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绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}|1{|31}xA x xB x =<=<，，则A ．B ．C ．D ．2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14B ．8π C ．12D ．4π 3．设有下面四个命题：若复数满足，则； ：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，则.其中的真命题为 A ．B ．C ．D ．{|0}A B x x =<A B =R {|1}AB x x =>AB =∅1p z 1z ∈R z ∈R 2p z 2z ∈R z ∈R 3p 12,z z 12z z ∈R 12z z =4p z ∈R z ∈R 13,p p 14,p p 23,p p 24,p p4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A ．1B ．2C ．4D ．85．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是 A ．B ．C ．D ．6．展开式中的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A ．10 B ．12 C ．14 D ．168．右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．1000A >和1n n =+B ．1000A >和2n n =+C ．1000A ≤和1n n =+D ．1000A ≤和2n n =+9．已知曲线122:cos ,:sin(2)3C y x C y x π==+，则下面结论正确的是A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线2Cn S {}n a n 4524a a +=648S ={}n a ()f x (,)-∞+∞(11)f =-21()1x f --≤≤x [2,2]-[1,1]-[0,4][1,3]621(1)(1)x x++2x π6π1212π6D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线2C10．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1011．设xyz 为正数，且235x y z ==，则A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。
1.【2017课标1，理1】已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则（ ）A ．{|0}AB x x =<B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅【答案】A【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以 {|1}{|0}{|0}A B x x x x x x =<<=< ，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=< ，故选A.【考点】集合的运算，指数运算性质.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2.【2017课标II ，理】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=.若{}1A B = ，则B =（ ） A.{}1,3- B.{}1,0 C.{}1,3 D.{}1,5【答案】C【解析】由{}1A B = 得1B ∈，即1x =是方程240x x m -+=的根，所以140,3m m -+==，{}1,3B =，故选C.【考点】 交集运算，元素与集合的关系3．【2017课标3，理1】已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】集合中的元素为点集，由题意，结合A 表示以()0,0 为圆心， 为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x = 上所有的点组成的集合，圆221x y += 与直线y x = 相交于两点()1,1 ，()1,1-- ，则A B 中有两个元素.故选B .【考点】 交集运算；集合中的表示方法.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.4.【2017北京，理1】若集合A ={x |–2<x <1}，B={x |x <–1或x >3}，则A B =（ ）（A ）{x |–2<x <–1} （B ）{x |–2<x <3}（C ）{x |–1<x <1} （D ）{x |1<x <3}【答案】A 【解析】利用数轴可知{}21A B x x =-<<- ，故选A.【考点】集合的运算5.【2017浙江，1】已知}11|{<<-=x x P ，}20{<<=x Q ，则=Q P （ ）A ．)2,1(-B ．)1,0(C ．)0,1(-D ．)2,1(【答案】A【解析】利用数轴，取Q P ,所有元素，得=Q P )2,1(-．【考点】集合运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．6.【2017天津，理1】设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =（ ）（A ）{2} （B ）{1,2,4} （C ）{1,2,4,6} （D ）{|15}x x ∈-≤≤R 【答案】B【解析】(){1246}[15]{124}A B C =-= ，，，，，， ,选B.【考点】 集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.7.【2016课标1,理1】设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则A B = （ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】因为23{|-430}={|13},={|},2A x x x x xB x x =+<<<>所以33={|13}{|}={|3},22A B x x x x x x <<><< 故选D. 考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.8.【2016新课标3理数】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T = （ ）(A) 2，3] (B)（-∞ ，2]U 3,+∞） (C) 3,+∞） (D)（0，2]U 3,+∞）【答案】D【解析】由(2)(3)0x x --≥解得3x ≥或2x ≤，所以{|23}S x x x =≤≥或，所以{|023}S T x x x =<≤≥ 或，故选D ．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．9.【2016新课标2理数】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B = （ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，，【答案】C【解析】试题分析：集合B {x |1x 2,x Z}{0,1}=-<<∈=，而A {1,2,3}=，所以A B {0,1,2,3}= ，故选C.考点： 集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理.10. 【2016山东理数】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =（ ）（A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞（D ）(0,)+∞【答案】C【解析】试题分析：}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则A B =∞ （-1，+），选C.考点：1.指数函数的性质；2.解不等式；3.及集合的运算.【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与求函数值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.11.【2016浙江理数】已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R ð（ ）A ．2,3]B ．( -2,3 ]C ．1,2)D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞【答案】B【解析】 试题分析：根据补集的运算得{}[](]24(2,2),()(2,2)1,32,3=<=-∴=-=- R R Q x x P Q 痧．故选B ． 考点：1、一元二次不等式；2、集合的并集、补集．【易错点睛】解一元二次不等式时，2x 的系数一定要保证为正数，若2x 的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出错．12.【2016年北京理数】已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B = （ ）A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,0,1}-D.{1,0,1,2}-【答案】C【解析】试题分析：由}22|{<<-=x x A ，得}1,0,1{-=B A ，故选C.考点：集合交集.13.【2016年四川理数】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】C【解析】由题意，{2,1,0,1,2}A Z =-- ，故其中的元素个数为5，选C.考点：集合中交集的运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.14.【2015重庆，理1】已知集合A ={}1,2,3,B ={}2,3，则（ ）A 、A =B B 、A ⋂B =∅C 、A ØBD 、B ØA【答案】D【解析】由于2,2,3,3,1,1A B A B A B ∈∈∈∈∈∉，故A 、B 、C 均错，D 是正确的，选D .【考点定位】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度.【名师点晴】考查集合的关系，涉及集合的相等.集合的交集运算，子集等概念，是送分题.15.【2015天津，理1】已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B = ð( )（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8【答案】A【解析】{2,5,8}U B =ð,所以{2,5}U A B = ð，故选A. 【考点定位】集合的运算.【名师点睛】本题主要考查集合的运算，涉及全集、补集、交集相关概念和求补集、交集的运算,是基础题.16.【2015四川，理1】设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B = （ ）(){|13}A x x -<<(){|11}B x x -<< (){|12}C x x <<(){|23}D x x <<【答案】A【解析】 {|12},{|13},{|13}A x x B x x A B x x =-<<=<<∴=-<< ，选A.【考点定位】集合的基本运算.17.【2015广东，理1】若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N = （ ）A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4【答案】A ．【解析】因为()(){}{}|4104,1M x x x =++==--，()(){}{}|4101,4N x x x =--==，所以M N =∅ ，故选A ．【考点定位】一元二次方程的解集，集合的基本运算.【名师点睛】本题主要考查一元二次方程的解集，有限集合的交集运算和运算求解能力，属于容易题． 18.【2015浙江，理1】已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q = ð（ ）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]【答案】C.【解析】由题意得，)2,0(=P C R ，∴()(1,2)R P Q = ð，故选C.27. 【2016天津理数】已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{4} （C ）{1,3}（D ）{1,4}【解析】试题分析：{1,4,7,10},A B {1,4}.B == 选D .考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏.28. 【2015陕西，理1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N = （ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞【答案】A 【解析】{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1M N = ，故选A ．【考点定位】1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．【名师点晴】本题主要考查的是一元二次方程、对数不等式和集合的并集运算，属于容易题．解题时要看清楚是求“ ”还是求“ ”和要注意对数的真数大于，否则很容易出现错误．29.【2015新课标2，理1】已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<,则A B = （ ）A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】由已知得{}21B x x =-<<，故{}1,0A B =- ，故选A ．【考点定位】集合的运算．【名师点睛】本题考查一元二次不等式解法和集合运算，要求运算准确，属于基础题． 综上所述，“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的充要条件.30.【2015福建，理1】若集合{}234,,,A i i i i = （是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B 等于 ( )A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．【解析】由已知得{},1,,1A i i =--，故A B = {}1,1-，故选C ．【考点定位】1、复数的概念；2、集合的运算．【名师点睛】本题考查复数的概念和集合的运算，利用21i =-和交集的定义求解，属于基础题，要注意运算准确度．31.【2017江苏，1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B = 则实数的值为 ▲ .【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【考点】元素的互异性满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关,A B A B =∅⊆ 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.32.【2016江苏卷】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ________▲________.【答案】{}1,2-【解析】试题分析：{1,2,3,6}{|23}{1,2}A B x x =--<<=-考点：集合运算33.【2015江苏，1】已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5A 中元素的个数为5个.【解析】{123}{245}{12345}A B==，，，，，，，，，,，则集合B【考点定位】集合运算【名师点晴】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A或属于集合B的元素的个数. 本题需注意检验集合的元素是否满足互异性，否则容易出错．。
2015-2017年全国卷数列真题1、（2015全国1卷17题)n S 为数列｛n a ｝的前n 项和.已知n a ＞0,2n n a a +=43n S +.(Ⅰ）求｛n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{n b }的前n 项和。
