高中数学 第一章 计数原理 习题课 二项式定理 新人教A版选修2-3

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1．3。

1 二项式定理［学习目标]1．能用计数原理证明二项式定理．2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．[知识链接］1．二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？答二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指C错误!,C错误!，…，C错误!，它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关,而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．2．二项式（a＋b）n与（b＋a)n展开式中第r＋1项是否相同？答不同．(a＋b）n展开式中第r＋1项为C错误!a n－r b r，而（b＋a）n展开式中第r＋1项为C错误!b n－r a r.［预习导引]1．二项式定理公式（a＋b）n＝C0，n a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－k b k＋…＋C错误!b n(n∈N＊)叫做二项式定理．2．二项式系数及通项(1）(a＋b）n展开式共有n＋1项，其中各项的系数C错误!（k∈｛0，1，2,…,n｝）叫做二项式系数．(2）(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝C k，n a n－k b k.要点一二项式定理的正用、逆用例1 (1)求(3x＋错误!)4的展开式；（2）化简（x－1）5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1）2＋5(x－1）．解(1)法一(3错误!＋错误!）4＝C错误!(3错误!)4＋C错误!(3错误!)3·错误!＋C错误!(3错误!)2·(错误!）2＋C错误!（3错误!）·（错误!）3＋C错误!·(错误!)4＝81x2＋108x＋54＋错误!＋错误!。

二项式定理习题课教学目标知识与技能1．能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．3．能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质．4．会用二项式系数的性质解决一些简单问题，并能熟练地使用赋值法．过程与方法1．能解决二项展开式的有关概念问题：项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常数项、整数项等．2．能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题．3．能用二项式系数的有关性质，解决诸如：最值、二项式系数和、系数和等问题．情感、态度与价值观1．培养学生对整个数学知识的驾驭能力，能在一定高度上进行数学知识的应用．2．培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力．3．进一步提升学生学好数学用好数学的积极性，进一步提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：掌握二项展开式，掌握二项式系数的有关性质，掌握解决二项式定理性质等有关问题的方法．教学难点：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题．教学过程复习巩顾前面我们学习了二项式定理，请回顾：1．(a＋b)n＝________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的______________，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做______________，通项是指展开式的第__________________项，共有____________项．其中二项式系数是____________，系数是____________．2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性：____________________. (2)性质2：______________________.(3)二项式系数的最大值________________________．(4)二项式系数之和____________________，所用方法是____________________． 答案：1．(a ＋b)n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋C 2n an －2b 2＋…＋C r n an －r b r＋…＋C n n b n(n∈N )、展开式、二项式系数、r ＋1、n ＋1、C rn 、变量前的常数2．(1)C mn ＝－mn (2)C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn(3)当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n 最大(4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C rn ＋…＋C nn ＝2n赋值法典型示例类型一：二项展开式的有关概念 例1试求：(1)(x 3－2x 2)5的展开式中x 5的系数；(2)(2x 2－1x)6的展开式中的常数项；(3)在(3x ＋32)100的展开式中，系数为有理数的项的个数．思路分析：理解二项展开式的有关概念，什么是二项式系数，什么是系数，什么是项，什么是常数项、有理项、无理项等，其实都是由通项入手，根据变量的系数、指数进行判断，当指数为0时是常数项，当指数是整数时是有理项，当指数是分数时是无理项．解：(1)T r ＋1＝C r5(x 3)5－r(－2x2)r ＝(－2)r C r 5x 15－5r ，依题意15－5r ＝5，解得r ＝2.故(－2)2C 25＝40为所求x 5的系数．(2)T r ＋1＝C r 6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r ，依题意12－3r ＝0，解得r ＝4.故(－1)4·22C 26＝60为所求的常数项．(3)T r ＋1＝C r 100(3x)100－r(32)r ＝C r100·350－r 2·2r 3x 100－r ，要使x 的系数为有理数，指数50－r 2与r 3都必须是整数，因此r 应是6的倍数，即r ＝6k(k∈Z )，又0≤6k≤100，解得0≤k≤1623(k∈Z )，∴x 的系数为有理数的项共有17项．点评：求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值X 围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．[巩固练习]试求：(1)(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数；(2)(|x|＋1|x|－2)3的展开式中的常数项．解：(1)∵(x＋2)10＝x 10＋20x 9＋180x 8＋…，∴(x＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数是－1＋180＝179.(2)∵(|x|＋1|x|－2)3＝(|x|－1|x|)6，∴所求展开式中的常数项是－C 36＝－20.类型二：二项展开式的有关应用——简单应用例2求(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中x 2的系数． 解：∵(x－1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5＝x －1{1－[－x －1]5}1－[－x －1]＝x －1＋x －16x ，∴所求展开式中x 2的系数就是(x －1)6的展开式中x 3的系数－C 36＝－20.点评：这是一组将一个二项式扩展为假设干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式的问题，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．能够最大限度地考查学生对知识的把握程度．[巩固练习](1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中x 3项的系数是( )A ．74B ．121C ．－74D ．－121 解析：先求和：(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8＝1－x 5[1－1－x4]1－1－x＝1－x5[4x －6x 2＋4x 3－x 4]x，分子的展开式中x 4的系数，即为原式的展开式中x 3项的系数，(－1)×1＋4×(－C 15)－6C 25＋4×(－C 35)＝－1－20－60－40＝－121，所以选D.答案：D类型三：二项展开式的有关应用：整除、不等式、近似值等问题 例3证明：(1)2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *；(2)证明：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．思路分析：对于二项式中的不等式，通过展开式，分析其中的特殊项，可以证明一些简单的不等式问题；对于整除问题同样如此，关键是把二项式拆成676的形式；对于比较麻烦的数列问题，我们经常采用的方法就是数学归纳法，此题也不例外．证明：(1)(1＋1n )n ＝1＋C 1n ·1n ＋C 2n (1n )2＋…≥2(当且仅当n ＝1时取等号)．当n ＝1时，(1＋1n)n＝2<3显然成立；当n≥2时，(1＋1n )n ＝C 0n ＋C 1n ·1n ＋C 2n ·1n 2＋…＋C nn ·1n n ＝2＋n(n －1)2！1n 2＋n(n －1)(n －2)3！1n 3＋…＋n(n －1)…2·1n ！1n n ＝2＋12！n n n －1n ＋13！n n n －1n n －2n ＋…＋1n ！n n n －1n …2n 1n <2＋12！＋13！＋…1n ！<2＋11×2＋12×3＋…＋1n(n －1)＝2＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )＝3－1n <3.综上所述：2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *.(2)当n ＝0，n ＝1时33n－26n －1＝0，显然33n－26n －1可被676整除．当n≥2时，33n－26n －1＝27n－26n －1＝(1＋26)n－26n －1＝1＋26n ＋C 2n ·262＋…＋C nn ·26n－26n －1＝C 2n ·262＋C 3n ·263＋…＋C nn 26n＝676(C 2n ＋26C 3n ＋…＋26n －2C nn)．综上所述：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．点评：用二项式定理解决整除问题是二项式定理的一大特色，这是二项展开式的一种基本应用，通过对二项式的拆解，我们可以解决一些看似很难但易解决的问题．[巩固练习]m ，n 是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x 的系数为7， (1)试求f(x)中的x 2的系数的最小值；(2)对于使f(x)中的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数； (3)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)． 解：根据题意得：C 1m ＋C 1n ＝7，即m ＋n ＝7.(*)(1)x 2的系数为C 2m＋C 2n＝m(m －1)2＋n(n －1)2＝m 2＋n 2－m －n2.将(*)变形为n ＝7－m 代入上式得：x 2的系数为m 2－7m ＋21＝(m －72)2＋354.故当m ＝3或4时，x 2的系数的最小值为9.(2)当m ＝3，n ＝4或m ＝4，n ＝3时，x 3的系数为C 33＋C 34＝5. (3)f(0.003)≈2.02.类型四：二项式系数的最大值、系数的最大值问题 例4求(x －1)9的展开式中系数最大的项．思路分析：二项式系数最大的项我们可以根据公式求解，但是系数最大的项怎么求呢？观察此题中二项式系数与系数之间的关系，我们发现它们只不过相差一个负号而已，所以可以通过二项式系数的大小反映系数的大小，只不过要注意正负号．解：T r ＋1＝(－1)r C r 9x 9－r .∵C 49＝C 59＝126，而(－1)4＝1，(－1)5＝－1，∴T 5＝126x 5是所求系数最大的项．点评：此类问题仍然是利用二项展开式的通项公式来求解，但在解题过程中要注意一些常用方法和数学思想的应用．[巩固练习] 求(x ＋124x)8展开式中系数最大的项．解：记第r 项系数为T r ，设第k 项系数最大，那么有⎩⎪⎨⎪⎧T k ≥T k －1，T k ≥T k ＋1，又T r ＝C r －182－r ＋1，那么有⎩⎪⎨⎪⎧C k －182－k ＋1≥C k －282－k ＋2，C k －182－k ＋1≥C k 82－k ，即⎩⎪⎨⎪⎧8！(k －1)！(9－k)！≥8！(k －2)！(10－k)！×2，8！(k －1)！(9－k)！×2≥8！k ！(8－k)！，∴⎩⎪⎨⎪⎧1k －1≥2k －2，29－k ≥1k .解得3≤k≤4，∴系数最大的项为第3项T 3＝7x 52和第4项T 4＝7x 72.类型五：二项式系数之和、系数之和等问题例5假设(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，那么(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值等于__________；思路分析：注意到与系数的和差有关，所以可以用赋值法求得奇数项的系数之和与偶数项的系数之和，注意使用平方差公式．解：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(3－2)4，由此可得(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)＝[(3＋2)(3－2)]4＝1.点评：在二项式系数的性质应用中，尤其是系数和的问题，我们经常使用赋值法，这是一种奇妙的方法，可以帮助我们在不用计算每一个系数的前提下，求出各个系数的和．[巩固练习](1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 求(1)a 0＋a 1＋…＋a 7的值；(2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6及a 1＋a 3＋a 5＋a 7的值； (3)各项二项式系数和．解：(1)令x ＝1，那么a 0＋a 1＋…＋a 7＝－1.(2)令x ＝－1，那么a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝2 187. 那么a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094；a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093. (3)各项二项式系数和C 07＋C 17＋…＋C 77＝27＝128. [拓展实例]例1(1＋3x)6(1＋14x)10的展开式中的常数项为( )A．1 B．46 C．4 245 D．4 246思路分析：对于非一般的二项式问题，要注意转化成二项式问题解决．此题虽然有两个式子相乘，只要我们写出整个式子的通项，令指数为0，即可求得常数项．解：先求(1＋3x)6的展开式中的通项．T r＋1＝C r6(x13)r＝C r6xr3，r＝0,1,2,3,4,5,6.再求(1＋14x )10的展开式中的通项．T k＋1＝C k10(x－14)k＝C k10x－k4，k＝0,1,2,3,4，…，10.两通项相乘得：C r6x r3C k10x－k4＝C r6C k10xr3－k4，令r3－k4＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.点评：对于乘积的式子或者三项的式子的展开问题，我们可以通过化归思想，将其转化成二项展开式问题．要注意此题中，常数项的位置有三处．[巩固练习](1＋x＋x2)(x＋1x3)n的展开式中没有．．常数项，n∈N*，且2≤n≤8，那么n＝______.解析：依题意(x＋1x3)n，对n∈N*，且2≤n≤8中，只有n＝5时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与x、x2乘积为常数的项．故填5.答案：5[变练演编](1)对于9100你能编出什么样的整除问题？如9100被________整除的余数是________．(2)(2x2－1x)6的展开式中的常数项是第____________项，整数项是第______________项，x的最高次项是第______________项，二项式系数之和是______________，系数之和是______________．将你能得到的所有正确的答案一一列举出来．答案：(1)这是一个开放性的问题，学生可以有多种答案，比如说9100被8整除的余数是1,9100被80整除的余数是1等等．(2)T r ＋1＝C r6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r .依题意12－3r ＝0，解得r ＝4，所以常数项是第5项；整数项是第1,2,3,4,5项；x 的最高次项是第1项；二项式系数之和为64；系数之和为1.设计意图：变练演编——这种开放性的设计，能够有效地提高学生学习的积极性，使得编题不仅仅是老师的专利，学生在编题解题的过程中，领悟知识，提高能力，增长兴趣，增强信心，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维，最终提高学生的数学成绩．[达标检测] 1．(x －13x)12展开式中的常数项为( )A ．－1 320B ．1 320C ．－220D ．220 2．(1－x)6(1＋x)4的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4 3．假设(1－2x)2 005＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 005x2 005(x∈R )，那么(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 005)＝________(用数字作答)．答案：1.C 2.B 3.2 003反考老师：即由学生出题，教师现场解答(约8分钟)．(活动设计：请学生到黑板板书题目，要求别太烦琐，且与本节习题课内容相符．一般不多于3道题，教师尽可能全部解答，具体解答数目视题目难度和时间而定．教师要边做边讲，以向学生现场展示解题思路的发现过程和解题能力．做完后，请学生给“阅卷〞)课堂小结活动设计：先给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，例题、题目类型、解题规律等；然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络，思想方法，解题规律等．活动成果：(板书)1．知识收获：二项式定理、二项展开式、二项式系数的性质．2．方法收获：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题． 3．思维收获：合作意识，创新精神，增加了学习数学的积极性，提升学习数学的兴趣． 设计意图：通过学生自己总结所学、所识、所想，不但能充分表达新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁〞精神，真正表达了学生的主体地位．不仅可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！补充练习[基础练习]1．计算1－3C 1n ＋9C 2n －27C 3n ＋…＋(－1)n 3n C nn . 2．(x ＋1x －2)3的展开式中，常数项是________．3．(3x －13x2)n ，n∈N *的展开式中各项系数和为128，那么展开式中1x3的系数是( )A ．7B ．－7C ．21D ．－21 4．求(x －13x)10的展开式中有理项共有________项．1．解：原式＝C 0n ＋C 1n (－3)1＋C 2n (－3)2＋C 3n (－3)3＋…＋C 3n (－3)n＝(1－3)n＝(－2)n. 2．解析：(x ＋1x －2)3＝[(x －1)2x ]3＝(x －1)6x 3. 上述式子展开后常数项只有一项C 36x3－13x3，即－20.3．解析：由条件可得：(3－1)n＝128，n ＝7. ∵T r ＋1＝(－1)r C r7(3x)7－r(13x2)r ＝(－1)r C r 737－rx7－53r.令7－5r3＝－3，那么有：r ＝6.所以二项展开式中1x 3的系数是：T 7＝(－1)6C 6737－6＝21，应选C.4．解析：∵T r ＋1＝C r10(x)10－r(－13x)r ＝C r 10(－1)rx5－56r.∴当r ＝0,6时，所对应的项是有理项．故展开式中有理项有2项． [拓展练习]5．(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中，x 8的系数小于120，那么k ＝____________. 6．设n∈N ，那么C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝____________.5．解析：(1＋kx 2)6按二项式定理展开的通项为T r ＋1＝C r6(kx 2)r＝C r 6k r x 2r，我们知道x 8的系数为C 46k 4＝15k 4，即15k 4<120，也即k 4<8，而k 是正整数，故k 只能取1.6．解：C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝16C 0n ＋C 1n ＋C 2n 6＋…＋C n n 6n －1－16C 0n ＝16(C 0n ＋C 1n 6＋C 2n 62＋…＋C n n 6n －1)＝16[(1＋6)n－1]＝16(7n －1)．设计说明二项式定理的内容，是各地高考中经常要考查的内容之一，其形式主要是选择题和填空题，题型往往相对稳定，思路方法常常是利用二项展开式的通项公式、二项式系数的有关性质等．常见的二项式问题有：求二项展开式中某一项或某一项的系数，求所有项系数的和或奇(偶)数项系数和，求展开式的项数，求常数项，求近似值，证明不等式等．实际教学的过程中，要努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生发挥其创造意识，以使他们能在创造的氛围中学习．二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式．二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系．掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习、深化作用，又可以为进一步学习概率统计做好必要的知识储备．所以有必要掌握好二项式定理的相关内容．备课资料 二项式定理 同步练习选择题1．C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，那么n 等于( )word11 / 11 A ．14 B ．12 C ．13 D ．152．C 0n ＋3C 1n ＋9C 2n …＋3n C nn 的值等于( )A ．4nB ．3·4n C.4n 3－1 D.4n－133．C 111＋C 311＋…＋C 911的值为( )A ．2 048B ．1 024C ．1 023D ．5124．(x ＋1)(2x ＋1)(3x ＋1)……(nx＋1)展开式中x 的一次项系数为( )A ．C n －1nB ．C 2nC ．C 2n ＋1D ．不能用组合数表示5．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 2n x 2n，那么a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n 等于 …() A ．22n B ．3n C.3n －12 D.3n＋126．假设n 是正奇数，那么7n ＋C 1n 7n －1＋C 2n 7n －2＋…C n －1n 7被9除的余数为( )A ．2B ．5C ．7D ．87．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10展开式中x 4的系数为( )A ．C 511 B ．C 411 C ．C 510D ．C 410填空题8．(a ＋b)n 展开式中第r 项为__________．9．11100－1的末位连续零的个数为__________．参考答案1．A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.A5．提示：令x ＝1即可．8．T r ＝C r －1n a n ＋1－rb r －19．3。

