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排列组合常见错解剖析山东枣庄二中（277400）张夫娥排列组合问题类型繁多、方法丰富、富于变化，稍不注意，极易出错.本文结合实例介绍同学们中存在的普遍错误，以飨读者.1.没有理解两个基本原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.例1.从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.误解：因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机，所以只有2种取法.剖析：误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法.正解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有26C 种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据乘法原理共有3526C C ⋅种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ⋅种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+⋅3526C C 3502536=⋅C C 种方法. 例2．在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.（A ）34A （B ）34 （C ）43 （D ）34C误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A.剖析：误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有3×3×3×3=34种.说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得34.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能.2．判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.例3．有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解：因为是8个小球的全排列，所以共有88A 种方法.剖析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有：5638=C 排法. 3．重复计算出错在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。
1.2.1 排列（二）知识与技能利用排列和排列数公式解决简单的计数问题．过程与方法经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：利用排列和排列数公式解决简单的计数问题．教学难点：利用排列和排列数公式解决简单的计数问题．教学过程复习回顾提出问题1：判断下列两个问题是不是排列问题，若是求出排列数，若不是，说明理由．(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？活动设计：学生自己独立思考，教师提问．活动成果：解：(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：A35＝5×4×3＝60，所以，共有60种不同的送法．(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5×5×5＝125，所以，共有125种不同的送法．本题中两个小题的区别在于：第(1)小题是从5本不同的书中选出3本分送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第(2)小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到哪种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算．设计意图：引导学生通过具体实例回顾排列的概念和排列数公式．典型例题类型一：直接抽象为排列问题的计数问题例1.某年全国足球甲级(A组)联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？解：任意两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是A214＝14×13＝182.点评：要学会把具体问题抽象为从n个不同的元素中任取m(m≤n)个不同元素，按一定顺序排成一列的问题．巩固练习某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有A13种；第二类用2面旗表示的信号有A23种；第三类用3面旗表示的信号有A33种，由分类加法计数原理，所求的信号种数是：A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15，即一共可以表示15种不同的信号．变式演练将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有A44种方法；第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有A44种方法．利用分步乘法计数原理即得分配方案的种数．解：由分步乘法计数原理，分配方案种数共有N＝A44·A44＝576.即共有576种不同的分配方案．类型二：有约束条件的排列问题(特殊位置分析法、特殊元素分析法)例2.用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？思路分析：在本问题的0到9这10个数字中，因为0不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此0是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素的排列位置入手来考虑问题．解法一：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是0，因此可以分两步完成排列．第1步，排百位上的数字，可以从1到9这九个数字中任选1个，有A19种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个，有A29种选法(如图)．根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为A19×A29＝9×9×8＝648.解法二：如图所示，符合条件的三位数可分成3类．每一位数字都不是0的三位数有A39个，个位数字是0的三位数有A29个，十位数字是0的三位数有A29个．根据分类加法计数原理，符合条件的三位数的个数为A39＋A29＋A29＝648.解法三：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A310，其中0在百位上的排列数是A29，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求的三位数的个数是A310－A29＝10×9×8－9×8＝648.点评：对于例2这类计数问题，可用适当的方法将问题分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解题方法．解法一根据百位数字不能是0的要求，分步完成选3个数组成没有重复数字的三位数这件事，依据的是分步乘法计数原理；解法二以0是否出现以及出现的位置为标准，分类完成这件事情，依据的是分类加法计数原理；解法三是一种逆向思考方法：先求出从10个不同数字中选3个不重复数字的排列数，然后从中减去百位是0的排列数(即不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数．从上述问题的解答过程可以看到，引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加简便、快捷地求解“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题．巩固练习从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：(从特殊位置考虑)A19A59＝136 080；解法二：(从特殊元素考虑)若选：5·A59；若不选：A69，则共有5·A59＋A69＝136 080种；解法三：(间接法)A610－A59＝136 080.变式演练A、B、C、D、E五个人排成一排照相，其中A、B不能排在两端，C不能排在中间，共有多少种不同的排法？解法一：若A、B排在中间，则从A、B中选一个排在中间有A12种排法，另一个不在两端的位置上有A12种排法，其余三个人排在剩下的三个位置上有A33种排法，根据分步乘法计数原理，共有A12A12A33＝24种不同的排法．若A、B不排在中间，则有A22种排法，C不排在中间有A12种排法，其余两个人排在剩下的两个位置上有A22种排法，根据分步乘法计数原理，共有A22A12A22＝8种不同的排法．根据分类加法计数原理，共有24＋8＝32种不同的排法．解法二：若C排在两端，有A12种排法，另一端从D、E中选一个人，有A12种排法，剩下三个人排在剩下的三个位置上有A33种排法，根据分步乘法计数原理，共有A12A12A33＝24种不同的排法．若C不排在两端，有A12种排法，两端排列D、E，有A12种排法，剩下两个人排在剩下的两个位置上有A22种排法，根据分步乘法计数原理，共有A22A12A22＝8种不同的排法．根据分类加法计数原理，共有24＋8＝32种不同的排法．达标检测1．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法(假定每股岔道只能停放1列火车)?2．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？3．6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有…() A．30种B．360种C．720种D．1 440种【答案】1.A48＝8×7×6×5＝1 680 2.A44＝4×3×2×1＝24 3.C课堂小结1．知识收获：对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反过来剔”．前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算．2．方法收获：“化归”的数学思想方法．3．思维收获：“化归”的数学思想方法．补充练习基础练习1．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有__________种不同的种植方法．2．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有__________种不同的方法．3．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有__________种．4．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有多少个？【答案】1.24 2.60 3.6解答：4.解法一：(正向思维法)个位数上的数字排列数有A12种(从2、4中选)；万位上的数字排列数有A13种(5不能选)，十位、百位、千位上的排列数有A33种，故符合题意的偶数有A12A13A33＝36个．解法二：(逆向思维法)由1、2、3、4、5组成无重复数字的5位数有A55个，减去其中奇数的个数A13A44个，再减去偶数中大于50 000的数A12A33个，符合题意的偶数共有：A55－A13A44－A12A33＝36个．拓展练习5．一天要排语、数、英、化、体、班会六节课，要求上午的四节课中，第一节不排体育课，数学排在上午；下午两节中有一节排班会课，问共有多少种不同的排法？解：若数学排在第一节，班会课的排法为A12种，其余4节课的排法有A44种，根据分步乘法计数原理，共有A12A44＝48种；若第一节课不排数学，第一节课的排法有A13种，数学课的排法有A13种，班会课的排法为A12种，其余3节课的排法有A33种，根据分步乘法计数原理，共有A13A13A12 A33＝108种．根据分类加法计数原理得，共有48＋108＝156种．设计说明本节课是排列的第二课时，本节课的主要目标是在老师的带领下，体会排列数公式的应用，体会把具体计数问题划归为排列问题的过程．本节课的设计特点是：教师的问题是主线，学生的探究活动是主体，师生合作，共同完成知识和方法的总结．备课资料多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理．例1.(1)6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是()A．36种B．120种C．720种D．1 440种(2)把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为()A．A515A510B．A515A510A55A33C．A1515D．A515A510A55÷A33(3)8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？【解析】(1)前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A66＝720种排法，选C.【答案】C(2) 【答案】C(3)解：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A24种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有A14种，其余5个元素任排在5个位置上有A55种，故共有A14A24A55＝5 760种排法．。