2、（2015全国2卷4题）已知等比数列{}n a 满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( ）A ．21B ．42C ．63D ．843、(2015全国2卷16题）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．4、（2016全国1卷3题)已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =，则100a = （ ) （A)100 (B ）99 （C ）98 （D)975、（2016全国2卷15题)设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2 …a n 的最大值为 ．6、（2016全国2卷17题)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（Ⅰ)求1b ，11b ,101b ;（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和． 7、(2016全国3卷17题）已知数列{}n a 的前n 项和1n nS a λ=+，其中0λ≠．（I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（II ）若53132S =，求λ．8、(2017年国1卷4题)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，,则{}n a 的公差为（）A ．1B ．2C ．4D ．8 9、（2017年国1卷12题）几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…,其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12,22，依次类推,求满足如下条件的最小整数N :100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ )A ．440B ．330C ．220D ．110 10、（2017全国2卷3题）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 11、（2017全国2卷15题）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ． 12、（2017全国3卷9题)等差数列{}na 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ,6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（） A ．24- B ．3- C ．3 D ．813、(2017全国3卷14题）设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =________．。
2017年高考数学试题分类汇编及答案解析---导数及其应用一、选择题（在每小题给出的四个选项中¸只有一项是符合题目要求的）1（2017北京文）已知函数1()3()3x xf x =-¸则()f x （ ）.A 是偶函数¸且在R 上是增函数 .B 是奇函数¸且在R 上是增函数 .C 是偶函数¸且在R 上是减函数 .D 是奇函数¸且在R 上是增函数2.（2017新课标Ⅱ文）函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是（ ）.A (,2)-∞- .B (,1)-∞ .C (1,)+∞ .D (4,)+∞З.（2017山东文）设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）2.A 4.B 6.C 8.D4.（2017山东文）若函数()e xf x 在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是（ ）x x f A -=2)(. .B ()2f x x = .C ()3x f x -= .D ()c o s f x x = 5.（2017新课标Ⅰ文数）函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为（ ）б.（2017新课标Ⅰ文数）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-¸则（ ）.A )(x f y =在)2,0(单调递增.B )(x f y =在)2,0(单调递减.C )(x f y =的图像关于直线1=x 对称 .D )(x f y =的图像关于点)0,1(对称7.（2017天津文）已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a f b f c f =-==¸则,,a b c 的大小关系为（ ）.A a b c << .B b a c << .C c b a << .D c a b<<8.（2017天津文）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设R a ∈¸若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立¸则a 的取值范围是（ ） .A [2,2]- .B [- .C [- .D [-9.（2017新课标Ⅲ文数）函数2sin 1xxx y ++=的部分图像大致为（ ）.A .B .C .D10.（2017新课标Ⅲ文数）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点¸则=a （ ） 21.-A.B 13.C 121.D11.（2017新课标Ⅲ理数）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点¸则=a（ ）21.-A31.B 21.C1.D 12.（2017新课标Ⅰ理数）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减¸且为奇函数．若(11)f =-¸则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）.A [2,2]-.B [1,1]-.C [0,4] .D [1,3]1З.（2017新课标Ⅱ理）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点¸则()f x 的极小值为（ ） 1.-A.B 32e --.C 35e -1.D14.（2017天津理）已知奇函数()f x 在R 上是增函数¸()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-¸0.8(2)b g =¸(3)c g =¸则c b a ,,的大小关系为（ ）.A a b c << .B c b a << .C b a c <<.D b c a <<15.（2017天津理）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设R a ∈¸若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立¸则a 的取值范围是（ ） ]2,1647.[-A ]1639,1647.[-B ]2,32.[-C ]1639,32.[-D1б.（2017山东理）已知当[]0,1x ∈时¸函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点¸则正实数m 的取值范围是（ ）.A (])0,1⎡+∞⎣ .B (][)0,13,+∞.C ()⎡+∞⎣ .D ([)3,+∞17.（2017浙江）若函数b ax x x f ++=2)(在区间]1,0[上的最大值是M ¸最小值是m ¸则m M - （ ）.A 与a 有关¸且与b 有关.B 与a 有关¸但与b 无关.C 与a 无关¸且与b 无关.D 与a 无关¸但与b 有关18.（2017浙江）函数)(x f y =的导函数()y f x '=的图象如图所示¸ 则函数)(x f y =的图象可能是（ ）二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）19.（2017山东文）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且)2()4(-=+x f x f .若当[3,0]x ∈-时,()6xf x -=,则=)919(f .20.（2017天津文）已知a ∈R ¸设函数()ln f x ax x =-的图象在点))1(,1(f 处的切线为l ¸则l 在y 轴上的截距为 .21.（2017新课标Ⅱ文）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数¸当(,0)x ∈-∞时¸32()2f x x x =+¸则(2)f = .22.（2017新课标Ⅲ文数）设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________.2З.（2017新课标Ⅰ文数）曲线21y x x=+在点)2,1(处的切线方程为_______.24.（2017新课标Ⅲ理数）设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_____________.25.（2017山东理）若函数()x e f x （ 2.71828e = 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增¸则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+2б.（2017江苏）已知函数31()2e ex x f x x x =-+-．若2(1)(2)0f a f a -+≤¸则实数a 的取值范围是 ．27.（2017江苏）．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数¸在区间[0,1)上¸2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n-==¸*}n ∈N ¸则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ． 三、解答题（应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 28.（2017北京文）已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．29.（2017新课标Ⅱ文）设函数2()(1)e x f x x =-.（1）讨论()f x 的单调性； （2）当0x ≥时¸()1f x ax ≤+¸求a 的取值范围.З0.（2017天津文））设,a b ∈R ¸||1a ≤.已知32()63(4)f x x x a a x b =---+¸()e ()x g x f x =. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图象在公共点),(00y x 处有相同的切线¸ （i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立¸求b 的取值范围.З1.（2017新课标Ⅲ文数）已知函数.)12(ln )(2x a ax x x f +++=（1）讨论()f x 的单调性； （2）当0<a 时¸证明3()24f x a≤--．З2.（2017新课标Ⅰ文数）已知函数.)()(2x a a e e x f x x --=（1）讨论()f x 的单调性； （2）若()0f x ≥¸求a 的取值范围．ЗЗ.（2017山东文）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R . （Ⅰ）当2=a 时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.З4.（2017新课标Ⅱ理）已知函数2()ln f ax a x x x x =--¸且()0f x ≥．（1）求a ； （2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ¸且220e ()2f x --<<．З5.（2017北京理）已知函数.cos )(x x e x f x -= （Ⅰ）求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间[0¸π2]上的最大值和最小值.Зб.（2017浙江）已知函数).21()12()(≥--=-x e x x x f x（Ⅰ）求)(x f 的导函数；（Ⅱ）求)(x f 在区间1[+)2∞，上的取值范围．З7.（2017山东理）已知函数()22cos f x x x =+¸()()cos sin 22x g x e x x x =-+-.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f x π处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈¸讨论()h x 单调性并判断有无极值¸若有求出极值.З8.（2017新课标Ⅰ理数）已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点¸求a 的取值范围.()0f x ≥З9.（2017江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值¸且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（1）求b 关于a 的函数关系式¸并写出定义域； （2）证明：23b a >；（З）若()f x ¸()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-¸求a 的取值范围．40.（2017新课标Ⅲ理数）已知函数.ln 1)(x a x x f --= （1）若 ¸求a 的值；（2）设m 为整数¸且对于任意正整数n ¸21111++1+)222n ()(1)(m <¸求m 的最小值．41.（2017天津理）设a ∈Z ¸已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ¸()g x 为()f x 的导函数. （Ⅰ）求()g x 的单调区间；（Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈ ¸函数0()()()()h x g x m x f m =--¸求证：0()()0h m h x <； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ¸使得对于任意的正整数,p q ¸且00[1,)(,2],px x q∈ 满足041||p x q Aq -≥.201б年高考数学试题分类汇编及答案解析---导数及其应用1、（201б年山东高考）若函数()y f x =的图象上存在两点¸使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直¸则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 （Α）sin y x = （Β）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】Α2、（201б年四川高考）已知Α函数f(x)＝x З－12x 的极小值点¸则Α= (Α)-4 (Β) -2 (C)4 (D)2 【答案】DЗ、（201б年四川高考）设直线l 1¸l 2分别是函数f(x)=图象上点P 1¸P 2处的切线¸l 1与l 2垂直相交于点P ¸且l 1¸l 2分别与y 轴相交于点Α¸Β则则△P ΑΒ的面积的取值范围是(Α)(0,1) (Β) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】Α4、（201б年全国I 卷高考）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增¸则Α的取值范围是（Α）[]1,1-（Β）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C二、填空题1、（201б年天津高考）已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数¸则(0)f '的值为__________. 【答案】З2、（201б年全国III 卷高考）已知()f x 为偶函数¸当0x ≤ 时¸1()x f x ex --=-¸则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________.【答案】2y x =三、解答题1、（201б年北京高考）设函数()32.f x x ax bx c =+++ （I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==¸若函数()f x 有三个不同零点¸求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.解：（I ）由()32f x x ax bx c =+++¸得()232f x x ax b '=++． 因为()0f c =¸()0f b '=¸所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+．（II ）当4a b ==时¸()3244f x x x x c =+++¸ 所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=¸得23840x x ++=¸解得2x =-或23x =-． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：所以¸当0c >且32027c -<时¸存在()14,2x ∈--¸222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭¸ 32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭¸使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知¸当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时¸函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．