【赢在课堂】高中数学 2.1.2 椭圆的简单几何性质检测试题 新人教A版选修1-1

2.1.2 椭圆的简单几何性质课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a ，b 以及c ，e 的几何意义，a 、b 、c 、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．1．椭圆的简单几何性质焦点的 位置焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准 方程范围 顶点轴长 短轴长＝______，长轴长＝______焦点 焦距对称性 对称轴是________，对称中心是______离心率2.直线与椭圆直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1________实数解，即Δ______0.一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，352．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )A ．x 236＋y 216＝1B ．x 216＋y 236＝1C ．x 26＋y 24＝1D ．y 26＋x 24＝13．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A ． 3B ．32C ．83D ．234．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y2b2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52 B ．1－22C.2－1D.225．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．06．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。

椭圆的简单的几何性质（2）（时间：25分，满分55分）班级 姓名 得分一、选择题1．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( ) A ．±34 B ．±32C ．±22D ．±34答案：A2．如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )A.15B.25C.55D.255解析：由条件知：F 1(－2，0)，B (0，1)，所以b ＝1，c ＝2， 所以a ＝22＋12＝5，所以e ＝c a＝25＝255.答案：D3．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B 直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k(x －1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x29＋y24＝1内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x29＋y24＝1相交，故选B ．4．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( )A.67B.167C.716D.76答案：B5．已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12解析：S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.答案：D6．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n的值是( ) A ．22B ．233C ．922D ．2327解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x 消去y 得，(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝2n m ＋n ，∴x 0＝n m ＋n， 代入y ＝1－x 得y 0＝mm ＋n．由题意y 0x 0＝22，∴m n ＝22，选A ． 二、填空题7．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM |＝1，且PM ·AM ＝0，则|PM |的最小值是________．解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵PM ·AM ＝0， ∴AM ⊥PM ．∴|PM |2＝|AP |2－|AM |2＝|AP |2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP |min ＝2，∴|PM |min ＝3． 答案： 38．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为____________________．9．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为________．解析：由x24＋y23＝1可得F(－1,0)．设P(x ，y)，－2≤x≤2，则OP ·FP ＝x2＋x ＋y2＝x2＋x ＋31－x24＝14x2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP ·FP 取得最大值6． 答案：610．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若FA →＝3FB →，则|AF→|＝________．解析：设点A (2，n )，B (x 0，y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，所以c 2＝1，即c ＝1，所以右焦点F (1，0)． 所以由FA →＝3FB →得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)． 所以1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. 所以x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1.解得n 2＝1，所以|AF →|＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2.答案： 2 三、解答题11．已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423.求直线l 的方程．解：设直线l 与椭圆的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k2，x 1x 2＝0.由|MN |＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329，所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329.即(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k 22＝329. 化简，得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，所以k ＝±1. 所以所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.12．已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P (2，3)，且它的离心率e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x ＋1)2＋y 2＝1相切的直线l ：y ＝kx ＋t 交椭圆于M ，N 两点，若椭圆上一点C 满足OM →＋ON →＝λOC →，求实数λ的取值范围．(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋(4t 2－48)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－8kt3＋4k2， y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝6t 3＋4. 因为，λOC →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 所以C ⎝⎛⎭⎪⎫－8kt （3＋4k 2）λ，6t （3＋4k 2）λ. 又因为点C 在椭圆上，所以，4k 2t 2（3＋4k 2）2λ2＋3t2（3＋4k 2）2λ2＝1⇒λ2＝t 23＋4k 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1. 因为t 2＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1＞1， 所以0＜λ2＜1，所以λ的取值范围为(－1，0)∪(0，1)．。

课时作业12 椭圆的简单几何性质(1)知识点一 由椭圆方程研究简单几何性质 1.椭圆25x 2＋9y 2＝1的范围为( ) A ．|x |≤5，|y |≤3 B ．|x |≤15，|y |≤13 C ．|x |≤3，|y |≤5 D ．|x |≤13，|y |≤15答案 B解析 椭圆方程可化为x 2125＋y 219＝1，所以a ＝13，b ＝15， 又焦点在y 轴上， 所以|x |≤15，|y |≤13.故选B.2．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( ) A ．C 1与C 2顶点相同 B ．C 1与C 2长轴长相等 C ．C 1与C 2短轴长相等 D ．C 1与C 2焦距相等 答案 D解析 由两个椭圆的标准方程，可知C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.知识点二 由椭圆的几何性质求方程3.已知直线2x ＋y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为( )A.x 25＋y 24＝1B.x 24＋y 2＝1C.x 29＋y 24＝1 D.x 26＋y 24＝1答案 A解析 直线2x ＋y －2＝0与坐标轴的交点坐标为(1,0)，(0,2)， 由题意得c ＝1，b ＝2， 所以a ＝b 2＋c 2＝5， 所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.4．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是________．答案 x 281＋y 272＝1解析 由2a ＝18，得a ＝9. 又因为2c ＝183＝6，所以c ＝3. 所以b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72.所以所求椭圆的标准方程为x 281＋y 272＝1. 知识点三 椭圆的离心率问题 5.椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23 答案 A解析 将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程得x 2＋y214＝1，则a 2＝1，b 2＝14，c ＝a 2－b 2＝32，离心率e ＝c a ＝32.6．如图所示，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，则椭圆的离心率为________．答案 22解析 解法一：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则k AB ＝－ba .又PF ⊥x 轴，∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，∴k OP ＝－b 2ac .∵OP ∥AB ，∴k AB ＝k OP ， 即－b a ＝－b 2ac ，∴b ＝c ，a 2＝2c 2， 因此，a ＝2c ，∴e ＝22.解法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .又OP ∥AB ，∴∠POF ＝∠BAO ， ∴Rt △OPF ∽Rt △ABO ， ∴|PF ||BO |＝|OF ||AO |，即b 2a b ＝c a ，即b a ＝c a ，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2＝π3，求椭圆离心率的取值范围．解 在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝π3，由余弦定理，可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|，由于|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以4c 2＝4a 2－3|PF 1|·|PF 2|.结合基本不等式，可得4a 2－4c 2＝3|PF 1||PF 2|≤3⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝3a 2(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝a 时等号成立)，即a 2≤4c 2，可得e ≥12，又∵e <1，∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.一、选择题1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为( ) A ．(－1,0)，(1,0) B ．(－6,0)，(6,0) C ．(－6，0)，(6，0) D ．(0，－6)，(0，6)答案 D解析 方程化为标准形式为x 2＋y 26＝1，其焦点在y 轴上，由于a 2＝6，∴a ＝ 6.∴长轴的端点坐标为(0，±6)，故选D.2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y26＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1答案 B解析 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝ 5.又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6，则所求椭圆的标准方程为x 2＋y26＝1.3．如果椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1(k >－8)的离心率为e ＝12，则k ＝( )A ．4B ．4或－54 C ．－45 D ．4或－45答案 B解析 若椭圆的焦点在x 轴上，则k ＋8－9k ＋8＝14，解得k ＝4；若椭圆的焦点在y 轴上，则9－(k ＋8)9＝14， 解得k ＝－54.所以k ＝4或k ＝－54.4．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为( )A.5－12B.3－12C.32 D.5＋12 答案 A解析 依题意得，4b 2＝4ac ，∴b 2a 2＝c a ，即1－e 2＝e .∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝5－12(舍去负值)．5．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8 答案 C解析 由题意得，F (－1,0)， 设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)， 因为OP →＝(x 0，y 0)，FP →＝(x 0＋1，y 0)， 所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 2＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值6. 二、填空题6．已知以坐标原点为中心的椭圆，一个焦点的坐标为F (2,0)，给出下列四个条件：①短半轴长为2；②长半轴长为22；③离心率为22；④一个顶点坐标为(2,0)．其中可求得椭圆方程为x 28＋y 24＝1的条件有________(填序号)．答案 ①②③解析 只需保证a ＝22，b ＝2，c ＝2即可，而椭圆的顶点坐标为(0，±2)，(±22，0)，故①②③可求得椭圆方程为x 28＋y 24＝1.7．比较椭圆①x 2＋9y 2＝36与②x 29＋y25＝1的形状，则________更扁(填序号)．答案 ①解析 x 2＋9y 2＝36化为标准方程得x 236＋y 24＝1，故离心率e 1＝426＝223；椭圆x 29＋y 25＝1的离心率e 2＝23.因为e 1>e 2，故①更扁．8．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．答案 33解析 由题意，△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 2|＝2|PF 1|.设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝2x ，|F 1F 2|＝3x ，又|F 1F 2|＝2c ，所以x ＝2c 3，即|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c3.由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2c 3＋4c 3＝2a ，即e ＝c a ＝33.三、解答题9．求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解 椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长：2a ＝18；短轴长：2b ＝6；焦点坐标：(0,62)，(0，－62)；顶点坐标：(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)．离心率e ＝c a ＝223. 10．如下图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1， 得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3， 从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.。

