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《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
1习题一1．设x>0相对误差为2%，4x的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈得（1）()f x=11()()*2%1%22x xδδδ≈===；（2）4()f x x=时444()()'()4()4*2%8%xx x x xxδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P关于1212.m nx a a a bb b=±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl≈⨯+⨯= 21(0.3197100.259110)fl⨯+⨯=0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？2解：设该正方形的边长为x，面积为2()f x x=，由(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈解得(())()()'()f x f xxxf xδδ≈=2(())(())22f x x f xx xδδ==0.5%5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x<<，（A）11121xyx x-=-++，（B）22(12)(1)xyx x=++；（2）已知1x>>，（A）y=，（B）y=；（3）已知1x<<，（A）22sin xyx=，（B）1cos2xyx-=；（4）（A）9y=（B）y=解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
习题一1．设x >0相对误差为2%，4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352 ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+ =2(0.3443100.1352)fl ⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A ）y=，（B ）y =； （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos 2xy x-=；（4）（A）9y =（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值计算方法与算法第三版课后习题答案1. 矩阵乘法问题描述给定两个矩阵A和B，尺寸分别为n×m和m×p，求矩阵A 和矩阵B的乘积矩阵C，尺寸为n×p。
算法实现import numpy as npdef matrix_multiplication(A, B):n, m = A.shapem, p = B.shapeC = np.zeros((n, p))for i in range(n):for j in range(p):for k in range(m):C[i][j] += A[i][k] * B[k][j] return C示例A = np.array([[1, 2], [3, 4]])B = np.array([[5, 6], [7, 8]])C = matrix_multiplication(A, B)print(C)输出结果：[[19. 22.][43. 50.]]2. 数值积分问题描述给定一个函数f(x)，以及积分区间[a, b]，求函数f(x)在区间[a, b]上的定积分值∫abf(x)dx。
算法实现简单的数值积分算法是采用小梯形法，将区间[a, b]均分成n个子区间，然后计算每个子区间的面积，最后将这些子区间面积相加得到定积分值。
def numerical_integration(f, a, b, n):h = (b - a) / nintegral =0for i in range(n):x1 = a + i * hx2 = a + (i +1) * hintegral += (f(x1) + f(x2)) * h /2 return integral示例import mathf =lambda x: math.sin(x)a =0b = math.pin =100result = numerical_integration(f, a, b, n) print(result)输出结果：1.99983550388744363. 非线性方程求解问题描述给定一个非线性方程f(x) = 0，求方程的根x。
习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯ 有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯ 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯ 有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯ 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-L L 相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯ 有效数字：因为π＝3.14159265...=0.314159265 (10)22 3.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
习题一1．设x >0相对误差为2%，4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352 ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+ =2(0.3443100.1352)fl ⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A ）y=，（B ）y =； （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos 2xy x-=；（4）（A）9y =（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
