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2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学⾼三数学上第三次⽉考（⽂）试题（含答案）长郡中学2018届⾼三⽉考试卷（三）数学（⽂科）第Ⅰ卷（共60分）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．集合{}2*70,A x x x x =-<∈N ，则*6,B yy A y ??=∈∈N 中元素的个数为（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．对两个变量,x y 进⾏线性回归分析，计算得到相关系数0.9962r =-，则下列说法中正确的是（） A ．x 与y 正相关B ．x 与y 具有较强的线性相关关系C ．x 与y ⼏乎不具有线性相关关系D ．x 与y 的线性相关关系还需进⼀步确定 3．若不等式2162a bx x b a+<+对任意(),0,a b ∈+∞恒成⽴，则实数x 的取值范围是（） A ．()2,0- B ．()(),20,-∞-+∞U C ．()4,2- D ．()(),42,-∞-+∞U 4．下图程序框图表⽰的算法的功能是（）A ．计算⼩于100的奇数的连乘积B ．计算从1开始的连续奇数的连乘积C ．从1开始的连续奇数的连乘积，当乘积⼤于100时，计算奇数的个数D ．计算135100n ≥L 时的最⼩的n 值5．设{}n a 是公⽐为1q >的等⽐数列，若2010a 和2011a 是⽅程24830x x -+=的两根，则20122013a a +=（）A ．18B ．10C ．25D ．9 6．已知1a P a ??+??为⾓β的终边上的⼀点，且sin β=，则a 的值为（） A ．1 B ．3 C ．13 D ．127．欧拉公式i e cos isin xx x =+（i 为虚数单位）是由瑞⼠著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩⼤到复数，建⽴了三⾓函数和指数函数的关系，它在复变函数论⾥占有⾮常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2ie 表⽰的复数在复平⾯中位于（）A ．第⼀象限B ．第⼆象限C ．第三象限D ．第四象限 8体的体积为（）A ．16B ．163 C ．83D ．8 9．设函数()()2,211,22x a x x f x x -≥??=-，()n a f n =，若数列{}n a 是单调递减数列，则实数a的取值范围为（） A ．(),2-∞ B ．7,4??-∞ C ．13,8??-∞ D ．13,2810．⼀棱长为6的正四⾯体内部有⼀个可以任意旋转的正⽅体，当正⽅体的棱长取最⼤值时，正⽅体的外接球的表⾯积是（）A ．4πB ．6πC ．12πD ．24π11．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平⾏于抛物线的对称轴；反之，平⾏于抛物线对称轴的⼊射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，⼀条平⾏于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另⼀点B 射出，则ABM ?的周长为（） A．7112+ B．9 C．9 D．831212．若函数()f x 在区间A 上，对,,a b c A ?∈，()()(),,f a f b f c 为⼀个三⾓形的三边长，则称函数()f x 为“三⾓形函数”.已知函数()ln f x x x m =+在区间21,e e ??上是“三⾓形函数”，则实数m 的取值范围为（）A ．21e 2,e e ??+B ．2,e ??+∞C ．1,e ??+∞ ?D ．2e 2,e ??++∞第Ⅱ卷（共90分）⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知()1i 1i x y +=+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则i x y += ．14．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上存在⼀点P 满⾜以OP 为边长的正⽅形的⾯积等于2ab （其中O 为坐标原点），则双曲线的离⼼率的取值范围是．15．已知平⾯上的单位向量1e u r 与2e u r 的起点均为坐标原点O ，它们的夹⾓为3π，平⾯区域D由所有满⾜12OP e e λµ=+uu u r u r u r 的点P 组成，其中100λµλµ+≤??≤??≤?，那么平⾯区域D 的⾯积为．16．()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -?-<≤?=?->??，则函数()()1g x xf x =-在[)6,-+∞上的所有零点之和为．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC ?中，3B π=，2BC =.（1）若3AC =，求AB 的长；（2）若点D 在边AB 上，AD DC =，DE AC ⊥，E 为垂⾜，2ED =，求⾓A 的值.18．如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，将ADE ?沿AE 折起，得到如图2所⽰的四棱锥1D ABCE -，其中平⾯1D AE ⊥平⾯ABCE .（1）证明：BE ⊥平⾯1D AE ；（2）设F 为1CD 的中点，在线段AB 上是否存在⼀点M ，使得MF ∥平⾯1D AE ，若存在，求出AMAB的值；若不存在，请说明理由. 19．已知具有相关关系的两个变量,x y 之间的⼏组数据如下表所⽰：（1）请根据上表数据在⽹格纸中绘制散点图；（2）请根据上表提供的数据，⽤最⼩⼆乘法求出y 关于x 的线性回归⽅程ybx a =+，并估计当20x =时，y 的值；（3）将表格中的数据看作五个点的坐标，从这五个点中随机抽取2个点，求这两个点都在直线240x y --=的右下⽅的概率.