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椭圆的简单的几何性质(1）（时间：25分，满分55分) 班级 姓名 得分一、选择题1．已知椭圆错误!＋错误!＝1与椭圆错误!＋错误!＝1有相同的长轴，椭圆错误!＋错误!＝1的短轴长与椭圆错误!＋错误!＝1的短轴长相等，则( ）A ．a 2＝25，b 2＝16B ．a 2＝9,b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋错误!＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆错误!＋错误!＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9．2．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为（ )A.错误!B.错误!C.错误! D 。

错误!答案：A3．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是（－错误!,0），(错误!,0），离心率是错误!,则椭圆C 的方程为（ ）A 。

错误!＋y 2＝1B ．x 2＋错误!＝1 C.错误!＋错误!＝1 D.错误!＋错误!＝1 解析:因为错误!＝错误!,且c ＝错误!，所以a ＝错误!，b ＝错误!＝1。

所以椭圆C 的方程为1322=+y x 。

答案：A4．已知椭圆x2a2＋错误!＝1(a＞b＞0）的左焦点为F1，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF1⊥x轴,直线AB与y轴交于点P,其中错误!＝2错误!，则椭圆的离心率为（) A.错误!B。

2.1.2　椭圆的简单几何性质(一)课时过关·能力提升一、基础巩固1.椭圆x 22+y 24=1的短轴长为( )A .2B.2C.22D.42.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0),离心率等于12,则C 的方程是( )A .x 23+y 24=1B.x 24+y 23=1C .x 24+y 22=1D.x 24+y 23=13.已知椭圆中心在原点,一个焦点为(‒3,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是( )A .x 24+y 2=1B.x 2+y 24=1C .x 23+y 2=1D.x 2+y 23=1一个焦点为(‒3,0),∴焦点在x 轴上,且c =3.又长轴长是短轴长的2倍,即2a=2×2b ,∴a=2b.故选A .4.在椭圆中,若以焦点F 1,F 2为直径两端点的圆恰好过椭圆短轴的两个端点,则此椭圆的离心率e 等于( )A .12B.22C.32D.255b=c ,故a e =2c .所以=ca =22.5.椭圆x 225+y 29=1与x 29-k +y 225-k =1(0<k <9)的关系为( )A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相等的离心率,a=5,b=3,c=4,且焦点在x轴上.在椭,圆x 225+y 29=1中圆x 29-k +y 225-k =1中∵0<k<9,且25-k>9-k ,∴焦点在y 轴上,且c=4,∴两个椭圆有相等的焦距.6.已知P 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的一个动点,且点P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为‒12,则椭圆的离心率为( )A .32B.22C.12D.33P (x 0,y 0),则y 0x 0-a ·y 0x 0+a =‒12,化简得x 20a 2+2y 20a 2=1.又因为点P 在椭圆上,所a 2=2b 2,故e 以x 20a 2+y 20b 2=1,所以=22.7.若椭圆的中心在原点,其对称轴为坐标轴,长轴长为23,离心率为33,则该椭圆的方程为______________.,a =3.又e =33,∴c =1.∴b 2=2,∴椭圆的方程为x 23+y 22=1或y 23+x 22=1.+y 22=1或y 23+x 22=18.已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ,且BF =2FD ,则椭圆C 的离心率为 .为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),则不妨设B (0,b ),F (c ,0).设D (x 0,y 0),∵BF =2FD ,∴(c ,-b )=2(x 0-c ,y 0).∴x 0=32c ,y 0=‒b2.代入椭圆方程得9c 24a 2+b 24b 2=1,∴c 2a 2=13,∴e =ca =33.9.已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1·MF 2=0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是_________.F 1F 2为直径的圆在椭圆内,即b>c.MF 1·MF 2=0,可知以故a 2-c 2>c 2,所以0<e <22,即离心率的取值范围为(0,22).0,22)10.已知A 为y 轴上一点,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,△AF 1F 2为等边三角形,且AF 1的中点B 恰好在椭圆上,求此椭圆的离心率.,连接BF 2.∵△AF 1F 2是等边三角形,且B 为线段AF 1的中点,∴AF 1⊥BF 2.又∠BF 2F 1=30°,|F 1F 2|=2c ,∴|BF 1|=c ,|BF 2|=3c .根据椭圆定义得|BF 1|+|BF 2|=2a ,即c +3c =2a ,∴ca =3‒1.∴椭圆的离心率e =3‒1.二、能力提升1.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)有两个顶点在直线x +2y =2上,则此椭圆的焦点坐标是( )A.(±3,0)B.(0,±3)C.(±5,0)D.(0,±5)2.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,椭圆C 与x 轴正半轴交于点A ,与y轴正半轴交于点B (0,2),且·=42+4,则椭圆C 的方程为( )A .x 24+y 22=1B.x 26+y 24=1C .x 28+y 24=1D.x 216+y 28=13.已知F 是椭⊥圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点,A 为右顶点,P 是椭圆上一点,且PF x 轴.若|PF|=14|AF |,则该椭圆的离心率是( )A .14B.34C.12D.32x=-c ,代入椭圆方程,解得y 2=b y=2(1-c 2a 2)=b 4a 2,即±b 2a .由PF ⊥x 轴,可设点P (-c ,b 2a ).又由|PF|=14|AF |,可得b 2a =14(a +c ),即4(a 2-c 2)=a 2+ac ,即(3a-4c )(a+c )=0,解得a =43c .故e =ca =34.4.已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为55,且过点P (‒5,4),则椭圆的方程为____________.e =c a =55,∴c 2a 2=a 2-b 2a2=15,∴5a 2-5b 2=a 2,即4a 2=5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2+5y 24a2=1(a >0).∵椭圆过点P (-5,4),∴25a 2+5×164a 2=1.解得a 2=45.∴椭圆方程为x 245+y 236=1.y 236=1★5.已知椭△ABF 2的面积圆x 225+y 216=1的左、右焦点分别是F 1,F 2,弦AB 过点F 1.若是5,A ,B 两点的坐标是(x 1,y 1),(x 2,y 2),则|y 1-y 2|= .知,S △ABF 2=S △AF 1F 2+S △BF 1F 2=c |y 1‒y2|(A ,B 在x 轴上、下两侧),又S△ABF 2=5,∴|y 1‒y2|=5c =53.6.已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,过点F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ,B 两点.若△ABF 2是等边三角形,求该椭圆的离心率.x 轴上,如图.∵AB ⊥F 1F 2,且△ABF 2为等边三角形,∴在Rt △AF 1F 2中,∠AF 2F 1=30°.令|AF 1|=x ,则|AF 2|=2x.∴|F 1F 2|=|AF 2|2-|AF 1|2=3x =2c .由椭圆定义,可知|AF 1|+|AF 2|=2a.∴e =2c2a =3x 3x=33.★7.设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率e =32,已知点P(0,32)到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程.为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),M (x ,y )为椭圆上的点.由ca =32,a=2b ,|PM|2=x 2≤y ≤b ).得+(y -32)2=‒3(y +12)2+4b 2+3(‒b 若0<b y=-b 时|PM|2最大,b .<12,则当即(b +32)2=7,解得=7‒32>12,故矛盾若b ≥y=,4b 2+3=7,b 2=1,12,则当‒12时从而a 2=4.所求方程为x 24+y 2=1.。

