第12章 双正交小波及小波包

正交小波的多分辨分析的研究
正交小波是一种特殊的信号分析工具，它可以将信号分解成不同尺度的频率成分，可
以应用于图像处理、数据压缩、模式识别等领域。

多分辨分析是正交小波的基本理论之一，是研究正交小波性质、特点及应用的重要方向。

多分辨分析是指在不同分辨率下对信号进行分解和重构的过程。

在小波分析中，信号
可以被分解成不同频率的成分，每个频率成分对应一个尺度。

多分辨分析的目的是通过不
同尺度的分析，得到信号的局部和整体特征，实现信号的多尺度分析。

在多分辨分析中，正交小波起到了重要的作用。

正交小波是一种特殊的小波函数集合，具有正交、紧支集和尺度层次性的特点。

通过正交小波的分解，可以将信号分解成多个不
同尺度和频率的成分，得到信号的各种特征信息。

正交小波的分解和重构过程可以通过滤
波器组来实现，不同的小波系数对应着不同频率成分的能量。

多分辨分析的研究内容主要包括正交小波基函数的选择、多分辨框架的构建和多尺度
分析方法的研究。

正交小波基函数的选择是多分辨分析的关键，不同的小波函数在信号分
解中具有不同的性能。

研究者通过对不同小波函数的分析比较，选择合适的正交小波基函数，以实现信号的有效分析和特征提取。

多尺度分析方法是指在不同尺度上对信号进行分析和重构的方法。

常用的多尺度分析
方法有小波变换、小波包变换等。

小波变换是正交小波多尺度分析的基本方法，通过正交
小波基函数的分解和重构，实现信号的多尺度分析。

小波包变换是小波变换的一种扩展方法，更加灵活和精细。

352 / 49第12章 双正交小波及小波包我们在上一章给出了正交小波的构造方法。

正交小波有许多好的性质，如)()(),(',,'k k t t k j k j -=δφφ，)()(),(',,'k k t t k j k j -=δψψ，0)(),(',,=t t k j k j ψφ ，此外，尺度函数和小波函数都是紧支撑的，有着高的消失矩等等。

Daubechies 给出的正交小波的构造方法可以方便的构造出所需要的小波(如DBN ，SymN ，CoifN)。

但是，正交小波也有不足之处，即)(t φ和)(t ψ都不是对称的，尽管SymN 和CoifN 接近于对称，但毕竟不是真正的对称，因此，这在实际的信号处理中将不可避免地带来相位失真。

)(t φ和)(t ψ的不对称性来自所使用的共轭正交滤波器组)(0z H 和)(1z H 的不对称性。

我们已在7.8节讨论了具有线性相位的双正交滤波器组的基本概念，给出了可准确重建的双正交滤波器组的设计方法。

本章，我们把这些内容引入到小波分析，给出适合小波变换的双正交滤波器组准确重建的条件，给出双正交条件下的多分辨率分析及双正交小波的构造方法，最后简要讨论小波包的基本概念12.1 双正交滤波器组现在，我们结合小波变换的需要来研究双正交滤波器组的内在关系及实现准确重建的条件。

所谓“小波变换的需要”是指在用)(0z H 对)(0z a 分解时需要将)(0z H 和)(1z H 的系数作时间上的翻转，即用的是)(10-z H 及)(11-z H ，或)()(00n h n h -=,)()(11n h n h -=，见(10.6.1)式及图10.6.2。

将图10.6.2的正变换和图10.6.3的反变换结合起来，我们可得到如图12.1.1所示的一级分解和重建的类似于两通道滤波器组的信号流图。

注意，图中用于重建的滤波器不再是图10.6.3中的)(0z H 和)(1z H ，而是)(ˆ0z H 和)(ˆ1z H ，它们分别是)(0z H 和)(1z H 的对偶滤波器。

⼩波包变换（WaveletPacketTransform）的学习笔记对于⼀个连续的周期信号，可以将其分解为⼀组频率不同的三⾓函数信号的线性组合，这就是傅⾥叶级数的本质，将信号从时域投影到频域中的不同频段上来完成分解。

当这个周期信号的周期趋近于⽆穷⼤时，傅⾥叶级数就变成了傅⾥叶变换。

此时的信号本质上是⼀个连续⾮周期信号，傅⾥叶变换的意义就在于对其进⾏分解，同样也是以⼀组三⾓函数作为正交基，并通过这组三⾓函数基的线性组合来表⽰原信号。

数学表达为：由于三⾓函数是⼀个⽆限长的信号，在时域上不具有局部性，因此以其作为正交基对信号进⾏拟合时，具有以下两个不⾜：第⼀，对于突变信号，如阶跃信号或尖峰信号，其需要⼤量的三⾓函数基进⾏组合才能完成较好的信号拟合；第⼆，由于三⾓函数不具备在时域上的局部性，因此在对信号进⾏傅⾥叶变换时，仅仅只能获取到信号在频域上的分布信息，并不能获取到这些不同频率的信号分量在时域上出现的位置。

