北师大版八年级数学下册1.1探索勾股定理同步练习2(含答案)

探索勾股定理一、选择题（每小题4分，共24分）1.（2018•湖北黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（）A.2B.3C.4D.232. （2018•广西桂林）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ΔABF，连接EF，则线段EF的长为（）A. 3B.C.D.3.下列说法中正确的是（）A.三角形一边的平方等于其他两边的平方和B.直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和C.直角三角形一边的平方等于其他两边的平方D.直角三角形一边等于其他两边的平方和4.如图，标有字母A、B、C的三个半圆的面积分别为A、B、C，则这些面积间的关系为（）A.B＋C＝AB.B2＋C2＝A2C.πB＋πC＝AD.πB2＋πC2＝A25.把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边（）A.扩大到原来的2倍B.扩大到原来的4倍C.不变D.减小到原来的2倍6.在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）A.42B.32C.42或32D.37或337.如图所示，在Rt△AB C中，∠B＝90°，以AC为直径的圆恰好过点B.AB＝8，BC＝6，则阴影部分的面积是（）A.100π－24B.100π－48C.25π－24D.25π－488.两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前挖，每分钟挖8 cm，一只朝左挖，每分钟挖6cm,10min之后两只小鼹鼠相距（）A.50 cmB.100 cmC.140cmD.80 cm二、填空题（每小题4分，共16分）9.如图所示，要从电线杆离地面8 m处拉一条10m 长的缆绳，则地面固定点A到电线杆底部B的距离是______.10.如果一个直角三角形的斜边长为30 cm，一条直角边长为18 cm，则该三角形的面积为______.11.一个长方形的长是12 cm，对角线长为13 cm，则该长方形的周长为______.12.以边长为2的正方形的对角线为边长的新正方形的面积是______.三、解答题（10分）13.如图所示，隔湖有两点A、B，在与BA方向垂直的BC方向上取一点C，测得CA＝50 m，CB＝30m，求A、B之间的距离.参考答案一、选择题1.【考点】直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理。

八年级下册数学练习册答案北师大版第一章勾股定理课后练习题答案说明：因录入格式限制，“√”代表“根号”，根号下内用放在“()”里面; “⊙”，表示“森哥马”，§，¤，♀，∮，≒ ，均表示本章节内的类似符号。

§1.l探索勾股定理随堂练习1.A所代表的正方形的面积是625;B所代表的正方形的面积是144。

2.我们通常所说的29英寸或74cm的电视机，是指其荧屏对角线的长度，而不是其长或宽，同时，因为荧屏被边框遮盖了一部分，所以实际测量存在误差.1.1知识技能1.(1)x=l0;(2)x=12.2.面积为60cm：，(由勾股定理可知另一条直角边长为8cm).问题解决12cm2。

1.2知识技能1.8m(已知直角三角形斜边长为10m，一条直角边为6m，求另一边长).数学理解2.提示：三个三角形的面积和等于一个梯形的面积：联系拓广3.可以将四个全等的直角三角形拼成一个正方形.随堂练习12cm、16cm.习题1.3问题解决1.能通过。

.2.要能理解多边形ABC DEF’与多边形A’B’C’D’E’F’的面积是相等的.然后剪下△OBC和△OFE，并将它们分别放在图③中的△A’B’ F’和△D’F’C’的位置上.学生通过量或其他方法说明B’ E’F’C’是正方形，且它的面积等于图①中正方形ABOF和正方形CDEO的面积和。

即(B’C’) 2=AB2+CD2：也就是BC2=a2+b2。

，这样就验证了勾股定理§l.2 能得到直角三角形吗随堂练习l.(1) (2)可以作为直角三角形的三边长.2.有4个直角三角影.(根据勾股定理判断)数学理解2.(1)仍然是直角三角形;(2)略;(3)略问题解决4.能.§1.3 蚂蚁怎样走最近13km提示：结合勾股定理，用代数办法设未知数列方程是解本题的技巧所在习题 1.5知识技能1.5lcm.问题解决2.能.3.最短行程是20cm。

4.如图1～1，设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理解得x=12，则水池的深度为12尺，芦苇长为13尺。

2019年八年级数学上册第一章《勾股定理》《探索勾股定理》同步练习二1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 等于（）讲完知识点梳理后作做问题延伸题（举一反三）：BE 的长？求折痕DE 的长？A. 425B. 322C. 47D. 352.如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC•于M ，交AB 于N ，若AC=4，MB=2MC ，求AB 的长．3.折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC 。

4.如图，在长方形ABCD 中，DC=5，在DC 边上存在一点E ，沿直线AE 把△ABC 折叠，使点D 恰好在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30，求折叠的△AED 的面积5.如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长是多少？（举一反三：题干不变，求折痕EF 的长？）利用直角三角形ABE 可求得BE ，也就是DE 长，构造EF为斜边的直角三角形，进而利用勾A BF股定理求解．6.如图，在长方形ABCD中，将∆ABC沿AC对折至∆AEC位置，CE与AD交于点F。

（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长（举一反三：试说明EF=DF．)7.如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．（原题图不标准重新画一个图）习题答案1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 等于（）讲完知识点梳理后作做问题延伸题（举一反三）：BE 的长？求折痕DE 的长？A. 425B. 322C. 47D. 35解：由题意得DB=AD ； 设CD=xcm ，则 AD=DB=（8-x ）cm ， ∵∠C=90°， ∴，解得x=，即CD=cm ．故选C ．2.如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC•于M ，交AB 于N ，若AC=4，MB=2MC ，求AB 的长．解：连接AM∵MN 是AB 的垂直平分线，∴△AMN ≌△BMN ，∴MA = MB ，∠B = ∠BAM ∵MB = 2MC ，∴MA = 2MC ，∴∠CAM = 30°，即∠CMA = 60°∵∠CMA = ∠B + ∠BAM 且∠B = ∠BAM ，∴∠B = 30°，∴AB = 2AC = 16折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC 。

