数列中的分奇偶问题

数列的奇偶项问题教学同学们，今天咱们来唠唠数列里一个特别有趣的事儿——奇偶项问题。

这就好比数列这个大家族里，突然分成了两个小帮派，一个是奇数项组成的帮派，一个是偶数项组成的帮派。

一、为啥要研究奇偶项呢？你们想啊，数列有时候就像一个调皮的小怪兽，它的规律不是那么一目了然的。

有时候整个数列看起来乱乱的，但是当我们把它的奇数项和偶数项单独拎出来看的时候，哇塞，就像给这个小怪兽打了一针镇定剂，规律一下子就清晰了。

比如说，有些数列的奇数项可能是一个等差数列，而偶数项可能是一个等比数列呢。

这就像是这个数列在玩一种特别的游戏，奇数项和偶数项有各自的玩法。

二、怎么识别奇偶项问题呢？这就像是侦探找线索一样。

当你看到数列的通项公式或者递推公式里，有那种和项数的奇偶性有关的东西，那你就得小心喽，这很可能就是奇偶项问题在向你招手呢。

比如说，递推公式里有类似“当n为奇数时，an + 1 = f(an)”，“当n为偶数时，an + 1 = g(an)”这样的描述，或者通项公式里有根据n是奇数还是偶数而有不同表达式的情况，这就像是数列在给你发送信号：“我这里有奇偶项的秘密哦！”三、具体例子来一波1. 通项公式的奇偶项咱们来看个例子哈，an = {n, n为奇数；2n, n为偶数}。

这个数列就很直白地告诉我们它的奇偶项规律了。

奇数项就是n，那就是1、3、5、7……这样的数；偶数项呢，就是2n，那就是2×2 = 4，2×4 = 8，2×6 = 12……这样的数。

你看，奇数项和偶数项就像两条不同轨道上的小火车，各自按照自己的速度和方向行驶。

2. 递推公式的奇偶项再看这个递推公式：当n为奇数时，an + 1 = an + 2；当n为偶数时，an + 1 = 2an。

咱们从第一项a1 = 1开始。

因为1是奇数，所以a2 = a1 + 2 = 1+ 2 = 3。

现在2是偶数了，那么a3 = 2a2 = 2×3 = 6。

数列奇偶项问题解题技巧
数列奇偶项问题是数列中常见的一类问题，通常要求我们根据数列中奇偶项的特点来确定数列某一项的值或者数列的通项公式。

下面给出数列奇偶项问题的解题技巧。

1.观察数列前几项，看看能否找到规律。

如果数列前几项有明显的规律，可以推测出数列的通项公式。

2.判断数列中奇偶项的取值情况。

如果数列中奇偶项的取值有明显的差别，可以通过奇偶性对数列进行分类讨论，进而确定数列的通项公式。

3.利用数列的性质进行推理。

如等差数列、等比数列等，可以通过利用数列的性质，将数列进行变形，进而求出数列中某一项的值或者数列的通项公式。

4.利用递推式求解。

如果数列可以表示为递推式，那么可以通过递推式来求出数列中某一项的值或者数列的通项公式。

5.利用数学工具求解。

对于比较复杂的数列问题，可以借助数学工具，如数学归纳法、数列极限等来求解。

总之，对于数列奇偶项问题，要善于观察数列的特点，灵活运用解题技巧，才能较为高效地解决问题。

高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解第18讲数列中的奇、偶项问题高考定位数列的奇、偶项问题，是近年来的高考的热点问题，考察了学生的分类与整合能力，考察了学生的探究发现的能力，也是今后考察的热点。