第一章计数原理1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理A级基础巩固一、选择题1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是()A．(2x＋2)5B．2x5C．(2x－1)5D．32x5解析：原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.答案：D2．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x＋13x24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有() A．3项B．4项C．5项D．6项解析：T r＋1＝C r24x24－r2·x－r3＝Cr24·x12－56r，则r分别取0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数有5项是整数项．答案：C3．若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x－123xn的展开式中第四项为常数项，则n＝() A．4 B．5C ．6D ．7解析：由二项展开式可得T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝(－1)r 2－r C rn x n －r 2·x －r 3，从而T 4＝T 3＋1＝(－1)32－3C 3n x n －52，由题意可知n －52＝0，n ＝5.答案：B4．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是( ) A ．－297 B ．－252 C ．297D ．207解析：(1－x 3)(1＋x )10＝(1＋x )10－x 3(x ＋1)10展开式中含x 5的项的系数为：C 510－C 210＝207.答案：D5．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝5，n ＝5 B ．x ＝5，n ＝4 C ．x ＝4，n ＝4D ．x ＝4，n ＝3解析：C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，检验得B 正确．答案：B 二、填空题6．(2016·北京卷)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________(用数字作答)．解析：T r ＋1＝C r 6·16－r ·(－2x )r ＝(－2)r C r 6·x r ，令r ＝2， 得T 3＝(－2)2C 26x 2＝60x 2.故x 2的系数为60.答案：607.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________．解析：T 4＝C 3623⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x 3＝－160x . 答案：－160x8．如果⎝⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n 的展开式中，x 2项为第三项，则自然数n ＝________．解析：T r ＋1＝C rn (3x 2)n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r n x2n －5r3，由题意知r ＝2时，2n －5r3＝2，所以n ＝8. 答案：8 三、解答题9．在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项及项数．解：(1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24C 26x ，所以第3项的系数为24C 26＝240.(2)T k ＋1＝C k n (2x )6－k ⎝⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k 26－k C r 6x 3－k ， 令3－k ＝2，得k ＝1.所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.10．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －123x n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．(1)求展开式的第四项； (2)求展开式的常数项． 解：T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r n x 13n －23r . 由前三项系数的绝对值成等差数列， 得C 0n ＋⎝⎛⎭⎪⎫－122C 2n ＝2×12C 1n ， 解得n ＝8或n ＝1(舍去)． (1)展开式的第四项为：T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 38x 23＝－73x 2.(2)当83－23r ＝0，即r ＝4时，常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 48＝358.B 级 能力提升1．如果⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－2x 3n的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( )A ．3B ．5C ．6D ．10解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－2x 3n展开式的通项表达式为C r n (3x 2)n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3r＝C r n 3n －r(－2)r x 2n －5r ，若C r n 3n －r(－2)r x 2n －5r 为非零常数项，必有2n －5r ＝0，得n ＝52r ，所以正整数n 的最小值为5.答案：B2．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a ＞0)的展开式中，x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．解析：A ＝C 26(－a )2，B ＝C 46(－a )4，由B ＝4A 知，C 26(－a )2＝C 46(－a )4，解得a ＝2(舍去a ＝－2)． 答案：23．如果f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n (m ，n ∈N *)中，x 项的系数为19，求f (x )中x 2项系数的最小值．解：x 项的系数为C 1m ＋C 1n ＝19，即m ＋n ＝19，当m ，n 都不为1时，x 2项的系数为C 2m ＋C 2n ＝m （m －1）2＋（19－m ）（18－m ）2＝m 2－19m ＋171＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1922＋171－1924，因为m ∈N *，所以当m ＝9或10时，x 2项的系数最小，为81.当m 为1或n 为1时，x 2项的系数为C 218＝153>81，所以f (x )中x 2项系数的最小值为81.。

高中数学第一章计数原理1.3.1 二项式定理教案新人教A版选修2-3 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章计数原理1.3.1 二项式定理教案新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.3。

1二项式定理一、教学目标1.知识与技能：（1) 能利用计数原理证明二项式定理；(2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.2. 过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，体会从特殊到一般的思维方式，并形成从特殊到一般的归纳,然后证明,最后再应用的思想意识。

3。

情感、态度与价值观:通过本节课的学习，可以培养学生观察、分析、归纳、总结的能力。

二、教学重点、难点重点：二项式定理；难点:二项式定理的应。

三、教具：白板四、课型：新课五、教学过程一)新课提问引入课题1、分类计数加法原理与分布乘法计数原理；2、组合与组合数3、今天是星期五，再过7天、15天、810天的那一天分别是星期几?二)讲授新课1、探究发现二项式定理研究的是n)(3=a?+ba(+的展开式，如：?ba))(2=+b?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么？探究一：))(()(2b a b a b a ++=+b b a b b a a a ⨯+⨯+⨯+⨯=222b ab a ++=从上述过程可以看出2)(b a +是2个))((b a b a ++相乘，根据多项式的乘法法则，每个)(b a +在相乘是由两种选择,选a 或b 选,而且每个)(b a +中的a 或b 选定后，才能得到2)(b a +展开式的一项。

