x ∈，，显然，()2'31250h x x x =-+<在[]12，上恒成立，所以，函数()h x 在[]12，上为减函数，……………………12分 所以，只需()min 824100h x λ=-++≥，得6λ≥，所以λ的取值范围是[)6+∞，．………………13分21.解：=分 所以()x y ，对应点的轨迹C是以0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，0⎫⎪⎪⎭，为焦点，为长轴长的椭圆．……2分因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，设椭圆的焦距为2c ．所以2222a c a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得a b c ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．………………………………3分 所以椭圆C 的方程为222133x y +=，………………………………4分 （Ⅱ）（i ）因为直线:l y kx m =+与圆221x y +=相切，1=，即221m k =+．……………………5分 由222133y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得，()222214230k x kmx m +++-=， 又()()22221642123k m k m ∆=-+-2282412m k =-++21640k =+>， 设()11A x y ，，()22B x y ，，则122421km x x k -+=+，21222321m x x k -=+…………………………7分 所以()()12121212OA OB x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++()()2212121k x x km x x m =++++()2222223412121m km k km m k k --=++⨯+++ ()222331021m k k -+==+．所以OA OB ⊥．……………………………………9分 （ii ）因为直线:l y kx m =+与椭圆交于不同的两点A B ，， 所以22112133x y +=，22222133x y +=，所以AMBM λ====．…………11分由（Ⅱ）（i ）知：12120x x y y +=， 所以222222121212332222x x x x y y ⎛⎫⎛⎫==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22122131x x x -=+，所以2112x λ+==．…………………………13分因为1x ≤≤，所以λ的取值范围是122λ≤≤．…………………………14分。

2023届山东省滨州市高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}1,4,A x =，{}21,B x =，且AB B =，则x 的所有取值组成的集合为（ ） A ．{}2,0- B ．{}0,2C ．{}2,2-D ．2,0,2【答案】D【分析】根据集合的包含关系分类讨论求解. 【详解】因为A B B =，所以B A ⊆，所以2x A ∈， 若24x =，则2x =或2x =-，经检验均满足题意， 若2x x =，则0x =或1x =，经检验0x =满足题意，1x =与互异性矛盾， 综上x 的所有取值为：2-，0,2， 故选:D.2．已知()1i 3i z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．5BC ．2D 【答案】B【分析】由复数的除法运算，化简求复数z 的代数形式，再利用复数模的计算公式，即可求解． 【详解】由复数z 满足()1i 3i z +=-，则3i (3i)(1i)24i12i 1i (1i)(1i)2z ----====-++-，则z == 故选：B ．3．若“12x <<”是“不等式2()1x a -<成立”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,2 B ．(]1,2C ．[]1,2D ．()1,2【答案】C【分析】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【详解】解：由2()1x a -<得11a x a -<<+，12x <<是不等式2()1x a -<成立的充分不必要条件，∴满足1112a a -≤⎧⎨+≥⎩，且等号不能同时取得，即21a a ≤⎧⎨≥⎩， 解得12a ≤≤， 故选：C ．4．在四边形ABCD 中,AB CD ∥,4AB CD =,点E 在线段CB 上,且3CE EB =,设AB a =,AD b =,则AE =（ ）A ．5182a b +B ．5142a b +C ．131164a b + D ．13184a b + 【答案】C【分析】画出图象,根据向量加减法则及向量共线定理即可得出结果. 【详解】解:由题知,AB CD ∥,4AB CD =，画出示意图如下:因为3CE EB =,AB a =,AD b =, 所以AE AB BE =+ 14AB BC =+()14AB BA AD DC =+++ 311444AB AD DC =++ 3114416AB AD AB =++ 131164AB AD =+ 131164a b =+. 故选:C5．