大一高数上_PPT课件_第三章共108页

R( x)
1 q
,
0 ,
x p ( p, q Z , p 为 既 约 真 分 数 ,）
q
q
x 0 ，1 和 (0 ，1) 内 的 无 理 数.
y
1 2
1 3 1 4 1 8 o
y R( x)
1 1 1 3 1 5 2 3 7 1
x
8 4 38 2 8 3 4 8
三. 函数的初等性质
显然，x R, 有
称为非负小数部分函数
0 {x} 1 , x [x] {x} .
y
y {x}
1
4 3 2 1 o 1 2 3 4
x
例3 符号函数 x x sgn x ,
1,
sgn
x
0
,
1 ,
当 x 0, 当 x 0, 当 x 0.
sgn x 起 了 x 的 符 号 的 作 用.
否 则 ，f ( x) 称 为 非 奇 非 偶 函 数.
例7 设 f ( x) 为定义在(l , l ) (l 0) 内的任意函数, 证明 f ( x) 在(l , l ) 内能表成奇函数与偶函数的和.
证 令 F ( x) 1 [ f ( x) f ( x)] , 偶函数
2
G( x) 1 [ f ( x) f ( x)] , 奇函数 2
f (x2 )
o
o x
D
x
D
当 f ( x)在 D 上单调递增或单调递减 时，则称 f ( x)
在 D 上是单调的; f ( x) 为D 上的单调函数.
如果 x1 , x2 D, 当 x1 x2时,
恒有: f ( x1 ) ( ) f ( x2 ), 则称函数f ( x)在区间D 上是单调不减( 增 ) .

函数 f x 在 x x0处可导的充要条件是 f x 在 x x0 处左、右导数
存在且相等.
现在，我们可回答函数 y | x | 在 x 0 处不可导的原因: f0 f0
27
四、左、右导数
第三章 一元函数微分学及其应用
例10
已知
f
x
sin
x
x
x0
x 0 ，求 f0, f0 及 f 0 .
9
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
定义
设函数 y f x 在 x0 的某个邻域内有定义，当 x 在 x0 处增量为 x （ x0 x 在该邻域内）时，相应地， 函数有增量 y f x0 x f x0 .
如果
lim y lim f x0 x f x0 lim f (x) f (x0)
例6 求 f x x2 的导数.
解 x2 lim x+x2 x lim x 2x 2x
x0
x
x0
一般地，当 x 0 ， y x 有定义时，
x lim x x x x1
x0
x
当 x 0 时, y x 有定义时也有上式成立.
例如，取 1 ，则有 2
x
8
一、 割线与切线
练习
第三章 一元函数微分学及其应用
1.求单位圆 x2 y2 1上过点 (1, 0) 的切线方程. 2. 求抛物线 y x2 上过点 (1,1) 和 (2, 4) 的割线方程. 3.求抛物线 y x2 上过点 (1,1) 的切线方程.
4.求函数 y ex 在点 x 1处的切线斜率.
30
五、切线与法线方程
第三章 一元函数微分学及其应用
例11
求曲线
y1 x

中值定理与导数的应用
12
令
S
1 4
(3 x02
64 x0
16
16)
0,
解得
x0
16 , 3
x0 16 (舍去).
s(16) 8 0. s(16) 4096 为极大值.
3
3 217
故 s(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
中值定理与导数的应用
13
三、小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤.
中值定理与导数的应用
16
练习题
一、填空题： 1、最值可_____________处取得. 2、函数 y 2x 3 3x 2 ( 1 x 4)的最大值为____ _____；最小值为__________. 3、函数 y 100 x 2 在[0,8]上的最大值为______ ______；最小值为___________. 4、设有重量为 5kg 的物体，置于水平面上，受力f 的作用而开始移动，摩擦系数 =0.25，问力f 与
0.5公里
s(t ) A
敌我相距函数 s(t)
B
s(t) (0.5 t)2 (4 2t)2
4公里
(2) 求s s(t)的最小值点.
s(t)
5t 7.5 .
(0.5 t)2 (4 2t)2
令s(t) 0,
得唯一驻点 t 1.5.
故得我军从B处发起追击后 1.5 分钟射击最好.
解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x
180 10
套，
每月总收入为
R(
x
)
(
x
20)
50