第一章1。

2 1.2。

2 第2课时组合(二)A级基础巩固一、选择题1．12名同学合影，站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是（ C ）A．C错误!A错误!B．C错误!A错误!C．C错误!A错误!D．C错误!A错误![解析］第一步从后排8人中抽2人有C2，8种抽取方法，第二步前排共有6个位置，先从中选取2个位置排上抽取的2人,有A26种排法,最后把前排原4人按原顺序排在其他4个位置上，只有1种安排方法,∴共有C错误!A错误!种排法．2．（2018·山西一模）某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有( B )A．6种B．12种C．18种D．24种[解析] 根据题意，分3步分析:①，在4人中选出1人负责清理讲台，有C错误!＝4种情况，②,在剩下的3人中选出1人负责扫地，有C错误!＝3种情况，③，剩下的2人负责拖地，有1种情况,则有4×3＝12种不同的分工;故选B．3．把0、1、2、3、4、5这六个数，每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有（ A )A．40个B．120个C．360个D．720个[解析] 先选取3个不同的数有C3，6种方法,然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A错误!种排法，故共有C错误!A错误!＝40个三位数．4．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本，则不同的赠送方式共有( B )A．4种B．10种C．18种D．20种[解析] 分两类：第一类，取出两本画册，两本集邮册，从4人中选取2人送画册,则另外两人送集邮册，有C错误!种方法．第二类，3本集邮册全取，取1本画册，从4人中选1人送画册，其余送集邮册，有C错误!种方法，∴共有C错误!＋C错误!＝10种赠送方法．5．(2018·浙江卷,16)从1，3，5,7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字,一共可以组成____________个没有重复数字的四位数．( D ）A．720 B．560C．540 D．1260［解析] 不含有0的四位数有C错误!×C错误!×A错误!＝720(个)．含有0的四位数有C错误!×C错误!×C错误!×A错误!＝540(个)．综上，四位数的个数为720＋540＝1 260．6．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A、B、C、D中，(四种颜色可以不全用也可以全用)要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（ A ）A．72种BC．24种D．12种［解析］解法一：（1)4种颜色全用时,有A错误!＝24种不同涂色方法．(2）4种颜色不全用时,因为相邻矩形不同色,故必须用三种颜色，先从4种颜色中选3种，涂入A、B、C中，有A3，4种涂法，然后涂D，D可以与A(或B)同色，有2种涂法，∴共有2A3，4＝48种，∴共有不同涂色方法24＋48＝72种．解法二:涂A有4种方法，涂B有3种方法,涂C有2种方法，涂D有3种方法，故共有4×3×2×3＝72种涂法．二、填空题7．一排7个座位分给3人坐，要求任何两人都不得相邻，所有不同排法的总数有__60__种．［解析］对于任一种坐法,可视4个空位为0,3个人为1，2，3则所有不同坐法的种数可看作4个0和1,2，3的一种编码,要求1，2，3不得相邻故从4个0形成的5个空档中选3个插入1，2，3即可．∴不同排法有A35＝60种．8．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔,有__112__种放法(用数字作答）．[解析] 设有A，B两个笔筒，放入A笔筒有四种情况,分别为2支，3支，4支，5支，一旦A笔筒的放法确定，B笔筒的放法随之确定，且对同一笔筒内的笔没有顺序要求,故为组合问题，总的放法为C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＝112．9．用1、2、3、4、5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在首位和末位，数字1、3、5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是__48__(注：用数字作答)．［解析] 按2的位置分三类：①当2出现在第2位时，即02000，则第1位必为1、3、5中的一个数字，所以满足条件的五位数有C1，3A错误!A错误!＝12个；②当2出现在第3位时,即00200，则第1位、第2位为1、3、5中的两个数字或第4位、第5位为1、3、5中的两个数字,所以满足条件的五位数有2A错误!A错误!＝24个；③当2出现在第4位时，即00020,则第5位必为1、3、5中的一个数字,所以满足条件的五位数有C错误!A错误!A错误!＝12个．综上，共有12＋24＋12＝48个．三、解答题10．7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？（1)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看,身高逐个递减；(2）任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．［解析］（1)第一步,将最高的安排在中间只有1种方法；第二步，从剩下的6人中选取3人安排在一侧有C36种选法，对于每一种选法只有一种安排方法，第三步,将剩下3人安排在另一侧，只有一种安排方法，∴共有不同安排方案C错误!＝20种．(2）第一步从7人中选取6人，有C67种选法；第二步从6人中选2人排一列有C错误!种排法，第三步，从剩下的4人中选2人排第二列有C错误!种排法，最后将剩下2人排在第三列，只有一种排法，故共有不同排法C错误!·C错误!·C错误!＝630种．B级素养提升一、选择题1．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1、2、3、…、18的18名火炬手,若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ B ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析] 从18人中任选3人,有C错误!种选法，选出的3人编号能构成公差为3的等差数列有12种情形），∴所求概率P＝错误!＝错误!．2．编号为1、2、3、4、5的五个人，分别坐在编号为1、2、3、4、5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为( D ）A．120 B．119C．110 D．109［解析］5个人坐在5个座位上,共有不同坐法A错误!种，其中3个号码一致的坐法有C错误!种,有4个号码一致时必定5个号码全一致，只有1种，故所求种数为A错误!－C错误!－1＝109．二、填空题3．航空母舰“辽宁舰"在某次飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰,而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有__36__种．[解析] ∵甲、乙相邻，∴将甲、乙看作一个整体与其他3个元素全排列，共有2A错误!＝48种，其中甲、乙相邻，且甲、丙相邻的只能是甲、乙、丙看作一个整体,甲中间，有A错误!A错误!＝12种，∴共有不同着舰方法48－12＝36种．4．(2017·天津理，14)用数字1,2，3,4，5，6，7,8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有__1_080__个．(用数字作答）［解析］①当组成四位数的数字中有一个偶数时,四位数的个数为C错误!·C错误!·A 错误!＝960．②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A错误!＝120．故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．三、解答题5．(2016·泰州高二检测）男运动员6名,女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法?（1）男运动员3名，女运动员2名；(2）至少有1名女运动员;（3）既要有队长，又要有女运动员．［解析］（1）第一步：选3名男运动员，有C3，6种选法；第二步:选2名女运动员，有C错误!种选法，故共有C错误!·C错误!＝120种选法．(2）解法一:（直接法)：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理知共有C错误!·C错误!＋C错误!·C错误!＋C错误!·C错误!＋C错误!·C 1，＝246种选法．6解法二：（间接法)，不考虑条件，从10人中任选5人,有C错误!种选法，其中全是男运动员的选法有C错误!种，故“至少有1名女运动员”的选法有C错误!－C错误!＝246(种）．(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C4，9种选法；不选女队长时,必选男队长，共有C错误!种选法，其中不含女运动员的选法有C错误!；故不选女队长时共有C错误!－C错误!种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C4，9＋C错误!－C错误!＝191（种）．6．四个不同的小球，全部放入编号为1，2，3,4的四个盒子中．(1）随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒中)有多少种放法？(2)四个盒都不空的放法有多少种？（3)恰有一个空盒的放法有多少种？（4)恰有两个空盒的放法有多少种?（5）甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？［解析］（1)由于可以随便放，故每个小球都有4种放法，所以放法总数是:4×4×4×4＝44＝256种．(2）将四个小球全排列后放入四个盒子即可，所以放法总数是：A4，4＝24种．(3)由题意知,必然是四个小球放入三个盒子中．分三步完成：选出三个盒子;将四个小球分成三堆；将三堆小球全排列后放入三个盒子．所以放法总数是：C34·C2，4·A错误!＝144种．(4）由题意，必然是四个小球放入2个盒子中．分三步完成：选出两个盒子;将四个小球分成两堆；将两堆小球全排列放入两个盒子．所以放法总数是:C错误!·（错误!＋C错误!·C 错误!)·A错误!＝84种．(5)分三类放法．第一类：甲球放入1号盒子，即，则乙球有3种放法（可放入2,有42种放法．故此类放法的种数是3×42；第二类：甲球放入2号盒子，即，则乙球有2种放法(可放入3,有42种放法．故此类放法的种数是2×42;第三类:甲球放入3号盒子，即，则乙球只有1种放法(放入4号盒子),其余两球随便放,有42种放法，故此类放法的种数是1×42．综上，所有放法的总数是：(3＋2＋1）×42＝96种．C级能力拔高不定方程x1＋x2＋…＋x10＝100的正整数解有多少组？[解析] 不定方程就是未知数的个数大于方程的个数的方程,像方程x1＋x2＋…＋x n＝m就是一个最简单的不定方程，解决这类问题的常用方法是“隔板法”．解：考虑并列出100个：1111…1错误!，在每相邻两个1之间都有1个空隙，共有99个空隙．在这99个空隙中，放上9个“＋”号，每个空隙中至多放1个，共有C错误!种放法，在每一种放法中，这100个数被“＋”号隔为10段，每一段中“1”的个数从左至右顺次记为“x1，x2,…，x10”．显然，这就是不定方程的一组正整数解，而“＋"号的放法与不定方程的正整数解之间是一一对应的，故不定方程的正整数解有C错误!组．。

⼈教A版⾼中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～3 全册章节同步检测试题⽬录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3⼆项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2⼆项分布及其应⽤第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应⽤第3章练习 3.2独⽴性检验的基本思想及其初步应⽤第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题1．⼀件⼯作可以⽤2种⽅法完成，有3⼈会⽤第1种⽅法完成，另外5⼈会⽤第2种⽅法完成，从中选出1⼈来完成这件⼯作，不同选法的种数是（）Ａ．8 Ｂ．15Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去⼄地有3班⽕车，从⼄地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅⾏⽅式有（）Ａ．5种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所⽰为⼀电路图，从A 到B 共有（）条不同的线路可通电（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成⽆重复数字的两位数的个数是（）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜⾊的衬⾐，3件不同花样的裙⼦，另有两套不同样式的连⾐裙．“五⼀”节需选择⼀套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择⽅式（）Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ 6．设A ，B 是两个⾮空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ⼆、填空题7．商店⾥有15种上⾐，18种裤⼦，某⼈要买⼀件上⾐或⼀条裤⼦，共有种不同的选法；要买上⾐，裤⼦各⼀件，共有种不同的选法．答案：33，2708．⼗字路⼝来往的车辆，如果不允许回头，共有种⾏车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则⽅程22()()25x a y b -+-=表⽰不同的圆的个数是．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有项．答案：1011．如图，从A →C ，有种不同⾛法．答案：612．将三封信投⼊4个邮箱，不同的投法有种．答案：34三、解答题 13．⼀个⼝袋内装有5个⼩球，另⼀个⼝袋内装有4个⼩球，所有这些⼩球的颜⾊互不相同．（1）从两个⼝袋内任取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？（2）从两个⼝袋内各取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =?=种．14．某校学⽣会由⾼⼀年级5⼈，⾼⼆年级6⼈，⾼三年级4⼈组成．（1）选其中1⼈为学⽣会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1⼈为校学⽣会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两⼈参加市⾥组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =??=种；（3）56644574N =?+?+?=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平⾯上的点，a b M ∈，．（1）()P a b ，可表⽰平⾯上多少个不同的点？（2）()P a b ，可表⽰多少个坐标轴上的点？解：（1）完成这件事分为两个步骤：a 的取法有6种，b 的取法也有6种，∴P 点个数为N =6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x 轴上（不含原点）有5个点；②y 轴上（不含原点）有5个点；③既在x 轴，⼜在y 轴上的点，即原点也适合，∴共有N =5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题 1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（） A ．30个 B ．42个 C ．36个 D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆⾄少1个，⾄多5个，则不同的分法共有（） A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．7种答案：Ａ3．如图，⽤4种不同的颜⾊涂⼊图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂⾊不同，则不同的涂法有（） A ．72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种答案：Ａ4．教学⼤楼共有五层，每层均有两个楼梯，由⼀层到五层的⾛法有（） A ．10种 B ．52种Ｃ．25种Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的⼦集的个数是（）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最⼤边长为11的三⾓形的个数为（）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ⼆、填空题7．平⾯内有7个点，其中有5个点在⼀条直线上，此外⽆三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直⾓三⾓形的个数为．答案：2(1)n n -9．电⼦计算机的输⼊纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产⽣种不同的信息．答案：25610．椭圆221x y m n+=的焦点在y 轴上，且{}{}123451234567m n ∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：20 11．已知集合{}123A ，，ü，且A 中⾄少有⼀个奇数，则满⾜条件的集合A 分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题 13．⽤0，1，2，3，4，5六个数字组成⽆重复数字的四位数，⽐3410⼤的四位数有多少个？解：本题可以从⾼位到低位进⾏分类．（1）千位数字⽐3⼤．（2）千位数字为3：①百位数字⽐4⼤；②百位数字为4： 1°⼗位数字⽐1⼤；2°⼗位数字为1→个位数字⽐0⼤．所以⽐3410⼤的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜⾊旗⼦各(3)n n >⾯，任取其中三⾯，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦中不允许有三⾯相同颜⾊的旗⼦，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦颜⾊各不相同，有多少种不同的信号？解： 1N =3×3×3=27种； 227324N =-=种； 33216N =??= 种．15．某出版社的7名⼯⼈中，有3⼈只会排版，2⼈只会印刷，还有2⼈既会排版⼜会印刷，现从7⼈中安排2⼈排版，2⼈印刷，有⼏种不同的安排⽅法．解：⾸先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版⼜会印刷”中的⼀个作为分类的标准．下⾯选择“既会排版⼜会印刷”作为分类的标准，按照被选出的⼈数，可将问题分为三类：第⼀类：2⼈全不被选出，即从只会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法；只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第⼆类：2⼈中被选出⼀⼈，有2种选法．若此⼈去排版，则再从会排版的3⼈中选1⼈，有3种选法，只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此⼈去印刷，则再从会印刷的2⼈中选1⼈，有2种选法，从会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2⼈全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷⼀．选择题：1．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种2．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语⽂、数学、英语各⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种3．某商业⼤厦有东南西3个⼤门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到⼆楼的不同⾛法种数是（）（A ） 5 （B ）7 （C ）10 （D ）124．⽤1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个5．⽤1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个6．3科⽼师都布置了作业，在同⼀时刻4名学⽣都做作业的可能情况有（）（A ）43种（B ）34种（C ）4×3×2种（D ） 1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每⼈最多分⼀张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A ）120种（B ）1024种（C ）625种（D ）5种8．已知集合M={l ，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取⼀个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直⾓坐标系中可表⽰第⼀、⼆象限内不同的点的个数是（）（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）109．三边长均为整数，且最⼤边为11的三⾓形的个数为（）（A ）25 （B ）36 （C ）26 （D ）3710．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路⽹，若规定只能向东或向北两个⽅向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的⾛法共有（）（A ）25 （B ）15 （C）13 （D ）10 ⼆．填空题：11．某书店有不同年级的语⽂、数学、英语练习册各10本，买其中⼀种有种⽅法；买其中两种有种⽅法．12．⼤⼩不等的两个正⽅形玩具，分别在各⾯上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的⾯标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正⼋边形的三个顶点组成的三⾓形中，与正⼋边形有公共边的有个．15．某班宣传⼩组要出⼀期向英雄学习的专刊，现有红、黄、⽩、绿、蓝五种颜⾊的粉笔供选⽤，要求在⿊板中A 、B 、C 、D 每⼀部分只写⼀种颜⾊，如图所⽰，相邻两块颜⾊不同，则不同颜⾊的书写⽅法共有种．三．解答题：16．现由某校⾼⼀年级四个班学⽣34⼈，其中⼀、⼆、三、四班分别为7⼈、8⼈、9⼈、10⼈，他们⾃愿组成数学课外⼩组．（1）选其中⼀⼈为负责⼈，有多少种不同的选法？（2）每班选⼀名组长，有多少种不同的选法？（3）推选⼆⼈做中⼼发⾔，这⼆⼈需来⾃不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加⾜球队，蓝球队、乒乓球队，每⼈限报其中⼀个运动队，不同的报名⽅法有⼏种？［探究与提⾼］1．甲、⼄两个正整数的最⼤公约数为60，求甲、⼄两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线⽅程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第⼀象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节⽬中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，⼄信箱中有20封．现由主持⼈抽奖确定幸运观众，若先确定⼀名幸运之星，再从两信箱中各确定⼀名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（）（A ）827n A - （B ）2734nn A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．⽤1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A ）24个（B ）30个（C ）40个（D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）（A ）20个（B ）19个（C ）25个（D ）30个7．甲、⼄、丙、丁四种不同的种⼦，在三块不同⼟地上试种，其中种⼦甲必须试种，那么不同的试种⽅法共有（）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）96种8．某天上午要排语⽂、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第⼀节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）（A ）6种（B ）9种（C ）18种（D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个⼩组，每组有⼀位司机和⼀位售票员，则不同的分组⽅案共有（）（A ）88A 种（B ）48A 种（C ）44A ·44A 种（D ）44A 种10．有4位学⽣和3位⽼师站在⼀排拍照，任何两位⽼师不站在⼀起的不同排法共有（）（A ）(4!)2种（B ）4!·3!种（C ）34A ·4!种（D ）3 5A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成⼀排，其中a ，b 两种必须排在⼀起，⽽c ，d 两种不能排在⼀起，则不同排法共有（）（A ）12种（B ）20种（C ）24种（D ）48种⼆．填空题:：12．6个⼈站⼀排，甲不在排头，共有种不同排法．13．6个⼈站⼀排，甲不在排头，⼄不在排尾，共有种不同排法．14．五男⼆⼥排成⼀排，若男⽣甲必须排在排头或排尾，⼆⼥必须排在⼀起，不同的排法共有种．15．将红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼩球，分别放⼊红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼝袋中，但红⼝袋不能装⼊红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法．三、解答题：17．⼀场晚会有5个唱歌节⽬和3个舞蹈节⽬，要求排出⼀个节⽬单（1）前4个节⽬中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节⽬要排在⼀起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节⽬彼此要隔开，有多少种排法？18．三个⼥⽣和五个男⽣排成⼀排．（1）如果⼥⽣必须全排在⼀起，有多少种不同的排法？（2）如果⼥⽣必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排⼥⽣，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排⼥⽣，有多少种不同的排法？（5）如果三个⼥⽣站在前排，五个男⽣站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合综合卷⼀、选择题：1．下列等式不正确的是（）（A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=- （C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11 111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．⽅程2551616x x x C C --=的解共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男⽣中挑选3⼈，4名⼥⽣中挑选2⼈，组成⼀个⼩组，不同的挑选⽅法共有（）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男⽣，3个⼥⽣中挑选4⼈参加智⼒竞赛，要求⾄少有⼀个⼥⽣参加的选法共有（）（A ）12种（B ）34种（C ）35种（D ）340种8．平⾯上有7个点，除某三点在⼀直线上外，再⽆其它三点共线，若过其中两点作⼀直线，则可作成不同的直线（）（A ）18条（B ）19条（C ）20条（D ）21条9．在9件产品中，有⼀级品4件，⼆级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，⾄少有两件⼀级品的抽法共有（）（A ）60种（B ）81种（C ）100种（D ）126种10．某电⼦元件电路有⼀个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某⼀焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）（A ）5种（B ）6种（C ）63种（D ）64种⼆．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每⼈教两个班，分配⽅案共有种。