（III ）当24120a b ∆=-<时¸()2320f x x ax b '=++>¸(),x ∈-∞+∞¸ 此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增¸所以()f x 不可能有三个不同零点． 当24120a b ∆=-=时¸()232f x x ax b '=++只有一个零点¸记作0x ． 当()0,x x ∈-∞时¸()0f x '>¸()f x 在区间()0,x -∞上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时¸()0f x '>¸()f x 在区间()0,x +∞上单调递增． 所以()f x 不可能有三个不同零点．综上所述¸若函数()f x 有三个不同零点¸则必有24120a b ∆=->． 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．当4a b ==¸0c =时¸230a b ->¸()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同零点， 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．2、（201б年江苏省高考）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. （1） 设Α=2,b =12. ① 求方程()f x =2的根;②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立¸求实数m 的最大值； （2）若01,1a b <<＞¸函数()()2g x f x =-有且只有1个零点¸求Αb 的值. 解：（1）因为12,2a b ==¸所以()22x xf x -=+. ①方程()2f x =¸即222xx-+=¸亦即2(2)2210x x -⨯+=¸所以2(21)0x-=¸于是21x=¸解得0x =. ②由条件知2222(2)22(22)2(())2xx x x f x f x --=+=+-=-.因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立¸且()0f x >¸所以2(())4()f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=¸且2((0))44(0)f f +=¸ 所以4m ≤¸故实数m 的最大值为4.（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点¸而00(0)(0)220g f a b =-=+-=¸ 所以0是函数()g x 的唯一零点.因为'()ln ln x xg x a a b b =+¸又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>¸ 所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b aax b=-.令'()()h x g x =¸则''22()(ln ln )(ln )(ln )x x x x h x a a b b a a b b =+=+¸ 从而对任意x R ∈¸'()0h x >¸所以'()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数¸ 于是当0(,)x x ∈-∞¸''0()()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时¸''0()()0g x g x >=. 因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数¸在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <¸则0002x x <<¸于是0()(0)02xg g <=¸ 又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g a b a =+->-=¸且函数()g x 在以02x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断¸所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点¸记为1x . 因为01a <<¸所以log 20a <¸又02x <¸所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >¸同理可得¸在02x和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点¸矛盾.因此¸00x =. 于是ln 1ln ab-=¸故ln ln 0a b +=¸所以1ab =.З、（201б年山东高考）设f (x )=x ln x –Αx 2+(2Α–1)x ¸Α∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )¸求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数Α的取值范围. 解析：(Ⅰ)由()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞¸ 则()112'2ax g x a x x-=-=¸ 当0a ≤时¸()0,x ∈+∞时¸()'0g x >¸函数()g x 单调递增； 当0a >时¸ 10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时¸()'0g x >¸函数()g x 单调递增¸1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时¸()'0g x <¸函数()g x 单调递减. 所以当0a ≤时¸函数()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时¸函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭¸单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)由(Ⅰ)知¸()'10f =.①当0a ≤时¸()'0f x <¸()f x 单调递减. 所以当()0,1x ∈时¸()'0f x <¸()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时¸()'0f x >¸()f x 单调递增. 所以()f x 在x=1处取得极小值¸不合题意. ②当102a <<时¸112a >¸由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增¸ 可得当当()0,1x ∈时¸()'0f x <¸11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时¸()'0f x >¸ 所以()f x 在(0,1)内单调递减¸在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增¸ 所以()f x 在x=1处取得极小值¸不合题意. ③当12a =时¸即112a=时¸()'f x 在(0,1)内单调递增¸在 ()1,+∞内单调递减¸ 所以当()0,x ∈+∞时¸()'0f x ≤¸ ()f x 单调递减¸不合题意. ④当12a >时¸即1012a << ¸当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时¸()'0f x >¸()f x 单调递增, 当()1,x ∈+∞时¸()'0f x <¸()f x 单调递减¸ 所以f(x)在x=1处取得极大值¸合题意. 综上可知¸实数Α的取值范围为12a >.4、（201б年四川高考）设函数f(x)=Αx 2－Α－lnx ¸g(x)=1x －ee x ¸其中Α∈R ¸e=2.718…为自然对数的底数。
专题03 基本初等函数1.【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A 【解析】试题分析：()()113333x xxx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.【考点】函数的性质2.【2017北京，理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48） （A ）1033（B ）1053 （C ）1073（D ）1093 【答案】D 【解析】 试题分析：设36180310M x N ==，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【考点】对数运算【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是36180310x =时，两边取对数，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a a MM N N-=，log log n a a M n M =. 3.【2016课标3理数】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c <<（B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << 【答案】A 【解析】试题分析：因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 考点：幂函数的图象与性质．4. 【2015高考山东，理10】设函数()31,1,2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()()()2f a f f a =的取值范围是（ ）（A ）2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦（B ）[]0,1 （C ）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（D ）[)1,+∞【答案】C【解析】当1a ≥时，()21af a =>，所以，()()()2f aff a =，即1a >符合题意.当1a <时，()31f a a =-,若()()()2f aff a =，则()1f a ≥，即：2311,3a a -≥≥，所以213a ≤<适合题意综上，的取值范围是2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,故选C. 【考点定位】1、分段函数；2、指数函数.【名师点睛】本题以分段函数为切入点，深入考查了学生对函数概念的理解与掌握，同时也考查了学生对指数函数性质的理解与运用，渗透着对不等式的考查，是一个多知识点的综合题. 5.【2015高考新课标2，理5】设函数211l o g (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2l o g 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．【考点定位】分段函数．【名师点睛】本题考查分段函数求值，要明确自变量属于哪个区间以及熟练掌握对数运算法则，属于基础题．6.【2015高考天津，理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m ===，则,,a b c 的大小关系为( ) （A ）a b c <<（B ）a c b <<（C ）c a b <<（D ）c b a << 【答案】C【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<，故选C.【考点定位】1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.7.【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 （A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【考点】指数、对数、函数的单调性 【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.8. 【2015高考浙江，理10】已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -=，()f x 的最小值是．【答案】，3-22.【解析】0)1())3((==-f f f ，当1≥x 时，322)(-≥x f ，当且仅当2=x 时，等号成立，当1<x 时，0)(≥x f ，当且仅当0=x 时，等号成立，故)(x f 最小值为322-.【考点定位】分段函数9.【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -=，则(5)f a 的值是. 【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=， 因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-考点：分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值. 10.【2016高考江苏卷】函数y. 【答案】[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，必须2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故答案应填：[]3,1-，考点：函数定义域 【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先列，后解是常规思路.列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式联系在一起.11.【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数的取值范围是________. 【答案】，(,1)-∞-. 【解析】考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.【名师点睛】1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．12.【2015高考福建，理14】若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数的取值范围是．【答案】(1,2]【解析】当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4,+∞，只需1()3log a f x x =+（2x >）的值域包含于[)4,+∞，故1a >，所以1()3log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数的取值范围是(1,2]． 【考点定位】分段函数求值域．13. 【2015高考山东，理14】已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=.【答案】32-【解析】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以1110a b b -⎧+=-⎨+=⎩ ，此方程组无解；若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以1011a b b -⎧+=⎨+=-⎩ ，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ，所以32a b +=-. 【考点定位】指数函数的性质.【名师点睛】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用.14.【2015高考浙江，理18】已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当，满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值. 【答案】（1）详见解析；（2）.试题分析：（1）分析题意可知()f x 在[1,1]-上单调，从而可知(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，分类讨论的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知 ||,0||||||,0a b ab a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，再由(,)2M a b ≤可得|1||(1)|2a b f ++=≤， |1||(1)|2a b f -+=-≤，即可得证.试题解析：（1）由22()()24a a f x x b =++-，得对称轴为直线2ax =-，由||2a ≥，得||12a-≥，故()f x 在[1,1]-上单调，∴(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，当2a ≥时，由 (1)(1)24f f a --=≥，得max{(1),(1)}2f f -≥，即(,)2M a b ≥，当2a ≤-时，由 (1)(1)24f f a --=-≥，得max{(1),(1)}2f f --≥，即(,)2M a b ≥，综上，当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）由(,)2M a b ≤得|1||(1)|2a b f ++=≤，|1||(1)|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，由||,0||||||,0a b a b a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，得||||3a b +≤，当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在[1,1]-上的最大值为，即(2,1)2M -=，∴||||a b +的最大值为..【考点定位】1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想.。