2．1.2 椭圆的简单几何性质第一课时 椭圆的简单几何性质填一填1.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的简单几何性质(1)范围易知y 2b 2＝1－x 2a 2≥0，故x 2a ≤1，即－a ≤x ≤a ；同理－b ≤y ≤b .故椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形框里． (2)对称性在方程中，以－y 代替y 或以－x 代替x 或以－y 代替y 、以－x 代替x ，方程都不改变，故椭圆关于x 轴、y 轴和原点都对称．原点为椭圆的对称中心，也称为椭圆的中心．(3)顶点椭圆与x 轴、y 轴分别有两个交点，这四个交点即为椭圆与它的对称轴的交点，叫做椭圆的顶点．其中x轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴，y轴上两个顶点的连线段称为椭圆的短轴，长轴长为2a，短轴长为2b.说明：依据椭圆的四个顶点，可以确定椭圆的具体位置．(4)离心率椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．离心率能够刻画椭圆的扁平程度．椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关，e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆．2．椭圆x2a2＋y2b2＝1，y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的几何性质比较1.若点P (m ，n )在椭圆x 9＋y 2＝1上，则实数m 的取值范围是[－1,1]．(×)解析：椭圆焦点在x 轴上，且a ＝3，所以－3≤m ≤3.故错误．2．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，则点(－3，－2)不在椭圆上．(×)解析：根据椭圆的对称性可知点(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)均在椭圆上，故错误． 3．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是10,6,0.8.(√)解析：将方程25x 2＋9y 2＝225化为椭圆的标准方程为x 232＋y 252＝1，所以a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以e ＝c a ＝45＝0.8，长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝6.4．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝23.(×)解析：由题椭圆x 22＋y 2m ＝1焦点在x 轴上，且离心率为12，故e ＝2－m 2＝12⇒m ＝32，故错误．5．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－233，233.(×)解析：因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123>1，解得a >233或a <－233，故错误．6．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1.(×)解析：因为a ＝4，e ＝34，所以c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.所以椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.故错误．1.提示：一般的步骤(通常采用待定系数法)：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于a ，b ，c 的关系式，利用方程(组)求出a ，b ，c .带入②即可．2．如何求解椭圆的离心率？提示：求解方法一般有两种：①易求a ，c ，代入e ＝ca 求解；易求b ，c ，由e ＝cb 2＋c 2求解；易求a ，b ，由e ＝a 2－b 2a 求解．②列出含a ，c 的齐次方程，列式时常用公式b ＝a 2－c 2代替式子中的b ，然后将等式两边同时除以a 的n 次方(一般除以a 或a 2)，从而利用e ＝ca转化为含e 的方程，解方程即可．但应注意0<e <1.思考感悟：1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是( ) A ．(－1,0)，(1,0) B ．(－6,0)，(6,0)C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6) 解析：因为椭圆的焦点在y 轴上，且a 2＝6，所以长轴的两个端点坐标为(0，－6)，(0，6)．故选D. 答案：D2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.12解析：因为2x 2＋3y 2＝m (m >0)⇒x 2m 2＋y 2m 3＝1，所以c 2＝m 2－m 3＝m 6，故e 2＝13，解得e ＝33.故选B.答案：B3．椭圆以两坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．解析：由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)答案：(0，±69)4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．解析：由题意得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2⎝⎛⎭⎫32a －c ＝2c ，所以3a ＝4c ，所以e ＝34. 答案：341.A ．|x |≤5，|y |≤3B ．|x |≤15，|y |≤13C ．|x |≤3，|y |≤5D ．|x |≤13，|y |≤15解析：椭圆方程可化为x 2125＋y219＝1，所以a ＝13，b ＝15，又焦点在y 轴上， 所以|x |≤15，|y |≤13.故选B.答案：B2．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( )A ．C 1与C 2顶点相同B ．C 1与C 2长轴长相等 C ．C 1与C 2短轴长相等D ．C 1与C 2焦距相等解析：由两个椭圆的标准方程，可知C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.3.已知直线2x ＋y －2＝0经过椭圆x a 2＋y b2＝1(a >0，b >0)的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为( )A.x 25＋y 24＝1B.x 24＋y 2＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 26＋y 24＝1 解析：直线2x ＋y －2＝0与坐标轴的交点坐标为(1,0)，(0,2)， 由题意得c ＝1，b ＝2，所以a ＝b 2＋c 2＝5，所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.答案：A4．已知椭圆中心在原点，一个焦点为(－3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1 C.x 23＋y 2＝1 D ．x 2＋y 23＝1 解析：∵一个焦点为(－3，0)， ∴焦点在x 轴上且c ＝ 3.∵长轴长是短轴长的2倍，∴2a ＝2·2b ，即a ＝2b ，∴(2b )2－b 2＝3.∴b 2＝1，a 2＝4，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.答案：A5．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是________．解析：由2a ＝18，得a ＝9.又因为2c ＝183＝6，所以c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72.所以所求椭圆的标准方程为x 281＋y 272＝1.答案：x 2＋y2＝16.椭圆x 2A.32 B.34 C.22 D.23 解析：将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程得x 2＋y 214＝1，则a 2＝1，b 2＝14，c ＝a 2－b 2＝32，离心率e ＝c a ＝32. 答案：A7．如图所示，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，则椭圆的离心率为________．解析：方法一：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则k AB ＝－ba.又PF ⊥x 轴，∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，∴k OP ＝－b 2ac .∵OP ∥AB ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac，∴b ＝c ，a 2＝2c 2，因此，a ＝2c ，∴e ＝22.方法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a . 又OP ∥AB ，∴∠POF ＝∠BAO ，∴Rt △OPF ∽Rt △ABO ，∴|PF ||BO |＝|OF ||AO |，即b 2a b ＝c a ， 即b a ＝c a ，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22. 答案：228．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2＝π3，求椭圆离心率的取值范围． 解析：在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝π3，由余弦定理，可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|，由于|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以4c 2＝4a 2－3|PF 1|·|PF 2|. 结合基本不等式，可得4a 2－4c 2＝3|PF 1||PF 2|≤3⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝3a 2(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝a 时等号成立)，即a 2≤4c 2，可得e ≥12，又∵e <1，∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.一、选择题1．椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为( )A ．2 B. 3C.32D.12解析：由椭圆的方程x 24＋y 23＝1可得a ＝2，b ＝3⇒c ＝1，所以椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ＝c a ＝12，故选D.答案：D2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1 C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 解析：椭圆方程9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，则c ＝ 5.又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6，则所求椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1.答案：B3．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 22＋y23＝1 解析：由题可知，椭圆的焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．因为c a ＝63，c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.故选A.答案：A4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：由题可知e ＝c a ＝33，又△AF 1B 的周长为43，所以4a ＝43， 所以a ＝3，所以c ＝1.所以b 2＝a 2－c 2＝2.故C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A. 答案：A5．点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上一点，以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫±152，1B.⎝⎛⎭⎫152，±1C.⎝⎛⎭⎫152，1D.⎝⎛⎭⎫±152，±1 解析：设P (x 0，y 0)，∵a 2＝5，b 2＝4，∴c ＝1，∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝|y 0|＝1，∴y 0＝±1，∵x 205＋y 204＝1，∴x 0＝±152.故选D. 答案：D6．如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )A.15B.25C.55D.255解析：由条件知：F 1(－2,0)，B (0,1)，所以b ＝1，c ＝2，所以a ＝22＋12＝5，所以e ＝c a ＝25＝255.故选D. 答案：D7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，则该椭圆的离心率e 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－12，63 C.⎣⎡⎦⎤3－1，63 D.⎣⎡⎦⎤3－1，32解析：如图，因为AF ⊥BF ，所以点F 在以AB 为直径的圆上，则|OA |＝|OB |＝|OF |＝c .根据图形的对称性知，|AF |＋|BF |＝2a .又因为∠ABF ＝α，所以|AF |＋|BF |＝|AB |·cos α＋|AB |·sin α＝2c (sin α＋cos α)＝2a ，因此e ＝c a ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4.又因为α∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，所以e ∈⎣⎡⎦⎤3－1，63，故选C. 答案：C二、填空题8．比较椭圆①x 2＋9y 2＝36与②x 29＋y 25＝1的形状，则________更扁(填序号)． 解析：x 2＋9y 2＝36化为标准方程得x 236＋y 24＝1，故离心率e 1＝426＝223；椭圆x 29＋y 25＝1的离心率e 2＝23.因为e 1>e 2，故①更扁． 答案：① 9．若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝13，则k 的值为________． 解析：由题意得c a ＝13⇒a 2＝9c 2⇒a 2b 2＝98，即k ＋89＝98或k ＋89＝89，解得k ＝0或k ＝178. 答案：0或178 10．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32.则长轴长的取值范围为________． 解析：∵b ＝1，∴c 2＝a 2－1，又c 2a 2＝a 2－1a 2＝1－1a 2≤34，∴1a 2≥14，∴a 2≤4， 又∵a 2－1>0，∴a 2>1，∴1<a ≤2，故长轴长为2<2a ≤4. 答案：(2,4]11．已知以坐标原点为中心的椭圆，一个焦点的坐标为F (2,0)，给出下列四个条件：①短半轴长为2；②长半轴长为22；③离心率为22；④一个顶点坐标为(2,0)．其中可求得椭圆方程为x 28＋y 24＝1的条件有________(填序号)． 解析：只需保证a ＝22，b ＝2，c ＝2即可，而椭圆的顶点坐标为(0，±2)，(±22，0)，故①②③可求得椭圆方程为x 28＋y 24＝1. 答案：①②③12．与椭圆y 24＋x 23＝1有相同的离心率，且长轴长与x 28＋y 23＝1的长轴长相等的椭圆方程为________．解析：椭圆y 24＋x 23＝1的离心率为e ＝12，椭圆x 28＋y 23＝1的长轴长为4 2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，2a ＝42，解得a ＝22，c ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝6. 又因为所求椭圆焦点既可在x 轴上，也可在y 轴上，故方程为x 28＋y 26＝1或y 28＋x 26＝1.答案：x 28＋y 26＝1或y 28＋x 26＝1 三、解答题13．求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解析：椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长：2a ＝18；短轴长：2b ＝6；焦点坐标：(0,62)，(0，－62)；顶点坐标：(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)．离心率e ＝c a ＝223. 14．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程． 解析：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b2＝1， 得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32 ⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.15. (1)离心率e ＝34，椭圆上一点P 到两焦点距离的和是8； (2)椭圆过定点A ⎝⎛⎭⎫2，212、B ⎝⎛⎭⎫－3，74. 解析：(1)∵P 到两焦点的距离和为8，∴2a ＝8，a ＝4，又∵e ＝c a ＝34，c ＝3， b 2＝16－9＝7，∴椭圆方程为x 216＋y 27＝1或y 216＋x 27＝1. (2)设椭圆方程为x 2m ＋y 2n＝1(m ≠n ≠0)， ∵椭圆过点A ⎝⎛⎭⎫2，212、B ⎝⎛⎭⎫－3，74， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ＋214n＝19m ＋4916n ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝16n ＝7， ∴椭圆的方程为x 216＋y 27＝1. 16．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－3，0)、F 2(3，0)，且该椭圆过点⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 上的点M (x 0，y 0)满足MF 1⊥MF 2，求y 0的值．解析：(1)由题意得，(3)2a 2＋⎝⎛⎭⎫122b2＝1，且a 2－b 2＝3， 解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)点M (x 0，y 0)满足MF 1⊥MF 2，则有MF 1→·MF 2→＝0且y 0≠0，即(－3－x0，－y0)·(3－x0，－y0)＝x20＋y20－3＝0①，＋y20＝1②，而点M(x0，y0)在椭圆C上，则x204取立①②消去x20，得y20＝13≠0，所以y0＝±33.。