第一章 计数原理(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若实数a ＝2－2，则a 10－2C 110a 9＋22C 210a 8－…＋210＝( ) A ．32 B ．－32 C ．1 024 D ．512解析：由题意得a 10－2C 110a 9＋22C 210a 8－…＋210＝(a －2)10，又a ＝2－2，所以原式＝(2－2－2)10＝32.答案：A2．已知(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 8等于( ) A ．180 B ．－180 C ．45D ．－45解析：依题意知，a 8＝C 81022(－1)8＝180，故选A. 答案：A3．(2019·某某省八校高三联考)某工厂安排6人负责周一至周六的中午午休值班工作，每天1人，每人值班1天，若甲、乙两人需安排在相邻两天值班，且都不排在周三，则不同的安排方式有( )A ．192种B ．144种C ．96种D ．72种解析：因为甲、乙两人都不排在周三，且安排在相邻两天，所以分两类：①甲、乙两人安排在周一，周二，则有A 22·A 44＝48种；②甲、乙两人安排在周四，周五，周六中的相邻两天，则有2A 22·A 44＝96种，则共有48＋96＝144(种)．答案：B4．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有( )A ．150种B ．180种C ．200种D ．280种解析：不同的分派方法⎝ ⎛⎭⎪⎫C 25C 23A 22＋C 15C 14A 22A 33＝150种，故选A.答案：A5．(2019·某某市、某某市部分学校联合模拟)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋228的展开式中x 6的系数为562，则⎠⎛1a (x －cos πx )d x ＝( )A ．2B ．1C.32D.12 解析：二项式⎝⎛⎭⎪⎫22＋ax 28的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫228－r (ax 2)r ，∵2r ＝6，∴r ＝3.令r ＝3，则C 38×⎝⎛⎭⎪⎫225×a 3＝562，解得a ＝2，所以⎠⎛1a (x －cos πx )dx ＝⎠⎛12(x －cos πx )dx答案：C6．已知6C x －7x －3＝10A 2x －4，则x 的值为( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14解析：由6C x －7x －3＝10A 2x －4，得6·(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)4×3×2×1＝10·(x －4)(x －5)．∴x 2－9x －22＝0，∴x ＝11或x ＝－2(舍)． 答案：A7．(2019·某某一中高二月考)用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数为( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：因为一种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，所以分两类，第一类，涂前三个圆用三种颜色，有A 33＝6种涂法，则涂后三个圆有C 12C 12＝4种涂法，共有6×4＝24种涂法；第二类，涂前三个圆用两种颜色，则涂后三个圆也用两种颜色，共有C 13C 12＝6种涂法．综上，可得不同的涂色方案的种数为24＋6＝30.答案：C8．设⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n 展开式的各项系数之和为M ，其二项式系数之和为N ，若M ＋N ＝272，则n 的值为( )A ．1B ．4C ．3 D.12解析：由题意得M ＝4n ，N ＝2n. ∵M ＋N ＝272，∴4n ＋2n＝272，得n ＝4. 答案：B9．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人，后排6人)，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )A ．C 28A 23 B ．C 28A 66 C ．C 28A 26D ．C 28A 25解析：先从后排中抽出2人有C 28种方法，再插空，由题意知，先从4人中的5个空中插入1人，有5种方法，余下1人则要插入前排5人的空中，有6种方法，即抽出的2人插入前排为A 26.共有C 28A 26种调整方法．故选C.答案：C10．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A ．6种B ．12种C ．24种D ．30种解析：首先，甲、乙两人同选1门，有4种方法；其次，甲从剩下的3门课中选1门，有3种方法；最后，乙从剩下的2门课中选1门，有2种方法．所以共有4×3×2＝24种．答案：C11．若C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)，且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n ＝( )A ．250B ．－250C ．256D ．－150解析：由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6或3n ＋1＋n ＋6＝23，∴n ＝52(舍去)或n ＝4.令x＝－1，则(3－x )n＝(3＋1)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝256.∴a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n ＝256.故选C.答案：C12．由1,2,3,0组成没有重复数字的三位数，其中0不在个位上，则这些三位数的和为( )A ．1 320B ．1 332C ．2 532D ．2 544解析：共组成A 33＋A 23＝12个这样的三位数，个位数有4个3,4个2 ,4个1，和为24；十位数有2个3,2个2,2个1,6个0，和为12；百位数有4个1,4个2,4个3，和为24，∴这些位数的和为2 544，故选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．(2019·某某市高三质量预测)已知⎝⎛⎭⎪⎫1x＋x 2n的展开式的各项系数和为64，则展开式中x 3的系数为_______________________________________．解析：令x ＝1，得2n ＝64，解得n ＝6，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 26的展开式的通项T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 6－r x 2r ＝C r6x 3r －6，令3r －6＝3，得r ＝3，故x 3的系数为C 36＝20.答案：2014．设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.解析：由题图可知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧C 1n ·1a＝a 1＝3，C 2n·1a 2＝a 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧n a ＝3，n (n －1)a 2＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝9，a ＝3.答案：315．盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有________种不同的取法(用数字作答)．解析：依题意，取盒子中6个小球，可以看作6个小球排成一排，在中间插入挡板，由于每次至少取出一个球，所以最多可以插入5个挡板，即C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55＝25＝32.答案：3216．(2019·某某一中高二月考)将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力、投篮三项比赛中(假设这些比赛都不设人数上限)，每人只参加一项，则共有x 种不同的方案，若每项比赛至少要安排一人，则共有y 种不同的方案，其中x ＋y 的值为________．解析：6名同学报名参加跳绳、接力、投篮三项比赛，每人只参加一项，每人有3种报名方法，根据分步乘法计数原理可得x ＝36＝729.而每项比赛至少要安排一人时，先分组有C 16C 15C 44A 22＋C 16C 25C 33＋C 26C 24C 22A 33＝90(种)，再排列有A 33＝6(种)，所以y ＝90×6＝540.所以x ＋y ＝1 269. 答案：1 269三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)为支援西部开发，需要从8名男干部和2名女干部中任选4人组成支援小组到西部某地支边，要求男干部不少于3人，问有多少种选派方案．解：解法一：男干部有四人时有C 48种选法；男干部有3人时有C 38C 12种选法，故适合条件的选派方案有C 48＋C 38C 12＝182种．解法二：从10名干部中选4名减去2名女干部全被选中的方案数，共有C 410－C 28C 22＝182种．18．(12分)已知(3x 2＋3x )n展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大4 032. (1)求展开式中含x 4的项；(2)求展开式中二项式系数最大的项．解：(1)令x ＝1得展开式各项系数和为4n ，而二项式系数和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n， 由题意得4n －2n ＝4 032，即(2n －64)(2n ＋63)＝0，得2n ＝64或2n＝－63， 又∵n ∈N *，∴2n＝64，故n ＝6，二项展开式的第r ＋1项为，令12＋r 3＝4，得r ＝0，∴展开式中含x 4的项为T 1＝30·C 06·x 4＝x 4. (2)∵n ＝6，∴展开式中第4项的二项式系数最大，19．(12分)2名女生和4名男生外出参加比赛活动．(1)他们排成一列照相时，若2名女生必须在一起，有多少种排列方法？ (2)他们排成一列照相时，若2名女生不相邻，有多少种排列方法？(3)从这6名学生中挑选3人担任裁判，至少要有1名女生，则有多少种选法？ 解：(1)有2A 55＝240种． (2)有A 44A 25＝480种． (3)有C 36－C 34＝16种．20．(12分)求证：1＋4C1n＋7C2n＋10C3n＋…＋(3n＋1)C n n＝(3n＋2)·2n－1.证明：设S＝1＋4C1n＋7C2n＋10C3n＋…＋(3n＋1)C n n，①则S＝(3n＋1)C n n＋(3n－2)C n－1n＋…＋4C1n＋1.②①＋②得2S＝(3n＋2)(C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n)＝(3n＋2)·2n，∴S＝(3n＋2)·2n－1.21．(12分)带有编号1,2,3,4,5的五个球．(1)全部投入4个不同的盒子里；(2)放进不同的4个盒子里，每盒一个；(3)将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)；(4)全部投入4个不同的盒子里，没有空盒；各有多少种不同的放法？解：(1)由分步计数原理知，五个球全部投入4个不同的盒子里共有45种放法．(2)由排列数公式知，五个不同的球放进不同的4个盒子里(每盒一个)共有A45种放法．(3)将其中的4个球投入一个盒子里共有C45C14＝20种放法．(4)全部投入4个不同的盒子里(没有空盒)共有C25A44种不同的放法．22．(12分)设x10－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，其中Q(x)是关于x的多项式，a，b∈R.(1)求a，b的值；(2)若ax＋b＝28，求x10－3除以81的余数．解：(1)由已知等式，得[(x－1)＋1]10－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，∴C010(x－1)10＋C110(x－1)9＋…＋C810(x－1)2＋C910(x－1)＋C1010－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，∴[C010(x－1)8＋C110(x－1)7＋…＋C810](x－1)2＋10x－12＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，∴10x－12＝ax＋b.∴a＝10，b＝－12.(2)∵ax＋b＝28，即10x－12＝28，∴x＝4，∴x10－3＝410－3＝(3＋1)10－3＝C010×310＋C110×39＋…＋C910×3＋C1010－3＝34×(C010×36＋C110×35＋…＋C610)＋40×34＋5×34＋28＝81(C010×36＋C110×35＋…＋C610＋45)＋28，∴所求的余数为28.。