【2017年高考答案】1．【答案】C2.【答案】D3.【答案】B 【解析】试题分析：因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与无关，选B ． 4.【答案】B5.【答案】D 【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.6.【答案】C7. 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<， 据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<，本题选择C 选项.8. 【答案】D 【解析】函数有意义，则：2280x x --> ，解得：2x <- 或4x > ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为()4,+∞ . 故选D. 9.【答案】C10. 【答案】A 【解析】由A,令()e 2x xg x -=⋅,11'()e (22ln )e 2(1ln )022x x x x x g x ---=+=+>,则()g x 在R 上单调递增,()f x 具有M 性质,故选A. 11. 【答案】A零点是20x a =->，零点右边()()2x g x a f x =+<恒成立，零点左边()2xg x a =--，根据图象分析当0x =时，22a a -≤⇒≥-，即20a -≤< ，当0a =时，()()f x g x ≥恒成立，所以22a -≤≤，故选A.12. 【答案】1213.【答案】1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈ ，所以当01x =或时，取最大值1；当12x =时，取最小值12；因此取值范围为1[,1]214.【答案】1(,)4-+∞15【答案】【解析】试题分析：由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以(919)(66531)(1)f f f =⨯+= (1)6f =-=.16.【答案】1[1,]2-17.【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质 若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质 因此10n mq p=，则10()nm q p = ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ∉因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈ 对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉ 的部分的交点， 画出函数图像，图中交点除外(1,0) 其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉ 的部分， 且1x = 处11(lg )1ln10ln10x x '==< ，则在1x =附近仅有一个交点因此方程解的个数为8个.【2016，2015高考题答案】1. 【答案】B2. 【答案】B 【解析】对于选项A ，在R 上是减函数；选项C 的定义域为(0,)+∞；选项D ，在(,0)-∞上是减函数，故选B. 3. 【答案】B4. 【答案】C【解析】因为(2)410f =->，3(4)202f =-<，所以由根的存在性定理可知：选C. 5. 【答案】 B6. 【答案】A 【解析】对于A 选项中的函数()12222xx xx f x -=-=-,函数定义域为R ,()()2222x x x x f x -----=-=-()f x =-,故A 选项中的函数为奇函数；对于B 选项中的函数()3sin g x x x =,由于函数31y x =与函数2sin y x =均为奇函数,则函数()3sin g x x x =为偶函数；对于C 选项中的函数()2cos 1h x x =+,定义域为R ,()()()2cos 12cos 1h x x x h x -=-+=+=,故函数()2cos 1h x x =+为偶函数；对于D 选项中的函数()22x x x ϕ=+,()13ϕ=,()312ϕ-=,则()()11ϕϕ-≠±,因此函数()22x x x ϕ=+为非奇非偶函数,故选A .7. 【答案】D8. 【答案】A 【解析】函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()11sin1f -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x=-的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()2cos f x x x =-是偶函数；函数()122x x f x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x xx xf x f x ---=+=+=，所以函数()122xx f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数．故选A ． 9. 【答案】A10. 【答案】D 试题分析：lg 10xy x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．11. 【答案】B 【解析】试题分析：因为2(),y |23|y f x x x ==--都关于1x =对称，所以它们交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22m m ⨯=，当m 为奇数时，其和为1212m m -⨯+=，因此选B. 12. 【答案】C13. 【答案】D 【解析】由图可知， log ()a y x c =+的图象是由log a y x =的图象向左平移个单位而得到的，其中01c <<，再根据单调性易知01a <<，故选D . 考点：对数函数的图象和性质. 14. 【答案】A15. 【答案】D 【解析】 试题分析：因为2sin =y x 为偶函数，所以它的图象关于y 轴对称，排除A 、C 选项；当22x π=，即x =时，1max y =，排除B 选项，故选D. 16. 【2015高考山东，文2】设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是( )（A ）a b c ＜＜ （B ） a c b ＜＜ （C ）b a c ＜＜ （D ）b c a ＜＜【答案】C 【解析】由0.6xy =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C .17. 【2014山东.文5】 已知实数,x y 满足(01)xy a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ） A.33xy > B.sin sin x y >C.22ln(1)ln(1)xy +>+ D.221111x y >++ 【答案】A对于C ，取1,2,,x yx y ==->此时ln 2ln 5<，22ln(1)ln(1)x y +>+不成立；对于D ，取2,1,,x y x y ==->此时1152<，221111x y >++不成立； 故选A18. 【答案】D 【解析】试题分析：log log 1>=a a b a ，当1>a 时，1>>b a ，10,0∴->->a b a ，(1)()0∴-->a b a ；当01<<a 时，01∴<<<b a ，10,0∴-<-<a b a ，(1)()0∴-->a b a ．故选D ． 19. 【答案】C20. 【答案】D【解析】由题意，555()3,662f b b =⨯-=-由5(())46f f =得，51253()42b b b ⎧-<⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或5251224bb -⎧-≥⎪⎨⎪=⎩，解得12b =，故选D .21. 【答案】A当0<b 时，(())f f x 的最小值为24-b ，所以“0<b ”能推出“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”；当0=b 时，4(())=f f x x 的最小值为0，()f x 的最小值也为0，所以“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”不能推出“0<b ”．故选A ．22. 【答案】C【解析】因为21(2)24f --==，所以111((2))()11422f f f -===-=，故答案选C 23. 【答案】B24.【答案】B 【解析】试题分析：A 选项：由()()3f x y x y +=+，()()333()f x f y x y xy =⋅=，得()()()f x y f x f y +≠，所以A 错误；B 选项：由()3x y f x y ++=，()()333x y x y f x f y +=⋅=，得()()()f x y f x f y +=；又函数()3x f x =是定义在R 上增函数，所以B 正确；C 选项：由()()23fx y x y +=+，()()f x f y 2233x y=⋅23()xy =，得()()()f x y f x f y +≠，所以C 错误；D 选项：函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是定义在R 上减函数，所以D错误；故选B . 25. 【答案】B26. 【答案】C 【解析】1ln 2p f ab ===；()ln 22a b a b q f ++==；11(()())ln 22r f a f b ab =+= 因为2a b +>，由()l n f x x =是个递增函数，()2a b f f +> 所以q p r >=，故答案选C27. 【答案】C28. 【答案】D 【解析】试题分析：由12()2xx y -==在R 上单调递减可知D 符合题意，故选D. 29.【答案】B 【解析】试题分析：5log ,lg b a b c ==相除得55log ,log 10lg b a ab c c==，又5510,log 10d d =∴=，所以ad cd a c=⇒=.选B. 30. 【答案】B31. 【答案】D②()()()()f x g x f x T g x T +=+++ ()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故选D.32. 【答案】C 【解析】 由题意， 2219248bk be e +⎧=⎪⎨=⎪⎩得1119212bk e e⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是当x ＝33时， y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝31()2×192＝24(小时)33. 【答案】C34． 【答案】A 【解析】∵()3f a =-，∴当1a ≤时，1()223a f a -=-=-，则121a -=-，此等式显然不成立，当1a >时，2log (1)3a -+=-，解得7a =，∴(6)f a -=(1)f -=117224---=-，故选A. 35. 【答案】A 【解析】试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.当sin y x =时，cos y x '=，有co s0c o s 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,x y x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A.考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.36.【答案】C37. 【答案】C 【解析】试题分析：设k f f f =-=-=-)3()2()1(，则一元二次方程0)(=-k x f 有三个根1-、2-、3-， 所以0)3)(2(1()(=+++=-x x x a k x f ，由于)(x f 的最高次项的系数为1，所以1=a ， 所以k x x x x f ++++=6116)(23，因为30≤<k ， 所以966≤+=<k c . 38. 【答案】D39.【答案】D40. 【答案】D 【解析】试题分析：对A ，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对B,)0()(>=x x x f a中1>a ，x x g a log )(=中10<<a ，不符合题意；对C ，)0()(>=x x x f a中10<<a ，x x g a log )(=中1>a ，不符合题意；对D ，)0()(>=x x x f a 中10<<a ，x x g a log )(=中10<<a ，符合题意；故选D.41. 【答案】B42. 【答案】D 【解析】试题分析：因为()1f x x =-不是奇函数也不是偶函数，所以选项A 不正确；因为()2f x x x =+不是奇函数也不是偶函数，所以选项B 不正确；由()22xxf x -=-，()()()2222xxxxf x f x ---=-=--=-，所以()f x 是奇函数，选项C 不正确.由()22x x f x -=+，()()2222x x x x f x f x ---=+=+=，所以()f x 是偶函数，选项D 正确.故选D.43. 【答案】A 【解析】试题分析：44. 【答案】D 【解析】由0)1)(3(0322>-+⇒>-+x x x x 解得3-<x 或1>x ，故选D.45. 【答案】B．46.【答案】D 【解析】选项A ：x y ln =的定义域为（0,+∞），故x y ln =不具备奇偶性，故A 错误； 选项B ：12+=x y 是偶函数，但012=+=x y 无解，即不存在零点，故B 错误；选项C ：x y sin =是奇函数，故C 错； 选项D ：x y cos =是偶函数， 且0cos ==x y ππk x +=⇒2，z k ∈，故D 项正确.47. 【答案】A∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=>-=+030322121a c x x a b x x ⇒⎩⎨⎧<<00c b ；故A 正确. 48. 【答案】D ．【解析】试题分析：由题意，①当12a->-时，即2a >，3(1),2()1,123(1),1a x a x a f x x a x x a x ⎧--+≤-⎪⎪⎪=+--<≤-⎨⎪++>-⎪⎪⎩，则当2a x =-时，min ()()|1|||322a af x f a a =-=-++-+=，解得8a =或4a =-（舍）；②当12a -<-时，即2a <，3(1),1()1,123(1),2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪--+≤-⎪⎪=-+--<≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩，则当2ax =-时，m i n ()()|1|||322a af x f a a =-=-++-+=，解得8a =（舍）或4a =-；③当12a -=-时，即2a=，()3|1|f x x =+，此时min ()0f x =，不满足题意，所以8a =或4a =-，故选D ．49. 【答案】C.50. 【答案】A【解析】当0x <时22x ->,所以()22f x x x =-=+,()22f x x -=,此时函数()()()()2231f x g x f x f x x x -=+--=+-的小于零的零点为12x =- ;当02x ≤≤ 时()22f x x x =-=-,()222f x x x -=--= ,函数()()231f x g x x x -=-+-=-无零点;当2x > 时,()()22f x x =-,()2224f x x x -=--=-,函数()()()2224355fxg x x x x x -=-+--=-+大于2的零点为x =,综上可得函数y ()()f x g x =-的零点的个数为2.故选A.51. 【答案】B52. 【答案】D 【解析】 试题分析：因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 3)(2-=，所以当0x <时，2()=3f x x x --，所以⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-=0,30,3)(22x x x x x x x f ，所以⎪⎩⎪⎨⎧<+--≥+-=0,340,34)(22x x x x x x x g ，由⎩⎨⎧=+-≥03402x x x 解得1=x 或；由⎩⎨⎧=+--<03402x x x 解得72--=x ，所以函数3)()(+-=x x f x g的零点的集合为{2-，故选D. 53. 【答案】C.54. 【答案】D .