高中数学 1.3 算法案例(2)课时达标训练 新人教A版必修3

第一章算法初步1.3算法案例1.3算法案例(第1课时)——辗转相除法与更相减损术1.3算法案例(第3课时)——进位制学习目标1.学习各种进位制表示数的方法.2.会各种进位制数转化成十进制数的计算方法,十进制数转化为各种进位制数的除k取余法.合作学习一、设计问题,创设情境在日常生活中,我们最熟悉、最常用的是十进制,据说这与古人曾以手指计数有关,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时、分、秒用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又有什么联系呢?二、信息交流,揭示规律阅读教材P40内容,回答问题.(1)你都了解哪些进位制?(2)思考非十进位制数化为十进制数的转化方法.(3)思考十进制数与非十进制数之间的转化方法.进位制是一种计数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值.可使用数字符号的个数称为基数,基数为n,即可称n进位制,简称n进制.现在最常用的是十进制,通常使用10个阿拉伯数字0~9进行计数.对于任何一个数,我们可以用不同的进位制来表示.比如:十进制数57,可以用二进制表示为111001,也可以用八进制表示为71,用十六进制表示为39,它们所代表的数值都是一样的.表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示五进制数.电子计算机一般都使用二进制,下面我们来进行二进制数与十进制数之间的转化.三、运用规律,解决问题【例1】把二进制数110011(2)化为十进制数.【例2】把89化为二进制数.四、变式训练,深化提高练习:(1)把73化为二进制数;(2)利用除k取余法把89化为五进制数;(3)把k进制数a(共有n位)化为十进制数b的过程设计为程序框图和程序.五、反思小结,观点提炼1.本节课我们学习了哪些知识内容?2.进位制的概念及表示方法.3.十进制数与二进制数之间转化的方法及计算机程序.布置作业课时P48习题1.3A组第3题.参考答案三、运用规律,解决问题【例1】解:110011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=1×32+1×16+1×2+1=51.【例2】解:根据二进制数“满二进一”的原则,可以用2连续去除89或所得商,然后取余数.具体计算方法如下:因为89=2×44+1,44=2×22+0,22=2×11+0,11=2×5+1,5=2×2+1,2=2×1+0,1=2×0+1.所以89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1=2×(2×(2×(2×(22+1)+1)+0)+0)+1=…=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1011001(2).这种算法叫做除2取余法,还可以用下面的除法算式表示:把上式中的各步所得的余数从下到上排列,得到89=1011001(2).上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法,称为除k取余法.当数字较小时,也可直接利用各进位制表示数的特点,都是以幂的形式来表示各位数字,比如2×103表示千位数字是2,所以可以直接求出各位数字.把89转化为二进制数时,直接观察得出89与64最接近,故89=64×1+25.同理:25=16×1+9,9=8×1+1.即89=64×1+16×1+8×16430即89=1011001(2).四、变式训练,深化提高练习:解:(1)73=2×36+1,36=2×18+0,18=2×9+0,9=2×4+1,4=2×2+0,2=2×1+0,1=2×0+1.所以73=1×26+0×25+0×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1001001(2).(2)89=5×17+4,17=5×3+2,3=5×0+3.所以89=3×52+2×51+4×50=324(5).(3)INPUT“a,k,n=”;a,k,nb=0i=1t=a MOD 10DOb=b+t k^(i-1)a=a\10t=a MOD 10i=i+1LOOP UNTIL i>nPRINT bEND五、反思小结,观点提炼略。

4．下列各数，化为十进制后，最大的为( )
A．101010(2) C．32(8)
B．111(5) D．5＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21 ＋0×20＝42,111(5)＝1×52＋1×51＋1×50＝31,32(8)＝3×81 ＋2×80＝26,54(6)＝5×61＋4×60＝34.
7．设 2134 与 1455 的最大公约数为 m，则 m 化为三进 制数为__1_0_1_2_1_(3_) ．
解 析 2134 ＝ 1455 ＋ 679,1455 ＝ 679×2 ＋ 97,679 ＝ 97×7，∴2134 与 1455 的最大公约数为 97，∴m＝97.
用 97 连续除 3 取余数，可得 97 化为三进制数为 10121(3)．
故转化为十进制后，最大的是 101010(2)．
5．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古 代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文 文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方 法．我们用近代术语解释为：把阳爻“——”当作数字“1”， 把阴爻“— —”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如 下：
依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ 示的十进制数是( )
A．18 B．17 C．16 D．15
”表
解析 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦，符
号“ ”表示的二进制数为 010001，转化为十进制数，为 1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17.
二、填空题 6．阅读程序框图，利用秦九韶算法计算多项式 f(x)＝anxn ＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，当 x＝x0 时，框图中 A 处应填入
∴用十六进制表示 146 为 92(16)．
三、解答题 9．10x1(2)＝y02(3)，求数字 x，y 的值．