2.1.2 椭圆的简单几何性质课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a，b以及c，e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．1．椭圆的简单几何性质焦点的焦点在x轴上焦点在y轴上位置图形标准方程范围顶点轴长短轴长＝______，长轴长＝______焦点焦距对称性对称轴是________，对称中心是______离心率2.直线与椭圆直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b2＝1________实数解，即Δ______0.一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3，45 B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，352．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )A ．x 236＋y 216＝1B ．x 216＋y 236＝1 C ．x 26＋y 24＝1 D ．y 26＋x 24＝13．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A ．3B ．32C ．83D ．234．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52 B ．1－22C.2－1D.225．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0 6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。

2.1.2 椭圆的简单几何性质课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a ，b 以及c ，e 的几何意义，a 、b 、c 、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准 方程范围 顶点轴长 短轴长＝______，长轴长＝______ 焦点 焦距对称性 对称轴是________，对称中心是______ 离心率2.直线与椭圆直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b2＝1________实数解，即Δ______0.一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，352．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A ．x 236＋y 216＝1 B ．x 216＋y 236＝1C ．x 26＋y 24＝1D ．y 26＋x 24＝13．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A ． 3B ．32C ．83D ．234．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52 B ．1－22C.2－1D.225．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．06．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。

人教A版高中数学选修2-1 椭圆知识点+讲测练知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1.只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2.在椭圆的两种标准方程中，都有和；3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。