1.1等腰三角形一．选择题1．用一条长为36cm的细绳围成一个边长为8cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的腰长为（）A．8cm B．12cm C．8cm或14cm D．14cm2．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，DE是AB的垂直平分线，线段DE＝1cm，则BC的长度为（）A．8cm B．4cm C．6cm D．10cm3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2B．4C．6D．84．若等腰三角形的一个内角是40°，则这个等腰三角形的其他内角的度数为（）A．40°100°B．70°70°C．40°100°或70°70°D．以上都不对5．如图，E点在等腰△ABC的底边上的高AD上，且BE⊥CE，若∠BAC＝70°，则∠ABE 的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．10°6．满足下列条件的三角形：①内角比为1：2：1；②内角比为2：2：5；③内角比为1：1：1；④内角比为1：2：3，其中，是等腰三角形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，若∠A＝α，则∠EDF等于（）A．90°﹣αB．45°+αC．90°﹣αD．45°+α8．如图，点D是AB的中点，DE⊥AC，AB＝7.2，∠A＝30°，则DE＝（）A．1.8B．2.4C．3.6D．4.89．如图，E为△ABC的边AB上一点，AC＝BC＝BE，AE＝EC，BD⊥AC的延长线于点D，则∠CBD的度数为（）A．18°B．28°C．36°D．15°10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠F AG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④二．填空题11．如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于D，DE∥BC交AC于E，若DE＝4，AC＝7，则AE＝．12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是．13．等腰三角形两边长分别为2cm，5cm，该三角形的周长是．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D．若∠A＝36°，则∠BDC 的大小为度．15．如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点A1、B1，使OA1＝OB1，连接A1B1，在A1B1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2，…，按此规律下去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠A n+1B n B n+1＝θn，则θn＝．（用含α的式子表示）三．解答题16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝28°，且AD＝AE，求∠EDC的度数．17．如图，在△ABC中，点D在AC的垂直平分线上．（1）若AB＝AD，∠BAD＝24°，求∠B和∠C的度数；（2）若AB＝AD，AC＝BC，求∠C的度数；（3）若AC＝8cm，△ABD的周长为15cm，求△ABC的周长．18．已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，点D是BC边上一点，且AD＝AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．（1）若∠CAD＝α，求∠ACD的度数．（2）在（1）的条件下，求∠BCF的大小；（用含α的式子表示）（3）判断△ACF的形状，并说明理由．参考答案1．D 2．C 3．C 4．C 5．D6．B 7．A 8．A 9．A 10．A11．312．∠1＝2∠2．13．12cm．14．72．15．．16．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠DAE＝∠BAD＝28°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝×（180°﹣28°）＝76°，∴∠EDC＝90°﹣∠ADE＝90°﹣76°＝14°．17．（1）∵点D在AC的垂直平分线上，∴AD＝DC，在三角形ABD中，AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣24°）×＝78°，在三角形ADC中，AD＝DC，∴∠C＝78°×＝39°；（2）设∠B＝x°．∵CA＝CB，∴∠A＝∠CAB＝x°，∵AB＝AD＝DC，∴∠B＝∠ABD＝x°，∠C＝x°，在△ABC中，x+x+x＝180，解得：x＝72，∴∠C＝×72°＝36°．故∠C的度数是36°；（3）如图，∵DE是AC的垂直平分线，AC＝8cm，∴DA＝DC，CE＝AE＝4（cm），∵△ABD的周长为15cm∴AB+BD+AD＝15（cm），即AB+BD+DC＝15（cm），∴AB+BC+AC＝15+8＝23（cm），∴△ABC的周长为23cm．18．（1）∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠CAD＝α，∴∠ACD＝（180°﹣∠CAD）＝90；（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：∴∠DAG+∠ADG＝90°，∵AD＝AC，∴∠CAG＝∠DAG＝∠CAD＝α，∵CF⊥AD于点E，∴∠DCE+∠ADG＝90°，∴∠DCE＝∠DAG＝∠CAD＝α，即∠BCF＝α；（3）△ACF是等腰三角形．理由：∵∠B＝45°，AG⊥BC，∴∠BAG＝45°，∵∠BAC＝45°+∠CAG，∠AFC＝45°+∠DCE，∠DCE＝∠DAG，∠CAG＝∠DAG，∴∠BAC＝∠AFC，∴AC＝FC，∴△ACF是等腰三角形．1.2 勾股定理及其逆定理1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是( )A．40°B．50°C．60°D．70°2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A 落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为( )A．40° B．30° C．20° D．10°3. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5 4．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( )A ．48B ．60C ．76D ．80 5. 下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )A ．30,40,50B ．7,12,13C ．5,9,12D ．3,4,6 6. 如图，Rt △ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( )A.53 B ．52C ．4D ．5 7. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．85° 8. 下列命题的逆命题是真命题的有( )①对顶角相等；②在一个三角形中，如果有两条边相等，那么这两条边的对角也相等；③不相交的两条直线叫做平行线；④有三个角对应相等的两个三角形全等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( )A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和10. 直角三角形两个锐角 (互余；互补)；有两个角互余的三角形是三角形．11. 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方；若三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是三角形．12. 下列命题中，其逆命题成立的是 (只填写序号)．①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a、b、c(c为最长边)满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．13．命题“两个全等直角三角形的面积相等”的逆命题是．，这个命题是．14．命题“对顶角相等”的逆命题是，该逆命题是(填“真”或“假”)命题．15．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为或 cm2.16．有一个三角形两边长为4和5，若使三角形为直角三角形，则第三边长为或 .17. 写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题． (1)两直线平行，同位角相等；(2)如果a 是偶数，b 是偶数，那么a ＋b 是偶数．18. 如图所示，在正方形ABCD 中，F 为DC 中点，E 为BC 上一点，且EC ＝14BC.求证：∠EFA ＝90°.19. 如图，∠MAN ＝60°，若△ABC 的顶点B 在射线AM 上，且AB ＝2，点C 在射线AN 上运动，当△ABC 是锐角三角形时，求BC 的取值范围.20. 如图所示，某公路一侧有A、B两个送奶站，C为公路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC＝8km，BC＝15km，AB＝17km，∠1＝30°，若有一人从C处出发，沿公路边向右行走，速度为2.5km/h.问：多长时间后这个人距B送奶站最近？答案：1---9 BCDCA CCCC10. 互余直角11. 斜边平方直角12. ①④13. 如果两个直角三角形的面积相等 那么它们全等 假命题14. 相等的角是对顶角 假15. 126 66 16. 3 4117. 解：(1)逆命题为：同位角相等，两直线平行(真命题)；(2)逆命题为：如果a ＋b 是偶数，那么a 为偶数，b 为偶数(假命题)．18. 证明：设正方形边长为4a ，则有AE 2＝AB 2＋BE 2，EF 2＝EC 2＋CF 2，AF 2＝DF 2＋AD 2，即AE 2＝(4a)2＋(3a)2＝25a 2，EF 2＝a 2＋(2a)2＝5a 2，AF 2＝(4a)2＋(2a)2＝20a 2，∴AE 2＝AF 2＋EF 2，∴∠AFE＝90°.19. 