现代数值计算课后答案【篇一：数值计算课后答案4】>1、设x0?0,x1?1，写出f(x)?e?x的一次插值多项式l1(x)，并估计插值误差。
设插值函数为l1(x)?ax?b，由插值条件，建立线性方程组为?a?0?b?1??1?a?1?b?e?a?e?1?1解之得??b?1则l1(x)?(e?1?1)x?1因为y?(x)??e?x,y??(x)?e?x 所以，插值余项为r(x)?f(x)?p(x)??1f(n?1)(?)?(x)(n?1)!1(2)f(?)?(x)2!1?f(2)(?)(x?x0)(x?x1)2!1?e??(x?0)(x?1)(??(0,1))2所以1r(x)?maxe??maxx(x?1)0?x?120???1。
111??e?0??2482选用合适的三次插值多项式来近似计算f(0.2)和f(0.8)。
解：设三次插值多项式为f(x)?a0?a1x?a2x2?a3x3，由插值条件，建立方程组为?a0?a1?(?0.1)?a2?(?0.1)2?a3?(?0.1)3?0.995?23?a0?a1?0.3?a2?0.3?a3?0.3?0.995?23?a0?a1?0.7?a2?0.7?a3?0.7?0.765?a?a?1.1?a?1.12?a?1.13?0.4 5423?01即?a0?0.1a1?0.01a2?0.001a3?0.995?a0?0.1a1?0.01a2?0.001a3?0 .995?a?0.3a?0.09a?0.027a?0.995?0.4a1?0.08a2?0.028a3?0?0?1 23???a?0.7a?0.49a?0.343a?0.7650.8a1?0.48a2?0.344a3?1.76123?0?? ?0.4a1?0.72a2?0.988a3??0.311?a0?1.1a1?1.21a2?1.331a3?0.45 4??a0?0.1a1?0.01a2?0.001a3?0.995?0.4a1?0.08a2?0.028a3?0???0.32a2?0.288a3?1.76???0.384a3??3.831?解之得 ?a0?0.41?a??6.29?1?a??3.48?2??a3?9.98则所求的三次多项式为f(x)?0.41?6.29x?3.48x2?9.98x3。
e r(x)型x 0.00163.140.51 10习题一解答1.取3.14 , 3.15, 22, 355作为n的近似值，求各自的绝对误差，相对7 113误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解:(1 )绝对误差:e(x)= n—3.14 = 3.14159265 …—3.14 = 0.00159 0.0016。
相对误差：有效数字:因为n = 3.14159265 …=0.314159265…X 10，3.14 = 0.314 X 10，m=1 而n —3.14 = 3.14159265 …一3.14 = 0.00159 …1 1所以|n—3.14 0.00159 …三0.005=0.5 X 10—2= 1 10 2- 101 32 2所以，3.14作为n的近似值有3个有效数字。
(2)绝对误差：e(x)= n—3.15 = 3.14159265…—3.14 = —0.008407 …"—0.0085。
相对误差：e r(x) 亦0.00850.27 10 2 x 3.15有效数字：因为n = 3.14159265 …=0.314159265…X 10，3.15 = 0.315 X 10，m=1 而n —3.15 = 3.14159265 …—3.15 = —0.008407 …1 1所以|n—3.15 0.008407 ……< 0.05=0.5 X 10—1=—10 1— 101 22 2所以，3.15作为n的近似值有2个有效数字。
(3)绝对误差：22e(x) 3.14159265L 3.142857143 0.001264493_ 0.0013 7相对误差：0.0013 22 ~10.41 10227而 3.142857143 0.3142857143 10 , m=12273.14159265L3.142857140.001264493L所以22 73.14159265L3.1428571430.001264493L0.00521 21 1 30.5 10 2— 10 2 — 10 2 2所以，竺作为n 的近似值有3个有效数字。
7(4)绝对误差：355e(x)3.14159265L 3.14159292 0.0000002705L113相对误差：(、e(x) 0.000000271 门小 7e r (x) 0.863 10x355 113有效数字：0.000000271因为n = 3.14159265 …=0.314159265 …X 10,355 1133.14159292 0.314159292 10, m=1。
355而3.14159265L 3.14159292 0.0000002705 L113355— 3.14159265L 3.14159292 113|_ . _ 61 6 1 17 0.5 10 -10 -102 20.0000002705 L 0.0000005e r (x)空x有效数字：因为n = 3.14159265 …=0.314159265 …X 10, 所以，驀作为”的近似值有7个有效数字指出:所以①实际上，本题所求得只能是绝对误差限和相对误差限，而不是绝对误差和相对误差2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。
346. 7854，7. 000009，0. 0001324580，0. 600300 解：346. 7854 〜346. 79，7. 000009 〜7. 0000，0. 0001324580 〜0. 00013246，0. 600300 〜0. 60030。
指出:注意0。
只要求写出不要求变形。
3、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。
x-i 0.0315, x2 0.3015, x3 31.50, x4 5000。
