27.2.3相似三角形的周长与面积
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27.2.3相似三角形的周长与面积
（一）基本内容：
1. 相似三角形的性质：
（1）对应角相等，对应边的比相等.
（2）周长比等于相似比.
（3）面积比等于相似比的平方.
2. 相似多边形的性质：
（1）对应角相等，对应边的比相等.
（2）周长比等于相似比.
（3）面积比等于相似比的平方.
（二）例题分析：
例 1. （易）已知：如图，△ABC ∽△A1B1C1，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm，且AB＝15 cm，B1C1＝24 cm，求BC、AC、A1B1、A1C1.
解析：根据相似三角形周长的比等于相似比可以解决.
解：∵△ABC ∽△A1B1C1，
∴111CBAABC1111CCCBBCBAAB.
又∵AB＝15 cm，B1C1＝24 cm，
C△ABC=60 cm，C△A1B1C1=72 cm，
∴726024BCBA1511.
∴A1B1＝18 cm，BC＝20cm.
∴AC=60-15-20=25 cm，A1C1=72-18-24=30 cm.
总结：相似三角形周长的比等于相似比，实际上一般都转化成相似三角形周长的比等于对应边的比来计算，另外要注意有些边长可以直接利用三边和等于周长来解决.
例 2 . （中）有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.
解析：要理解实际地块与两个图都是相似图形，利用比例尺求出相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出面积比.
解：设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.
∴ △ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2，
且200111ABBA，500122ABBA.
∴252005002211BABA .
∴425)25(2222111CBACBASS.
答：甲地图与乙地图的相似比为25，面积比为425. A
B C B1 C1 A1 总结：（1）要清楚比例尺=图距：实距，是指对应线段长度之间的比，不等于面积比；（2）相似的传递性可以直接应用；（3）相似三角形面积比等于相似比的平方在具体应用时一般都转化为相似三角形面积比等于对应边比的平方.
例3．（难）如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm,高AD ＝80mm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解析：把所需正方形按题中所述要求画出，发现利用相似三角形对应高的比等于相似比能较快地解决问题.
解：设正方形PQMN为加工成的正方形零件. 边QM在BC上，顶点P、N分别在AB、AC上. △ABC的高AD与边PN相交于点E. 设正方形的边长为x毫米.
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN∥BC.
∴△APN∽△ABC，△APE∽△ABD.
∴BCPNABAP,ADAEABAP
∴BCPNADAE.
∴1208080xx.
解得：48x（毫米）.
答：加工成的正方形零件的边长为48毫米.
思考：若把例3中的三角形余料，加工成矩形，且PN=2PQ时，PN是多少？
提示：设PQ=x，则PN=2x.
由BCPNADAE可得12028080xx
解得：7480x
∴PN=7480（毫米）
（三）思考与提高：
（难）如右上示意图，小华家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路计为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）． ELMNPDCBAQ A
B C D