解：3＜BC ＜2320. 解：过B 作BD⊥CD 于D ，在△ABC 中，AC ＝8，BC ＝15，AB ＝17， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形．∵∠1＝30°，∴∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°，∴CD＝12BC ＝7.5km ，∴时间为7.5÷2.5＝3h.1.3《线段的垂直平分线》一．选择题1．到△ABC 三个顶点的距离相等的点是△ABC （ ）A ．三条中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条高的交点2．如图，有A 、B 、C 三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A．AC、BC两边高线的交点处B．AC、BC两边垂直平分线的交点处C．AC、BC两边中线的交点处D．∠A、∠B两内角平分线的交点处3．已知如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，AC＝8cm，DE垂直平分BC，则BE的长是（）A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm4．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝4cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（）A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm5．如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于点E，∠A＝30°，∠B＝70°，则∠BCE 等于（）A．40°B．45°C．50°D．60°6．在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．60°B．70°C．75°D．85°7．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB 于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对二．填空题8．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝4cm，则PB＝cm．9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC 于点E，∠BAE＝20°，则∠C＝．10．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝4，△ABD的周长为12，则BC＝．11．如图，△ABC中，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，AB+AC＝20cm，则△ABD的周长为cm．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为．三．解答题13．如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P．14．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，添加什么条件可得AD垂直平分BC？证明你的判断．15．已知：如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1、l2相交于点P．求证：点P在BC 的垂直平分线上．16．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为21cm，△ABD的周长为13cm，求AE的长．17．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．18．在△ABC中，DE，HG分别为AB、AC的垂直平分线，与BC交于E、G两点，D、H 分别为垂足，直线DE、HG交于点F．（1）若BC＝12，求△AEG的周长；（2）若∠DFH＝80°，求∠EAG的度数．参考答案一．选择题1．解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，∴到△ABC三个顶点的距离相等的点是△ABC三条边的垂直平分线的交点．故选：C．2．解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC 的垂直平分线上，故选：B．3．解：连接CE，∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，∴∠B＝90°﹣∠BCA＝90°﹣75°＝15°，∵DE垂直平分BC，∴∠BCE＝∠B＝15°，BE＝CE，∴∠ACE＝∠BCA﹣∠BCE＝75°﹣15°＝60°，∵Rt△AEC中，∠ACE＝∠BCA＝60°，AC＝8cm，∴∠AEC＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，∴CE＝2AC＝16cm，∵BE＝CE，∴BE＝16cm．故选：C．4．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DB＝DA，AB＝2AE＝8（cm），∵△ADC的周长为9cm，∴AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝9（cm），∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝17（cm），故选：D．5．解：∵∠A＝30°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣70°＝80°，∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC，∴∠ECA＝∠A＝30°，∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ECA＝80°﹣30°＝50°，故选：C．6．解：∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，∴∠DAC＝∠C＝35°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣35°＝60°，故选：A．7．解：∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，又∵OE＝OE，∴Rt△AOE≌Rt△COE，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴△ABC关于直线AD轴对称，∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，综上所述，全等三角形共有4对．故选：D．二．填空题8．解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PB＝PA，∵PA＝4cm，∴PB＝4cm．故答案为4cm．9．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠C＝∠CAE，∵在Rt△ABE中，∠ABC＝90°，∠BAE＝20°，∴∠AEB＝70°，∴∠C+∠CAE＝70°，故答案为：35°．10．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，∴BC＝BD+DC＝BD+DA，∵AB＝4，△ABD的周长为12，∴BC＝12﹣4＝8．故答案为：8．11．解：∵l是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝20（cm），故答案为：20cm．12．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，连接AM，AN，∵ME是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∠BAM＝∠B＝30°，∴∠CAM＝∠BAC﹣∠BAM＝120°﹣30°＝90°，∴CM＝2AM＝2BM，∴3BM＝BC＝12cm，∵BM＝4cm，同理可得，CN＝4，∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝12﹣4﹣4＝4（cm）．故答案为：4cm．三．解答题13．解：如图所示，点P是AB线段的垂直平分线与直线m的交点．14．解：添加：AB＝AC，理由：∵∠1＝∠2，∴BD＝CD，∴点D在线段BC的垂直平分线上，∵AB＝AC，∴当A在线段垂直平分线上，∴AD垂直平分BC．15．证明：连接PA、PB、PC，∵l1是AB的垂直平分线，∴PA＝PB，∵l2是AC的垂直平分线，∴PA＝PC，∴PB＝PC，∴点P在BC的垂直平分线上．16．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，AE＝CE＝AC，∵△ABC的周长为21cm，∴AB+BC+AC＝21cm，∵△ABD的周长为13cm，∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，∴AC＝8cm，∴AE＝4cm．17．解：（1）△CDE的周长为10．∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．18．解：（1）∵DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AG＝CG，∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝BE+EG+CG＝BC＝12，∴△AEG的周长是12．（2）∵DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AG＝CG，∴∠DAE＝∠B，∠HAG＝∠C，∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠DFH＝80°，∴∠BAC＝100°，∴∠B+∠C＝80°，∴∠DAE+∠HAG＝80°，∵∠DAE+∠HAG+∠EAG＝∠BAC＝100°，∴∠EAG＝40°．。