分析：首先，本题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规则确定。
其次，应当先求绝对误差限，再求相对误差限，最后确定有效数字个数。
有效数字由定义可以直接得出。
解：由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是(x1) 0.00005, (x2) 0.00005, (x3) 0.005, (x4) 0.5由绝对误差和相对误差的关系，相对误差限分别是（X1）X1 0.0315°16%, (x2) 0.00005（X2-0.02%,X2 0.3015(x3) 0.005区）0.002%,X3 31.5(Xj (X4)0.5 0.01%.x45000有效数字分别有3位、4位、4位、4位。
指出:本题显然是直接指出有效数位、直接写出绝对误差，用定义求出相对误差4.计算的近似值，使其相对误差不超过 0.1 %。
解：设取n 个有效数字可使相对误差小于 0.1 %，则1石 而31010.1% ,.10 1 2a 14，显然a 1 1 n 1 101 n2 33，此时, 101 n0.1%， 1 即丄 6也即(所以， 此时，5、在计算机数系 F(10,4,-77,77) 中，对103与 X 20.314159 1 n10n10n=4X 1 0.1428110 3，104 3.162。
101,试求它们的机器浮点数fl(X i )(i 1,2)及fi(x)叫) 30.1428 10 ,e(fl(^)) 0.3142101,时区))333fl (X 1) 0.14281 100.1428 10 0.00001 10 ,0.314159 101 ( 0.3142 101) 0.00041 101e i0.00001 1033~0.1428 100.007%,e 20.000041 1016、在机器数系F(10,8,L,U) 中，取三个数x 0.23371258 10 4其相对误差。
解：其相对误差分别是0.33678429 102,z 0.33677811 102，试按(x y) z,x (y z)两种算法计算x y z 的值，并将结果与精确结果比较 解：fl ((x y) z) (0.23371258 10 4 0.33678429 102) 0.33677811 102 (0.00000023 102 0.33678429 102) 0.33677811 102 2 20.33678452 10 0.33677811 100.00000641 102fl(x (y z))0.23371258 10 4 (0.33678429 102 0.33677811 102)0.23371258 10 4 0.00000618 102 0.00000023 102 0.00000618 102 0.00000641 102精确计算得：422x y z 0.23371258 10 40.33678429 1020.33677811 1022 2 2(0.00000023371258 1020.33678429 102) 0.33677811 1020.33678452371258 1020.33677811 10220.0000641371258 102 第一种算法按从小到大计算, 但出现了两个数量级相差较大的数相加容易出现大数吃小数. 而第二种算法则出现了两个相近的数相减, 容易导致有效数位的减少。
计算结果证明，两者精度水平是相同的。
在机器数系F(10,8,L,U) 中，取三个数x 0.23371258 10 4,y 0.33678429 10 2,z 0.33677811 102，试按(x y) z,x (y z)两种算法计算x y z的值，并将结果与精确结果比较。
解：fl((x y) z) (0.23371258 10 40.33678429 102) 0.33677811 1022 2 2(0.00233713 10 2 0.33678429 10 2) 0.33677811 102 220.33912142 10 2 0.33677811 102220.00003391 102 0.33677811 1020.3367442 102fl(x (y z)) 0.23371258 10 4(0.33678429 10 20.33677811 102)0.23371258 10 4 (0.00003368 102 0.33677811 102 ) 420.23371258 10 4 0.33674742 102220.00000023 102 0.33674742 10220.33674719 102第一种算法是按从小到大的顺序计算的，防止了大数吃小数，计算更精确。
精确计算得：x y z 0.23371258 1040.33678429 1020.33677811 1020.000023371258 0.0033678429 33.6778110.003391214158 33.67781133.67441978584220.33674419785842 102（为）0.00053.105 0.16%, (X2)0.00050.001 50%,(X3)0.00050.1000.5%显然，也是第一种算法求出的结果和精确结果更接近7、某计算机的机器数系为F(10,2,L,U)，用浮点运算分别从左到右计算及从右到左计算1 0.4 0.3 0.2 0.04 0.03 0.02 0.01试比较所得结果。
解：从左到右计算得1 0.4 0.3 0.2 0.04 0.03 0.02 0.010.1 10 0.04 10 0.03 10 0.02 10 0.00 10 0.00 10 0.00 10 0.00 10 0.19 101.9从右到左计算得1 0.4 0.3 0.2 0.04 0.03 0.02 0.010.01 0.02 0.03 0.04 0.2 0.3 0.4 10.1 1010.2 10 10.3 10 10.4 10 10.2 0.3 0.4 10.1 0.2 0.3 0.4 10.1 10 10.1 10 0.1 100.2 102从右到左计算避免了大数吃小数，比从左到右计算精确。
&对于有效数x1 3.105,x2 0.001,x3 0.100，估计下列算式的相对误差限X2y1 x, x X a, y2 X1X2X3, y a —X3分析：求和差的相对误差限采取先求出和差的绝对误差限再求相对误差限的方法。