专题解析（1）求通项和求和时，分奇数项与偶数项分别表达；（2）求S n时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.专项突破类型一、数列中连续两项和或积的问题(a n＋a n＋1＝f(n)或a n·a n＋1＝f(n))；例1-1.已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＋a n＝4n.(1)求数列{a n}的前100项和S100；(2)求数列{a n}的通项公式.解(1)∵a1＝1，a n＋1＋a n＝4n，∴S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝4×1＋4×3＋...＋4×99＝4×(1＋3＋5＋ (99)＝4×502＝10 000.(2)由题意，a n ＋1＋a n ＝4n ，①a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)，② 由②－①得，a n ＋2－a n ＝4， 由a 1＝1，a 1＋a 2＝4，所以a 2＝3.当n 为奇数时，a n ＝a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12－1×4＝2n －1， 当n 为偶数时，a n ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－1×4＝2n －1.综上所述，a n ＝2n －1.练．设各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，520S =，且2a ，61a -，11a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的公差d ；（2）数列{}n b 满足1n n n b b a ++=，且111b a +=，求数列{}n b 的通项公式． 【答案】 （1）1d =；（2）()11124n n n b -+-=+.【分析】（1）根据2a ，61a -，11a 成等比数列可得()262111a a a -=，利用1,a d 表示出520S =和()262111a a a -=，解方程组可求得1,a d ，结合0n a >可得结果；（2）由（1）可得11n n b b n +=-++，整理得()1131312424n n b n b n +⎛⎫--=---- ⎪⎝⎭，可知数列()13124n b n ⎧⎫---⎨⎬⎩⎭为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到结果.（1）（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，2a Q ，61a -，11a 成等比数列，()262111a a a ∴-=，即()()()21115110a d a d a d +-=++，又51545202S a d ⨯=+=，解得：121a d =⎧⎨=⎩或18217717a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；当18217717a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，13182842120171717a a d =+=-=-<，与0n a >矛盾，121a d =⎧∴⎨=⎩，即等差数列{}n a 的公差1d =； （2）由（1）得：1n a n =+，11n n b b n +∴+=+，即11n n b b n +=-++，()1131312424n n b n b n +⎛⎫∴--=---- ⎪⎝⎭，又1121b a +==，解得：11b =，∴数列()13124n b n ⎧⎫---⎨⎬⎩⎭是以13144b -=为首项，1-为公比的等比数列， ()()113111244n n b n -∴---=-⨯，整理可得：()11124n n n b -+-=+.练．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，121()n n a a n n N +++=+∈，则数列1{}nS 的前2020项的和为（） A ．20202021B ．40402021C ．40392020D ．40412022【答案】B 【分析】首先根据已知条件求得n a ，然后求得n S ，利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，121n n a a n ++=+，则2132a a =-=. 所以2123n n a a n +++=+，两式相减得：22n n a a +-=，且11a =，22a =， 当n 为奇数时，11121122n n a a n n +⎛⎫=+-⨯=++-=⎪⎝⎭， 当n 为偶数时，212222n na a n n ⎛⎫=+-⨯=+-= ⎪⎝⎭，所以n a n =，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列. 所以(1)2n n n S +=， 故12112()(1)1n S n n n n ==-++，所以121111111112(1)2(1)22311n n T S S S n n n =++⋯+=-+-+⋯+-=-++，则2020140402(1)20212021T =-=. 故选：B例1-2.在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，记S n 为{a n }的前n 项和，b n ＝a 2n ＋a 2n－1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并写出其通项公式； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)求S n .解 (1)因为a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，所以a n ＋1·a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，所以a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . 因为b n ＝a 2n ＋a 2n －1，所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12，所以数列{b n }是公比为12的等比数列.因为a 1＝1，a 1·a 2＝12，所以a 2＝12，b 1＝a 1＋a 2＝32，所以b n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝32n ，n ∈N *.(2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列， 所以a 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，所以a n＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12，n 为奇数，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 2，n 为偶数.(3)因为S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝3－32n ，又S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3－32n －12n ＝3－42n ，所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3－32n2，n 为偶数，3－42n ＋12，n 为奇数.练．已知正项数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且12n nn aa S +=.数列{}n b 满足：1n a +(b 1+b 2)n n b a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记*n c n N =∈122n c c c +++<.【答案】 （1）(*)n a n n N =∈ （2）证明见解析 【分析】（1）根据题意得到12n n n a a S +=和112(2)n n n a a S n --=≥，两式相减得112(2)n n a a n +--=≥，解得答案.（2）计算1(1)n b n n =+，n c =n c <和n c >，利用裂项相消法计算得到证明. （1）由12n n n a a S +=得112(2)n n n a a S n --=≥，两式相减得112(2)n n a a n +--=≥，由11a =，得22a =，数列的偶数项和奇数项分别是公差为2的等差数列， 当n 为奇数时，n a n =，当n 为偶数时，n a n =. 综上所述(*)n a n n N =∈. （2） 由1211n n n a nb b b a n ++++==+，1211n n b b b n --+++=，2n ≥，112b =， 两式相减得1(1)n b n n =+，2n ≥，验证112b =成立，故1(1)n b n n =+.则n c那么n c =，故12111112(1)2231n c c c nn +++<-+-++-+=2(12<，同理n c，故121111112()233412n c c c n n +++>-+-+-++.类型二、含有(－1)n 的类型；例2-1.数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，数列{b n }满足b n ＝a n ＋1＋(－1)n a n ，n ∈N *. (1)若数列{a n }是等差数列，求数列{b n }的前100项和S 100； (2)若数列{b n }是公差为2的等差数列，求数列{a n }的通项公式. 解 (1)∵{a n }为等差数列，且a 1＝1，a 2＝2，∴公差d ＝1，∴a n ＝n .∴b n ＝⎩⎨⎧a n ＋1－a n ＝1，n 为奇数，a n ＋1＋a n ＝2n ＋1，n 为偶数，即b n ＝⎩⎨⎧1，n 为奇数，2n ＋1，n 为偶数，∴b n 的前100项和S 100＝(b 1＋b 3＋...＋b 99)＋(b 2＋b 4＋...＋b 100) ＝50＋(5＋9＋13＋ (201)＝50＋50×5＋50×（50－1）2×4＝5 200.(2)由题意得，b 1＝a 2－a 1＝1，公差d ＝2， ∴b n ＝2n －1.∴⎩⎨⎧b 2n －1＝a 2n －a 2n －1＝4n －3， ①b 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＝4n －1， ② 由②－①得，a 2n ＋1＋a 2n －1＝2， ∴a 2n ＋1＝2－a 2n －1，又∵a 1＝1，∴a 1＝a 3＝a 5＝…＝1， ∴a 2n －1＝1，∴a 2n ＝4n －2， 综上所述，a n ＝⎩⎨⎧1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数.例2-2.设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)na n －12n ，n ∈N *.(1)求a 3；(2)求S 1＋S 2＋…＋S 100.解(1)令n＝4，则S4＝a4－124，∴S3＝－124.令n＝3，则S3＝－a3－1 23，∴a3＝－S3－123＝－124.(2)当n＝1时，a1＝－1 4；当n≥2时，a n ＝S n－S n－1＝(－1)n·a n－12n－(－1)n－1·a n－1＋12n－1＝(－1)n·a n＋(－1)n·a n－1＋12n ，即a n＝(－1)n·a n＋(－1)n·a n－1＋12n.(*)①当n为偶数时，由*式可得a n－1＋12n＝0，则a n－1＝－12n ，∴a n＝－12n＋1，此时n为奇数.②当n为奇数时，由*式可得a n－1＝－2a n＋12n＝－2·⎝⎛⎭⎪⎫－12n＋1＋12n＝12n－1，∴a n＝12n，此时n为偶数.综上所述，a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n ＋1，n 为奇数，12n，n 为偶数.∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(－a 1＋a 2)＋(－a 3＋a 4)＋…＋(－a 99＋a 100)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12100 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋116＋…＋12100－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12100＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1. 练 .数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A.200B.－200C.400D.－400 答案 B解析 S 100＝1－5＋9－…－397＝4×(－50)＝－200.练.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝12，[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *.(1)令b n ＝a 2n －1，判断{b n }是否为等差数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)记数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，求T 2n .解 (1)因为[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0， 所以[3＋(－1)2n －1]a 2n ＋1－2a 2n －1＋2[(－1)2n －1－1]＝0， 即a 2n ＋1－a 2n －1＝2，又b n ＝a 2n －1，所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1＝2，所以{b n }是以b 1＝a 1＝1为首项，2为公差的等差数列. 所以b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，n ∈N *.(2)对于[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0， 当n 为偶数时，可得(3＋1)a n ＋2－2a n ＋2(1－1)＝0， 即a n ＋2a n ＝12，所以a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列； 当n 为奇数时，可得(3－1)a n ＋2－2a n ＋2(－1－1)＝0， 即a n ＋2－a n ＝2，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ×1＋12n （n －1）×2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝n 2＋1－12n ，n ∈N *.类型三、含有{a 2n }，{a 2n －1}的类型；例3-1.已知数列{a n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 2n －1＝a 2n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝n a n a n ＋1(－1)n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)S 2n －1＝（2n －1）（a 1＋a 2n －1）2＝a n (2n －1)＝a 2n ，∵a n ≠0，∴a n ＝2n －1(n ∈N *). (2)b n ＝n a n a n ＋1(－1)n ＝n （2n －1）（2n ＋1）(－1)n ＝14⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1(－1)n ，当n 为偶数时T n ＝14⎝⎛⎭⎪⎫－11－13＋13＋15－15－17＋…＋12n －1＋12n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫－11＋12n ＋1＝－n4n ＋2，当n 为奇数时T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫－11－13＋13＋15－15－17＋…－12n －1－12n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫－11－12n ＋1＝－n －14n ＋2. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 4n ＋2，n 为偶数，－n ＋14n ＋2，n 为奇数.练．已知数列{}n a 满足11a =，()2211nn n a a -=+-，2123n n n a a +=+（*N n ∈），则数列{}n a 的前2017项的和为（） A ．100332005- B ．201632017- C ．100832017- D ．100932018-【答案】D 【分析】根据给定条件求出21{}n a -与2{}n a 的通项，进而求得212n n a a ++即可求出数列{}n a 的前2017项的和. 【详解】在数列{}n a 中，11a =，221(1)n n n a a -=+-，2123n n n a a +=+，*N n ∈， 则有1122212(1)3(1)n n n n n n a a a ++++=+-=++-，即12223(1)n n n n a a ++-=+-，而20a =，于是得2242642224222()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=+-+-++-+-223211[3(1)][3(1)][3(1)][3(1)]n n n n ---=+-++-+++-++-221231[3333][(1)(1)(1)(1)]n n n n ---=+++++-+-++-+-113(13)1(1)113(1)1131(1)22n n n n -----=+=⋅+⋅-----，因此，212222113232[3(1)1]322n n n n nn n n n n a a a a a ++=++=+=⋅+⋅--+23(1)2n n =⋅+--，则2017123456720162017()()()()S a a a a a a a a a =+++++++++2233100810081[23(1)2][23(1)2][23(1)2][23(1)2]=+⋅+--+⋅+--+⋅+--++⋅+--23100823100812(3333)[(1)(1)(1)(1)]21008=++++++-+-+-++--⋅100810093(13)12020163201813-=+⋅+-=--，数列{}n a 的前2017项的和为100932018-. 故选：D练．数列{}n a 满足11a =，21n n a a n --=（*n N ∈且2n ≥），数列{}21n a -为递增数列，数列{}2n a 为递减数列，且12a a >，则99a =（）． A ．4950- B ．4851- C ．4851 D ．4950【答案】D 【分析】由数列{}21n a -为递增数列，得到()()2122210n n n n a a a a +--+->，进而得出2120n n a a +->，又由数列{}2n a 为递减数列，得到()()22212120n n n n a a a a ++++-<-，得到22210n n a a ++-<， 得出当n 为奇数且3n ≥时，21n n a a n --=，当n 为偶数时，21n n a a n --=-，即可求解．【详解】因为数列{}21n a -为递增数列，所以2121n n a a -+<，即21210n n a a +-->，则()()2122210n n n n a a a a +--+->，由题意22212221(21)(2)n n n n a a n n a a +--=+>=-，则由()()212221212221n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-⎧-+->⎪⎨->-⎪⎩得2120n n a a +->，*n N ∈，因为数列{}2n a 为递减数列，所以222n n a a +>，即2220n n a a +-<， 则()()22212120n n n n a a a a ++++-<-，由题意得，222221(22)(21)n n a a n n ++-=+>+212n n a a +=-，由()()222121222213120n n n n n n n na a a a a a a a ++++++⎧-+-<⎪⎨->-⎪⎩，可得22210n n a a ++-<，*n N ∈，又12a a >，即210a a -<，所以当n 为奇数且3n ≥时，21n n a a n --=； 当n 为偶数时，21n n a a n --=-． 所以99a =()()()()999898979796211a a a a a a a a a -+-+-++-+…2222229998979632199=-+-++-+=+…9897963214950++++++=…．故选：D ．类型四、已知条件明确的奇偶项问题. 例4-1.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧12a n ＋n －1，n 为奇数，a n－2n ，n 为偶数，记b n ＝a 2n ，求证：数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式.证明 ∵b n ＋1＝a 2(n ＋1)＝12a 2n ＋1＋2n ＋1－1＝12a 2n ＋1＋2n＝12(a 2n －2·2n )＋2n ＝12a 2n ＝12b n ， ∴{b n }为等比数列，且公比q ＝12.又b 1＝12a 1＝12，可得b n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， 所以，当n 为偶数时，a n ＝b n2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n；当n 为奇数且n ≥3时，a n ＝a (n －1)＋1＝a (n －1)－2(n －1)＝b n －12－2(n －1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12（n －1）－2(n －1)，可验证a 1＝1也符合上式，综上所述，a n＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12（n －1）－2（n －1），n 为奇数，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，n 为偶数.练.已知数列{a n }满足a n＝⎩⎨⎧n2an ＋12＋12，n 为正奇数，2a n 2＋n2，n 为正偶数.(1)问数列{a n }是否为等差数列或等比数列？说明理由；(2)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a 2n 2n 是等差数列，并求数列{a 2n }的通项公式.(1)解 由a 1＝12a 1＋12＋12＝12a 1＋12⇒a 1＝1，a 2＝2a 22＋22＝2a 1＋1＝3，a 3＝32a 3＋12＋12＝32a 2＋12＝5，a 4＝2a 42＋42＝2a 2＋2＝8.∵a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，∴a 3－a 2≠a 4－a 3， ∴数列{a n }不是等差数列.又∵a 2a 1＝3，a 3a 2＝53，∴a 2a 1≠a 3a 2，∴数列{a n }也不是等比数列.(2)证明 ∵对任意正整数n ，a 2n ＋1＝2a 2n ＋2n ， ∴a 2n ＋12n ＋1－a 2n 2n＝12，a 22＝32，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a 2n 2n 是首项为32，公差为12的等差数列，从而对∀n ∈N *，a 2n 2n＝32＋n －12，则a 2n ＝(n ＋2)·2n －1. ∴数列{a 2n }的通项公式是a 2n ＝(n ＋2)·2n －1(n ∈N *).练．数列{}n a 且21,212sin ,24n n k n na n n k π⎧=-⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩()k N *∈，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2021S =__________.【答案】30342023【分析】由题意，当n 为奇数时，21111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭；当n 为偶数时，sin 4n n a π=.然后根据分组求和法、裂项相消求和法及三角函数的周期性即可求解.【详解】解：数列{}n a 且21,212sin ,24n n k n na n n k π⎧=-⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩()k N *∈， ①当n 为奇数时，21111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，②当n 为偶数时，sin4n n a π=，24680a a a a +++=，则偶数项和为()()246810121416a a a a a a a a ++++++++()20102012201420162018202020182024201a a a a a a a a a a +++++++==+=，所以()()2021132021242020S a a a a a a =+++++++1111111233520212023⎛⎫=-+-++- ⎪⎝⎭101130341120232023+=+=， 故答案为:30342023. 练．已知n S 数列{}n a 的前n 项和，1a λ=，且21(1)n n n a a n ++=-，若201920192101020192019S a μ-=-，（其中,0λμ>），则20191λμ+的最小值是（）A ．B ．4C ．D ．2018【答案】B 【分析】由21(1)n n n a a n ++=-，可得2221223341,2,3a a a a a a +=-+=+=-，2245201820194,,2018a a a a +=+=，以上各式相加得可求得()12345201820192a a a a a a a +++++++，结合201920192101020192019S a μ-=-，根据均值不等式，即可求得答案. 【详解】21(1)n n n a a n ++=-∴2221223341,2,3a a a a a a +=-+=+=-，2245201820194,,2018a a a a +=+=，以上各式相加得，()22222212345201820192123420172018a a a a a a a +++++++=-+-+--+，()()()2222222019120192123420172018S a a ∴--=-++-+++-+(21)(21)(43)(43)(20182017)(20182017)=-⨯++-⨯+++-⨯+，12342017201820191009=++++++=⨯20192019121009201920192019S a a∴-=+ 又201920192101020192019S a μ-=-， 1100910102019a μ∴+=-， 即112019a μ+=， 又1a λ=，20191201912019λμλμλμ⎛⎫⎛⎫∴+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭201911242019μλλμ=++++…， 当且仅当20192019μλλμ=时等号成立，故选：B ．练．已知数列{}n a 满足12a =，23a =且*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，则该数列的前9项之和为（） A ．32 B ．43C ．34D ．35【答案】C 【分析】讨论n 为奇数、偶数的情况数列{}n a 的性质，并写出对应通项公式，进而应用分组求和的方法求数列的前9项之和.【详解】*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，∴当n 为奇数时，21210n n a a +--=，则数列21{}n a -是常数列，2112n a a -==；当n 为偶数时，2222n n a a +-=，则数列2{}n a 是以23a =为首项，公差为2的等差数列，129139248()()a a a a a a a a a ∴+++=+++++++4325(342)2⨯=⨯+⨯+⨯34=. 故选：C练．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1(1),N 2n n n n S a n =--∈，则12100S S S +++=（ ）A ．10011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ B ．9811132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．5011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ D ．4911132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【答案】A 【分析】由递推式求出数列的首项,当2n ≥时分n 为偶数和奇数求出n a ,代入*1(1),2n n n nS a n N =--∈后分组,然后利用等比数列的前n 项和公式求解. 【详解】由*1(1),2n n a n S a n =--∈N ，当1n =时，1112S a =--，得114a =-；当2n ≥时，111111(1)(1)22----=-=----+nn n n n n n n n a S S a a ，即11(1)(1)2n nn n n na a a -=-+-+. 当n 为偶数时，11(2)2n n a n -=-≥，所以112n n a +=-（n 为正奇数）， 当n 为奇数时，11111112(2)2222n n n n nn a a -+-⎛⎫=-+=--+= ⎪⎝⎭，所以12n na =（n 为正偶数），所以122211,22a a -==，所以412342411112,,2222a a a a -+=⨯=-==，所以34991004310010011112,,,2222a a a a -+=⨯=⋯-==，所以991001009911222a a -+=⨯=.因为123100S S S S ++++()()()()12345699100a a a a a a a a =-++-++-+++-+-2100111222⎛⎫+++⎪⎝⎭359911112222=++++2100111222⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭501001111112422111142⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=--10011132⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：A练．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()212n n n S S a n -+=≥，设()()121nn nna b S -+=，则数列{}n b 前n 项和的取值范围为_________．【答案】32,11,23⎡⎫⎛⎤--⋃--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【分析】根据n n S a ，之间关系可得数列{}n a 为等差数列并得到n a ，然后得到n b ，根据裂项相消可得数列{}n b 前n 项和，最后进行判断即可. 【详解】由21n n n S S a -+=①，则211n n n S S a +++=②②-①化简可得：()()1110n n n n a a a a ++--+=，又0n a >，所以()112n n a a n +-=≥当2n =时，21212122222a a S S a a a a +=⇒++=⇒= 所以211a a -=符号11n n a a +-=，故数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列 所以n a n =，则()12n n nS +=所以()()()()2112111112nn n n n b n n n ⋅-+==⋅⎛⎫+ ⎪+⎝+⎭- 令设数列{}n b 前n 项和n T 所以()()111111121...11223341n nn T n n ⎡⎤=--++--++-⋅+-⋅⎢⎥+⎣⎦所以11,1111n n n T n n ⎧-⎪⎪+=⎨⎪--⎪+⎩为偶数，为奇数， 当n 为偶数时，111n T n =-+，则12133n T ≤-=-且1n T >- 当n 为奇数时，111n T n =--+，则13122n T ≥--=-且1n T <- 综上所述：32,11,23n T ⎡⎫⎛⎤∈--⋃--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦故答案为：32,11,23⎡⎫⎛⎤--⋃--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦练．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1(1)2n n n n S a =-+，则1211S S S ++⋯+=_____. 【答案】13654096 【分析】运用数列的递推式，讨论n 为奇数或偶数，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和.【详解】解：()112n n n nS a =-+， 当1n =时，11112a S a ==-+，解得114a =，2n ≥时，1n n n a S S -=-， 可得()()1112n n n n nS S S -=--+， 当n 为偶数时，112n n n S S S π-=-+，即有1n12n S -=； 当n 为奇数（3n ≥）时，()112n n n S S S π-=--+， 可得1122n n n S S -=-=1112022n n +⋅-=， 即有121114S S S +++=110001664+++++++1212 61111365441409614⎛⎫- ⎪⎝⎭==-. 故答案为13654096.。

