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量子化学计算方法 (2)优秀课件

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《量子化学》教学课件 苏州大学第二章 量子力学基础

《量子化学》教学课件 苏州大学第二章 量子力学基础
《量子化学》
第二章 量子力学基础
量子化学
第二章
Chapter 2 Foundation of Quantum Mechanics
樊建芬
1
量子化学
2.1 量子理论基础─波粒二象性
2.2 状态与波函数 2.3 算符及其性质 2.4 力学量的算符表示和对易关系 2.5 厄米算符的本征值和本征函数的性质 2.6 态的叠加原理 2.7 力学量的平均值和差方平均值 2.8 不同力学量同时有确定值的条件 2.9 测不准原理 2.10 薛定谔（Schrödinger）方程
具有统计性的几率波，它决定着粒子在空间某处出现
的几率，但出现时必是一个粒子的整体，而且集中在
区域内，表现为一个微粒。这就是微观粒子波动性和
粒子性的统一。 ⑤实物粒子具有波动性最早只是一个假设, 但后来 的电子衍射和电子反射实验证实了这一假设。
12
量子化学
第二章
例1：具有200 eV动能的电子的德布罗意波的波长为：
A
注：①算符作用的函数变更了； ②是在积分下成立的等式，这是比被积函数 相等要弱的条件。
A *
30
量子化学
例1：
第二章
是厄米算符。
证明：设有合格波函数Ψ1，Ψ2， 有相同的定义域（- ，）。 根据波函数的性质，可知 1（）＝ 1（－）＝０ ２（）＝ ２（－）＝０
31
量子化学

[F ,G H ] G [F , H ] [F ,G ] H
44
量子化学
基本算符: 坐标算符
它们间的对易关系： 动量算符
第二章
常数 任意算符
据此，可以推出复杂算符 间的对易关系。
45
量子化学

量子化学和计算化学简介PPT课件

量子化学和计算化学简介PPT课件
Ψ=Φ, 只有一个 Slater 行列式
未考虑电子相关 !
• Post Hartree – Fock 计算
CI, PT, CC
CI 及各种近似
Full CI
0 ca i ia ca ij biaj b ca ij b kiacjb k c
i,a
i,j
i,j,k
a,b
a,b,c
Dim
c
1
求解Schrödinger 方程, 必需:
1. 做近似 2. 有适当的计算工具 3. 有计算程序
主要近似
1. 非相对论近似 2. Born-Oppenheimer 近似 3. Hartree-Fock 近似
独立粒子模型, “轨道”
4. 代数近似 (LCAO) ············
模型 Hamiltonian
- McGraw-Hill Encyclopedia of Chemistry, 1993
理论化学
量子化学 + 统计热力学
1927年, Heitler-London 发表 一篇处理H2分子的论文： W. Heitler and F. London,
Z. Physik, 44, 455 (1927)
从Hubbard model, 排除双占据, 得到
H ti kE ik Ji k 2 S iS k1 2n in k
Heisenberg Model
在 t-J 模型中,令第一项为零, ni=nj=1,
HJi k2SiSk 12
对Ψ(波函数)的近似
对于 ab initio 计算
• Hartree – Fock 计算
理论化学 和
计算化学
什么是理论化学 ?
1893 Nernst 以 “理论化学”

量子化学计算

量子化学计算

量子化学计算
量子化学计算是一种利用量子力学理论来模拟分子的一种计算方法，它能够精确地模拟分子结构，反应能量和其他量子物性，从而为分子活动研究和设计新化合物提供基础支持。

量子化学计算帮助科学家们模拟和研究分子的理论结构，帮助我们更深入地理解分子，从而更加积极地研究它的结构和机械行为。

量子化学计算的核心思想是将分子的能量、结构和行为表达为一些复杂的数学式，利用计算机的计算能力和数学方法的协调求解，可以计算得到分子的电态以及其各种状态下的光谱性质等密切相关的物性，因此可以帮助科学家们更好地理解分子和化合物，为它们的活动提供科学依据。

量子化学计算可以在分子水平上很好地模拟生物和化学反应，可以使得实验反映出的机制得以理论的解释，从而为化学反应的设计和实验提供一定的依据，它在分子计算设计中也有重要作用，使我们能够有效地进行分子优化设计。