—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————1.3.1 二项式定理[课时作业] [A 组 基础巩固]1．二项式(a ＋b )2n的展开式的项数是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2(n ＋1)解析：根据二项式定理可知，展开式共有2n ＋1项． 答案：B2．化简多项式(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1的结果是( ) A ．(2x ＋2)5B ．2x 5C ．(2x －1)5D ．32x 5解析：原式＝[(2x ＋1)－1]5＝(2x )5＝32x 5. 答案：D3．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1解析：先求出(1＋x )5含有x 与x 2的项的系数，从而得到展开式中x 2的系数．(1＋x )5中含有x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系数为10＋5a ＝5，∴a ＝－1，故选D. 答案：D 4．使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n(n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：T r ＋1＝C r n(3x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －r x5r2n -，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立． 答案：B5．(x 2＋2)(1x2－1)5的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3解析：(1x 2－1)5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(1x2)5－r ·(－1)r，r ＝0,1,2,3,4,5.当因式(x 2＋2)提供x 2时，则取r ＝4；当因式(x 2＋2)提供2时，则取r ＝5. 所以(x 2＋2)(1x2－1)5的展开式的常数项是5－2＝3.答案：D6．(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案) 解析：利用二项展开式的通项公式求解．x 2y 7＝x ·(xy 7)，其系数为C 78， x 2y 7＝y ·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20. 答案：－207．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项． 解析：二项展开式的通项公式T k ＋1＝C k20x20－k·(43y )k ＝C k20(43)k x 20－k y k (0≤k ≤20)．要使系数为有理数，则k 必为4的倍数，所以k 可为0,4,8,12,16,20共6项，故系数为有理数的项共有6项． 答案：68．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为14∶3，则展开式中的常数项为________．解析：由已知条件得：C 4n ∶C 2n ＝14∶3，整理得：n 2－5n －50＝0， 所以n ＝10，所以展开式的通项为：T k ＋1＝C k 10(x )10－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2k＝C k 10·2k·x1052k -，令10－5k 2＝0，得k ＝2，所以常数项为第三项T 3＝22C 210＝180. 答案：1809．用二项式定理证明1110－1能被100整除．证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C 110×109＋…＋C 910×10＋1)－1 ＝1010＋C 110×109＋C 210×108＋…＋102＝100×(108＋C 110×107＋C 210×106＋…＋1)， ∴1110－1能被100整除．10.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x 的一次项系数． 解析：由题意知C 8n ＝C 9n ， ∴n ＝17，T r ＋1＝C r17x 172r-·2r·x3r -，∴17－r 2－r3＝1，∴r ＝9，∴T r ＋1＝C 917·x 4·29·x －3， ∴T 10＝C 917·29·x ， 其一次项系数为C 91729.[B 组 能力提升]1．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2 B.54 C ．1D.24解析：T r ＋1＝C r7·(2x )7－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝27－r C r 7a r·1x2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a＝1.故选C. 答案：C2．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中，若x 5与x 6的系数相等，则n ＝( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9解析：二项式(1＋3x )n的展开式的通项是T r ＋1＝C r n 1n －r·(3x )r ＝C r n ·3r ·x r .依题意得C 5n ·35＝C6n·36，即n n －n －n －n －5！＝3×n n －n －n －n －n －6！(n ≥6)，得n ＝7.答案：B3．若(x ＋a )5的展开式中的第四项是10a 2(a 为大于0的常数)，则x ＝________.解析：∵T 4＝C 35(x )2·a 3＝10x ·a 3， ∴10xa 3＝10a 2(a >0)，∴x ＝1a.答案：1a4．(2015年高考福建卷)(x ＋2)5的展开式中，x 2的系数等于________(用数字作答)． 解析：T r ＋1＝C r 5x 5－r·2r ，令5－r ＝2，得r ＝3，所以x 2的系数为C 35×23＝80.答案：80 5．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，求a 的值． 解析：∵T r ＋1＝C r 6x 6－r⎝⎛⎭⎪⎫－a x r ＝(－a )r C r6x 362r －，令r ＝2，得A ＝C 26·a 2＝15a 2； 令r ＝4，得B ＝C 46·a 4＝15a 4. 由B ＝4A 可得a 2＝4，又a >0， 所以a ＝2.6．在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列． (1)求展开式的第四项； (2)求展开式的常数项．解析：T r ＋1＝C rn(3x )n －r⎝⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r n x 1233n r －. 由前三项系数的绝对值成等差数列， 得C 0n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122C 2n ＝2×12C 1n ，解这个方程得n ＝8或n ＝1(舍去)． (1)展开式的第4项为：T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 38x 23＝－73x 2.(2)当83－23r ＝0，即r ＝4时，常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 48＝358.。

1．3.1 二项式定理问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a ＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：(a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式的乘法法则知，从每个(a＋b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项．若都选a，则得C04a4b0；若有一个选b，其余三个选a，则得C14a3b；若有两个选b，其余两个选a，则得C24a2b2；若都选b，则得C44a0b4.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C n n b n.二项式定理及其相关概念1．二项展开式的特点(1)展开式共有n＋1项．(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n.(3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.2．二项展开式的通项公式的特点(1)它表示(a ＋b )n 的展开式的第k ＋1项，该项的二项式系数为C kn . (2)字母b 的次数与二项式系数的组合数的上标相同． (3)a 和b 的次数之和为n .(1)求(x ＋(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C nn .(1)(x ＋2y )4＝C 04x 4＋C 14x 3(2y )＋C 24x 2(2y )2＋C 34x ·(2y )3＋C 44(2y )4＝x 4＋8x 3y ＋24x 2y 2＋32xy 3＋16y 4.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k＋…＋C nn (－1)n＝n＝x n.1．(a ＋b )n的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .2．逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．1．求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 24的展开式． 解：法一：⎝⎛⎭⎪⎫2x －32x 24＝C 04(2x )4＋C 14(2x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋C 24(2x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 22＋C 34(2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 24＝16x 4－48x ＋54x 2－27x 5＋8116x 8.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 3－32x 24＝116x 8(4x 3－3)4＝116x 8＝16x 4－48x ＋54x 2－27x 5＋8116x 8. 2．化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．解：原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－C 55＝5－1＝x 5－1.(1)在⎝⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( )A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项(2)(浙江高考)设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. (1)T k ＋1＝C k20(32x )20－k⎝⎛⎭⎪⎫－12k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k ·(32)20－k C k 20·x 20－k. ∵系数为有理数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k与2203k －均为有理数，∴k 能被2整除，且20－k 能被3整除． 故k 为偶数，20－k 是3的倍数，0≤k ≤20， ∴k ＝2,8,14,20.(2)T k ＋1＝C k5(x )5－k⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x k＝C k 5(－1)kx5526k－，令52－5k 6＝0，得k ＝3，所以A ＝－C 35＝－10. (1)A (2)－101．在通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k(n ∈N *，k ＝0,1,2,3，…，n )中含有a ，b ，n ，k ，T k ＋1五个量，只要知道其中4个量，便可求出第5个量．在运用二项式定理解决展开式中的项或项的系数的一些问题时，常涉及这5个量的求解问题．这通常是化归为方程的问题来解决．2．对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；而对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好是整数的项．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求展开式中所有的有理项．解：通项公式为T k ＋1＝C k nx 3n k － (－3)kx3k －＝C k n(－3)kx3n k －.(1)∵第6项为常数项， ∴k ＝5时，有n －2k3＝0，即n ＝10.(2)根据通项公式，由题意得⎩⎨⎧10－2k3∈Z ，k ≤10，k ∈Z.令10－2k 3＝r (r ∈Z)，则10－2k ＝3r ，即k ＝5－32r .∵k ∈Z ，∴r 应为偶数．于是r 可取2,0，－2，即k 可取2,5,8.故第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为 C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x －2.在⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)倒数第3项．法一：利用二项式的展开式解决．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8＝(2x 2)8－C 18(2x 2)7·13x ＋C 28(2x 2)6·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2－C 38(2x 2)5·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 3＋C 48(2x 2)4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4－C 58(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 5＋C 68(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6－C 78(2x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 7＋C 88⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 8， 则第5项的二项式系数为C 48＝70，第5项的系数为C 48·24＝1 120.(2)由(1)中⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式可知倒数第3项为C 68·(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6＝112x 2. 法二：利用二项展开式的通项公式．(1)T 5＝C 48·(2x 2)8－4·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 4＝C 48·24·x 203，则第5项的二项式系数是C 48＝70，第5项的系数是C 48·24＝1 120.(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T 7＝C 68·(2x 2)8－6·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝112x 2.1．本例第(2)问也可转化为求另一二项展开式的某些项，即在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8展开式中的倒数第3项就是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x －2x 28展开式中第3项，T 3＝C 28·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 8－2·(－2x 2)2＝112x 2.2．要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C kn ；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．1．(全国乙卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案) 解析：(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (x )r ＝25－r ·C r5·x 5－r 2. 令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10.答案：102．(山东高考)若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________. 解析：T r ＋1＝C r5·(ax 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－rx 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.答案：－22.二项式定理破解三项式问题求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式的常数项．法一：由二项式定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25 ＝C 05·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5＋C 15·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2＋C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3·(2)2＋C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3＋C 45·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ·(2)4＋C 55·(2)5.其中为常数项的有：C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2中的第3项：C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2； C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3中的第2项：C 35C 12·12·(2)3；展开式的最后一项C 55·(2)5.综上可知，常数项为C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2＋C 35C 12·12·(2)3＋C 55·(2)5＝6322.法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x5·5＝132x5·(x ＋2)10. 求原式中展开式的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5的项的系数，即C 510·(2)5.所以所求的常数项为C 5102532＝6322.解决三项式问题有两种方法：方法一，反复利用二项式定理，先把三项式中的某两项视为一项，用二项式定理展开，然后再利用二项展开式求解．方法二，转化为二项式．转化为二项式常见的有两种形式：三项式恰好是二项式的平方，则可转化为二项式定理求解，三项式可分解因式，则转化为两个二项式的积的形式．利用二项式定理求特定项，注意下列题型的变化．⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．12解析：选C 根据题意，所给式子的展开式中含x 的项有(1－x )4展开式中的常数项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的x 以及(1－x )4展开式中的含x 2的项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的2x 两部分，所以所求系数为1×2＋1＝3，故选C.在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是( ) A ．－15 B ．85 C ．－120D ．274解析：选A 根据分类加法、分步乘法计数原理，得－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4＝－15x 4， 所以原式的展开式中，含x 4的项的系数为－15.在(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )6的展开式中，x 2的系数是________．(用数字作答) 解析：法一(转化为二项式定理解决)：(1＋x )2，(1＋x )3，…，(1＋x )6中x 2的系数分别为C 22，C 23，…，C 26，所以原式的展开式中，x 2的系数为C 22＋C 23＋…＋C 26＝C 33＋C 23＋…＋C 26＝C 34＋C 24＋…＋C 26＝…＝C 37＝35.法二(利用数列求和方法解决)：由题意知1＋x ≠0，原式＝＋x7－＋xx，故只需求(1＋x )7中x 3的系数， 即(1＋x )7的展开式中第4项的系数， 即C 37＝35. 答案：351．在(x －3)10的展开式中，含x 6的项的系数是( ) A ．－27C 610 B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 410解析：选D 含x 6的项是T 5＝C 410x 6(－3)4＝9C 410x 6. 2．(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112D ．168解析：选D (1＋x )8的展开式中x 2的系数为C 28，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为C 24，所以x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.3．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________．解析：由n ＝6知中间一项是第4项，因T 4＝C 36(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3.答案：－160x 34.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________．解析：T k ＋1＝C k9·(x 2)9－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123·C 39·x 9＝－212x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－212.答案：84 －2125．求⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第3项的系数和常数项．解：T 3＝C 25(x 3)3⎝⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第3项的系数为C 25·49＝409.通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·C k 5x 15－5k ，令15－5k ＝0得k ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝⎛⎭⎪⎫23x 23＝8027.一、选择题1．二项式(a ＋b )2n的展开式的项数是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2(n ＋1)解析：选B 根据二项式定理可知，展开式共有2n ＋1项．2．化简多项式(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1的结果是( )A ．(2x ＋2)5B ．2x 5C ．(2x －1)5D ．32x 5解析：选D 原式＝5＝(2x )5＝32x 5.3．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项D ．6项解析：选C T k ＋1＝C k24·x 24－k 2·x －k 3＝C k 24·x 12－56k ，则k ＝0,6,12,18,24时，x 的幂指数为整数．4．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( )A ．3B ．5C ．8D ．10解析：选B T k ＋1＝C kn (2x 3)n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2k ＝2n －k ·C k n x 3n －5k .令3n －5k ＝0，∵0≤k ≤n ， ∴n 的最小值为5.5．对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 3n (n ∈N *)，有以下四种判断：①存在n ∈N *，展开式中有常数项； ②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项； ③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项； ④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项． 其中正确的是( ) A ．①与③ B ．②与③ C ．②与④D ．①与④解析：选D 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 3n 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n x 4k －n，由通项公式可知，当n ＝4k (k ∈N *)和n ＝4k －1(k ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项．二、填空题6．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是________． 解析：由{ T 2>T 1，T 2>T 3，得{ C 162x >1，162x >C 26x2.解得112<x <15.答案：⎝⎛⎭⎪⎫112，157．(1＋x ＋x 2)(1－x )10的展开式中含x 4的项的系数为________．解析：因为(1＋x ＋x 2)(1－x )10＝(1＋x ＋x 2)(1－x )·(1－x )9＝(1－x 3)(1－x )9， 所以展开式中含x 4的项的系数为1×C 49(－1)4＋(－1)×C 19(－1)＝135.答案：1358．230＋3除以7的余数是________．解析：230＋3＝(23)10＋3＝810＋3＝(7＋1)10＋3＝C 010·710＋C 110·79＋…＋C 910·7＋C 1010＋3＝7×(C 010·79＋C 110·78＋…＋C 910)＋4，所以230＋3除以7的余数为4.答案：4 三、解答题9．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．解：T 5＝C 4n (x )n －424x －8＝16C 4n xn －202，T 3＝C 2n (x )n －222x －4＝4C 2n x n －102.由题意知，16C 4n 4C 2n ＝563，解得n ＝10.T k ＋1＝C k 10(x )10－k 2k x －2k ＝2k C k10x 10－5k2， 令5－5k2＝0，解得k ＝2.∴展开式中的常数项为C 21022＝180.10．在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项．解：(1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ，所以第3项的系数为24C 26＝240. (2)T k ＋1＝C k6(2x )6－k⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k.令3－k ＝2，得k ＝1. 所以含x 2的项为第2项， 且T 2＝－192x 2.11 11．已知在⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－1x n 的展开式中，第9项为常数项．求： (1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数；(3)含x 的整数次幂的项的个数．解：二项展开式的通项为T k ＋1＝C kn ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2n －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －k C k n x 522n k －. (1)因为第9项为常数项，即当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10. (2)令2n －52k ＝5，得k ＝25(2n －5)＝6， 所以x 5的系数为(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 610＝1058. (3)要使2n －52k ，即40－5k 2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．。

