十二平均律

十二平均律十二平均律，亦称“十二等程律”,世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的振动数之比完全相等。

十二平均律是指将八度的音程（二倍频程）按频率等比例地分成十二等份，每一等份称为一个半音即小二度。

一个大二度则是两等份。

将一个八度分成12等份有着惊人的一些凑巧。

它的纯五度音程的两个音的频率比（即2 的7/12 次方）与1.5 非常接近，人耳基本上听不出“五度相生律”和“十二平均律”的五度音程的差别。

十二平均律在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用，现在的钢琴即是根据十二平均律来定音的。

中文名十二平均律亦称十二等程律音乐定律十二平均律，又称“十二等程律”，是一种音乐定律方法，将一个八度平均分成十二等份，每等分称为半音，是最主要的调音法。

“十二平均律”的纯四度和大三度，两个音的频率比分别与4/3 和5/4 比较接近。

也就是说，“十二平均律”的几个主要的和弦音符，都跟自然泛音序列中的几个音符相符合的，只有极小的差别，这为小号等按键吹奏乐器在乐队中使用提供了必要条件，因为这些乐器是靠自然泛音级(自然泛音序列，其频率是基音频率的整数倍序列，成等差数列)来形成音阶的。

半音是十二平均律组织中最小的音高距离，全音由两个半音组成。

1- Ⅰ之间分成12份。

具体1-2全音，2-3全音，3-4半音，4-5全音，5-6全音，6-7全音，7- i半音。

十二平均律在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用，钢琴即是根据十二平均律来定音的，因为只有“十二平均律”才能方便地进行移调。

曲调由音阶组成，音阶由音组成。

音有绝对音高和相对音高。

声音是靠振动（声带、琴弦等）发出的，而振动的频率（每秒振动的次数），就决定了的音的绝对高度。

不同的音有不同的振动频率。

人们选取一定频率的音来形成音乐体系所需要的音高。

十二平均律简而言之，就是把半根琴弦按照等比数列平均分成十二份。

一根琴弦的长度设为1，可以表示为(1/2)^(0/12)，第一品的位置是(1/2)^(1/12)，第二品的位置是(1/2)^(2/12)，依此类推，第n品的位置是(1/2)^(n/12)。

因为这样的一组音是等比关系，所以无论从哪个位置开始弹起旋律都是一样的。

[1]十二平均律的半音，比五度相生律的半音大，比纯律小。

因此，使用十二平均律奏和弦不纯，奏旋律导向性不够，所以在乐曲的演奏中，尤其在乐队多声部合奏的时候，实际上是多律并用的，根据实际情况，在演奏过程中，偏向一种律制，并不是一成不变的。

例子:钢琴是十二平均律制乐器。

国际标准音规定，钢琴的a1（小字一组的a音，对应钢琴键是49A）的频率是为440Hz；又规定每相邻半音的频率比值为2^(1/12)≈1.059463，（解释：这表示“2的十二分之一次方”），根据这规定，就可以得出钢琴上每一个琴键音的频率。

如与a1右边相邻#a1的频率是440×1.059463=466.16372Hz；再往上，b1的频率是493.088321Hz；c2的频率是523.25099......同理，与a1左边相邻的#g1的频率是440÷1.059463=415.030473Hz.....这种定音的方式就是“十二平均律”。

钢琴上每相邻的两个琴键（黑白都算）的频率的差别，音乐上即为半音。

比如说C和#C相差半音，C和D相差两个半音（或曰一个全音），以此类推。

如果B再往上升半音，会发现这个音的频率刚好是C的两倍，而在音乐上称为一个八度，这两个音听起来“很相象”。

用小写的c来表示它，依次有#c,d……再往上走可以用c1……，c2……来表示，而往下走可以用大写的C1……，C2……来表示。

历史三分损益律、纯律、十二平均律，在中国同时存在。

因此，也就出现异律并用的情况。

在历史上，南朝宋、齐时清商乐的平、清、瑟三调和隋、唐九、十部乐的清乐中，都是琴、笙与琵琶并用；宋人临五代周文矩《宫中图》卷中的琴阮合奏，其时，琴上所用应是纯律，笙上所用当为三分损益律，琵琶与阮是平均律。

可见，南北朝、隋唐、五代，都存在三律并用的情况。

在现存的许多民间乐种中，也有琴、笙、琵琶、阮等乐器的合奏。

因此，这种三律并用就成了中国传统音乐中存在的一。

明朝中叶，皇族世子朱载堉发明以珠算开方的办法，求得律制上的等比数列，具体说来就是：用发音体的长度计算音高，假定黄钟正律为1尺，求出低八度的音高弦长为2尺，然后将2开12次方得频率公比数1.059463094，该公比自乘12次即得十二律中各律音高，且黄钟正好还原。

用这种方法第一次解决了十二律自由旋宫转调的千古难题。

钢琴调律在朱载堉发表十二平均律理论之后52年，Pere Marin Mersenne 在（1636年）其所著《谐声通论》中发表相似的理论。

德国作曲家巴赫于1722年发表的《谐和音律曲集》（另或译为《十二平均律曲集》英文：《The 48》），有可能就是为十二平均律的键盘乐器所著。

物理解释所有的波（包括声波、电磁波等等）都有三个最本质的特性：频率/波长、振幅、相位。

对于声音来说，声波的频率（声学中一般不考虑波长）决定了这个声音有多“高”，声波的振幅决定了这个声音有多“响”，而人耳对于声波的相位不敏感，所以研究音乐时一般不考虑声波的相位问题。

