初三第二轮复习 - 三角形为背景的动点问题-附详解

2017—2018学年度第二学期初三数学中考复习专题十：动点问题的常见题型和解题方法（提高）动点问题是近年来中考的的一个热点问题．常求：等腰、直角、相似三角形和四边形的形状，一般都要分类；面积、周长、线段和差的关系和最值．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解． 常用：几何方法——相似（全等）、勾股定理、面积关系建立方程或函数． 代数方法——设坐标或元，通过图形中特殊关系建立方程或函数．特别注意：几何方法和代数方法往往是不是孤立的，是相互交融的，即数形结合． 一、热点再练1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为(4,0)，∠AOC ＝60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M ，N (点M 在点N 的上方)，若△OMN 的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒(0≤t ≤4)，则能大致反映S 与t 的函数关系的图象是()A B C D2．如图①，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=60°，动点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度沿着A→B→C→D 的方向不停移动，直到点P 到达点D 后才停止．已知△PAD 的面积S （单位：cm 2）与点P 移动的时间（单位：s ）的函数如图②所示，则点P 从开始移动到停止移动一共用了 秒（结果保留根号）．3．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=6，BC=16，E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．当运动时间t = 秒时，以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形．4．如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点，PO 的延长线交BC 于Q ．第2题 第3题（1）求证：OP=OQ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PDQB 是菱形．二、规律剖析（一）因动点产生的等腰三角形问题例1 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图【基本方法】等腰三角形的存在性问题，一般要分类讨论；两腰相等可能转化为两角相等或者转化为其他线段之间关系，一般会用到勾股定理或相似中的比例式列方程．【思路点拨】1．第（2）题BP＝2分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．（二）因动点产生的直角三角形问题例 2如图，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A （-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．【基本方法】直角三角形的存在性问题，一般要分类讨论；遇到直角时一般考虑勾股定理或直角三角形相似或三角函数或代数法中的直线解析式． 【思路点拨】1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点． 2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示OM 要分类讨论．3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程． 4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能． 【变式】条件不变，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．（三）因动点产生的相似三角形问题例3如图，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,【基本方法】相似三角形的存在性问题，一般都要分类讨论；如果有两个角相等，那这两个角一般是对应角，所以只要讨论两种情况．【思路点拨】1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．（四）因动点产生的平行四边形问题例4如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC 向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ 的中点M 所经过的路径长．图1 图2【基本方法】平行四边形的存在性问题，一般都要分类讨论；比如已知的边是平行四边形的边或对角线，但本题四边形PDBQ 为菱形，只要满足一组对边平行且相等和一组邻边相等．【思路点拨】1．菱形PDBQ 必须符合两个条件，点P 在∠ABC 的平分线上，PQ //AB ．先求出点P 运动的时间t ，再根据PQ //AB ，对应线段成比例求CQ 的长，从而求出点Q 的速度．2．探究点M 的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M 的路径．（五）因动点产生的面积问题例5如图，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）； （2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ．①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．【基本方法】面积问题的关键是用坐标表示线段长度． 【思路点拨】1．用c 表示b 以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB ＝2OC ． 2．当C 、D 、E 三点共线时，△EHA ∽△COB ，△EHD ∽△COD ．3．求△PBC 面积的取值范围，要分两种情况计算，P 在BC 上方或下方．4．求得了S 的取值范围，然后罗列P 从A 经过C 运动到B 的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A 、C 、B 三个时刻的值． 三、分层作业1．