（参考公式：1221ni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑，??ay bx =-） 20．已知圆22:650F x y y +-+=，某抛物线的顶点为原点O ，焦点为圆⼼F ，经过点F 的直线l 交圆F 于,N S 两点，交此抛物线于,M T 两点，其中,S T 在第⼀象限，,M N 在第⼆象限.（1）求该抛物线的⽅程；（2）是否存在直线l ，使52NS 是MN 与ST 的等差中项？若存在，求直线l 的⽅程；若不存在，请说明理由. 21．已知()1ln a f x x a x x-=--，其中a ∈R . （1）求函数()f x 的极⼤值点；（2）当[)1,11e ,e a ?∈-∞+++∞ ??U 时，若在1,e e上⾄少存在⼀点0x ，使()0e 1f x >-成⽴，求a 的取值范围.请考⽣在22、23两题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数⽅程。
2011届高三年级第三次月考数学试卷一、选择题（10×5=50分） 1、0sin(330)-的值为（ ） A ．12B ．-12CD ．2、若34sin ,cos 55θθ==-，则2θ所在象限是（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四3、如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）A ．3|1|(02)2y x x =-≤≤B ．33|1|(02)22y x x =--≤≤C ．3|1|(02)2y x x =--≤≤D ．1|1|(02)y x x =--≤≤4、函数()y f x =图象如图所示，则函数12log ()y f x = 图象大致是（ ）5、函数32()ln 2f x xπ=-的零点一定位于区间（ ） A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4） D ．（4，5）6、直线1ln()y x y x a =+=+与曲线相切，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-27、已知1sin 2sin ,'2y x x y =+则是（ ） A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数8、函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是（ ） A ．0a >B ．0a ≥C ．0a <D ．0a ≤AB C D9、函数32()6f x ax ax b =-+在[-1,2]上最大值为3，最小值为-29（a>0），则（ ） A ．a=2，b=-29B ．a-3， b=2C ．a=2, b=3D ．以上都不对10、函数21()ln 22f x x ax x =--存在单调递减区间，则a 的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．[0，1） C ．（-1，0]D ．(,)-∞+∞二、填空题（6×4=24分）11、设230.311331log ,log ,(),,,2a b c a b c ===则大小关系为 。
长郡中学高三第一次月考数学试卷(文科)时量:120分钟 满分: 150分 命题人 李建刚一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．a 、b 为实数，集合{,1},{,0},:bM N a f x x a==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则b a +A ．1B ．0C ．－1D ．±12. 设()x f 是定义在R 上的单调递减的奇函数，若,0,0,0133221>+>+>+x x x x x x 则 A . ()()()0321>++x f x f x f B. ()()()0321<++x f x f x f C. ()()()0321=++x f x f x f D. ()()()321x f x f x f >+3.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，称这些函数为—同族函数。
那么，函数的解析式为2x y =，值域为{}9,4的同族函数共有 A. 7个 B. 8个 C. 9个 D.10个4．已知命题P:不等式()[]011lg >+-x x 的解集为{}10<<x x ;命题Q:在三角形ABC 中B A ∠>∠是⎪⎭⎫⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos 42cos 22B B A π成立的必要而非充分条件,则A . P 真Q 假B . P 且Q 为真C . P 或Q 为假D . P 假Q 真 5. 设y x ,都是整数，且满足()y x xy +=+22，则22y x +的最大可能值为 A. 32 B. 25 C. 18 D. 166. 函数()⎩⎨⎧≤<≤=πx x x x x f 0 sin 40 2 ,则集合()(){}0=x f f x 中元素的个数有A .2个B . 3个C .4个 D. 5个 7. 将函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin πωx x f 的图像按,14a π⎛⎫= ⎪⎝⎭平移之后得到函数()g x 的图像,若22143+=⎪⎭⎫⎝⎛πg 则5()14g π-的值为A ．C .8. 在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得m t m a a =+ 对任意正整数m 均成立，那么就称{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期。
湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考数学试卷（三）一、单选题1．设集合{}{}{}1,2,2,3,1,2,3,4A B C ===，则（）A ．AB =∅B ．A B C= C ．A C C= D ．A C B= 2．在复平面内，复数1z 对应的点和复数212i z =+对应的点关于实轴对称，则12z z =（）A ．34i-+B ．34i--C ．5D3．已知向量a ，b 满足3a = ，b = 且()a ab ⊥+ ，则b 在a方向上的投影向量为（）A ．3B ．3-C ．3a- D ．a-r 4．已知函数()f x 的定义域为R ，()54f =，()3f x +是偶函数，[)12,3,x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x ->-，则（）A ．()04f <B ．()14f =C ．()24f >D ．()30f <5．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）A ．24B ．32C ．96D ．1286．已知曲线e x y =在1x =处的切线l 恰好与曲线ln y a x =+相切，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．在直角坐标系中，绕原点将x 轴的正半轴逆时针旋转角π(0)2αα<<交单位圆于A 点、顺时针旋转角ππ()42ββ<<交单位圆于B 点，若A 点的纵坐标为1213，且OAB △的面积为4，则B 点的纵坐标为（）A ．2-B ．C ．D ．8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为()0,,A F c 是双曲线C 的右焦点，点P 在直线2x c =上，且tan APF ∠C 的离心率是（）A ．B ．2C ．D ．4+二、多选题9．函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．2π3f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最小值C ．()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．把函数=的图象上所有点向右平移π12个单位长度，可得到函数3sin 2y x =的图象10．在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AB AA AD ===，点P 满足AP AB AD λμ=+，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则（）A ．若1B P 与平面ABCD 所成角为π4，则点P 的轨迹长度为π4B ．当λμ=时，1//B P 面11ACD C ．当12λ=时，有且仅有一个点，使得1A P BP ⊥D ．当2μλ=时，1A P DP +11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线2:2(0)C y px p =>绕其顶点分别逆时针旋转90180270 ､､后所得三条曲线与C 围成的（如图阴影区域），,A B 为C 与其中两条曲线的交点，若1p =，则（）A ．开口向上的抛物线的方程为212y x =B ．A =4C ．直线x y t +=截第一象限花瓣的弦长最大值为34D ．阴影区域的面积大于4三、填空题12．若52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则2a =.13．已知函数24,1()ln 1,1x x a x f x x x ⎧++<=⎨+≥⎩，若函数()2y f x =-有3个零点，则实数a 的取值范围是.14．设n T 为数列{}n a 的前n 项积，若n n T a m +=，其中常数0m >，数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则m =．四、解答题15．记ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()b c a b c a bc +-++=.(1)求A ；(2)若D 为BC 边上一点，3,4,BAD CAD AC AD ∠∠==，求sin B .16．如图，三棱柱111ABC A B C -中，160A AC ∠=︒，AC BC ⊥，1A C AB ⊥，1AC =，12AA =.(1)求证：1A C ⊥平面ABC ；(2)直线1BA 与平面11BCC B 所成角的正弦值为4，求平面11A BB 与平面11BCC B 夹角的余弦值.17．人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为m （*m ∈N ）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得1-分.若该答题机器人答对每道题的概率均为12，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为X ，当2X m =时，答题结束，机器人挑战成功，当X 0=时，答题也结束，机器人挑战失败.(1)当3m =时，求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望；(2)当4m =时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.18．已知椭圆G22+22=1>>0的长轴是短轴的3倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为3,,A B 是椭圆左右顶点，过,A B 做椭圆的切线，取椭圆上x 轴上方任意两点,P Q （P 在Q 的左侧），并过,P Q 两点分别作椭圆的切线交于R 点，直线RP 交点A 的切线于I ，直线RQ 交点B 的切线于J ，过R 作AB 的垂线交IJ 于K .(1)求椭圆的标准方程.(2)若()1,2R ，直线RP 与RQ 的斜率分别为1k 与2k ，求12k k 的值.(3)求证：IK IA JKJB=19．对于函数()f x ，若实数0x 满足00()f x x =，则称0x 为()f x 的不动点.已知0a ≥，且21()ln 12f x x ax a =++-的不动点的集合为A .以min M 和max M 分别表示集合M 中的最小元素和最大元素.(1)若0a =，求A 的元素个数及max A ；(2)当A 恰有一个元素时，a 的取值集合记为B .（i ）求B ；（ii ）若min a B =，数列{}n a 满足12a =，1()n n n f a a a +=，集合141,3nn k k C a =⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭∑，*N n ∈.求证：*N n ∀∈，4max 3n C =.。