探索勾股定理同步练习21、如下图所示，△ABC中，AB=15 cm，AC=24 cm，∠A=60°，求BC的长.2、如下图，A、B两点都与平面镜相距4米，且A、B两点相距6米，一束光线由A射向平面镜反射之后恰巧经过B点.求B点到入射点的距离.3、下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？③图中（1）（2）的面积之和是多少？④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？参考答案1、解：过点C作CD⊥AB于点D在Rt △ACD 中，∠A =60°∠ACD =90°－60°=30°AD =21AC =12(cm) CD 2=AC 2－AD 2=242－122=432，DB =AB －AD =15－12=3.在Rt △BCD 中，BC 2=DB 2+CD 2=32+432=441BC =21 cm.2、解：作出B 点关于CD 的对称点B ′，连结AB ′，交CD 于点O ，则O 点就是光的入射点. 因为B ′D =DB .所以B ′D =AC .∠B ′DO =∠OCA =90°，∠B ′=∠CAO所以△B ′DO ≌△ACO (SSS )则OC =OD =21AB =21×6=3米. 连结OB ，在Rt △ODB 中，OD 2+BD 2=OB 2所以OB 2=32+42=52，即OB =5(米).所以点B 到入射点的距离为5米.3、①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a 为边长的正方形，（2）是以b 为边长的正方形，（3）的四条边长都是c ，且每个角都是直角，所以（3）是以c 为边长的正方形.②图中（1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2.③图中（1）（2）面积之和为a 2+b 2.④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a +b )2减去四个Rt △ABC 的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.。

第一章 勾股定理1.1 探索勾股定理一、填空题1．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90º。

