广东省广州大学附属中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试卷(解析版)

广东省广州大学附中2020-2021学年九年级

上学期期中数学试卷（解析版）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．﹣5的倒数是（ ）

A．﹣5 B． C．﹣ D．5

2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

3．点P（﹣3，2）关于原点O的对称点P′的坐标是（ ）

A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3）

4．在下列运算中，计算正确的是（ ）

A．a3•a2＝a6 B．a8÷a2＝a4 C．（a2）3＝a6 D．a2+a2＝a4

5．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ABCD一定是（ ）

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形

6．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）

A．x2+1＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2+2x+3＝0 D．x2+2x﹣3＝0

7．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB＝2，CD＝1，则BE的长是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8 8．关于x的二次函数y＝x2﹣mx+5，当x≥1时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（ ）

A．m＜2 B．m＝2 C．m≤2 D．m≥2

9．如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A'B'C'的位置，若AC＝15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）

A．10πcm B．5πcm C．15πcm D．20πcm

10．如图．已知⊙O的半径为3，OA＝8，点P为⊙O上一动点．以PA为边作等边△PAM，则线段OM的长的最大值为（ ）

A．14 B．9 C．12 D．11

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）.

11．函数y＝自变量的取值范围是 ．

12．小亮测得一圆锥模型的底面半径为5cm，母线长为7cm，那么它的侧面积是 cm2（结果不取近似值）．

13．半径为R的圆内接正三角形的面积是 ．

14．如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为 ．

15．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB'交CD于点E，若AB＝3cm，则线段EB′的长为 ．

16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；④当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+2c＞0．其中正确的结论是 ．

三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（4分）解方程：x2+2x﹣4＝0．

18．（6分）如图，已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．

（1）写出△ABC的顶点A、顶点B的坐标；

（2）求出△ABC的面积；

（3）在图中画出把△ABC先向左平移5个单位，再向上平移2个单位后所得的△A′B′C′．

19．（7分）现有A、B两种商品，已知买一件A商品要比买一件B商品少30元，用160元全部购买A商品的数量与用400元全部购买B商品的数量相同．

（1）求A、B两种商品每件各是多少元？

（2）如果小亮准备购买A、B两种商品共10件，总费用不超过380元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？

20．（7分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，EF过点O且与AD、BC分别相交于点E、F，OE＝OF

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）连接AF，若EF⊥AC，△ABF周长是15，求四边形ABCD的周长．

21．（7分）已知关于x的方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个根x1，x2．

（1）求m的取值范围；

（2）当x12+x1x2＝0时，求m的值．

22．（9分）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．

（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．

（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ （3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）

23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O恰好经过A、C两点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F．

（1）求证：AB是⊙O的切线．

（2）如果CF＝2，CP＝3，求⊙O的直径EC．

24．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为CA上一动点，E为BC延长线上的动点，始终保持CE＝CD，连接BD和AE，再将AE绕A点逆时针旋转90°到AF，再连接DF．

（1）判断四边形ABDF的形状并证明；

（2）当S四边形ABDF＝BD2时，求∠AEC的度数；

（3）连接EF，G为EF中点，BC＝4，当D从C运动到A点的过程中，EF的中点G也随之运动，请求出G点所经过的路径长．

25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3交x轴于点B，交y轴于C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，且与x轴交于另一点A．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点G，设点P的横坐标为m．

①过点P作PE⊥BC于点E，设PE的长度为h，请用含m的式子表示h，并求出当h取得最大值时，点P的坐标．

②在①的条件下，当直线l到直线BC的距离等于PE时，请直接写出符合要求的直线l的解析式．

四、附加题

26．如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝5，AB＝BC＝6，M为AB边上一个动点，连接CM，以BM为直径的圆交CM于Q，点P为AB上的另一个动点，连接DP、PQ，则DP+PQ的最小值为 ．

27．在△ABC中，∠BAC＝120°，D为BC的中点，AE＝6，把AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，若CF＝7，∠ACF＝∠AEC，则AC＝ ．

28．（14分）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与y轴垂直，则称该等腰三角形为点P，Q的“伴随等腰三角形”．

（1）若P，Q为抛物线y＝﹣x2+2x+3上的点，它的“伴随等腰三角形”记为△PQM，且底边PM＝2，点M，Q均在点P的右侧，设点P的横坐标为m．

①若点M在这条抛物线上，求△PQM的面积；

②设P，Q两点的纵坐标分别为了y1，y2，比较y1与y2的大小；

③当△PQM底边上的高等于底边长的2倍时，求点P的坐标；

（2）若P，Q是抛物线y＝﹣x2+2nx+3n上的两点，它的“伴随等腰三角形PQN”以PN为底，且点N，Q均在点P的同侧（左侧或右侧），点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍，过点P，N分别作垂直于x轴的直线l1，l2．设点P的横坐标为n﹣1，该抛物线在直线l1，l2之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐标为y0，直接写出y0与n之间的函数关系式，并写出自变量n的取值范围．

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．﹣5的倒数是（ ）

A．﹣5 B． C．﹣ D．5

【分析】根据倒数的定义即可得出答案．

【解答】解：﹣5的倒数是﹣；

故选：C．

【点评】此题主要考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．

故选：B．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

3．点P（﹣3，2）关于原点O的对称点P′的坐标是（ ）

A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3） 【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．

【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，

∴P（﹣3，2）关于原点过对称的点的坐标是（3，﹣2）．

故选：A．

【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，比较简单．

4．在下列运算中，计算正确的是（ ）

A．a3•a2＝a6 B．a8÷a2＝a4 C．（a2）3＝a6 D．a2+a2＝a4

【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、应为a3•a2＝a3+2＝a5，故本选项错误；

B、应为a8÷a2＝a8﹣2＝a6，故本选项错误；

C、（a2）3＝a2×3＝a6，正确；

D、应为a2+a2＝2a2，故本选项错误．

故选：C．

【点评】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．

5．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ABCD一定是（ ）

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形

【分析】根据圆的直径相等，且圆心为直径的中点，得到圆心到A、B、C及D四点的距离相等，根据对角线互相平分且对角线相等，得到四边形ACBD为矩形．

【解答】解：连接AC、BC、BD、AD，

∵AB、CD为圆O的直径，

∴OA＝OB＝OC＝OD，

∴四边形ACBD为矩形．

故选：A．