湖南师大附中2011届高三月考试卷（三）数 学 试 题（文）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求的。
1．已知集合22{|log (1)0},{|20},S x x T x x x =+>=--> 则S T 等于 （ ）A ．（0，2）B ．（-1，2）C ．（-1,+∞）D ．（2,+∞） 2．下列命题中，为真命题是（ ）A ．若110,a b a b>><则B ．,22a b c a c b >->-若那么C ．若22,a b ac bc >>则D ．若,a b >>3．若5log 41x =-，则4x的值为（ ）A ．5B ．-5C ．15D ．15-4．在同一个坐标系中画出函数log ,,x a y x y a y x a ===+的图象，可能正确的是（ ）5．已知命题2:0;:,10,p m q x R x mx p q <∀∈++>∧命题若为真命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2m <-B ．2m >C ．22m m <->或D ．20m -<<6．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且22cos 1,2A bc=+则ABC ∆一定是A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．无法确定7．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ）A ．AO OD =B ．2AO OD =C ．3AO OD = D ．2AO OD =8．对于向量a ，b ，定义a ×b 为向量a ，b 的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a ×b 的模|a ×b|=|a||b|sin θ（其中θ为向量a 与 b 的夹角），a ×b 的方向与向量a ，b 的方向都垂直，且使得a ， b ，a ×b 依次构成右手系。
湖南省长郡中学2011届高三第三次月考语文试卷一、语言知识及运用（共15分，每小题3分）1．下列词语中加点的字，注音全都正确的一组是A．肖像xiào创伤chuāng久假不归jià针砭时弊biānB．洁癖pì啮齿qǔ汗流浃背jiā间不容发jiānC．秸秆gān豢养juàn所向披靡mǐ向隅而泣yúD．溃浓huì着落zhuó瘙痒难忍sào锐不可当dāng1．D （A久假不归jiǎ ；B洁癖pǐ啮齿niè；C秸秆gǎn豢养huàn）2．下列各句中，没有错别字的一句是A．虽然因囊中羞涩而食不裹腹的小吴此时正痛心疾首地盘桓在湘江边，但狡黠的贾交警依然固我，坚持要给险些肇事的他以处罚，说是这样做可以起到杀一儆百的作用。
B．探月卫星一小步，人类文明一大步。
中国的“嫦娥工程”是一场永无止境、勇攀高峰的接力赛，凝聚着民族不屈不挠的努力，正书写着人类太空探索史上的斩新篇章。
C．此次世锦赛，陈一冰吊环比赛中的动作之飘逸，到位之精确，达到了体操迷们企盼的最高境界，即使你过分挑剔，即使他人极尽媲美之能事，也找不到他动作的瑕疵。
D．渴慕宣泄，欣羡纹身，竟成了不少踊跃参加野外生存训练的营员门的常态心理，这让前来察访的李书记始料未及，他决计精兵减政并整饬这里的人浮于事的工作作风。
2．C （A．食不果腹B．崭新 D．文身精兵简政）3．下列加点词语使用不恰当的一句是A．印尼近日连续遭到地震、海啸与火山爆发等自然灾害的袭击。
这些灾害已造成至少311人死亡，目前仍有数百人下落不明，2万多人无家可归。
B．见我诧异，爸爸和蔼地说：“通往广场的路不止一条。
生活也是一样，假如你发现走这条路不能达到目的地的话，就可以尝试着走另一条啊！”C．山西省被誉为“华夏民居第一宅”的王家大院，依山就势，不仅层楼叠院，鳞次栉比拥有庞大的建筑群，而且保存了大量卓尔不群的雕塑精品。
长郡中学2009届高三第三次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、下列电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的必要不充分条件的是 （ ）2．在等比数列{n a }中，n a ＞0（1≥n 且N n ∈）.若===⋅5451,8,4a a a a 则 （ ）A ．4B ．16C ．32D ．64 3．已知函数)()(),1,0(log 1)(1x f x fa a x x f a 是且-≠>+=的反函数. 若4)3(1=-f ,则a 的值等于 （ ）A ．2B ．3C ．33D ．24．设m 、n 是两条不同的直线，α、β、r 是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若n m n m ⊥αα⊥则,//,； ②若r m m r ⊥α⊥ββα则,,//,//； ③若n m n m //,//,//则αα；④若βα⊥β⊥α//,,则r r .其中正确的命题序号是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④5．已条变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-+≥,01,04,2y x y x x 则x y的最大值是 （ ）A ．4B ．2C ．1D ．21 6．若平面四边形ABCD 满足0)(,0=•-=+AC AD AB CD AB ，则该四边形一定是 （ ） A ．直角梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形7．从5位男数学教师和4位女数学教师中选出3位教师派到3个班担任班主任（每班1位班主任） 要求这3位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有 （ ） A ．210 B ．420 C ．630 D ．8408．