布丰投针

蒲丰投针问题1.蒲丰简介蒲丰有的时候翻译成布丰，是18世纪法国著名的博物学家。

他喜欢研究数学和生物学。

主要的贡献有：（1）翻译了牛顿的《流数法》，流数法按现在的说法就叫微积分。

（2）写了一本巨著，这部巨著的名字叫《自然史》，因为他特别喜欢研究生物。

这个自然史一共有44卷，其中他生前写了36卷，后来他学生又完成了。

这本书对后来的世界有很大的影响，尤其影响到一个人叫达尔文，所以蒲丰这个人其实是很厉害的。

2.蒲丰投针1777年，在蒲丰晚年的时候，他有一次举行了一个家庭宴会。

邀请了一大堆他的朋友来帮他做实验。

做什么实验呢，就“投针”。

那朋友来了之后发现，就是桌子上有很多根间距相等的平行线。

然后蒲丰就说了，给你们同样大的针，你把这些针随机扔到这个桌子上。

然后宾客就随便扔吗，有可能这样，有可能这样……，随便扔是吧，这都有可能，什么情况都有可能。

有的针就没有跟平行线相交，比如这个，这个，这个，就没有相交，也有相交的，比如这个，这个，这个，这是相交的，对吧，然后他就数，他说这个针一共投了多少个呢？一共投了n =2212个。

其中与这个平行线相交的针有多少个，数了一下有m =704个。

然后他说，我现在可以计算圆周率了，别人都不信，他说你看我圆周率怎么算，我只要把这两个数相除就行了。

我用n 除以m ，这个数除完了大概是3.142，这个就是圆周率了。

别人说好神奇，这怎么回事儿，蒲丰说我给你解释解释这个原理是什么？其实这个原理并不复杂，我们来看一下它的原理是什么。

3. 蒲丰投针原理(1)首先，它这个平行线是严格平行的，那平行线之间的距离是固定的，是a 。

然后我随意地把一根针投上去，也许相交，也许不相交，这不一定。

比如说这个针投上去了，投上去了之后，针的总长是b ，针有一个中点叫M ，对吧，这个M 到它比较近的平行线之间的距离我们设为x ，大家注意，这个是针的中点到比较近的平行线的距离是x ，所以我们应该知道x 的范围。

x 的最小值就是这个终点正好落在平行线上，那最小值是0，对吧。

数学中的三大常数π,e,φ姓名:高伟学号:12111204002班级:数教1201摘要文章考查了三个特殊的数π,e,φ, 找到了美在数学中的具体表现, 并以此出发阐述了数学美对学生学习数学兴趣的培养的重要性。

关键词:数学美π,e,φ无理数Three constants in mathematics:π,e,φName:GaoweiNumber:12111204002AbstractThe article examines the three special numbers in mathematics.Found the concrete embodiment of mathematical beauty and expounded the importance of the cultivation of students’ interest in learning mathematics.Keywords: mathematical beaut π,e,φ irrational如果有人告诉你, 数学是很奇妙的, 你可能会感到惊奇。

但你应该知道, 有些人毕生研究数学、创造数学, 就像作曲家创作音乐一样。

这是为什么呢? 也史上的许多学者、数学家的描述可以说明这一切。

彭家勒说: “数学家把义的方法和他们结果的美联系起来。

这不是纯粹的浅薄猎奇。

事实上, 在解题、证明中, 给我们以美感的是什么呢?是各部分的和谐, 是他们的对称、他们的巧妙平衡。

总而言之, 就是引人次序, 给出统一, 容许我们同时清楚地观察和理解整体和细节的东西。

”维纳认为: “ 数学实质上是艺术的一种。

”徐利为:“容结构上和方法上也具有其自身的美。

”可见, 正是数学的美引导一代一代的学家攀登一座一座数学高峰。

为此, 为吸引年青的数学工作者从事数学研究, 从小就应让他们感到数学美。

解决费尔马猜想的安德鲁·怀尔斯就是在10 岁到图书馆发现了别刃多年悬而未决的费尔马猜想在表面上的简单易懂, 这种简美让他对数学着了迷, 从而让他终生从事数学研究【1】。