量子化学计算在生物和医学领域也有重要的应用，可以帮助科学家们进行生物物质设计，以及药物优化设计，有助于提高药物活性，更有效地找到可能的药物靶标，为药物研究提供依据，同时帮助我们寻找更有效、更安全的药物和药物配方。

总的来说，量子化学计算是一项能够帮助科学家们分析和预测分子行为的重要技术，在结构设计和药物研制方面发挥了重要作用，可能为科学家们的研究工作提供重要的支持。

量子化学群论基础PPT培训课件

量子化学群论基础PPT培训课件

分子的振动与群论
总结词
群论在分子的振动分析中也有重要应用，通过群论可以描述分子的振动模式和频率，进而研究分子的 热力学和反应动力学性质。
详细描述
分子的振动是指分子内部运动模式的总称，包括伸缩振动、弯曲振动、摇摆振动等。群论可以描述分 子的振动模式和频率，将分子振动分类，进而研究分子的热力学和反应动力学性质。此外，群论还可 以用于研究分子的振动光谱和红外光谱等实验现象。
到表示的不可约性。
无限群的表示
03
无限群的表示可以通过函数来表示，通过傅里叶变换可以得到
函数的展开式和表示的不可约性。
03
量子化学中的群论应用
分子对称性与群论
总结词
分子对称性是群论在量子化学中应用的重要领域之一，通过群论可以描述分子的对称性质和对称操作，进而研究 分子的结构和性质。
详细描述
分子对称性是指分子在空间中的对称性质，包括对称面、对称轴、对称中心等。群论是研究对称性的数学工具， 通过群论可以描述分子的对称操作和对称元素，将分子对称性分类，进而研究分子的电子结构和化学键等性质。
分子光谱的解析
分子光谱的解析是群论在量子化学中应用的一个重要方面，通 过群论可以确定分子光谱的能级和光谱项，从而解析出分子的
结构和性质。
群表示理论
群表示的定义
01
群表示是将群元素与线性空间中的向量对应起来的一种方法，
通过群的表示可以研究群的性质和结构。
有限群的表示
02
有限群的表示可以通过矩阵来表示，通过计算矩阵的迹可以得
量子化学群论基础ppt培训课件
目录
• 量子化学简介 • 群论基础 • 量子化学中的群论应用 • 分子光谱与群论 • 量子化学中的群论计算方法 • 总结与展望

《量子化学》PPT课件

《量子化学》PPT课件

Cn 群：只有一条n次旋转轴Cn .
R2 R2
R2
R1
R1
R1
R2
R1
C 群 ppt课件2
14
C3群
C3通过分子中pp心t课件且垂直于荧光屏
15
Cnh群 :
除有一条n次旋转轴Cn外，还有与之垂直的一个镜面σh .
C2h群: 反式二氯乙烯
C2h群: N2F2
C2垂直于荧光屏, σh 在荧光屏上
ppt课件
16
C3h 群
R
R
C3垂直于荧光屏,
σh
在荧光屏上 ppt课件
R
17
Cnv群：
除有一条n次旋转轴Cn外，还有与之相包含的n个镜面σv
C2v群：臭氧
C2v 群：菲
C2与两个σv 的取向参见H2O分子
ppt课件
19
C3v ：NF3
ppt课件
C3v ：CHCl3
（1）旋转轴与旋转操作
分子中若存在一条轴线，绕此轴旋转一定角度能使 分子复原，就称此轴为旋转轴, 符号为Cn . 旋转可以实际 进行，为真操作；相应地，旋转轴也称为真轴.
H2O2中的C2
(旋转轴上的椭圆形为C2的图形符号。类似地，正三角 形、正方p形pt课、件正六边形分别是C3、C4和C6的图形符号3）
Y
X
从正四面体的每个顶点到对
ppt课件
面的正三角形中点有一条C3 穿过, 所以共有4条C3,可作出 8个C3对称操作。
32
Td 群:
沿着每一条C3去看, 看到的是这样:
沿着每一条C2去看,
ppt课件
27
D3d : 乙烷交错型
ppt课件
D4d ：单质硫