因此傅⾥叶变换对于⾮平稳信号的分解会遗失其在时域上的变化信息。

⼩波变换就是为了解决对⾮平稳信号的分解问题⽽产⽣的数学⽅法。

相⽐于傅⾥叶变换使⽤⼀组⽆限长的三⾓函数基进⾏信号拟合，⼩波变换使⽤的是⼀组正交的、迅速衰减的⼩波函数基进⾏信号拟合。

这种⼩波函数基可通过其尺度变量和平移变量，获得不同的频率和时间位置。

因此在利⽤这种⼩波函数基对信号进⾏分解时，可以⽤较少的⼩波函数基就拟合出突变信号（稀疏编码特性），同时也能获得不同频率的信号分量在时域上的出现位置。

⽤于⽣成⼀组不同频率和时移的⼩波函数的⼩波函数，称为基本⼩波（Basic Wavelet），由其⽣成的⼀组⼩波函数，是该基本⼩波的⼀个⼩波族（Wavelet Family），表⽰为：，其中为尺度参数，通过伸缩控制⼩波的尺度（频率），为平移参数，通过移位控制⼩波在时域中的出现位置。

这两个参数的作⽤顺序是先作平移，再作伸缩。

对这⼀族⼩波函数进⾏归⼀化，即得到⼀组⼩波函数基。

小波的几个术语及常见的小波基介绍本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。

一、小波基选择标准小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。

现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点：1、支撑长度小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。

支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。

大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。

这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。

总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。

2、对称性具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。

3、消失矩在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。

消失矩越大，就使更多的小波系数为零。

但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。

所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。

小波的消失矩的定义为，若其中，Ψ(t)为基本小波，0<=p<N。

则称小波函数具有N阶消失矩。

从上式还可以得出，同任意n-1阶多项式正交。

在频域内表示就是Ψ(ω)在ω=0处有高阶零点（一阶零点就是容许条件）。

§ 3.8二维正交小波变换3.8.1 2-D CWT [5,11,12]由于图像和计算机视觉信号一般是二维或多维信息，因此，向二维或多维推广是十分重要的研究课题。

高维小波理论并不像一维小波理论那样完善，高维紧支集小波的构造还没有形成通用的方法。

g 定义设(22(,))f x y L R ∈，则其连续二维小波变换为12121(,,)(,),f x b y b W a b b f x y dxdy a a a ψ+∞+∞−∞−∞−−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∫∫（1） 式中为基本小波函数在两个维度上的平移值，这里二维小波函数12,b b (,)x y ψ应该满足容许条件(,)0x y dxdy ψ+∞−∞−∞−∞=∫∫。

可以证明，对应的重构公式为312121201(,)(,,),f a x b y b f x y a W a b b dadb db C a ψψ+∞+∞+∞−−∞−∞=−−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∫∫∫a am 。

将（1）式中的参数离散化：，得到离散型小波变换：,a b 122, , ja b al b ===()(,,)2(,)2,2jj j f W j l m f x y x l y m dxdy ψ+∞+∞−−−−∞−∞=−∫∫−，在实用中， 常用小波函数是变量可分离的二元函数：12(,)()()x y x y ψψψ=，这时，通过一维多尺度分析导出二维多尺度分析，进而导出二维小波空间和小波函数。

设(){}()()11,j j zV t t ϕ∈，(){}()()22,j j z V t t ϕ∈是(22)L R 的两个多尺度分析，()()12,t t ψψ分别是相应的正交小波函数。

与所成的张量积空间定义为：1j V 2j V ()()()(){}1212,j j j j jV V V f x g y f x V g x V =⊗=∈∈， 由(){}1,j kk zx ϕ∈与(){}2,j mm zy ϕ∈是，的标准正交基知道 1j V 2j V ()(){}12,,.j kj mk m z x y ϕϕ∈是 j V的标准正交基。

https:///view/ac87b59865ce050877321328.html正交小波变换只对信号的低频部分做进一步分解，而对高频部分也即信号的细节部分不再继续分解，所以小波变换能够很好地表征一大类以低频信息为主要成分的信号，但它不能很好地分解和表示包含大量细节信息（细小边缘或纹理）的信号，如非平稳机械振动信号。