设a ，b 为正数，若圆224210x y x y ++-+=关于直线10ax by -+=对称，则2a bab+的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．6D ．10【答案】A【分析】求出圆的圆心坐标，得到,a b 的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可．【详解】解：圆224210x y x y ++-+=，即()()22214x y ++-=，所以圆心为(2,1)-， 所以210a b --+=，即21a b +=，因为0a >、0b >，则2222(2)(2)2252229a b a b a b a b ab a ab ab abab+++++⋅===，当且仅当13b a ==时，取等号． 故选：A ．6．甲、乙为完全相同的两个不透明袋子，袋内均装有除颜色外完全相同的球．甲袋中装有5个白球，7个红球，乙袋中装有4个白球，2个红球．从两个袋中随机抽取一袋，然后从所抽取的袋中随机摸出1球，则摸出的球是红球的概率为（ ） A ．12B ．1124C ．712 D ．13【答案】B【分析】判断摸出的球是红球的事件为全概率事件，则只需讨论摸出的红球是甲袋还是乙袋两种情况，再分别求出其概率，即可得出结论.【详解】设事件A 为 “取出甲袋”,事件B 为 “取出红球”, 分两种情况进行讨论. 若取出的是甲袋, 则1()()P P A P B A =⋅, 依题意可得 17(),()212P A P B A ==, 所以 1177()()21224P P A P B A =⋅=⨯=， 若取出的是乙袋, 则2()()P P A P B A =⋅, 依题意可得 1()2P A =, 1()3P B A =，所以2111()()236P P A P B A =⋅=⨯=，综上所述, 摸出的球是红球的概率为121124P P P =+=. 故选：B.7．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．αβ∥，m α∥，则m β∥B ．m α⊂，n ⊂α，m β∥，n β∥，则αβ∥C ．l αβ=，m α⊂，m l ⊥，则m β⊥D ．m α⊥，m n ∥，αβ∥，则n β⊥ 【答案】D【分析】根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，性质定理、线面垂直的性质定理判断即可.【详解】对于A ，αβ∥，m α∥，则m β∥或m β⊂，A 错误；对于B ，若m α⊂，n ⊂α，m β∥，n β∥，则αβ∥或,αβ相交， 只有加上条件,m n 相交，结论才成立，B 错误； 对于C ，l αβ=，m α⊂，m l ⊥无法得到m β⊥，只有加上条件αβ⊥才能得出结论，C 错误；对于D ，m α⊥，m n ∥，则n α⊥，又因为αβ∥，所以n β⊥，D 正确. 故选:D.8．某钟表的秒针端点A 到表盘中心O 的距离为5cm ，秒针绕点O 匀速旋转，当时间0=t 时，点A 与表盘上标“12”处的点B 重合．在秒针正常旋转过程中，A ，B 两点的距离d （单位：cm ）关于时间t （单位：s ）的函数解析式为（ ） A ．π10sin (0)60d t t =≥ B ．π10cos(0)60d t t =≥ C ．()π10sin ,12060120,N 60π10sin ,601201201,N60t k t k k d t k t k k ⎧≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪-+<<+∈⎪⎩D ．π10cos ,12030120,N 60π10cos ,3012090120,N60t k t k k d t k t k k ⎧≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪-+<<+∈⎪⎩【答案】C【分析】由条件分析函数的性质，由此判断正确选项.【详解】由已知函数()d t 的定义域为[)0,∞+，周期为60s ，且()30s t =时，()10cm d =， 对于选项A ，函数π10sin (0)60d t t =≥周期为()2π120s π60=，A 错误；对于选项B ，函数π10cos (0)60d t t =≥周期为()2π120s π60=，B 错误；对于选项D ，当30t =时，0d =，D 错误； 对于选项C ， ()2ππ25sin10sin 26060d t t t =⨯=⨯｜｜｜｜， 所以函数()π10sin ,12060120,N 60π10sin ,601201201,N60t k t k k d t k t k k ⎧≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪-+<<+∈⎪⎩，故选：C.二、多选题9．已知两种不同型号的电子元件的使用寿命（分别记为X ，Y ）均服从正态分布，()211,X N μσ，()222,YN μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（ ）参考数据：若()2,Z N μσ~，则()0.6827P Z μσμσ-+≈≤≤，()220.9545P Z μσμσ-+≈≤≤．A ．()111120.8186P X μσμσ-≤≤+≈B ．对于任意的正数t ，有()()P X t P Y t >≤≤C ．()()12P Y P Y μμ≥<≥D ．