量子化学计算方法 HF, MP2, DFTppt课件

量子化学计算方法 HF, MP2, DFTppt课件
{cni}，从而属于本征能量i的分子轨1道2就得到了。
求解Roothaan方程的困难
困难： 1. 非线性二次方程组，要用自洽的方法求 解 2. 计算矩阵元时要计算大量的积分，积分 的数量与方程阶数n的4次方成正比；尤其 是这些积分一般都是较难处理的多中心积 分。
13
从头计算与SCF方法
14
Hartree-Fock的一些基本性质
等效的单电子的Schrödinger方程 Hartree-Fock方程的解不是唯一的 Hartree-Fock方程的解构成正交归一的完
全函数集合；占据轨道和非占据轨道是两 个正交的子空间 Hartree-Fock方程有电子的Fermi相关，没 有考虑电子的Coulomb相关。
15
组态相互作用（CI）法处理电 子相关问题（post-SCF method)
)
(r1)dr1
动能积分 核吸引积分
10
Fock矩阵
|
*
(r1 )
(r1)
2 r12
* (r2 )
(r2 )dr1dr2
|
*
(r1 )
(r1)
2 r12
* (r2 )
(r2 )dr1dr2
库仑积分 交换积分
P是密度矩阵，定义为：
oc c upie d
P 2
c*i ci
i 1
5
分子轨道
Hartree Product是不充分的波函数. 分子轨道波函 数正交归一.
r 1r12 r2 n rn
考虑自旋相关(以闭壳层为例)
1, 0
11rr21
1 2
22rr21
1 2
n r1 1 n2r2 2
n r1 1 n2r2 2

精品-优秀PPT课件--[][1418268]量子化学计算方法共48页文档

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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
精品-优秀PPT课件--[][1418268]量子 化学计算方法
41、俯仰终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时 当勉励 ，岁月 不

量子化学计算方法 (2)PPT课件

量子化学计算方法 (2)PPT课件

量子化学计算方法
量子力学奠基人之一的 Dirac 在 1929说:
"The fundamental laws necessary for the mathematical treatment of large parts of physics and the whole of chemistry are thus fully known, and the difficulty lies only in the fact that application of these laws leads to equations that are too complex to be solved"
20世纪20年代，薛定谔、海森伯、狄拉克等创立了量子 力学体系，在科学界引起了一场强烈的震动，引发了物理学 的一次次革命。
*
1s
1s
H
H2
H
量子化学计算方法
1927年Heitler和London首先用量子力学的方法讨 论了氢分子的问题，标志着量子化学计算的开始。
海特勒
• 讨论氢分子结构问题，说明了两个 氢原子能够结合成一个稳定的氢分 子的原因；
量子化学计算方法
德国物理化 学 家 。 1896 年生于柏林 。主要从事 结构化学和 电化学方面 的研究。
1931年提出了休克尔分子轨道法，主要用于π电子体系。他在30年代 还对芳香烃的电子特性在理论上作出了解释，并总结出：环状共轭多 烯化合物中π电子数符合4n+2（n为1，2或3）者，具有芳香性（如： 苯）。
量子化学计算方法
分子轨道理论是在1928年由马利肯（Mulliken）等首 先提出，假设分子轨道由原子轨道线性组合而成，允许电 子离域在整个分子中运动，而不是特定的键上。这些离域 轨道被电子对占据，从低能级到高能级逐次排列。 1931年 休克尔提出的简单分子轨道理论，对早期处理共轭分子体 系起重要作用。