【解析】对于选项A ，右边,0|sgn |0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩，而左边,0||,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，显然不正确；对于选项B ，右边,0sgn 0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩，而左边,0||,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，显然不正确；对于选项C ，右边,0sgn 0,0,0x x x x x x x >⎧⎪===⎨⎪<⎩，而左边,0||,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，显然不正确；对于选项D ，右边,0sgn 0,0,0x x x x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩，而左边,0||,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，显然正确；故应选D .55. 【答案】B56. 【答案】C【解析】试题分析：设长方体底面边长分别为,x y，则4yx=，所以容器总造价为42()102020()80z x y xy xx=+⨯+=++，由基本不等式得，420()80160z xx=++≥，当且仅当底面为边长为的正方形时，总造价最低，选C.57.【答案】D58. 【答案】C【解析】试题分析：因为132(0,1)a-=∈，221log log103b=<=，112211log log132c=>=，故c a b>>.59.答案：C解析：由于f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，于是f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－f(x)g(x)]，因此f(x)g(x)是奇函数，故A错；|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，因此|f(x)|g(x)是偶函数，故B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－f(x)|g(x)|]，因此f(x)|g(x)|是奇函数，故C正确；|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，因此|f(x)g(x)|是偶函数，故D错．60.【答案】B可知π0,4x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时图像不是线段,可排除A,故选B.61. 【答案】A62. 【答案】Ａ【解析】试题分析：先画出当0x≥时，函数()f x的图象，又()f x为偶函数，故将y轴右侧的函数图象关于y轴对称，得y轴左侧的图象，如下图所示，直线1y2=与函数()f x的四个交点横坐标从左到右依次为3113,,,4334--，由图象可知，13134x≤-≤或31143x-≤-≤-，解得x∈1247[,][,]4334，选A．63. 【答案】B二、填空题 1.【答案】-22. 【案】2log5【解】31218-=<，1231=>，22log5log42>>>2log5最大.3.【答案】02b<<【解析】由函数()|22|xf x b=--有两个零点，可得|22|x b-=有两个不等的根，从而可得函数|22|xy=-函数y b=的图象有两个交点，结合函数的图象可得，02b<<，故答案为：02b<<.4.【答案】32-–11–112O5.试题分析：由42a=得12a =，所以1lg 2x =，解得x =6. 【答案】12014xx+1()f x 为首项，以1为公差的等差数列11111(1)1(1)1()()1n nx n n x f x f x xx+∴=+-⨯=+-⨯=+()(0)1n x f x x nx ∴=>+，当0x =时，0(0)010n f ==+，()(0)1n xf x x nx∴=≥+，2014()12014xf x x∴=+7.．【答案】3 【解析】因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．8.【答案】2log (x 1)-9. 【答案】1 【 解析】 试题分析：311()()421224f f =-=-⨯+=. 10.【答案】2【解析】lg 0.01＋log 216＝－2＋4＝2 11. 【答案】①④存在x 0∈(0，1)，使得h (x 0)＝0，可知函数h (x )先减后增，有最小值.因此，对任意的a ，m ＝n 不一定成立.③错误 对于④，由f '(x )＝－g '(x )，即2xln 2＝－2x －a令h (x )＝2xln 2＋2x ，则h '(x )＝2x(ln 2)2＋2＞0恒成立， 即h (x )是单调递增函数， 当x →＋∞时，h (x )→＋∞ 当x →－∞时，h (x )→－∞ 因此对任意的a ，存在y ＝a 与函数h (x )有交点.④正确12.【答案】2 【解析】 试题分析：若0≤a ，则01)1(22)(22>++=++=a a a a f ，所以2]22[22=++-a a ，无解；若0>a ，则0)(2<-=a a f ，所以22)(2)(222=+-+-a a ，解得2=a . 故2=a .13. 【答案】－2；1．所以223223203a b a ab a b a a --=⎧⎪+=⎨⎪-=--⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩．14.【答案】12-12221log log 222-==-；2424log 3log 3log 3log 32223+=⨯==15.【答案】1;62-16. 【答案】278【解析】试题分析：原式=344332542727log log 134588-⎡⎤⎛⎫+⨯=+=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 17. 【答案】()3,+∞ 【解析】 试题分析：画出函数图象如下图所示： 由图所示，要()f x b=有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即2224,30m m m m m m m >-⋅+->，解得3m >18.【答案】51619.【答案】220.【答案】12-【解析】在同一直角坐标系内，作出12--==a x y a y 与的大致图像，如下图：由题意，可知2112-=⇒-=a a 21. 【答案】-1【解析】原式＝12122lg 5lg 2lg 22lg 5lg -=-=-+=-+- 22. 【答案】(,0).-∞23. 【答案】(1,2)【解析】 试题分析：分别作出函数()y f x =与||y a x =的图像，由图知，0a <时，函数()y f x =与||y a x =无交点，0a =时，函数()y f x =与||y a x =有三个交点，故0.a >当0x >，2a ≥时，函数()y f x =与||y a x =有一个交点，当0x >，02a <<时，函数()y f x =与||y a x =有两个交点，当0x <时，若y ax =-与254,(41)y x x x =----<<-相切，则由0∆=得：1a =或9a =（舍），因此当0x <，1a >时，函数()y f x =与||y a x =有两个交点，当0x <，1a =时，函数()y f x =与||y a x =有三个交点，当xo0x <，01a <<时，函数()y f x =与||y a x =有四个交点，所以当且仅当12a <<时，函数()y f x =与||y a x =恰有4个交点. 24. 【答案】)61,0(25.【答案】.【解析】函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数等价于方程2π2sin sin()02x x x +-=的根的个数，即函数π()2sin sin()2sinxcosx sin 2x 2g x x x =+==与2h(x)x =的图像交点个数.于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数()g x 与h(x)的图像有2个交点. 26. 【答案】327.【答案】(,2]-∞【解析】由题意，当0x >时，()f x 的极小值为(1)2f =，当0x ≤时，()f x 极小值为(0)f a =，(0)f 是()f x 的最小值，则2a ≤.28.【答案】(0,1)29. 【答案】12[,)33【解析】试题分析：由函数()f x 在R 上单调递减得43130,01,31234a a a a --≥<<≥⇒≤≤，又方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，所以12132,1637a a a <-≤⇒>≥，因此的取值范围是12[,)3330.【答案】31.【答案】【解析】由(1)(1)f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称，故1a =，则1()2x f x -=，由复合函数单调性得()f x 在[1,)+∞递增，故1m ≥，所以实数m 的最小值等于． 32.【答案】-233.答案：(－∞，8]解析：当x ＜1时，由f (x )＝e x －1≤2，解得x ≤1＋ln 2，又x ＜1，所以x 的取值范围是x ＜1；当x ≥1时，由()132f x x =≤，解得x ≤8，又x ≥1，所以x 的取值范围是1≤x ≤8.综上，x 的取值范围是x ≤8，即(－∞，8]．名师点睛：本题考查分段函数，指数函数、幂函数的性质，简单不等式的解法，考查转化能力，容易题，注意区别指数函数、幂函数. 34.【答案】1- 【解析】试题分析：设2a b t +=，则2b t a =-，代入到22420a ab b c -+-=中，得()()2242220a a t a t a c --+--=，即221260a ta t c -+-=……①因为关于的二次方程①有实根，所以()22364120t t c ∆=-⨯-≥，可得24t c ≤，2a b +取最大值时，a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩当a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩2124441)102a b c c c ++===->，当a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩2124441)112a b c c c ++=+=+=--≥-， 综上可知当4,1,2c a b ==-=-时，124a b c++的最小值为1-． 三、解答题1.【2015高考湖北，文17】a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a . 当a =_________时，()g a 的值最小.【答案】2.21a ≤<时，22()||f x x ax x ax =-=-+在区间(0,)2a 上递增，在(,1)2a 上递减.当2ax =时，()f x 取得最大值2()24a a f =；④当2a ≥时，22()||f x x ax x ax =-=-+在区间[0,1]上递增，当1x =时，()f x 取得最大值(1)1f a =-，则21,2()2241,2a a ag a a a a ⎧-<⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩在(2)-∞上递减，2,)+∞上递增，当2a =时，()g a 的值最小.故应填2. 2. 【答案】（1）121()2log 1x f x x -+⎛⎫=+⎪-⎝⎭，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞ ；（2）1a =时()y f x =为奇函数，当0a =时()y f x =为偶函数，当0a ≠且1a ≠时()y f x =为非奇非偶函数．知函数()f x 具有奇偶性，在01a a ≠≠且时，函数的定义域是2log x a ≠，不关于原点对称，因此函数既不是奇函数也不是偶函数．试题解析：（1）由2424x x y +=-，解得4(1)21xy y +=-，从而11y y <->或，24(1)log 1y x y +=-∴124(1)()log 1x f x x -+=-，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞（2）∵2()2x x af x a+=-且0a ≥ ∴①当0a =时，()1,f x x R =∈，∴对任意的x R ∈都有()()f x f x =-，∴()y f x =为偶函数②当1a =时，21(),021x x f x x +=≠-，2112()2112x xx xf x --++-==--， ∴对任意的0x ≠且x R ∈都有()()f x f x =--，∴()y f x =为奇函数 ③当0a ≠且1a ≠时，定义域为{2log ,}x x a x R ≠∈，∴定义域不关于原定对称，∴()y f x =为非奇非偶函数2.判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法：(2)图像法：3.【答案】（1）{}|01x x <<．（2）0a =或14-．（3）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】确定函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值之差.得到()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立． 试题解析： （1）由21log 11x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得112x +>，解得{}|01x x <<．（2）()2221log log 0a x x ⎛⎫++=⎪⎝⎭有且仅有一解， 等价于211a x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭有且仅有一解，等价于210ax x +-=有且仅有一解． 当0a =时，1x =，符合题意； 当0a ≠时，140a ∆=+=，14a =-． 综上，0a =或14-． （3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立． 因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥． 故的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
专题14 数列解答题1。
【2017山东，理19】已知｛x n ｝是各项均为正数的等比数列,且x 1+x 2=3，x 3—x 2=2(Ⅰ）求数列｛x n ｝的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1， 1)，P 2(x 2， 2）…P n+1（x n+1， n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n xxx x +==,所围成的区域的面积nT 。
【答案】（I)12.n nx -=(II)(21)21.2nn n T -⨯+=【解析】试题分析：（I ）依题意布列1x 和公比的方程组。
（II)过123,,,P P P (1)n P +向轴作垂线,垂足分别为123,,,QQ Q (1)n Q +，由（I ）得111222.n n n n n xx --+-=-=记梯形11n n n nP PQQ ++的面积为nb 。
由题意12(1)2(21)22n n nnn b n --++=⨯=+⨯，所以123n T bb b =+++……+n b=101325272-⨯+⨯+⨯+……+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ①又0122325272n T =⨯+⨯+⨯+……+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ②①-②得121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯-所以(21)21.2n n n T -⨯+=【考点】1.等比数列的通项公式；2。
等比数列的求和；3.“错位相减法”。
2。
【2017北京，理20】设{}n a 和{}nb 是两个等差数列，记1122m a x {,,,}nn nc b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12m a x {,,,}sxx x ⋅⋅⋅表示12,,,sx x x ⋅⋅⋅这个数中最大的数．（Ⅰ)若na n =，21nb n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}nc 是等差数列; （Ⅱ）证明:或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc Mn>；或者存在正整数m ，使得12,,,mm m cc c ++⋅⋅⋅是等差数列．【答案】（Ⅰ）详见解析；(Ⅱ）详见解析。
专题32 选修部分1.【2017天津，理11】在极坐标系中,直线4cos()106ρθπ-+=与圆2s i n ρθ=的公共点的个数为___________。
【答案】22.【2017北京,理11】在极坐标系中，点A 在圆22c o s 4s i n 40ρρθρθ--+=上,点P 的坐标为(1,0)，则｜AP ｜的最小值为___________.【答案】1 【解析】试题分析：将圆的极坐标方程化为普通方程为222440x y x y +--+= ，整理为()()22121x y -+-= ，圆心()1,2C ,点P 是圆外一点,所以A P 的最小值就是211A C r -=-=。