① 若a ＝3，b ＝4，则c ＝________； ② 若a ＝40，b ＝9，则c ＝________；③ 若a ＝6，c ＝10，则b ＝_______； ④ 若c ＝25，b ＝15，则a ＝________。

2．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AB ＝10。

① 若∠A ＝30º，则BC ＝______，AC ＝_______；② 若∠A ＝45º，则BC ＝______，AC ＝_______。

3．已知等边三角形ABC 的边长是6cm 。

求：（1）高AD 的长；（2）△ABC 的面积S △ABC 。

4．如图阴影部分正方形的面积是 。

5．如图正方形ABGF 和正方形CDBE 的面积分别是100和36，则以AC 为直径的半圆的面积是 。

6．在△ABC 中∠C=90°，①若a =24 ，c =30 则b= ； ②若a =12 ，b =5 则c= 。

7．由于风向改变，一帆船先向正西方航行80km ，然后向正南方航行150km ，此时它距离出发点 km 。

8．做一个直角三角形的模板，一直角边长5cm ，斜边长13cm ，做成这样的模板要平方厘米的纸板。

9．一轮船以16海里/时的速度离开A 港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A 港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距_____________海里。

10．等腰△ABC 的底边BC 为16，底边上的高AD 为6，则腰长AB 的长为____________。

11．若正方形的面积为18cm 2，则正方形对角线长为__________cm 。

12．在△ABC 中，∠C=90°，若AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =__________。

13．木工周师傅做一个长方形桌面，测量得到桌面的长为60cm ，宽为32cm ，对角线为68cm ，这个桌面 (填”合格”或”不合格”)。

1. 直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则下列关于a，b，c三边的关系式不正确的是（）A. b2=c2﹣a2B. a2=c2﹣b2C. b2=a2﹣c2D. c2=a2+b22.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方为（）A. 169B. 169或119C. 169或225D. 2253. 如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（）A. 12米B. 13C. 14米D. 15米4. 在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A. 18B. 9C. 6D. 无法计算5.已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为()A. 4B. 16C. √34D. 4或√34题6图题7图6.求出下面直角三角形中未知边的长度：X= ；y= 。

7.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S 2，则S1+S2的值等于__________。

8.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_ _。

9.如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm和12cm，那么这个直角三角形的面积是______。

10.如右图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是__cm2。

答案和解析1. C2. B3. A4.A5. D6. x= 5 ；y= 57. 8π8.9. 54cm2 10. 17。

1.1《探索勾股定理》习题1一、填空题1．已知直角三角形两直角边长为3cm ，4cm ，那么这个直角三角形斜边上的高为_____．2．有一个三角形的两边长是9和12，要使这个三角形成为直角三角形，则第三条边长的平方是__________．3．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾6a =，弦10c =，则小正方形ABCD 的面积是____.4.如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S ，按照此规律继续下去，则2020s 的值为________．二、选择题1．如图，在ABC ∆中，已知90C =∠，3AC =，4BC =，则AB 的大小有可能是( )A ．1B ．2C ．3D ．52．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S A =10，S B =8，S C =9，S D =4，则S=( )A ．25B ．31C ．32D ．403．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分以的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是( )A ．12≤a ≤13B ．12≤a ≤15C ．5≤a ≤12D ．5≤a ≤l34．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积之和为( )A ．150cm 2B ．200cm 2C ．225cm 2D ．无法计算5．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠︒＝，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于,D E 两点，作直线DE 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连结CF ．若3,2AC CG ＝＝，则CF 的长为( )A ．52B ．3C ．2D ．726．在平面直角坐标系中，(,)A a a ，(2,4)B b b --，其中2a b +=，则下列对AB 长度判断正确的是( )A ．2AB < B ．2AB >C ．2AB =D ．无法确定7．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kun ，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C 和点D 距离门槛AB 都为1尺(1尺10=寸)，则AB 的长是( )A ．50.5寸B ．52寸C ．101寸D ．104寸8．如图，Rt △ABC 中，AB=9，BC=6，∠B=90˚，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( )A ．6B ．5C ．4D ．39．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D ′处，则重叠部分△AFC 的面积为( )A ．6B ．8C ．10D ．1210．如图，已知在△ABC 中， 90,8,6ABC AB BC ︒∠===，将线段AC 绕点A 顺时针旋转得到AD ，且DAC BAC ∠=∠，连接CD ，且△ACD 的面积为( )A ．24B ．30C ．36D ．4011．如图，△ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，AD 为△ABC 的角平分线，则CD 的长度为( )A ．1B ．54C ．32D ．4312．如图，在△ABC 中，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，且EF ∥BC 交AC 于M ，若CM ＝3，则CE 2+CF 2的值为( )A ．6B ．9C ．18D ．3613．如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，BC ＝9，AC ＝12，∠BCA ＝90°，在AC 边上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为( )A．7.5 B．8 C．8.5 D．914．如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为( )A．8 B．9 C．10 D．11三、解答题1．小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的门，他先横着拿，进不去，又竖起来拿，结果竿比门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着门的对角，问：竹竿高多少米？2．如图，小明和小方分别在C处同时出发，小明以每小时40千米的速度向南走，小方以每小时30千米的速度向西走，2小时后，小明在A处，小方在B处，请求出AB的距离．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边的长分别为a，b，c．(1)a＝6，b＝8，求c及斜边上的高；(2)a∶b＝3∶4，c＝15，求a和b．4．你一定玩过荡秋千的游戏吧，小明在荡秋千时发现：如图，当秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.5米，当秋千荡到AC位置时，下端C距静止时的水平距离CD为4米，距地面2.5米，请你计算秋千AB的长.5．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E为CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．(1)求BF的长；(2)求CE的长．6．已知锐角△ABC，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于F．(1)求证：△BDF≌△ADC；(2)若BD＝4，DC＝3，求线段BE的长度．7．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC 沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．(1)如图(1)，如果点B′和顶点A重合，求CE的长；(2)如图(2)，如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长．8．在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c )，大正方形的面积可以表示为2c ，也可以表示为214()2ab a b ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为,a b ，斜边长为c ，则222+=a b c ．(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．(2)如图③，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，4AB =，5AC =，6BC =，设BD x =，求x 的值．(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释22()(2)32a b a b a ab b ++=++，画在如图4的网格中，并标出字母,a b 所表示的线段．答案一、填空题 1.12cm 52.225或63．3.44.201712二、选择题1．D 2．B ．3．A 4．C ． 5．A ． 6．C ． 7．C 8．C 9．C10．B ． 11．D ． 12．D 13．A 14．C三、解答题1.解：竹竿长x 米，则门高(x-1)米，根据题意得：222(1)3x x =-+，解得：x=5答：竹竿高5米．2.解：由题意可得：40280()AC km =⨯=，30260()BC km =⨯=，则100()AB km ===，答：AB 的距离为100km ．3.解：(1)根据勾股定理，得：10c ==， 斜边上的高等于：684.810⨯=； (2)由:3:4a b =，根据勾股定理，得::3:4:5a b c =，又15c =，则9a =，12b =．4.解：∵AB AC =，(2.50.5)2AD AB AB =--=-，4CD =米，由勾股定理得222AD CD AC +=，∴222(2)4AB AB -+=，420AB -=-，解得5 AB m ，∴秋千AB 的长为5m .5.解：(1)∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10， 又∵AFE 是由ADE 沿AE 翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：， 故BF 的长为6．(2)设CE=x ，∵四边形ABCD 为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x ，又∵△AFE 是由△ADE 沿AE 翻折得到的，∴FE=DE=8-x ，由(1)知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222CF +CE =EF ， ∴2224+x =(8-x)，解得：x=3，故CE 的长为3．6.解：(1)∵AD ⊥BC ，∠ABC ＝45°∴∠ABC ＝∠BAD ＝45°，∴AD ＝BD ，∵DA ⊥BC ，BE ⊥AC∴∠C +∠DAC ＝90°，∠C +∠CBE ＝90°∴∠CBE ＝∠DAC ，且AD ＝BD ，∠ADC ＝∠ADB ＝90° ∴△BDF ≌△ADC (ASA )(2)∵△BDF ≌△ADC∴AD ＝BD ＝4，CD ＝DF ＝3，BF ＝AC∴BF ＝5∴AC ＝5，∵S △ABC ＝12×BC ×AD ＝12×AC ×BE ∴7×4＝5×BE∴BE ＝285.7.(1)如图(1)，设CE ＝x ，则BE ＝8﹣x ；由题意得：AE ＝BE ＝8﹣x ，由勾股定理得：x 2+62＝(8﹣x )2，解得：x ＝74，即CE 的长为：74．(2)如图(2)，∵点B ′落在AC 的中点，∴CB ′＝12AC ＝3；设CE ＝x ，类比(1)中的解法，可列出方程：x 2+32＝(8﹣x )2 解得：x ＝5516．即CE 的长为：5516．8.解：(1)梯形ABCD 的面积为22111()()222a b a b a ab b ，也可以表示为2111222ab ab c ++， 2221111122222ab ab c a ab b ， 即222+=a b c(2)在Rt ABD △中，222222416AD AB BD x x 在Rt ADC 中，2222225(6)1112AD AC DC x x x 所以22161112x x x ，解得94x = (3)∵图形面积为：(a+b)(a+2b)=a ²+3ab+b ² ∴边长为：(a+b)，(a+2b)由此可画出的图形为：。