1.3.1 二项式定理一、选择题1．·2n＋·2n－1＋…＋·2n－k＋…＋等于( )．A．2n B．2n－1 C．3n D．12．(2012山东济南一中期末，理2)(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第七项为( )．A．－210 B．210 C．－120i D．－210i3.展开式中x3的系数为10，则a的值等于( )．A．－1 B．C．1 D．24．(2012安徽高考，理7)(x2＋2)的展开式的常数项是( )．A．－3 B．－2 C．2 D．35．若x＋x2＋…＋x n能被7整除，则x，n的值可能为( )．A．x＝5，n＝5 B．x＝5，n＝4C．x＝4，n＝4 D．x＝4，n＝3二、填空题6．(x3＋2x)7的展开式中第4项的二项式系数是__________，第4项的系数是__________．7．(2012浙江高考，理14)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝__________.8．设二项式(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B．若B＝4A，则a的值是________．三、解答题9．设m，n是正整数，整式f(x)＝(1－2x)m＋(1－5x)n中含x的一次项的系数为－16，求含x2项的系数．10．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．(1)求展开式的第四项；(2)求展开式的常数项．参考答案1答案：C 解析：原式＝(2＋1)n＝3n.2答案：A 解析：由通项公式得T7＝·(－i)6＝＝－210.3答案：D 解析：展开式的通项公式T r＋1＝·x5－r·＝a r·x5－2r，令5－2r＝3，∴r＝1.∵x3的系数为10，∴a＝10.∴a＝2.4答案：D 解析：的通项为T r＋1＝(－1)r＝(－1)r.要使(x2＋2) 的展开式为常数，须令10－2r＝2或0，此时r＝4或 5.故(x2＋2)的展开式的常数项是(－1)4×＋2×(－1)5×＝3.5答案：B 解析：＋…＋＝(1＋x)n－1，检验得B正确．6答案：35 280 解析：因为(x3＋2x)7的展开式的第4项是T4＝(x3)4(2x)3，故该项的二项式系数是＝35，该项的系数是23＝280.7答案：10解析：由x5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5可得，可解得8答案：2 解析：T r＋1＝＝(－a)r，所以6－r＝3时，r＝2，所以A＝15a2,6－r＝0时，r＝4，所以B＝15a4，所以15a4＝4×15a2，所以a2＝4，又a＞0，得a＝2.9解：由题意得·(－2)＋·(－5)＝－16.∴2m＋5n＝16.又∵m，n是正整数，∴m＝3，n＝2.∴展开式中含x2项的系数是·(－2)2＋·(－5)2＝12＋25＝37.。

习题课 二项式定理学习目标 1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题．1．二项式定理及其相关概念2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性：C m n ＝C n －mn ； (2)性质：C k n ＋1＝C k －1n ＋C kn ；(3)二项式系数的最大值：当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即2C nn最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即12Cn n-＝12Cn n+最大；(4)二项式系数之和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C kn ＋…＋C nn ＝2n，所用方法是赋值法．类型一 二项式定理的灵活应用 命题角度1 两个二项式积的问题例1 (1)(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4(2)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝________. 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中特定项的系数 答案 (1)B (2)－1解析 (1)方法一 (1－x )6的展开式的通项为C m 6·(－x )m ＝C m 6(－1)m2m x ，(1＋x )4的展开式的通项为C n 4(x )n ＝C n42nx ，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4.令m 2＋n2＝1，得m ＋n ＝2，于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06·(－1)0·C 24＋C 16·(－1)1·C 14＋C 26·(－1)2·C 04＝－3.方法二 (1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x )，于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·(－1)1·1＝－3. (2)(1＋ax )(1＋x )5＝(1＋x )5＋ax (1＋x )5. ∴x 2的系数为C 25＋a C 15， 则10＋5a ＝5，解得a ＝－1.反思与感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得．跟踪训练1 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40(2)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝________.考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中特定项的系数 答案 (1)D (2)120解析 (1)令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中常数项即为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中1x与x 的系数之和．⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式的通项为T k ＋1＝(－1)k C k 525－k x 5－2k ，令5－2k ＝1，得k ＝2， ∴展开式中x 的系数为C 25×25－2×(－1)2＝80，令5－2k ＝－1，得k ＝3，∴展开式中1x的系数为C 35×25－3×(－1)3＝－40，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中常数项为80－40＝40.(2)f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.命题角度2 三项展开式问题例2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式中的常数项是________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项 答案6322解析 方法一 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25，∴展开式的通项为11k T ＋＝15C k 11512k k x x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭(k 1＝0,1,2，…，5)．当k 1＝5时，T 6＝(2)5＝42，当0≤k 1<5时，1512k x x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为21k T '＋＝251C k k -122512k k k x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－－＝251C k k -12512k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－·1252k k x－－(k 2＝0,1,2，…，5－k 1)．令5－k 1－2k 2＝0，即k 1＋2k 2＝5.∵0≤k 1<5且k 1∈Z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，k 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝3，k 2＝1.∴常数项为42＋C 15C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1222＋C 35C 1212×(2)3＝42＋1522＋202＝6322. 方法二 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x 5·[(x ＋2)2]5＝132x5·(x ＋2)10. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5项的系数，即C 510·(2)5. ∴所求的常数项为C 510·(2)532＝6322.反思与感悟 三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性． 跟踪训练2 (x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项 答案 30解析 方法一 (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5， 含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.方法二 (x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30. 命题角度3 整除和余数问题例3 今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 考点 二项式定理的综合应用 题点 整除和余数问题 答案 A解析 求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数，应用二项式定理将数变形求余数． 因为810＝(7＋1)10＝710＋C 110×79＋…＋C 910×7＋1＝7M ＋1(M ∈N *)， 所以第810天相当于第1天，故为星期一．反思与感悟 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式． 跟踪训练3 设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 017＋a 能被13整除，则a ＝________.考点 二项式定理的综合应用 题点 整除和余数问题 答案 1 解析 ∵512 017＋a ＝(52－1)2 017＋a ＝C 02 017522 017－C 12 017522 016＋C 22 017522 015－…＋C 2 0162 017521－1＋a ，能被13整除，0≤a <13. 故－1＋a 能被13整除，故a ＝1. 类型二 二项式系数的综合应用例4 已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n .(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求展开式中系数最大(小)的项 解 (1)由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ， 即n 2－21n ＋98＝0，得n ＝7或n ＝14.当n ＝7时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项， ∵T 4＝C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫124(2x )3＝352x 3，T 5＝C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫123(2x )4＝70x 4，∴第四项的系数是352，第五项的系数是70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第八项，它的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫127×27＝3 432.(2)由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，即n 2＋n －156＝0. 得n ＝－13(舍去)或n ＝12. 设T k ＋1项的系数最大，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12， 由⎩⎪⎨⎪⎧C k12·4k≥C k －112·4k －1，C k 12·4k ≥C k ＋112·4k ＋1，解得9.4≤k ≤10.4. ∵0≤k ≤n ，k ∈N ， ∴k ＝10.∴展开式中系数最大的项是第11项，即T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·C 1012·410·x 10＝16 896x 10.反思与感悟 解决此类问题，首先要分辨二项式系数与二项展开式的项的系数，其次理解记忆其有关性质，最后对解决此类问题的方法作下总结，尤其是有关排列组合的计算问题加以细心．跟踪训练4 已知⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x n展开式中二项式系数之和比(2x ＋x lg x )2n展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120，求x . 考点 二项式定理的应用 题点 二项式定理的简单应用 解 依题意得2n－22n －1＝－112，整理得(2n－16)(2n ＋14)＝0，解得n ＝4，所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项． 依题意得C 48(2x )4(xlg x )4＝1 120，化简得x4(1＋lg x )＝1，所以x ＝1或4(1＋lg x )＝0， 故所求x 的值为1或110.1．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15D ．10考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 C解析 因为(1＋x )6的展开式的第(k ＋1)项为T k ＋1＝C k 6x k ，x (1＋x )6的展开式中含x 3的项为C 26x 3＝15x 3，所以系数为15.2．在(x ＋y )n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( ) A ．第6项 B ．第5项 C ．第5、6项D ．第6、7项考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求二项式系数最大(小)的项 答案 A解析 ∵C 3n ＝C 7n ，∴n ＝3＋7＝10， ∴展开式中系数最大的项是第6项．3．已知x >0，则(1＋x )10⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x10的展开式中的常数项为( )A ．1B ．(C 110)2C ．C 120D ．C 1020考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项 答案 D解析 (1＋x )10⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋210＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 20.设其展开式的通项为T k ＋1，则T k ＋1＝C k 20x10－k，当k ＝10时，为常数项．故选D. 4．当n 为正奇数时，7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( )A ．0B ．2C ．7D ．8考点 二项式定理的综合应用 题点 整除和余数问题 答案 C解析 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C 1n ·9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n ·9(－1)n －1＋(－1)n －1.因为n 为正奇数，所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余数为7.5．设(23x －1)n的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M,8，N 三数成等比数列，则展开式中第四项为________． 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 －160x解析 当x ＝1时，可得M ＝1，二项式系数之和N ＝2n， 由题意，得M ·N ＝64，∴2n＝64，∴n ＝6. ∴第四项T 4＝C 36·(23x )3·(－1)3＝－160x .1．两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得． 2．三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．3．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了． 4．求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．5．确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质．一、选择题 1．二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 12的展开式中的常数项是( )A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 答案 C解析 二项展开式中的通项公式为T k ＋1＝C k 12·x 12－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x k ＝C k 12·2k·3122k x -，令12－32k ＝0，得k ＝8.∴常数项为第9项．2．(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112 D ．168 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中特定项的系数 答案 D解析 因为(1＋x )8的通项为C k 8x k ，(1＋y )4的通项为C t 4y t ，故(1＋x )8(1＋y )4的通项为C k 8C t 4x k y t. 令k ＝2，t ＝2，得x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.3．若(x ＋3y )n 的展开式中所有项的系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为( )A ．15B ．10C ．8D ．5 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 D解析 由于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n中x ＝y ＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n ＝5.4．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x3的系数是84，则实数a 等于( )A ．2 B. 4 C ．1 D.24考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 C解析 二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋a x7的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 7(2x )7－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫a xk ＝C k 727－k a k x 7－2k，令7－2k ＝－3，得k ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5，即C 5722a 5＝84，解得a ＝1.5．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求展开式中二项式系数最大(小)的项 答案 B解析 ∵(x ＋y )2m展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，∴a ＝C m 2m .同理，b ＝C m ＋12m ＋1. ∵13a ＝7b ，∴13·C m2m ＝7·C m ＋12m ＋1， ∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！(m ＋1)！m ！，∴m ＝6. 6．二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 6的展开式中不含x 3项的系数之和为( )A ．20B ．24C ．30D ．36 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 A解析 由二项式的展开式的通项公式T k ＋1＝C k 6·(－1)k x12－3k，令12－3k ＝3，解得k ＝3，故展开式中x 3项的系数为C 36·(－1)3＝－20，而所有系数和为0，不含x 3项的系数之和为20. 7．在(1＋x )n (n 为正整数)的二项展开式中，奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，则(1－x 2)n的值为( ) A ．0 B ．AB C ．A 2－B 2D ．A 2＋B 2考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 C解析 ∵(1＋x )n ＝A ＋B ，(1－x )n ＝A －B ，∴(1－x 2)n ＝(1＋x )n (1－x )n ＝(A ＋B )(A －B )＝A 2－B 2.8．9192被100除所得的余数为( ) A ．1 B ．81 C ．－81 D ．992考点 二项式定理的综合应用 题点 整除和余数问题 答案 B解析 利用9192＝(100－9)92的展开式，或利用(90＋1)92的展开式．方法一 (100－9)92＝C 09210092－C 19210091×9＋C 292·10090×92－…－C 9192100×991＋C 9292992. 展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数． 由992＝(10－1)92＝C 0921092－…＋C 9092102－C 919210＋1.前91项均能被100整除，后两项和为－919，因原式为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81， ∴9192被100除可得余数为81.方法二 (90＋1)92＝C 0929092＋C 1929091＋…＋C 9092902＋C 919290＋C 9292.前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81. 二、填空题9．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中，常数项为1516，则二项式系数最大的项为________．考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求展开式中系数最大(小)的项 答案 52x 3或－52x 3解析 ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·(x 2)6－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax k ＝C k 6a －k x 12－3k，令12－3k ＝0，得k＝4，∴C 46a －4＝1516，解得a ＝±2，当a ＝2时，二项式系数最大的项为C 36(x 2)3⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＝52x 3. 当a ＝－2时，二项式系数最大的项为C 36(x 2)3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 3＝－52x 3.10.⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－23的展开式中常数项为________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项 答案 －20解析 ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－23＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x6展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6(－1)k x 6－2k.令6－2k ＝0，解得k ＝3.故展开式中的常数项为－C 36＝－20.11．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是________． 考点 二项式定理的综合应用 题点 整除和余数问题 答案 1.34解析 (1.05)6＝(1＋0.05)6＝C 06＋C 16×0.05＋C 26×0.052＋C 36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34.12．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－x ＋2x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n，则a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝________. 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 255解析 因为⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式的通项是C k n (－1)k ·x 2n －3k(k ＝0,1,2，…，n )，因为含x 的项为第6项，所以当k ＝5时，2n －3k ＝1，即n ＝8.令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝28＝256.又a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝255. 三、解答题13．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列．(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． 考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求展开式中系数最大(小)的项解 (1)二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x n的展开式中，前三项的系数分别为1，n 2，n (n －1)8.根据前三项的系数成等差数列，可得n ＝1＋n (n －1)8，求得n ＝8或n ＝1(舍去)．故二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x n 的展开式的通项为T k ＋1＝C k 8·2－k ·x 4－k.令4－k ＝0，求得k ＝4，可得展开式中的常数项为T 5＝C 48·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝358.(2)设第k ＋1项的系数最大，则由⎩⎪⎨⎪⎧C k 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ≥C k ＋18·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1，C k 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k≥C k －18·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1，求得2≤k ≤3.因为k ∈Z ，所以k ＝2或k ＝3，故系数最大的项为T 3＝7x 2或T 4＝7x . 四、探究与拓展14．若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m ＝________. 考点 展开式中系数的和问题 题点 多项展开式中系数的和问题答案 －3或1解析 在(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9中， 令x ＝－2，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9＝m 9， 即[(a 0＋a 2＋…＋a 8)－(a 1＋a 3＋…＋a 9)]＝m 9，令x ＝0，可得(a 0＋a 2＋…＋a 8)＋(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝(2＋m )9. ∵(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，∴[(a 0＋a 2＋…＋a 8)＋(a 1＋a 3＋…＋a 9)][(a 0＋a 2＋…＋a 8)－(a 1＋a 3＋…＋a 9)]＝39， ∴(2＋m )9m 9＝(2m ＋m 2)9＝39， 可得2m ＋m 2＝3，解得m ＝1或－3.15．已知(1＋m x )n(m 是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x 项的系数为112. (1)求m ，n 的值；(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和； (3)求(1＋m x )n (1－x )的展开式中含x 2项的系数． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中特定项的系数 解 (1)由题意可得2n＝256，解得n ＝8， ∴展开式的通项为T k ＋1＝C k 8m k2k x ， ∴含x 项的系数为C 28m 2＝112， 解得m ＝2或m ＝－2(舍去)． 故m ，n 的值分别为2,8.(2)展开式中偶数项的二项式系数之和为C 18＋C 38＋C 58＋C 78＝28－1＝128.(3)(1＋2x )8(1－x )＝(1＋2x )8－x (1＋2x )8，∴含x 2项的系数为C 4824－C 2822＝1 008.。

