2022-2023学年上海市高一上册期末数学专项提升模拟试题（含解析）一、填空题1．函数f (x )=2x -的定义域为___________.【答案】{1x x ≥且}2x ≠【解析】由分母不能为0和根式内部的代数式大于等于0联立不等式组，解得即可.【详解】由题意得：1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得12x x ≥≠且，所以定义域为{1x x ≥且}2x ≠.故答案为：{1x x ≥且}2x ≠【点睛】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．2．不等式11x>的解集为________．【答案】(0,1)【分析】由题设可得10x x-<，利用分式不等式的解法求解即可.【详解】由题设，1110x x x--=<，∴(1)0x x -<，解得01x <<，∴解集为(0,1).故答案为：(0,1)3．已知偶函数()()R y f x x =∈，当0x >时()1f x x =-，则()1f -=__________.【答案】0【分析】由条件可得()()11f f -=，然后可得答案.【详解】因为()y f x =是偶函数，当0x >时()1f x x =-，所以()()110f f -==，故答案为：0.4．函数2cos sin y x x =-的最小值为______【答案】【分析】直接利用辅助角公式即可求得最小值.【详解】()2cos sin y x x x ϕ=-=+，其中1πtan ,0,22ϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，∴函数2cos sin y x x =-的最小值为当π2π,Z x k k ϕ+=+∈，即π2π,Z x k k ϕ=-+∈时取到最小值故答案为：5．已知全集U =R ，集合{}2,R x A yy x ==∈∣，则A =__________.【答案】{}0yy ≤∣【分析】求出集合中元素范围，再直接求补集即可.【详解】集合{}{}2,R 0x A yy x y y ==∈=>∣∣，全集U =R 则{}0A yy =≤∣故答案为：{}0yy ≤∣6．已知tan 2θ=-，则sin cos =θθ__________.【答案】25-##-0.4【分析】将sin cos θθ分母看成“1”，利用22sin cos 1θθ+=替换，然后把所求的式子转化为tan θ表达式，进而得出结果.【详解】因为tan 2θ=-，则222sin cos tan 22sin cos sin cos tan 1415θθθθθθθθ-====-+++，故答案为：25-7．已知54x >，则1445x x +-的取值范围是__________.【答案】[)7,+∞【分析】1144554545x x x x +=-++--，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为54x >，所以450x ->，114455574545x x x x +=-++≥=--，当且仅当14545x x -=-即32x =时等号成立.故答案为：[)7,+∞.8．已知0πβ<<，若将角β的终边顺时针旋转2π3，所得的角的终边与角3β的终边重合.则角β=__________.【答案】2π3【分析】角β的终边顺时针旋转2π3得到2π3β-，根据终边相同的角的关系列出方程，根据0πβ<<求得β的值.【详解】角β的终边顺时针旋转2π3得到2π3β-，它与3β边重合，所以2π2π,Z 33k k ββ-+∈=，所以ππ,Z 3k k β-+∈=，又0πβ<<，所以只能令1k =，2π3β=.故答案为：2π39．已知幂函数()223Z n n y x n --=∈的图象与两坐标轴均无公共点，且其图象关于y 轴对称，则n 的值为__________.【答案】1±或3【分析】根据幂函数图象与y 轴无公共点可知2230n n --≤，然后再根据函数为偶函数可得答案.【详解】因为函数图象与y 轴无公共点，所以2230n n --≤，所以13n -≤≤，又因为Z n ∈，所以n 的值为1,0,1,2,3-，又因为函数图象关于y 轴对称，则223n n --为偶数，即函数223nn y x --=为偶函数，当0n =或2n =时，3y x -=为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不满足题意；当1n =-或3n =时，有0y x =，满足题意，当1n =时，4y x -=，满足题意，∴1n =±或3．故答案为：1±或310．已知π3πtan 2,tan 3,0,,π,22αβαβ⎛⎫⎛⎫==∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则αβ+=__________.【答案】7π4【分析】先求出αβ+的范围，然后利用两角和正切公式求出tan()αβ+的值，从而可求出αβ+.【详解】因为π3π0,,π,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()π,2παβ+∈，因为tan 2,tan 3αβ==，所以tan tan 23tan()11tan tan 123αβαβαβ+++===---⨯，所以7π4αβ+=，故答案为：7π411．已知A 为锐角，()1lg 1cos ,lg 1cos A m n A ⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，则lgsin A 可用,m n 表示为__________.【答案】11lgsin 22A m n =-【分析】()2211lgsin lgsin lg 1cos 22A A A ==-，然后利用对数的运算法则可得答案.【详解】因为A 为锐角，sin 0A >，()()()221111lgsin lgsin lg 1cos lg 1cos lg 1cos 2222A A A A A ==-=++-()11111lg 1cos lg 221cos 22A m n A ⎛⎫=+-=- ⎪-⎝⎭，故答案为：11lgsin 22A m n =-.12．已知R a ∈，函数()22,011,02x a x x f x x ax a x ⎧++->⎪=⎨-++≤⎪⎩的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是__________.