人教课标版高中数学必修3《算法案例---辗转相除法》名师课件2

•1. 3算法案例第1课时 極特相除法与更相濒损术

* T « • * * T • -t * * 1 « *KQZZYX课前自主预习 • 1.用两数中较人的数减去较小的数, 再用 所得差和较小数 构成新的一对数，

再用 ______ ^减 ______ ;数以同样的操作

一直做下去，直到所得的两数相等为止，

这个数就是这两个数的最大公约数.这个 方法称作“更相减损术”，用它编写的算 法称作“等值算法”・• 2.古希腊求两个正整数的最大公约数的 方法是辗转相除法：用较大数除以较小数所 得的

余数 和较小数 构成新的一对数， 继续做上面的除法，直到大数被小数除尽, 这个较小的数就是最大公约数.据此编写 的算法，也称作“欧几里得算法” •3・对于正整数加与n(m>n),总能找到整数g 和r(O

•重点：算法案例的原理、算法设计及算法 思想的体会.

•难点：理解算法案例的内容及具体算法设 计的关键步骤.XXYDDB学习要点点拨

• 一、弄清算法原理，掌握算法程序，经历 蠶翳■，聶’体会算法设计的关键环节,• 1 •辗转相除法

• (1)辗转相除的原理：

・设zn, 〃是两个整数(不妨设m>ri),用加除以〃，若商为务,

余数为厂1(00］

和斤的公约数就是求厂2和厂1的公约薮，…，依次下去，由

于加>〃>厂］>厂2>…，所以到某一步必然有rz = r/+1 9q汁"即

耳恰能被厂计］整除，这时耳+1是耳和厂j+1的最关公约数，它 也必然是耳_1和乙、厂—2和耳_1、…、厂1与厂2、〃和厂2、加和〃 的最大公约数. • (2)辗转相除法的算法分析:

•由以上辗转相除法的原理可以发现，辗转 相除法的基本步骤是用较大的数除以较小 的数，考虑到算法中的赋值语句可以对同 一变量多次赋值，我们可以把较大的数用 变量加表示，把较小的数用变量〃表示，这 样式子m = n -q +

r(O

• (3)用辗转相除法求任意两个正整数最大公 约数的程序框图.

河北省武邑中学高中数学 1.3.1算法案例辗转相除法与更相减损术教案 新人教A版必修3

备课人 授课时间

课题 §1.3.1算法案例——辗转相除法与更相减损术

课标要求 理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。

教

学

目

标 知识目标 在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。

技能目标 通过具体的实例，掌握循环语句的具体应用，利用循环语句表达具体问题的过程，体会算法的基本思想借助框图中的循环结构，借助Scilab语言中的循环语句来设计程序，进一步体会算法的重要性和有效性

情感态度价值观 在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。

重点 理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。

难点 把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。

教 问题与情境及教师活动 学生活动

学

过

程

及

方

法 一．复习引入

思考1：18与30的最大公约数是多少？你是怎样得到的？

（1）短除法

求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.

（2）穷举法（也叫枚举法）

穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数.

思考2：:对于8251与6105这两个数，由于其公有的质因数较大，利用上述方法求最大公约数就比较困难

二．研探新知

探究一:辗转相除法

思考1：对于8251与6105这两个数，注意到8251=6105×1+2146，那么8251与6105这两个数的公约数和6105与2146的公

2020年高中数学必修3《辗转相除法与更相减损术》教案精品版 精品好文档，推荐学习交流

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 《辗转相除法与更相减损术》教案

教 材：人教版普通高中课程标准实验教科书必修3第一章第1.3.1节.

一．教学目标

（1）知识目标：

① 理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析.

② 基本能根据程序框图与算法语句的知识设计完整的程序框图并写出算法程序.

（2）能力目标：

①培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力.

②培养学生自主探索和合作学习的能力.

（3）情感目标：

① 通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献.

② 在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力.

③创设和谐融洽的教学氛围，使学生在课堂活动中获得成功感，从而培养学生热爱数学、积极学习数学、应用数学的热情.

二、教学重点、难点

重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法.

难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.

三、教学方法和手段

教学方法：启发、引导、探究、讨论等.

教学手段：多媒体辅助教学.

四、教学用具:多媒体教学平台 精品好文档，推荐学习交流

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 教具准备：多媒体课件（Powerpoint）、QB应用程序、课时讲义．

五、授课类型：新授课

六、教学程序

教学环节 教学内容 设计意图

复

习 研究一个实际问题的算法，主要从算法步骤、程序框图和编写程序三方面展开.在程序框图中算法的基本逻辑结构有哪几种？在程序设计中基本的算法语句有哪几种？

温习旧知，为新知识的学习做好铺垫.

引

入

课

题

问题1：求下面两个数的最大公约数：

1 / 5

辗转相除法与更相减损术

学习目标

1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。

2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。

学习重难点

重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。

难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。

学法与学习用具

学法：在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程序。

学习用具：电脑，计算器，图形计算器

学习设想

（一）创设情景，揭示课题

1.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？

2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。

（二）研探新知

1.辗转相除法

例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。

（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）

解：8251＝6105×1＋2146

显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也

2 / 5

必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。

6105＝2146×2＋1813

2146＝1813×1＋333

1813＝333×5＋148

333＝148×2＋37

148＝37×4＋0

则37为8251与6105的最大公约数。

以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：