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，共顶点A 的三条棱长分别为361、、，则该长方体的外接球的表面积为（ ）A ．π16B ．π36C ．π48D ．π969．对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界，若,,1a b R a b +∈+=且，则122a b--的上确界为（ ）A ．－3B ．4-C ．－41D ． 92-10．如图，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点 F 1作倾斜角为30︒直线l ，l 与双曲线的右支交于点P ，若线段PF 1的中点M 落在y 轴上， 则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．x y ±=B ．x y 3±=C ．x y 2±=D ．x y 2±=二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分． 11．函数()f x ___________12． 若nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+122的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则n=______；常数项为13．已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<>>∈+=200πϕωϕω，，，A R x x sin A x f 的部分图象如图所示，则______=ω； _______=ϕ14．设11)(2+=x x f ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f （10）+ f （9）+ ……f （2）+f （1）+ f （21）…+ f （91）+ f （101）的值为__________15．过抛物线x y 42=的焦点F 作斜率为4/3的直线交抛物线于A 、B 两点，若)1(>=λλ，则________=λ三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤． 16（本小题满分12分）已知向量)sin cos ,sin 2(x x x -=，)sin cos ,cos 3(x x x +=，函数x f •=)( （I ）求()f x 的最小正周期和值域；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()22A f =且2a bc =，试判断ABC ∆的形状。
湖南省长郡中学2011届高三第三次月考试卷（文科数学）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5}A =，{2,5,7}B =，则()UA B ⋂=（ ） A ．{1,2,3,5,7} B ．{2,7} C ． {4,6} D ．{6} 2. 设i 是虚数单位，则复数1i i-的虚部是（ ）A ．2i B ．12C ．12- D ．12-3. 在平行四边形ABCD 中，下列结论中不正确．．．的是（ ） A. AB →=DC → B. AD →＋AB →＝AC → C. AD →＋CB →＝0 D. AB →－AD →＝BD →4. 已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,12)，则函数()f x 的定义域为（ ）.A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(,)-∞+∞5. 在A B C ∆中，已知:p 三内角A B C 、、成等差数列；:q 60B = .则p 是q 的（ ）A ． 充分必要条件B ．必要不充分条件C ． 充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是（ ）A ． 2π B ． 3π C ． 4π D ．6π7. 阅读如右图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A. －10B. 0C. 10D. 20 8. 已知函数1()2f x +为奇函数，设()()1g x f x =+， 则12342010()()()()()20112011201120112011g g g g g ++++⋅⋅⋅+=（ ）A. 1005B. 2010C. 2011D.4020二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上. 9. 若函数2()(1)f x x a x a a =+-+=为偶函数，则______.10. 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若819=S ，则=++852a a a ．20n ≤s =0，n =1开始 n=n+1输出s结束NY(1)ns s n=+-11. 已知函数31() 0()2log 0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则1(())3f f = .12. 向量a ＝(cos 15°，sin 15°)，b ＝(sin 15°，cos 15°)，则|a －b |的值是 ．13. 函数()ln f x x =在x n = ()n N *∈处的切线斜率为n a ，则12233420102011a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+= .14. 设函数f (x )＝|3x －1|的定义域是[a ，b ]，值域是[2a ，2b ] (b >a )，则a ＋b ＝ . 15. 给出下面的数表序列：222222122221 表3 表21表1其中表n （n =1,2,3 ）有n 行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n 中所有的数之和为n a ，例如25a =，317a =，449a =.则 （1）5a = .