布丰投针实验详解1777年，法国数学家布丰（D，Buffon，1707年-1788年）提出了随机投针法并通过投针实验计算出了圆周率π的值，与刘徽的“割圆术”不同的是，随机投针法是利用概率统计的方法来计算圆周率π的值，开辟了计算圆周率的新途径，因此，“布丰投针实验”成为概率论中很有影响力的一个实验。

程序运行时，计算机上将显示出每次“投针实验”的具体情况，即显示当前总投掷的次数、钢针与平行线相交的次数以及由此计算出来的圆周率的值，当满足所设置的精度要求后，程序就停止运行，当钢针投掷276427次后，所计算出来的圆周率值满足精度要求，此时钢针与平行线相交131984次，圆周率计算结果为3.14159670869196.当然，由于“投掷动作”具有随机性，因此每次“投针实验”的仿真结果不一定相同，为了使计算结果更趋近于π，可以减小误差，取更小的s的值来提高计算的精度，当然仿真实验的时间也会随之变长，值得说明的是，若将一根钢丝弯成一个圆圈，使其直径恰好等于平行线间的距离a，投掷的结果不外乎有两种：一种是与一条平行线相交，一种是与相邻两条平行线相切，这两种情况都将导致圆圈和平行线有两个交点，因此，如果圆圈扔下的次数为n，那么相交的交点数必为2n。

若将圆圈拉直变成一根长为πa的钢针，显然，这样的钢针被扔下时与平行线相交的情形要比弯成圆圈的情况复杂得多，可能没有交点，还可能有1个交点、2个交点、3个交点、4个交点，由于圆圈和拉直后的钢针的长度相同，根据机会均等的原理可知，当投掷的次数足够多时，两者与平行线组的交点的总数将是一样的，换句话说，当长度为πa的钢针被扔下无穷多次后，它与平行线相交的交点总数也为2n。

從本质上看，上述投针实验运用了离散事件系统仿真，如果按照布丰的做法，进行成千上万次的投针实验和手工计算，势必要消耗大量的人力、物力和财力，而通过运用类比的方法，对实验进行系统建模，在此基础上使用计算机进行系统仿真来解决问题，事情就会变得非常简单，我们只需要根据已掌握的经验与认识，通过对比分析1，运用数学语言、数学符号、数学公式、数学概念等来表达这些量，从多种复杂的因素中抽取主要因素，忽略次要因素，抓住事物的本质特征，运用一系列等式或不等式来表达各个量之间的关系，从而建立起研究对象的数学模型，这有助于掌握复杂事物的内在规律。

吹个肥皂泡，泡泡是圆的。

一滴雨珠滴落在地面上，水痕是圆的。

眼珠是圆的，月亮是圆的，天穹仿佛也是圆的。

为了把这个简单的圆搞定，从古至今不知有多少人穷尽了智慧。

但他们的努力并没有白费，今天的小学生都能对它的终极奥秘了如指掌：它就是圆的周长和直径之比——π。

很少有一个数字，它的伟大和精妙，它的神秘和捉摸不清，能够从史前开始，就贯穿了人类数学史，为了算π，古往今来的数学家和工程师们可谓穷尽所学。

那么，我们究竟为什么要费劲儿搞出这么长一串看起来毫无规律的数字呢？没有“边”可算？用“割圆术”试试看3.1415926，数学只要不是体育老师教的，这个π近似值应该都能脱口而出。

这什么水平？放在古代，你已经完爆了绝大部分的数学家了。

远古时期，交通基本靠走，通信基本靠吼，测量靠啥？靠的是实物，精度也就可想而知了。

造个圆的车轱辘都难于上青天。

把π的比率搞到小数点后两位这一点点进步，更是花费了人类不少时间。

公元前1500年，巴比伦人的泥板上，π是25/8，也就是3.125；在古埃及，π是（16/9）2，也就是3.16，大约是用面积反推；古印度的一些典籍里面，π和根号10一样，等于3.162；《九章算术》干脆就直接“周三径一”，π=3.33。