如图(1)所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE —ED —DC 运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P 、Q 同发t 秒时，△BPQ 的面积为y cm 2．已知y 与t 的函数关系图象如图(2)(曲线OM 为抛物线的一部分)，则下列结论：①AD ＝BE ＝5；②cos ∠ABE ＝35；③当0＜t ≤5时，y ＝25t 2；④当t ＝294秒时，△ABE ∽△QBP ；其中正确的结论是__ __(填序号)．图(1) 图(2)第1题Q第2题第3题2．如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙0切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A．2π B．4π C．32D．43．如图，在△ABC中，∠ABC＝90º，AB＝3，BC＝4，P是BC边上的动点，设BP＝x．若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP＝90º，则x的取值范围是．4．直角坐标系中直线AB交x轴，y轴于点A（4，0）与B（0，－3），现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过秒第4题后动圆与直线AB相切．5．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向6．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由． （3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（2m ,m ），翻折矩形OABC ,使点A 与点C 重合，得到折痕DE ．设点B 的对应点为F ,折痕DE 所在直线与y 轴相交于点G ，经过点C 、F 、D 的抛物线为c bx ax ++=2y ．（1）求点D 的坐标（用含m 的式子表示）（2）若点G 的坐标为（0，－3），求该抛物线的解析式．（3）在（2）的条件下，设线段CD 的中点为M ，在线段CD 上方的抛物线上是否存在点P ,使PM =21EA ?若存在，直接写出P 的坐标，若不存在，说明理由．。

中考九年级数学高频考点专题训练--三角形-动点问题一、单选题1．如图，正方形ABCD和等腰直角三角形EFG，斜边EF与AD在一条直线上，AB=6，EG=4，△EFG沿射线DA方向运动（点E从点D出发），设ED=x，△EFG与正方形ABCD重叠部分的面积为y．若y=7，则x的值为（）A．3√2或4√2B．3√2或6+√2C．6+√2或6−√2D．3√2或6−√22．如图，在等边△ABC中，AB=2 √3，点D在△ABC内或其边上，AD=2，以AD为边向右作等边△ADE，连接CD，CE．设CE的最小值为m；当ED的延长线经过点B时，∠DEC=n∘，则m，n的值分别为（）A．√3，55B．√3，60C．2 √3-2，55D．2 √3-2，603．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为（）A．5B．10C．20D．25 4．如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D在AB边上，AD＝4，E为AC中点，P为△ABC内一点，且∠BPD＝90°，则线段PE的最小值为（）A．3 √3﹣2B．4√3−2C．2 √13﹣4D．4 √13﹣85．如图，线段AB的长为8，点D在AB上，ΔACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（）A．5B．4C．4√3D．5√3 6．如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值（）A．3√2B．3+ √2C．3√3D．3+ √3 7．如图，直角三角形ABC中，AC＝BC，AD是△ABC的角平分线，动点M、N同时从A点出发，以相同的速度分别沿A→C→B和A一B→C方向运动，并在边BC上的点E相遇，连接AE，①AE平分△ABC的周长，②AE是△ABD的角平分线，③AE是△ABD的中线.以上结论正确的有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③8．正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿EF折叠，使点A 落在A′处，点B落在B′处，A′B′交BC于G．下列结论错误的是（）A．当A′为CD中点时，则tan∠DA′E=34B．当A′D：DE：A′E=3：4：5时，则A′C=163C．连接AA′，则AA′=EFD．当A′（点A′不与C、D重合）在CD上移动时，△A′CG周长随着A′位置变化而变化二、填空题9．如图，△ABC中．AC=BC，∠ACB=100°，点D在线段AB上运动（D不与A、B重合），连接CD，作∠CDE=30°，DE交BC于点E，若△BDE是等腰三角形，则∠ADC的度数是．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，边AB上有一动点P，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得△DEC，点P的对应点为P′，连接PP′，则PP′长的最小值为．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝3∠B，AB＝20cm，点D是AB中点，点M从点A出发，沿线段AB运动到点B，点P始终是线段CM的中点．对于下列结论：①CD＝10cm；②∠CDA＝60°；③线段CM长度的最小值是5 √2cm；④点P运动路径的长度是10cm．其中正确的结论是（写出所有正确结论的序号）．12．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y= √33x﹣√33与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B22作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是．13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC 上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为.14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝12，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，P是DE上的动点，Q是BD上的动点，则BP+PQ的最小值为．