一、选择题1．如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，AB =A D ．若这个四边形的面积为16，求BC +CD 的值是（ ）A ．6B ．8C ．42D ．43 2．以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是 ( ) A ．1，2，5 B ．3，5，4C ．5，12，13D ．1，3，7 3．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是（ ）A ．73厘米B ．10厘米C ．82厘米D ．8厘米4．如图，平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点B 、C 的坐标分别为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．若ABC ∆是等边三角形，则点A 的坐标为（ ）A ．132⎛ ⎝B ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,2⎫⎪⎭D ．(3 5．如图，在ABC 中，13,17,AB AC AD BC ==⊥，垂足为D ，M 为AD 上任一点，则22MC MB -等于（ ）A ．93B ．30C ．120D ．无法确定 6．已知锐角△ABC 的三边长恰为三个连续整数，AB ＞BC ＞CA ，若边BC 上的高为AD ，则BD ﹣DC ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．如图，90ABC ︒∠=，//AD BC ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，与射线AD 相交于点E ，连接BE ，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ．若6AB =，10BC =，则EF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm 、3cm 、12cm ，现有一长为16cm 的吸管插入到盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分()h cm 的取值范围为（ ）A ．34h <<B ．34h ≤≤C ．24h ≤≤D ．4h = 9．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，连结AD ．若CD ＝2，BD ＝4，则AC 的长为( )A ．4B ．3C ．23D ．3 10．以下列各数作为长度的线段，能构成直角三角形的是（ ） A ．1,2,3B ．3,4,6C ．1,2,3D ．7,15,17 11．下列条件能使ABC （a ，b ，c 为ABC 的三边长）为直角三角形的是（ ）A ．a b c +=B ．::4:5:3a b c =C ．2A B C ∠+∠=∠D ．::5:12:13A B C ∠∠∠= 12．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为（ ）A ．152B ．152C ．3D ．125二、填空题13．已知在ABC 中，45ABC ︒∠=，32AB =，1BC =，且以AB 为边作等腰Rt ABD ，90ABD ︒∠=，连结CD ，则CD 的长为________．14．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC 、BC 为斜边作等腰直角三角形 S 1、S 2，以AB 为边作正方形S ．若S 1与S 2的面积和为9，则正方形S 的边长等于_______．15．如图所示，在ABC 中，90C DE ∠=︒,垂直平分AB ，交BC 于点E ，垂足为点D ，8,15BE B =∠=︒，则EC 的长为________________________．16．如图，已知圆柱的底面周长为10cm ，高AB 为12cm ，BC 是底面的直径，一只蚂蚁沿着圆柱侧面爬行觅食从点C 爬到点A ，则蚂蚁爬行的最短路线为________cm ．17．如图，等腰直角ABC 中，90,4ACB AC BC ∠=︒==，D 为BC 的中点，25AD =，若P 为AB 上一个动点，则PC PD +的最小值为_________．18．“东方之门”座落于美丽的金鸡湖畔，高度约为301.8米，是苏州的地标建筑，被评为“中国最高的空中苏式园林”．现以现代大道所在的直线为x 轴，星海街所在的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系（1个单位长度表示的实际距离为100米），东方之门的坐标为4(6,)A -，小明所在位置的坐标为(2,2)B -，则小明与东方之门的实际距离为___________米．19．在平面直角坐标系中，点A(0，－3)，B(4a ＋4，－3a)，则线段AB 的最小值为 ___________．20．将一根24cm 的筷子，置于底面直径为5cm 、高为12cm 的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为h cm ，则h 的最小值__，h 的最大值__．三、解答题21．在△ABC 中，D 是BC 上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC 的面积．22．有一块四边形草地ABCD （如图），测得10AB AD ==m ，26CD =m ，24BC =m ，60A ∠=︒．（1）求ABC ∠的度数；（2）求四边形草地ABCD 的面积．23．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米． （1）这个梯子底端离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？24．如图①，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，以C 为顶点作45DCE ∠=︒，且CD CE 、分别与AB 相交于D E 、两点，将ACD △绕点C 逆时针旋转90︒得到BCF △．（1）若64AD EB ==,，求DE 的长；（2）若将DCA ∠绕点C 逆时针旋转使CD 与AB 相交于点D ，边CE 与AB 的延长线相交于点E ，而其他条件不变，如图②所示，猜想DE 与AD EB 、之间有何数量关系？证明你的猜想．25．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 是线段BC 上的动点（BD ＞CD ），作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E ，作直线CE ，交射线AD 于点F ．连接AE ，BF ． （1）依题意补全图形，直接写出∠AFE 的度数；（2）用等式表示线段AF ，CF ，BF 之间的数量关系，并证明．26．如图，在ABC 中，90C ∠=︒．（1）尺规作图：在BC 上作点D ，使得DA DB =；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若3AC =，15B ∠=︒，求BC 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】本题可通过作辅助线进行解决，延长CB 到E ，使BE=DC ，连接AE ，AC ，先证两个三角形全等，利用直角三角形的面积与四边形的面积相等进行列式求解．【详解】解：延长CB 到E ，使BE=DC ，连接AE ，AC ，∵∠ABE=∠BAC+∠ACB ，∠D=180°-∠DAC-∠DCA ，∵∠BAD=90°，∠BCD=90°，∴∠BAC+∠ACB=90°-∠DAC+90°-∠DCA=180°-∠DAC-∠DCA ，∴∠ABE=∠D ，在△ABE 和△ADC 中，BE DC ABE D AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADC(SAS)，∴AE=AC ，∠EAB=∠DAC ，∴∠EAC=90°，∴S △AEC =12AE 2=14CE 2， ∵S △AEC =S 四边形ABCD =16， ∴14CE 2=16， ∴CE=8， ∴BC+CD=BC+BE=CE=8，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，面积及等积变换问题；巧妙地作出辅助线，把四边形的问题转化为等腰直角三角形来解决是正确解答本题的关键．2．D解析：D【分析】直接利用勾股定理的逆定理验证即可．【详解】A 、∵222125+==， ∴以1、2为三边的三角形是直角三角形，A 不符合题意；B 、∵22234255+==，∴以3、5、4为三边的三角形是直角三角形，B 不符合题意；C 、∵22251216913+==，∴以5、12、13为三边的三角形是直角三角形，C 不符合题意；D 、∵2221310+=≠，∴以1、3为三边的三角形不是直角三角形，D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3．B解析：B【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，作点A的对称点B，连接PB，则PB为所求，根据题意，得PC=8，BC=6，根据勾股定理，得PB=10，故选B.【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.4．A解析：A【分析】先过点A作AD⊥OB，根据△ABC是等边三角形，求出AC=BC，CD=BD，∠ACB=60°，再根据点B、C的坐标，求出CB的长，再根据勾股定理求出AD的值，从而得出点A的坐标．【详解】过点A作AD⊥OB，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，CD=BD，∠ACB=60°，∵点B 的坐标为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，点C 的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴BC=2，OC=12 ∴CA=2，∴CD=1，∴∵OD=CD-CO∴OD=1-12=12∴点A 的坐标是12⎛⎝． 故选A ．【点睛】 此题考查了等边三角形的性质，用到的知识点是勾股定理，关键是作出辅助线，求出点A 的坐标．5．C解析：C【分析】由,AD BC ⊥结合勾股定理可得：2222,AC AB DC BD -=-2222MC MB DC BD -=-，再把已知线段的长度代入计算即可得到答案．