《量子化学计算方法》课件

《量子化学计算方法》课件

密度。
电子态的计算
03
根据总能量和电子密度，计算分子的电子态和轨道波函数等信
息。
分子光谱的计算
跃迁能级的计算
利用电子态的信息，计算分子中电子的跃迁能级。
光谱强度的计算
根据跃迁能级和波函数等信息，计算光谱强度，以模拟分子的光谱 实验结果。
光谱模拟与实验结果的对比
将计算得到的光谱强度与实验结果进行对比，评估量子化学计算方 法的准确性和可靠性。
缺点
计算量大，需要高性能计算机资源； 对于大规模体系的计算存在精度损失 和收敛困难等问题；需要结合实验数 据进行验证和修正。
02
量子化学计算方法的基本原理
量子力学基础
量子力学是描述微观粒子运动规律的物理学分 支。
它与经典力学的主要区别在于，量子力学中粒 子的状态是由波函数来描述的，而波函数满足 特定的数学方程（如薛定谔方程）。
《量子化学计算方法》ppt课件
目录
• 量子化学计算方法简介 • 量子化学计算方法的基本原理 • 量子化学计算方法的实现步骤 • 量子化学计算方法的应用 • 量子化学计算方法的挑战与展望
01
量子化学计算方法简介
量子化学计算方法的定义与重要性
定义
量子化学计算方法是一种基于量子力学原理的计算化学手段，用于研究分子和 材料的电子结构和性质。
密度泛函理论
一种基于电子密度而非波函数 的计算方法，能够更准确地描 述电子相关效应和强关联体系 。
路径积分分子动力学
一种将量子力学和分子动力学 结合的方法，用于模拟分子的
动态行为和反应过程。
量子化学计算方法的优缺点
优点
能够准确描述分子和材料的电子结构 和性质；可用于研究复杂体系的化学 反应和动态过程；有助于理解实验现 象和预测新材料的性质。

《量子化学》PPT课件

《量子化学》PPT课件
旋转反映
(没有Sn的)分子 反映
镜象
分子 旋转
橙色虚线框表明，分子与其镜象不能够通过实操作(旋转
)而完全迭合，原因来自“分子不具有Sn”这一前提(从而也没
有σ、没有i、没有S4 ) .
ppt课件
52
左手与右手互为镜象. 你能用一种实际操作把左 手变成右手吗？
对于手做不到的, 对 于许多分子也做不到. 这 种分子就是手性分子.
分子中心是S4的图形符号
ppt课件
10
对称操作与对称元素
旋转是真操作, 其它对称操作为虚操作.
ppt课件
11
两个或多个对称 操作的结果，等效于 某个对称操作.
ppt课件
例如,先作二重旋转，再对垂 直于该轴的镜面作反映，等于 对轴与镜面的交点作反演.
12
4.1.2 分子点群
分子中全部对称操作的集合构成分子点群(point groups ). 分子点群可以归为四类:
Y
X
从正四面体的每个顶点到对
ppt课件
面的正三角形中点有一条C3 穿过, 所以共有4条C3,可作出 8个C3对称操作。
32
Td 群:
沿着每一条C3去看, 看到的是这样:
沿着每一条C2去看,
金刚烷 (隐氢图)
看到的是这样:
ppt课件
33
Td 群
Li CH3
(LiCH3)4
隐氢图
ppt课件
34
Td 群
（2）镜面与反映操作
分子中若存在一个平面， 将分子两半部互相反映而能 使分子复原，则该平面就是 镜面σ，这种操作就是反映.
ppt课件
请单击按钮观看动画 4
试找出分子中的镜面
ppt课件

第四章量子化学计算方式

第四章量子化学计算方式

量子化学计算方法
1.3 量子化学研究领域的标志性奖励 • Mulliken因“分子轨道理论”获1966年Nobel化学奖 ；
量子化学计算方法
福井谦一因“前线轨道理论”与Hoffman因“分子轨道对 称守恒原理”共同获得1981年年Nobel化学奖
量子化学计算方法
Pople因“从头计算方法”与Kohn因“密度泛函理论” 共同分享了1998年Nobel化学奖。
20世纪20年代，薛定谔、海森伯、狄拉克等创立了量子 力学体系，在科学界引起了一场强烈的震动，引发了物理学 的一次次革命。
*
1s
1s

H
H2
H
量子化学计算方法
1927年Heitler和London首先用量子力学的方法讨 论了氢分子的问题，标志着量子化学计算的开始。
海特勒
• 讨论氢分子结构问题，说明了两个 氢原子能够结合成一个稳定的氢分 子的原因；
量子化学计算方法
因 处 理 实 际 分 子 在 数 学 上 的 困 难 。 Dirac 本人对量子力学在化学上的应用前景是悲观的。
• 1952年H. Schull等三人用手摇计算机花两
年才完成一个N2分子的从头算。
• 有人断言：用尽世界上的纸张恐亦无法完成
一个Fe原子的计算
50年代末，大型计算机的浮点运算速度为 0.01Mflops( 每 秒 百 万 个 浮 点 操 作 ) ， 仅 及 PIII 的 1/5000 ！
量子化学计算方法
量子力学奠基人之一的 Dirac 在 1929说:
"The fundamental laws necessary for the mathematical treatment of large parts of physics and the whole of chemistry are thus fully known, and the difficulty lies only in the fact that application of these laws leads to equations that are too complex to be solved"