三、综合题15．如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+16x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M （0，﹣1）．已知AM=BC．（1）求二次函数的解析式；（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线l过D且l⊥BD，分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N，求1BP+1BQ的值；16．在直线上顺次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D，E．（1）如图①，连结CD，AE，求证：CD＝AE；（2）如图②，若AB＝1，BC＝2，求DE的长；（3）如图③，将图②中的正三角形BEC绕B点作适当的旋转，连结AE，若有DE2+BE2＝AE2，试求∠DEB的度数．17．如图，△ABC中，AB =BC=AC =6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动.（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间.（3）点M、N运动几秒后，可得到直角三角形△BMN？18．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C分别是x轴和y轴上的一动点．（1）如图1．若点B的横坐标为﹣4，求点C的坐标；（2）如图2，BC交x轴于点D，若点B的纵坐标为3，A（5，0），求点C的坐标；（3）如图3，当A（5，0），C（0，﹣2）时，以AC为直角边作等腰直角△ACE，（﹣2，0）为F点坐标，连接EF交y轴于点M，当点E在第一象限时，求S△CEM：S△ACO的值．19．已知ΔABC是边长为8cm的等边三角形，动点P,Q同时出发，分别在三角形的边或延长线上运动，他们的运动时间为t(s)．（1）如图1，若P点由A向B运动，Q点由C向A运动，他们的速度都是1cm/s，连接PQ．则AP=，AQ=，（用含t式子表示）；（2）在(1)的条件下，是否存在某一时刻，使得ΔAPQ为直角三角形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）如图2，若P点由A出发，沿射线AB方向运动，Q点由C出发，沿射线AC方向运动，P的速度为3cm/s,Q的速度为．acm/s是否存在某个a的值，使得在运动过程中ΔBPO恒为以BP为底的等腰三角形？如果存在，请求出这个值，如果不存在，请说明理由．20．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=4，BD=3，DC=8，点P是BC边上一点（不与点B、D、C重合），过点P作PQ⊥BC交AB或AC于点Q，作点Q关于直线AD的对称点M，连结QM，过点M作MN⊥BC交直线BC 于点N．设BP=x，矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的周长为y．（1）直接写出PQ的长（用含x的代数式表示）．（2）求矩形PQMN成为正方形时x的值．（3）求y与x的函数关系式.（4）当过点C和点M的直线平分△ADC的面积时，直接写出x的值．答案解析部分1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】D9．【答案】50º或80º或110º 10．【答案】√6 11．【答案】①③④ 12．【答案】22017−1213．【答案】251214．【答案】815．【答案】（1）解：∵二次函数y=ax 2+16x+c 的图象经过点B （-3，0），M （0，-1），∴{9a +16×(−3)+c =0c =−1， 解得a=16，c=-1． ∴二次函数的解析式为：y=16x 2+16x-1．（2）证明：∵二次函数的解析式为：y=16x 2+16x-1，令y=0，得0=16x 2+16x-1，解得x 1=-3，x 2=2， ∴C （2，0）， ∴BC=5； 令x=0，得y=-1， ∴M （0，-1），OM=1． 又AM=BC ， ∴OA=AM-OM=4， ∴A （0，4）．设AD ∥x 轴，交抛物线于点D ，如图1所示， 则y D =16x 2+16x −1=OA =4，解得x 1=5，x 2=-6（位于第二象限，舍去） ∴D 点坐标为（5，4）． ∴AD=BC=5， 又∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形．即在抛物线F 上存在点D ，使A 、B 、C 、D 四点连接而成的四边形恰好是平行四边形．设直线BD 解析式为：y=kx+b ， ∵B （3，0），D （5，4），∴{−3k +b =05k +b =4， 解得：k=12，b=32，∴直线BD 解析式为：y=12x+32．（3）解：在Rt △AOB 中，AB =√OA 2+OB 2=5， 又AD=BC=5， ∴▱ABCD 是菱形．①若直线l ∥BD ，如图1所示． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ， ∴AC ∥直线l ，∴BA BP =BC BQ =BN BD =12，∵BA=BC=5， ∴BP=BQ=10，∴1BP +1BQ =110+110=15．16．【答案】（1）证明：∵△ABD 是等边三角形，∴AB=BD ，∵△BCE 是等边三角形， ∴BC=BE ，∵∠ABD=∠CBE=60°， ∴∠ABE=∠CBD ， ∴△ABE ≌△DBC （SAS ）， ∴CD=AE ；（2）解： 取BE 的中点F ，连接DF ，∵BD=BF=1，∠DBF=60°，∴△BDF为等边三角形，∴DF=1，∴FD=FE=FB=1,∴△BED为直角三角形，即∠BDE=90°，∴DE=√BE2−BD2=√3；（3）解：如图，连接DC，∵△ABD和△ECB都是等边三角形，∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC= 60°，∴∠ABE=∠DBC，∴AB=BD，在△ABE和△DBC中，AB=AD，∠ABE =∠DBC，BE=BC，∴△ABE≌△DBC ( SAS) ,∴AE=DC，∴DE2+BE2=AE2，BE=CE ,∴DE2+CE2=CD2 ,∴∠DEC=90° ,∴∠BEC=60° ,∴∠DEB=∠DEC-∠BEC=30° .17．