《数学分析1》课程教学大纲
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《数学分析1》课程教学大纲
课程名称 数学分析1
课程编码 131500001 课程类型 学科基础课程库
适用范围 院级课程
学分数 4 先修课程 初等数学
学时数 64 其中实验学时
其中实践学时 考核方式 考试
制定单位 数学与信息科学学院
执笔者 审核者
一、教学大纲说明
（一）课程的性质、地位、作用和任务
《数学分析》是综合性大学数学类各专业一门重要的专业基础课程，是从初等数学到高等数学过渡的桥梁。本课程所占学分多，跨度大（计划共四个学期），是一门内容丰富而整体性强、思想深刻而方法基本的课程。本课程以经典微积分为主体内容，其中，极限的思想贯穿全课程，它不仅为许多后继课程提供必要的基础知识和基本技能的训练，而且对全面培养学生的现代数学素质以及运用数学思想和方法解决问题的能力起着十分重要的作用。
本课程的任务是使学生系统地掌握极限理论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分学等方面的知识，使学生获得数学思想，使学生获得数学的逻辑性、严密性方面的严格训练，使学生掌握近代数学的方法、技巧，使学生获得初步应用的能力,为后续课程的学习乃至毕业后能胜任相应的实际工作奠定坚实的基础。
（二）教学目的和要求
本课程教学目的是通过系统的学习和严格的训练，使学生全面掌握数学分析的基本理论知识，初步掌握现代数学的观点与方法，使学生具备灵活、快捷的运算能力与技巧，培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力，简洁、清晰运用数学符号和语言的表达能力，提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。
在教学基本要求上分为三个档次，即了解、理解和掌握。
1、掌握——能联系几何与物理的直观背景，从正反两方面理解基本概念；熟练运用基本理论进行推理论证和分析问题；熟练运用基本方法、灵活运用基本技巧进行运算和解决应用问题。包括实数与函数、各类极限、连续、（偏）导数、（全）微分、各类正常积分、数项级数和幂级数有关概念、性质、计算及应用。
2、理解——能从正面理解基本概念；能应用和了解如何证明基本理论；能掌握基本方法解决问题，但不要求很熟练和技巧性。包括泰勒公式、函数图像的讨论、实数完备性基本定理、一般有理函数的不定积分及万能变换、非正常积分、欧拉变換、隐函数定理的证明、函数项级数的一致收敛性、各类敛散问题中的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法、傅里叶级数、斯托克斯公式。
3、了解——要求能应用基本理论，不要求掌握证明方法；对基本方法一般要求会做，不要求灵活技巧。包括各类近似计算问题、上、下极限问题、可积性理论及积分在物理中的应用、数项级数的拉贝判别法，傅里叶级数的收敛定理的证明、n重积分与反常二重积分、复变量的指数函数与欧拉公式、场论初步，流形上的微积分。
（三）课程教学方法与手段
本课程的教学以课堂教学为主，辅以习题练习与自学。基本内容由老师讲授，通过习题课巩固，其余部分〔主要是*号部分〕由学生自学提高。由于本课程具有强烈的几何背景，结合培养目标，教学过程可恰当地使用现代教育技术手段，把传统的板书与现代化手段相结合，重要的定理、图表、图像制成多媒体，利用黑板进行问题分析与推理。另外由于本课程与数学应用联系密切，课程的教学中可适当介绍数学实验以及数学建模的基础内容，提高学生应用数学建模方法来解决各种实际问题的能力。
（四）课程与其它课程的联系