知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。

③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。

a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作。

②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。

e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。

温馨提示：课时提升作业(十)椭圆的简单几何性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知F1，F2为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e=，则椭圆的方程是( ) A.+=1 B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选B.由题意知4a=16，即a=4，又因为e=，所以c=2，所以b2=a2-c2=16-12=4，所以椭圆的标准方程为+=1.2.(2015·西安高二检测)两个正数1，9的等差中项是a，等比中项是b且b>0，则曲线+=1的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选A.因为a==5，b==3，所以e==.3.(2015·怀化高二检测)过椭圆+=1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是( )A.14B.16C.18D.20【解析】选C.如图设F为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|FQ|=|PF2|，|OP|=|OQ|，所以△PQF的周长为|PF|+|FQ|+|PQ|=|PF|+|PF2|+2|PO|=2a+2|PO|=10+2|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，△PQF 的周长取得最小值10+2×4=18，故选C.4.设F1， F2是椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( ) A. B. C. D.【解析】选C.如图，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形⇒|PF2|=|F2F1|=2=2c⇒e==.5.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选 B.将x=-c代入椭圆方程可解得点P，故|PF1|=，又在Rt△F1PF2中∠F1PF2=60°，所以|PF2|=，根据椭圆定义得=2a，从而可得e==.【一题多解】选 B.设|F1F2|=2c，则在Rt△F1PF2中，|PF1|=c，|PF2|= c.所以|PF1|+|PF2|=2c=2a，离心率e==.二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知椭圆+=1的离心率e=，则m的值为__________.【解析】当焦点在x轴上时，a2=5，b2=m，所以c2=a2-b2=5-m.又因为e=，所以=，解得m=3.当焦点在y轴上时，a2=m，b2=5，所以c2=a2-b2=m-5.又因为e=，所以=，解得m=.故m=3或m=.答案：3或【误区警示】认真审题，防止丢解在求椭圆方程或利用方程研究椭圆性质时，一定要注意椭圆的位置是否确定，若没有确定，则应该有两解.7.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤.则长轴长的取值范围为__________.【解析】因为b=1，所以c2=a2-1，又==1-≤，所以≥，所以a2≤4，又因为a2-1>0，所以a2>1，所以1<a≤2，故长轴长2<2a≤4.答案：(2，4]8.(2015·嘉兴高二检测)已知椭圆+=1的左顶点为A1，右焦点为F2，点P为该椭圆上一动点，则当·取最小值时|+|的取值为__________.【解析】由已知得a=2，b=，c=1，所以F2(1，0)，A1(-2，0)，设P(x，y)，则·=(1-x，-y)·(-2-x，-y)=(1-x)(-2-x)+y2.又点P(x，y)在椭圆上，所以y2=3-x2，代入上式，得·=x2+x+1=(x+2)2.又x∈，所以当x=-2时，·取得最小值.所以P(-2，0)，求得|+|=3.答案：3三、解答题(每小题10分，共20分)9.求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)椭圆过(3，0)，离心率e=.(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.【解析】(1)若焦点在x轴上，则a=3，因为e==，所以c=，所以b2=a2-c2=9-6=3.所以椭圆的标准方程为+=1.若焦点在y轴上，则b=3，因为e====，解得a2=27.所以椭圆的标准方程为+=1.综上可知，所求椭圆标准方程为+=1或+=1.(2)设椭圆方程为+=1(a>b>0).如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，所以c=b=4，所以a2=b2+c2=32，故所求椭圆的标准方程为+=1.10.设P是椭圆+=1(a>b>0)上的一点，F1，F2是其左、右焦点.已知∠F1PF2=60°，求椭圆离心率的取值范围.【解题指南】利用椭圆的定义得到a，b，c的不等式，再化为离心率求范围.【解析】根据椭圆的定义，有|PF1|+|PF2|=2a，①在△F1PF2中，由余弦定理得cos 60°==，即|PF1|2+|PF2|2-4c2=|PF1||PF2|.②①式平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2.③由②③得|PF1||PF2|=.④由①和④运用基本不等式，得|PF1||PF2|≤，即≤a2.由b2=a2-c2，故(a2-c2)≤a2，解得e=≥.又因为e<1，所以该椭圆离心率的取值范围为.【一题多解】设椭圆与y轴交于B1，B2两点，则当点P位于B1或B2时，点P对两个焦点的张角最大，故∠F1B1F2≥∠F1PF2=60°，从而∠OB1F2≥30°.在Rt△OB1F2中，e==sin∠OB1F2≥sin 30°=.又因为e<1，所以该椭圆的离心率的取值范围为.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.将椭圆C1：2x2+y2=4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C2，则C2与C1有( )A.相等的短轴长B.相等的焦距C.相等的离心率D.相等的长轴长【解析】选C.把C1的方程化为标准方程，即C1：+=1，从而得C2：+=1.因此C1的长轴在y轴上，C2的长轴在x轴上.e1==e2，故离心率相等.2.(2015·广安高二检测)已知P是以F1，F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上的一点，若·=0，tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选 D.由·=0，得△PF1F2为直角三角形，由tan∠PF1F2=，设|PF2|=m，则|PF1|=2m，又|PF2|2+|PF1|2=4c2(c=)，即4c2=5m2，c=m，而|PF2|+|PF1|=2a=3m，所以a=.所以离心率e==.【补偿训练】设e是椭圆+=1的离心率，且e∈，则实数k 的取值范围是( )A.(0，3)B.C.(0，3)∪D.(0，2)【解析】选C.当k>4时，c=，由条件知<<1，解得k>；当0<k<4时，c=，由条件知<<1，解得0<k<3，综上知选C.二、填空题(每小题5分，共10分)3.在平面直角坐标系中，椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e=__________.【解析】如图，切线PA，PB互相垂直，半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故=a，解得e==.答案：4.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为__________.【解析】设椭圆方程为+=1(a>b>0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，所以S=×2c×b=bc=1≤=.所以a2≥2.所以a≥，所以长轴长2a≥2.答案：2【拓展延伸】基本不等式在椭圆中的应用在椭圆定义和性质中，有|PF1|+|PF2|=2a和a2=b2+c2两个等式，为基本不等式中“和定积最大”准备了条件.三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·成都高二检测)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且=2.求椭圆C的离心率.【解题指南】由=2，建立关于参数a，c的等量关系，求其离心率便可.【解析】不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0)，其中F是左焦点，B是上顶点，则F(-c，0)，B(0，b)，设D(x，y)，则(-c，-b)=2(x+c，y)，所以解得x=-c，y=-.又因为点P在椭圆C上.所以+=1.整理得=，所以e==.6.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(-2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶.(1)求椭圆C的方程.(2)设点M(m，0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点.当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.【解析】(1)由题意知解得所以椭圆C的方程为+=1.(2)设P (x0，y0)，且+=1，所以||2=(x0-m)2+=-2mx0+m2+12=-2mx0+m2+12=(x0-4m)2-3m2+12.所以||2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为4m.由题意知，当x0=4时，||2最小，所以4m≥4，所以m≥1.又点M(m，0)在椭圆长轴上，所以1≤m≤4.。

