数学答案

《高等应用数学》参考答案第1章答案习题1.11．（1）奇函数；（2）非奇非偶函数；（3）偶函数；（4）奇函数；（5）偶函数；（6）奇函数． 2．在)0,(−∞、),0(+∞上单调减少，不能． 3．（1）4)1(x y +=由4u y =和x u +=1复合而成. （2）y =由u y =和31x u +=复合而成.（3）1x y e+=由uy e =和1+=x u 复合而成.（4）)13(cos 2+=x y 由2u y =，v u cos =，13+=x v 复合而成. （5）)32sin(ln 2+=t s 由u s ln =，v u sin =，322+=t v 复合而成. （6）32)]1[arccos(x y −=由3u y =，v u arccos =，21x v −=复合而成.4．（1）[()]xf x ϕ=，),(+∞−∞∈x ；xx f =21)]([ϕ，),0[+∞∈x ； （2）122[()]122k x k f x k x k πππϕπππ−−+<< =≤<+ ，，，，，012k =±± ，，，；sin10[()]sin10x f x x ϕ−< = ≥ ，，，.5．5)2(=−f ，0)1(=f ，3)2(=f ，)4(f 无意义． 6．x x a V 2)2(−=，(0)2ax ∈，．7．22102222241610462x x S x x x x x ≤< =−≤< −+−≤≤ ，，，，，，定义域为[06]，．21)1(=S ，4)3(=S ，5.7)5(=S ，8)6(=S ．8．21.9610f v −=−×． 9．0.400500.6512.550x x y x x ≤≤ = −> ，，，，函数图形见图1-30．图1-30习题1.2１．（1）0；（2）0；（3）2；（4）0；（5）1；（6）3．2．2)01(=+f ，0)01(=−f ，1lim ()x f x →不存在，函数图形见图1-31．图1-313．211lim ()lim(1)2x x f x x −−→→=+=，11lim ()lim(1)1x x f x ++→→=−=− 11lim ()lim ()x x f x f x −+→→≠ 1lim ()x f x →∴不存在 4（1）lim sin x x →∞； （2）11lim1x x x →−−．解：（1）当∞→x 时，sinx 的值不趋向于一个确定的常数，所以极限不存在。

绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N = （）A.{}02x x ≤< B.123xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C.{}316x x ≤< D.1163xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【详解】1{16},{}3M xx N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D 2.若i(1)1z -=，则z z +=（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】D【详解】由题设有21i1i i i z -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D 3.在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A.32m n -B.23m n-+C.32m n+D.23m n+【答案】B【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+．故选：B ．4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．时，增加的水量约2.65≈）（）A.931.010m ⨯B.931.210m ⨯ C.931.410m ⨯ D.931.610m ⨯【答案】C【解析】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN =-=(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V ．棱台上底面积262140.014010S ==⨯km m ，下底面积262180.018010S '==⨯km m ，∴((66119140101801033V h S S =++=⨯⨯⨯+⨯'(()679933320109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=⨯+⨯≈+⨯⨯=⨯≈⨯．故选：C ．5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.16B.13C.12D.23【答案】D【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种，故所求概率2172213P -==.故选：D.6.记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.1B.32C.52D.3【答案】A【详解】由函数的最小正周期T 满足23T ππ<<，得223πππω<<，解得23ω<<，又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以3,24k k Z ππωπ+=∈，且2b =，所以12,63k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以5sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A7.设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，则（）A.a b c <<B.c b a<< C.c a b<< D.a c b<<【答案】C【详解】方法一：构造法设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1()(0)09f f <=，所以101ln099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1((0)010f f -<=，所以91ln+01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--,令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<-时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)xg x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c >故选：C.方法二：比较法解：0.10.1a e =，0.110.1b =-，ln(10.1)c =--，①ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+-，令()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈则1()1011x f x x x-'=-=<--，故()f x 在(0,0.1]上单调递减，可得(0.1)(0)0f f <=，即ln ln 0a b -<，所以a b <；②0.10.1ln(10.1)a c e -=+-，令()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈则1(1)(1)1()11x xxx x e g x xe e x x+--'=+---，令()(1)(1)1x k x x x e =+--，所以2()(12)0x k x x x e '=-->，所以()k x 在(0,0.1]上单调递增，可得()(0)0k x k >>，即()0g x '>，所以()g x 在(0,0.1]上单调递增，可得(0.1)(0)0g g >=，即0a c ->，所以.a c >故.c a b <<8.已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤四棱锥体积的取值范围是（）A.8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[18,27]【答案】C【详解】∵球的体积为36π，所以球的半径3R =,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则2222l a h =+，22232(3)a h =+-,所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭，所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3l ≤≤0V '>，当l <≤时，0V '<，所以当l =时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643，又3l =时，274V =，l =814V =,所以正四棱锥的体积V 的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是276443⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以2231211(122)64(6)(122)[](333333h h h V a h h h h h h h -++==-=-⨯⨯= 当且仅当4h =取到)，当32h =时，得a =，则22min 11327;3324V a h ==⨯=当l =时，球心在正四棱锥高线上，此时39322h =+=，23322a a =⇒=，正四棱锥体积221119816433243V a h ==⨯=<，故该正四棱锥体积的取值范围是2764[,].43二、选择题：本题共4小题。

