6.3常用的地基沉降计算方法这里所讲的地基沉降量是指地基最终沉降量，目前常用的计算方法有：弹性力学法、分层总和法、应力面积法和考虑应力历史影响的沉降计算法。
所谓最终沉降量是地基在荷载作用下沉降完全稳定后的沉降量，要达到这一沉降量的时间取决于地基排水条件。
对于砂土，施工结束后就可以完成；对于粘性土，少则几年，多则十几年、几十年乃至更长时间。
6.3.1 计算地基最终沉降量的弹性力学方法地基最终沉降量的弹性力学计算方法是以Boussinesq 课题的位移解为依据的。
在弹性半空间表面作用着一个竖向集中力P 时，见图6-5，表面位移w (x, y,o )就是地基表面的沉降量s ：E r P s 21μπ-⋅= （6-8）式中 μ—地基土的泊松比；E —地基土的弹性模量（或变形模量E 0）；r —为地基表面任意点到集中力P 作用点的距离，22y x r +=。
对于局部荷载下的地基沉降，则可利用上式，根据叠加原理求得。
如图6-6所示，设荷载面积A N （ξ，η）点处的分布荷载为p 0（ξ，η），则该点微面积上的分布荷载可为集中力P= p 0（ξ，η）d ξd η代替。
于是，地面上与N 点距离r =22)()(ηξ-+-y x 的M （x, y ）点的沉降s （x, y ），可由式（6-8）积分求得：⎰⎰-+--=Ay x d d p E y x s 22002)()(),(1),(ηξηξηξμ （6-9）图6-5 集中力作用下地基表面的沉降曲线 图6-6 局部荷载下的地面沉降从式（6-9）可以看出，如果知道了应力分布就可以求得沉降；反过来，若沉降已知又可以反算出应力分布。
对均布矩形荷载p0（ξ，η）=p0=常数，其角点C的沉降按上式积分的结果为：21bpEs cωμ-=（6-10）式中cω—角点沉降影响系数，由下式确定：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++=)1ln()11ln(122mmmmmcπω（6-11）式中m=l/b。
利用式（6-10），以角点法易求得均布矩形荷载下地基表面任意点的沉降。
例如矩形中心点的沉降是图6-6（b）中的虚线划分为四个相同小矩形的角点沉降之和，即221)2/(14bpEpbEs cωμωμ-=-=（6-12）式中cωω2=—中心沉降影响系数。
图6-7 局部荷载作用下的地面沉降（a）绝对柔性基础；（b）绝对刚性基础以上角点法的计算结果和实践经验都表明，柔性荷载下地面的沉降不仅产生于荷载面围之，而且还影响到荷载面之外，沉降后的地面呈碟形，见图6-7。
但一般基础都具有一定的抗弯刚度，因而沉降依基础刚度的大小而趋于均匀。
中心荷载作用下的基础沉降可以近似地按绝对柔性基础基底平均沉降计算，即AdxdyyxssA/),(⎰⎰=（6-13）式中A—基底面积，s(x, y)—点（x, y）处的基础沉降。
对于均布的矩形荷载，上式积分的结果为：021bp E s m ωμ-= （6-14）式中 m ω—平均沉降影响系数。
可将式（6-10）、式（6-12）、式（6-14）统一成为地基沉降的弹性力学公式的一般形式：021bp E s ωμ-= （6-15）式中 b —矩形基础（荷载）的宽度或圆形基础（荷载）的直径，ω—无量纲沉降影响系数，见表6-1。
ω基础沉降影响系数ω值 表6-1刚性基础承受偏心荷载时，沉降后基底为一倾斜面，基底形心处的沉降（即平均沉降）可按式（6-15）取r ωω=计算，基底倾斜的弹性力学公式如下：圆形基础：30216tan b PeE ⋅-=≈μθθ （6-16a ） 矩形基础：30218tan b PeE K ⋅-⋅=≈μθθ （6-16b ） 式中 θ—基础倾斜角；P —基底竖向偏心荷载合力； e —偏心距；b —荷载偏心方向的矩形基底边长或圆形基底直径；K —计算矩形刚性基础倾斜的无量纲系数，按l/b 取值，如图6-8，其中l 为矩形基底另一边长。
通常按式（6-15）计算的基础最终沉降量是偏大的。
这是由于弹性力学公式是按匀质线性变形半空间的假设得到的，而实际上地基常常是非均质的成层土，即使是均质的土层，其变形模量E 0一般随深度而增大。
因此，利用弹性力学公式计算沉降的问题，在于所用的E 0值能否反映地基变形的真实情况。
地基土层的E 0值，如能从已有建筑物的沉降观测资料，以弹性力学公式反算求得，则这种数据是很有价值的。
此外，弹性力学公式可用来计算地基的瞬时沉降，此时认为地基土不产生体积变形，例如风或其它短暂荷载作用下，构筑物基础的倾斜可按式（6-16）计算，注意式中的E 0应取为地基弹性模量，并取泊松比μ=0.5。
在大多数实际问题中，土层的厚度是有限的，下卧坚硬土层。
Christian 和Carrier （1978）提出了计算有限厚土层上柔性基础的平均沉降计算公式：0010E bp s μμ= （6-17）式中，0μ取决于基础埋深和宽度之比D/b ，1μ取决于地基土厚度H 和基础图6-9 地基沉降计算系数0μ和1μ图6-8 计算矩形刚性基础倾斜的系数K形状。
取泊松比μ=0.5时0μ和1μ如图6-9所示。
对于成层土地基，可利用叠加原理来计算地基平均沉降。
式（6-17）主要用于估计饱和粘土地基的瞬时沉降，由于瞬时沉降是在不排水状态下发生的，因此，适宜的泊松比μ应取0.5，适应的变形模量E 0应取不排水模量E u 。