2.1.2椭圆的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.若椭圆=1(a>)的长轴长为6,则它的焦距为()A.4B.3C.2D.1=1(a>)的长轴长为6,则2a=6,即a=3,由于b2=5,则c2=a2-b2=4,即c=2,则它的焦距为2c=4,故选A.2.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.2x2+3y2=m(m>0)⇒=1,所以c2=,故e2=,解得e=.3.已知椭圆中心在原点,一个焦点为(-,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是()A.+y2=1B.x2+=1C.+y2=1D.x2+=1一个焦点为(-,0),∴焦点在x轴上且c=.∵长轴长是短轴长的2倍,∴2a=2·2b,即a=2b,∴(2b)2-b2=3.∴b2=1,a2=4,故所求椭圆的标准方程为+y2=1.4.已知椭圆+x2=1(a>1)的离心率e=,P为椭圆上的一个动点,若定点B(-1,0),则|PB|的最大值为()A. B.2 C. D.3,解得a2=5,所以椭圆的标准方程为+x2=1.设椭圆上点的坐标为P(x,y),且-1≤x≤1,-≤y≤,则y2=5(1-x2),故|PB|==,当x=时满足条件,所以|PB|max=.5.曲线=1与曲线=1(k<9)的()A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等k<9,所以两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆,且c2=25-9=(25-k)-(9-k)=16,所以两个椭圆的焦距相等,但长轴长、短轴长、离心率不一定相等.6.设F1,F2是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()A. B. C. D.|PF2|=|F1F2|,所以2=2c,所以3a=4c,所以e=.7.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2,则椭圆长轴长的最小值为.,当椭圆上点在短轴端点时,三角形的面积取最大值,即有bc=2,∴a2=b2+c2≥2bc=4(其中b>0,c>0),∴a≥2,当且仅当b=c=时取“=”.∴2a≥4,即椭圆长轴长的最小值为4.8.椭圆的一个焦点将长轴长分成3∶2两部分,则这个椭圆的离心率为.(a+c)∶(a-c)=3∶2,所以a=5c,故离心率为e=.9.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距,且离心率为;(2)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-4).将方程4x2+9y2=36化为=1,可得椭圆焦距为2c=2,又因为离心率e=,即,所以a=5,从而b2=a2-c2=25-5=20.若椭圆焦点在x轴上,则其方程为=1;若椭圆焦点在y轴上,则其方程为=1.(2)依题意2a=2·2b,即a=2b.若椭圆焦点在x轴上,设其方程为=1(a>b>0),则有解得所以椭圆方程为=1;若椭圆焦点在y轴上,设其方程为=1(a>b>0),则有解得所以椭圆方程为=1.10.已知椭圆=1,试问在椭圆上是否存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F与到直线x=4的距离相等?c2=4-3=1,所以c=1,故F(1,0).假设在椭圆上存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F与到直线x=4的距离相等.设M(x,y)(-2≤x≤2),则=|x-4|,两边平方得y2=-6x+15.又由=1,得y2=3,代入y2=-6x+15,得x2-8x+16=0,于是x=4.但由于-2≤x≤2,所以符合条件的点M不存在.能力提升1.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)=1,∵焦点在y轴上,∴>2,解得k<1,又k>0,∴0<k<1.故选A.2.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点A距地面m千米,远地点B距离地面n千米,地球半径为k千米,则飞船运行轨道的短轴长为() A.2 B.C.mnD.2mna-c=m+k,a+c=n+k,故(a-c)·(a+c)=(m+k)(n+k).即a2-c2=b2=(m+k)(n+k),所以b=,所以椭圆的短轴长为2.3.已知点P(2,1)在椭圆=1(a>b>0)上,点M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,则当|OM|取最小值时,椭圆的离心率为()A. B. C. D.P(2,1)在椭圆=1(a>b>0)上,可得=1,M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点, 则当|OM|=≥=3,当且仅当a2=2b2,可得a=,b=,c=,可得e=.故选C.4.已知以坐标原点为中心的椭圆,一个焦点的坐标为F(2,0),给出下列四个条件:①短半轴长为2;②长半轴长为2;③离心率为;④一个顶点坐标为(2,0).其中可求得椭圆方程为=1的条件有(填序号).a=2,b=2,c=2即可,而椭圆的顶点坐标为(0,±2),(±2,0),故①②③可求得椭圆方程为=1.5.若分别过椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2所作的两条互相垂直的直线l1,l2的交点在椭圆上,则此椭圆的离心率的取值范围是.M,令|MF1|=d1,|MF2|=d2.由椭圆的定义,可得d1+d2=2a.∵MF1⊥MF2,∴=4c2.∵(d1+d2)2=+2d1d2≤2(),当且仅当d1=d2=a时等号成立,即4a2≤2(4c2),∴a≤c,∴,即e≥.又e<1,∴≤e<1.6.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且=c2,求椭圆离心率的取值范围.P(x0,y0),则=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0),所以=(-c-x0)(c-x0)+(-y0)2=-c2+.因为P(x0,y0)在椭圆上,所以=1.所以=b2,所以-c2+b2=c2,解得.因为x0∈[-a,a],所以∈[0,a2],即0≤≤a2,所以2c2≤a2≤3c2.即,所以,即椭圆离心率的取值范围是.7.(选做题)(2019全国卷Ⅱ高考)已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c,故C的离心率e=-1.(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,当且仅当|y|·2c=16,=-1,=1,即c|y|=16, ①x2+y2=c2, ②=1.③由②③及a2=b2+c2得y2=,又由①知y2=,故b=4.由②③得x2=(c2-b2),所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4.当b=4,a≥4时,存在满足条件的点P.所以b=4,a的取值范围为[4,+∞).莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