【考点】1。
极坐标与直角坐标方程的互化;2.点与圆的位置关系。
【名师点睛】1。
运用互化公式:222,s i n ,c o s x y y x ρρθρθ=+==将极坐标化为直角坐标；2。
直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．3.【2015高考安徽,理12】在极坐标中，圆8s i n ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 。
【答案】【解析】由题意2s i n ρρθ=,转化为普通方程为228x y y +=，即22(4)16x y +-=；直线()3R πθρ=∈转化为普通方程为3y x =,则圆上的点到直线的距离最大值是通过圆心的直线上半径加上圆心到直线的距离，设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为，则圆上的点到直线距离的最大值22|04|42461(3)D d r -=+=+=+=+-。
4。
【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线c o s 3s i n10ρθρθ--=与圆2c o s ρθ=交于A ，B 两点，则||A B =______.【答案】2 【解析】试题分析：分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程:直线为310x --=过圆22(1)1x y -+=圆心,因此2A B =，故填：2。
1.【2017山东，理19】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.2.【2017北京，理20】设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．3.【2017天津，理18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；4.【2017浙江，22】（本题满分15分）已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（*∈N n ）．证明：当*∈N n 时， （Ⅰ）0＜x n +1＜x n ； （Ⅱ）2x n +1− x n ≤12n n x x +； （Ⅲ）112n +≤x n ≤212n +． 5.【2017江苏，19】 对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”. （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 6. 【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg 99=1，．（Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和． 7. 【2016高考山东理数】（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 8.【2015高考广东，理21】数列{}n a 满足()*1212242n n n a a na n N -+++=-∈， (1) 求3a 的值；(2) 求数列{}n a 前n 项和n T ； (3) 令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<．9.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0T S =;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C CDD S S S +≥.10.【2015江苏高考，20】（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：31242,2,2,2a a a a依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由； （3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得kn k n kn n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由.11. 【2015高考山东，理18】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .12. 【2016高考天津理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项(Ⅰ)设22*1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；(Ⅱ)设()22*11,1,nnn n k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑13.【2016高考新课标3理数】已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若53132S =，求λ． 14. 【2014新课标，理17】（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.15．【2015高考四川，理16】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值. 16. 【2016高考浙江理数】设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：()1122n n a a-≥-，n *∈N ；（II ）若32n n a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．17.【2015高考新课标1，理17】n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=43n S +. （Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和. 18. 【2014课标Ⅰ，理17】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数， （I ）证明：2n n a a λ+-=；（II ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由. 19. 【2016年高考北京理数】（本小题13分）设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥).如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.（1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N ）,则)(A G 的元素个数不小于N a -1a . 20. 【2015高考浙江，理20】已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ） （1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）； （2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）. 21. 【2015高考重庆，理22】在数列{}n a 中，()21113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈（1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0001,2,1,k N k k λμ+=∈≥=-证明：010011223121k a k k ++<<+++ 22. 【2015高考安徽，理18】设*n N ∈，n x 是曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线与x轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式； （Ⅱ）记2221321n n T x x x -=，证明14n T n≥. 23. 【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q>0，*n N ∈ .（Ⅰ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221n y x a -= 的离心率为n e ，且253e = ，证明：121433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>.24. 【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且 233445,,a a a a a a 成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式；(II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列n b 的前n 项和. 25. 【2015高考湖北，理18】设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．1.【2017山东，理19】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.【答案】(I)（II ）【解析】试题分析：(I)依题意布列1x 和公比q 的方程组.（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……, 由(I)得记梯形的面积为.由题意，所以……+=……+①又……+②①-②得=所以【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”.2.【2017北京，理20】设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）分别代入求123,,c c c ，观察规律，再证明当3n ≥时，11()()20k k k k b na b na n ++---=-<，所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减. 所以112211max{,,,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=-，即证明；（Ⅱ）首先求{}n c 的通项公式，分1110,0,0d d d >=<三种情况讨论证明. 试题解析：解：（Ⅰ）111110,c b a =-=-=21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-，3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.当3n ≥时，1111()()()()20k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<， 所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减.（Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则12111121(1)[(1)]()(1)k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--. 所以1121211121(1)(),,n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->⎧=⎨-≤⎩当时，当时，①当10d >时，取正整数21d m d >，则当n m ≥时，12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时，12,,,m m m c c c ++是等差数列.②当10d =时，对任意1n ≥，1121121(1)max{,0}(1)(max{,0}).n c b a n n d b a n d a =-+-=-+--此时，123,,,,,n c c c c 是等差数列.③当10d <时， 当21d n d >时，有12nd d <. 所以1121121112(1)()()n c b a n n d nd b d n d d a d n n n-+---==-+-++ 111212()||.n d d a d b d ≥-+-+--对任意正数M ，取正整数12112211||max{,}M b d a d d d m d d +-+-->-，故当时，nc M n>. 【考点】1.新定义；2.数列的综合应用;3.推理与证明.3.【2017天津，理18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 【答案】 （1）32n a n =-.2n n b =.（2）1328433n n n T +-=⨯+. 【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程求出等差数列首项1a 和公差d 及等比数列的公比q ，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.试题解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=. 又因为0q >，解得2q =.所以，2n n b =. 由3412b a a =-，可得138d a -= ①. 由114=11S b ，可得1516a d += ②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2n n b =.（II ）解：设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4n n n a b n -=-⨯， 故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯1112(14)4(31)414(32)48.n n n n n ++⨯-=---⨯-=--⨯-得1328433n n n T +-=⨯+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+. 【考点】等差数列、等比数列、数列求和4.【2017浙江，22】（本题满分15分）已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（*∈N n ）．证明：当*∈N n 时， （Ⅰ）0＜x n +1＜x n ； （Ⅱ）2x n +1− x n ≤12n n x x +； （Ⅲ）112n +≤x n ≤212n +． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由数学归纳法证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）得2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++， 构造函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥，由函数单调性可证； （Ⅲ）由1111ln(1)n n n n n x x x x x ++++=++≤+，得1122n n n n x x x x ++≥-，递推可得1211(N )22n n n x n *--≤≤∈ 试题解析：（Ⅰ）用数学归纳法证明：0>n x 当n =1时，x 1=1>0假设n =k 时，x k >0，那么n =k +1时，若01≤+k x ，则0)1ln(011≤++=<++k k k x x x ，矛盾，故01>+k x ．因此)(0*∈>N n x n ，所以111)1ln(+++>++=n n n n x x x x ，因此)(01*+∈<<N n x x n n（Ⅱ）由111)1ln(+++>++=n n n n x x x x 得2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥ 函数f (x )在[0，+∞）上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0，因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥，112(N )2n n n n x x x x n *++-≤∈ （Ⅲ）因为1111ln(1)n n n n n x x x x x ++++=++≤+，所以112n n x -≥得1122n n n n x x x x ++≥-， 111112()022n n x x +-≥-〉，12111111112()2()2222n n n n x x x ----≥-≥⋅⋅⋅-=， 故212n n x -≤，1211(N )22n n n x n *--≤≤∈ 【考点】不等式证明5.【2017江苏，19】 对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”. （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“()3P 数列”.n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'.在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列.【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法： (1)用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）； (2)用等差中项证明：122n n n a a a ++=+； (3)通项法： n a 为n 的一次函数； (4)前n 项和法：2n S An Bn =+6. 【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg 99=1，．（Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893.【解析】试题分析：（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差d ，从而求得通项n a ，再根据已知条件[]x 表示不超过x 的最大整数，求111101b b b ，，；（Ⅱ）对n 分类讨论，再用分段函数表示n b ，再求数列{}n b 的前1 000项和．试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ====== （Ⅱ）因为0,110,1,10100,2,1001000,3,1000.n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪=⎩所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893.⨯+⨯+⨯= 考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算.【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.于是，B m ＝A m －d m ＞2－1＝1，B m －1＝min{a m ，B m }≥2. 故d m －1＝A m －1－B m －1≤2－2＝0，与d m －1＝1矛盾．所以对于任意n ≥1，有a n ≤2，即非负整数列{a n }的各项只能为1或2. 因为对任意n ≥1，a n ≤2＝a 1， 所以A n ＝2.故B n ＝A n －d n ＝2－1＝1.因此对于任意正整数n ，存在m 满足m ＞n ，且a m ＝1，即数列{a n }有无穷多项为1. 考点定位：本题考查新定义信息题，考查学生对新定义的理解能力和使用能力。