数列中的奇偶项问题题型一、等差等比奇偶项问题(1)已知数列{}n a 为等差数列，其前12项和为354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为32/27，则这个数列的公差为________(2)等比数列{}n a 的首项为1，项数为偶数，且奇数项和为85，偶数项和为170，则数列的项数为_______(3)已知等差数列{}n a 的项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，则数列的中间项为_________；项数为_____________题型二、数列中连续两项和或积的问题（()1n n a a f n ++=或()1n n a a f n +⋅=）1．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作数列的公和．已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，那么18a 的值为________，这个数列的前n 项和n S 的计算公式为___________________2．若数列{}n a 满足：11a =，14n n a a n ++=，则数列{}21n a -的前n 项和是_____________3．若数列{}n a 满足：11a =，14n n n a a +=，则{}n a 的前2n 项和是___________4．已知数列{}n a 中，11a =，11()2n n n a a +⋅=，记n S 为{}n a 的前n 项的和，221n n n b a a -=+，N n *∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并求出n b ； （Ⅲ）求n S .5．（2017年9月苏州高三暑假开学调研，19） 已知数列{}n a 满足()*143n n a a n n N ++=-∈.（1）若数列{}n a 是等差数列，求1a 的值；（2）当12a =时，求数列{}n a 的前n 项和n S ；6．（2015江苏无锡高三上学期期末，19）在数列{}n a ，{}n b 中，已知10a =,21a =,11b =,212b =，数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n b 的前n 项和为n T ,且满足21n n S S n ++=，2123n n n T T T ++=-，其中n 为正整数.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (2)问是否存在正整数m ，n ，使121n m n T mb T m++->+-成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(),m n ，若不存在，请说明理由.题型三、含有()1n-类型1．已知()1123456..........1n n S n -=-+-+-+-，则173350S S S ++=_____________2．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则的前60项和为________3．数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，22a =，()211nn n a a +-=+-，*n ∈N ，则100S =______ 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()112nn n nS a =--，*n N ∈，则123100..........S S S S +++=____5．已知数列}{n a 满足11a =-，21a =，且*22(1)()2n n n a a n N ++-=∈.（1）求65a a +的值；（2）设n S 为数列}{n a 的前n 项的和，求n S ；题型四、含有{}2n a 、{}21n a-类型1．(2017.5盐城三模11)．设数列{}n a 的首项11a =，且满足21212n n a a +-=与2211n n a a -=+，则20S = ．2．（镇江市2017届高三上学期期末）已知*∈N n ，数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且2121==a a ,，设n n n a a b 212+=-． （1）若数列{}n b 是公比为3的等比数列，求n S 2；（2）若)(1232-=nn S ，数列{}1+n n a a 也为等比数列，求数列的{}n a 通项公式．3．【2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知数列{}n a 满足*1221212221,2,2,3,()n n n n a a a a a a n N +-+===+=∈.数列{}n a 前n 项和为n S .(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值；4．（苏州市2018届高三第一学期期中质检，20）已知数列{}n a 各项均为正数，11a =,22a =，且312n n n n a a a a +++=对任意*n ∈N 恒成立，记{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若33a =，求5a 的值；（2）证明：对任意正实数p ，{}221n n a pa ++成等比数列；（3）是否存在正实数t ，使得数列{}n S t +为等比数列．若存在，求出此时n a 和n S 的表达式；若不存在，说明理由．题型五、已知条件明确奇偶项问题1．（无锡市2018届高三第一学期期中质检，19）已知数列{}n a 满足1133,1,1,n n n a n n a a a n n ++ ⎧⎪==⎨---⎪⎩为奇数为偶数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，*2,n n b a n =∈N . （1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项n b ； （2）求n S ；（3）问是否存正整数n ，使得212n n n S b S +＞＞成立？说明理由.2．已知数列{}n a 中，11a =，()()1133n n n n n a n a a n ++=-⎧⎪⎨⎪⎩为奇数为偶数，设232n n b a -=（1）证明数列{}n b 是等比数列（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项的和，求2n S （3）探求满足0n S >的所有正整数n3．(2015江苏省连云港、徐州、宿迁三模19)．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21122n n n S a a =+，*n N ∈n ∈N *．正项等比数列{}n b 满足：22b a =，46b a =，（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设()*,21,2n n na n k cb n k k N =-⎧⎪=⎨=∈⎪⎩，数列{}nc 的前n 项和为n T ，求所有正整数m 的值，使得221nn T T -恰好为数列{}n c 中的项．。

奇偶项数列题解题技巧
在解题过程中，奇偶项数列是一类常见的题型，需要根据规律找出数列中奇数项和偶数项的特点。

下面列举几种解题技巧，帮助我们更好地解答奇偶项数列题目。

1. 观察数列规律：首先要观察数列的前几项，寻找规律。

有时候可以通过列出数列的前几项，找到奇数项和偶数项之间的关系。

例如，数列的奇数项可能是等差数列，而偶数项可能是等比数列。

2. 利用递推关系：有时候数列的奇偶项之间存在递推关系。

可以通过观察数列的差值或倍数关系，找到奇偶项之间的递推规律。

例如，奇数项可能是前一项加上一个固定的数，而偶数项可能是前一项乘以一个固定的数。

3. 利用数学公式：有时候数列的奇偶项可以表示为数学公式。

可以通过观察数列的特点，建立起奇数项和偶数项之间的数学关系。

例如，数列的奇数项可以表示为2n-1，而偶数项可以表示为2n。

4. 奇偶项分别求和：有时候需要计算数列中奇数项和偶数项的和。

可以将数列分成奇数项和偶数项两个数列，然后分别求和。

这样可以简化计算过程，提高解题效率。

5. 利用数学归纳法：有时候可以利用数学归纳法证明数列中奇数项和偶数项的
性质。

通过证明数列的前几项成立，再假设对于第n项成立，最后证明对于第n+1项也成立。

这样可以得到奇数项和偶数项之间的关系，进而解题。

总之，解答奇偶项数列题目需要观察数列的规律，寻找奇数项和偶数项之间的关系。

通过运用递推关系、数学公式、数学归纳法等技巧，可以更好地解答这类题目。

同时，需要进行举一反三，多做练习，提高解题能力。

数列中的奇偶项问题一、真题剖析【2020年新课标1卷文科】数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1，前16项和为540，则a1=_____ ________【试题情景】本题属于课程学习情景，本题以数列中的两项之间的关系为载体，考查数列中的项。