第一章算法初步1．3算法案例[A组学业达标]1．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16－12＝4，12－4＝8，8－4＝4.由此可以看出12和16的最大公约数是() A．4B．12C．16 D．8解析：根据更相减损术的方法判断．答案：A2．459和357的最大公约数是() A．3 B．9C．17 D．51解析：∵459＝357×1＋102，357＝102×3＋51，102＝51×2，∴459和357的最大公约数是51.故选D.答案：D3．下列各数中最小的数是() A．101 010(2)B．210(8)C．1 001(16)D．81解析：101 010(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42，210(8)＝2×82＋1×81＋0×80＝136，1 001(16)＝1×163＋0×162＋0×161＋1×160＝4 097.故选A.答案：A4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4在x＝－1时的值，v2的结果是() A．－4 B．－1C．5 D．6解析：n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，由秦九韶算法的递推关系式得v0＝2，v1＝v0x＋a3＝－5，v2＝v1x＋a2＝6.5．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是()A．6，6 B．5，6C．5，5 D．6，5解析：秦九韶算法中最多需用加法和乘法的次数，由多项式的次数n可知，∴选A.答案：A6．用秦九韶算法求f(x)＝2x3＋x－3当x＝3时的值v2＝__________．解析：f(x)＝((2x＋0)x＋1)x－3，v0＝2；v1＝2×3＋0＝6；v2＝6×3＋1＝19.答案：197．将51化为二进制数得__________．解析：答案：110 011(2)8．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是__________．解析：294＝84×3＋42，84＝42×2.答案：29．用辗转相除法求242与154的最大公约数．解析：242＝154×1＋88，154＝88×1＋66，88＝66×1＋22，所以242与154的最大公约数是22.10．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64，当x＝2时的值．解析：将f(x)改写为f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64，由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值，v0＝1，v1＝1×2－12＝－10，v2＝－10×2＋60＝40，v3＝40×2－160＝－80，v4＝－80×2＋240＝80，v5＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.所以f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.[B组能力提升]11．下面一段程序的目的是()A．求m，n的最小公倍数B．求m，n的最大公约数C．求m被n除的商D．求n除以m的余数解析：本程序当m，n不相等时，总是用较大的数减去较小的数，直到相等时跳出循环，显然是“更相减损术”．故选B.答案：B12．按照秦九韶算法求多项式f(x)＝1.5x5＋3.5x4－4.1x3－3.6x＋6当x＝0.5时的值的过程中，令v0＝a5，v1＝v0x＋a4，…，v5＝v4x＋a0，则v4＝__________．解析：由题意，有v0＝1.5，v1＝1.5×0.5＋3.5＝4.25，v2＝4.25×0.5－4.1＝－1.975，v3＝－1.975×0.5＋0＝－0.987 5，v4＝－0.987 5×0.5－3.6＝－4.093 75.答案：－4.093 7513．用更相减损术求三个数168，54，264的最大公约数为__________．解析：为简化运算，先将3个数用2约简为84，27，132.由更相减损术，先求84与27的最大公约数.84－27＝57，57－27＝30，30－27＝3，27－3＝24，24－3＝21，21－3＝18，18－3＝15，15－3＝12，12－3＝9，9－3＝6，6－3＝3.故84与27的最大公约数为3.再求3与132的最大公约数，易知132＝3×44，所以3与132的最大公约数就是3.故84，27，132的最大公约数为3；168，54，264的最大公约数为6.答案：614．有甲、乙、丙三种溶液分别重147g，343g，133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，则每瓶最多装多少溶液？解析：每个小瓶的溶液的质量应是三种溶液质量147，343，133的公约数，最大质量即是其最大公约数．先求147与343的最大公约数：343－147＝196，196－147＝49，147－49＝98.98－49＝49.所以147与343的最大公约数是49.再求49与133的最大公约数：133－49＝84，84－39＝35，49－35＝14，35－14＝21，21－14＝7，14－7＝7，所以49与133的最大公约数为7，所以147，343，133的最大公约数为7.即每瓶最多装7 g溶液．15．若10y1(2)＝x02(3)，求数字x，y的值及与此两数等值的十进制数．解析：∵10y1(2)＝x02(3)，∴1×23＋0×22＋y×2＋1＝x×32＋0×3＋2，将上式整理得9x－2y＝7，由进位制的性质知，x∈{1，2}，y∈{0，1}，当y＝0时，x＝79(舍)，当y＝1时，x＝1.∴x＝y＝1，已知数为1 011(2)＝102(3)，与它们相等的十进制数为1×32＋0×3＋2＝11.。