量子化学PPT课件

量子化学PPT课件
(一）从经典力学到旧量子论
牛顿力学
经典物理学
麦克斯威尔 电磁理论
自然界的一切现象是否全部可以凭借经 典物理学来理解？
第1页/共18页
光 电磁波
第2页/共18页
晴朗的天边漂浮 的两朵乌云
电磁波(光波)的两个现象不能解释
经验规律不能无原则推广——物质的分割
1. 微观粒子能否用经典力学来描述？（Y/N) 2. 如果第一个答案是否定的，那么新的力 学体系又是什么呢？
第8页/共18页
2.光电效应和光子学说
石英 金属
第9页/共18页
勒纳德（P，Lennard，1905年诺贝尔物理奖）发现 光电效应： 1. 只有当光的频率高于某一定值时，才能从金属表面 打出电子，这一定值叫临阈频率，它只与金属种类有 关。从表面逸出的光电子的动能和辐射频率有关，而 和光强无关。电子动能随着光频率的增加而增加。
玻尔量子化条件 （2）当原子在能级E1,E2之间跃迁时,以发射或吸收特定频率u光子的形式与电辐 射场交换能量.光子的频率满足下式:
=| E2 - E1| / h 玻尔频率条件
第16页/共18页
普朗克
爱因斯坦 德拜
布康拉普格顿
洛仑兹
居里夫人
郎之万
泡利
狄拉克
海森伯 德波布恩罗依
玻尔
本世纪初最杰出的一批科学家的合影
第17页/共18页
谢谢您的观看！
第18页/共18页
瑞利（Rauleigh）公式
E( ,T ) 8 2 kT
c3
紫外灾难
第7页/共18页
1900年普朗克（Planck)假设
1.黑体是由许多振子组成的;
E nh n = 0,1,2,…
2.每个谐振子具有能量一定是某一最小能量单位的整数倍。
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分子轨道理论计算较简便，又得到光电子能谱实验的 支持，使它在化学键理论中占主导地位。
分子轨道理论主要由Slater, Hund, Huckel, Mulliken 等 人建立。
量子化学计算方法
Huckel 提出在MO方法 中引入某些近似,使计算 大大简化,即现称的 HMO法。这种方法使被 处 理 体 系 由 H2 扩 大 至 有 机共轭分子.
量子化学计算方法 (2)优秀课件
本章主要内容
➢一、量子化学计算发展史 ➢二、基本原理和半经验方法 ➢三、密度泛函方法 ➢四、量子化学计算方法的应用
量子化学化学的研究内容 应用量子力学原理研究化学问题的
科学。通过求解波动方程，得到原子 及分子中电子运动、核运动以及它们 的相互作用的微观图象，用以阐明各 种谱学现象与规律（光谱、波谱、电 子能谱等）、总结基元反应的机理、 预测分子的稳定性和反应性规律。
• 并且利用相当近似的计算方法，算 出其结合能。
量子化学计算方法
1927年Heitler和London用变分法求解了氢分子 的波函数
E
R0/ a0 解离能 / eV
计算值 1.518
3.14
实验值 1.401
4.48
1.518 实验值
RAB/a0
首次在形式理论的水平上 解释了化学键本质，使人们 认识到可以用量子力学原理 讨论分子结构问题，开创了 量子化学分支学科
量子化学计算方法
量子化学作为一门分支学科，包括理论和计 算方法的研究、对化学现象的剖析等。
量子化学
理论 方法
计算 方法
化学 应用
固体和分子结构， 结构与性能关系反 应机理，光谱化学 现象……
数学 物理
计算 材料 无机 有机 物 数学 化 生化 药物 ……
量子化学计算方法
1.2 量子化学计算发展史
价键理论是由鲍林在海特勒和伦敦的氢分子结构工作基础 上发展起来的现代化学键理论。其核心思想是电子两两配对形 成定域的化学键，每个分子体系可构成几种价键结构，电子可 在它们之间共振。该流派的代表人物是Pauling，其著作《化学 键的本质》阐述了价键理论的基本思想。
量子化学计算方法
量子化学计算方法
量子化学计算方法