【答案】（1）解：设M、N运动t秒后，M、N两点重合，依题可得，t×1+6=2t，解得：t=6.答：点M、N运动6秒后，M、N两点重合.（2）能得到以MN为底边的等腰△AMN，①当点M在AC上，点N在AB上，如图①所示：设运动时间为t秒，依题可得，AM=t，AN=6-2t，∵△AMN是以MN为底边的等腰三角形，∴AM=AN，∴t=6-2t，解得：t=2；②当点M、N都在BC上时，如图②所示：设运动时间为t秒，依题可得，CM=t-6，BN=18-2t，∵△AMN是以MN为底边的等腰三角形，∴AM=AN，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C，AC=AB，在△ACM和△ABN中，{∠AMC=∠ANB∠C=∠BAC=AB，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM=BN，即t-6=18-2t，解得：t=8；综上所述：能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时，M、N的运动时间为2秒或8秒.（3）解：①当∠BNM=90°时，如图所示：设M、N运动时间是t秒，依题可得：BN=2t，AN=6-2t，AM=t，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，∴∠AMN=30°，∴AM=2AN，即t=2（6-2t），解得：t=2.4；②当点M、N都在AC上时，当∠BNM=90°时，如图所示：设M、N运动时间是t秒，依题可得：AN=2t-6，∴CN=6-AN=12-2t，∵△ABC为等边三角形，∴∠C=60°，∴∠CBN=30°，∴BC=2CN，即6=2（12-2t），解得：t=4.5；③当点M、N都在AC上时，当∠BMN=90°时，如图所示：设M、N运动时间是t秒，依题可得：AM=t，∴CM=6-AM=6-t，∵△ABC为等边三角形，∴∠C=60°，∴∠CBM=30°，∴BC=2CM，即6=2（6-t），解得：t=3；综上所述：当点M、N运动2.4秒或3秒或4.5秒时，可得到直角△BMN. 18．【答案】（1）解：如图1中，作BH⊥y轴于H．∵∠BHC＝∠BCA＝∠AOC＝90°，∴∠BCH＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°，∴∠BCH＝∠OAC，∵BC＝AC，∴△BHC≌△COA（AAS），∴OC＝BH，∵点B的横坐标为−4，∴BH＝4，∴OC＝4，∴C（0，−4）；（2）解：如图2中，作BH⊥y轴于H．由（1）可知△BHC≌△COA∴OC＝BH，OA＝CH，∵若点B的纵坐标为3，A（5，0），∴OA＝CH＝5，OH＝3，∴BH＝OC＝2，∴C（0，−2）；（3）解：如图3中，由题意点E在第一象限，作EH⊥OA于H．同法可证：△AHE≌△COA（AAS），∴AH ＝OC ，AO ＝EH ， ∵A （5，0），C （0，−2）， ∴EH ＝OA ＝5，OC ＝AH ＝2， ∴E （3，5），设直线 FE 的解析式为： y =kx +b ， 则 {0=−2k +b 5=3k +b ，解得 {k =1b =2 ，∴直线 FE 的解析式为： y =x +2 ， 令 x =0 ，则 y =2 ， ∴OM ＝2，∴S △CEM ：S △ACO ＝ (12×4×3)：(12×2×5)=6：5 ．19．【答案】（1）tcm ；（6-t ）cm（2）解：存在 t =83s 或16s时，使得 ΔAPQ 为直角三角形，理由是①当 PA ⊥AB 时，由题意有 2t =8−t ，解得 t =83s②当 PQ ⊥AC 时，由题意有 t =2(8−t), 解得 t =163s∴ 综上所述，存在 t =83s 或16s时，使得 ΔAPQ 为直角三角形（3）解：存在 a =3cm/s 时， ΔBPQ 恒为以 BP 为底的等腰三角形，理由是： 作 QM ⊥BP 于M ，如图2所示由题意得： AP =3t,CQ =at ，则 AQ =8+at,BP =|8−3t|∵PQ =BQ,QM ⊥BP ∴PM =BM =12BP∵ΔABC 是等边三角形，∴∠A ＝60° ∴∠AQM ＝30° ∴AQ ＝2AM ，①当 t ≤83 时，由题意有 2(3t +8−3t2)=8+at ，解得 a =3cm/s ，②当 t ≥83 时，由题意有 2(3t −3t−82)=8+at ，解得 a =3cm/s ，∴ 综上所述，存在 a =3cm/s 时， ΔBPQ 恒为以 BP 为底的等腰三角形．20．【答案】（1）解：①当PQ 交AB 于点Q 时，0<x<3，∵AD ⊥BC ，AD=4，BD=3，∴tan ∠B= 43，∵PQ ⊥BC ， ∴PQ BP =43， ∴当0<x<3时，PQ= 43x ；②当PQ 交AC 于点Q 时，3<x<11， ∵AD ⊥BC ，AD=4，CD=8， ∴tan ∠C= 12 ，∵PQ ⊥BC ，∴PQ PC =12，PC=11-x ， ∴当3<x<11时，PQ= 11−x 2；（2）解：①当PQ 交AB 于点Q 时，0<x<3， ∵四边形PQMN 为正方形， ∴PQ=QM=MN=NP ， ∵QM=2（3-x ）， ∴43x=2（3-x ）， 解得x= 95；②当PQ 交AC 于点Q 时，3<x<11， ∵四边形PQMN 为正方形，∴PQ=QM=MN=NP ， ∵QM=2（x-3）， ∴(11−x)2=2（x-3），解得x= 235（3）解：y=PQ+MN+QM+PN ， =2× 43x+2×2（3-x ），=12- 43x ；（4）解：如图，连接CM 交AD 于O ，由题可知： AE =DE =12AD =2 ，∵QP =ED =43x ，∴OE =OD −DE =2−43x ， EM =QE =PD =3−x ，∵QM ∥BC ， ∴△OME ∼△OCD ， ∴EO DO =EM DC， ∴2−43x 2=3−x 8， 化简得： 4(2−43x)=3−x ，∴x =1513．。

例析动点问题在中考中与三角形有关的常见题型二次函数与几何综合题已成为近几年各省市、地区中考数学压轴题。

命题老师对这道题的问题设置，常常会设置动点问题作为考查考生对整个初中数学知识学习的综合运用能力。

本文就动点问题在中考中与三角形有关的常见题型作了归纳整理，希望与同行共鸣。