【必备知识】本题考查数列中的递推公式以及通项公式，并项求和等问题·【能力素养】本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理想思维和数学探索，对n为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用a1表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立a1方程，求解即可得出结论.【答案】7【解析】a n+2+(-1)n a n=3n-1，当n为奇数时，a n+2=a n+3n-1；当n为偶数时，a n+2+a n=3n-1.设数列a n的前n项和为S n，S16=a1+a2+a3+a4+⋯+a16=a1+a3+a5⋯+a15+(a2+a4)+⋯(a14+a16)=a1+(a1+2)+(a1+10)+(a1+24)+(a1+44)+(a1+70)+(a1+102)+(a1+140)+(5+17+29+41)=8a1+392+92=8a1+484=540，∴a1=7.故答案为：7.二、题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和例1.(2022·南京9月学情【零模】)(本小题满分10分)已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，S3= 7a1，且a1，a2+2，a3成等差数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=a n，n为奇数，n，n为偶数，求数列{bn}的前2n项和T2n．【解析】(1)因为数列{a n}为正项等比数列，记其公比为q，则q>0．因为S3=7a1，所以a1+a2+a3=7a1，即a3+a2-6a1=0，因此q2+q-6=0，解得q=2或-3，从而q=2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分又a1，a2+2，a3成等差数列，所以2(a2+2)=a1+a3，即2(2a1+2)=a1+4a1，解得a1=4．因此a n=4×2n-1=2n+1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)因为b n=a n，n为奇数，n，n为偶数，所以T2n=(b1+b3+⋯+b2n-1)+(b2+b4+⋯+b2n)=(a1+a3+⋯+a2n-1)+(2+4+⋯+2n)=(22+24+⋯+22n)+(2+4+⋯+2n))⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分=4×1-4n1-4+(2+2n)n2=n2+n+4n+1-43．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分变式1.(2022·江苏南京市金陵中学高三10月月考)已知等差数列{a n}前n项和为S n(n∈N+)，数列{b n}是等比数列，a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若c n=2S n,n为奇数b n,n为偶数，设数列{c n}的前n项和为T n，求T2n.【答案】(1)a n=2n+1，b n=2n-1；(2)1+22n+13-12n+1.【解析】【分析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q(q≠0)，根据等差等比数列通项公式基本量的计算可得结果；(2)求出S n=n(3+2n+1)2=n(n+2)，代入可得c n=2n(n+2)=1n-1n+2，n为奇数2n-1，n为偶数，再分组求和，利用裂项求和和等比数列的求和公式可求得结果.【详解】(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q(q≠0)，∵a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3，∴q+3+3+d=103+4d-2q=3+2d ，∴d=2，q=2，∴a n=2n+1，b n=2n-1；公众号：高中数学最新试题(2)由(1)知，S n=n(3+2n+1)2=n(n+2)，∴c n=2n(n+2)=1n-1n+2，n为奇数2n-1，n为偶数，∴T2n=1-13+13-15+⋅⋅⋅+12n-1-1 2n+1+(21+23+25+⋅⋅⋅+22n-1)=1-12n+1+2(1-4n) 1-4=1+22n+13-12n+1.变式2.(2022·山东·潍坊一中模拟预测)已知数列a n满足a12+a222+⋅⋅⋅+a n2n=n2n．(1)求数列a n的通项公式；(2)对任意的n∈N∗，令b n=2-n,n为奇数22-n,为偶数，求数列bn的前n项和S n．【解析】(1)当n=1时，得a12=12，解得a1=1；当n≥2时，可得a12+a222+⋅⋅⋅+a n2n=n2n①a1 2+a222+⋅⋅⋅+a n-12n-1=n-12n-1②，由①-②，得a n2n=n2n-n-12n-1=2-n2n，a n=2-n，当n=1时，a1=2-1=1也符合，所以数列a n的通项公式为a n=2-n．(2)由(1)知b n=2-n,n为奇数22-n,为偶数.当n为偶数时，S n=1+-1+-3+⋅⋅⋅+2-n-1+20+2-2+⋅⋅⋅+22-n=1+3-nn22+1-14 n21-14=4-nn4+431-12n=-3n2+12n+1612-13×2n-2；当n为奇数时，S n=S n+1-b n+1=-3n+12+12n+1+1612-13×2n-1-21-n=-3n2+6n+2512-43×2n-1．综上所述，S n =-3n 2+6n +2512-43×2n -1,n 为奇数-3n 2+12n +1612-13×2n -2,n 为偶数 ．变式3.(2022·湖南省雅礼中学开学考试)(10分)已知数列{a n }满足n 2a n +12+12，为正奇数，2a n 2+n 2，n 为正偶数．(1)问数列{a n }是否为等差数列或等比数列?说明理由．(2)求证：数列a 2n2n是等差数列，并求数列{a 2n}的通项公式．【解析】(1)由题意可知，a 1=12a 1+12+12=12a 1+12，所以a 1=1，a 2=2a 22+22=2a 1+1=3，a 3=32a 3+12+12=32a 2+12=5，a 4=2a 42+42=2a 2+2=8，因为a 3-a 2=2，a 4-a 3=3，a 3-a 2≠a 4-a 3，所以数列{a n }不是等差数列．又因为a 2a 1=3，a 3a 2=53，a2a 1≠a 3a 2所以数列{a n }也不是等比数列．(2)法一：因为对任意正整数n ，a 2n +1=2a 2n+2n ，a 2n +12n +1-a 2n2n =12，a 22=32，所以数列a 2n2n是首项为32，公差为72的等差数列．从而对 n ∈N *，a 2n2n =32+n -12，a 2n=(n +2)2n -1，所以数列{a 2n}的通项公式是a 2n=(n +2)2n -1(n ∈N *)．法二：因为对任意正整数n ，a 2n +1=2a 2n+2n ，得a 2n +1-(n +3)2n =2[a 2n-(n +2)2n -1]，且a 21-(1+2)21-1=a 2-3=0所以数列{a 2n-(n +2)2n -1}是每项均为0的常数列，从而对∀n ∈N *，a 2n=(n +2)2n -1，所以数列{a 2n}的通项公式是a 2n=(n +2)2n -1(n ∈N *)．∀n ∈N *，a 2n2n =n +22，a 2n +12n +1-a 2n2n =n +32-n +22，a 22=32，所以数列a 2n2n是首项为32，公差为12的等差数列题型二、含有(-1)n 类型公众号：高中数学最新试题例2.【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.【答案】(1)a n=2n-1，S n=n2；(2)T n=(-1)n n(n+1)2.【解析】【分析】(1)利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前n项和即可；(2)根据(1)中所求即可求得b n，对n分类讨论，结合等差数列的前n项和公式，即可容易求得结果.【详解】(1)由S5=5(a1+a5)2=5×2a32=5a3=25得a3=5.又因为a5=9，所以d=a5-a32=2，则a3=a1+2d=a1+4=5，解得a1=1；故a n=2n-1，S n=n(1+2n-1)2=n2.(2)b n=(-1)n n2.当n为偶数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-1+b n=-12+22+-32+42+⋯+-(n-1)2+n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[n-(n-1)]×[n+(n-1)] =1+2+3+⋯+(n-1)+n=n(n+1)2.当n为奇数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-2+b n-1+b n=-12+22+-32+42+-(n-2)2+(n-1)2-n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[(n-1)-(n-2)]×[(n-1)+(n-2)]-n2 =1+2+3+⋯+(n-2)+(n-1)-n2=(n-1)(1+n-1)2-n2=-n(n+1)2.综上得T n=(-1)n n(n+1)2.变式1.【2022·广东省深圳市育才中学10月月考】已知数列a n的前n项和为S n，且对任意正整数n，a n =34S n+2成立．(1)b n=log2a n，求数列b n的通项公式；(2)设c n=-1n+1n+1b n b n+1，求数列c n的前n项和T n．【答案】(1)a n=22n+1；(2)T n=1413+-1n+112n+3．【解析】【分析】(1)利用数列a n与S n的关系，即可求得数列a n的通项公式，代入b n=log2a n，即可求得数列b n的通项公式；(2)由(1)可知c n=14-1n+112n+1+12n+3，分n为奇数和偶数，分别求和.【详解】(1)在a n=34S n+2中令n=1得a1=8．因为对任意正整数n，a n=34S n+2成立，所以a n+1=34S n+1+2，两式相减得a n+1-a n=34a n+1，所以a n+1=4a n，又a1≠1，所以a n为等比数列，所以a n=8⋅4n-1=22n+1，所以b n=log222n+1=2n+1．(2)c n=-1n+1n+12n+12n+3=14-1n+14n+42n+12n+3=14-1n+112n+1+12n+3当n为偶数时，T n=1413+15-15+17+17+19-⋯-12n+1+12n+3=1413-12n+3，当n为奇数时，T n=1413+15-15+17+17+19-⋯+12n+1+12n+3=1413+12n+3．所以T n=1413+-1n+112n+3．变式2.(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列a n是正项等比数列，满足a3是2a1、3a2的等差中项，a4 =16．公众号：高中数学最新试题(1)求数列a n 的通项公式；(2)若b n =-1 n 2a 2n +1log ，求数列b n 的前n 项和T n ．【解析】(1)设等比数列a n 的公比为q ，因为a 3是2a 1、3a 2的等差中项，所以2a 3=2a 1+3a 2，即2a 1q 2=2a 1+3a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2-3q -2=0，解得q =2或q =-12，因为数列a n 是正项等比数列，所以q =2．因为a 4=16，即a 4=a 1q 3=8a 1=16，解得a 1=2，所以a n =2×2n -1=2n ；(2)解法一：(分奇偶、并项求和)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，①若n 为偶数，T n =-3+5-7+9-L -2n -1 +2n +1 =-3+5 +-7+9 +L +-2n -1 +2n +1 =2×n2=n ；②若n 为奇数，当n ≥3时，T n =T n -1+b n =n -1-2n +1 =-n -2，当n =1时，T 1=-3适合上式，综上得T n =n ,n 为偶数-n -2,n 为奇数(或T n =n +1 -1 n -1，n ∈N *)；解法二：(错位相减法)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，T n =-1 1×3+-1 2×5+-1 3×7+L +-1 n 2n +1 ，所以-T n =-1 2×3+-1 3×5+-1 4×7+L +-1 n +12n +1 所以2T n =-3+2-1 2+-1 3+L +-1 n --1 n +12n +1=-3+2×1--1 n -12+-1 n 2n +1 =-3+1--1 n -1+-1 n 2n +1=-2+2n +2 -1 n ，所以T n =n +1 -1 n -1，n ∈N *变式3.(2022·湖北·黄冈中学二模)已知数列a n 中，a 1=2,n a n +1-a n =a n +1.(1)求证：数列a n +1n是常数数列；(2)令b n =(-1)n a n ,S n 为数列b n 的前n 项和，求使得S n ≤-99的n 的最小值.【解析】(1)由n a n +1-a n =a n +1得：na n +1=n +1 a n +1，即a n +1n +1=a n n +1n n +1∴a n +1n +1=a n n +1n -1n +1，即有a n +1+1n +1=a n +1n,∴数列a n +1n 是常数数列；(2)由(1)知：a n +1n =a 1+1=3,∴a n =3n -1,∴b n =(-1)n 3n -1即b n =3n -1,n 为偶数-3n -1 ,n 为奇数，∴当n 为偶数时，S n =-2+5 +-8+11 +⋯+-3n -4 +3n -1 =3n2，显然S n ≤-99无解；当n 为奇数时，S n =S n +1-a n +1=3n +1 2-3n +1 -1 =-3n +12，令S n ≤-99，解得：n ≥66，结合n 为奇数得：n 的最小值为67.所以n 的最小值为67.题型三、a n +a n +1类型例3.(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n 满足a 1=1，a n +a n +1=2n ；数列b n 前n 项和为S n ，且b 1=1，2S n =b n +1-1.(1)求数列a n 和数列b n 的通项公式；(2)设c n =a n ⋅b n ，求c n 前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z ，b n =3n -1；(2)58n -5 9n8.【解析】【分析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，公众号：高中数学最新试题又b2=3，∴n≥2时，b n=3n-1，b1=1=30，∴b n=3n-1；(2)由(1)得c n=n3n-1,n=2k-1,k∈Zn-13n-1,n=2k,k∈Z，T2n=1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n-1⋅32n-2+1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n-1⋅32n-1= 41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n-1⋅32n-2设K n=1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n-1⋅32n-2①则9K n=1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n-1⋅32n②①-②得-8K n=1+232+34+⋅⋅⋅+32n-2-2n-1⋅32n=5+8n-59n-4，K n=5+8n-59n32，∴T2n=58n-59n8变式1.(2022·江苏苏州·高三期末)若数列a n满足a n+m=a n+d(m∈N*，d是不等于0的常数)对任意n∈N*恒成立，则称a n是周期为m，周期公差为d的“类周期等差数列”．已知在数列a n中，a1=1，a n+a n+1=4n+1(n∈N*)．(1)求证：a n是周期为2的“类周期等差数列”，并求a2,a2022的值；(2)若数列b n满足b n=a n+1-a n(n∈N*)，求b n的前n项和T n．【答案】(1)证明见解析；a2=4；a2022=4044(2)T n=2n+1,n为奇数, 2n,n为偶数.【解析】【分析】(1)由a n+a n+1=4n+1，a n+1+a n+2=4(n+1)+1，相减得a n+2-a n=4(n∈N*)，即可得到答案；(2)对当n分为偶数和奇数进行讨论，进行并求和，即可得到答案；(1)由a n+a n+1=4n+1，a n+1+a n+2=4(n+1)+1，相减得a n+2-a n=4(n∈N*)，所以a n周期为2，周期公差为4的“类周期等差数列”，由a1+a2=5，a1=1，得a2=4，所以a2022=a2+(2022-2)×2=4+4040=4044．(2)由b n=a n+1-a n，b n+1=a n+2-a n+1，得b n+1+b n=a n+2-a n=4，当n为偶数时，T n=(b1+b2)+(b3+b4)+⋯+(b n-1+b n)=4⋅n2=2n；当n为奇数时，T n=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+⋯+(b n-1+b n)=3+4⋅n-12=2n+1．综上所述，T n=2n+1,n为奇数, 2n,n为偶数.变式2.(2022·江苏新高考基地学校第一次大联考期中)(10分)已知等差数列{a n}满足an+an+1= 4n，n∈N*．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b1=1，bn+1=a n，n为奇数，-b n+2n，n为偶数，求数列{bn}的前2n项和S2n．【答案】(1)a n=2n-1；(2)4n-13+4n-3.【解析】【分析】(1)设等差数列a n的公差为d，由已知可得a n+1+a n+2=4n+1与已知条件两式相减可得a n+2-a n=4=2d求得d的值，再由a1+a2=4求得a1的值，利用等差数列的通项公式可得a n的通项公式；(2)当n为奇数时，b n+1=2n-1，当n为偶数时，b n+1+b n=2n，再利用分组并项求和以及等比数列的求和公式即可求解.【小问1详解】因为a n+a n+1=4n，所以a n+1+a n+2=4n+1，所以a n+2-a n=4，设等差数列a n的公差为d，则a n+2-a n=4=2d，可得d=2，当n=1时，a1+a2=a1+a1+2=4，可得a1=1，所以a n=1+2n-1=2n-1.【小问2详解】当n为奇数时，b n+1=a n=2n-1，当n为偶数时，b n+1+b n=2n，所以S2n=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+⋯+b2n-2+b2n-1+b2n=1+22+24+26+⋯+22n-2+22n-1-1=20+22+24+26+⋯+22n-2+22n-1-1=201-4n1-4+4n-3=4n-13+4n-3.三、追踪训练1.(2022·江苏苏州市八校联盟第一次适应性检测)若数列{a n}中不超过f(m)的项数恰为b m(m∈N*)，则称数列{b m}是数列{a n}的生成数列，称相应的函数f(m)是数列{a n}生成{b m}的控制函数．已知a n=2n，且f(m)=m，数列{b m}的前m项和S m，若S m=30，则m的值为()公众号：高中数学最新试题A.9B.11C.12D.14【答案】B【解析】由题意可知，当m为偶数时，可得2n≤m，则b m=m2；当m为奇数时，可得2n≤m-1，则bm=m-12，所以b m=m-12(m为奇数)m2(m为偶数)，则当m为偶数时，S m=b1+b2+⋯+b m=12(1+2+⋯+m)-12×m2=m24，则m24=30，因为m∈N*，所以无解；当m为奇数时，S m=b1+b2+⋯+b m=S m+1-b m+1=(m+1)24-m+12=m2-14，所以m2-14=30，因为m∈N*，所以m=11，故答案选B．2.【2022·广东省深圳市第七高级中学10月月考】(多选题)已知数列a n满足a n+1+a n=n⋅-1 n n+12，其前n项和为S n，且m+S2019=-1009，则下列说法正确的是()A.m为定值B.m+a1为定值C.S2019-a1为定值D.ma1有最大值【答案】BCD【解析】【分析】分析得出a2k+a2k+1=2k⋅-1k2k+1，由已知条件推导出S2019-a1=-1010，m+a1=1，可判断出ABC选项正误，利用基本不等式可判断D选项的正误.【详解】当n=2k k∈N∗，由已知条件可得a2k+a2k+1=2k⋅-1k2k+1，所以，S2019=a1+a2+a3+⋯+a2019=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a2018+a2019=a1-2+4-6+8-⋯-2018=a1+2×504-2018=a1-1010，则S2019-a1=-1010，所以，m+S2019=m+a1-1010=-1009，∴m+a1=1，由基本不等式可得ma1≤m+a122=14，当且仅当m=a1=12时，等号成立，此时ma1取得最大值14.故选：BCD.3.(2022·江苏南通市区期中)(多选题)已知数列{a n}满足a1=-2，a2=2，a n+2-2a n=1-(-1)n，则A.{a2n-1}是等比数列B.5i=1a2i−1+2=-10C.{a2n}是等比数列D.10i=1a i=52【答案】ACD【解析】由题意可知，数列{a n}满足a1=-2，a2=2，a n+2-2a n=1-(-1)n，所以a n+2=1-(-1)n+2a n=2+2a n，n为奇数2a n，n为偶数，所以a3=2+2×(-2)=-2，a4=2×2=4，a5=2+2×(-2)=-2，a6=2×4=8，a7=2+2×(-2)=-2，a8=2×8=16，a9=2+2×(-2)=-2，a10=2×16=32，⋯，所以{a2n-1}={-2}，是等比数列，故选项A正确；5i=1a2i−1+2=(a1+a3+a5+a7+a9)+2×5=-2×5+2×5=0，故选项B错误；对于选项C，{a2n}={2n}是等比数列，故选项C正确；对于选项D，10i=1a i=-2+2-2+4-2+8-2+16-2+32=52，故选项D正确，综上，答案选ACD．4.(2022·江苏海门中学、泗阳中学期中联考)已知数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n+1，则a1+a3+a5+⋯+a99=．【答案】50【解析】【分析】根据所给递推关系，可得a2n+1+a2n=4n+1,a2n-a2n-1=4n-1，两式相减可得a2n+1+a2n-1=2.即相邻奇数项的和为2，即可求解.【详解】∵a n+1+(-1)n a n=2n+1,∴a2n+1+a2n=4n+1,a2n-a2n-1=4n-1.两式相减得a2n+1+a2n-1 =2.则a3+a1=2,a7+a5=2,⋯,a99+a97=2,∴a1+a3+a5+⋯+a99=25×2=50，故答案为：505.(2021·天津红桥区·高三一模)已知数列a n的前n项和S n满足：S n=2a n+(-1)n，n≥1.(1)求数列a n的前3项a1，a2，a3；(2)求证：数列a n+23⋅-1n是等比数列：(3)求数列(6n-3)⋅a n的前n项和T n.【详解】(1)当n=1时，有：S1=a1=2a1+-1⇒a1=1；当n=2时，有：S2=a1+a2=2a2+-12⇒a2=0；当n=3时，有：S3=a1+a2+a3=2a3+-13⇒a3=2；综上可知a1=1，a2=0，a3=2；(2)由已知得：n≥2时，a n=S n-S n-1=2a n+(-1)n-2a n-1-(-1)n-1化简得：a n=2a n-1+2(-1)n-1公众号：高中数学最新试题上式可化为：a n+23(-1)n=2a n-1+23(-1)n-1故数列a n+23(-1)n是以a1+23(-1)1为首项，公比为2的等比数列.(3)由(2)知a n+23(-1)n=132n-1∴a n=13⋅2n-1-23(-1)n6n-3⋅a n=2n-12n-1-2-1n=2n-1⋅2n-1-2⋅(-1)n⋅(2n-1)当n为偶数时，T n=1⋅20+3⋅21+⋅⋅⋅+(2n-1)⋅2n-1-2[-1+3-5+⋅⋅⋅-(2n-3)+(2n-1)]令A n=1⋅20+3⋅21+⋅⋅⋅+(2n-1)⋅2n-1，B n=2[-1+3-5+⋅⋅⋅-(2n-3)+(2n-1)] A n=1⋅20+3⋅21+5⋅22⋅⋅⋅+(2n-3)⋅2n-2+(2n-1)⋅2n-1①2A n=1⋅21+3⋅22+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2n-3)⋅2n-1+(2n-1)⋅2n②则①-②得-A n=20+2⋅21+2⋅22⋅⋅⋅+2⋅2n-1-(2n-1)⋅2n=1+221+22⋅⋅⋅+2n-1-(2n-1)⋅2n=1+2⋅21-2n-11-2-(2n-1)⋅2n=-3+(3-2n)⋅2n∴A n=3+(2n-3)⋅2n10B n=2[-1+3-5+⋅⋅⋅-(2n-3)+(2n-1)]=2⋅2⋅n2=2n所以T n=A n-B n=3+(2n-3)⋅2n-2n.当n为奇数时，A n=3+(2n-3)⋅2nB n=2[-1+3-5+⋅⋅⋅-(2n-5)+(2n-3)-(2n-1)] =22⋅n-12-2n+1=-2n所以T n=A n-B n=3+(2n-3)⋅2n+2n综上，T n=3+(2n-3)⋅2n-2n,n为偶数, 3+(2n-3)⋅2n+2n,n为奇数.6.(2022·山东烟台·高三期末)已知数列a n满足a1=4，a n+1=12a n+n,n=2k-1a n-2n,n=2k(k∈N*)．(1)记b n=a2n-2，证明：数列b n为等比数列，并求b n的通项公式；(2)求数列a n的前2n项和S2n．【答案】(1)证明见解析；b n =12n -1，n ∈N *；(2)S 2n =-2n 2+6n +6-32n -1.【解析】【分析】(1)根据给定的递推公式依次计算并探求可得b n +1=12b n，求出b 1即可得证，并求出通项公式.(2)由(1)求出a 2n ，再按奇偶分组求和即可计算作答.(1)依题意，b n +1=a 2n +2-2=12a 2n +1+2n +1 -2=12a 2n -2×2n +2n +1 -2=12a 2n -1=12(a 2n -2)=12b n，而b 1=a 2-2=12a 1+1-2=1>0，所以数列b n 是以1为首项，12为公比的等比数列，b n =12n -1，n ∈N *.(2)由(1)知，a 2n =b n +2=12 n -1+2，则有a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 2n =1-12 n1-12+2n =2-12n -1+2n ，又a 2n =12a 2n -1+2n -1，则a 2n -1=2a 2n -2(2n -1)，于是有a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 2n -1=2(a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 2n )-2×1+(2n -1)2×n =22-12n -1+2n -2n 2=-2n 2+4n +4-22n -1，因此，S 2n =(a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 2n -1)+(a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 2n )=-2n 2+4n +4-22n -1+2-12n -1+2n =-2n 2+6n +6-32n -1，所以S 2n =-2n 2+6n +6-32n -1.公众号：高中数学最新试题。