（2）数列{}n a 的通项n a =三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知(2sin ,cos sin )a x x x ωωω=+ ，(cos ,cos sin )b x x x ωωω=-，(0)ω>，函数()f x a b =⋅，且函数()f x 的最小正周期为π.（I ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()f x 在[0,]2π上的单调区间.17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，且1313,,a a a 成等比数列. （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）设2na nb =，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. （本小题满分12分）在A B C ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、.设向量(sin ,cos )m A B = ，(cos ,sin )n A B =（I ）若//m n，求角C ； （Ⅱ）若m n ⊥，15B =，62a =+，求边c 的大小.19. （本小题满分13分） 已知0a ≠，函数23212()33f x a x ax =-+，()1g x ax =-+， x R ∈ .（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若在区间1(0,]2上至少存在一个实数0x ，使00()()f x g x >成立，试求正实数．．．a 的取值范围.20．（本小题满分13分）某鱼塘2009年初有鱼10（万条），每年年终将捕捞当年鱼总量的50%，在第二年年初又将有一部分新鱼放入鱼塘. 根据养鱼的科学技术知识，该鱼塘中鱼的总量不能超过19.5（万条）（不考虑鱼的自然繁殖和死亡等因素对鱼总量的影响），所以该鱼塘采取对放入鱼塘的新鱼数进行控制，该鱼塘每年只放入新鱼b （万条）.（I ）设第n 年年初该鱼塘的鱼总量为n a (年初已放入新鱼b （万条）,2010年为第一年)，求1a 及1n a +与n a 间的关系；（Ⅱ）当10b =时，试问能否有效控制鱼塘总量不超过19.5（万条）？若有效，说明理由；若无效，请指出哪一年初开始鱼塘中鱼的总量超过19.5（万条）.21. 已知函数21()ln 2f x x ax bx =-+（0a >），且(1)0f '=.（Ⅰ）试用含有a 的式子表示b ，并求()f x 的极值；（Ⅱ）对于函数()f x 图象上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，如果在函数图象上存在点00(,)M x y （其中012(,)x x x ∈），使得点M 处的切线//l A B ，则称A B 存在“伴随切线”. 特别地，当1202x x x +=时，又称A B 存在“中值伴随切线”. 试问：在函数()f x 的图象上是否存在两点A 、B 使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出A 、B 的坐标，若不存在，说明理由.参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 16. 设全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5}A =，{2,5,7}B =，则()UA B ⋂=（ B ） A ．{1,2,3,5,7} B ．{2,7} C ． {4,6} D ．{6} 17. 设i 是虚数单位，则复数1i i-的虚部是（ B ）A ．2i B ．12C ．12- D ．12-18. 在平行四边形ABCD 中，下列结论中不正确．．．的是（ D ） A. AB →=DC → B. AD →＋AB →＝AC → C. AD →＋CB →＝0 D. AB →－AD →＝BD →19. 已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,12)，则函数()f x 的定义域为（ C ）.A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(,)-∞+∞【解析】 由已知得122α=，所以1α=-，11()f x xx-==，所以函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ .20. 在A B C ∆中，已知:p 三内角A B C 、、成等差数列；:q 60B = .则p 是q 的（ A ）A ． 充分必要条件B ．必要不充分条件C ． 充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件21. 已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是（ B ）A ． 2π B ． 3π C ． 4π D ．6π【解析】 ∵a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，∴a ·b ＝2＋a 2＝3.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12，∴a 与b 的夹角为π3.22. 阅读如图所示的程序框图，则输出的结果是（ C ）A. －10B. 0C. 10D. 20 【解析】由题意得，1234s =-+-+-192010-+= ．20n ≤s =0，n =1开始 n=n+1输出s 结束NY(1)ns s n=+-23. 已知函数1()2f x +为奇函数，设()()1g x f x =+， 则12342010()()()()()20112011201120112011g g g g g ++++⋅⋅⋅+=（ B ）A. 1005B. 2010C. 2011D.4020二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上. 24. 若函数2()(1)f x x a x a a =+-+=为偶函数，则___1___.25. 