一、由因动点产生的相似三角形问题例：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1思路点拨1．第（2）题把求∠AOM 的大小，转化为求∠BOM 的大小．2．因为∠BOM ＝∠ABO ＝30°，因此点C 在点B 的右侧时，恰好有∠ABC ＝∠AOM ．3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC 与△AOM 相似． 满分解答（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°， 所以AH ＝1，OH ＝3．所以A (1,3)-．因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点，设y ＝ax (x －2)，代入点A (1,3)-，可得33a =． 图2 所以抛物线的表达式为23323(2)333y x x x x =-=-． （2）由2232333(1)3333y x x x =-=--， 得抛物线的顶点M 的坐标为3(1,)3-．所以3tan 3BOM ∠=． 所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．（3）由A(1,3)-、B(2,0)、M3 (1,)3 -，得3tan3ABO∠=，23AB=，233OM=．所以∠ABO＝30°，3OAOM=．因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．△ABC与△AOM相似，存在两种情况：①如图3，当3BA OABC OM==时，23233BABC===．此时C(4,0)．②如图4，当3BC OABA OM==时，33236BC BA==⨯=．此时C(8,0)．图3 图4考点伸展在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．图5二、由动点产生的等腰三角形问题例：如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P 在线段BC 上时△PAC 的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)，代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x2＋2x ＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．当点P 落在线段BC 上时，PA ＋PC 最小，△PAC 的周长最小．设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ． 由BH PH BO CO =，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2． 所以点P 的坐标为(1, 2)．图2（3）点M 的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6-)或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M 的坐标为(1,m )．在△MAC 中，AC 2＝10，MC 2＝1＋(m －3)2，MA 2＝4＋m 2．①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3)2，得m ＝1． 此时点M 的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10，得6m =±． 此时点M 的坐标为(1,6)或(1,6-)．③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3)2＝10，得m ＝0或6． 当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)．图3 图4 图5三、由动点产生的直角三角形问题例：如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1思路点拨1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个．2．当直线l 与以AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB ＝90°的点M 有2个；当直线l 与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．3．灵活应用相似比解题比较简便．满分解答（1）由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-， 得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4, 0)、B (2, 0)．对称轴是直线x ＝－1．（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′．设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以34DG CO BG AO ==． 所以3944DG BG ==，点D 的坐标为9(1,)4-． 因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ．而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG 274=．所以D ′的坐标为27(1,)4．图2 图3（3）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ．以AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了．联结GM ，那么GM ⊥l ．在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．在Rt △EM 1A 中，AE ＝8，113tan 4M A M EA AE ∠==，所以M 1A ＝6． 所以点M 1的坐标为(－4, 6)，过M 1、E 的直线l 为334y x =-+． 根据对称性，直线l 还可以是334y x =+． 考点伸展第（3）题中的直线l 恰好经过点C ，因此可以过点C 、E 求直线l 的解析式． 在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．在Rt △ECO 中，CO ＝3，EO ＝4，所以CE ＝5．因此三角形△EGM ≌△ECO ，∠GEM ＝∠CEO ．所以直线CM 过点C ．总之，动点问题是新课改后中考的的一个热点问题，解这类题目的一般技巧是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量变化情况并找出相关常量；第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出；第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。