《数学分析》是综合性大学数学类各专业一门重要的专业基础课，是从初等数学到高等数学过渡的桥梁。因此要学习本课程，需先修初等数学，而本课程的多元微积分部分需运用空间平面、直线等有关知识，故需先修空间解析几何知识。而后继课程包括：常微分方程、复变函数、实变函数、泛函分析、点集拓扑、概率论与数理统计、物理学及其他应用数学相关课程。
（五）教材与教学参考书
教材：华东师范大学数学系，《数学分析》(第四版)(上、下册)，高等教育出版社，2010年
教学参考书：1、邓东皋、尹小玲，《数学分析简明教程（第2版）》（上、下册），高等教育出版社，2010年
2、陈纪修，《数学分析》（第二版）（上、下册），高等教育出版社，2004年
3、Г．М．菲赫金哥尔茨，《微积分学教程（第1卷）》（第8版）、《微积分学教程（第2卷）》（第8 版）、《微积分学教程（第3卷）》（第8版），高等教育出版社，2006年
4、James Stewart，《微积分》（第5版）（上、下册），高等教育出版社，2004年
5、毛羽辉、韩士安、吴畏，《数学分析学习指导书》（第四版）（上、下册），高等教育出版社，2011年裴礼文，《数学分析中的典型问题与方法》（第2版），高等教育出版社，2006年
二、课程的教学内容、重点和难点
第一章 实数集与函数
教学内容：实数及其性质，确界原理，函数有关概念与基本性质。
重点：三角形不等式，邻域、有界集，确界概念、确界原理，基本初等函数与初等函数，函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性。
难点：上、下确界概念及确界原理。
第二章 数列极限
教学内容：数列极限的概念与性质，数列极限存在的条件。
重点：数列极限的定义与几何意义，收敛、发散数列与无穷小数列，收敛数列性质，单调有界定理，柯西收敛准则，收敛与发散数列的证明，数列极限的求法，重要极限： 。
难点：利用ε-Ν定义和柯西收敛准则证明数列的敛散性，子列的概念。
第三章 函数极限
教学内容：各类型函数极限的概念与性质、函数极限的存在性，两个重要极限，无穷小量及阶的比较，无穷大量，曲线的渐近线。
重点：二十八种函数极限（含数列极限及无穷大）的定义，归结原则及柯西准则，两个重要极限及函数极限的求法，等价无穷小与高阶无穷小。
难点：利用定义或柯西准则证明函数极限的存在性，归结原则的运用。
第四章 函数的连续性
教学内容：函数的连续与间断的定义，函数间断点的分类，连续函数的局部性质与闭区间上连续函数的基本性质，初等函数的连续性。
重点：函数在一点连续与左、右连续概念，间断点及分类，函数在区间上一致连续的概念，闭区间上连续函数的介值性定理，初等函数的连续性及在求极限中应用。
难点：间断点的分类，一致连续性概念与运用。
第五章 导数和微分
教学内容：导数（含高阶导数）的概念，求导法则与公式、各类型函数的求导（含高阶导数）法，函数极值的概念与费马定理，微分与高价微分概念、性质及应用。
重点：导数的概念与几何意义，求导法则、公式及各种求导法，函数极值与费马定理，微分概念与性质，可导、可微与连续的关系。
难点：高阶导数的各种求法，微分的概念。
第六章 微分中值定理及其应用
教学内容：三个微分中值定理，不定式极限。
重点：三个微分中值定理，特别是拉格朗日中值定理及推论1、2，函数单调性的判定，利用中值定理以及导数证明不等式与恆等式，不定式极限求法。
难点：利用中值定理以及导数证明不等式与恆等式。
三、学时分配
教学内容 各教学环节学时分配 采用何种多媒体
教学手段 章节 主要内容 学时
分配 讲授 实验 讨论 习题 实践 其它 一 实数集与函数 8 7 1 部分内容采用PPT
二 数列极限 12 10 2 部分内容采用PPT
三 函数极限 14 12 2 部分内容采用PPT
四 函数的连续性 10 8 2 部分内容采用PPT
五 导数和微分 12 10 2 部分内容采用PPT
六 微分中值定理及其应用 8 7 1 部分内容采用PPT
合计 64 54 10
四、课内实践教学安排
无