有一点(a b),使等式
f (a) F (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
结构图
特例
推广
Rolle定理
Lagrange定理
Cauchy定理
拉格朗日中值定理又称微分中值定理.
第二节 洛必达法则
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
推论 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那 么f(x)在区间I上是一个常数。
证明：在区间I上任取两点x1，x2(x1<x2)，应用拉 格朗日中值定理，就得
f(x2)f(x1)f ()(x2x1) (x1< < x2)。 由假定，f ()0，所以f(x2)f(x1)0，即
ln(1 x) x 。 1
又由0<<x，有
x ln(1 x) x 。 1 x
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x)及F ( x)
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那么在(a, b)内至少
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)内可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
几何解释:
y
C
y f (x)
若连续曲线弧的两个

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4
参考书目
＜工科数学分析基础＞ 马知恩 等编 （高教出版社）
＜高等数学释疑解难＞ 工科数学课委会编（高教出版社）
＜高等数学辅导＞ 盛祥耀 等编（清华大学出版社）
＜高等数学解题方法及同步训练＞
同济大学编（同济大学出版社）
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5
第一章 函数与极限
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6
§1.1 函 数
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31
3. 函数的奇偶性
设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如
果对于任意的xD，有f(-x)= f(x)，则称f(x)
为偶函数。
偶函数的图形关于y轴对称。
y
偶函数举例： y=x2，
y=f(x) f(-x)=f(x)
y=cos x
都是偶函数
-x O
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x
x
32
如果对于任意的xD，有 f(-x)=-f(x)，则 称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。
O
x
y= -M
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27
函数的有界性举例：
f(x) = sin x在(-, +)上是有界的： 即| sin x | 1。
y
1
y=sin x
-2p
-p
O
p
2p x
-1
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28
无界函数举例：
y
函数f(x)=1/x在开区间
(0,1)内是无界的。 函数f(x) =1/x在(0, 1)内
y y=f(x)
-2l
-l
O
l
2l
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x
34
四、反函数与复合函数

高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
例7
求
ln x
lim
x
xn
(n 0)．
解 此题属于“ ”型未定式，应用洛必达法则有
1
xl im ln xnxxl im nxxn1
1 lim
xnxn
0
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
0
0
lim f ( x ) g ( x )
lim f ( x ) g (x)
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
推论2 如果对(a,b)内的任意x，均有f ’(x)= g ’(x) ，那么 在(a,b)内f(x)与g(x)之间只差一个常数，即f(x)= g(x) +C〔 C 为 常数〕．
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
例1 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上是否满足拉格朗日 中值定理条件？假设满足，找出点．
解 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上连续，在(－1,2)上可
导，因此，满足拉格朗日定理的条件，即至少存在一点
ξ ，使

所得曲线a, b两端点的函数值相等.
第7页/共175页
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F( x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a, b)内至少存在一点,使得 F () 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
第14页/共175页
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明:
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
证 分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
设 g( x) x2 ,
xa ,
xa
在 U 0(a, )内任取一点x, 在以 a 与 x 为端点的区间上,
f1( x), F1( x)满足柯西中值定理的条件, 则有
f ( x) f ( x) f (a) f ( ) F ( x) F ( x) F (a) F ( )
(在x与a之间)
当x a时, a,
lim f ( x) A, xa F ( x)
x0 1
第19页/共175页
二、试证明对函数 y px 2 qx r 应用拉氏中值定理 时所求得的点 总是位于区间的正中间 .
三、证明等式arcsin 1 x2 arctan x 1 x2 2
( x (0,1) ) . 四、设a b 0 ，n 1 ，证明
nbn1 (a b) a n bn na n1 (a b) .
第6页/共175页
几何解释:
y
C
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切