二次函数综合（动点与三角形）问题一、知识准备：抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式。

（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形；（2）抛物线上的点能否构成直角三角形；（3）抛物线上的点能否构成相似三角形；解决这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。

二、例题精析㈠【抛物线上的点能否构成等腰三角形】例一．如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．考点：二次函数综合题专题：综合题．分析：（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式；（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（﹣1，m），分三种情况讨论，①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案．解答：解：（1）∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，∴可得A（1，0），B（0，﹣3），把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，解得：．∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3．（2）令y=0得：0=x2+2x﹣3，解得：x1=1，x2=﹣3，则C点坐标为：（﹣3，0），AC=4，故可得S△ABC=AC×OB=×4×3=6．（3）抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意：讨论：①当MA=AB时，，解得：，∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）；②当MB=BA时，，解得：M3=0，M4=﹣6，∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6），③当MB=MA时，，解得：m=﹣1，∴M5（﹣1，﹣1），答：共存在五个点M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6），M5（﹣1，﹣1）使△ABM为等腰三角形．点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解．㈡【抛物线上的点能否构成直角三角形】例二．如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据y=0.5x+2交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．得出可设二次函数y=ax2+bx+c=a （x﹣2）2，进而求出即可；（2）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可．解答：解：（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，∴0=0.5x+2，∴x=﹣4，与y轴交于点B，∵x=0，∴y=2∴B点坐标为：（0，2），∴A（﹣4，0），B（0，2），∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2∴可设二次函数y=a（x﹣2）2，把B（0，2）代入得：a=0.5∴二次函数的解析式：y=0.5x2﹣2x+2；（2）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点由Rt△AOB∽Rt△BOP1∴=，∴=，得：OP1=1，∴P1（1，0），（Ⅱ）作P2D⊥BD，连接BP2，将y=0.5x+2与y=0.5x2﹣2x+2联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：（5，4.5），则AD=，当D为直角顶点时∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，∴△ABO∽△AP2D，∴=，=，解得：AP2=11.25，则OP2=11.25﹣4=7.25，故P2点坐标为（7.25，0）；（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0）则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D得：，∴，∵方程无解，∴点P3不存在，∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）．点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解．㈢【抛物线上的点能否构成相似三角形】例三．如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．分析： （1）由待定系数法求出直线BD 和抛物线的解析式；（2）首先确定△MCD 为等腰直角三角形，因为△BND 与△MCD 相似，所以△BND 也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N 有3个；（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD 面积的表达式，然后根据S △PBD =6的已知条件，列出一元二次方程求解．解答： 解：（1）∵直线l ：y=3x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴A （﹣1，0），B （0，3）；∵把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，∴C （1，0）．设直线BD 的解析式为：y=kx+b ，∵点B （0，3），D （3，0）在直线BD 上，∴，解得k=﹣1，b=3，∴直线BD 的解析式为：y=﹣x+3．设抛物线的解析式为：y=a （x ﹣1）（x ﹣3），∵点B （0，3）在抛物线上，∴3=a ×（﹣1）×（﹣3），解得：a=1，∴抛物线的解析式为：y=（x ﹣1）（x ﹣3）=x 2﹣4x+3．