()()12P X P X σσ≤<≤ 【答案】ABD【分析】抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征分析即可． 【详解】解：对于A ：()11112P X μσμσ-<<+ ()()111111111222P X P X μσμσμσμσ=-<<++-<<+⎡⎤⎣⎦1(0.68270.9545)0.81862≈+⨯=，故A 正确； 对于B ：对于任意的正数t ，由图象知()P X t ≤表示的面积始终大于()P Y t ≤表示的面积， 所以()()P X t P Y t ≤>≤，故B 正确，对于C ：由正态分布密度曲线，可知12μμ<，所以21()()P Y P Y μμ≥≥，故C 错误； 对于D ：由正态分布密度曲线，可知12σσ<，所以21()()P X P X σσ≤≤，故D 正确； 故选：ABD ．10．已知函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则下列关于函数()()2g x f x =的结论中，正确的是（ ）A ．()g x 的最小正周期为2πB ．()g x 的单调递增区间为()511,,242242k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．当,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()g x 的最大值为1D ．()g x 在区间[]0,2π上有且仅有7个零点 【答案】BC【分析】根据图像求出函数()f x 的解析式，从而可得三角函数()g x 的解析式，根据三角函数的性质对各个选项逐一验证即可. 【详解】由题可知1A =，22,,22362T T T=-=∴===πππππω，()sin(2)ϕ∴=+f x x ， ∴sin 063f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππϕ，即222,33k k k ππϕππϕπ+=+⇒=+∈Z ，0ϕπ<<，23πϕ∴=，故2()sin(2)3f x x π=+， ()()2g x f x =，()2sin(4)3g x x π+∴=，()g x 的最小正周期为242T ππ==，故A 错误； ()27242232242242k k k x k x k πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤-+∈Z ，即()511242242k k x k +≤≤+∈Z ππππ，故B 正确； 22,040,633x x πππ⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当2432x +=ππ时， max ()1g x =，故C 正确；22,040,633x x πππ⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当2432x +=ππ时， max ()1g x =，故C 正确；令()24,364k x k x k +=⇒=-+∈Z ππππ，[]0,2x π∈，∴零点可取值为：当1k =时，12x π=；当2k =时，3x π=；当3k =时，712x π=；当4k =时，56x π=；当5k =时，1312x π=；当6k =时，43x π=；当7k =时，1912x π=；当8k 时，116x π=，符合题意；当9k =时，25212x =>ππ，不符合题意；故()g x 在区间[]0,2π上有且仅有8个零点，故D 错误； 故选：BC.11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，12n n S S n +=+，则下列结论正确的是（ ） A ．1n n a S +>B ．{}1n a +是等比数列C ．2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递增数列D ．2n n S a ≥【答案】AC【分析】由已知得出1n n a S n +=+，可判断A 选项的正误；利用等比数列的定义可判断B 选项的正误；利用数列的单调性可判断C 选项的正误；利用作差法可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由12n n S S n +=+得1n n a S n +=+，故1n n a S +>，A 正确； 对于B 选项，将12n n S S n +=+，()1212n n S S n n -=+-≥两式相减得121n n a a +=+， 即()1121n n a a ++=+()2n ≥，又令1n =，得21111213212S S a a a =+⇒+=+⇒=，()21121a a +≠+，所以{}1n a +从第二项开始成等比数列，公比为2，故2n ≥时，()221212n n n a a -+=+=，即21n n a =-，所以，2,121,2n n n a n =⎧=⎨-≥⎩，故B 选项错误；对于C 选项，因为2,121,2n nn a n =⎧=⎨-≥⎩.当1n =时，12S =， 当2n ≥时，()()()()2312122222112112n n n n S n n n +-=++++--=--=---.