数列中分奇偶的典型例题大题含解答共10题题目1：数列A的第1项为1，公差为2，求A的前10项中奇数的和。

解答1：数列A的前10项为：1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19。

其中奇数的和为：1 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 98。

题目2：数列B的前10项为：2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29，求B的前10项中偶数的和。

解答2：数列B的前10项为：2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29。

其中偶数的和为：2 + 8 + 14 + 20 + 26 = 70。

题目3：已知数列C的第1项为3，公差为4，数列C中的第n项为奇数，求n的取值范围。

解答3：数列C的第n项可以表示为3 + (n - 1) * 4。

我们知道奇数减去奇数的结果一定是偶数，所以3 + (n - 1) * 4一定是偶数。

即，3 + (n - 1) * 4是奇数的条件是3 + (n - 1) * 4减去3是偶数。

简化得到(n - 1) * 4是偶数。

因为4是偶数，所以(n - 1)必须是偶数，即n必须是奇数。

所以n 的取值范围为奇数。

题目4：数列D的第1项为2，公差为3，数列D中的第n项为偶数，求n的取值范围。

解答4：数列D的第n项可以表示为2 + (n - 1) * 3。

我们知道偶数减去偶数的结果一定是偶数，所以2 + (n - 1) * 3一定是偶数。

即，2 + (n - 1) * 3是偶数的条件是2 + (n - 1) * 3减去2是偶数。

简化得到(n - 1) * 3是偶数。

因为3是奇数，所以(n - 1)必须是偶数，即n必须是奇数。

所以n 的取值范围为奇数。

题目5：数列E的第1项为1，公差为1，求数列E的前20项中奇数和偶数的个数分别是多少。

解答5：数列E的前20项为：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20。

数列中的奇偶项问题一、真题剖析【2020年新课标1卷文科】数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1，前16项和为540，则a1=_____ ________【试题情景】本题属于课程学习情景，本题以数列中的两项之间的关系为载体，考查数列中的项。