与之不同的是，小波包变换可以对高频部分提供更精细的分解，而且这种分解既无冗余，也无疏漏，所以对包含大量中、高频信息的信号能够进行更好的时频局部化分析。

小波包从原始信号，分级向下分解，节点的命名规则是从（1,0）开始，叫1号，（1,1）是2号......每个节点都有对应的小波包系数，这个系数决定了频率的大小，也就是说频率信息有了，节点的顺序就是频率的顺序，节点的排序是1,2,3.....14，频率就按先1号的频率变化，后2号再3号x轴很简单，就是1024个点，对应1秒，每个点代表1/1024秒，y轴上显示的数字对应于图中节点，从下面开始顺序是7号节点，8号，10号，9号......11号节点，y轴的频率为什么不是100Hz和300Hz呢？原因是MATLAB没有显示频率，显示的是顺序，频率要自己算，采样频率是1024Hz，根据采样定理，奈奎斯特采样频率是512Hz，分解了3层，最后一层就是2^3=8个频段，每个频率段的频率区间是512/8=64Hz,颜色重的在8那里，一个在13那里，8是第二段，也就是频率65-128Hz之间，13是第五段，也就是257-320Hz之间，正好原始信号只有两个频率段，一个100一个300。

如果分解更多层，每个频率段包含的频率也就越窄，图上有颜色的地方也会更细，将3改为6，由于原始信号的频率在整个1秒钟内都没有改变，所以有颜色地方是一个横线。

小波包分析在离散小波分析中，信号分成近似和细节，然后近似向下层继续进行分解，但细节不再变化。

小波包分析中，细节和近似都将继续向下一级分解。

正整数伸缩的双正交双向小波包李岚;陈清江;李娜;程正兴【摘要】Biorthogonal two-direction wavelet packets with dilation factor are introduced and their properties are discussed by means of the matrix theory and operator theory.A new approach for constructing biorthogonal two-direction wavelet packets is developed.The formulae for performing iteration and decomposition are established.New Riesz bases for L2(R)are obtained by the given biorthogonal two-direction waveletpackets.Finally,an example for constructing biorthogonal two-direction wavelet packets is given.%本文引入了尺度为α的双正交双向小波包的概念,运用矩阵理论和算子理论研究了双正交双向小波包的性质.得到构造双正交双向小波包的一种新方法.建立了进行迭代与分解的公式.利用双正交双向小波包,得到空间L2(R)新的Riesz基.最后,给出构造双正交双向小波包的例子.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2010(027)005【总页数】10页(P901-910)【关键词】双向小波;双向小波包;双向加细函数;双正交【作者】李岚;陈清江;李娜;程正兴【作者单位】西安交通大学理学院,西安,710049;西安文理学院数学系,西安,710065;西安建筑科技大学理学院,西安,710055;西安电子科技大学通信工程学院,西安,710071;西安交通大学理学院,西安,710049【正文语种】中文【中图分类】O174.21 IntroductionWavelet transform is an important mathematical tool with which data or functions can be divided into different frequency components.It is well known that there is a limitation for the time-frequency localization of a single wavelet.In other words,an orthogonal wavelet function with compact support and certain regularity is notsymmetric[1,2].Therefore,Geronimo et al[3]constructed two functionsψ1(x)and ψ2(x)whose translations and dilations form an orthonormal basis in L2(R).The importance for these two functions is that they are continuous,well time-localized(or short support),and symmetry.This example tells us that if multi wavelets are used in an expansion,then better properties can be achieved.Orthogonal wavelet packets weredefinedrstly introduced by Coifman and Meyer[4].Orthogonal wavelet packets are used to further decompose wavelet components.Wavelet packets,due to their nice characteristics,have been widely applied to signal processing[5],image processing[6]and so on.Biorthogonal wavelet packets were given by Daubechies andCohen[7].Biorthogonal wavelet packets are more flexible in application.In addition,wavelet packets provide better frequency localization than wavelets while time-domain localization is not lost.The two-scale refinable equation with scale α(2≤ α ∈ Z)plays a basic role in the construction and application of scalarwavelets[8,9].Yang[10]generalized the two-scale refinable equation,and established the biorthogonality criteria for two-direction refinable function and two-direction wavelets.Motivated by[10,11],we give the definition of biorthogonal two-direction wavelet packets and discuss their properties by means of matrix theory.The formulae for performing iterations and decomposition are also established.2 Two-direction multiresolution analysis with dilation αWe begin with recalling some basic notations and results used later.Let R and C be the sets of all real and complex numbers,respectively.Denote by Z and Z+the set of all integers and nonnegative integers,respectively.To obtain a uniform method for constructing biorthogonal two-direction wavelet with dilation α,le t us give two-direction multiresolution analysis. Dedefinedne the operators R,T and D as follows:Then R,T and D are unitary operators on the Hilbert space L2(R). Definition 2.1 Given 2 ≤ α ∈ Z and φ ∈ L2(R).If there existthen φ is said to be a two-direction refinable function(TDRF).The sequencesφ,respectively.The equation(2)can be simply written as called the positive-direction mask(PDM)and negative-direction mask(NDM)ofwhich becomes two-scale equation(1)in the case of=0.By taking the Fourier transformation for the both sides of(2),we haveis called the positive-direction mask symbol(PDMS)andis called the negative-direction mask symbol(NDMS).Proposition 2.1 Let φ be a TDRF.If there exist sequencesthen φ satisfies the following equationwhere p+(z)is the PDMS and p-(z)is the NDMS.Proof By taking the Fourier translation,we obtain(4).On the other hand,we rewrite(2)asAlso,by implementing the Fourier transformation for the both sidesof(6),we have(4)and(8)can be written as(5).The proof is completed.Let φ be a two-direction refinable function with masksof the positive-direction mask the negative-direction maskthe following matrix equationIt is easy to see that(5)and(9)are equivalent.The matrixis called the matrix mask symbol of Φ(t).Definitio n 2.2A pair{φ,of two-direction refinable functions is said to be biorthogonal ifwhere δ0,kis the Kronecker symbol.For a function φ∈L2(R),we define a subspace sequence Vj∈L2(R)byDefinition 2.3 The sequence{Vj}j∈Zdefined by(11)is said to be a two-direct ion multiresolution analysis(TDMRA)with scale α generated by φ if the following conditions are satisfied.