后来，“数学家”这种生物出现了。

世界在他们的眼里，不再是一个个的车轱辘，而是简洁的线条和抽象的规则。

圆溜溜的边没法下手，那我们就拿长得像圆的开刀：六边形比方的“更圆”，八边形比六边形更圆，二百五十六边形从远处看基本就是圆了……这就是所谓“割圆术”的基本思想。

六边形，十二边形......边数再多一点呢？生活在三国时代、为汉代数学典籍《九章算术》做注的刘徽，似乎是参透了“圆出于方”这种玄学之辞。

他研究出来的割圆术，给后世算圆周率的指了一个明路。

“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于无可割，则与圆合体而无所失也”。

而且，他采用了双向迫近的方法，相当于给了上限和下限，让结果更加精确。

刘徽自己割出了3072边型，算出了π=3.1416。

/4.因为对于每一个z，这个概率都为（π-2）/4，因此对于任意的正数x，y，z，有P=（π-2）/4，命题得证。

为了估算π的值，我们需要通过实验来估计它的概率，这一过程可交由计算机编程来实现，事实上x+y>z，x²+y&sup2；﹤z&sup2；等价于（x+y-z）（x²+y²-z&sup2；）﹤0，因此只需检验这一个式子是否成立即可。

若进行了m 次随机试验，有n次满足该式，当m足够大时，n/m趋近于（π-2）/4，令n/m=（π-2）/4，解得π=4n/m+2，即可估计出π值。

值得注意的是这里采用的方法：设计一个适当的试验，它的概率与我们感兴趣的一个量（如π）有关，然后利用试验结果来估计这个量，随着计算机等现代技术的发展，这一方法已经发展为具有广泛应用性的蒙特卡罗方法。

计算π最稀奇方法之一计算π的最为稀奇的方法之一，要数18世纪法国的博物学家C·布丰和他的投针实验：在一个平面上，用尺画一组相距为d的平行线；一根长度小于d的针，扔到画了线的平面上；如果针与线相交，则该次扔出被认为是有利的，否则则是不利的．布丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含π的表示式．如果针的长度等于d，那么有利扔出的概率为2/π．扔的次数越多，由此能求出越为精确的π的值．公元1901年，意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针，给出π的值为3．1415929——准确到小数后6位．不过，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针，他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰的质疑．通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π，这是着实令人惊讶的！证明下面就是一个简单而巧妙的证明。