所以，12,121,2n n n S n n +=⎧=⎨--≥⎩，令1,1122,22n n n n n S c n n =⎧⎪==⎨+-≥⎪⎩，则2n ≥时，1111211222022222n n n n n n n n n n n n c c ++++++++⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1n n c c +>，而2154c c =>，所以数列{}n c 单调递增，C 选项正确； 对于D 选项，当2n ≥时，()112212211n n n n S a n n ++-=----=-≤-，112S a <显然成立，故2n n S a <恒成立，D 选项错误.故选：AC.12．设点A ，1F ，2F 的坐标分别为()1,1-，()1,0-，()1,0，动点P 满足124PF PF +=，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 的轨迹方程为22143x y +=B ．25PA PF +<C ．11PA PF +>D ．有且仅有3个点P ，使得2PAF △的面积为32【答案】ACD【分析】A 选项，由题易得点P 的轨迹方程为22143x y +=； B 选项，211445PA PF PA PF AF +=+-≤+=，可取等号； C选项，1224441PA PF PA PF AF +=+-≥-=；D 选项，利用三角形的面积公式转化为直线与椭圆的公共点个数问题，联立方程即可判断.【详解】由题知，点P 的轨迹是2a =，1c =，焦点在x 轴上的椭圆，则b =椭圆方程为22143x y +=， 故A 选项正确；对于B 选项，211445PA PF PA PF AF +=+-≤+=，当点P 为F 1A 的延长线与椭圆的交点时，等号成立，故B 选项错误；对于C 选项，124PA PF PA PF +=+-，因为22|||||AF |PA PF -≤，所以222||||||AF PA PF AF -≤-≤，所以1224441PA PF PA PF AF +=+-≥-=>当点P 为AF 2的延长线与椭圆的交点时，等号成立，1PA PF +取最小值4，故C 选项正确； 对于D 选项，设使得1PAF 的面积为32的P 点坐标为00(,)x y ，由1,A F坐标知，1AF 1AF 的方程为210x y -+=，则1322=，解得00220x y --=或00240x y -+=， 联立002200220143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得200230y y -=， 则90∆=>，因此存在两个交点；同理可得直线00240x y -+=与椭圆仅有一个交点；综上，有且仅有3个点P ，使得1PAF 的面积为32，故D 选项正确；故选：ACD三、填空题13．已知双曲线2222x y a b-＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为________. 【答案】221916x y -= 【解析】圆的半径就是c ，再由点(3,4)在渐近线上可得34ba=，这样可求得,a b ，得双曲线方程． 【详解】由题意知，圆的半径为5，又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线y ＝bax 上，因此有222543a b ba ⎧+=⎪⎨=⨯⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩所以此双曲线的方程为221916x y -=． 故答案为：221916x y -=． 【点睛】本题考查求双曲线的标准方程，寻找两个等式是必由之路．本题中两个已知条件：圆的半径等于双曲线的半焦距，点(3,4)在渐近线上．联立后可解得,a b 得双曲线方程．14．“中国天眼”（如图1）是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球冠是球面被平面所截的一部分，如图2所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高．若球面的半径是R ，球冠的高度是h ，则球冠的面积2πS Rh =）．已知天眼的球冠的底的半径约为250米，天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为_________米．（参考数值410.52π-≈）【答案】130【分析】由()222250R h R -+=，结合2πS Rh =求解.【详解】由题意得：()222250R h R -+=，则222250Rh h =+，则222ππ250π250000Rh h =+=，所以222250000250π42501πh π-⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以425012500.52130πh =-⨯=， 故答案为：130.15．10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法有______种 【答案】420【分析】先从7个人中选2人调整到前排，再把2人在5个位置选2个进行排列，按照乘法计数原理计算即可.【详解】先从7个人中选2人调整到前排有27C 种选法，调整后前排有5个人，把2人在5个位置选2个进行排列由25A 种站法，其他3人的相对顺序不变站到剩余3个位置，按照乘法计数原理得总共有2275C A 420⋅=种方法.故答案为：42016．