4.6 系统函数H (s )4.6.1 系统函数设线性时不变系统的冲激响应为)(t h ，系统在激励信号)(t e 的作用下产生的零状态响应为)(t r ，则)()()(t h t e t r *= （4-6-1）对上式取拉氏变换氏变换，并借助卷积定理，可得)()()(s H s E s R ⋅= （4-6-2）所以)()()(s E s R s H =（4-6-3） 这就是拉氏变换形式的系统函数，它定义为：系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比。
在式(4-6-2)中，)(s H 是)(t h 的拉氏变换，即)]([)(t h s H L =也就是说，系统冲激响应)(t h 和系统函数)(s H 构成一拉氏变换对，它们分别从时域和S 域表征同一系统的特性。
如何求系统函数呢？这里有如下三种情况。
(1) 若已知系统的冲激响应)(t h ，则对其取拉氏变换，就立即获得系统函数)(s H ，这是最简单的的情况。
(2) 若已知描述系统的微分方程，则可对微分方程两端取拉氏变换，写出系统零状态响应拉氏变换)(s R 与激励的拉氏变换)(s E 之比，从而求得系统函数。
例4-6-1 已知描述系统的微分方程为试求系统函数)(s H 和冲激响应)(t h解：在零起始状态条件下，对微分方程两端取拉氏变换，得td te d t r t d t r d )(2)(3)(=+)(2)(3)(s sE s R s sR =+所以系统函数为32)()()(+==s ss E s R s H 利用除法将上式改写成36232)(+-=+=s s s s H 对)(s H 取拉氏逆变换，求得冲激响应为例4-6-2 已知描述系统的微分方程为)(6)(2)(6)(5)(2222t e dtd te dt d t r t r dt d t r dt d +=++ 若激励为)()1()(t u e t e t -+=，试求：(1)系统函数)(s H 和冲激响应)(t h ；(2)零状态响应)(t r zs 。
解：(1) 在零起始状态条件下，对原方程两端取拉氏变换,得即 )()62()()65(22s E s s s R s s +=++ 所以系统函数为22)3)(2()3(26562)()()(22+=+++=+++==s ss s s s s s s s s E s R s H 将上式改写成24222)(+-=+=s s s s H 对)(s H 取拉氏逆变换，求得冲激响应为)(4)(2)(2t u e t t h t --=δ(2) 若 )()1()(t u e t e t -+=，则 )1(12111)(++=++=s s s s s s E 可得)1)(2()12(2)1(1222)()()(+++=++⋅+=⋅=s s s s s s s s s E s H s R zs )(6)(2)]([)(31t u e t s H t h t ---==δL )(6)(2)(6)(5)(22s sE s E s s R s sR s R s +=++对)(s R zs 作部分分式展开，得1226)(+-+=s s s R zs 对)(s R zs 取拉氏逆变换，求得零状态响应为)(e 2)(e 6)(2ZS t u t u t r t t ---=(3)若已知系统的电路图，则可利用元件的S 域模型，画出等效电路图，列写S 域方程，从而求得系统函数。
例4-6-3 试求图4-6-1(a)所示电路的系统函数。
)(t)s(a) (b)图4-6-1 例4-6-3的电路及其S 模型解：在零起始状态条件下,画出电路的S 域模型如图4-6-1(b)所示，由图可知11)(1111)()(2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⋅++=sC R sL s E sC R sC RsL s E s V 所以系统函数为11111)()()(22++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+==RLs LC s sC R sL s E s V s H4.6.2 互联系统的系统函数一个较大的线性时不变系统可能由多个子系统互联组合而成，子系统的基本互联方式有并联、级联及反馈连接等三种。
1．系统的并联设两个线性时不变系统的冲激响应分别为)(1t h 和)(2t h ，若将它们按图4-6-2(a)并联成一个总系统，由2.8可知，总系统的冲激响应为)()()(21t h t h t h +=对上式取拉氏变换，得)()()(21s H s H s H += (4-6-4)式(4-6-4)表明，子系统并联时，总系统的系统函数为各子系统的系统函数之和。
(a) (b)图4-6-2 (a)并联系统的冲激响应; (b)并联系统的系统函数2．系统的级联图4-6-3 级联系统的系统函数子系统级联时，总系统的冲激响应为各子系统冲激响应的卷积，即)()()(21t h t h t h *=对上式取拉氏变换，并借助卷积定理，得)()()(21s H s H s H ⋅= (4-6-5)所以，子系统级联时，总系统的系统函数为各子系统的系统函数之积。
3．系统的反馈连接两个子系统按图4-6-4(a)互联成一个总系统，图中)(1s H 的输出信号经过)(2s H 生成反馈信号)(2s E 而反馈至输入端，“-”号表示负反馈，即输入信号与反馈信号相减。
这祥，)(1s H 和)(2s H 互联成一个反馈环路，故这种反馈系统称为闭环系统。