找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d。

可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。

蒲丰氏投针问题的模拟过程，随机数发生器也是自编的，以供大家参考和提出建议。

谢谢。

（seed1和seed2最好选择3和5，为了使投针次数达到1000000，CVF进行如下设置Project->settings->link->output，将stack allocations reserve:设为1000000000）program getpiimplicit nonereal,parameter::a=5,L=4,pi=3.14159integer::n1,i,counter=0real,allocatable::R1(:),R2(:)real::theta,x,pi1write(*,*) 'input the size of the array:'read(*,*) n1allocate(R1(n1))allocate(R2(n1))call random(n1,R1,R2)do i=1,n1x=a*(2*R1(i)-1)theta=pi*R2(i)if(abs(x)<L*sin(theta)) counter=counter+1end dopi1=(1.0*n1)/(counter*1.0)*(2.0*L/a)write(*,*) 'this is PI:'write(*,*) piwrite(*,"('this is ratio of counter to total number',F10.6)")1.0&*counter/n1stopend programsubroutine random(n,R1,R2)implicit noneinteger n,seed1,seed2,i,little,mreal::R1(n),R2(n)integer::temp1(n),temp2(n)write(*,*) 'input seed1'read(*,*) seed1write(*,*) 'input seed2'read(*,*) seed2m=2**30m=m*2-1temp1(1)=397204094temp2(1)=temp1(1)R1(1)=(1.0*temp1(1))/(1.0*m)R2(1)=(1.0*temp2(1))/(1.0*m)little=0if(R1(1)<0.5) little=little+1do i=1,n-1temp1(i+1)=mod(seed1*temp1(i),m)R1(i+1)=(1.0*temp1(i+1))/(1.0*m)temp2(i+1)=mod(seed2*temp2(i),m)R2(i+1)=(1.0*temp2(i+1))/(1.0*m)if(R1(i+1)<0.5) little=little+1 .end do ;write(*,*) 'ratio of number which is little than 0.5'write(*,*) 1.0*little/nreturnend subroutine拟蒙特卡洛方法(Quasi-Monte Carlo)积分实例%使用Matlab提供的函数求积分,exp(-1/2*x^2)在(0,1)间积分 format long; syms xa = sym(1/2);f = exp(-a*x^2);ezplot(f)disp(int(f,-1,1));fprintf('integral result:%1.18f.\n',double(int(f,0,1)));%disp(double(int(f,0,1)));复制代码%使用拟蒙特卡洛方法积分%得到拟蒙特卡洛序列,即低偏差序列,halton法%如果有相关的工具箱的话,可以用Matlab里面的haltonset,faureset,sobolset 函数实现,x=halton(10000,2,5577);n=length(x);mju=0;for i=1:nmju=mju + exp(-0.5*x(i)^2);endmju=mju/n;fprintf('Quasi-Monte Carlo result:%1.18f.\n',mju);%disp(mju);%使用蒙特卡洛方法积分%得到Uniform序列,x=random('unif',0,1,10000,1);n=length(x);mju=0;for i=1:nmju=mju + exp(-0.5*x(i)^2);endmju=mju/n;fprintf('Monte Carlo result:%1.18f.\n',mju);%=============生成HALTON序列======================== function result = halton( m,base,seeder )%生成HALTON序列% Check inputsif nargin < 3seeder = 0;if nargin < 2error('MATLAB:Halton:NotEnoughInputs',...'Not enough input arguments. See Halton.'); endendres=0;n=length(base);for i=1:mfor j=1:nelement=0;temp=seeder+i;k=1;while temp>0element(k)=rem(temp,base(j));temp=fix(temp/base(j));k=k+1;endres(i,j)= 0;for k=1:length(element)res(i,j)=res(i,j)+element(k)/(base(j)^k); endendendresult=res;。

数学趣话：数学原来这么有趣-高中数学公式背后的故事也许，此时的你正被数学老师的作业压抑得喘不过气来，被函数、立体几何、线性回归折磨得只想放弃。

但你可能不知道，数学有他本身的美，数学的背后，有许多有趣的故事。

音乐家说数学是世界上最和谐的音符。

植物学家说世界上没有比数学更美的花朵。

美学家说哪里有数学，哪里才有真正的美。

哲学家说你可以不相信上帝，但是你必需相信数学，世界什么都在变，唯有数学是永恒的。

其实你一点都不讨厌数学可能你对以上的各种回答还不能产生共鸣，因为，正处于学生生涯的你（尤其是文科生），只想说：数学是我的噩梦！英国学生 Rory Kirkman 在数学考试两次失败后，把可恨的二次方程求根公式纹在了身上我们真的那么讨厌数学吗？今天，就让我们来一次伟大的数学公式巡礼。

如果在课堂上，老师告诉了你数学公式背后有这么多有趣的故事，你会爱上数学吗？伟大的数学公式巡礼NO.1 世上最简单的公式稍有数学阅历的人都有这样的直觉，凡是“简洁”的公式都会给人以美感。

而 1+1=2，这是所有公式中最简单明了的一个了，我们只有把它的发明归功于上帝。

公式背后的故事：尽管从远古起人们都心照不宣地知道 1＋1＝2，但直到1557年的某一天，这一等式才写成类似于我们今天的形式。

也就是说等号这个每个等式中都有的成分直到16世纪才第一次出场亮相。

NO.2 毕达哥拉斯定理即勾股定理。

“勾三股四弦五”，这一定理是如此地深入每一个地球人的心灵。

它是人类早期发现并证明的重要数学定理之一（公元前约三千年的古巴比伦书版中就有记载），也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