1.3.1 二项式定理课后作业提升1.的展开式中倒数第三项的系数是( )A.·2B.·26C.·25D.·22解析:的展开式中倒数第三项为正数第6项,而T6=·(2x)2··22·x-8.该项的系数为·22.答案:D2.在的展开式中常数项为-220,则a的值为( )A.1B.-1C.2D.-2解析:T r+1=··a r,∵T r+1为常数项,∴-r=0,∴r=3.∴·a3=-220,∴a=-1.答案:B3.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值是( )A.3B.6C.9D.21解析:由已知x3=[2+(x-2)]3=·23+·22·(x-2)+·2·(x-2)2+(x-2)3.所以a2=·2=6.答案:B4.的展开式中含x3项的二项式系数为( )A.-10B.10C.-5D.5解析:T r+1=·x5-r=(-1)r·x5-2r,令5-2r=3,则r=1.∴x3项的二项式系数为=5.答案:D5.若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b等于( )A.45B.55C.70D.80解析:由二项式定理得(1+)5=1+··()2+·()3+·()4+·()5=1+5+20+20+20+4=41+29,即a=41,b=29,所以a+b=70.答案:C6.若x>0,设的展开式中的第三项为M,第四项为N,则M+N的最小值为.解析:T3=·x,T4=··,故M+N=≥2.当且仅当,即x=时,等号成立.答案:7.二项式的展开式中,常数项的值为.答案:8.已知(ax+1)n=a n x n+a n-1x n-1+…+a2x2+a1x+a0(x∈N*),点A i(i,a i)(i=0,1,2,…,n)的部分图象如图,则a=.解析:由展开式得T r+1=(ax)n-r=a n-r·x n-r,由图可知a1=3,a2=4,即a=3且a2=4,化简得na=3,且=4,解得a=.答案:9.求证:32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.证明:32n+2-8n-9=(8+1)n+1-8n-9=8n+1+8n+…+-8n-9=8n+1+8n+…+·82+8(n+1)+1-8n-9=8n+1+8n+ (82)该式每一项都含因式82,故能被64整除.10.(1)求(1+x)2·(1-x)5的展开式中x3的系数.(2)已知展开式的前三项系数的和为129,这个展开式中是否含有常数项?一次项?如果没有,请说明理由;如有,请求出来.解:(1)∵(1+x)2的通项为T r+1=·x r,(1-x)5的通项为T k+1=(-1)k·x k,其中r∈{0,1,2},k∈{0,1,2,3,4,5},令k+r=3,则有k=1,r=2;k=2,r=1;k=3,r=0.∴x3的系数为-=5. (2)展开式的通项为T k+1=(x)n-k·=·2k·(k=0,1,2,…,n);由题意,得20+2+22=129.所以1+2n+2n(n-1)=129,则n2=64,即n=8.故T k+1=·2k·(k=0,1,2,…,n); 若展开式存在常数项,则=0,解之得k=∉Z,所以展开式中没有常数项.若展开式中存在一次项,则=1,即72-11k=6,所以k=6.所以展开式中存在一次项,它是第7项,T7=26x=1792 x.。