(i) Vn⊂Vn+1,for all n∈Z;(ii) ={0}, ∪j∈ZVjis dense in L2();(iii)f∈V0if and only if f∈Vj,for all j∈(iv) The sequenceis a Riesz basis of V0.Let Λ ={1,2,···,α -1}.Definition 2.4 Let{Vj}j∈Zbe a TDMRA generated by φ.A subset{ψι:ι∈ Λ}of L2(R)is called a two-direction wavelet set(TDWS)associated to φ with scale α ifforms a Riesz basis for W0where W0=V1⊖V0.Proposition 2.2 Let{ψι:ι∈ Λ}of L2(R)be a TDWS associated to φ with scale α.If there exist sequencessatisfies the following equationThis equation can be simply written asImplementing the Fourier transformation for the both sides of(13)yieldsWe rewrite equation(14)asThe refinement equations(14)and(16)lead to the following formulaThe frequencydefinedeld form of the relation formula(17)is(12).The proof is completed.3 Two-direction wavelet packetsWe shall introduce the two-direction wavelet packets and investigate their properties.Let φ and be a p air of biorthogonal two-direction refinable functions,we rewrite the symbols asDefinition 3.1 Two families of two-direction refinable functions called biorthogonal twodirection wavelet packets(TDWPs)with respect to a pair of biorthogonal two-direction sc aling functions φ(t)and,respectively,ifBy implementing the Fourier transformation for the both sideof(18)and(19),respectively,we haveProperties and advantages of the biorthogonal two-direction wavelet packets with dilation α are investigated as follow s.By applying the same method,one can obtain orthogonal two-direction packets with dilation α given by(18).Lemma 3.1Suppose Φ(t)and(t)are biorthogonal scaling function vectors.P(z)and(z)are their matrix symbols,respectively,and ωj(j=1,2,···,α)are roots of equation zα-1=0.ThenIt is equivalent toWe can easily prove Theorem 3.1 by applying the lemma.Theorem 3.1Suppose that(t)and(t)are biorthogonal two-direction wavelets associated to φ(t)andt),respectively,(j=1,2,···,α)are roots of equations zα-1=0 withTheorem 3.2 Suppose n∈Z andProof When n=0,(30)follows from(4).Suppose(30)holds for 0≤n＜αr0.When αr0＜ n＜αr0+1,by using(20)and the inductive assumption,we haveThen(30)holds by induction.We can also obtain(31)by using the same argument.The proof is completed.Theorem 3.3 Suppose k,l∈ and n∈.ThenProof When n=0,(32)holds.Suppose(32)holds for 0≤ n ＜αr0.When αr0＜ n ＜αr0+1,by using the inductive assumption(26),we haveThen formula(32)is established by the inductive assumption.The proof iscompleted.Theore m 3.4 Suppose k,l∈ Z and n ∈ Z and λ ∈ {1,2,···,α -1}.We haveProof By applying(18),(23),we haveTherefore,for any k,l∈Z,(33)is established.The proof is completed.4 The direct decomposition for space L2(R)In this section,we will decompose subspace Vj,and Wj,by virtue of a series of twodirection wavelet packet subspaces.Furthermore,we present the direct decomposition for space L2(R).Defineand define a dilation operator(Sφ)(t)= φ(αt)where φ(t)∈ L2(R).We haveand S0=1,Sl=S,···,Sl-1.The following result is equivalent to Theorem 3.4. Lemma 4.10,1,···,α -1}be biorthogonal TDWPs.Then we have the following decomposition formulus:Proof By the definition of TDWPs and applying(24),we haveSimilarly,one can obtain(35)by using the same method.The proof is completed.Lemma 4.2Let{ψαn+λ(t),n∈Z+,λ=0,1,···,α-1}and{(t),n∈Z+,λ=0,1,···,α -1}be biorthogonal TDWPs.ThenTheorem 4.1 Let j=0,1,···,andwhere“⊕”denotes direct sum of subspaces.Thenwhereandbiorthogonal bases of Unand,respectively,where m,n∈Z+. ProofNotingwe can obtain(37).Since all MRAs of L2(R),one obtainsThis completes the proof of Theorem 4.1.5 An ExampleIn this section,we give an example to demonstrate the general theory in section 3.Let φ(t),be a pair of biorthogonal two direction refinable funct ions with dilation factor 2.If they satisfyandthen ψ(t),are biorthogonal two direction wavelets associate toφ(t),respectively,which satisfy the following equationsBy(30)-(35),we can obtain the biorthogonal two-direction wavelet packets. References:【相关文献】[1]Chui C K.An Introduction to Wavelets[M].New York：Academic,1992[2]Daubechies I.Ten Lectures on Wavelets[M].Philadeophia：SIAM,1992[3]Geronimo J,Hardin D P,Massopust P R.Fractal functions and wavelet expansions based on several scaling functions[J].Approx Theory,1994,78：373-401[4]Coifman R R,et al.Signal processing and compression with wavelet packets[C]//Progress in Wavelet Analysis and Applications,Toulouse：Springer-Verlay,1992：77-93[5]Efromovich S,et al.Data-driven and optimal denoising of a signal and recovery of its derivation using multiwavelets[J].IEEE Trans Signal Processing,2004,54：628-635[6]Zhang N,Wu X L.Lossless compression of color mosaic images[J].IEEE Trans Image Processing,2006,15：1379-1388[7]Cohen A,Daubechies I.On the instability of arbitrary biorthogonal waveletpackets[J].SIAM Math Anal,1993,24：1340-1354[8]Daubechies I.Orthonormal basis of compactly supported wavelets[J].Comm Pure and Appl Math,1998,41：909-996[9]Daubechies I,Lagarias J C.Two-scale difference equations I existence and global regularity of solution[J].SIAM J Math Anal,1991,22：1388-1410[10]Yang S Z.Biorthogonal two-direction refinable function and two-directionwavelet[J].Appl Math Comput,2006,182：1717-1724[11]Leng J S,et al.Construction and properties of multiwavelet packets with arbitrary scale and the related algorithms of decomposition and reconstruction[J].Computer Math Appl,2006,52：1663-1676。

