空间向量知识点归纳总结
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空间向量知识点归纳总结
知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OBOAABab;BAOAOBab;()OPaR
运算律：⑴加法交换律：abba
⑵加法结合律：)()(cbacba
⑶数乘分配律：baba)(
3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作ba//。
当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数λ，使a＝λb。
4. 共面向量
（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,ab不共线，p与向量,ab共面的条件是存在实数,xy使pxayb。
5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,abc不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,,xyz，使pxaybzc。
若三向量,,abc不共面，我们把{,,}abc叫做空间的一个基底，,,abc叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,OABC是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数,,xyz，使OPxOAyOBzOC。
6. 空间向量的直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(,,)xyz，使zkyixiOA，有序实数组(,,)xyz叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作(,,)Axyz，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。
（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}ijk表示。
（3）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)aaaa，123(,,)bbbb，则112233(,,)abababab，
112233(,,)abababab，123(,,)()aaaaR，
112233abababab，
112233//,,()ababababR，
1122330abababab。
②若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则212121(,,)ABxxyyzz。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（4）模长公式：若123(,,)aaaa，123(,,)bbbb，
则222123||aaaaaa，222123||bbbbbb
（5）夹角公式：112233222222123123cos||||ababababababaaabbb。
（6）两点间的距离公式：若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，
则2222212121||()()()ABABxxyyzz，
或222,212121()()()ABdxxyyzz
7. 空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,ab，在空间任取一点O，作,OAaOBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作,ab；且规定0,ab，显然有,,abba；若,2ab，则称a与b互相垂直，记作：ab。
（2）向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：||a。
（3）向量的数量积：已知向量,ab，则||||cos,abab叫做,ab的数量积，记作ab，即ab||||cos,abab。
（4）空间向量数量积的性质：
①||cos,aeaae。②0abab。③2||aaa。
（5）空间向量数量积运算律：
①()()()ababab。②abba（交换律）。
③()abcabac（分配律）。
（6）：空间向量的坐标运算：
1.向量的直角坐标运算
设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb则
(1) a＋b＝112233(,,)ababab； (2) a－b＝112233(,,)ababab；
(3)λa＝123(,,)aaa (λ∈R)； (4) a·b＝112233ababab；
2.设A111(,,)xyz，B222(,,)xyz，则ABOBOA= 212121(,,)xxyyzz.
3、设111(,,)axyz，222(,,)bxyz，则 ab(0)abb； ab0ab1212120xxyyzz.
4.夹角公式 设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb，则112233222222123123cos,ababababaaabbb.
5．异面直线所成角
cos|cos,|ab=121212222222111222||||||||xxyyzzababxyzxyz.
6．平面外一点p到平面的距离
已知AB为平面的一条斜线，n为平面的一个法
向量，A到平面的距离为：||||ABndn•
【典型例题】
例1. 已知平行六面体ABCD－DCBA，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。
⑴ABBC； ⑵ABADAA；
⑶12ABADCC； ⑷1()3ABADAA。
例2. 对空间任一点O和不共线的三点,,ABC，问满足向量式：
OPxOAyOBzOC（其中1xyz）的四点,,,PABC是否共面？
例3. 已知空间四边形OABC，其对角线,OBAC，,MN分别是对边,OABC的中点，点G在线段MN上，且2MGGN，用基底向量,,OAOBOC表示
向量OG。
例4. 如图，在空间四边形OABC中，8OA，6AB，4AC，5BC，45OAC，60OAB，求OA与BC的夹角的余弦值。
说明：由图形知向量的夹角易出错，如,135OAAC易错写成,45OAAC，切记！
例5. 长方体1111ABCDABCD中，4ABBC，E为11AC与11BD的交点，F为1BC与1BC的交点，又AFBE，求长方体的高1BB。
空间向量与立体几何练习题
一、选择题
1.如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD在空间直角坐标
系中，若,EF分别是1,BCDD中点，则EF的坐标为（ ）
A.(1,2,1) B.(1,2,1) αnGMC'B'A'D'DABC
yxzFEC1D1CD(O)B1A1AB O
A
B C C.(1,2,1) D.(1,2,1)
2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝411BA，则BE1与DF1所成角的余弦值是（
）
A．1715 B．21
C．178 D．23
3.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若PAa，PBb，PCc，则BE（ ）
A.111222abc B.111222abc
C.131222abc D.113222abc
二、填空题
4.若点(1,2,3)A,(3,2,7)B,且0ACBC,则点C的坐标为______.
5．在正方体1111ABCDABCD中，直线AD与平面11ABC夹角的余弦值为_____.
三、解答题
1、在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AB1与底面ABCD所成的角为4，
（1）求证11ABCBD面（2）求二面角1BACB的正切值
2．在三棱锥PABC中，3ABAC
4AP,PAABC面,90BAC, D是PA中点,点E在BC上,且2BECE,(1)求证：ACBD；(2)求直线DE与PC夹角的余弦值；(3)求点A到平面BDE的距离d的值.
3．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．
（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；
（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．
4、已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D的中点．（1）求证：E、F、D、B共面；（2）求点A1到平面的BDEF的距离；（3）求直线A1D与平面BDEF所成的角．图
图 5、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：
（Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小；（Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小；
【模拟试题】
1. 已知空间四边形ABCD，连结,ACBD，设,MG分别是,BCCD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）ABBCCD； （2）1()2ABBDBC；
（3）1()2AGABAC。
2. 已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量。
,,,OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD。（1）求证：四点,,,EFGH共面；
（2）平面AC//平面EG。
3. 如图正方体1111ABCDABCD中，11111114BEDFAB，
求1BE与1DF所成角的余弦。
4. 已知空间三点A（0，2，3），B（－2，1，6），C（1，－1，5）。
⑴求以向量,ABAC为一组邻边的平行四边形的面积S；
⑵若向量a分别与向量,ABAC垂直，且|a|＝3，求向量a的坐标。
5.已知平行六面体ABCDABCD中，4,3,5,90ABADAABAD，
60BAADAA，求AC的长。