课时训练8算法案例一、求两个正整数的最大公约数1.459和357的最大公约数是()A.3B.9C.17D.51答案:D解析:∵459=357×1+102,357=102×3+51,102=51×2,∴459和357的最大公约数是51.2.用更相减损术求35和25的最大公约数时,需要做减法的次数是()A.3B.4C.5D.6答案:B解析:35-25=10,25-10=15,15-10=5,10-5=5.3.用辗转相除法求294和84的最大公约数时,需要做除法的次数是()A.1B.2C.3D.4答案:B解析:294=84×3+42;84=42×2.二、秦九韶算法及应用4.用秦九韶算法计算多项式f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是()A.6,6B.5,6C.5,5D.6,5答案:A解析:由于f(x)=(((((3x+4)x+5)x+6)x+7)x+8)x+1,所以共做6次乘法6次加法.5.用秦九韶算法求多项式f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8在x=5时的值时,其中v3的值为()A.689.9B.138.5C.27D.5答案:A解析:∵f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8,∴v3=((5x+2)x+3.5)x-2.6.将x=5代入得v3=((5×5+2)×5+3.5)×5-2.6=689.9.故选A.6.用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1当x=2时的值.解:依据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:f(x)=8x7+5x6+0·x5+3·x4+0·x3+0·x2+2x+1=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1.依据从内到外的挨次,依次计算一次多项式当x=2时的值:v0=8;v1=8×2+5=21;v2=21×2+0=42;v3=42×2+3=87;v4=87×2+0=174;v5=174×2+0=348;v6=348×2+2=698;v7=698×2+1=1 397.因此当x=2时,原多项式的值为1 397.三、进位制7.把二进制数110 111(2)化为非二进制数,下列结果错误的是()A.55B.210(5)C.130(6)D.67(8)答案:C解析:110 111(2)=25+24+22+2+1=55,210(5)=2×52+5=55,130(6)=62+3×6=54≠55,67(8)=6×8+7=55.故选C.8.四位二进制数能表示的最大十进制数为.答案:15解析:1 111(2)=1×23+1×22+1×2+1×20=15.9.1 101(2)+1 011(2)=(用二进制数表示).答案:11 000(2)解析:1 101(2)=1×23+1×22+1=13;1 011(2)=1×23+1×2+1=11,则1 101(2)+1 011(2)=24.即1 101(2)+1 011(2)=11 000(2).10.已知175(r)=125,求r.解:175(r)=1×r2+7×r+5,由r2+7r+5=125,得r2+7r-120=0,解得r=8或r=-15(舍去).故r=8.(建议用时:30分钟)1.利用秦九韶算法求f (x )=1+2x+3x 2+…+6x 5当x=2时的值时,下列说法正确的是( ) A.先求1+2×2B.先求6×2+5,其次步求2×(6×2+5)+4C.f (2)=1+2×2+3×22+4×23+5×24+6×25直接运算求解D.以上都不对 答案:B解析:利用秦九韶算法应先算a n x+a n-1,再算(a n x+a n-1)x+a n-2. 2.如图所示的程序表示的算法是( )A.交换m ,n 的值B.辗转相除法C.更相减损术D.秦九韶算法答案:B3.300(4)与224(5)的最大公约数是( ) A.8 B.12C.14D.16答案:D解析:300(4)=3×42=48,224(5)=2×52+2×5+4=64,48与64的最大公约数为16.4.如图所示的是把二进制数11 111(2)化为十进制数的一个程序框图,推断框内应填入的条件是( )A.i>4?B.i ≤4?C.i>5?D.i ≤5?答案:B解析:11 111(2)=1×24+1×23+1×22+1×2+1,第四次是进入循环体后即达到目的.故选B .5.当x=2,用秦九韶算法求多项式f (x )=3x 5+8x 4-3x 3+5x 2+12x-6的值时,在运算过程中下列值用不到的是( ) A.14 B.25C.56D.122答案:C解析:依据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:f (x )=((((3x+8)x-3)x+5)x+12)x-6.依据从内到外的挨次,依次计算一次多项式当x=2时的值, v 0=3;v 1=v 0×2+8=3×2+8=14; v 2=v 1×2-3=14×2-3=25; v 3=v 2×2+5=25×2+5=55; v 4=v 3×2+12=55×2+12=122; v 5=v 4×2-6=122×2-6=238.6.(2021课标全国Ⅱ高考,理8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a ,b 分别为14,18,则输出的a=( )A.0B.2C.4D.14答案:B解析:由程序框图,得(14,18)→(14,4)→(10,4)→(6,4)→(2,4)→(2,2),则输出的a=2. 7.567与405的最大公约数为 . 答案:81解析:由于567=405×1+162,405=162×2+81, 162=81×2,所以最大公约数为81.8.将111化成五进制的数时,对应五进制的末位是 .答案:1解析:由于,所以111=421(5).9.用辗转相除法和更相减损术两种方法求840和1 785的最大公约数.解:辗转相除法:第一步:1 785=840×2+105;其次步:840=105×8.故所求最大公约数为105.更相减损术:第一步:1 785-840=945;其次步:945-840=105;第三步:840-105=735;第四步:735-105=630;第五步:630-105=525;第六步:525-105=420;第七步:420-105=315;第八步:315-105=210;第九步:210-105=105.故所求最大公约数为105.10.已知n次多项式P n(x)=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n,假如在一种算法中,计算x0k(k=2,3,4,…,n)的值需要做k-1次乘法.(1)计算P3(x0)的值需要9次运算(6次乘法,3次加法),那么计算P n(x0)的值需要多少次运算?(2)若实行秦九韶算法:P0(x)=a0,P k+1(x)=xP k(x)+a k+1(k=0,1,2,…,n-1),计算P3(x0)的值只需6次运算,那么计算P n(x0)的值共需要多少次运算?(3)若实行秦九韶算法,设a i=i+1,i=0,1,…,n,求P5(2)(写出实行秦九韶算法的计算过程).解:直接法中乘法运算的次数最多可达到(n+1)n2,加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数削减到最多n次,加法最多n次.(1)n(n+3)2.(2)2n.(3)由于P0(x)=a0,P k+1(x)=xP k(x)+a k+1,所以P0(2)=1,P1(2)=2P0(2)+2=4; P2(2)=2P1(2)+3=11; P3(2)=2P2(2)+4=26; P4(2)=2P3(2)+5=57; P5(2)=2P4(2)+6=120.。

《 1.3算法案例》第2 课时导学案编写人：范志颖审核人：袁辉审批人：袁辉【学法指导】1.认真阅读教科书，努力完成“基础导学”部分的内容；2.探究部分内容可借助资料，但是必须谈出自己的理解；不能独立解决的问题，用红笔做好标记；3.课堂上通过合作交流研讨，认真听取同学讲解及教师点拨，排除疑难；4.全力以赴，相信自己！学习目标知识与技能过程与方法情感态度与价值观掌握秦九韶算法的原理了解用循环结构表示算法步骤通过对具体事例的分析，切实让学生掌握这几种方法的原理及算法设计过程，采取从具体到一般的教学方法。

通过几个中国古代数学问题求解的学习，进一步体会算法的思想，提高逻辑思维能力和算法设计水平。

学习重点秦九韶算法的原理学习难点秦九韶算法的原理，用循环结构表示算法步骤。

【学习过程】引例：计算多项式ｆ（ｘ）=ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x = 5的值《数书九章》——秦九韶算法设ｆ（ｘ）是一个n 次的多项式对该多项式按下面的方式进行改写：最后的结果是什么？探究1：当知道了x 的值后该如何求多项式的值?要求多项式的值，应该先算最 的一次多项式的值，即然后，由 到 逐层计算一次多项式的值，即0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 01211)(a x a x a x a n n n n ++++=--- 012312))((a x a x a x a x a n n n n +++++=---=212-+=n a x v v 323-+=n a x v v最后的一项是什么？探究2:在求多项式的值上，这是怎样的一个转化？这种转化称为什么算法？典例：例： 已知一个五次多项式为用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。

探究3:算法分析学生阅读教材38—39页。

8.07.16.25.324)(2345-+-++=x x x x x x f当堂检测：1.求当x = 5时的值？2. 求当x = 3时的值？15.033.016.041.083.0)(2345+++++=x x x x x x f xx x x x x x x f ++++++=234567234567)(我的（反思、收获、问题）：。

高中数学 1.3 算法案例一课一练1 新人教A版必修3一、选择题1、秦九韶算法与直接计算相比较，下列说法错误的是（）A、秦九韶算法与直接计算相比，大大节省了乘法得次数，使计算量减小，并且逻辑结构简单B、秦九韶算法减少做乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度C、秦九韶算法减少做乘法的次数，在计算机上也就降低了计算的速度D、秦九韶算法避免对自变量x单独作幂的计算，而是与系数一起逐次增长幂次，从而可提高计算的精度2、用圆内接正多边形逼近圆，进而得到的圆周率总是的实际值。