绝密★启用前２015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时,选出每掌上明珠答案后,用铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
３.回答第ＩI卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一.选择题：本大题共１２小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．１.已知集合Ａ={-2,-１，0,2｝，B={x|(x -１）(ｘ+２)<0},则Ａ∩B=（A）{－1,0} （B)｛０，1｝(C）{-1,０,１} (D){0,１，２}２.若a为实数且（２+ai）(a-2i)=－4i,则ａ=(A)-1 （Ｂ)0 (Ｃ）1 （Ｄ）23.根据下面给出的2０04年至201３年我国二氧化硫排放量(单位：万吨）柱形图。
以下结论不正确的是(A)逐年比较,2０08年减少二氧化硫排放量的效果最显著（B)2０07年我国治理二氧化硫排放显现(Ｃ)20０6年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势(D)2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.等比数列｛aｎ｝满足a1=3,a1+a3＋ａ5＝21,则a3＋a5+a７=（A)2１(B）42 (Ｃ)63 （Ｄ）8４５.设函数(2)211log , 1,()2, 1,xxxf xx--⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩则122log(2)()f f-+=(A）3 （B）6 （C)9 （Ｄ）12６.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为(Ａ)18(Ｂ)1 7（C)16(D)157.过三点A（１,3),B（4,2)，C(１,-7)的圆交于y轴于Ｍ、N两点,则MN=(A）26(B)8 (C)46(Ｄ)108.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
3 3 32015-2017高考解析几何汇编017（一）10.已知F 为抛物线C: y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l i , I 2，直线l i 与C交于A 、B 两点，直线12与C 交于D 、E 两点，则|AB|+| DE 的最小值为 A. 16B . 14C. 12 D . 102 22017（一）20.（ 12 分）已知椭圆 C :冷 +占=1 （a>b>0）,四点 R （1,1），P ? （0,1），P 3（-， a b4），P 4（1,翌 ）中恰有三点在椭圆C 上.（1）求C 的方程；22（2）设直线I 不经过P 2点且与C 相交于A, B 两点 若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-， 证明：I 过定点•2 22017（二）9.若双曲线C:拿卡“ （-0，）的一条渐近线被圆WE —所截得的弦长为2,则C 的离心率为 A . 2B . , 322017（二）20. （12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C :^ y^1上,过M 作x 轴的垂线， 垂足为N ,点P 满足NP 二2NM . （1） 求点P 的轨迹方程；（2） 设点Q 在直线x = -3上，且OPPQ N .证明：过点P 且垂直于OQ 的直线I 过C 的 左焦点F.2 22017（三）10.已知椭圆C: x 2=1,（a>b>0）的左、右顶点分别为 A , A 2,且以线段A 1A 2a b为直径的圆与直线bx-ay ，2ab=0相切，则C 的离心率为D.23 3A. D.2017（三）20.（ 12分）已知抛物线 C: y 2=2x ,过点（2,0）的直线I 交C 与A,B 两点，圆M 是 以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4, -2），求直线I 与圆M 的方程.2爲=1（a 0,b ■ 0）的左焦点为F ,离心率为 2 .若经过F 和 bP （0, 4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为2016（二） （20）（本小题满分12分）壬j?—+*-=1的焦点在玄轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k>0）的直线交E 于A,M两点，点N 在E 上, MA 丄NA.（I ）当t=4，""l 时，求厶AMN 的面积；（II ）当E时，求k 的取值范围.2016(北京)19.(本小题14分)已知椭圆C:笃 占=1 ( a b 0)的离心率为仝 ,A(a,0),a b22X 2017（天津）（5）已知双曲线 — a2 2 2 2(A ) "1 (B )訂2 2(O 才討1 (D )2017（天津）（19）（本小题满分X 2 2 14 分）设椭圆笃冷 1（a b0）的左焦点为F ，右顶点为A ， 1离心率为-.已知A 是抛物线2（I ）求椭圆的方程和抛物线的方y 2 =2px(p 0)的焦点, F 到抛物线的准线的距离为（II ）设上两点P ，Q 关于轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （ B 异于点A ）， 直线BQ 与轴相交于点D 若△ APD 的面积为空， 2求直线AP 的方程.2016（二）（11）已知F 1，F 2是双曲线 E 的左，右焦点，点M 在E 上, M F 1与上’轴垂直，s 」f ,则E 的离心率为（A 」(B )2 (C )(D) 2已知椭圆E: LB(0, b), 0(0,0) , OAB 的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：AN| BM|为定值.2016(一)(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知| AB|=4、2，|DE|=2 5，则C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)82016(一)20.(本小题满分12分)设圆x2y2・2x-15=0的圆心为A,直线I过点B( 1,0)且与x轴不重合，I交圆A于C, D 两点，过B 作AC的平行线交AD于点E.(I)证明EA+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点E的轨迹为曲线G,直线l交C于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q 两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.2 22016(三)(11)已知O为坐标原点，F是椭圆C:笃•笃=1(a0)的左焦点，A，B分别为a bC的左，右顶点.P为C上一点，且PF丄x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，贝U C的离心率为11 2 3(A) - (B) - (C) - (D)-3 2 3 42016(三)(20)(本小题满分12分)已知抛物线C: y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线1(2分别交C于A，B两点，交C 的准线于P，Q两点.(I)若F在线段AB上, R是PQ的中点，证明AR// FQ;(II )若厶PQF 的面积是厶ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.2015 (二) (11)已知A , B 为双曲线E 的左，右顶点，点 M 在E 上, ?ABM 为等腰三角形， 且顶角为120°,则E 的离心率为 (A ) V 5 (B ) 2 (C ) V 3 (D ) V2 2015 (二) 20.(本小题满分12分)已知椭圆C ： 9x 2 y 2二m 2(m 0)，直线I 不过原点O 且不平行于坐标轴，I 与C 有两个交 点A ，B ，线段AB 的中点为M 。
1.【2017课标1，理4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．4D ．82.【2017课标3，理9】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24-B ．3-C ．3D ．83.【2017课标II ，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏4.【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么 该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．1105.【2017浙江，6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 7.【2016高考新课标1卷】已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a =（）（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）978.【2016高考浙江理数】如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ，1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）.若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则（）A ．{}n S 是等差数列B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列D ．2{}n d 是等差数列9.【2016年高考四川理数】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （ A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年10.【2015高考浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B.140,0a d dS <<C.140,0a d dS ><D.140,0a d dS <>11.【2014高考重庆理第2题】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )139.,,A a a a 成等比数列236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列369.,,D a a a 成等比数列12.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 13.【2014福建，理3】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D14.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（）A ．6B ．7C ．8D ．915.【2014辽宁理8】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}na a 为递减数列，则（）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >16.【2015课标2理4】已知等比数列{}n a 满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )A ．21B ．42C ．63D ．8417.【2016高考浙江理数】设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1=，S 5=.18.【2017课标3，理14】设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________. 19.【2017课标II ，理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1） 设复数z 满足1+z1z-＝i ，则|z |＝(A )1 (B C D )2(2)sin 20°cos 10°－con 160°sin 10°＝(A )B C )12- (D )12(3)设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为(A )∀n ∈N ， 2n >2n (B )∃ n ∈N ， 2n ≤2n(C )∀n ∈N ， 2n ≤2n (D )∃ n ∈N ， 2n ＝2n(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.312 (5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：2212x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若12MF MF ⋅u u u u r u u u u r＜0，则y 0的取值范围是(A )(－3，3) (B )(－3，3) (C )(22-，22) (D )(23-，23) (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 (A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛(7)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r，则(A ) 1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r (B ) 1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r(C ) 4133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r (D ) 4133AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r(8)函数f (x )＝的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为(A )()，k (b )()，k(C )()，k (D )()，k(9)执行右面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝ (A )5 (B )6 (C )7 (D )8（10）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为(A )10 (B )20 (C )30 (D )60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 ＋ 20π，则r ＝ (A )1 (B )2 (C )4 (D )812.