[例题6-1] 某矩形基础底面尺寸为4m ×2m ，其基底压力p 0=150kPa ，埋深1m ，地基土第一层为5m 厚的粘土，不排水变形模量E u =40MPa ，第二层为8m 厚的粘土，E u =75MPa ，其下为坚硬土层。
试估算基础的瞬时沉降。
解：D/b =0.5，查图6-9，0μ=0.94考虑上层粘土，H/b =4/2=2，l/b =2，具有E u =40MPa 查图6-9，1μ=0.60 因此mm 23.440150260.094.01=⨯⨯⨯=s考虑二层粘土均具有E u =75MPaH/b =12/2=6，l/b =2，查图6-9，1μ=0.85 因此mm 20.375150285.094.02=⨯⨯⨯=s考虑第一层粘土，具有E u =75MPa ，则mm 26.27515026.094.03=⨯⨯⨯=s因此，总的瞬时沉降为：mm 17.526.220.323.4321=-+=-+=s s s s6.3.2 计算地基最终沉降量的分层总和法（一）一维压缩课题在厚度为H 的均匀土层上面施加连续均匀荷载p ，见图6-10a ，这时土层只能在竖直方向发生压缩变形，而不可能有侧向变形，这同侧限压缩试验中的情况基本一样，属一维压缩问题。
施加外荷载之前，土层中的自重应力为图6-10b 中OBA ；施加p 之后，土层中引起的附加应力分布为OCDA 。
对整个土层来说，施加外荷载前后存在于土层中的平均竖向应力分别为p 1=γH/2和p 2=p 1+p 。
从土的压缩试验曲线（图6-10c ）可以看出，竖向应力从p 1增加到p 2，将引起土的孔隙比从e 1减小为e 2。
因此，可求得一维条件下土层的压缩变形s与土的孔隙比e 的变化之间存在如下关系：H e e e s 1211+-=（6-18） 这就是土层一维压缩变形量的基本计算公式。
式（6-18）也可改写成：pH e aH p p e a s 11211)(1+=-+=（6-19）或A m A e as v =+=11 （6-20） 或 s E pHs =（6-21）式中 a —压缩系数；v m —体积压缩系数；E s —压缩模量； H —土层厚度；A —附加应力面积，A=pH 。
（二）沉降计算的分层总和法 1 基本原理分别计算基础中心点下地基各分层土的图6-10 土层一维压缩图6-11 分层总和法沉降计算图例压缩变形量s i ，认为基础的平均沉降量s 等于s i 的总和，即∑==ni is s 1 （6-22）式中 n —计算深度围土的分层数。
计算时s i ，假设土层只发生竖向压缩变形，没有侧向变形，因此可按式（6-18）～式（6-21）中的任何一个公式进行计算。
2 计算步骤1）选择沉降计算剖面，在每一个剖面上选择若干计算点。
在计算基底压力和地基中附加应力时，根据基础的尺寸及所受荷载的性质（中心受压、偏心或倾斜等），求出基底压力的大小和分布；再结合地基土层的性状，选择沉降计算点的位置。
2）将地基分层。
在分层时天然土层的交界面和地下水位面应为分层面，同时在同一类土层中分层的厚度不宜过大。
一般取分层厚h i ≤0.4b 或h i =1～2m ，b 为基础宽度。
3）求出计算点垂线上各分层层面处的竖向自重应力c σ（应从地面起算），并绘出它的分布曲线。
4）求出计算点垂线上各分层层面处的竖向附加应力z σ，并绘出它的分布曲线，取z σ=0.2c σ（中、低压缩性土）或0.1c σ（高压缩性土）处的土层深度为沉降计算的土层深度。
5）求出各分层的平均自重应力ci σ和平均附加应力zi σ，见图6-11：)(21下上ci ci ci σσσ+= )(21下上zi zi ziσσσ+=式中 上ci σ、下ci σ—第i 分层土上、下层面处的自重应力；上ziσ、下zi σ—第i 分层土上、下层面处的附加应力。
6）计算各分层土的压缩量s i 。
认为各分层土都是在侧限压缩条件下压力从ci p σ=1增加到zi ci p σσ+=2所产生的变形量s i ，可由式（6-18）～式（6-21）中任一式计算。
7）按式（6-22）计算基础各点的沉降量。
基础中点沉降量可视为基础平均沉降量；根据基础角点沉降差，可推算出基础的倾斜。
[例题6-2]某柱基础，底面尺寸l ×b =4×2m 2，埋深d =1.5m 。
传至基础顶面的竖向荷载N =1192KN ，各土层计算指标见例表6-1和例表6-2。
试计算柱基础最终沉降量。
假定地下水位深d w =2m 。
土层计算指标 例表6-1 土层侧限压缩试验e –p 曲线 例表土层 γ(kN/m 2)a(MPa –1)E s (MPa) p (kPa) 土层 0 50 100 200①粘土 19.5 0.39 4.5 ①粘土0.820 0.780 0.760 0.740②粉质粘土 19.8 0.33 5.1 ②粉质粘土 0.740 0.720 0.700 0.670 ③粉砂 19.0 0.37 5.0 ③粉砂 0.890 0.860 0.840 0.810 ④粉土19.20.523.4④粉土0.850 0.810 0.780 0.740kPa 1795.120241192=⨯+⨯=⨯+⨯=b b l N p G γ基底附加压力p 0：kPa 1505.15.191790=⨯-=-=d p p γ取水的重度w γ≈10kN/m 3，则有效重度10-='γγ，基础中心线下的自重应力和附加应力计算结果见例图6-1。