【必备知识】本题考查数列中的递推公式以及通项公式，并项求和等问题·【能力素养】本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理想思维和数学探索，对n为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用a1表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立a1方程，求解即可得出结论.【答案】7【解析】a n+2+(-1)n a n=3n-1，当n为奇数时，a n+2=a n+3n-1；当n为偶数时，a n+2+a n=3n-1.设数列a n的前n项和为S n，S16=a1+a2+a3+a4+⋯+a16=a1+a3+a5⋯+a15+(a2+a4)+⋯(a14+a16)=a1+(a1+2)+(a1+10)+(a1+24)+(a1+44)+(a1+70)+(a1+102)+(a1+140)+(5+17+29+41)=8a1+392+92=8a1+484=540，∴a1=7.故答案为：7.二、题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和例1.(2022·南京9月学情【零模】)(本小题满分10分)已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，S3= 7a1，且a1，a2+2，a3成等差数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=a n，n为奇数，n，n为偶数，求数列{bn}的前2n项和T2n．【解析】(1)因为数列{a n}为正项等比数列，记其公比为q，则q>0．因为S 3=7a 1，所以a 1+a 2+a 3=7a 1，即a 3+a 2-6a 1=0，因此q 2+q -6=0，解得q =2或-3，从而q =2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分又a 1，a 2+2，a 3成等差数列，所以2(a 2+2)=a 1+a 3，即2(2a 1+2)=a 1+4a 1，解得a 1=4．因此a n =4×2n -1=2n +1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)因为b n =a n ，n 为奇数，n ，n 为偶数，所以T 2n =(b 1+b 3+⋯+b 2n -1)+(b 2+b 4+⋯+b 2n )=(a 1+a 3+⋯+a 2n -1)+(2+4+⋯+2n )=(22+24+⋯+22n )+(2+4+⋯+2n ))⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分=4×1-4n 1-4+(2+2n )n 2=n 2+n +4n +1-43．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分变式1.(2022·江苏南京市金陵中学高三10月月考)已知等差数列{a n }前n 项和为S n (n ∈N +)，数列{b n }是等比数列，a 1=3，b 1=1，b 2+S 2=10，a 5-2b 2=a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若c n =2S n ,n 为奇数b n ,n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .【答案】(1)a n =2n +1，b n =2n -1；(2)1+22n +13-12n +1.【解析】【分析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q ≠0)，根据等差等比数列通项公式基本量的计算可得结果；(2)求出S n =n (3+2n +1)2=n (n +2)，代入可得c n =2n (n +2)=1n -1n +2，n 为奇数2n -1，n 为偶数，再分组求和，利用裂项求和和等比数列的求和公式可求得结果.【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q ≠0)， ∵a 1=3，b 1=1，b 2+S 2=10， a 5-2b2=a 3，∴q +3+3+d =103+4d -2q =3+2d，∴d =2，q =2，∴a n =2n +1，b n =2n -1；(2)由(1)知，S n =n (3+2n +1)2=n (n +2)，∴c n =2n (n +2)=1n -1n +2，n 为奇数2n -1，n 为偶数，∴T 2n =1-13+13-15+⋅⋅⋅+12n -1-12n +1+(21+23+25+⋅⋅⋅+22n -1)=1-12n +1+2(1-4n )1-4=1+22n +13-12n +1.变式2.(2022·山东·潍坊一中模拟预测)已知数列a n 满足a 12+a 222+⋅⋅⋅+a n 2n =n2n ．(1)求数列a n 的通项公式；(2)对任意的n ∈N ∗，令b n =2-n ,n 为奇数22-n ,为偶数 ，求数列b n 的前n 项和S n ．【解析】 (1)当n =1时，得a 12=12，解得a 1=1；当n ≥2时，可得a 12+a 222+⋅⋅⋅+a n 2n =n 2n ①a 12+a 222+⋅⋅⋅+a n -12n -1=n -12n -1②，由①-②，得a n 2n =n 2n -n -12n -1=2-n2n，a n =2-n ，当n =1时，a 1=2-1=1也符合，所以数列a n 的通项公式为a n =2-n ．(2)由(1)知b n =2-n ,n 为奇数22-n ,为偶数.当n 为偶数时，S n =1+-1 +-3 +⋅⋅⋅+2-n -1 +20+2-2+⋅⋅⋅+22-n =1+3-n n 22+1-14 n21-14=4-n n 4+431-12n =-3n 2+12n +1612-13×2n -2；当n 为奇数时，S n =S n +1-b n +1=-3n +1 2+12n +1 +1612-13×2n -1-21-n =-3n 2+6n +2512-43×2n -1．综上所述，S n =-3n 2+6n +2512-43×2n -1,n 为奇数-3n 2+12n +1612-13×2n -2,n 为偶数 ．变式3.(2022·湖南省雅礼中学开学考试)(10分)已知数列{a n }满足n 2a n +12+12，为正奇数，2a n 2+n 2，n 为正偶数．(1)问数列{a n }是否为等差数列或等比数列?说明理由．(2)求证：数列a 2n2n是等差数列，并求数列{a 2n}的通项公式．【解析】(1)由题意可知，a 1=12a 1+12+12=12a 1+12，所以a 1=1，a 2=2a 22+22=2a 1+1=3，a 3=32a 3+12+12=32a 2+12=5，a 4=2a 42+42=2a 2+2=8，因为a 3-a 2=2，a 4-a 3=3，a 3-a 2≠a 4-a 3，所以数列{a n }不是等差数列．又因为a 2a 1=3，a 3a 2=53，a2a 1≠a 3a 2所以数列{a n }也不是等比数列．(2)法一：因为对任意正整数n ，a 2n +1=2a 2n+2n ，a 2n +12n +1-a 2n2n =12，a 22=32，所以数列a 2n2n是首项为32，公差为72的等差数列．从而对 n ∈N *，a 2n2n =32+n -12，a 2n=(n+2)2n -1，所以数列{a 2n}的通项公式是a 2n=(n +2)2n -1(n ∈N *)．法二：因为对任意正整数n ，a 2n +1=2a 2n+2n ，得a 2n +1-(n +3)2n =2[a 2n-(n +2)2n -1]，且a 21-(1+2)21-1=a 2-3=0所以数列{a 2n-(n +2)2n -1}是每项均为0的常数列，从而对∀n ∈N *，a 2n=(n +2)2n -1，所以数列{a 2n}的通项公式是a 2n=(n +2)2n -1(n ∈N *)．∀n ∈N *，a 2n2n =n +22，a 2n +12n +1-a 2n2n =n +32-n +22，a 22=32，所以数列a 2n2n是首项为32，公差为12的等差数列题型二、含有(-1)n 类型例2.【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.【答案】(1)a n=2n-1，S n=n2；(2)T n=(-1)n n(n+1)2.【解析】【分析】(1)利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前n项和即可；(2)根据(1)中所求即可求得b n，对n分类讨论，结合等差数列的前n项和公式，即可容易求得结果.【详解】(1)由S5=5(a1+a5)2=5×2a32=5a3=25得a3=5.又因为a5=9，所以d=a5-a32=2，则a3=a1+2d=a1+4=5，解得a1=1；故a n=2n-1，S n=n(1+2n-1)2=n2.(2)b n=(-1)n n2.当n为偶数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-1+b n=-12+22+-32+42+⋯+-(n-1)2+n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[n-(n-1)]×[n+(n-1)] =1+2+3+⋯+(n-1)+n=n(n+1)2.当n为奇数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-2+b n-1+b n=-12+22+-32+42+-(n-2)2+(n-1)2-n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[(n-1)-(n-2)]×[(n-1)+(n-2)]-n2 =1+2+3+⋯+(n-2)+(n-1)-n2=(n-1)(1+n-1)2-n2=-n(n+1)2.综上得T n=(-1)n n(n+1)2.变式1.【2022·广东省深圳市育才中学10月月考】已知数列a n的前n项和为S n，且对任意正整数n，a n =34S n+2成立．(1)b n=log2a n，求数列b n的通项公式；(2)设c n=-1n+1n+1b n b n+1，求数列c n的前n项和T n．【答案】(1)a n=22n+1；(2)T n=1413+-1n+112n+3．【解析】【分析】(1)利用数列a n与S n的关系，即可求得数列a n的通项公式，代入b n=log2a n，即可求得数列b n的通项公式；(2)由(1)可知c n=14-1n+112n+1+12n+3，分n为奇数和偶数，分别求和.【详解】(1)在a n=34S n+2中令n=1得a1=8．因为对任意正整数n，a n=34S n+2成立，所以a n+1=34S n+1+2，两式相减得a n+1-a n=34a n+1，所以a n+1=4a n，又a1≠1，所以a n为等比数列，所以a n=8⋅4n-1=22n+1，所以b n=log222n+1=2n+1．(2)c n=-1n+1n+12n+12n+3=14-1n+14n+42n+12n+3=14-1n+112n+1+12n+3当n为偶数时，T n=1413+15-15+17+17+19-⋯-12n+1+12n+3=1413-12n+3，当n为奇数时，T n=1413+15-15+17+17+19-⋯+12n+1+12n+3=1413+12n+3．所以T n=1413+-1n+112n+3．变式2.(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列a n是正项等比数列，满足a3是2a1、3a2的等差中项，a4 =16．(1)求数列a n 的通项公式；(2)若b n =-1 n 2a 2n +1log ，求数列b n 的前n 项和T n ．【解析】(1)设等比数列a n 的公比为q ，因为a 3是2a 1、3a 2的等差中项，所以2a 3=2a 1+3a 2，即2a 1q 2=2a 1+3a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2-3q -2=0，解得q =2或q =-12，因为数列a n 是正项等比数列，所以q =2．因为a 4=16，即a 4=a 1q 3=8a 1=16，解得a 1=2，所以a n =2×2n -1=2n ；(2)解法一：(分奇偶、并项求和)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，①若n 为偶数，T n =-3+5-7+9-L -2n -1 +2n +1 =-3+5 +-7+9 +L +-2n -1 +2n +1 =2×n2=n ；②若n 为奇数，当n ≥3时，T n =T n -1+b n =n -1-2n +1 =-n -2，当n =1时，T 1=-3适合上式，综上得T n =n ,n 为偶数-n -2,n 为奇数(或T n =n +1 -1 n -1，n ∈N *)；解法二：(错位相减法)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，T n =-1 1×3+-1 2×5+-1 3×7+L +-1 n 2n +1 ，所以-T n =-1 2×3+-1 3×5+-1 4×7+L +-1 n +12n +1 所以2T n =-3+2-1 2+-1 3+L +-1 n --1 n +12n +1=-3+2×1--1 n -12+-1 n 2n +1 =-3+1--1 n -1+-1 n 2n +1=-2+2n +2 -1 n ，所以T n =n +1 -1 n -1，n ∈N *变式3.(2022·湖北·黄冈中学二模)已知数列a n 中，a 1=2,n a n +1-a n =a n +1.(1)求证：数列a n +1n是常数数列；(2)令b n =(-1)n a n ,S n 为数列b n 的前n 项和，求使得S n ≤-99的n 的最小值.【解析】(1)由n a n +1-a n =a n +1得：na n +1=n +1 a n +1，即a n +1n +1=a n n +1n n +1∴a n +1n +1=a n n +1n -1n +1，即有a n +1+1n +1=a n +1n,∴数列a n +1n 是常数数列；(2)由(1)知：a n +1n =a 1+1=3,∴a n =3n -1,∴b n =(-1)n 3n -1即b n =3n -1,n 为偶数-3n -1 ,n 为奇数，∴当n 为偶数时，S n =-2+5 +-8+11 +⋯+-3n -4 +3n -1 =3n2，显然S n ≤-99无解；当n 为奇数时，S n =S n +1-a n +1=3n +1 2-3n +1 -1 =-3n +12，令S n ≤-99，解得：n ≥66，结合n 为奇数得：n 的最小值为67.