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若819=S ，则=++852a a a 27 ．26. 已知函数31() 0()2log 0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则1(())3f f = 2 .27. 向量a ＝(cos 15°，sin 15°)，b ＝(sin 15°，cos 15°)，则|a －b |的值是 1 ．【解析】 由题设，|a |＝1，|b |＝1，a·b ＝sin(15°＋15°)＝12.∴|a －b |2＝a 2＋b 2－2a·b ＝1＋1－2×12＝1.∴|a －b |＝1.28. 函数()ln f x x =在x n = ()n N *∈处的切线斜率为n a ，则12233420102011a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=20102011.29. 设函数f (x )＝|3x －1|的定义域是[a ，b ]，值域是[2a ，2b ] (b >a )，则a ＋b ＝ 1 . 【解析】 因为f (x )＝|3x －1|的值域为[2a ，2b ]， 所以b >a ≥0，而函数f (x )＝|3x －1|在[0，＋∞)上是单调递增函数，因此应有|31|2|31|2a b a b ⎧-=⎨-=⎩，解得01,0a b =⎧⎨=⎩或或1∵0,.1a b a b =⎧>∴⎨=⎩ 所以有a ＋b ＝1.30. 给出下面的数表序列：222222122221 表3 表21表1其中表n （n =1,2,3 ）有n 行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n 中所有的数之和为n a ，例如25a =，317a =，449a =.则 （1）5a =129.（2）数列{}n a 的通项n a =(1)21n n -⨯+【解析】（1）5129a =， （2）依题意，23112232422n n a n -=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ① 由①⨯2得，2342122232422n n a n =⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ②将①-②得 23411222222n nn a n --=+++++⋅⋅⋅+-⨯1(12)212nn n -=-⨯-212n nn =--⨯所以 (1)21nn a n =-⨯+.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知(2sin ,cos sin )a x x x ωωω=+ ，(cos ,cos sin )b x x x ωωω=-，(0)ω>，函数()f x a b =⋅，且函数()f x 的最小正周期为π.（I ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()f x 在[0,]2π上的单调区间.【解析】（I ）2()(2cos sin )(cos sin )(cos sin )f x a b x x x x x x ωωωωωω=⋅=++- ………………2分 sin 2cos 2x x ωω=+2sin(2)4x πω=+ ………………4分因为函数()f x 的最小正周期为π，所以212ππωω=⇒=.()2sin(2)4f x x π=+. (6)分 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，且成等比数列. （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）设2na nb =，求数列{}n b 的前n 项和n S .【解析】（I ）设等差数列,}{d a n 的公差为 (0)d ≠由1313,,a a a 成等比数列，得 23113a a a =⋅ ………………2分即2(12)112d d +=+得2d =或0d =（舍去）. 故2d =，所以21n a n =- ……………… 6分 （II ） 2122n a n n b -==，所以数列{}n b 是以2为首项，4为公比的等比数列. ………………8分∴35212222n n S -=+++⋅⋅⋅+2(14)2(41)143nn-==-- ………………… 12分18. （本小题满分12分）在A B C ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、.设向量(sin ,cos )m A B = ，(cos ,sin )n A B =（I ）若//m n，求角C ； （Ⅱ）若m n ⊥，15B =，62a =+，求边c 的大小.【解析】（I ）由//m nsin sin cos cos 0A B A B ⇒-=cos()0A B ⇒+=，因为0180A B <+<，所以90A B +=，180()90C A B =-+=. ………………6分（Ⅱ）由m n ⊥sin cos sin cos 0A A B B ⇒+=sin 2sin 20A B ⇒+=，已知15B = ，所以sin 2sin 300A +=，1sin 22A =-，因为023602330A B <<-= ，所以2210A =，105A =.1801510560C =--=.根据正弦定理sin sin a c AC=62sin 105sin 60c +⇒=(62)sin 60sin 105c +⇒=.因为62sin 105sin(4560)4+=+=，所以3(62)223(62)4c +⨯==+. (12)分19. （本小题满分13分） 已知0a ≠，函数23212()33f x a x ax =-+，()1g x ax =-+， x R ∈ .（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若在区间1(0,]2上至少存在一个实数0x ，使00()()f x g x >成立，试求正实数．．．a 的取值范围.