双正交小波滤波器构造及其应用于图像边缘检测王坤鹏, 杨东勇（浙江工业大学信息工程学院 浙江 杭州 310014）摘要： 本文在总结边缘检测小波基选取原则的基础上，利用滤波器组技术，提出了具有对称性和正则性的双正交小波滤波器的构造方法，给出了滤波器的构造公式；进行了图像边缘检测实验，结果表明按本文方法构造的滤波器具有很好的图像边缘检测性能。

关键字：边缘检测；滤波器组；正则性；双正交小波滤波器中图分类号：TP391.41 文献标识码：AConstruction of Biorthogonal Wavelet Filter and its Application toImage Edge DetectionWANG Kun-Peng ,YANG Dong-Yong(Information Engineering College ,Zhejiang University of Technology,Hangzhou 310014,china) Abstract:In this paper, the principle of choosing wavelet base in edge detection is summerized. Then construction of symmetric biorthogonal regularity wavelet filter is presented by biorthogonal filter banks, and filter formula is given. Simulation results for image edge detection demonstrate the effectiveness of the filter constructed by the presented method.Key words: edge detection; filter banks; regularity; biorthogonal wavelet filter1 引言小波变换是图像边缘检测的重要工具，小波基的构造和选取是应用小波变换进行边缘检测的重要问题。