（2）抛物线的解析式为：y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）．直线BD ：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M ，令x=2，得y=1，∴M （2，1）．设对称轴与x 轴交点为点F ，则CF=FD=MN=1，∴△MCD 为等腰直角三角形．∵以点N 、B 、D 为顶点的三角形与△MCD 相似，∴△BND 为等腰直角三角形．如答图1所示：（I ）若BD 为斜边，则易知此时直角顶点为原点O ，∴N1（0，0）；（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，∵OB=OD=ON2=3，∴N2（﹣3，0）；（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，∵OB=OD=ON3=3，∴N3（0，﹣3）．∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）．（3）假设存在点P，使S△PBD=6，设点P坐标为（m，n）．（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m﹣3．S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=（3+n）•m﹣×3×3﹣（m﹣3）•n=6，化简得：m+n=7 ①，∵P（m，n）在抛物线上，∴n=m2﹣4m+3，代入①式整理得：m2﹣3m﹣4=0，解得：m1=4，m2=﹣1，∴n1=3，n2=8，∴P1（4，3），P2（﹣1，8）；（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n．S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=（3+m）•（﹣n）+×3×3﹣（3﹣n）•m=6，化简得：m+n=﹣1 ②，∵P（m，n）在抛物线上，∴n=m2﹣4m+3，代入②式整理得：m2﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程无解．故此时点P不存在．综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．点评： 本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论的数学思想．第（2）（3）问均需进行分类讨论，避免漏解．三、训练1．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点的坐标为A （﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C 的坐标，连接AC 、BC 并求线段BC 所在直线的解析式；（3）试判断△AOC 与△COB 是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程；（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；（3）根据，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；（4）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0），∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，解得：b=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4，又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+，∴对称轴方程为：x=3．（2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得k=，b=4，∴直线BC的解析式为：y=x+4．（3）可判定△AOC∽△COB成立．理由如下：在△AOC与△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB．（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得：AC===，AQ==，CQ==．i）当AQ=CQ时，有=，25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）；ii）当AC=AQ时，有=，t2=﹣5，此方程无实数根，∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；iii）当AC=CQ时，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4±，∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于第（4）问，符合条件的等腰三角形△ACQ 可能有多种情形，需要分类讨论．2 ：已知：直线112y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△P AE 是直角三角形时，求点P 的坐标．3、如图，抛物线212222y x x =-++与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点．（1）求A B C 、、三点的坐标；（2）证明ABC △为直角三角形；（3）在抛物线上除C 点外，是否还存在另外一个点P ，使ABP △是直角三角形，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．4、如图，已知抛物线224233y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于Q ．（1）求点B 和点C 的坐标；（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ成为以．BQ ．．为一腰．．．的等腰三角形？若存在， 求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．5、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，且COS ∠BCO ＝310。