所以n 的最小值为67.题型三、a n +a n +1类型例3.(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n 满足a 1=1，a n +a n +1=2n ；数列b n 前n 项和为S n ，且b 1=1，2S n =b n +1-1.(1)求数列a n 和数列b n 的通项公式；(2)设c n =a n ⋅b n ，求c n 前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z ，b n =3n -1；(2)58n -5 9n8.【解析】【分析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b2=3，∴n≥2时，b n=3n-1，b1=1=30，∴b n=3n-1；(2)由(1)得c n=n3n-1,n=2k-1,k∈Zn-13n-1,n=2k,k∈Z，T2n=1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n-1⋅32n-2+1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n-1⋅32n-1= 41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n-1⋅32n-2设K n=1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n-1⋅32n-2①则9K n=1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n-1⋅32n②①-②得-8K n=1+232+34+⋅⋅⋅+32n-2-2n-1⋅32n=5+8n-59n-4，K n=5+8n-59n32，∴T2n=58n-59n8变式1.(2022·江苏苏州·高三期末)若数列a n满足a n+m=a n+d(m∈N*，d是不等于0的常数)对任意n∈N*恒成立，则称a n是周期为m，周期公差为d的“类周期等差数列”．已知在数列a n中，a1=1，a n+a n+1=4n+1(n∈N*)．(1)求证：a n是周期为2的“类周期等差数列”，并求a2,a2022的值；(2)若数列b n满足b n=a n+1-a n(n∈N*)，求b n的前n项和T n．【答案】(1)证明见解析；a2=4；a2022=4044(2)T n=2n+1,n为奇数, 2n,n为偶数.【解析】【分析】(1)由a n+a n+1=4n+1，a n+1+a n+2=4(n+1)+1，相减得a n+2-a n=4(n∈N*)，即可得到答案；(2)对当n分为偶数和奇数进行讨论，进行并求和，即可得到答案；(1)由a n+a n+1=4n+1，a n+1+a n+2=4(n+1)+1，相减得a n+2-a n=4(n∈N*)，所以a n周期为2，周期公差为4的“类周期等差数列”，由a1+a2=5，a1=1，得a2=4，所以a2022=a2+(2022-2)×2=4+4040=4044．(2)由b n=a n+1-a n，b n+1=a n+2-a n+1，得b n+1+b n=a n+2-a n=4，当n为偶数时，T n=(b1+b2)+(b3+b4)+⋯+(b n-1+b n)=4⋅n2=2n；当n为奇数时，T n=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+⋯+(b n-1+b n)=3+4⋅n-12=2n+1．综上所述，T n=2n+1,n为奇数, 2n,n为偶数.变式2.(2022·江苏新高考基地学校第一次大联考期中)(10分)已知等差数列{a n}满足an+an+1= 4n，n∈N*．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b1=1，bn+1=a n，n为奇数，-b n+2n，n为偶数，求数列{bn}的前2n项和S2n．【答案】(1)a n=2n-1；(2)4n-13+4n-3.【解析】【分析】(1)设等差数列a n的公差为d，由已知可得a n+1+a n+2=4n+1与已知条件两式相减可得a n+2-a n=4=2d求得d的值，再由a1+a2=4求得a1的值，利用等差数列的通项公式可得a n的通项公式；(2)当n为奇数时，b n+1=2n-1，当n为偶数时，b n+1+b n=2n，再利用分组并项求和以及等比数列的求和公式即可求解.【小问1详解】因为a n+a n+1=4n，所以a n+1+a n+2=4n+1，所以a n+2-a n=4，设等差数列a n的公差为d，则a n+2-a n=4=2d，可得d=2，当n=1时，a1+a2=a1+a1+2=4，可得a1=1，所以a n=1+2n-1=2n-1.【小问2详解】当n为奇数时，b n+1=a n=2n-1，当n为偶数时，b n+1+b n=2n，所以S2n=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+⋯+b2n-2+b2n-1+b2n=1+22+24+26+⋯+22n-2+22n-1-1=20+22+24+26+⋯+22n-2+22n-1-1=201-4n1-4+4n-3=4n-13+4n-3.三、追踪训练1.(2022·江苏苏州市八校联盟第一次适应性检测)若数列{a n}中不超过f(m)的项数恰为b m(m∈N*)，则称数列{b m}是数列{a n}的生成数列，称相应的函数f(m)是数列{a n}生成{b m}的控制函数．已知a n=2n，且f(m)=m，数列{b m}的前m项和S m，若S m=30，则m的值为()A.9B.11C.12D.14【答案】B【解析】由题意可知，当m 为偶数时，可得2n ≤m ，则b m =m2；当m 为奇数时，可得2n ≤m -1，则bm =m -12，所以b m =m -12(m 为奇数)m 2(m 为偶数)，则当m 为偶数时，S m =b 1+b 2+⋯+b m =12(1+2+⋯+m )-12×m 2=m 24，则m 24=30，因为m ∈N *，所以无解；当m 为奇数时，S m =b 1+b 2+⋯+b m =S m +1-b m +1=(m +1)24-m +12=m 2-14，所以m 2-14=30，因为m ∈N *，所以m =11，故答案选B ．2.【2022·广东省深圳市第七高级中学10月月考】(多选题)已知数列a n 满足a n +1+a n =n ⋅-1n n +12，其前n 项和为S n ，且m +S 2019=-1009，则下列说法正确的是()A.m 为定值B.m +a 1为定值C.S 2019-a 1为定值D.ma 1有最大值【答案】BCD 【解析】【分析】分析得出a 2k +a 2k +1=2k ⋅-1 k 2k +1 ，由已知条件推导出S 2019-a 1=-1010，m +a 1=1，可判断出ABC 选项正误，利用基本不等式可判断D 选项的正误.【详解】当n =2k k ∈N ∗ ，由已知条件可得a 2k +a 2k +1=2k ⋅-1 k 2k +1 ，所以，S 2019=a 1+a 2+a 3+⋯+a 2019=a 1+a 2+a 3 +a 4+a 5 +⋯+a 2018+a 2019 =a 1-2+4-6+8-⋯-2018=a 1+2×504-2018=a 1-1010，则S 2019-a 1=-1010，所以，m +S 2019=m +a 1-1010=-1009，∴m +a 1=1，由基本不等式可得ma 1≤m +a 12 2=14，当且仅当m =a 1=12时，等号成立，此时ma 1取得最大值14.故选：BCD .3.(2022·江苏南通市区期中)(多选题)已知数列{a n }满足a 1=-2，a 2=2，a n +2-2a n =1-(-1)n ，则A.{a 2n -1}是等比数列 B.5i =1a 2i −1+2 =-10C.{a 2n }是等比数列D.10i =1a i =52【答案】ACD【解析】由题意可知，数列{a n}满足a1=-2，a2=2，a n+2-2a n=1-(-1)n，所以a n+2=1-(-1)n+2a n=2+2a n，n为奇数2a n，n为偶数，所以a3=2+2×(-2)=-2，a4=2×2=4，a5=2+2×(-2)=-2，a6=2×4=8，a7=2+2×(-2)=-2，a8=2×8=16，a9=2+2×(-2)=-2，a10=2×16=32，⋯，所以{a2n-1}={-2}，是等比数列，故选项A正确；5i=1a2i−1+2=(a1+a3+a5+a7+a9)+2×5=-2×5+2×5=0，故选项B错误；对于选项C，{a2n}={2n}是等比数列，故选项C正确；对于选项D，10i=1a i=-2+2-2+4-2+8-2+16-2+32=52，故选项D正确，综上，答案选ACD．4.(2022·江苏海门中学、泗阳中学期中联考)已知数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n+1，则a1+a3+ a5+⋯+a99=．【答案】50【解析】【分析】根据所给递推关系，可得a2n+1+a2n=4n+1,a2n-a2n-1=4n-1，两式相减可得a2n+1+a2n-1= 2.即相邻奇数项的和为2，即可求解.【详解】∵a n+1+(-1)n a n=2n+1,∴a2n+1+a2n=4n+1,a2n-a2n-1=4n-1.两式相减得a2n+1+a2n-1 =2.则a3+a1=2,a7+a5=2,⋯,a99+a97=2,∴a1+a3+a5+⋯+a99=25×2=50，故答案为：505.(2021·天津红桥区·高三一模)已知数列a n的前n项和S n满足：S n=2a n+(-1)n，n≥1.(1)求数列a n的前3项a1，a2，a3；(2)求证：数列a n+23⋅-1n是等比数列：(3)求数列(6n-3)⋅a n的前n项和T n.【详解】(1)当n=1时，有：S1=a1=2a1+-1⇒a1=1；当n=2时，有：S2=a1+a2=2a2+-12⇒a2=0；当n=3时，有：S3=a1+a2+a3=2a3+-13⇒a3=2；综上可知a1=1，a2=0，a3=2；(2)由已知得：n≥2时，a n=S n-S n-1=2a n+(-1)n-2a n-1-(-1)n-1化简得：a n=2a n-1+2(-1)n-1上式可化为：a n +23(-1)n =2a n -1+23(-1)n -1 故数列a n +23(-1)n 是以a 1+23(-1)1为首项，公比为2的等比数列.(3)由(2)知a n +23(-1)n =132n -1∴a n =13⋅2n -1-23(-1)n 6n -3 ⋅a n =2n -1 2n -1-2-1 n=2n -1 ⋅2n -1-2⋅(-1)n ⋅(2n -1)当n 为偶数时，T n =1⋅20+3⋅21+⋅⋅⋅+(2n -1)⋅2n -1 -2[-1+3-5+⋅⋅⋅-(2n -3)+(2n -1)]令A n =1⋅20+3⋅21+⋅⋅⋅+(2n -1)⋅2n -1，B n =2[-1+3-5+⋅⋅⋅-(2n -3)+(2n -1)]A n =1⋅20+3⋅21+5⋅22⋅⋅⋅+(2n -3)⋅2n -2+(2n -1)⋅2n -1①2A n =1⋅21+3⋅22+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2n -3)⋅2n -1+(2n -1)⋅2n ②则①-②得-A n =20+2⋅21+2⋅22⋅⋅⋅+2⋅2n -1-(2n -1)⋅2n =1+221+22⋅⋅⋅+2n -1 -(2n -1)⋅2n =1+2⋅21-2n -11-2-(2n -1)⋅2n=-3+(3-2n )⋅2n ∴A n =3+(2n -3)⋅2n 10B n =2[-1+3-5+⋅⋅⋅-(2n -3)+(2n -1)]=2⋅2⋅n2=2n 所以T n =A n -B n =3+(2n -3)⋅2n -2n .当n 为奇数时，A n =3+(2n -3)⋅2nB n =2[-1+3-5+⋅⋅⋅-(2n -5)+(2n -3)-(2n -1)]=22⋅n -12-2n +1 =-2n 所以T n =A n -B n =3+(2n -3)⋅2n +2n 综上，T n =3+(2n -3)⋅2n -2n ,n 为偶数,3+(2n -3)⋅2n +2n ,n 为奇数.6.(2022·山东烟台·高三期末)已知数列a n 满足a 1=4，a n +1=12a n+n ,n =2k -1a n -2n ,n =2k(k ∈N *)．(1)记b n =a 2n -2，证明：数列b n 为等比数列，并求b n 的通项公式；(2)求数列a n 的前2n 项和S 2n ．【答案】(1)证明见解析；b n =12n -1，n ∈N *；(2)S 2n =-2n 2+6n +6-32n -1.【解析】【分析】(1)根据给定的递推公式依次计算并探求可得b n +1=12b n，求出b 1即可得证，并求出通项公式.(2)由(1)求出a 2n ，再按奇偶分组求和即可计算作答.(1)依题意，b n +1=a 2n +2-2=12a 2n +1+2n +1 -2=12a 2n -2×2n +2n +1 -2=12a 2n -1=12(a 2n -2)=12b n，而b 1=a 2-2=12a 1+1-2=1>0，所以数列b n 是以1为首项，12为公比的等比数列，b n =12n -1，n ∈N *.(2)由(1)知，a 2n =b n +2=12 n -1+2，则有a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 2n =1-12 n1-12+2n =2-12n -1+2n ，又a 2n =12a 2n -1+2n -1，则a 2n -1=2a 2n -2(2n -1)，于是有a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 2n -1=2(a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 2n )-2×1+(2n -1)2×n =22-12n -1+2n -2n 2=-2n 2+4n +4-22n -1，因此，S 2n =(a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 2n -1)+(a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 2n )=-2n 2+4n +4-22n -1+2-12n -1+2n =-2n 2+6n +6-32n -1，所以S 2n =-2n 2+6n +6-32n -1.。