若将反馈环路断开，例如将)(2s H 的输出端断开，则系统就变为开环系统。
图4-6-4 反馈互联系统的系统函数由图4-6-4可以看出)()()(21s E s E s E -=， )()()(22s H s R s E ⋅=)()()()()()]()()[()()()(2112111s R s H s H s E s H s E s E s H s E s H s R ⋅-=-=⋅=所以，反馈系统的系统函数为)()(1)()()()(211s H s H s H s E s R s H +==(4-6-6) 例4-6-4 已知系统的框图如图4-6-5所示，试求此系统的系统函数和描述此系统的微分方程。
图4-6-5 一个简单的反馈系统 解：按式（4-6-6），可得系统函数为313111)(+=⋅+=s ss s H 因为 31)()()(+==s s E s R s H 则 )()(3)(s E s R s sR =+对上式取拉氏逆变换，可得描述此系统的微分方程为)()(3)(t e t r dtt dr =+ 反馈系统常应用于自动控制装置，作为一个例子，现将参考书[2]给出的自动角度控制系统引入本节，供同学们参考。
该系统示于图4-6-6(a),它能自动控制远处一个重物的角位置，如控制一部跟踪天线的旋转角度，或一门大炮的仰角。
图中i θ表示输入角度，o θ表示输出角度。
输入电位器用来设定输入角度的大小，其滑动端接至直流放大器的一个输入端，输出电位器用来测定输出角度的大小，其滑动端固定在输出轴上，并接至直流放大器的另一个输入端。
放大器的输入反映输入角度i θ和输出角度o θ之差，放大器的输出加至电机的输入端。
当0=-o i θθ时，放大器的输入和输出均为0,电机不会转动。
当0≠-o i θθ时，放大器有一个非零的输入，经放大输出至电机的输入端，使电机转动，从而改变角度o θ，直到0=-o i θθ为止。
图4-6-6 (a)角度控制系统;(b)系统方框图.上述系统的方框图如图4-6-6(b)所示。
图中K 表示放大器的增益，)(s G 表示电机及其负载组成的子系统的系统函数。
由式(4-6-6)可知，整个闭环系统的系统函数为)(1)()()()(s KG s KG s s s H i o +=ΘΘ=(4-6-7) 所以 )()(1)()(s s KG s KG s i o Θ+=Θ (4-6-8)如果希望改变物体的角度，可将i θ设置成某一预期值，那么，输出角度o θ是否能精确到达这个预期值？到达这个预期值又需要多长时间呢？这些问题可以通过对系统单位冲激响应的讨论来回答。
设 )()(t u t i =θ，则 s s i 1)(=Θ，设 )8(1)(+=s s s G ， 并将)(),(s G s i Θ代入式(4-6-8),可得)8()(2K s s s Ks o ++=Θ (4-6-9) 改变放大器增益K 的大小,对冲激响应有什么影响呢？我们分别观察以下三种情况： (1) K=7, 将K 的数值代入式(4-6-9),可得)7)(1(7)78(7)(2++=++=Θs s s s s s s o 对上式作部分分式展开，有71)(210++++=Θs k s k s k s o 式中 1)7)(1(70=++==s s s k ， 67)7(711-=+=-=s s s k ， 61)1(771=+=-=s s s k 716111671)(+⋅++⋅-=Θ∴s s s s o 对上式取拉氏逆变换,得)(61671)(7t u e e t t t o ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--θ这个响应，即)(t o θ随t 而变化的曲线示于图4-6-7。
由图可以看出，系统的输出角度可以到达期望值，但到达期望值的速度很缓慢。
(2) K=16，将K 的数值代入式(4-6-9),可得4)4()4(16)168(16)(12211022++++=+=++=Θs k s k s k s s s s s s o式中1)4(1620=+==s s k ， 416411-==-=s sk ， 1161642412-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=-=s s s s ds d k41)4(41)(2+-+-=Θ∴s s s s o 对)(s o Θ取拉氏逆变换,得())(41)(44t u e e t t t t o ----=θ这个响应也示于图4-6-7。
由图可以看出，和前一种情况相比，输出角度到达期望值的速度有明显的加快。
可见，增大放大器的增益K ，响应曲线上升的速度就会加快。
(3) K=80，将K 的数值代入式(4-6-9),可得8484)84)(84(80)808(80)(121102j s k j s k s k j s j s s s s s s o +++-++=++-+=++=Θ式中 180880020=++==s s s ko 1538411454121)84(80j j s ej j s s k =+-=++=+-=， o 153*111245j e k k -== )84(45)84(451)(oo 153153j s ej s e s s j j o +++-++=Θ∴- 对)(s o Θ取拉氏逆变换,得)()1538cos(251)(o 4t u t e t to ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-θ这个响应也示于图4-6-7。