已知函数()()e ,02e 1,0xx k kx x f x x x -⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩（e为自然对数的底数），若关于x 的方程()()f x f x -=-有且仅有四个不同的解，则实数k 的取值范围是_________． 【答案】()2e,∞+【分析】设()()()F x f x f x =+-，由题可得当0x >时，()F x 有两个零点，进而可得2e 2x x kx k =-有两个正数解，令()()2e 0x g x x x =>，考查直线2y kx k =-与曲线()()2e 0xg x x x =>相切时k 的值，数形结合可得出实数k 的取值范围.【详解】令()()()F x f x f x =+-，可得()()()()F x f x f x F x -=-+=， 所以函数()F x 为偶函数，因为()010f =>，则()()0200F f =>，所以，当0x >时，函数()F x 有两个零点，且当0x >时，0x -<，可得()()1e e e 22x xx k k F x x kx x kx =+--+=-+， 令()0F x =，可得22e x kx k x -=，令()2e x g x x =，其中0x >，则()()21e 0xg x x '=+>，故函数()g x 在()0,∞+上为增函数，下面考查直线2y kx k =-与函数()g x 的图象相切的情形：设直线2y kx k =-与函数()g x 的图象相切于点()(),t g t ，其中0t >， 函数()g x 的图象在x t =处的切线斜率为()21e tt +，故曲线()y g x =在点()(),t g t 的切线的方程为()()2e 21e t ty t t x t -=+-，即()221e 2e t ty t x t =+-，由题意可得()2221e 2e 0t tk t k t t ⎧=+⎪-=-⎨⎪>⎩，解得1t =，2e k =，结合图形可知，当2e k >时，直线2y kx k =-与曲线()y g x =在()0,∞+上的图象有两个交点， 即此时函数()F x 在()0,∞+上有两个零点， 因此，实数k 的取值范围是()2e,∞+. 故答案为：()2e,∞+.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.四、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 3sin 3cos b a C c A -=． (1)求C ；(2)若3c =，ACB ∠的平分线CD 交AB 于点D ，且2CD =．求ABC 的面积． 【答案】(1)π3【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得；（2）依题意得π6ACD BCD∠=∠=，由ABC ACD BCDS S S=+△△△()2a b=+，再由余弦定理得到29()3a b ab=+-，即可求出ab，最后根据面积公式计算可得.【详解】（1）解：sin cosa C A-=，sin sin cosB AC C A-=，()sin sin cosA C A C C A+-=，cos sin sin sin cosA C A C A C C A-，cos sin sinA C A C=，又()0,πA∈，所以sin0A>，sinC C=，则sintancosCCC==又()0,πC∈，所以π3C=.（2）解：由题意，得π6ACD BCD∠=∠=，又ABC ACD BCDS S S=+△△△，所以1π1π1πsin2sin2sin232626ab b a=⨯+⨯，()2a b=+，由余弦定理得22π92cos3a b ab=+-，即29()3a b ab=+-，于是293ab=-⎝⎭，解得6ab=或2ab=-（舍），所以1sin2ABCS ab C==．18．设公差不为0的等差数列{}n a的前n项和为n S，若39S=，且2a，5a，14a成等比数列．(1)求数列{}n a的通项公式；(2)求满足条件()*231111013111,22023nn nS S S⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥∈≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N的正整数n的最大值．【答案】(1)()*21na n n=-∈N(2)674【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为()0d d ≠，然后根据题意列方程组可求出1,a d ，从而可求出通项公式；（2）由（1）得2n S n =，则()()21111n n n S n -+-=，从而可求出23111111n S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再解不等式可得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为()0d d ≠， 因为39S =，且2a ，5a ，14a 成等比数列，所以125214339a d a a a +=⎧⎨=⎩，12222111138161413a d a a d d a a d d +=⎧⎨++=++⎩，即11320a d d a +=⎧⎨-=⎩，解得11,2.a d =⎧⎨=⎩ 所以数列{}n a 的通项公式为()*21n a n n =-∈N ．