A、大于等于B、小于等于C、等于D、小于3、在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：（16，12）→（4，12）→（4，8）→（4，实用文档4），由此可以看出12和16的最大公约数是（）A、4B、12C、16D、84、数学中的递推公式可以用以下哪种结构来表达（）A、顺序结构B、逻辑结构C、分支结构D、循环结构5、我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率这种算法是（）A、弧田法B、逼近法C、割圆法D、割图法6、“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何”（）A、2333B、23C、46D、697、把88化为五进制数是（）A、324(5)B、323(5)C、233(5)D、332(5)实用文档二、填空题8、程序INPUT “ａ，ｂ，ｃ＝”；ａ，ｂ，ｃＩＦｂ＞ａＴＨＥＮｘ＝ａａ＝ｂｂ＝ｘＥＮＤＩＦＩＦｃ＞ａＴＨＥＮｘ＝ａａ＝ｃｃ＝ｘＥＮＤＩＦＩＦｃ＞ｂＴＨＥＮｘ＝ｂｂ＝ｃｃ＝ｘ实用文档实用文档ＥＮＤ ＩＦＰＲＩＮＴ ａ，ｂ，ｃＥＮＤ本程序输出的是 。

9、294与84的最大公约数为三、解答题10、设计解决“韩信点兵——孙子问题”的算法“孙子问题”相当于求关于x,y,z 的不定方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=273523z m y m x m的正整数解。

11、输入两个正整数a 和b （)b a >，求它们的最大公约数。

1．3 算法案例第2课时算法案例(2)课时目标1.理解进位制的概念．2．能正确进行进位制的转化．识记强化1．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统．“满k(k是一个大于1的整数)进一”就是k进制，k进制的基数是k.2．将k进制的数化为十进制数的方法是：先把k进制数写成用各位上的数学与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果．3．将十进制数化为k进制数的方法是：除k取余法，即用k连续去除十进制数或所得的商直到商为零为止，然后把各步得到的余数倒着写出就是相应的k进制数．课时作业一、选择题1．与二进制数110(2)对应的十进制数是( )A．110 B．4C．5 D．6答案：D2．下列写法正确的是( )A．751(16) B．751(7)C．095(12) D．901(2)答案：A3．以下给出的各数中不可能是八进制数的是( )A．312 B．10 110C．82 D．7 457答案：C4．把189化为三进制数，则末位数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案：A5．如图是将二进制数11111(2)化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是( )A．i≤5 B．i≤4C．i>5 D．i>4答案：D6．下列四个数中，数值最小的是( )A．25(10) B．101(5)C．10111(2) D．1A(16)答案：C解析：把各种进制的数转化成我们熟悉的十进制数，然后比较.101(5)＝1×52＋1＝26,10111(2)＝1×24＋1×22＋1×21＋1＝23,1A(16)＝1×161＋10＝26，则23＜25,23＜26，故选C.二、填空题7．完成下列进制之间的转化．①312(5)＝________(7)；②20192(3)＝________(10)．答案：①145②185解析：①312(5)＝2×50＋1×51＋3×52＝82.∴312(5)＝145(7)．②20 212(3)＝2×34＋2×32＋1×3＋2＝185.8．五进制数1 231(5)化成7进制数是________．答案：362(7)9．已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，将它们按由小到大的顺序排列为________．答案：33(4)<12(16)<25(7)解析：将三个数都化为十进制数．12(16)＝1×16＋2＝18，25(7)＝2×7＋5＝19，33(4)＝3×4＋3＝15，∴33(4)<12(16)<25(7)三、解答题10．把八进制数2019(8)化为五进制数．解：2019(8)＝2×83＋0×82＋1×81＋4×80＝1024＋0＋8＋4＝1036.再用除5取余法可得：1036＝1×54＋3×53＋1×52＋2×51＋1，∴2019(8)＝13121(5)．11．已知175(8)＝120＋r，求正整数r.解：∵175(8)＝1×82＋7×81＋5×80＝125，∴125＝120＋r，∴r＝5，即所求正整数r为5.能力提升12．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：十六进制0123456789 A B C D E F。