结论亦 f(b)可 f(a)写 f( 成 ). ba
___________________________ _______________________
f (b)f (a) f()
ba
y 几何解释:
在曲线弧AB上至少有
C
yf(x)
M
B
一点C,在该点处的切 A
N
D
线平行于弦AB.
o a 1 x
2 b
极限 lim f (x) 可能存在、也可能不存在．通 xa F(x)
(x)
常把这种极限称为0 或型未定式. 0
例如,
limtan x , ( 0 )
x0 x
0
lnsinax
lim
,( )
x0 lnsinbx
___________________________ _______________________
f F
' () 成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
___________________________ _______________________
结构图
特例
推广
Rolle定理
Lagrange定理
Cauchy定理
拉格朗日中值定理又称微分中值定理.
___________________________ _______________________
x e x x e x x 2 e x l n ! i 0 。 m x n e x ___________________________ _______________________
二0、 ,,00,1,0型未定式解
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决

《高数教程》PPT课件
欢迎来到《高数教程》PPT课件！本教程将带您深入理解高等数学的核心概念， 通过生动的图像和实例，让您轻松掌握高数的奥秘。
第一章：函数基础
基础公式
掌握常见函数的基本性质和公式
函数图像
了解各种函数的图像和特性
函数方程
学习如何求解函数的方程
坐标系
掌握二维坐标系下的点与图形
第二章：极限与连续
平滑曲线
了解什么是平滑曲线及其特点
第五章：定积分与不定积分
定积分概念
深入理解定积分的概念和性质
定积分应用
应用定积分解决实际问题
不定积分计算
学习如何计算各种函数的不定积分
反常积分
探索反常积分的概念及计算方法
第六章：常微分方程
方程类型
了解常微分方程的不同类型
求解方法
学习解常微分方程的常用方法
应用领域
深入探讨常微分方程在各个领域 中的应用
第七章：多元函数积分学
1
多元函数概念
了解多元函数的定义和性质
2
二重积分
学习如何计算二重积分
3
三重积分
掌握三重积分的计算方法
极限定义
了解极限的定义和概念
极限计算
学习如何计算各种函数的极限
连续性
理解函数的连续性及其重要性
第三章：导数与微分
1
导数定义
掌握导数的定义和计算方法
2
常见导数
掌握常见函数的导数表达式3 Nhomakorabea微分应用
了解微分在实际问题中的应用
第四章：函数的单调性与曲线图
增减性
学习如何判断函数的增减性质
凹凸性
掌握函数的凹凸性质与曲线图

140
第3章 一元函数积分学
141
第3章 一元函数积分学
142
第3章 一元函数积分学
143
2. 由物理学可知, 在距液体表面深度为h处液体的压强为
第3章 一元函数积分学
144
第3章 一元函数积分学
145
第3章 一元函数积分学
146
第3章 一元函数积分学
147
第3章 一元函数积分学
148
101
第3章 一元函数积分学
102
第3章 一元函数积分学
103
第3章 一元函数积分学
104
第3章 一元函数积分学
105
第3章 一元函数积分学
106
第3章 一元函数积分学
107
第3章 一元函数积分学
108
第3章 一元函数积分学
109
第3章 一元函数积分学
110
第3章 一元函数积分学
41
3.3 分 部 积 分 法
第3章 一元函数积分学
42
第3章 一元函数积分学
43
第3章 一元函数积分学
44
第3章 一元函数积分学
45
第3章 一元函数积分学
46
第3章 一元函数积分学
47
第3章 一元函数积分学
48
第3章 一元函数积分学
49
于是
第3章 一元函数积分学
50
第3章 一元函数积分学
51
第3章 一元函数积分学
52
第3章 一元函数积分学
53
3.4 定积分的概念及性质
第3章 一元函数积分学
54
图3-5
第3章 一元函数积分学
55