（2）由（1）知21n a n =-，易得()21212n n n S n +-==，则()()22221111111n n n n S n n n -+--=-==，所以222222*********111123n n S S S n⎛⎫⎛⎫⎛⎫------=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ()()2221113241232n n n n n-+⨯⨯+=⨯⨯⨯=，因为()*231111013111,22023n n n S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥∈≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ， 所以1101322023n n +≥， 解得20233n ≤， 所以正整数n 的最大值为674．19．如图1，在平面六边形ADCFBE 中，四边形ABCD ABE 和BCF △均为正三角形，分别以AC ，BC ，AB 为折痕把ADC BCF ABE ，，折起，使点D ，F ，E 重合于点P ，得到如图2所示的三棱锥P ABC -．(1)证明：平面P AC ⊥平面ABC ；(2)若点M 是棱P A 上的一点，当直线BM 与平面P AC 所成的角最大时，求二面角M BC A --的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 311【分析】（1）根据题意证明OB ⊥平面P AC ，即可得结果；（2）根据题意可知直线BM 与平面P AC 所成的角为BMO ∠，利用正切值分析可得当M 为PA 的中点时，直线BM 与平面P AC 所成的角最大，建系，利用空间向量求二面角. 【详解】（1）取AC 的中点O ，连接,PO OB ， ∵,PA PC AB AC ==，O 为AC 的中点， ∴,PO AC BO AC ⊥⊥，又∵1,2PO OB PB ===222PO OB PB +=， ∴PO OB ⊥， ,,POAC O PO AC =⊂平面P AC ，则OB ⊥平面P AC ，OB ⊂平面ABC ，故平面P AC ⊥平面ABC .（2）连接OM ，由（1）可知：OB ⊥平面P AC ，则直线BM 与平面P AC 所成的角为BMO ∠，即1tan BO BMO OM OM∠==， 当BMO ∠取到最大时，则OM 取到最小，即OM PA ⊥，且OA OP =， 故当M 为PA 的中点时，直线BM 与平面P AC 所成的角最大，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()110,,,0,1,0,1,0,022M C B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设平面MBC 的法向量为(),,n x y z =，∵()311,1,0,0,,22CB CM ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则有031022n CB x y n CM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令1x =，则1,3y z =-=，即()1,1,3n =-， 由题意可得：平面ABC 的法向量为()0,0,1m =， ∵3311cos ,1111n m n m n m⋅===， 由图可得二面角M BC A --为锐角， 故二面角M BC A --的余弦值为31111.20．某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖的400家企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果：支持 不支持 合计 中型企业 60 20 80 小型企业 180 140 320 合计 240160400(1)依据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关； (2)从上述支持技术改造的中小型企业中，按分层随机抽样的方法抽出12家企业，然后从这12家企业中随机选出9家进行奖励，中型企业每家奖励60万元，小型企业每家奖励20万元．设X 为所发奖励的总金额（单位：万元），求X 的分布列和均值．附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．【答案】(1)推断犯错误的概率不大于0.005． (2)分布列见解析，270【分析】(1)提出零假设，计算2χ，比较其与临界值的大小，确定是否接受假设； (2)求随机变量X 的所有可能取值，确定其取各值的概率，再由期望公式求期望即可. 【详解】（1）零假设为0H ：“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”无关 根据列联表中的数据，计算得到22400(6014018020)9.35780320240160χ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，{}27.8790.005P χ>=．根据小概率值0.005α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005． （2）由（1）可知支持节能降耗技术改造的企业中，中型企业与小型企业的数量比为1:3． 所以按分层随机抽样的方法抽出的12家企业中有3家中型企业，9家小型企业．选出的9家企业的样本点是()0,9，()1,8，()2,7，()3,6（前者为中型企业家数，后者为小型企业家数）．