数学难题大全及答案
数学难题大全及答案
一、抛物线问题
1、抛物线y2=4ax的焦点坐标为(0,0)，则a的值为：
答案：-1/2
2、抛物线y2=8x的焦点坐标为(0,0)，则它的顶点的x坐标为：答案：0
3、抛物线y2=5px+2q的焦点坐标为(3,2)，则p+q的值为：
答案：7/5
二、几何问题
1、一个正方形的面积为100，则它的对角线的长度为：答案：平方根100
2、正方形的边长为X，则它的周长为：
答案：4X
3、圆的周长为20，则它的直径为：
答案：10
三、三角形与等腰三角形问题
1、正方形的边长为5，则它的对角线长度为：
答案：平方根50
2、一个直角三角形的两个直角边分别为3和4，则它的斜边长度为：
答案：平方根25
3、等腰三角形的底边长度为7，则它的高为：
答案：3.5。

生活中的数学1.等待时间:某自选商场有两个出口，两名售货员。

如果为每位顾客收款花费约1分钟，装袋花费约1分钟。

应选择哪种服务方式，可以使顾客等待的时间短一些方式1：只开一个出口，两名售货员在同一出口，一人收款，一人装袋。

方式2：同时开两个出口，每个售货员各自负责一个出口，既收款，又装袋。

（1）如果只有一位顾客付款。

按方式1：顾客的等待时间为1分。

按方式2：顾客的等待时间为分。

选择第几种方式呢（2）如果仅有两位顾客甲、乙同时付款。

（假设甲排在乙的前面）按方式1：顾客甲的等待时间为分，顾客乙的等待时间为分，平均等待时间为分。

按方式2：每位顾客的等待时间为分。

应选择第几种方式呢（3）如果有三位顾客甲、乙、丙同时来到收银台。

（假设甲在乙前，乙在丙前）按方式1：则甲的等待时间为分，乙的等待时间为分；丙的等待时间为分。

按方式2：一个出口又两位顾客，所需平均等待时间为分，另一个出口有一位顾客，所需的等待时间为分，平均等待时间为分。

选择第几种方式呢（4）如果有四位、五位顾客，结果如何请你接着算下去，能得到什么规律吗2.怎样架桥河的两岸是两条平行线，河的一侧有两个村庄A和B，要在河两岸建立一座桥(桥面与河岸垂直)，问桥建在何处，才能使两个村庄到桥头的距离之和最短说说为什么。

答案:过B作关于直线EF的对称点B’，连结AB’，设交EF于M，则M点即为所求。

假设M’是EF上的另一点，则根据对称性，AM’+BM’=AM’+B’M’>AB’=AM+BM。

所以AM+BM最短。

3.地球能养活多少人究竟地球能养活多少人这是人们普遍关心的大问题。

有人认为地球供养潜力很大，供养极限是500亿，也就是说相当于现在全球人口的近10倍。

他们说到那时，人类照样会拥有“公园的树荫和圣诞节上的火鸡。

”对于这种乐观的论点，大多数学者是不赞成的。

他们算了一笔帐：地球上的植物每年能生产1.65×1017克，也就是6.6×1017大卡的有机物质。