椭圆的简单几何性质同步练习一、选择题1.已知有相同两焦点F1、F2的椭圆x2m +y2=1(m>1)和双曲线x2n−y2=1(n>0)，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 随m，n变化而变化2.已知椭圆：x24+y22=1，过点M(1,1)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点M平分，则直线AB的方程为()A. x+2y−3=0B. 2x+y−3=0C. x+y−2=0D. 2x−y+1=03.若过椭圆x216+y24=1内一点P(3,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为()A. 3x+4y−13=0B. 3x−4y−5=0C. 4x+3y−15=0D. 4x−3y−9=04.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2−6x+8=0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A. (−3,0)B. (−4,0)C. (−10,0)D. (−5,0)5.我们把由半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2=b2+c2，a>b>c>0).如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为()A. 5，4B. √3，1C. 5，3D. √72，16. 如图，F 1F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的左右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2的面积为√3的正三角形，则b 2的值为（ ）A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√37. 已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0(O为坐标原点)，若|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则椭圆的离心率为( )A. √6−√3B. √6−√32C. √6−√5D. √6−√528. 已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. (0,1)B. (0,12]C. (0,√22) D. [√22,1)9. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则1e1e 2的最大值为（ ）A. 3B. 2C. 4√33D. 2√3310. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2，过右焦点F 且斜率为k(k >0)的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点．若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则k=（ ）A. 1B. √2C. √3D. 211. 已知F 1(−1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB|=3，则C 的方程为（ ）A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 24+y 23=1D.x 25+y 24=112. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(1,−1)，则弦长|AB|=( )A. 5√2B. 2√5C. 5√22D. √1013. 若椭圆C ：x 28+y 24=1的右焦点为F ，且与直线l ：x −√3y +2=0交于P ，Q 两点，则△PQF 的周长为（ ）A. 6√2B. 8√2C. 6D. 814. 椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆上的点M满足：∠F 1MF 2=60°，且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则b =( )A. 1B. √2C. √3D. 2二、填空题15. 已知抛物线C ：x 2=−2py(p >0)的焦点F 与y 28+x 24=1的一个焦点重合，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两不同点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线相交于点M ，且M 的横坐标为2，则弦长|AB|=________． 16. 设M 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点，以M 为圆心的圆与x 轴相切，切点为椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于不同的两点P ，Q ，若△PMQ 为等边三角形，则椭圆C 的离心率为________． 17. 若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为_________． 18. 设F 1，F 2分别为椭圆x 23+y 2=1的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点A 的坐标是_________．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）19. 已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)四个顶点中的三个是边长为2√3的等边三角形的顶点．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +m 与圆O:x 2+y 2=2b 23相切且交椭圆E 于两点M,N ，求线段|MN|的最大值．20.已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点分别为A(−a,0),B(a,0)，点P为椭圆上异于A，B的点，设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，且．(1)求椭圆C的离心率；(2)若b=1，设直线l与x轴交于点D(−1,0)，与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且椭圆上的点到点F的最大距离为3，O为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)过右焦点F倾斜角为60°的直线与椭圆C交于M、N两点，求△OMN的面积．22.已知椭圆C：x2a2+y23=1(a>√3)的焦距为2，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，M，N为椭圆C上的两点(异于A，B)，连结AM，BN，MN，且BN斜率是AM斜率的3倍．(1)求椭圆C的方程；(2)证明：直线MN恒过定点．答案和解析1.【答案】B【解答】解：由题意，不妨设P 是双曲线右支上的一点，|PF 1|=x ，|PF 2|=y ，则x +y =2√m ，x −y =2√n ， ∴x 2+y 2=2(m +n)， ∵两曲线有相同的焦点， ∴m −1=n +1， ∴m =n +2， ∴x 2+y 2=4(n +1)， 即|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2， ∴△F 1PF 2是直角三角形， 故选B ．2.【答案】A【解答】解：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)， 则x 124+y 122=1，①，x 224+y 222=1，②①−②，得(x 1−x 2)(x 1+x 2)4+(y 1−y 2)(y 1+y 2)2=0．∴y 1−y2x 1−x 2=−12⋅x 1+x2y 1+y 2．又∵M 为AB 中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2． ∴直线AB 的斜率为y 1−y 2x1−x 2=−12．∴直线AB 的方程为y −1=−12(x −1)，即2y +x −3=0． 故选：A ．3.【答案】A【解答】解：设弦的两端点为A(x 1,y 1)， B(x 2,y 2)， P 为AB 中点得{x 1+x 2=6y 1+y 2=2，由A ， B 在椭圆上有{x 1216+y 124=1x 2216+y 224=1,两式相减得x12−x2216+y12−y224=0，即(x1+x2)(x1−x2)16+(y1+y2)(y1−y2)4=0，即3(x1−x2)8+y1−y22=0，即y1−y2x1−x2=−34，则斜率k=−34，且过点P(3,1)，有y−1=−34(x−3)，整理得3x+4y−13=0．故选A．4.【答案】D【解答】解：∵圆的标准方程为(x−3)2+y2=1，∴圆心坐标是(3,0)，∴c=3．又b=4，∴a=√b2+c2=5．∵椭圆的焦点在x轴上，椭圆的左顶点为(−5,0)．故选D．5.【答案】D【解析】解：由题意可得|OF2|=√b2−c2=12，|OF0|=c=√3|OF2|=√32，解得b=1，又a2=b2+c2=1+34=74，得a=√72，即a=√72，b=1．6.【答案】B 【解答】解：∵△POF2的面积为√3的正三角形，S=12×c×√32c=√34c2∴√34c2=√3，解得c=2．∴P(1,√3)代入椭圆方程可得：1a2+3b2=1，与a2=b2+4联立解得：b2=2√3．故选B．7.【答案】A【解答】解：设焦点坐标F 1(−c,0)，F 2(c,0)，|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c ， |PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a ， 所以|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2a(√2−1)，|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a(√2−1)，由PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，设线段PF 1的中点为M ，则OM ⊥PF 1, 则|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴PF 1⊥PF 2，则|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，∴(2√2a(√2−1))2+(2a(√2−1))2=4c 2， 可得c 2=(9−6√2)a 2，解得e 2=9−6√2， 则椭圆的离心率为√6−√3． 故选A ．8.【答案】C【解答】 解：设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦距为2c ，椭圆上任一点P(x,y)，由MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点M 总在椭圆内，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，得x 2+y 2>c 2恒成立，代入椭圆方程化简得y 2<b 4a 2−b 2，又−b <y <b ，所以b 2<b 4a 2−b 2，化简得a 2<2b 2=2a 2−2c 2，得a 2>2c 2，可得e =ca<√22， 又0<e <1，∴0<e <√22， 故选C ．9.【答案】D【解答】解：不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为第一象限的点，如图： 设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义知|PF 1|+|PF 2|=2a 1，|PF 1|−|PF 2|=2a 2， ∴|PF 1|=a 1+a 2，|PF 2|=a 1−a 2． 设|F 1F 2|=2c ，在△PF 1F 2中，∠F 1PF 2=π3，由余弦定理得，4c 2=(a 1+a 2)2+(a 1−a 2)2−2(a 1+a 2)(a 1−a 2)cos π3，化简得a 12+3a 22=4c 2，即1e 12+3e 22=4，∴1e 12+3e 22=4≥2√3e 12e 22，∴1e1e 2≤2√33， 当且仅当e 1=√22,e 2=√62时，等号成立，则1e1e 2的最大值为2√33， 故选D ．10.【答案】B【解答】 解：椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2， 可得：b =1，ca =√32，解得：a =2，c =√3，b =1， 椭圆方程为x 24+y 2=1，过右焦点F 且斜率为k(k >0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， ∵AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴y 1=−3y 2， 设直线AB 方程为y =k(x −√3)， 代入x 24+y 2=1，消去x ，可得(14k 2+1)y 2+√32k y −14=0， ∴y 1+y 2=−√32k 1+14k2=−2√3k1+4k 2，y 1y 2=−141+14k2=−k 24k 2+1，−2y 2=−2√3k 1+4k2，−3y 22=−k 24k 2+1，解得：k =√2． 