故X 的所有可能取值为180，220，260，300．()0939912C C 1180C 220P X ===，()1839912C C 27220C 220P X ===，()2739912C C 10827260C 22055P X ====，()3639912C C 8421300C 22055P X ====，故X 的分布列为X 的均值为()12727211802202603002702202205555E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．已知抛物线2:4C x y =，点M 为直线1y =-上的动点（点M 的横坐标不为0），过点M 作C 的两条切线，切点分别为,A B ． (1)证明：直线AB 过定点；(2)若以点()0,4N 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形AMBN 的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)【分析】（1）根据题意结合导数分别求点,A B 处的切线，分析可得直线AB 的方程为220tx y -+=，即可得结果；（2）根据题意结合韦达定理求得四边形AMBN 的面积()2142S t ⎫=+，再根据由NE AB ⊥求得22t =，代入即可.【详解】（1）设()(),10M t t -≠，()11,A x y ，()22,B x y ， 因为24x y =，则2x y '=， 所以11|2x x x y ='=，则切线MA 的斜率为12x ， 故11112y x x t +=-，整理得11220tx y -+=， 同理可得22220tx y -+=， 故直线AB 的方程为220tx y -+=， 所以直线AB 过定点()0,1.（2）由（1）知直线AB 的方程为12ty x =+，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由2124t y x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩整理得2240x tx --=， 于是122x x t +=，124x x =-，2Δ4160t =+>，则()21212222ty y x x t +=++=+，故2124AB x t =-==+．设1d ，2d 分别为点M ，N 到直线AB的距离，则1d ==2d ==，四边形AMBN 的面积()()21211422S AB d d t ⎫=+=+，()* 设E 为线段AB 的中点，则22,2t E t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．由NE AB ⊥，得22612t t t -⨯=-，解得22t =， 将22t =代入()*式解得S =AMBN的面积为S = 【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)面积问题常采用12S =×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解．22．已知函数()e sin 1xf x ax x =-+-．（1）若函数()f x 在()0,∞+上为增函数，求实数a 的取值范围； （2）当12a ≤<时，证明：函数()()()2g x x f x =-有且仅有3个零点． 【答案】（1）2a ≤；（2）证明见解析.【解析】（1）由()cos x f x e a x '=-+，根据条件即cos x a e x ≤+在()0,x ∈+∞上恒成立，设()cos x h x e x =+，求出其导数，得出单调性，求出最小值，可得答案.（2）由()()2=00=0g g ，，所以2x =，0x =是()()()2g x x f x =-的两个零点．因为12a ≤<，由（1）知，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，()()00f x f >=，无零点．所以即证函数()f x 在(),0∞-上有且仅有1个零点，分(],πx ∈-∞-和()π,0x ∈-分别讨论即可证明.【详解】（1）因为()cos x f x e a x '=-+，由函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则cos x a e x ≤+在()0,x ∈+∞上恒成立.令()cos x h x e x =+，()0,x ∈+∞，()sin xh x e x '=-当0x >时，e 1x >，所以()sin 0xh x e x '=->恒成立.所以()h x 在()0,∞+为增函数．所以()()02h x h >= 所以2a ≤．（2）由()()()()()2sin 12xe ax g xf x x x x -+=---=，则()()2=00=0g g ，所以2x =，0x =是()()()2g x x f x =-的两个零点．因为12a ≤<，由（1）知，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，()()00f x f >=，无零点． 所以下面证函数()f x 在(),0∞-上有且仅有1个零点．①当(],πx ∈-∞-时，∵12a ≤<，∴πax -≥，∴()πsin 10xf x e x ≥++->．无零点．