算法案例(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.更相减损术可解决下列问题中的()A.求两个正整数的最大公约数B.求多项式的值C.进位制的转化计算D.排序问题【解析】选A.更相减损术是解决求两个或两个以上的正整数的最大公约数的.2.(2015·娄底高一检测)把77化成四进制数的末位数字为()A.4B.3C.2D.1【解析】选D.因为77÷4=19……1，19÷4=4……3，4÷4=1……0，1÷4=0……1，故77(10)=1 031(4)，末位数字为1.【补偿训练】十进制数89化为二进制的数为()A.1001101(2)B.1011001(2)C.0011001(2)D.1001001(2)【解析】选B.89÷2=44…1，44÷2=22…0，22÷2=11…0，11÷2=5…1，5÷2=2…1，2÷2=1…0，1÷2=0…1，故89(10)=1 011 001(2).3.(2015·临沂高一检测)已知多项式f(x)=x4-3x3+5x，用秦九韶算法求f(5)的值等于()A.275B.257C.55D.10【解析】选A.因为f(x)=x4-3x3+0·x2+5x=(((x-3)x+0)x+5)x，v0=1，v1=1×5-3=2，v2=2×5+0=10，v3=10×5+5=55，v4=55×5=275，所以f(5)的值为275.4.(2015·洛阳高一检测)用秦九韶算法计算多项式f(x)=1+5x+10x2+10x3+5x4+x5在x=-2时，v3的值为()A.1B.2C.3D.4【解题指南】所给的多项式写成关于x的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，得到要求的值.【解析】选B.f(x)=1+5x+10x2+10x3+5x4+x5=(x4+5x3+10x2+10x+5)x+1=((x3+5x2+10x+10)x+5)x+1=((((x+5)x+10)x+10)x+5)x+1所以在x=-2时，v3的值为((x+5)x+10)x+10=2，故选B.【补偿训练】利用秦九韶算法求多项式f(x)=7x3+3x2-5x+11当x=23的值时，在运算中下列哪个值用不到()A.164B.3 767C.86 652D.85 169【解析】选D.f(x)=((7x+3)x-5)x+11，v1=7×23+3=164，v2=164×23-5=3 767，v3=3 767×23+11=86 652，所以f(23)=86 652.5.把十进制的23化成二进制数是()A.00 110(2)B.10 111(2)C.10 111(2)D.11 101(2)【解析】选B.23÷2=11…1，11÷2=5…1，5÷2=2…1，2÷2=1…0，1÷2=0…1，故23=10 111(2).【补偿训练】四位二进制数能表示的最大十进制数是()A.4B.15C.64D.127【解析】选B.1 111(2)=1×23+1×22+1×21+1×20=8+4+2+1=15.二、填空题(每小题5分，共15分)6.25与35的最大公约数为.【解析】35=1×25+10，25=2×10+5，10=2×5，所以25与35的最大公约数为5.答案：57.(2015·苏州高一检测)七进制数中各个数位上的数字只能是中的一个.【解析】“满几进一”就是几进制.因为进位制是七进制，所以满七进一，根本不可能出现7或比7大的数字，所以各个数位上的数字只能是0，1，2，3，4，5，6中的一个.答案：0，1，2，3，4，5，68.用秦九韶算法求多项式f(x)=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6当x=-4时的值时，其中v1的值为.【解析】由题意知答案：-7【误区警示】此题很容易把所求的v1写成v0的值而出现错误答案.三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·杭州高一检测)分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数.【解析】辗转相除法：319=261×1+58，261=58×4+29，58=29×2.所以319与261的最大公约数是29.更相减损术：319-261=58，261-58=203，203-58=145，145-58=87，87-58=29，58-29=29，所以319与261的最大公约数是29.10.利用秦九韶算法求多项式f(x)=3x6+12x5+8x4-3.5x3+7.2x2+5x-13当x=6时的值，写出详细步骤. 【解题指南】先把多项式改写，再利用秦九韶算法求解.【解析】f(x)=(((((3x+12)x+8)x-3.5)x+7.2)x+5)x-13，v0=3，v1=v0×6+12=30，v2=v1×6+8=188，v3=v2×6-3.5=1 124.5，v4=v3×6+7.2=6 754.2，v5=v4×6+5=40 530.2，v6=v5×6-13=243 168.2.f(6)=243 168.2.【拓展延伸】秦九韶算法的求解策略秦九韶算法把求n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的值转化为求递推公式(k=1，2，…，n)的值.这样最多只需n次乘法和n次加法即可求出多项式的值，和直接代入求值相比，减少了运算次数，提高了运算效率.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·南昌高一检测)将389化成四进制数的末位是()A.1B.2C.3D.0【解析】选A.389化成四进制数的运算过程如图，所得的四进制数是12 011(4)，其末位是1.2.两个正整数840与1 785的最大公约数是()A.105B.8C.2D.840【解析】选A.1 785=840×2+105，840=105×8，所以105为840与1 785的最大公约数.【补偿训练】用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为() A.4B.5C.6D.7【解析】选B.459-357=102，357-102=255，255-102=153，153-102=51，102-51=51，所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次，故选B.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·邵阳高一检测)已知函数f(x)=x3-2x2-5x+8，利用秦九韶算法求f(9)的值.【解析】f(x)=x3-2x2-5x+8=((x-2)x-5)x+8，所以f(9)=((9-2)×9-5)×9+8=530.答案：530【补偿训练】用秦九韶算法求多项式f(x)=1-5x-8x2+10x3+6x4+12x5+3x6当x=-4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是.【解析】多项式变形为f(x)=3x6+12x5+6x4+10x3-8x2-5x+1=(((((3x+12)x+6)x+10)x-8)x-5)x+1，v0=3，v1=3×(-4)+12=0，v2=0×(-4)+6=6，v3=6×(-4)+10=-14，v4=-14×(-4)-8=48，所以v4最大，v3最小，所以v4-v3=48+14=62.答案：624.把二进制数1 001(2)化成十进制数为.【解析】1 001(2)=1×23+0×22+0×21+1=9.答案：9【补偿训练】将53(8)转化为二进制的数为.【解析】53(8)=5×81+3=43.所以53(8)=101 011(2).答案：101 011(2)三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·韶关高一检测)用辗转相除法求888与1 147的最大公约数. 【解析】因为1 147=888×1+259，888=259×3+111，259=111×2+37，111=37×3，所以888与1 147的最大公约数是37.【一题多解】此题也可以利用更相减损术来求：1 147-888=259，888-259=629，629-259=370，370-259=111，259-111=148，148-111=37，111-37=74，74-37=37.所以888与1 147的最大公约数为37.【拓展延伸】辗转相除法和更相减损术的选择辗转相除法和更相减损术都可以求两个正整数的最大公约数，针对不同的两数，选择运算少的是关键，当满足下列条件之一，选择辗转相除法：(1)所给两数差值大；(2)所给两数的差与较小的数比，差值较大.6.(1)将137化为六进制数.(2)将53(8)转化为三进制数.【解析】(1)所以137=345(6).(2)53(8)=5×81+3×80=43.所以53(8)=1 121(3).。