公式背后的故事：毕达哥拉斯是古希腊传统数学和哲学的创始人。

以他的名字命名的学派是一个个人崇拜的秘密组织，鼓吹节欲、尊长和一夫一妻制。

他认为，世界万物都是由数字统治的，他用数字推断人的命运，如奇数被认为与男性有关，而偶数与女性有关。

投针试验投针问题1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题。

投针步骤这一方法的步骤是：1）取一张白纸，在上面画上许多条间距为a的平行线。

2）取一根长度为l（l<a）的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m3）计算针与直线相交的概率．18世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为l（l<a）的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率。

”布丰本人证明了，这个概率是p=2l/（πd) π为圆周率利用这个公式可以用概率的方法得到圆周率的近似值。

下面是一些资料试验者时间投掷次数相交次数圆周率估计值Wolf1850年5000 2532 3.1596Smith 1855年3204 1218.5 3.1554C.De Morgan 1680年600 382.5 3.137Fox1884年1030 489 3.1595Lazzerini 1901年3408 1808 3.1415929Reina 1925年2520 859 3.1795设这三个正数为x，y，z，不妨设x≤y≤z，对于每一个确定的z，则必须满足x+y>z，x&sup2;+y&sup2；﹤z&sup2；，容易证明这两个式子即为以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的充要条件，用线性规划可知满足题设的可行域为直线x+y=z与圆x&sup2;+y&sup2;=z&sup2；围成的弓形，总的可行域为一个边长为z的正方形，则可以围成一个钝角三角形的概率P=S弓形/S正方形=（πz&sup2;/4-z&sup2;/2）/z&sup2;=（π-2）/4.因为对于每一个z，这个概率都为（π-2）/4，因此对于任意的正数x，y，z，有P=（π-2）/4，命题得证。

匪夷所思的数学实验——布丰投针问题把一根质量均匀的小棒向一个画了一些平行线的平面上随意地扔几千下，就能得到连一台计算能力比较强的计算机也要算上好长时间的有六个准确数字的圆周率π的近似值，你相信吗？肯定有很多人不相信。

事实上，确实有这样的数学实验。

1777年的一天，法国的博物学家C·布丰伯爵的家里宾客满堂，他们是应主人的邀请来观看一次奇特的试验的。

年已古稀的布丰拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。

他又拿出一大把准备好的小针，这些小针都是平行线间距离的一半。

布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根地往纸上扔吧！不过，请大家务必把针与纸上的线相交的次数告诉我。

”客人们遵照主人的意愿，加入了试验的行列。

一把小针扔完了，把它们捡起来再扔，布丰则把小针与平行线相交的次数记了下来。

实验进行了将近一个小时才结束。

布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。

总数2212与相交数704的比值为3. 142。

”停了一下，布丰先生继续说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！”布丰1777年出版了一本名叫《或然性的算术试验》，在这本书，他介绍了著名的“投针实验”：在一个水平面上画上一些平行线，使它们相邻两条直线之间的距离都为a，然后，把一个长为l(l<a)的均匀小针任意抛到这一平面上去。

如果针与这组平行线中的任一条直线相交，则该次扔出被认为是有利的，否则则认为是不利的。

如果投针的次数为n，有利的扔出次数为m，那么当n相当大时有：。

这就是著名的布丰公式。

如果小针的长度等于a，那么当n相当大时有。

这样，只需实际去进行大量次数的这样的实验，并计算有利的次数，就可以通过上面的公式求出π的近似值。

扔的次数越多，由此能求出越为精确的π的值。

这就是利用概率求π值的方法。

后来有不少人按照布丰设计的方法来计算π值。

1901年，意大利数学家拉兹瑞尼宣称进行了多次投针试验，每次投针数为3408次，平均相交数为2169. 6次，代入布丰公式，求得π≈3.1415929——准确到小数后六位。