【详解】解：,AD BC ⊥222222,,AB AD BD AC AD DC ∴=+=+22222222,AC AB AD DC AD BD DC BD ∴-=+--=-1713AC AB ==，，22221713304120DC BD ∴-=-=⨯=，,AD BC ⊥222222,,MC MD DC BM BD DM ∴=+=+22222222120.MC MB MD DC DM BD DC BD ∴-=+--=-=故选：.C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握利用勾股定理解决问题是解题的关键．6．B解析：B【分析】根据勾股定理,因AD 为公共边可以得到AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣CD 2再把三边关系代入解答即可．【详解】解：设BC ＝n ，则有AB ＝n ＋1，AC ＝n ﹣1，AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣CD 2，∴ AB 2﹣AC 2＝BD 2﹣CD 2∴ （n ＋1）2﹣（n ﹣1）2＝（BD ﹣CD ）n ，∴BD ﹣CD ＝4，故选：B ．【点睛】此题主要考查了勾股定理，根据题意得出 BD ﹣CD 的长是解题关键．7．B解析：B【分析】根据题意结合勾股定理可求出AE 长，再根据//AD BC ，可证明AEB CBF ∠=∠，即可证明()ABE FCB AAS ≅，得出结论BF=AE ，即可求出EF ．【详解】根据题意可知BC=BE=10，90BAE BFC ∠=∠=︒．在Rt ABE △中，22221068AEBE AB ． ∵//AD BC ，∴AEB CBF ∠=∠，∴()ABE FCB AAS ≅，∴BF=AE=8，∴EF=BE-BF=10-8=2．故选：B ． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质以及勾股定理．利用“角角边”证明ABE FCB ≅是解答本题的关键．8．B解析：B根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的最长长度；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的最短长度．【详解】①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16−12＝4（cm ）； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线长，高为12cm ，由勾股定理可得：杯里面管长＝13cm ，则露在杯口外的长度最短为16−13＝3（cm ），∴34h ≤≤故选：B ．【点睛】本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出露在杯外面吸管最长和最短时，吸管在杯中所处的位置．9．C解析：C【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=BD ，再用勾股定理即可求出AC ．【详解】解：∵点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，BD=4，∴AD=BD=4， ∴22224223ACAD CD ； 故选：C ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 10．C解析：C【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．【详解】 解：A 、222123+≠，∴不能构成直角三角形，故A 错误；B 、222346+≠，∴不能构成直角三角形，故B 错误；C 、(22212+=，∴能构成直角三角形，故C 正确； D 、22271517+≠，∴不能构成直角三角形，故D 错误．故选：C ．本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．11．B解析：B【分析】根据三角形三边关系可分析出A 的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B 的正误；根据三角形内角和定理可分析出C 、D 的正误；【详解】解：A 、a b c +=，不能组成三角形，不是直角三角形；B 、222a c b +=，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C 、由∠A+∠B=2∠C ，可得∠C=60°，∠A+∠B=120°，不一定是直角三角形；D 、由∠A ：∠B ：∠C=5：12：13，可得最大角131807830C ∠=︒⨯=︒，不是直角三角形． 故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．也考查了三角形内角和定理． 12．D解析：D【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF 的最小值即为点C 到AB 的垂线段长度．【详解】在AB 上取一点G ，使AG ＝AF∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4∴AB=5，∵∠CAD ＝∠BAD ，AE ＝AE ，∴△AEF ≌△AEG （SAS ）∴FE ＝GE ，∴要求CE+EF 的最小值即为求CE+EG 的最小值，故当C 、E 、G 三点共线时，符合要求，此时，作CH ⊥AB 于H 点，则CH 的长即为CE+EG 的最小值，此时，AC BC AB CH =，∴CH=·AC AB BC =125， 即：CE+EF 的最小值为125，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．二、填空题13．或5【分析】根据点C 和点D 与AB 的位置关系分类讨论分别画出对应的图形根据等腰直角三角形的性质勾股定理分别求解即可【详解】解：若点C 和点D 在AB 的同侧时如下图所示延长BC 交AD 于E ∵△ABD 为等腰直角 解析：13或5【分析】根据点C 和点D 与AB 的位置关系分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理分别求解即可．【详解】解：若点C 和点D 在AB 的同侧时，如下图所示，延长BC 交AD 于E∵△ABD 为等腰直角三角形，∠ABD=90°，45ABC ︒∠=∴BD=32AB =∠DBC=∠ABD －∠ABC=45°∴226AB BD +=，∠DBC=∠ABC∴BE ⊥AD ，BE 是AD 的中线 ∴BE=DE=12AD=3 ∴CE=BE －BC=2在Rt △CDE 中，2213CE DE +=若点C 和点D 在AB 的两侧时，如下图所示，过点D 作DE ⊥CB 交CB 延长线于E∵△ABD 为等腰直角三角形，∠ABD=90°，45ABC ︒∠=∴BD=32AB =∠DBE=180°－∠ABD －∠ABC=45°∴△EDB 为等腰直角三角形，DE=BE∵DE 2＋BE 2=BD 2∴2DE 2=(232解得：DE=3∴BE=3∴CE=BE ＋BC=4在Rt △CDE 中，225CE DE +=；综上：135． 135．【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质及判定和勾股定理，掌握等腰直角三角形的性质及判定、勾股定理和分类讨论的数学思想是解题关键． 14．6【分析】过D 作DE ⊥AC 于E 根据等腰直角三角形的性质推出DE=AE=CE=AC 求得同理：求出=36根据勾股定理得求出S==36即可得到答案【详解】如图：过D 作DE ⊥AC 于E ∵△ACD 是等腰直角三角解析：6【分析】过D 作DE ⊥AC 于E ，根据等腰直角三角形的性质推出DE=AE=CE=12AC ，求得21111224S AC AC AC =⋅=，同理：2214S BC =，求出22AC BC +=36，根据勾股定理得222AC BC AB +=，求出S=2AB =36，即可得到答案．【详解】如图：过D 作DE ⊥AC 于E ，∵△ACD 是等腰直角三角形，∴AD=CD ，90D ∠=︒，45CAD ACD ∠=∠=︒，∴AE=CE ，45ADE CDE ∠=∠=︒，∴CAD ACD ADE CDE ∠=∠=∠=∠，∴DE=AE=CE=12AC ，∴21111224S AC AC AC =⋅=， 同理：2214S BC =， ∴221211944S S AC BC +=+=， ∴22AC BC +=36，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，222AC BC AB +=，∴S=2AB =36，∴正方形S 的边长等于6，故答案为：6．．【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握与运用等腰直角三角形的性质是解题的关键．15．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC 根据线段垂直平分线性质求出求出然后求出∠EAC 根据含30°角的直角三角形的性质求解即可【详解】解：∵在△ABC 中∴∵垂直平分∴∴∴∵∴∴∴在Rt △ECA 中故答解析：3【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据线段垂直平分线性质求出8BE AE ==，求出15EAB B ∠=∠=︒，然后求出∠EAC ，根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵在△ABC 中，90ACB ∠=︒，15B ∠=︒，∴901575BAC ∠=︒-︒=︒，∵DE 垂直平分AB ，8BE =，∴8BE AE ==，∴15EAB B ∠=∠=︒，∴751560EAC ∠=︒-︒=︒，∵90C ∠=︒，∴30AEC ∠=︒，∴184221AC AE =⋅=⨯=， ∴在Rt △ECA 中， 2264164843EC AB AC =-=-==，故答案为：43．【点睛】本题考查了三角形的边长问题，掌握三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．16．13【分析】把圆柱沿母线AB 剪开后展开点C 展开后的对应点为C′利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AC′然后利用勾股定理计算出AC′即可【详解】把圆柱沿母线AB 剪开后展开点C 展开后的对应点解析：13【分析】把圆柱沿母线AB 剪开后展开，点C 展开后的对应点为C′，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AC′，然后利用勾股定理计算出AC′即可．