【解析】（I）由23212()33f x a x ax =-+求导得，22()2f x a x ax '=-. ……………………1分①当0a >时，由2222()2()0f x a x ax a x x a'=-=-<，解得20x a<<所以23212()33f x a x ax =-+在2(0,)a上递减. …………3分②当0a <时，由2222()2()0f x a x ax a x x a'=-=-<可得20x a<<所以23212()33f x a x ax =-+在2(,0)a上递减. …………………5分 综上：当0a >时，()f x 单调递减区间为2(0,)a；当0a <时，()f x 单调递减区间为2(,0)a…………………6分（Ⅱ）设23211()()()33F x f x g x a x ax ax =-=-+-1(0,]2x ∈. ……………………8分对()F x 求导，得2222()2(12)F x a x ax a a x a x '=-+=+-， ……………………9分因为1(0,]2x ∈，0a >，所以22()(12)0F x a x a x '=+->，()F x 在区间1(0,]2上为增函数，则m ax 1()()2F x F =.……………………11分 依题意，只需max ()0F x >，即211111038423a a a ⨯-⨯+⨯->，即2680a a +->，解得317a >-+或317a <--（舍去）. 所以正实数a 的取值范围是(317,)-++∞. ……………………13分20．（本小题满分13分）某鱼塘2009年初有鱼10（万条），每年年终将捕捞当年鱼总量的50%，在第二年年初又将有一部分新鱼放入鱼塘. 根据养鱼的科学技术知识，该鱼塘中鱼的总量不能超过19.5（万条）（不考虑鱼的自然繁殖和死亡等因素对鱼总量的影响），所以该鱼塘采取对放入鱼塘的新鱼数进行控制，该鱼塘每年只放入新鱼b （万条）.（I ）设第n 年年初该鱼塘的鱼总量为n a (年初已放入新鱼b （万条）,2010年为第一年)，求1a 及1n a +与n a 间的关系；（Ⅱ）当10b =时，试问能否有效控制鱼塘总量不超过19.5（万条）？若有效，说明理由；若无效，请指出哪一年初开始鱼塘中鱼的总量超过19.5（万条）. 【解析】（I ）依题意，1110(1)52a b b =⨯-+=+， (1)分*11()2n n a a b n N +=+∈ ……………………4分（Ⅱ）当10b =时，11102n n a a +=+，1120(20)2n n a a +⇒-=-，所以{20}n a -是首项为-5，公比为12的等比数列. (7)分 故11205()2n n a --=-⨯，得111205()2010()22n nn a -=-⨯=-⨯ ………………9分若第n 年初无效，则12010()19.52n -⨯>220n⇒>⇒5n ≥.所以5n ≥，则第5年初开始无效. (12)分即2014年初开始无效. …………………………………………13分21. 已知函数21()ln 2f x x ax bx =-+（0a >），且(1)0f '=. （Ⅰ）试用含有a 的式子表示b ，并求()f x 的极值；（Ⅱ）对于函数()f x 图象上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，如果在函数图象上存在点00(,)M x y （其中012(,)x x x ∈），使得点M 处的切线//l A B ，则称A B 存在“伴随切线”. 特别地，当1202x x x +=时，又称A B 存在“中值伴随切线”. 试问：在函数()f x 的图象上是否存在两点A 、B 使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出A 、B 的坐标，若不存在，说明理由.【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x ax b x'=-+ ，(1)10f a b '=-+=，1b a ∴=-. ……………2分 代入1()f x ax b x'=-+，得1()f x ax x'=-(1)(1)1ax x a x+-+-=-.当()0f x '>时，(1)(1)0ax x x+-->，由0x >，得(1)(1)0ax x +-<，又0a >，01x ∴<<，即()f x 在(0,1)上单调递增； 当()0f x '<时，(1)(1)0ax x x+--<，由0x >，得(1)(1)0ax x +->， (4)分又0a >，1x ∴>，即()f x 在(1,)+∞上单调递减.()f x ∴在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减.所以，当1x =时，()f x 的极大值为1(1)ln 1122a f ab =-+=- ………………6分（Ⅱ）在函数()f x 的图象上不存在两点A 、B 使得它存在“中值伴随切线”. 假设存在两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，不妨设120x x <<，则211111ln (1)2y x ax a x =-+-，222221ln (1)2y x ax a x =-+-，2121AB y y k x x -==-22212121211(ln ln )()(1)()2x x a x x a x x x x ---+---211221ln ln 1()12x x a x x a x x -=-++--，在函数图象1202x x x +=处的切线斜率120122()()2x x k f x f a x x +''===-⋅+12(1)2x x a ++-，由211221ln ln 1()12x x a x x a x x --++-=-12122(1)2x x a a x x +-⋅+-+化简得：212112ln ln 2x x x x x x -=-+，21lnx x =221122112(1)2()1x x x x x x x x --=++. 令21x t x =，则1t >，上式化为：2(1)ln 1t t t -==+421t -+，即4ln 21t t +=+，若令4()ln 1g t t t =++， 22214(1)()(1)(1)t g t tt t t -'=-=++，由1t ≥，()0g t '≥，()g t ∴在[1,)+∞在上单调递增，()(1)2g t g >=. 这表明在(1,)+∞内不存在t ，使得4ln 1t t ++=2.综上所述，在函数()f x 上不存在两点A 、B 使得它存在“中值伴随切线”. ……………13分。