[A基础达标]1.45和150的最大公约数和最小公倍数分别是()A．5，150B．15，450C．450，15 D．15，150解析：选B．利用辗转相除法求45和150的最大公约数：150＝45×3＋15，45＝15×3，45和150的最大公约数为15.45和150的最小公倍数为15×(45÷15)×(150÷15)＝450，故选B．2．把67(10)化为二进制数为()A．1 100 001(2)B．1 000 011(2)C．110 000(2)D．1 000 111(2)解析：选B．所以把67化为二进制数为1 000 011(2)．3．(2016·三明检测)计算机中常用十六进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计算符号与十进制的对应关系如下表：十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F十进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15例如用十六进制表示D＋E＝1B，则(2×F＋1)×4＝()A．6E B．7CC．5F D．B0解析：选B．(2×F＋1)×4用十进制可以表示为(2×15＋1)×4＝124，而124＝16×7＋12，所以用十六进制表示为7C，故选B．4.下列各组数中最小的数是()A．1 111(2)B．210(6)C．1 000(4)D．101(8)解析：选A.统一化为十进制数为1 111(2)＝15；210(6)＝78；1 000(4)＝64；101(8)＝65.5.(2016·青海调研)已知一个k进制的数132与十进制的数30相等，那么k等于() A．7或4 B．－7C．4 D．都不对解析：选C.132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2，所以k2＋3k＋2＝30，即k2＋3k－28＝0，解得k＝4或k＝－7(舍去)．6.三个数72，120，168的最大公约数是________．解析：由更相减损术，得168－120＝48，120－48＝72，72－48＝24，48－24＝24，故120和168的最大公约数是24.而72－24＝48，48－24＝24，故72和24的最大公约数也是24，所以72，120，168的最大公约数是24.答案：247.(2016·莱芜质检)已知函数f(x)＝x3－2x2－5x＋6，用秦九韶算法，则f(10)＝________．解析：f(x)＝x3－2x2－5x＋6＝(x2－2x－5)x＋6＝((x－2)x－5)x＋6.当x＝10时，f(10)＝((10－2)×10－5)×10＋6＝(8×10－5)×10＋6＝75×10＋6＝756.答案：7568.已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，将它们按由小到大的顺序排列为________．解析：将三个数都化为十进制数．12(16)＝1×16＋2＝18，25(7)＝2×7＋5＝19，33(4)＝3×4＋3＝15，所以33(4)<12(16)<25(7)．答案：33(4)<12(16)<25(7)9.已知函数f(x)＝x3－3x2－4x＋5，试用秦九韶算法求f(2)的值．解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝x3－3x2－4x＋5＝(x2－3x－4)x＋5＝((x－3)x－4)x＋5.把x＝2代入函数式得f(2)＝((2－3)×2－4)×2＋5＝－7.10．用辗转相除法求下列两个数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果．(1)294，84；(2)228，1 995.解：(1)294＝84×3＋42；84＝42×2.所以294与84的最大公约数是42.验证：因为294与84都是偶数可同时除以2，得147与42.因为147－42＝105，105－42＝63，63－42＝21，42－21＝21，所以294与84的最大公约数为21×2＝42.(2)1 995＝8×228＋171；228＝1×171＋57；171＝3×57＋0，所以57就是228和1 995的最大公约数．验证：1 995－228＝1 767，1 767－228＝1 539，1 539－228＝1 311，1 311－228＝1 083，1 083－228＝855，855－228＝627，627－228＝399，399－228＝171，228－171＝57，171－57＝114，114－57＝57，所以228与1 995的最大公约数是57.[B能力提升]1．(2016·盐城质检)m是一个正整数，对于两个正整数a，b，如果a－b是m的倍数，则称a，b对模m同余，用符号a≡b(Mod m)表示，则下列各式中不正确的为() A．12≡7(Mod 5) B．21≡10(Mod 3)C．34≡20(Mod 2) D．47≡7(Mod 40)解析：选B．逐一验证，对于A，12－7＝5是5的倍数；对于B，21－10＝11不是3的倍数；对于C，34－20＝14是2的倍数；对于D，47－7＝40是40的倍数，故选B．2．将十进制数389 化成四进制数的末位是________．解析：389＝4×97＋1，即第一次用389除以4余1，而这就是最后一位数字．答案：13.古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上点火向境内报告来犯敌人数，如图所示，烽火台上点火表示数字1，未点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制数的单位是1 000，请你计算一下，这组烽火台表示有多少敌人入侵？解：由题图可知这组烽火台表示的二进制数为11 011(2)，它表示的十进制数为11 011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝27，由于约定二进制数对应的十进制数的单位是1 000，所以入侵的敌人的数目为27×1 000＝27 000(人)．4．(选做题)已知n 次多项式P n (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0(a k ≠0，k ＝0，1，…，n )，x 0为任意实数．(1)在平常的算法中，计算x k 0(k ＝2，3，…，n )的值需要进行k －1次运算，计算P 3(x 0)＝a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0的值共需要进行9次运算(6次乘法、3次加法)，那么计算P n (x 0)的值需要进行多少次运算？(2)若用秦九韶算法计算P n (x 0)的值，则需要进行多少次运算？解：(1)加法运算次数为n ，乘法运算次数为1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以共需n ＋n （n ＋1）2＝n （n ＋3）2(次)． (2)加法运算次数为n 次，乘法也为n 次，共需2n 次．。

去
9－ 3= 6
6 － 3 = 3 减数与差相等
3×2=6
78与36的最大公约数为6.
更相减损术
问题6.根据更相减损术的过程，设计求两个正整数m，n最 大公约数的算法，需要用到什么逻辑结构？为什么？
第一步：任意给定两个正整 算法分析：
数，判断它们是否都是偶数。第一步，给定两个正整数m，n(m>n).
更相减损术
例2. 用更相减损术求78与36的最大公约数.
解： 78与36都是偶数
“可半”
78 ÷ 2 = 39 36 ÷ 2 = 18
“可半者半之”
除 完
39 － 18 = 21 大减小 21 － 18 = 3
再
18 － 3 = 15
乘
15 － 3 = 12
“更相减损”（辗转相减）
回
12 － 3 = 9
2 18 30 3 9 15 35
18与30的最大公约数为2 3 6 .
问题1. 求8251与6105的最大公约数. 可以使用短除法吗？
困难：两数比较大、公约数不易视察。 （辗转相除法、更相减损术）
知问
思考1：辗转相除法与更相减损术可以用来解 决什么问题？ 可以解决求两个正整数最大公约数的任何问题。
《九章算术》——更相减损术
“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少 减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”
《九章算术》
刘徽
《九章算术》其作者已不可 考，现今流传的大多是在三 国时期刘徽为《九章》所作 的注本。它是中国古代第一 部数学专著，系统总结了战 国、秦、汉时期的数学成绩， 收录了246个数学问题及其 解法，是当时世界上最简练 有效的应用数学，它的出现 标志中国古代数学形成了完 整的体系。

