几何中的强弱点

几何知识点总结及解析几何是研究空间和形状的数学学科，它是数学中最古老的分支之一。

它研究空间形状、大小、相对位置以及空间中的运动等问题。

在我们日常生活中，几何知识得到了广泛的应用，比如建筑、工程、地图制作、艺术设计等领域。

在几何学中，有许多基本的知识点，下面将对其中一些重要的知识点进行总结和解析。

一、基本几何图形1. 点、线、面在几何学中，最基本的几何图形有三种，分别是点、线、面。

点是几何图形的最小单位，没有长度、面积或体积，但有位置。

线是由一系列相连点组成的，没有宽度但有长度，可以延伸无限远。

面是由一条闭合曲线所围成的区域，有长度和宽度，可以用来表示平面图形。

2. 多边形多边形是由若干条线段所组成的封闭图形，其中的每条边都连接两个顶点，且相邻的边之间不能相交。

根据边的个数，多边形可以分为三角形、四边形、五边形等。

3. 圆圆是一个平面上所有与给定点的距离都相等的点的集合，这个点称为圆心，这个距离称为半径。

圆是几何学中最基本的曲线，也是一个重要的几何图形。

二、几何运算1. 向量向量是有大小和方向的量，它是几何学中一个非常重要的概念。

向量可以用有向线段来表示，其长度表示其大小，而方向则表示其方向。

在几何运算中，向量可以进行加法、减法、数量乘法等运算，而且向量还可以表示为坐标的形式。

2. 平移、旋转、对称平移是指把图形沿着某个方向移动一段距离，但是不改变其形状和大小。

旋转是指以一个固定的点为中心，将图形绕着这个点按一定的角度旋转。

对称是指一个图形可以通过某条直线、点或中心进行对称，即图形的两侧完全对称。

三、几何性质1. 直线与角在几何学中，直线是最基本的图形之一，没有宽度和弯曲。

而角是由两条射线的公共端点所确定的，角的大小可以用度数来表示。

直线和角是几何学中的基本概念，它们具有许多重要的性质和定理。

2. 圆的性质圆是几何学中的重要图形，它具有许多独特的性质。

比如圆的直径等于其半径的两倍，圆的周长和面积都与半径有关等。

辅助线难做，没思路，可能是因为初中几何“三大变换”实质没抓住有时候初中几何题难做，大多是因为辅助线不好找，没有思路，于是过多去思考辅助线的技巧，当旁人稍稍点明以后总有恍然大悟的感觉，其实通过认真观察研究会发现，证明题作完辅助线以后所得图形离基本离不今天要说的：•平面几何三大基本变换，平移、旋转和对称观察问题将所要求证的与“基础知识”联系起来才是我们解决问题的根本方法，平时先理清知识再去练习技巧和总结方法，解题的时候可以先找是否可以利用这三大变换，解完题以后再去回顾相关知识，慢慢就能达到常说的做一题通一类。

•平常说的一题多解往往就是因为经过各种变换之后可以利用不同的知识进行求解，一题多解只是方法，总结这些方法用的相关知识才是能力的提升，比如哪些是对称，哪些是旋转。

•初中几何证明题中基本的许多性质都源于图形本身的'变换特征'，初中阶段最为重要和最为常用的图形关系'全等三角形'在很多情况具有'变换'形式的联系.两个三角形全等本是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及三角形关系的时候，大多数都和位置相关，成轴对称关系（有时候表现为折叠），或成平移的关系，或成旋转的关系（包括中心对称）。

因此，在解决具体的几何相关问题时，如果我们有意识地从所求出发，结合图形的关系中所显示或暗示的'变换特征'，从而识别、构造出基本图形或图形关系，这将对解决问题有着极为重要的启发和引导的作用.接下来我们从变换视角以题目中三角形的全等关系为主进行研究.下面以两个'旋转'类题目进行分析。

•解决几何类型问题的能力，关键是要善于从综合与复杂的图形中识别然后构造出基本图形及基本的图形关系，而'变换'的概念和思路能很好地提高我们这种识别和构造的能力.例1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF 中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．•考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质。