【详解】把圆柱沿母线AB 剪开后展开，点C 展开后的对应点为C′，则蚂蚁爬行的最短路径为AC′，如图，∵AB ＝12， BC′＝5，在Rt △ABC′，AC′2251213+=∴蚂蚁爬行的最短路程为13cm ．故答案是：13【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．17．【分析】根据中点的含义先求解作点C 关于AB 对称点则连接交AB 于P 连接此时的值最小由对称性可知于是得到再证明然后根据勾股定理即可得到结论【详解】解：为的中点作点C 关于AB 对称点交于则连接交AB 于P 连接 解析：5【分析】根据中点的含义先求解,BD 作点C 关于AB 对称点C '，则OC OC '=，连接DC '，交AB 于P ，连接BC '，此时PD PC PD PC DC ''+=+=的值最小，由对称性可知45C BA CBA '∠=∠=︒，,AB CC '⊥于是得到90C BC '∠=︒，再证明4BC BC '==，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：4AC BC D ==，为BC 的中点，90ACB ∠=︒，2CD BD ∴==， 45CBA ∠=︒，作点C 关于AB 对称点C '，CC '交AB 于O ，则OC OC '=，连接DC '，交AB 于P ，连接BC '．此时PD PC PD PC DC ''+=+=的值最小．由对称性可知45C BA CBA '∠=∠=︒，,AB CC '⊥ ∴90C BC '∠=︒，∴BC BC '⊥，点C 关于AB 对称点C '，∴AB 垂直平分CC '，∴4BC BC '==，根据勾股定理可得22422 5.DC '+= 故答案为：5【点睛】此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理的应用，确定动点P 何位置时，使PC+PD 的值最小是解题的关键．18．【分析】运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB 的长度再根据个单位长度表示的实际距离为米求出结果即可【详解】解：如图AC=6-（-2）=8BC=2-（-4）=6∴∴小明与东方之门的实际距离为10×10解析：1000【分析】运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB 的长度，再根据1个单位长度表示的实际距离为100米求出结果即可．【详解】解：如图，AC=6-（-2）=8，BC=2-（-4）=6 ∴2222=6+8=10AB BC AC +∴小明与东方之门的实际距离为10×100=1000（米）故答案为：1000．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键． 19．【分析】根据勾股定理可得整理配方即可求解【详解】解：根据勾股定理可得：∵∴线段AB 的最小值为故答案为：【点睛】本题考查勾股定理的应用完全平方公式的应用根据勾股定理表示出是解题的关键 解析：245【分析】根据勾股定理可得()()2224433AB a a =++-，整理配方即可求解．【详解】解：根据勾股定理可得：()()22222757644332514255525AB a a a a a ⎛⎫=++-=++=++ ⎪⎝⎭， ∵27576576552525a ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭， ∴线段AB 的最小值为245， 故答案为：245． 【点睛】 本题考查勾股定理的应用、完全平方公式的应用，根据勾股定理表示出2AB 是解题的关20．11cm12cm【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h最大当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小利用勾股定理计算即可【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大h最大=24﹣12=12（cm解析：11cm 12cm【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，利用勾股定理计算即可．【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，此时，在杯子内的长度=13（cm），故h=24﹣13=11（cm）．故h的取值范围是11≤h≤12cm．故答案为：11cm；12cm．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意、掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．三、解答题21．△ABC的面积为84．【分析】先根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．【详解】∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，在Rt△ACD中，，∴BC=BD+CD=6+15=21，∴S△ABC=12BC•AD=12×21×8=84．∴△ABC的面积为84．【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形．22．（1）150°；（2）（m2）【分析】（1）连接BD，可得∆ABD是等边三角形，利用勾股定理的逆定理得∠DBC=90°，进而即可（2）过点A 作AP ⊥BD 于点P ，可得AP=53，结合三角形的面积公式，即可求解． 【详解】 （1）连接BD ，∵10AB AD ==m ，∠A=60°∴∆ABD 是等边三角形，∴∠ABD=∠A=60°，BD=10AB AD ==m ，∵26CD =m ，24BC =m ， ∴BD 2+BC 2=CD 2，∴∠DBC=90°，∴∠ABC=90°+60°=150°；（2）过点A 作AP ⊥BD 于点P ，则BP=DP=12BD=5m ，AP=2253AD DP -=， ∴四边形草地ABCD 的面积=S ∆ABD +S ∆CBD =12BD∙AP+12BC∙BD=12×10×53+12×10×24=253+120（m 2）．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质以及勾股定理的逆定理，添加辅助线，构造直角三角形和等边三角形，是解题的关键．23．（1）7米；（2）不是【分析】（1）利用勾股定理直接求出边长即可；（2）梯子的顶端下滑了4米，则20a =米，利用勾股定理求出b 的值，判断是否梯子的底部在水平方向也滑动了4米．【详解】（1）如图，由题意得此时a ＝24米，c ＝25米，由勾股定理得222+=a b c ，∴2225247b =-=（米）；（2）不是，如果梯子的顶端下滑了4米，此时20a =米，25c =米， 由勾股定理，22252015b =-=（米），1578-=（米），即梯子的底部在水平方向滑动了8米．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握用勾股定理解直角三角形的方法． 24．（1）213DE =；（2）222DE AD BE =+，证明见解析．【分析】（1）证明△ECD ≌△ECF （SAS ），然后证明∠EBF=90°，利用全等三角形的性质以及勾股定理解决问题即可．（2）利用全等三角形的性质以及勾股定理解决问题即可．【详解】解：如图①中，∵ACD △绕点C 逆时针旋转90︒得到BCF △∴90ACD BCF ACB DCF ∠=∠=︒≌， ∴6ACD BCF A CBF CD CF AD BF ∠=∠∠=∠===，，， ∵45DCE ∠=︒ ∴45DCE ECF ∠=∠=︒ ∵CE CE = ∴ECD ECF ≌ ∴DE EF = ∵90AC BC ACB =∠=︒， ∴45A ABC CBF ∠=∠=∠=︒ ∴90EBF ∠=︒∴222246213DE EF BE BF ==+=+=（2）解：222DE AD BE =+理由：如图②中，连接EF∵CBF 是由CAD ∠旋转得到∴45ACD BCF CD CF AD BF A CBF ∠=∠==∠=∠=︒，，，∴90ACB DCF ∠=∠=︒∵45DCE ∠=︒∴45ECF ECD ∠=∠=︒∵CE CE =∴ECD ECF ≌∴DE EF =∵4545ABC CBF ∠=︒∠=︒，∴90ABF EBF ∠=∠=︒∴222BF BE EF +=∵BF AD EF DE ==，∴222DE AD BE =+【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 25．（1）作图见解析；45°；（2）2AF ，证明见解析【分析】（1）根据轴对称即可补全图形，延长FB 至点M 使MB=CF ，通过ABM ACF △≌△，进而证得△MAF 是等腰直角三角形，问题即可解决；（2）由（1）知△MAF 是等腰直角三角形及CF=BF ，再根据勾股定理问题即可解决；【详解】（1）补全图形，如图所示：∠AFE=45°理由如下：延长FB 至点M 使MB=CF ，∵点B 、E 关于AF 对称，∴AB=AE ，∠ABF=∠AEC ，∠AFB=∠AFE∵AB=AC ，∴AC=AE ，∴∠ACE=∠AEC‘∴180180ACE ABF ︒-∠=︒-∠ ∠ACE=∠ABF ，即：ABM ACF ∠=∠，()ABM ACF SAS ∴△≌△，,CAF AM AF MAB ∴=∠=∠，AMF=AFM MAF=BAC=90∴∠∠∠∠︒，，AFM=45∴∠︒，AFE=45∴∠︒（2）2AF理由如下：由（1）知AM=AF ，CF=MB ，MAF=90∠︒2222AF +AM =MF =2AF ∴∴2AFMF=MB BF +即MB+BF=2AF∴CF+BF=2AF，【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，构造全等三角形是解决本题的关键．26．（1）见详解；（2）6+33【分析】（1）利用尺规作出AB的中垂线，中垂线与BC的交点，即为所求；（2）连接AD，先求出∠ADC=30°，根据直角三角形的性质以及勾股定理，即可求解．【详解】（1）如图，点D即为所求；（2）连接AD，∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=15°，∴∠ADC=∠DAB+∠B=15°+15°=30°，在Rt∆ADC中，DA=2AC=6，∴DB=6，∵222=+，AD DC AC∴2222--=DC AD AC6333∴BC=DB+DC=6+33【点睛】本题主要考查尺规作图以及直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，是解题的关键．。