VS
向量的模
在空间直角坐标系中，向量$vec{a}$的模 为$sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$。 06多项式函数与插值法
多项式函数的性质
代数性质
多项式函数具有加法、减法、乘法和除法的 代数性质，可以按照这些性质进行多项式函 数的运算。
最高次项系数
多项式的最高次项系数是多项式函数的一个重要性 质，它决定了多项式函数的开口方向和大小。
常积分。
反常积分的性质
反常积分具有与普通定积分相似的性 质，如线性性质、区间可加性等。
反常积分的计算方法
对于不同类型的反常积分，需要采用 不同的计算方法，如利用极限思想、
分部积分法、换元积分法等。
05
空间解析几何
向量代数基础
01 02
向量的加法
向量加法满足交换律和结合律，即对于任意向量$vec{a}$、$vec{b}$和 $vec{c}$，有$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$和$(vec{a} + vec{b}) + vec{c} = vec{a} + (vec{b} + vec{c})$。
高数是许多学科领域的基础，如物理 、工程、经济等，掌握高数知识对于 后续专业课程的学习至关重要。
高数课程的学习目标
01
掌握高等数学的基本概念、定理和公式，理解其数学意义和实 际应用。
02
学会运用高数知识解决实际问题，培养分析问题和解决问题的
能力。
培养自主学习和终身学习的能力，形成良好的学习习惯和思维
空间点的坐标
在空间直角坐标系中，任意一点$P$的位置由三个实数 $x$、$y$和$z$确定，这三个实数称为点$P$的坐标。

y y f (x)
y
y f (x)
f (x2)
f (x1 )
f ( x1 )
f (x2 )
o D
x
o
D
x
当 f (x)在 D 上单调递增或单调递时减，则 称f ( x)
在 D 上 是单 调的; f ( x) 为D 上的单调函数.
181h，
如果x1, x2 D, 当x1 x2时,
恒有: f ( x1 ) ( ) f ( x2 ), 则称函数f ( x)在区间D 上是单调不减( 增 ) .
显然，x R, 有
称为非负小数部分函数
0 {x} 1 , x [x] {x} .
y
y {x}
1
4 3 2 1 o 1 2 3 4
x
181h，
1 , 当x0,
例3 符号函数
sgnx
0
,
当x0,
x xsgnx ,
1 , 当 x 0 .
sgnx 起了 x 的符号的作用.
x
而 x [a,b（ ] 不包含原点）, 即 a x b ,
111 ,
f ( x) 1 在 [a, b] 上有界 .
bxa
x
181h，
2．函数的单调性 设 y f ( x) , x D.
如果x1, x2 D, 当x1 x2时,
恒有: f ( x1 ) ( > ) f ( x2 ), 则称函数f ( x)在区间D 上是单调递（增减）的.
2. 上课纪律：
不 迟 到 ， 不 早 退 ， 不课 旷，累计缺课超过该课程授 课学时的1 3，不得参加期末考试；上课必须关闭手
机 ， 严 禁 上 课 玩 手 机！
181h，

AB
由属于A但不属于B的元素组成的集称 为A与B的差集，记作A–B 或A\ B 即
A B {x |x A 但 x B }
AB
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15
全集 :又所研究的全 成部 的事 集物 合构 称 . 为
积为 I或U. 若研究某一问题 考时 虑将 对所 象的全体 集看 ，作全
记为 I,则对于任意 A集I,I合 A(即I \ A)称为 A的补集，
A BA B(或A （B)cAc Bc)德 . 摩根 . 律
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17
二.区间与邻域
设a和b都是实数，将满足不等式a<x<b的所有实数组 成的数集称为开区间，记作(a,b)即
(a,b) ={x|a<x<b}, a和b称为开区间(a,b)的端点,这里a (a,b)且b (a,b). 数集 [a,b]={x|a≤x≤b}为闭区间,a和b也称为闭区间[a,b]的 端点 , a∈[a,b]且b∈[a,b].
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5
第四，理清脉络。对所学的知识要有一个整体的把 握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的 理解，还会对进一步的学习有所帮助。
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6
微积分是近代数学发展的里程碑
微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一， 一部微积分发展史，是人类一步一步顽强地认 识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶。 它给出的一整套科学方法，开创了科学的新纪 元，并因此加强与加深了数学的作用。 恩格斯说:“在一切理论成就中，未必再有什么像 17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的 最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精 神的纯粹的和惟一的功绩，那就正是在这里。”