即　x2-2xy+y2=x2+2xy+y2+(　),故(　)内应填-4xy.“类比”是数学学科在教学中比较常用的教学策略,它不但可以帮助学生理解概念,掌握规律,寻求正确的解题方法,而且还能培养学生分析问题、解决问题的能力,希望同学们在学习中要有意识的去应用.探究抛物线的焦点弦性质———一堂利用《几何画板》进行课堂整合的案例陈　荣(浙江师范大学数理学院,金华　321004) 探究导入　今天我们利用《几何画板》一起来探索抛物线焦点弦的相关性质.请各位同学打开各自电脑桌面上的“抛物线.gs p”文件,已知抛物线y2=2px(p>0),怎样作一条过焦点F的任意弦AB?学生动手操作:在抛物线上任取一点A,作过A、F两点的直线,同时选取直线和抛物线,然后打开“作图”,执行“交点”命令,但是“交点”命令是灰色,操作没有成功.教师:《几何画板》给我们学习带来了很多帮助,但是有时《几何画板》也会有脾气,不听话,今天她就跟我们开了一个玩笑,不让我们通过“交点”命令来找到点B.下面请大家思考,怎样才能描出点B呢?学生1:度量出A、F两点的坐标,然后求出直线A F的方程,联立抛物线方程,通过解方程组求出点B的具体坐标,就可以作出点B了.教师:这种方法可以找到点B,但是有两个方面的不足:一是解方程比较烦琐;二是当点A变化一下,点B的坐标又得重新计算.针对学生1方案存在的问题,能否找到解决的办法?学生2:可以找出A、B两点的坐标关系.设A(xA ,yA)、B(xB,yB),lA F:y=k(x-p2),然后联立抛物线方程消去y,由韦达定理可以找到点A、B的坐标关系.教师:我们在前面的课中强调过,设直线的点斜式方程时,要注意讨论斜率k不存在的情况.在这个问题中,直线AB的倾斜角θ的范围为0°<θ<180°,所以我们应该分θ是否等于90°两种情况来分析,那么怎样设直线的方程就能避免讨论呢?大部分学生:设lA F ∶m y=x-p2.学生2:(继续)由y2=2px,m y=x-p2,消去x得y2-2p m y-p2=0.①则yAyB=-p2,推出yB=-p2y A,而x B=y2B2p=p42py2A=p44p2xA=p24xA,则点B坐标为(p24xA,-p2y A),这样就可以方便找出点B.学生动手操作:先度量出点A的坐标,利用《几何画板》的计算器得到点B的坐标,然后描出点B,拖动点A,发现点B始终在抛物线上,问题终于得到解决.(学生对这个问题的探究性学习已经首获成果,高兴之余兴趣大增)教师:从学生2刚才找到点B的方法中,不知不觉地发现了有关A、B两点坐标之间的一个性质:性质1　xAxB=p24;yAyB=-p2.评　几何画板给学生提供了好的探究工具,但是有时看似简单的作图,几何画板却无能为力.本堂课就是利用《几何画板》的“弱点”来展开探究活动,通过运用数学知识来解决《几何画板》中有些作图方面的不足之处,在解决问题的过程中发现了新的性质,同时也为后面的探究活动构建好了软件平台.图1探究问题1　在图1中,拖动点A,观察弦AB的长度的变化情况,能否找到什么结论呢?并在作业纸上进行推理论证.活动情景:教师在教室巡视,对个别学生提供软件技术帮助和探究指导;学生在电脑上开始实验:先度量出弦AB 的长度,再拖动点A (或B ),发现当AB ⊥x 轴时,|AB |长度最短,很多学生还发现|AB |的最小值刚好是2p (课堂上一些性格外向型学生,马上就大声说出来了);然后学生在纸上进行论证,大部分学生都从找AB 的弦长公式出发,利用|AB |=1+1k2|y A -y B |来求弦长,有个别学生利用了抛物线的定义来求弦长.活动结束后请学生3和4在投影仪上讲解自己的论证方法.学生3:由①知y A +y B =2p m ,|AB |=1+1k2|y A -y B |=1+m24p 2m 2+4p 2=2(1+m 2)p ≥2p,当且仅当m =0,即AB ⊥x 轴时,等号成立.图2学生4:还可以利用焦点弦公式.过点A 、B 分别作AC 、BD 垂直准线于C 、D (如图2),则根据抛物线的定义有:|A F |=|AC |,|B F |=|BD |,则|AB |=|A F |+|B F |=|AC |+|BD |=x A +p2+x B +p2=x A +x B +p=m (y A +y B )+p +p =2p m 2+2p =2p (1+m 2).教师:学生3和4从不同的方面都很好地证明了“当AB ⊥x 轴时,|AB |取得最小值2p ”这一结论,并且也推导出|AB |的表达式.如果设直线AB 的倾斜角为θ,则m =cot θ,|AB |=2(1+cot 2θ)p =2psin 2θ,这样也可以说明当AB ⊥x 轴时,|AB |长度最短.刚才大家的探究活动都很成功,我们通过“实验———猜想———论证”的探究途径,得出了焦点弦AB 的弦长公式,同时也发现了通径是过抛物线焦点所有弦中最短的弦.性质2　|AB |=2psin 2θ(当AB ⊥x 轴时,|AB |取得最小值2p ).评　从比较简单的问题(求弦长)开始探究,目的是使每位学生都积极投入到探究活动中去,同时让学生熟悉“实验———猜想———论证”的探究方法.