1.3 算法案例优化训练1．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是()A．2B．3C．4 D．5解析：选C.294－84＝210,210－84＝126,126－84＝42,84－42＝42，故选C.2．若用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时的值，则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为()A．4,2 B．5,3C．5,2 D．6,2解析：选C.f(x)＝4x5－x2＋2＝((((4x)x)x－1)x)x＋2，所以需要做5次乘法运算和2次加减运算．3．将二进制数10001(2)化为五进制数为()A．32(5) B．23(5)C．21(5) D．12(5)解析：选A.将10001(2)化为十进制数为：10001(2)＝1×24＋0×23＋0×22＋0×21＋1×20＝17，将17化为五进制数为32(5)，∴10001(2)＝32(5)．4．378与90的最大公约数为________．解析：辗转相除法：378＝90×4＋18，90＝18×5＋0，∴378与90的最大公约数是18.答案：181．45和150的最大公约数和最小公倍数分别是()A．5,150 B．15,450C．450,15 D．15,150解析：选B.利用辗转相除法求45和150的最大公约数：150＝45×3＋15,45＝15×3，所以45和150的最大公约数为15.所以45和150的最小公倍数为15×(45÷15)×(150÷15)＝450，故选B.2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4的值时，先算的是()A．4×4＝16 B．7×4＝28C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝34解析：选D.因为f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4的值时，先算的是7×4＋6＝34.3．二进制数算式1010(2)＋10(2)的值是()A．1011(2) B．1100(2)C．1101(2) D．1000(2)解析：选B.1010(2)＋10(2)＝(1×23＋0×22＋1×21＋0×20)＋(1×21＋0×20)＝12＝1100(2)，故选B .4．已知一个k进制的数132与十进制的数30相等，那么k等于()A．7或4 B．－7C．4 D．都不对解析：选C.132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2，∴k2＋3k＋2＝30，即k2＋3k－28＝0，解得k＝4或k＝－7(舍去)．5．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为() A．27 B．11C．118 D．36解析：选D.将函数式化成如下形式．f(x)＝((((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1，由内向外依次计算：v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36.6．由389化为的四进制数的末位为()A．3 B．2C．1 D．0解析：选C.以4作除数，相应的除法算式为∴389＝12018(4)，故选C. 7．七进制数中各个数位上的数字只能是________中的一个．解析：“满几进一”就是几进制．∵是七进制．∴满七进一，根本不可能出现7或比7大的数字，所以各个数位上的数字只能是0、1、2、3、4、5、6中的一个．答案：0、1、2、3、4、5、68．将八进制数127(8)化成二进制数为________．解析：先将八进制数127(8)化为十进制数：127(8)＝1×82＋2×81＋7×80＝64＋16＋7＝87，再将十进制数87化成二进制数：∴87＝1010111(2)，∴127(8)＝1010111(2)．答案：1010111(2)9．下列各数①111111(2) ②210(6)③1000(4) ④81(8)最大数为________，最小数为________．解析：可以考虑将①②③④中的数都转换成十进制，那么①中111111(2)＝63；②中210(6)＝78；③中1000(4)＝64；④中81(8)＝65.作比较，可知①的数最小，②的数最大．答案：②①10．已知函数f(x)＝x3－2x2－5x＋6，试用秦九韶算法求f(10)的值．解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝x3－2x2－5x＋6＝(x2－2x－5)x＋6＝((x－2)x－5)x＋6.我们把x＝10代入函数式，得f(10)＝((10－2)×10－5)×10＋6＝756.11．把110(5)转化为二进制数．解：110(5)＝1×52＋1×51＋0×50＝30，30＝1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋0×20＝11110(2)，即110(5)＝11110(2)．12．利用秦九韶算法分别计算f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1在x＝2与x＝－1时的值，并判断多项式f(x)在区间[－1,2]有没有零点．解：∵f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1，且x＝2，∴v0＝8，v1＝8×2＋5＝21，v2＝21×2＋0＝42，v3＝42×2＋3＝87，v4＝87×2＋0＝174，v5＝174×2＋0＝348，v6＝348×2＋2＝698，v7＝698×2＋1＝1397.∴当x＝2时，f(x)＝1397.同理可求当x＝－1时，f(x)＝－1，又∵f(－1)f(2)＝－1397<0，则多项式f(x)在区间[－1,2]上有零点．。