因 处 理 实 际 分 子 在 数 学 上 的 困 难 。 Dirac 本人对量子力学在化学上的应用前景是悲观的。
• 1952年H. Schull等三人用手摇计算机花两
年才完成一个N2分子的从头算。
• 有人断言：用尽世界上的纸张恐亦无法完成
一个Fe原子的计算
50年代末，大型计算机的浮点运算速度为 0.01Mflops( 每 秒 百 万 个 浮 点 操 作 ) ， 仅 及 PIII 的 1/5000 ！
量子化学计算方法
量子化学从二十世纪30年代初的理论奠基 到90年代末在计算技术与应用上的成熟，经历 了漫长的将近七十年
这是几代杰出理论化学家不懈努力的结果， 并得益与计算机和计算技术的巨大进步。
量子化学计算方法
量子化学的发展历史可分两个阶段：
第一个阶段是1927年到20世纪50年代，为创建时期。其 主要标志是在分子间相互作用的量子化学研究中价键理论 （VB）、分子轨道理论（MO）、配位场理论三种化学键理论 的建立和发展。
20世纪20年代，薛定谔、海森伯、狄拉克等创立了量子 力学体系，在科学界引起了一场强烈的震动，引发了物理学 的一次次革命。
*
1s
1s
H
H2
H
量子化学计算方法
1927年Heitler和London首先用量子力学的方法讨 论了氢分子的问题，标志着量子化学计算的开始。
海特勒
• 讨论氢分子结构问题，说明了两个 氢原子能够结合成一个稳定的氢分 子的原因；
量子化学计算方法
分子轨道理论是在1928年由马利肯（Mulliken）等首 先提出，假设分子轨道由原子轨道线性组合而成，允许电 子离域在整个分子中运动，而不是特定的键上。这些离域 轨道被电子对占据，从低能级到高能级逐次排列。 1931年 休克尔提出的简单分子轨道理论，对早期处理共轭分子体 系起重要作用。
量子化学计算方法
德国物理化 学 家 。 1896 年生于柏林 。主要从事 结构化学和 电化学方面 的研究。
1931年提出了休克尔分子轨道法，主要用于π电子体系。他在30年代 还对芳香烃的电子特性在理论上作出了解释，并总结出：环状共轭多 烯化合物中π电子数符合4n+2（n为1，2或3）者，具有芳香性（如： 苯）。
配位场理论由贝特等 在1929年提出，最先 用于讨论过渡金属离 子在晶体场中的能级 分裂，后来又与分子 轨道理论结合，发展 成为现代的配位场理 论。
量子化学计算方法
贝特
量子化学计算方法
量子化学计算方法
30年代后期二战爆发,量子化学计算的发展停顿下 来。
价键理论的图象与经典原子价理论接近，为化学家 所普遍接受，一开始就得到迅速发展,但由于计算上的 困难曾一度停滞不前.
鲍林(Linus Pauling)，美国化学家。1901年生 于美国。在科学研究方面主要从事分子结构的研究 ，特别是在化学键的类型及其与物质性质的关系。 他提出的元素电负性标度、原子轨道杂化理论等概 念，为每个化学工作者所熟悉。特别是鲍林所著的 《化学键的本质》更是化学结构理论方面的经典著 作。由于鲍林在化学键的研究以及用化学键的理论 阐明复杂的物质结构，而获得了1954年的诺贝尔化 学奖。此外，鲍林在生物化学和医学方面，也有很 深的造诣，并且取得了重要成果。
量子化学计算方法
量子力学奠基人之一的 Dirac 在 1929说:
"The fundamental laws necessary for the mathematical treatment of large parts of physics and the whole of chemistry are thus fully known, and the difficulty lies only in the fact that application of these laws leads to equations that are too complex to be solved"