探究活动不是将数学结论直接告诉学生,而是让学生通过各式各样的探究活动,自己得出数学结论,使他们参与并体验数学知识的获得过程,建构起对数学的新认识.探究问题2　在图2的基础上连接线段AO 、DO 、BO 和CO,采用刚才的探究方法,大家来研究图2.活动情景:学生在电脑上又开始了新的实验和探索,利用《几何画板》反复做实验,发现结论马上写在作业纸上,再进行严密的推理论证.有的学生找到好几个结论,并且平时考试成绩不好的学生,发现结论的速度和多少并不比其他同学差(教室一片热火朝天的景象).活动结束后请一部分学生向大家展示和讲解自己的发现.学生5　∵k OA =y A x A=2p y A,k OD=y Dx D =y B-p /2=-p 2/y A -p /2=2py A,∴k OA =k OD .性质3　A 、O 、D 三点共线;B 、O 、C 三点共线;∠AOB =∠COD.教师:我们知道证明三点共线还有很多方法,大家课后再试试其他方法;利用性质3我们还可以解决本堂课开始“怎样作出一条过焦点F 的弦AB ”这一问题:作直线OA,找出与准线的交点D,过D 作直线垂直于准线交直线A F 于点B ,这样就可以不通过计算B 的坐标,而轻松找到点B ,真可谓:“性质来源于实践,又反作用于实践.”(学生再次兴奋,乐了)学生6:∠AOB 为钝角,且当AB ⊥x 轴时,∠AOB 最大.在△AOB 中,由余弦定理有cos ∠AOB =|OA |2+|OB |2-|AB |22|OA ||OB |=x 2A +y 2A +x 2B +y 2B -(x A -x B )2-(y A -y B )22x 2A +y 2Ax 2B +y 2B=(x A x B +y A y B )x 2A +2px Ax 2B +2px B =p24-p2x 2A x 2B +2px A x B (x A +x B )+4p 2x A x B=-34p2p416+2p・p24[m(yA+yB)+p]+p4=-34p217p416+p32(2p m2+p)=-325+16cot2θ.学生7:采用OA与OB的数量积要简单一些,直接就有cos∠AOB=(xAx B+y A y B)x2A+2px A x2B+2px B.学生8:∠AOB就是直线OB到直线OA所成角,则　tan∠AOB=kOA-kOB1+kOAk OB=y AxA-y BxB1+y Ax Ay Bx B=2py A-2py B1-4=2p・yB-yAy A y B-3=-23p|yB-yA|=-23p(yA+yB)2-4yAy B=-43sinθ.(学生各自说出自己的活动过程和成果,不仅是思维的展现,也是思维的碰撞及求知欲的感染)性质4 cos∠AOB=-325+16cot2θ;tan∠AOB=-43sinθ;∠AOB为钝角,且当AB⊥x轴时,∠AOB取到最大值π-arccos 3 5 .教师:刚才3位同学从不同的方面出色地证明了性质4,这三种方法是我们解决有关角问题的常用方法.(教师适时对学生的探究活动进行鼓励和表扬,同时对数学方法进行归纳总结)学生9:我发现S△ABD =S△CBD(同底等高),都减去S△BOD,得到S△AOB=S△COD,|OA|・|OB|=|OC|・|OD|.学生10:我采用的是把这两个三角形都一分为二,然后来求它们的面积,这样可以推导出面积公式,并且当AB⊥x轴时,△AOB的面积最小.∵S△AOB =S△AO F+S△BO F=12|O F|・|CD|,S△COD=S△CO E+S△DO E=12|O E|・|CD|,|O E|=|O F|,∴S△AOB=S△COD,而　S△AOB=12|O F|・|CD|=12・p2|yA-yB|=p44p2m2+4p2=p22sinθ.性质5　|OA|・|OB|=|OC|・|OD|,S△AOB= S△COD=p22sinθ(当AB⊥x轴时,△AOB的面积最小).评　学生利用《几何画板》来进行数学实验,不断发现新的性质,并通过大家的努力把新性质都进行了数学论证,取得了令我和学生意想不到的效果和收获.教师:今天这堂课我们利用《几何画板》,找到了5个性质(学生都发出惊叹之声),还有同学发现了其它性质,由于时间关系课堂上来不及听他们讲解,同学们下课后再去仔细论证,并把我们这堂课发现的结论,整理在作业纸上;大家还可以利用《几何画板》类比探究椭圆和双曲线的焦点弦的有关性质.教后体会　新的课程标准特别提倡学生动手实践、自主探究与合作交流等学习方式,提倡实现信息技术与课程内容的有机整合,鼓励学生运用计算机进行探索和发现.在本堂课中,学生利用《几何画板》来探究抛物线的焦点弦的有关性质,我体会最深的三点:(1)学生在课堂上积极讨论、合作交流、主动探究,学习兴趣和积极性都很高.学生利用《几何画板》强大的图形变换功能和动态的计算功能,在课堂上亲自动手进行数学实验,使数学教学变得形象生动,学生的探究学习积极性高,发言也比较踊跃,探究学习的过程既轻松又充实,课后还有不少学生自觉地去探究椭圆和双曲线的焦点弦的有关性质.(2)学生的学习模式与传统的学习模式有比较大的不同.