1.3 算法案例课时目标通过三种算法案例：辗转相除法与更相减损术，秦九韶算法，进位制，进一步体会算法的思想，提高算法设计水平，体会中国古代数学对世界的贡献．1．辗转相除法(1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．(2)辗转相除法的算法步骤第一步，给定两个正整数m，n.第二步，计算m除以n所得的余数r.第三步，m＝n，n＝r.第四步，若r＝0，则m、n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．2．更相减损术第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．3．秦九韶算法把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…v n＝v n－1x＋a0这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．4．进位制进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k.把十进制转化为k进制数时，通常用除k取余法．一、选择题1．下列说法中正确的个数为( )(1)辗转相除法也叫欧几里得算法；(2)辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；(3)求最大公约数的方法，除辗转相除法之外，没有其他方法；(4)编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析(1)、(2)、(4)正确，(3)错误．2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是( )A．2 B．3 C．4 D．5答案 C解析由于294和84都是偶数，所以用2约简：294÷2＝147，84÷2＝42，又由于147不是偶数，所以147－42＝105，105－42＝63，63－42＝21，42－21＝21，故需做4次减法，故选C.3．1 037和425的最大公约数是( )A．51 B．17 C．9 D．3答案 B解析∵1 037＝425×2＋187，425＝187×2＋51，187＝51×3＋34，51＝34×1＋17，34＝17×2，即1 037和425的最大公约数是17.4．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为( )A．10 B．9 C．12 D．8答案 C解析f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7∴加法6次，乘法6次，∴6＋6＝12(次)，故选C.5．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为( ) A．27 B．11 C．109 D．36答案 D解析将函数式化成如下形式．f(x)＝(((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1由内向外依次计算：v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36，v4＝36×3＋1＝109，v5＝109×3＋1＝328.6．下列有可能是4进制数的是( )A．5 123 B．6 542 C．3 103 D．4 312答案 C解析4进制数每位上的数字一定小于4，故选C.二、填空题7．辗转相除法程序中有一空请填上．答案 a MOD b解析MOD用来表示a除以b的余数．8．更相减损术程序中有两空请填上．答案a＝b b＝r9．已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，将它们按由小到大的顺序排列为________．答案33(4)<12(16)<25(7)解析将三个数都化为十进制数．12(16)＝1×16＋2＝18，25(7)＝2×7＋5＝19，33(4)＝3×4＋3＝15，∴33(4)<12(16)<25(7)．三、解答题10．用两种方法求210与98的最大公约数．解用辗转相除法：210＝98×2＋14，98＝14×7.∴210与98的最大公约数为14.用更相减损术：∵210与98都是偶数，用2约简得105和49，105－49＝56,56－49＝7，49－7＝42,42－7＝35，35－7＝28,28－7＝21，21－7＝14,14－7＝7.∴210与98的最大公约数为2×7＝14.11．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．解将f(x)改写为f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值v0＝1，v1＝1×2－12＝－10，v2＝－10×2＋60＝40，v3＝40×2－160＝－80，v4＝－80×2＋240＝80，v5＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.∴f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.能力提升12．把111化为五进制数．解∴111化为五进制数为421(5)．13．把10 231(5)化为四进制数．解先化成十进制数．10 231(5)＝1×54＋0×53＋2×52＋3×51＋1＝625＋50＋15＋1＝691再化为四进制数∴10 231(5)＝22 303(4).1．辗转相除法与更相减损术的区别和联系(1)都是求最大公约数的方法．(2)二者的实质都是递归的过程．(3)二者都要用循环结构来实现．2．秦九韶算法的特点秦九韶算法的特点在于把求一个n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值，即把求f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0的值转化为求递推公式： ⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n v k ＝v k －1x ＋a n －k k ＝1，2，…，n 这样可以最多计算n 次乘法和n 次加法即可得多项式的值，和直接代入多项式相比减少了乘法的运算次数，提高了运算效率． 3．十进制与其他进制的转化(1)将k 进制转化为十进制的方法：先把k 进制数写成各位上的数字与k 的幂的乘积的形式，再按十进制的运算规则计算．(2)将十进制化成k 进制的方法：用除k 取余法，用k 连续去除十进制数所得的商，直到商为零为止，然后将各步所得的余数倒序写出，即为相应的k 进制数．。

人教A版高中数学必修3《一课一练》全册汇编含答案目录《1.1 算法与程序框图》一课一练1《1.1 算法与程序框图》一课一练2《1.2 基本算法语句》一课一练1《1.2 基本算法语句》一课一练2《1.3 算法案例》一课一练1《1.3 算法案例》一课一练2《2.1 随机抽样》一课一练1《2.1 随机抽样》一课一练2《2.2 用样本估计总体》一课一练1《2.2 用样本估计总体》一课一练2《2.3 变量间的相关关系》一课一练1《2.3 变量间的相关关系》一课一练2《3.1 随机事件的概率》一课一练1《3.1 随机事件的概率》一课一练2《3.2 古典概型》一课一练1《3.2 古典概型》一课一练2《3.3 几何概型》一课一练1《3.3 几何概型》一课一练21.1 算法与程序框图一、选择题1、在程序框图中，算法中间要处理的数据或者计算，可分别写在不同的( ) A 、处理框内 B 、判断框内 C 、输入输出框内 D 、循环框内2、在程序框图中，一个算法的步骤到另一个算法的步骤地联结用( ) A 、连接点 B 、判断框 C 、流程线 D 、处理框3、在画程序框图时，如果一个框图要分开画，要在断开出画上（ ） A 、流程线 B 、注释框 C 、判断框 D 、连接点4、下图给出的是计算0101614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A 、i>100B 、i<＝100C 、i>50D 、i<＝50二、填空题5、在程序框图中，图形符号的名称是___________表示的意义____________第4题6、在程序框图中，图形符号的名称是___________表示的意义____________7、在画程序框图时，框图一般按_________、________的方向画。

8、求a 、b 、c 中最大值的算法最多要有___________次赋值过程，才能输出最大值。

三、解答题9、设y 为年份，按照历法的规定，如果y 为闰年，那么或者y 能被4整除不能被100整除，或者y 能被400整除。

f (x) 4x5 2x4 3.5x3 2.6x2 1.7x 0.8
用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值。
解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下 形式：
f (x) ((((4x 2)x 3.5)x 2.6)x 1.7)x 0.8
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当 x=5时的值：
WHILE d<>n
IF d>n THEN m=d
ELSE m=n
n=d
END IF d=m－n WEND d=2^k*d
PRINT d
END
问题2：怎样求多项式 f (x) x5 x4 x3 x2 x 1当x=5 的值呢？
方法1：把5代入多项式，计算各项的值，然后把它们加 起来。这时共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5 次加法运算。
例1：用更相减损术求98与63的最大公约数。
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数， 并辗转相减得，如图所示：
98－63=35 63－35=28 35－28=7 28－7=21 21－7=14 14－7=7
所以，98和63的最大公约数等于7。
思考：把更相减损术与辗转相除法比较，你有什么
发现？你能根据更相减损术设计程序，求两个正数的 最大公约数吗？
v1 an x an1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v2 v1 x an2 ,
v3 v2 x an3 ,
vn vn1 x a0 ,
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项 式的值。
上述方法称为秦九韶算法。直到今天， 这种算法仍是 多项式求值比较先进的算法。
例2、已知一个5次多项式为
⑤十进制化k进制