一般来说，人耳能听到的声波频率范围是20HZ（每秒振动20次）到20000HZ（每秒振动20000次）之间。

声波的频率越大（每秒振动的次数越多），听起来就越“高”。

频率低于20HZ的叫“次声波”，高于20000HZ的叫“超声波”。

由于弦乐器是世界各地发展得最早的乐器种类之一，所以这种现象古人早已熟悉。

他们自然会想：如果八度音程的2:1的关系在弦乐器上用这么简单一按中点的方式就能实现，那么试试按其它的位置会怎么样呢？数学上2:1是最简单的比例关系了，简单性仅次于它的就是3:1。

那么，我们如果按住弦的1/3点，会怎么样呢？其结果是弦发出了两个高一些的音。

一个音的频率是原来的3倍（因为弦长变成了原来的1/3），另一个音是原来的3/2倍（因为弦长变成了原来的2/3）。

这两个音彼此也是八度音程的关系（因为它们彼此的弦长比是2:1）。

这样，在我们要寻找的F～2F的范围内，出现了第一个重要的频率，即3/2F。

（那个3F的频率正好处于下一个八度，即2F～4F中的同样位置。

）接着再试，数学上简单性仅次于3:1的是4:1，我们试试按弦的1/4点会怎样？又出现了两个音。

一个音的频率是原来的4倍（因为弦长变成了原来的1/4），这和原来的音（术语叫“主音”）是两个八度音程的关系，可以不去管它。

另一个音的频率是主音的4/3倍（因为弦长是原来的3/4）。

我们又得到了一个重要的频率，4/3F。

同一根弦，在不同的情况下振动，可以发出很多频率的声音。

在听觉上，与主音F最和谐的就是3/2F和4/3F（除了主音的各个八度之外）。

这个现象也被很多民族分别发现了。

比如最早从数学上研究弦的振动问题的古希腊哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前6世纪）。

我国先秦时期的《管子·地员篇》、《吕氏春秋·音律篇》也记载了所谓“三分损益律”。

具体说来是取一段弦，“三分损一”，即均分弦为三段，舍一留二，便得到3/2F。

如果“三分益一”，即弦均分三段后再加一段，便得到4/3F。

得到这两个频率之后，是否继续找1/5点、1/6点等等继续试下去呢？不行，因为听觉上这些音与主音的和谐程度远不及3/2F、4/3F。

实际上4/3F已经比3/2F的和谐程度要低不少了。

古人于是换了一种方法。

与主音F最和谐的3/2F已经找到了，他们转而找3/2F的3/2F，即与最和谐的那个音最和谐的音，这样就得到了（3/2）2F即9/4F。

可是这已经超出了2F的范围，进入了下一个八度。

没关系，不是有“等差音高序列”吗？在下一个八度中的音，在这一个八度中当然有与它等价的一个音，于是把9/4F的频率减半，便得到了9/8F。

接着把这个过程循环一遍，找3/2的3次方，于是就有了27/8F，这也在下一个八度中，再次频率减半，得到了27/16F。

就这样一直循环找下去吗？不行，因为这样循环下去会没完没了的。

我们最理想的情况是某一次循环之后，会得到主音的某一个八度，这样就算是“回到”了主音上，不用继续找下去了。

可是（3/2)^n，只要n是自然数，其结果都不会是整数，更不用说是2的某次方。

律学所有的麻烦就此开始。

数学上不可能的事，只能从数学上想办法。

古人的对策就是“取近似值”。

他们注意到（3/2)^5≈7.59，和2^3=8很接近，于是决定这个音就是他们要找的最后一个音，比这个音再高一点就是主音的第三个八度了。

这样，从主音F开始，我们只需把“按3/2比例寻找最和谐音”这个过程循环5次，得到了5个音，加上主音和4/3F，一共是7个音。

这就是为什么音律上要取do、re、mi等等7个音符而不是6个音符或者8个音符的原因。

这7个音符的频率，从小到大分别是F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F。

如果这里的F是do，那么9/8F就是re、81/64F就是mi……，这7个频率组成了7声音阶。

这7个音都有各自正式的名字，在西方音乐术语中，它们分别被叫做主音（tonic）、上主音（supertonic）、中音（mediant）、下属音（subdominant）、属音（dominant）、下中音（submediant）、导音（leading tone）。

其中和主音关系最密切的是第5个“属音”so和第4个“下属音”fa，原因前面已经说过了，因为它们和主音的和谐程度分别是第一高和第二高的。

由于这个音律主要是从“属音”so即3/2F推导出来的，而3/2这个比例在西方音乐术语中叫“纯五度”，所以这种音律叫做“五度相生律”。

西方最早提出“五度相生律”的是古希腊的毕达哥拉斯（所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning），东方是《管子》一书的作者（不一定是管仲本人）。

我国历代的各种音律，大部分也都是从“三分损益律”发展出来的，也可以认为它们都是“五度相生律”。

仔细看上面“五度相生律”7声音阶的频率，可以发现它们彼此的关系很简单：do～re、re～mi、fa～so、so～la、la～si 之间的频率比都是9:8，这个比例被称为全音（tone）；mi～fa、si～do 之间的频率比都是256:243，这个比例被称为半音（semitone）。

“五度相生律”产生的7声音阶，自诞生之日起就不断被批评。

原因之一就是它太复杂了。

前面说过，如果按住弦的1/5点或者1/6点，得到的音已经和主音不怎么和谐了，居然出现了81/64和243/128这样的比例，这不会太好听吧？于是有人开始对这7个音的频率做点调整，于是就出现了“纯律”（just intonation）。