数列中奇偶分论讨论策略有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差（比）等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用．因此，在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决．一、【温故·习新】1．已知数列{a n }满足，a n ＋1＋a n ＝4n －3（n ∈N *）． （1）若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； （2）当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n ．【解析】（1） 若数列{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋（n －1）d ，a n ＋1＝a 1＋nd ．由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得（a 1＋nd ）＋[a 1＋（n －1）d ]＝2nd ＋2a 1－d ＝4n －3， 所以2d ＝4，2a 1－d ＝－3，解得，d ＝2，a 1＝－12．（2）由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1（n ∈N *）．两式相减，得a n ＋2－a n ＝4． 所以数列{a 2n －1}是首项为a 1，公差为4的等差数列，数列{a 2n }是首项为a 2，公差为4的等差数列，由a 2＋a 1＝1，a 1＝2，得a 2＝－1．所以a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧-为偶数为奇数n n n n 522解法1：①当n 为偶数时，S n ＝（a 1＋a 3＋…＋a n －1）＋（a 2＋a 4＋…＋a n ）＝2＋2(n －1)2·n 2＋－1＋(2n －5)2·n 2＝2n 2－3n2．②当n 为奇数时，S n ＝2(n －1)2－3(n －1)2＋2n ＝2n 2－3n ＋52所以S n＝⎩⎨⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n2， n 为偶数.解法2：①当n 为偶数时，S n ＝（a 1＋a 2）＋（a 3＋a 4）＋…＋（a n －1＋a n ）＝1＋9＋…＋（4n －7）＝2n 2－3n2；②当n 为奇数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝（a 1＋a 2）＋（a 3＋a 4）＋…＋（a n －2＋a n －1）＋a n ＝1＋9＋…＋（4n －11）＋2n ＝2n 2－3n ＋52．所以S n ＝⎩⎨⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n2， n 为偶数.二、【释疑·拓展】例1 设函数f （x ）＝2x ＋33x （x >0），数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a n －1（n ∈N *，且n ≥2）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋（－1）n －1a n a n ＋1，若T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）a n ＝2n ＋13；（2）⎝⎛⎦⎤－∞，－59． 【解析】（1）因为a n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a n －1＝2＋3a n －1a n －13×1a n －1＝a n －1＋23，（n ∈N *，且n ≥2），所以a n －a n －1＝23． 因为a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，公差为23的等差数列．所以a n ＝2n ＋13．（2）①当n ＝2m ，m ∈N *时，T n ＝T 2m ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋（－1）2m －1a 2m a 2m ＋1 ＝a 2（a 1－a 3）＋a 4（a 3－a 5）＋…＋a 2m （a 2m －1－a 2m ＋1） ＝－43（a 2＋a 4＋…＋a 2m ）＝－43×a 2＋a 2m2×m＝－19（8m 2＋12m ）＝－19（2n 2＋6n ）．②当n ＝2m －1，m ∈N *时， T n ＝T 2m －1＝T 2m －（－1）2m －1a 2m a 2m ＋1 ＝－19（8m 2＋12m ）＋19（16m 2＋16m ＋3）＝19（8m 2＋4m ＋3）＝19（2n 2＋6n ＋7）． 所以T n＝⎩⎨⎧－19(2n 2＋6n )，n 为偶数，19(2n 2＋6n ＋7)，n 为奇数.要使T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，只要使－19（2n 2＋6n ）≥tn 2，（n 为偶数）恒成立，只要使－19⎝⎛⎭⎫2＋6n ≥t ，对n 为偶数恒成立．故实数t 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－59． 跟踪训练1：已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16．（1）求数列{a n }的前n 项和S n ； （2）设T n ＝1(1)ni ii a =-∑，若对一切正整数n ，不等式λT n<[an ＋1＋（－1）n ＋1a n ]·2n－1恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）S n ＝n 2；（2）（－4，2）．【解析】（1） 设数列{a n }的公差为d ．因为2a 5－a 3＝13，S 4＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧2(a 1＋4d )－(a 1＋2d )＝13，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2．解法1：（2） ①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝（a 2－a 1）＋（a 4－a 3）＋…＋（a 2k－a 2k －1）＝2k ．代入不等式λT n <[a n ＋1＋（－1）n ＋1a n ]·2n －1，得λ·2k <4k，从而λ<4k2k．设f （k ）＝4k 2k ，则f （k ＋1）－f （k ）＝4k ＋12(k ＋1)－4k 2k ＝4k (3k －1)2k (k ＋1)．因为k ∈N *，所以f （k ＋1）－f （k ）>0，所以f （k ）是递增的，所以f （k ）min ＝2，所以λ<2． ②当n 为奇数时，设n ＝2k －1，k ∈N *，则T 2k －1＝T 2k －（－1）2k a 2k ＝2k －（4k －1）＝1－2k ．代入不等式λT n <[a n ＋1＋（－1）n ＋1a n ]·2n －1，得λ·（1－2k ）<（2k －1）4k ， 从而λ>－4k ．因为k ∈N *，所以－4k 的最大值为－4，所以λ>－4． 综上，λ的取值范围为（－4，2）．解法2：当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝（a 2＋a 4＋…＋a 2k ）－（a 1＋a 3＋…＋a 2k －1）＝2k ，下同解法1 例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，满足S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，且a 1＝1，并且正项数列{b n }满足b 2n ＋1－b n ＋1＝b 2n ＋b n （n ∈N *），其前7项和为42． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）令c n ＝b n a n ＋a nb n，数列{c n }的前n 项和为T n ，若对任意正整数，都有T n ≥2n ＋a ，求实数a 的取值范围；（3）将数列{a n }，{b n }的项按照“当n 为奇数时，a n 放在前面；当n 为偶数时，b n 放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，b 3，b 4，a 4，a 5，b 5，b 6，…，求这个新数列的前n 项和P n ．【答案】 （1）a n ＝n ，b n ＝n ＋2；（2）⎝⎛⎦⎤－∞，43【解析】（1）∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公差为12的等差数列，∴S n n ＝1＋（n －1）×12＝12n ＋12，即S n ＝n (n ＋1)2（n ∈N *）， ∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)(n ＋2)2－n (n ＋1)2＝n ＋1（n ∈N *），又a 1＝1，∴a n ＝n （n ∈N *）．∵b 2n ＋1－b n ＋1＝b 2n ＋b n ，∴（b n ＋1＋b n ）（b n ＋1－b n －1）＝0，又b n >0，∴b n ＋1－b n ＝1， ∴数列{b n }是等差数列，且公差为d ＝1，设{b n }的前项和为B n ，∵B 7＝7b 1＋7×62×1＝42，∴b 1＝3，∴b n ＝3＋（n －1）＝n ＋2（n ∈N *）．（2）由（1）知c n ＝b n a n ＋a n b n ＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ＋2⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2＝2n ＋2⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝2n ＋3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2，∴T n －2n ＝3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2，设R n ＝3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2，则R n ＋1－R n ＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋3＝4(n ＋1)(n ＋3)>0，∴数列{R n }为递增数列，∴（R n ）min ＝R 1＝43，∵对任意正整数n ，都有T n －2n ≥a恒成立，∴a ≤43，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，43． （3）数列{a n }的前n 项和S n ＝n (n ＋1)2，数列{b n }的前n 项和B n ＝n (n ＋5)2，①当n ＝2k （k ∈N *）时，P n ＝S k ＋B k ＝k (k ＋1)2＋k (k ＋5)2＝k 2＋3k ＝⎝⎛⎭⎫n 22＋3×n 2＝14n 2＋32n ； ②当n ＝4k －3（k ∈N *）时，Pn ＝S 2k －1＋B 2k －2＝(2k －1)·2k 2＋(2k －2)(2k ＋3)2＝4k 2－3＝n 2＋6n －34， 特别地，当n ＝1时，P 1＝1也符合上式； ③当n ＝4k －1（k ∈N *）时，Pn ＝S 2k －1＋B 2k ＝(2k －1)2k 2＋2k (2k ＋5)2＝4k 2＋4k ＝n 2＋6n ＋54．跟踪训练2：（2020·徐州模拟）在数列{}a n 中，a 1＝0，且对任意k ∈N *，a 2k －1，a 2k ，a 2k ＋1成等差数列，其公差为d k ．（1）若d 1＝2，求a 2，a 3的值；（2）若d k ＝2k ，证明a 2k ，a 2k ＋1，a 2k ＋2成等比数列（k ∈N *）；（3）若对任意k ∈N *，a 2k ，a 2k ＋1，a 2k ＋2成等比数列，其公比为q k ，设q 1≠1，证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1q k－1是等差数列．【答案】 （1）a 2＝2，a 3＝4．（2）略；（3）略．【解析】 （1）因为对任意k ∈N *，a 2k －1，a 2k ，a 2k ＋1成等差数列，所以当k ＝1时，a 1，a 2，a 3成等差数列且公差为2，故d 1＝a 2－a 1＝a 3－a 2，故a 2＝a 1＋d 1＝2，a 3＝a 2＋d 1＝4．（2）由题设，可得a 2k ＋1－a 2k －1＝4k ，（k ∈N *）．所以a 2k ＋1－a 1＝()a 2k ＋1－a 2k －1＋()a 2k －1－a 2k －3＋…＋()a 3－a 1＝4k ＋4()k －1＋…＋4×1＝2k ()k ＋1，由a 1＝0得，a 2k ＋1＝2k （k ＋1），从而a 2k ＝a 2k ＋1－2k ＝2k 2，所以a 2k ＋2＝2（k ＋1）2．于是a 2k ＋1a 2k ＝a 2k ＋2a 2k ＋1＝k ＋1k，所以当d k ＝2k 时，对任意的k ∈N *，a 2k ，a 2k＋1，a 2k ＋2成等比数列．（3）证明：由a 2k －1，a 2k ，a 2k ＋1成等差数列，及a 2k ，a 2k ＋1，a 2k ＋2成等比数列，可得2a 2k ＝a 2k －1＋a 2k ＋1，所以2＝a 2k －1a 2k ＋a 2k ＋1a 2k ＝1q k －1＋q k ，当q 1≠1时，可知q k ≠1，k ∈N *，从而1q k －1＝12－1q k －1－1＝1q k －1－1＋1，即1q k －1－1q k －1－1＝1（k ≥2），所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1q k －1是公差为1的等差数列．三、【反馈·提炼】1、已知首项为32的等比数列{n a}的前n 项和为S n （n ∈N *），且－2S 2，S 3，4S 4成等差数列．若S n ＋1S n≤m （n ∈N *）恒成立，则的m 的最小值是 ．证明：由（1）知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n，S n＋1S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n（2n＋1），n 为奇数，2＋12n （2n－1），n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136．当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512．故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136．2、已知等比数列{n a }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n．若A≤S n－1S n≤B 对n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为________．5972【解析】∵ S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－13n，∴ T n ＝S n －1S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－13n－11－⎝⎛⎭⎫－13n．当n 为奇数时，T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫13n －11＋⎝⎛⎭⎫13n递减，则0<T n <T 1＝712； 当n 为偶数时，T n ＝1－⎝⎛⎭⎫13n －11－⎝⎛⎭⎫13n递增，则－1772＝T 2<T n <0．故－1772≤T n ≤712，∴ A max ＝－1772，B min ＝712， 故 （B －A ）min ＝B min －A max ＝5972．3．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝（－1）n a n －12n，n ∈N *，则S 1＋S 2＋…＋S 2020＝________． 13⎝⎛⎭⎫12100－1 【解析】法一：n=1时，S 1＝－a 1－12，a 1＝－41n ≥2时，S n ＝（－1）n a n －12n ，S n-1＝（－1）n-1a n-1－1-21n ∴a n ＝（－1）n a n －（－1）n-1a n-1＋12n当n 为偶数时，a n-1＝－12n ，从而，a n ＝－12n ＋1（n 为奇数），∴a 3＝－116当n 为奇数时，a n-1＝1-21n ，从而，a n ＝12n （n 为偶数）对S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，①当n 为偶数时，S n ＝0；②当n 为奇数时，S n ＝a n ∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝a 1＋a 3＋…＋a 99＝13⎝⎛⎭⎫12100－1法二：①当n 为奇数时，S n ＝－a n －12n ，所以S n ＋1＝a n ＋1－12n ＋1，S n ＋1－a n ＋1＝－12n ＋1，即S n ＝－12n ＋1，又S n ＝－a n －12n ，所以S n ＝a n ＝－12n ＋1，②当n 为偶数时S n ＋1＝－a n ＋1－12n ＋1，S n ＋1＋a n ＋1＝－12n ＋1，S n ＋2a n ＋1＝－12n ＋1，S n ＝－2a n ＋1－12n ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫－12n ＋2－12n ＋1＝0，所以a 3＝－116，S 1＋S 2＋…＋S 100＝－⎝⎛⎭⎫122＋124＋…＋12100＝13⎝⎛⎭⎫12100－1． 4．已知数列{n a }中，121,a a a ==，且12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n 都成立，数列{n a }的前n 项和为Sn ．（1）若12k =，且20202020S =，求a ； （2）是否存在实数k ，使数列{n a }是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若1,2n k S =-求．【解析】⑴12k =时，121()2n n n a a a ++=+，211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列，此时首项11a =，公差211d a a a =-=-，数列{}n a 的前n 项和是1(1)(1)2n S n n n a =+--，得1a =；⑵设数列{}n a 是等比数列，则它的公比21a q a a ==，所以1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=， ①若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+，解得1a =，不合题意；②若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+，化简得：220a a +-=，解得2a =-，1a =（舍去）；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ③若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112m m m a a a +-=+，化简得：2210a a --=，解得12a =-；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++；综上可得，满足要求的实数k 有且仅有一个，25k =-；⑶12k =-则121()2n n n a a a ++=-+， 211()n n n n a a a a ++++=-+，32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+，当n 是偶数时，12341n n n S a a a a a a -=++++++12341()()()n n a a a a a a -=++++++12()(1)22n na a a =+=+， 当n 是奇数时，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++1231()2n a a a -=++1121[()]2n a a a -=+-+11(1)2n a -=-+，1n =也适合上式 综上可得，n S ⎧=⎨⎩11(1),2(1),2n a n a --++n n 是奇数是偶数．5． 对于给定数列{}n c ，如果存在实常数,p q ，使得1(0)n n c pc q p +=+≠对于任意的*n N ∈都成立，我们称这个数列{}n c 是“M 类数列”．（1）若*2,32,nn n a n b n N ==⋅∈，判断数列{},{}n n a b 是否为“M 类数列”，并说明理由； （2）若数列{}n a 是“M 类数列”，则数列1{}n n a a ++、1{}n n a a +⋅是否一定是“M 类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{}n a 满足：*111,32()nn n a a a n N +=+=⋅∈，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求nS 的表达式，并判断{}n a 是否是“M 类数列”．【解析】（1）因为12n n a a +=+，12p q ==，是“M 类数列”，…………………2分 12n n b b +=，20p q ==，是“M 类数列”．…………………4分．（2）因为{}n a 是“M 类数列”，所以1n n a pa q +=+，2+1n n a pa q +=+，所以121+()2n n n n a a p a a q +++=++，因此，1{}n n a a ++是“M 类数列”．…………7分 因为{}n a 是“M 类数列”，所以1n n a pa q +=+，2+1n n a pa q +=+， 所以221211()()n n n n n n a a p a a pq a a q ++++=+++， 当0q =时，是“M 类数列”；…………………9分 当0q ≠时，不是“M 类数列”；…………………10分 （3）当n 为偶数时，2+113(222)22n n n S -=+++=-，当n 为奇数时，24+111+3(222)23n n n S -=+++=-，所以112(2,)23(21,n n n n k k Z S n k k Z ++⎧=∈⎪=⎨-=-∈⎪⎩-2，，）．…………………12分当n 为偶数时，+1122(23)21n n n n n n a S S -=-=---=+，当n 为奇数时，+1123(22)213)n n n n n n a S S n -=-=---=-≥（，…………………14分所以21(2,)21(21,nn nn k k Z a n k k Z ⎧+=∈⎪=⎨-=-∈⎪⎩，，） 假设{}n a 是“M 类数列”， 当n 为偶数时，1121(21)2,3n n n n a pa q p q p q ++=-=+=++⇒==-， 当n 为奇数时，1121(21)2,3n n n n a pa q p q p q ++=+=+=-+⇒==，得出矛盾，所以{}n a 不是“M 类数列”．…………………16分 6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n （n 为奇数），a n －3n （n 为偶数）.（1） 否存在实数λ，使数列{a 2n －λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；（2） 若S n 是数列{a n }的前n 项的和，求满足S n ＞0的所有正整数n ． 【解析】（1） 设b n ＝a 2n －λ，因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2－λa 2n －λ＝13a 2n ＋1＋（2n ＋1）－λa 2n －λ＝13（a 2n －6n ）＋（2n ＋1）－λa 2n －λ＝13a 2n ＋1－λa 2n －λ．若数列{a 2n －λ}是等比数列，则必须有13a 2n＋1－λa 2n －λ＝q （常数），即⎝⎛⎭⎫13－q a 2n ＋（q －1）λ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧13－q ＝0（q －1）λ＋1＝0⎩⎨⎧q ＝13，λ＝32，此时b 1＝a 2－32＝13a 1＋1－32＝－16≠0，所以存在实数λ＝32，使数列{a 2n －λ}是等比数列．（2） 由（1）得{b n }是以－16为首项，13为公比的等比数列，故b n ＝a 2n －32＝－16·⎝⎛⎭⎫13n －1＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ， 即a 2n ＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ＋32．由a 2n ＝13a 2n －1＋（2n －1），得a 2n －1＝3a 2n －3（2n －1）＝－12·⎝⎛⎭⎫13n －1－6n ＋152，所以a 2n －1＋a 2n ＝－12·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1＋⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9＝－2·⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9， S 2n ＝（a 1＋a 2）＋（a 3＋a 4）＋…＋（a 2n －1＋a 2n ） ＝－2⎣⎡⎦⎤13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n－6（1＋2＋…＋n ）＋9n ＝－2·13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13－6·n （n ＋1）2＋9n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1－3n 2＋6n ＝⎝⎛⎭⎫13n－3（n －1）2＋2．显然当n ∈N *时，{S 2n }单调递减．又当n ＝1时，S 2＝73＞0，当n ＝2时，S 4＝－89＜0， 所以当n≥2时，S 2n ＜0；S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32·⎝⎛⎭⎫13n －52－3n 2＋6n ，同理，当且仅当n ＝1时，S 2n －1＞0． 综上，满足S n ＞0的所有正整数n 为1和2．7．已知数列{}n a 的首项1a a =（0a >），其前n 项和为n S ，设1n n n b a a +=+（n *∈N ）． （1）若21a a =+，322a a =，且数列{}n b 是公差为3的等差数列，求2n S ； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2n T n =．① 求数列{}n a 的通项公式；② 若对N n *∀∈，且2n ≥，不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +---≥恒成立，求a 的取值范围． 【解析】（1）由条件知13n n b b +-=，即23n n a a +-=， …… 2分 所以数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成等差数列，且公差均为3．由1a a =，322a a =+，所以3123a a a -=+=，即1a =， 所以11a =，22a =． 所以22(1)(1)323322n n n n n S n n n --⎡⎤⎡⎤=+⨯++⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． （2）① 由2n T n =，得121n n n b T T n -=-=-（2n ≥）， 由于11b =符合上式，所以21n b n =-（n *∈N ）， 所以121n n a a n ++=-．所以1(1)()n n a n a n +--=--，即11(1)n n a na n +-=---，所以数列{}(1)n a n --为等比数列，且公比为1-， 因为10a a =>，所以1(1)(1)n n a a n -=⋅-+-（n *∈N ）． ② 不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +---≥即为11()12(1)n n n n a a a a n ++-++-≥， 由于121n n a a n ++=-，所以不等式即为10n n a a +≥． 当n 是奇数时，(1)n a a n =+-，1n a a n +=-+，所以[]21(1)()(1)0n n a a a n a n a a n n +=+-⋅-+=-++-≥，即2(1)a a n n -+--≥对n *∀∈N ，且2n ≥恒成立， 所以26a a -+-≥，解得23a -≤≤．当n 为偶数时，(1)n a a n =-+-，1n a a n +=+， 由10n n a a +≥，得2(1)a a n n ----≥对n *∀∈N ，且2n ≥恒成立， 所以22a a ---≥，解得21a -≤≤，因为0a >，所以a 的取值范围是01a <≤．。