第一章 1.3 1.3.1 二项式定理A 级 基础巩固一、选择题1．在(x －12x )10的二项展开式中，x 4的系数为( C )A ．－120B ．120C ．－15D ．15[解析] T r ＋1＝C r10x10－r(－12x )r ＝(－12)r ·C r 10x 10－2r令10－2r ＝4，则r ＝3． ∴x 4的系数为(－12)3C 310＝－15．2．(2018·全国卷Ⅲ理，5)⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( C )A ．10B ．20C ．40D ．80[解析] ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2xr ＝C r 5·2r ·x10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40．故选C ．3．若二项式(x －2x)n的展开式中第5项是常数项，则自然数n 的值可能为( C )A ．6B ．10C ．12D ．15[解析] ∵T 5＝C 4n (x )n －4·(－2x )4＝24·C 4n x n －122是常数项，∴n －122＝0，∴n ＝12．4．(湖南高考)(12x －2y )5的展开式中x 2y 3的系数是( A )A ．－20B ．－5C ．5D ．20[解析] 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(12x )5－r ·(－2y )r ＝(12)5－r ·(－2)r C r 5x 5－r y r．当r ＝3时为T 4＝(12)2(－2)3C 35x 2y 3＝－20x 2y 3，故选A ．5．(1＋3x )n(其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中，若x 5与x 6的系数相等，则n ＝( B )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 二项式(1＋3x )n的展开式的通项是T r ＋1＝C r n 1n －r·(3x )r ＝C r n ·3r ·x r.依题意得C 5n ·35＝C 6n ·36， 即n n －n －n －n －5！＝3×n n －n －n －n －n －6！(n ≥6)，得n ＝7．6．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数是( D ) A ．－297 B ．－252 C ．297D ．207[解析] x 5系数应是(1＋x )10中含x 5项的系数减去含x 2项的系数． ∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207． 二、填空题7．(2018·河南二模)(x 2＋1x2－2)n展式中的常数项是70，则n ＝__4__．[解析] ∵(x 2＋1x 2－2)n ＝(x －1x)2n 的展式的通项公式为T r ＋1＝C r 2n ·(－1)r ·x 2n －2r，令2n －2r ＝0，求得n ＝r ，故展开式的常数项为(－1)n ·C n2n ＝70， 求得n ＝4． 故答案为4．8．设a ＝⎠⎛0πsin xdx ，则二项式(a x －1x)6的展开式中的常数项等于__－160__．[解析] a ＝⎠⎛0πsin xdx ＝(－cos x)|π0＝2，二项式(2x －1x)6展开式的通项为T r ＋1＝C r6(2x )6－r·(－1x)r＝(－1)r ·26－r·C r 6x3－r，令3－r ＝0得，r ＝3，∴常数项为(－1)3·23·C 36＝－160．9．(2018·天津理，10)在⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 5的展开式中，x 2的系数为__52__． [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r ·x －r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 5x 5－3r 2.令5－3r 2＝2，解得r ＝2.故展开式中x 2的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－122C 25＝52． 三、解答题10．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)倒数第3项．[解析] (1)∵T 5＝C 48·(2x 2)8－4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4＝C 48·24·x 203 ，∴第5项的二项式系数是C 48＝70，第5项的系数是C 48·24＝1 120． (2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T 7＝C 68·(2x 2)8－6·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝112x 2． B 级 素养提升一、选择题1．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( C ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4[解析] (1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x ＋12x ＋8x x )(1－3x )5，故(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中含x 的项为1×C 35(－3x )3＋12x C 05＝－10x ＋12x ＝2x ，所以x 的系数为2．2．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( A ) A ．112＜x ＜15B ．16＜x ＜15 C ．112＜x ＜23D ．16＜x ＜25[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧T 2>T 1，T 2>T 3，得⎩⎪⎨⎪⎧C 162x >1，C 162x >C 26x2.∴112＜x ＜15． 二、填空题3．(2018·潍坊一模)(1＋x )(1－2x )5展开式中x 2的系数为__120__. (用数字填写答案)[解析] ∵(1－2x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·15－r·(－2x )r ＝(－2)r ·C r5·x r2，取r 2＝2，得r ＝4，取r2，得r ＝2， ∴(1＋x )(1－2x )5展开式中x 2的系数为(－2)4·C 45＋(－2)2·C 25＝80＋40＝120． 故答案为120．4．若x >0，设(x 2＋1x )5的展开式中的第三项为M ，第四项为N ，则M ＋N 的最小值为2__．[解析] T 3＝C 25·(x 2)3(1x )2＝54x ，T 4＝C 35·(x 2)2·(1x )3＝52x， ∴M＋N ＝5x 4＋52x ≥2258＝522． 三、解答题5．(2016·湛江高二检测)在二项式 (3x －123x )n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．(1)求n 的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中系数最大的项．[解析] (1)C 0n ＋14C 2n ＝2·12C 1n ，∴n 2－9n ＋8＝0；∵n≥2，∴n＝8．(2)∵n＝8，∴展开式共有9项，故二项式系数最大的项为第5项，即T 5＝C 48(3x )4·(－123x)4＝358．(3)研究系数绝对值即可，⎩⎪⎨⎪⎧C r 812r≥C r ＋1812r ＋1，Cr 812r≥C r －1812r －1，解得2≤r ≤3，∵r ∈N ，∴r ＝2或3.∵r ＝3时，系数为负． ∴系数最大的项为T 3＝7x 43．6．(2016·金华高二检测)已知m ，n 是正整数，f (x )＝(1＋x )m＋(1＋x )n的展开式中x 的系数为7，(1)试求f (x )的展开式中的x 2的系数的最小值；(2)对于使f (x )的展开式的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数； (3)利用(1)中m 与n 的值，求f (0.003)的近似值(精确到0.01) [解析] (1)根据题意得：C 1m ＋C 1n ＝7，即 m ＋n ＝7①，f (x )的展开式中的x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝m m －2＋n n －2＝m 2＋n 2－m －n2．将①变形为n ＝7－m 代入上式得：x 2的系数为m 2－7m ＋21＝(m －72)2＋354，故当m ＝3或m ＝4时，x 2的系数的最小值为9． (2)当m ＝3、n ＝4时，x 3的系数为C 33＋C 34＝5； 当m ＝4、n ＝3时，x 3的系数为C 34＋C 33＝5．(3)f (0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈C 04＋C 14×0.003＋C 03＋C 13×0.003＝2.02．C 级 能力拔高求(x 2＋1x＋2)5的展开式中整理后的常数项． [解析] (x 2＋1x ＋2)5不是一个二项式，但可以通过组合某些项变成二项式，组合的方法有：(1)(x 2＋1x ＋2)5＝[(x 2＋1x )＋2]5，(2)(x 2＋1x ＋2)5＝(x 2＋22x ＋22x )5＝x ＋210x 5．解法一：(x 2＋1x ＋2)5＝[(x 2＋1x)＋2]5，通项公式T k ＋1＝C k5·2k 2·(x 2＋1x)5－k (k ＝0,1,2，…，5)，(x 2＋1x)5－k 的通项公式为T r ＋1＝C r 5－k ·x －r ·x 5－k －r ·2－(5－k －r )＝C r 5－k ·x 5－2r －k ·2k ＋r －5(r ＝0,1，…，5－k )，令5－2r －k ＝0，则k ＋2r ＝5，可得k ＝1，r ＝2或k ＝3，r ＝1或k ＝5，r ＝0． 当k ＝1，r ＝2时，得C 15·C 24·2·2－2＝1522；当k ＝3，r ＝1时，得C 35·C 12·22·2－1＝202； 当k ＝5，r ＝0时，得C 55·42＝42．综上，(x 2＋1x ＋2)5的展开式中整理后的常数项为 1522＋202＋42＝6322．解法二：(x 2＋1x ＋2)5＝(x 2＋22x ＋22x)5＝x ＋22]5x 5＝x ＋210x 5，在二项式(x ＋2)10中，T r ＋1＝C r 10·x10－r·(2)r(r ＝0,1,2，…，10)，要得到常数项需10－r ＝5，即r ＝5， 所以常数项为C 5102525＝6322．。

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第一章计数原理一、两个计数原理1．精要总结（1）分类加法计数原理又称为分类计数原理、加法原理等．应用此原理解题要注意以下几点：①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．②当完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事,而不需要再用到其他的方法．③确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法都属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法．也就是分类时必须既“不重复"也“不遗漏”．④分类加法计数原理的集合表述形式做一件事．完成它的办法用集合S表示,S被划分成n类方法分别用集合S1,S2，S3，……，S n表示，即S=S1∪S2∪S3∪……∪S n且S i∪S j= （i≠j;i,j=1，2，……，n),S1，S2，S3，……，S n分别有m1,m2，……，m n个元素，则完成这件事共有的方法即集合S中元素的个数为m1+m2+……+m n．如下图所示：（2）分步乘法计数原理又称为分步计数原理、乘法原理等．应用此原理解题要注意以下三点：①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事要经过几步．②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了,才算完成这件事，缺少任何一步，这件事都不可能完成．③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n步连续地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．可以用下图表示分步计数原理．(3）分类加法计数原理与分步乘法计数原理常综合应用：在分类中又包含分步，或分步中包含分类，“类”“步”交融．解决此类问题要注意根据所学认真分析，既要会合理分类，又能合理分步，解答时是先分类后分步，还是先分步后分类应视具体问题而定．常见的问题一般是先分类后分步．2．错例辨析例1 甲、乙、丙、丁四位女同学在课后练习打排球，第一次甲传给乙、丙、丁三人中任一人,第二次由接球者再传给其他三人任一人，这样共传了4次，则第4次球仍回到甲的方法共有 ( ）A．21种 B．42种 C．24种 D．27种错解：分四步完成:第一步由甲传给乙、丙、丁中的一人，有3种方法；第二步传给甲以外的2人，第三步又传给甲以外的2人，第四步再传给甲．共有2×2×1种方法，因此一共有3×2×2×1=12种方法．错因分析：上述解法中漏掉了第二步可以在传回甲这种情况，正确解法如下：正解：分四步完成：第一步由甲传给乙、丙、丁中的一人,有3种方法；第二步应分二类考虑：第一类传给甲,则第三步传给乙、丙、丁均可，第四步再传给甲,共有1×3×1种方法;第二类不传给甲，则可传给甲以外的2人，第三步又传给甲以外的2人，第四步再传给甲．共有2×2×1种方法,因此一共有3×(1×3×1+2×2×1）=21种方法．变式训练:甲、乙、丙、丁四位同学各自从家里拿来了互不相同的一本课外书，他们把四本不同的书籍放在一起，然后从中取一本别的同学的书进行交换看,则不同的取法共有( ） A． 6种 B． 9种 C． 11种 D． 23种答案:B解:第一步：四个人中的任意一人（例如甲）先取一本，则由题意知共有 3 种取法；第二步:由第一人取走的书的供书人取，也有3种取法；第三步：由剩余的两人中的任一人取，只有一种取法；第四步：最后一人取，只有一种取法．由分步乘法计数原理，共有3×3×1×1=9(种)．故选B．二、排列组合问题的综合应用1．精要总结排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关．排列问题常见方法要熟悉，相邻用捆绑法、不相邻用插空法、特殊元素（位置）优先处理等，还常通过试验、画简图等手段使问题形象化,从而易于寻求解题途径．由于结果的正确性难以直接检验．因而常需要用不同的方法求解来获得检验．组合问题解决的基本方法是按元素的性质进行分类、按事件发生的过程分步，要注意题设中“至少”“至多”等限制词的意义，注意正难则反的思想的应用．处理排列与组合的综合性问题应遵循的三大原则:先特殊后一般的原则、先选后排的原则、先分类后分步的原则．按元素的性质“分类"和按事件发生的连续过程“分步”始终是处理排列、组合问题的基本原理，要通过解题训练积累分类和分步的基本技能,还要牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质，能熟练的进行运算．2．错例辨析例2 从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有（ )A．140种 B．80种 C．70种 D．35种答案:C错解：至少要甲型和乙型电视机各一台，可这样取：甲型1台、乙型1台,从剩余部分再任意取一台；故不同的取法有111547140C C C=台．选A．错因分析：甲型1台、乙型1台，剩余的随便取一台会出现重复，因此，我们需要详细将其中的情况分类,或者利用排除法解决．正解：方法一：利用排除法，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有33394570C C C--=种．选C方法二：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台;甲型2台乙型1台;故不同的取法有2112545470C C C C+=台．选C变式训练：在去年清华大学自主招生过程中，我市有4名学生通过了考核，其中只有3个专业可供这4名同学选择,每个专业至少要有一名同学填报,且甲、乙不能选择同一专业，则不同的填报方案种数为__________种．答案:30解：先将4人分成三组，一组2人，其它两组各1人且甲、乙不在同一组，共有分组方法241C -，3组同学分别填报3个专业共有填法33A ．根据分步计数原理可知,不同的填报方案种数为2343(1)30C A -=种．例3 某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 （ ）A ． 4种B ． 10种C ． 18种D ． 120种错解:赠送4人可以是2本画册2本集邮册，可有 224324C C A =72种赠法；还可以是1本画册3本集邮册，赠法有314324C C A =48， 所以赠法一共有72+48=120种，故选D ． 错解:由于相同的画册和相同的集邮册是无区分的，故只需分组不需再排序．正解：赠送4人可以是2本画册2本集邮册,由于画册与集邮册都是相同的，可有246C =种赠法；还可以是1本画册3本集邮册,赠法有144C =， 所以赠法一共有6+4=10种，故选B ． 变式训练：亚运会期间，某班有四名学生参加了志愿者工作．将这四名学生分到A 、B 、C 三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人．若甲要求不到A 馆，则不同的分配方案有( )A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种答案：C解:甲有两种选择，剩下的3个人可以每个展馆都分一人,也可以在其他两个展馆中一个展馆分两人,一个展馆分一人，所以不同的分配方案有13212332()C A C C +=24种,故选C 三、二项展开式通项公式以及系数性质的应用．1． 精要总结（1）运用二项式定理一定要牢记通项1r n r r r n T C a b -+= （其中n ，r =0,1,2,,n ）．注意（a+b ）n 与（b+a ）n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，因此一定要注意二项式中两项的顺序问题．另外二项展开式的二项式系数与该项的（字母）的系数是两个不同概念，前者只指r n C 而后者是指除字母外的常数部分．（2)求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r ，再求1r T +．有时还需先根据已知条件求n 后,再确定r ，才能求出1r T +．（3）有些三项展开问题可以通过变形变成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏．两个二项式乘积问题的解决也是类似,可以将其中一个比较简单的展开，逐项分析；也可以通过两个式子的通项乘积建立新的通项公式，然后在进行分析．（4)求二项式所有项的系数和，可采用特殊值代入法，通常将字母变量赋值为l,-1或0；（5)用二项式定理证明整除问题,一般将被除式构造为关于除式的二项式的形式,再展开，常采用“配凑法"、“消去法”配合整除的有关知识解决．2． 错例辨析例4 如果在（x +421x ）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项．错解：前三项的系数为012,,n n n C C C 成等差数列，故可知2n=1+(1)2n n -, 整理可得n 2-5n+2=0．显然，不存在这样的n ，故本题无解．错因分析：对于二项式系数的定义与系数的定义理解不透彻，系数是指每项中除了字母之外的所有的常数．正解：展开式中前三项的系数分别为1，2n ,8)1(-n n ， 由题意得2×2n =1+8)1(-n n ，得n =8． 设第r +1项为有理项，T 1+r =C r 82r -x 4316r-，则r 是4的倍数，所以r =0,4，8．有理项为T 1=x 4，T 5=835x ,T 9=22561x． 变式训练:102)1(x -的展开式中2x 的系数是 ，如果展开式中第r 4项和第2+r 项的二项式系数相等，则r 等于答案：9，2解：因为2101020211010)(1)r r r r r r T C x C x ---+==-（-，令2022r -=,即9r =所以2x 的系数为910(1)10C -=-； 又因为4111010r r C C -+=，所以411r r -=+或41110r r -++=, 所以23r =（舍去）或2r =。