这堂课中,学生把《几何画板》作为构建知识的工具,利用《几何画板》进行数学实验,学生根据自己的直觉或判断,然后再进行合理猜想,或者说是“大胆而冒险”的猜想,最后对猜想给予严格的证明.在这个学习过程中,利用《几何画板》这一有效的学习工具,不断地提出和检验自己的猜想,使自己的猜想一个一个变成了事实,同时也排除了错误猜想,最后通过论证获得新的知识.这种“实验———猜想———验证———论证”的探究学习模式,让学生获得了知识建构的亲身体验,而且比我预期要讲授的知识更多(其中有些性质我自己上课之前也没有注意到,很难想象在上课的时候,我能启发学生找到这些性质),更重要的是获得了探究这类问题的方法.在课堂上还有一个新现象,平时学习成绩处于中下等的同学,在做数学实验和提出猜想方面,并不比优等生差,有的甚至还要好.如果采用传统的“结论———证明”的学习模式,很难启发他们找到这么多性质,更主要的是,学生应有的观察、实验、发现、猜想等实践部分,就被教师滔滔不绝的讲解所潜代,学生在很大程度上失去了知识主动建构的机会.(3)信息技术与课程整合,不是把信息技术仅仅作为辅助教或辅助学的工具,而是强调要把信息技术作为促进学生自主学习的认知工具和情感激励工具,利用信息技术所提供的自主探索、多重交互、合作学习、资源共享等学习环境,把学生的主动性、积极性充分调动起来,使学生的创新思维与实践能力在整合过程中得到有效的锻炼,这正是创新人才培养所需要的.我想利用《几何画板》进行数学教学的课堂整合,只要选材适当,运用恰当,一定会收到比较好的效果. (作者单位:浙江省宁波中学,邮编:315100)例说函数图像在解高考题中的运用孙建明(江苏省无锡市堰桥中学　214174) 函数是高中数学中基础而又重要的内容,也是高考重点考查对象.在考题中,函数更多的是用来解决问题的工具,但如何使用好这个工具,特别是如何灵活地运用函数的图像去解决一些特殊的问题,还没有引起师生足够的重视,尽管我们一直提倡数形结合的思想方法.这个工具如果运用得恰当,或可使问题解决的思路变得明朗,或可使问题解决的过程显得直观、流畅、通俗易懂,同时也能体会到解题的快乐.因此,本篇例谈函数图像在解决近几年高考题中的运用,供广大同行在教学中参考.1　运用函数图像解方程或确定方程解的个数例1　(2004年广西卷)解方程:4x +|1-2x |=11.图1解　令t =2x (t >0),则原方程化为|1-t |=11-t 2.在同一直角坐标系中画出函数y =|1-t |、y =11-t 2的图像,如图1所示.由t>0求得两图像的交点为A (3,2),所以2x =3,则x =l og 23.评注　本题也可从分类讨论和脱去绝对值的角度去解,虽然用两个函数图像的交点去解并不显得简单,但这样做有助于培养学生运用数形结合的思想方法去解决实际问题的意识.例2　(2006年湖北卷)关于x 的方程(x 2-1)2-|x 2-1|+k =0,给出下列四个命题:(1)存在实数k,使方程恰有2个不同的实数根;(2)存在实数k,使方程恰有4个不同的实数根;(3)存在实数k,使方程恰有5个不同的实数根;(4)存在实数k,使方程恰有8个不同的实数根.其中假命题的个数是( ).(A )0 (B )1 (C )2 (D )3.解　设函数f (x )=(x 2-1)2-|x 2-1|,易知它是偶函数,考虑函数在y 轴右边的图像.当0≤x ≤1时,f (x )=(x 2-1)2-(1-x 2)=x 4-x 2.由f ′(x )=0得x =22,易知22是极小值点.同理,62是f (x )在(1,+∞)上的极小值点.再由图像的对称性和函数的零点,易得函数f (x )的图像,如图2所示.考虑直线y =-k,观察它们的交点的情形,知应选A .。

一、基础知识（理解去记） （一）空间几何体的结构特征 1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为矩形底面为正方形 侧棱与底面边长相等 1.3棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

补充知识点长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角 分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222cos cos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=.1.4侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.5面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h 为棱柱的高）2.圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.2.4面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高）侧面母线3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。