故选：B ．11.【答案】C【解答】解：F 1(−1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，可得c =1， 过F 2且垂直x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB|=3， 令椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1中x =1，得y =±√b 2−b 2a 2，可得2√b 2−b 2a2=3， 化简得4a 4−17a 2+4=0， 解得a =2，则b =√3， 所求的椭圆方程为：x 24+y 23=1．故选：C ．12.【答案】A【解答】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 代入椭圆方程得x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b 2=1②，相减得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0， ∴x 1+x 2a 2+y 1−y2x 1−x 2⋅y 1+y 2b 2=0．∵x 1+x 2=2，y 1+y 2=−2，k AB =−1−01−3=12．∴2a 2+12×−2b 2=0，化为a 2=2b 2，又c =3=√a 2−b 2，解得a 2=18，b 2=9． ∴椭圆E 的方程为x 218+y 29=1．AB 的斜率为12，且过(1,−1)，∴直线AB 的方程为y +1=12(x −1)，即y =12x −32，代入椭圆方程，得3x 2−6x −27=0． ∴x 1+x 2=2.x 1x 2=−9．∴|AB|=√1+14⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=5√2． 故选：A ．13.【答案】B【解析】解：∵直线l 过椭圆C 的左焦点F′(−2,0)， 直线l ：x −√3y +2=0经过左焦点F′， ∴△PQF 的周长|PQ|+|PF|+|QF|=|PF′|+|PF|+|QF′|+|QF|=4a =8√2，14.【答案】C【解析】解：设|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=m ，|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=n ，因为MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则mncos60°=2，⇒mn =4， 又m +n =2a ，(1)，在△MF 1F 2中，由余弦定理可得：|F 1F 2|2=m 2+n 2−2mncos60°=4(a 2−b 2)(2)， (1)式平方减去(2)式得：b 2=3，得：b =√3． 故选：C ．设|MF 1|=m ，|MF 2|=n ，由数量积及∠F 1MF 2的大小可得mn =4，再由椭圆的定义可得m +n =2a ，在△MF 1F 2中，由余弦定理可得b 的值．本题考查椭圆的性质及数量积的运算性质，属于中档题．15.【答案】10【解答】解：由题意可得F(0,−2)，则p =4，抛物线方程为x 2=−8y ． 设直线AB 方程为y =kx −2，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，其中y 1=−x 128，y 2=−x 228．由y =−x28得y′=−x4，所以在点A处的切线方程为y−y1=−x14(x−x1)，化简得y=−x14x+x128，①同理可得在点B处的切线方程为y=−x24x+x228.②联立①②得x M=x1+x22，又∵M的横坐标为2，∴x1+x2=4．将AB方程代入抛物线得x2+8kx−16=0，∴x1+x2=−8k=4，∴k=−12，∴y1+y2=k(x1+x2)−4=−12×4−4=−6，∴|AB|=p−y1−y2=10．故答案为10．16.【答案】√33【解答】解：如图，过M作MN⊥y轴于N，由△PMQ为等边三角形，可得|PQ|=2√33c，再由题意可得M(c,b2a )，则圆M为(x−c)2+(y−b2a)2=b4a2，取x=0，可得y1=b2a −√b4−a2c2a，y2=b2a+√b4−a2c2a，∴2√b4−a2c2a =2√33c，即3(e2)2−10e2+3=0，解得：e=√33．故答案为：√33．17.【答案】6【解答】解：由题意，F(−1,0)，设点P(x0,y0)，则有x024+y023=1，解得y02=3(1−x024)，因为FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+1,y 0),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0),所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0(x 0+1)+3(1−x 024)=x 024+x 0+3=14(x 0+2)2+2， 此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0=−2，因为−2≤x 0≤2，所以当x 0=2时，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值224+2+3=6， 故答案为6． 18.【答案】(0,1)或(0,−1)【解答】解：设A(m,n)．由F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得B (m+6√25,n 5)． 又A ，B 均在椭圆上，所以有{m 23+n 2=1,(m+6√25)23+(n 5)2=1,解得{m =0,n =1或{m =0,n =−1, 所以点A 的坐标为(0,1)或(0,−1)．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意，椭圆上下顶点与左右顶点其中的一个构成等边三角形， 所以a =√3b,b =√3，即a =3，所以椭圆E 的方程为x 29+y 23=1，(Ⅱ)圆O:x 2+y 2=2，因为直线y =kx +m 与圆O:x 2+y 2=2相切， 所以√1+k 2=√2，即m 2=2(1+k 2)； 联立{x 29+y 23=1y =kx +m得(1+3k 2)x 2+6kmx +3(m 2−3)=0，Δ>0， 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，所以x 1+x 2=−6km 1+3k 2,x 1·x 2=3(m 2−3)1+3k 2,由弦长公式得|MN|=√1+k 2·|x 1−x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2·√12(9k 2+3−m 2)1+3k 2， 将m 2=2(1+k 2)代入：|MN|=√6·√(2+2k 2)(7k 2+1)1+3k 2≤√6·(2+2k 2)+(7k 2+1)21+3k 2=3√62， 当且仅当2+2k 2=7k 2+1，即k 2=15时等号成立，故弦长|MN|最大值为3√62． 20.【答案】解：(1)设P(x 0,y 0)为椭圆上的点，则x 02a 2+y 02b 2=1，整理得：y 02=−b 2a 2(x 02−a 2)， 又k 1=y 0x 0+a ，k 2=y 0x 0−a ，∴k 1k 2=y 02x 02−a 2=−12， 联立两个方程则k 1k 2=−b 2a 2=−12， 解得e =c a =√1−b2a 2=√22． (2)由(1)知a 2=2b 2，又b =1，∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．由题意，设直线l 的方程为：x =my −1，代入椭圆的方程有：(m 2+2)y 2−2my −1=0，则Δ=(−2m )2+4(m 2+2)=8(m 2+1)>0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则y 1+y 2=2m m 2+2，y 1y 2=−1m 2+2，则△OMN 的面积S =12|OD |·|y 1−y 2| =12√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =12×√8m 2+8m 2+2=√2·√m 2+1m 2+2， 令√m 2+1=t ，(t ≥1)，则有m 2=t 2−1，代入上式有S =√2·√m 2+1m 2+2=√2t t 2+1=√2t+1t ≤√22， 当且仅当t =1，即m =0时等号成立，所以△OMN 面积的最大值为√22． 21.【答案】解：(Ⅰ)椭圆焦点坐标为(1,0)，则c =1，由椭圆C 上的点到F 的最大距离为a +c =3，则a =2， b 2=a 2−c 2=3，∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由已知可设直线MN 的方程为：y =√3(x −1)，联立方程组{y =√3(x −1)3x 2+4y 2=12消去x 得：5y 2+2√3y −9=0． y 1+y 2=−2√35，y 1⋅y 2=−95，⇒(y 1−y 2)2=(−2√35)2−4×(−95)=19225． ∴△OMN 的面积S =12×OF ×|y 1−y 2|=12×1×8√35=4√35 22.【答案】解：(1)∵{2c =2a 2=c 2+3, ∴{a =2c =1, 所以b 2=a 2−c 2=3∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)连结BM ，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则k AM ⋅k BM =y 1x 1+2⋅y 1x 1−2=y 12x 12−4，∵点M(x 1,y 1)在椭圆上，∴k AM ⋅k BM =y 12x 12−4=3−34x 12x 12−4=−34，∵k BN =3k AM ，∴k BN ⋅k BM =−94，①当MN 斜率不存在时，设MN:x =m ，不妨设M 在x 轴上方， ∴M(m,√12−3m 24),N(m,−√12−3m 24)， ∵k BN ⋅k BM =−94， ∴m =1；②当MN 斜率存在时，设MN:y =kx +t ，由{y =kx +t 3x 2+4y 2−12=0，整理，得(3+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−12=0， ∴x 1+x 2=−8kt 3+4k 2,x 1⋅x 2=4t 2−123+4k 2， ∵k BN ⋅k BM =y 1x 1−2⋅y 2x 2−2=(kx 1+t)⋅(kx 1+t)x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=−94，∴化简可得2k2+3kt+t2=0，即t=−k或t=−2k，当t=−k时，y=kx−k，恒过定点(1,0)，当斜率不存在亦符合；当t=−2k，y=kx−2k，过点(2,0)与点B重合，舍去，∴直线恒过定点(1,0)．。

2.1.2 椭圆的简单几何性质课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a ，b 以及c ，e 的几何意义，a 、b 、c 、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．1．椭圆的简单几何性质焦点的 位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准 方程 范围 顶点轴长 短轴长＝______，长轴长＝______焦点 焦距对称性 对称轴是________，对称中心是______离心率2.直线与椭圆直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎨⎧y ＝kx ＋bx 2a 2＋y2b2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔⎩⎨⎧y ＝kx ＋bx 2a 2＋y2b2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔⎩⎨⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b2＝1________实数解，即Δ______0.一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3，45 B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，352．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )A ．x 236＋y 216＝1B ．x 216＋y 236＝1 C ．x 26＋y 24＝1 D ．y 26＋x 24＝1 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A ． 3B ．32C ．83D ．234．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52 B ．1－22C.2－1D.225．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．06．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。