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a 1，若存在唯一的2rr正视图 俯视图r 2r整数x 0，使得f (x 0)0，则a 的取值范围是( )A .[32e -，1) B . [33,24e -) C . [33,24e ) D . [32e，1)第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)若函数f (x )＝xln (x)为偶函数，则a ＝(14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 .(15)若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 .(16)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，(Ⅰ)求{a n }的通项公式：(Ⅱ)设 ，求数列}的前n 项和(18)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ， DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.8i=1∑(x i－x r )28i=1∑(w i－w u r )2 8i=1∑(x i－x r )(y i －y u r )8i=1∑(w i－w u r)(y i －y u r )A BCF ED(千元)年销表中w i ，w u r ＝188i=1∑i w(Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii ） 年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(u 1 v 1)，(u 2 v 2)…….. (u n v n )，其回归线v ＝αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： (20)(本小题满分12分)在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝24x 与直线l:y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(Ⅰ)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由. (21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝31,()ln 4x ax g x x ++=-(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；(Ⅱ)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h (x )零点的个数请考生在(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中.直线1C :x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I ） 求1C ，2C 的极坐标方程；（II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(Ⅱ)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围 2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题答案 A 卷选择题答案一、 选择题（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B（7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D A 、B 卷非选择题答案 二、填空题（13）1 （14） （15）3（16）二、 解答题（17）解：（I ）由2243n n n a a S +=+，可知211124 3.n n n a a S ++++=+ 可得221112()4n n n n a a a a a +++-+-= 即 由于0n a >可得1 2.n n a a +-=又2111243a a a +=+，解得111()3a a =-=舍去，所以{}n a 是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为2 1.n a n =+ （II ）由21n a n =+22325()24x y ±+=设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则 （18）解：（I ）连结BD ，设BD I AC=G ，连结EG ，FG ，EF. 在菱形ABCD 中不妨设GB=1.由∠ABC=120°，可得.由 BE ⊥平面ABCD, AB=BC 可知AE=EC. 又AE ⊥EC ，所以EG ⊥AC.在Rt ∆EBG 中，可得故DF=2.在Rt ∆FDG 中，可得在直角梯形BDFE 中，由BD=2，，， 可得.从而222,EG FG EF EG FG +=⊥所以 又,.AC FG G EG AFC =⊥I 可得平面因为EG AEC ⊂平面 所以平面AEC AFC ⊥平面（III ） 如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，GB u u u r为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.由（I）可得(0(10(10(0A E F C -，所以(12AE CF ==-u u u r u u u r故cos ,AE CF AE CF AE CF⋅==⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r所以直线AE与直线CF（19）解：（I）由散点图可以判断，y c=+y关于年宣传费x的回归方程类型。
2015年高考数学试卷1. (5 分)(2015・原题)复数 i (2-i)二( )A. l+2iB. 1—2iC. — 1 +2iD. — 1 — 2ix - y=C02. （5分）（2015*原题）若x, y 满足< x+y^ 1 ,则z=x+2y 的最大值为（） .x>03A. 0B. 1C. —D. 2 23. （5分）（2015-原题）执行如图所示的程序框图输出的结果为（ ）A. （ -2, 2）B. （ -4, 0）C. （ -4, -4）D. （0, -8）4. （5分）（2015•原题）设oc,卩是两个不同的平面，m 是克线且ms,缶//0“是“oc //卩” 的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 一、选择J （每小题5分,共40分）5.（5分）（2015•原题）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）6. （5分）（2015・原题）设{%}是等差数列，下列结论屮正确的是（ ）八・若 a 1+a 2>0,贝!j a 2+a 3>0 B.若 a 1+a 3<0> 贝lj a]+a 2<07. （5分）（2015•原题）如图，函数f （x ）的图象为折线ACB,则不等式f （x ） >1<）& （x+1）A. {x| -l<x<0}B. {x| -Kx<l}C. {x| - 1<x<1}D. {x| -l<x<2}8. （5分）（2015-原题）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描 述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）C.若 0<ai <a 2,则 2〉寸8护3D.若 2]V0,贝lj (a 2-a 1) (a 2-a 3) >0 A. 2+V5 B. 4+^5 C. 2+2A /5 D ・ 5A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车屮，甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油9. （5分）（2015•原题）在（2+x ）'的展开式中，J 的系数为 __________ （用数字作答）10. （5分）（2015-原题）已知双曲线岭-y2=l （a >0）的一条渐近线为V3x+y=0，贝911. （5分）（2015-原题）在极坐标系中，点（2,牛）到直线° （cosO+V3sinO ） =6的距离 为 ____________ •12. （5 分）（2015・原题）在AABC 中，a=4, b=5, c=6,则二 ____________________ .sinC在AABC 中，点 M, N 满足 AM=2MC, BN=NC,若MN=xAB+yAC,① 若汗1,则f （x ）的最小值为 _____________ ；② 若f （x ）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ____________15. （13 分）（2015・原题）已矢U 函数 F （x ） =V2sin —cos — - V2sin ^―.2 2 2（I ）求f （x ）的最小正周期；（H ） 求F （x ）在区间［■心0］上的最小值.16. （13分）（2015-原题）A, B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位: 天）记录如下：A 组:10, 11, 12, 13, 14, 15, 16B 组;12, 13, 15, 16, 17, 14, a假设所有病人的康复时间相互独立，从八，B 两组随机各选1人，八组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙.（I ） 求甲的康复时间不少于14天的概率；（U ）如果沪25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（HI ）当a 为何值时，A, B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17. （14分）（206原题）如图，在四棱锥A-EFCB 中，AAEF 为等边三角形，平面AEF 丄平面 EFCB, EF//BC, BC=4, EF=2a,上EBC 二上FCB 二60° , O 为 EF 的中点.（I ）求证：AO1BE.二、填空题侮小丿 5分,共30分）13. （5 分）（2015*原题）14. （5分）（2015•原题）设函数f （x ）= 2x-a, 4（x - a ） （x _ 2 a ）,x<l 三、解答］ （共6小题 ,共80分）（U）求二面角F-AE-B的余弦值；（HI）若BE丄平面AOC,求a的值.18. (13分)(2015*原题)已知函数f (x)二1门丿注，(I )求曲线尸f (X )在点(0, f (0))处的切线方程; 3(H) 求证,当*€ (0, 1)时，f (x) >2(x+^-)；3(m)设实数k 使得f (x) >k(x+专-)对乂€ (o, 1)恒成立，求k 的最大值.19. (14分)(2015•原题)已知椭圆C:三+笃二1 (a>b>0)的离心率为李，点P (0, 1)/ b ， 2和点A (m, n) (mHO)都在椭圆C±,直线PA 交x 轴于点M.(I) 求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用n 表示)；(U )设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N,问：y 轴上是否存 在点Q,使得ZOQM=ZONQ?若存在，求点Q 的坐标，若不存在，说明理由.2(). (13 分)(2013 •原题)已知数列｛%｝满足： , a t <36，且 a n+1 = (n=l, 2,…)，记集合 M ={a n |n€N +}.(I)若引二6,写出集合M 的所有元素；(n )如集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数; (111)求集合M 的元索个数的最大值.2%,a n <18 2%-36, %>182015年原题市高考数学试卷（理科）1. （5 分）（2015-原题）复数 i （2-i ）二（）A. l+2iB. 1 -2iC. —l+2iD. - 1 - 2i【分析】利用复数的运算法则解答.【解答】解:原式=2i - i 2=2i - (-1) =l+2i;故选：A.【点评】本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则.注意i 2=-l. &-y<02. （5分）（2015•原题）若x, y 满足《 x+yCl ,则z=x+2y 的最大值为（）、x>03A. 0B. 1C. —D. 2 2【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z 二x+2y 对应的直线进行平移, 即可求出z 取得最大值."x-y<0【解答】解：作出不等式组x+y< 1表示的平面区域，.xi>0当1经过点B 时，目标函数z 达到最大值 z 煨大值二0+2X1 —2・【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数Z 二x+2y 的最大值，着重考查了二元一次 不一、选择题（每小, 5分，共40分）等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题•3.（5分）（2015•原题）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）A. (—2, 2)B. (一4, 0) C- (一4, -4) D. (0, -8)【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果.【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；x=l, y=l,k=0 时,s=x - y=0, t=x+y=2 ；x=s=0, y=t=2,k二1 时，s=x - y= - 2, t二x+y二2;x二s二一2，y二t二2，k=2 吋,s=x - y= ~ 4, t=x+y=0 ；x=s= -4, y=t=0,k=3时，循环终止，输出(x, y)是(-4, 0).故选：B.【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题目•4.(5分)(2015-原题)设冷卩是两个不同的平面，口是直线且muoc, //0 “是、//卩” 的()A.充分而不必耍条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】m // p并得不到a II ,3,根据面面平行的判定定理，只有a内的两相交直线都平行于P，而a//0,并且mua,显然能得到这样即可找出正确选项.【解答】解：mca, 口//(3得不到00”(3,因为oc, 0可能相交，只要m和a,卩的交线平行即可得到m" (3；a // P，mCa, m 和0 没有公共点,.'.m//p,即oc//0 能得到m//0；二“m/邙”是、/人3”的必要不充分条件.故选B.【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定 理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念.5. （5分）（2015-原题）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A. 2+^^/5B. 4+A /5C. 2+2A /5D. 5【分析】根据三视图可判断克观图为：（）A 丄面ABC,AC=AB,E 为BC 中点,EA=2,E/\=EB=1, OA二 1,: BC 丄 ffi AEO, AC=V5, OE=V5判断儿何体的各个面的特点，计算边长，求解面积.【解答】解：根据三视图可判断立观图为：（）八丄面ABC, AC 二AB, E 为BC 屮点，EA=2, EC=EB=1, ()A 二 1,•••可彳导/\E 丄BC, BC 丄OA,运用£［线平面的垂立得岀：BC 丄面AEO, AC=V5, OR=V5S/XBCO 二专 X2x V5-V5.故该三棱锥的表面积是2+2丽, 故选：C.【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直 观图，得出几何体的性质.6. （5分）（2015•原题）设｛%｝是等差数列，下列结论中正确的是（）• • ^AABCX2X2 二 2, S AO/\C =^AOAB-^ XV5>< 1=^^-A.若引+玄2>0,贝lj a2+a3>0B.若卯+%<0,贝lj a1+a2<0C.若0<旬<近，则阴D・若吗<0,贝lj (a2-aj) (a2-a3) >0【分析】对选项分别进行判断，即可得岀结论.【解答】解：若a1+a2>0,则2a]+d>0, a2+a3=2a]+3d>2d, d>0时,结论成立，即A不正确；若吗+%<(),贝lj a1+a2=2a1+d<0, a2+a3=2a1+3d<2d, dV()日寸，结论丿成立，即B 不止确；{%}是詩差数列，0<则<^2，2屯二引+%>2寸3]阴,；•耳>勺a]巧，即C止确；若引V0,贝I」(迈—吗)(a2-a3) =-d2<0,即D不正确.故选：C.【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础.7.(5分)(2015•原题)如图,函数f (x)的图象为折线ACB,则不等式f(x) >lo& (x+1)-l<x<l}C. {x| - l<x<l}D. {x| -l<x<2}【分析】在已知坐标系内作IB y=log2 (x+1)的图象，利用数形结合得到不等式的解集.【解答】解：由已知F(x)的图象，在此坐标系内作出y二1。