②当()π,0x ∈-时，∵sin 0x <，设()()()','sin 0xu x f x u x e x ==->，∴()f x '在()π,0-上递增，又∵()020f a '=->，()ππ10f e a -'-=--<，∴存在唯一零点()0π,0x ∈-，使得()00f x '=． 当()0π,x x ∈-时，()0f x '<，()f x 在()0π,x -上递减； 当()0,0x x ∈时，0fx，()f x 在()0,0x 上递增．所以，函数()f x 在()π,0-上有且仅有1个零点． 故函数()f x 在(),0∞-上有且仅有1个零点．综上：当12a ≤<时，函数()()()2g x x f x =-有且仅有3个零点．【点睛】关键点睛：本题考查由函数单调性求参数范围和利用导数讨论函数零点个数问题，解答本题的关键是将问题转化为cos x a e x ≤+在()0,x ∈+∞上恒成立，以及由()()2=00=0g g ，，所以2x =，0x =是()()()2g x x f x =-的两个零点．因为12a ≤<，由（1）知，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，()()00f x f >=，无零点．所以即证函数()f x 在(),0∞-上有且仅有1个零点，属于难题.。

山东省滨州市沾化一中高三上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．复数131iZ i-=+的实部是（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．4-2．若1:1,:1p x q x><，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知li m ()x ax x x→∞2-1+=2-13，则a =（ ）A ．-6B ．2C ． 3D ．64．函数132+=x y （x ≤0）的反函数是（ ）A ．3)1(-=x y )0(≥xB ．3)1(--=x y )0(≥xC ．3)1(-=x y )1(≥xD ．3)1(--=x y )1(≥x5．51(2)2x -的展开式中2x 的系数是（ ） A ．5B ．10C ．-15D ．-56．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2OB a =2008OA a OC +，且A 、B 、C 三点共线（O 为该直线外一点），则2009S = （ ）A ．B ．20092C ．20092D ．20092- 7．下列命题中不正确的是（ ）A ．若ααα⊂==⊂⊂lB b l A a l b a 则，,,,B ．若a ∥c ，b ∥c ，则a ∥bC ．若a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ，则a ∥αD ．若一直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外8．如果三棱锥S-ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的 （ ）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心9．若椭圆221x y m n +=（m ＞n ＞0）和双曲线221x y a b-=（a ＞b ＞0）有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是（ ）A ．m －aB ．1()2m a -C ．m 2－a 2D10．4位学生与2位教师并坐合影留念，教师不能坐在两端，且不能相邻，则不同的坐法种数有 （ ）A ．144B ．48C ．24D ．7211．若直线y x b =+与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是（ ） A ．[1-1+B ．[1,3]C ．[1-D ．[-1,1+12．定义在R 上的函数()f x 满足：(1)(1)(1)f x f x f x -=+=-成立，且()[1,0]f x -在 上单调递增，设(3),(2)a f b f c f ===，则c b a 、、的大小关系是（ ） A ．c b a >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．a b c >>第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共把答案填在题中横线上．13．已知变量x 、y 满足的约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，则y x z 23+=的最大值为 ．14．在A ，B 两个袋中都有6张分别写有数字0，1，2，3，4， 5的卡片，现从每个袋中任取一张卡片，则两张卡片上数字之和为7的概率为 ． 15．设0,0a b >>，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则11a b+的最小值是 ． 16．给出如下四个结论：①存在)2,0(πα∈使31cos sin =+a a ②存在区间（,a b ）使x y cos =为减函数而x sin ＜0 ③x y tan =在其定义域内为增函数 ④)2sin(2cos x x y -+=π既有最大、最小值，又是偶函数⑤|62|sin π+=x y 最小正周期为π其中正确结论的序号是三、解答题：本大题共6小题，共70分。