【答案】2,33⎧-⎨⎩【分析】讨论a -与0、2的大小关系，判断函数()f x 在[)0,∞+、(),0∞-上的单调性与最小值，根据函数()f x 的最小值列方程解出实数a 的值.【详解】分以下三种情况讨论：①若0a -≤时，即当0a ≥时，()222,22,0211,02x a x f x a x x ax a x ⎧⎪+->⎪=+<≤⎨⎪⎪-++≤⎩，所以，函数()f x 在(],0∞-上单调递减，且()112f x a ≥+，当0x >时，()min 1212f x a a =+>+，所以()min 1122f x a a =+=，解得23a =，②若02a <-≤时，即当20a -≤<时，()222,22,222,011,02x a x a a x f x x a x a x ax a x +->⎧⎪+-≤≤⎪⎪=⎨--+<<-⎪⎪-++≤⎪⎩，当0x ≤时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭，当0x >时，()2f x a ≥+.22a a +> ，所以21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，20a -≤<，解得3a =-±；③当2a ->时，即当2a <-时，()222,2,222,0211,02x a x aa x a f x x a x x ax a x +->-⎧⎪--≤≤-⎪⎪=⎨--+<<⎪⎪-++≤⎪⎩，当0x ≤时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭，当0x >时，()2f x a ≥--.因为202a a -->>，所以21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，2a <-Q，解得3a =--3a =-+.综上所述，实数a的取值集合为2,33⎧-⎨⎩.故答案为：2,33⎧-⎨⎩.二、单选题13．如图中的图象所表示的函数的解析式为（）A ．31(02)2y x x =-≤≤B ．331(02)22y x x =--≤≤C ．31(02)2y x x =--≤≤D ．11(02)y x x =--≤≤【答案】B【分析】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时的解析式求出即可．【详解】当0≤x≤1时，设f （x ）=kx ，由图象过点（1，32），得k=32，所以此时f （x ）=32x ；当1≤x≤2时，设f （x ）=mx+n ，由图象过点（1，32），（2，0），得3202m n m n ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，解得3m 23n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以此时f （x ）=3-x 32+．函数表达式可转化为：y ＝3232-|x －1|(0≤x≤2)故答案为B【点睛】本题考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得．14．条件甲：sin sin x y =是条件乙：x y =的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】直接根据必要非充分条件的概念结合三角函数的运算即可得结果.【详解】若sin sin x y =，则2π,Z x y k k =+∈或π2π,Z x y k k =-+∈；若x y =，则sin sin x y =显然成立，综上可得：条件甲：sin sin x y =是条件乙：x y =的必要非充分条件，故选：B.15．已知0x 是函数()12(0)xf x x x=->的零点，则（）A ．()02,3x ∈B ．()01,2x ∈C ．()00,1x ∈D ．()03,4x ∈【答案】C【分析】根据零点存在性定理可得答案.【详解】因为()12xf x x=-在()0,∞+是增函数，且其图象是连续不断的一条曲线，()120,121102f f ⎛⎫=<=-=> ⎪⎝⎭，所以()00,1x ∈.故选：C16．角α是第四象限角，其终边与单位圆交点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，把角α顺时针旋转2π得角β，则角β终边与单位圆焦点P '的坐标为（）A ．34,55⎛⎫⎪⎝⎭B ．34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由三角函数的定义得到34sin ,cos ,552πααβα=-==-，再利用诱导公式求解.【详解】解：由题意知：34sin ,cos ,552πααβα=-==-，则4sin sin sin cos 225ππβααα⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3cos cos cos sin 225ππβααα⎛⎫⎛⎫=-=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以角β终边与单位圆焦点P '的坐标为34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选：B三、解答题17．已知函数()233log 2log 2f x x a x =--.(1)当12a =-时，求不等式()0f x ≤的解集；(2)当()1,27x ∈时，()3f x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)1,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(2)(,1]-∞.【分析】（1）根据对数函数的单调性，结合因式分解法进行求解即可；（2）利用换元法，结合常变量分离法、基本不等式进行求解即可.【详解】（1）当12a =-时，()233log log 2f x x x =+-，由()()()233333log log 20log 2log 102l 0og 1x x x x x x f +-≤⇒+-≤⇒-≤⇒≤≤213339x x -⇒≤≤⇒≤≤，所以不等式()0f x ≤的解集为1,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）令3log x t =，因为()1,27x ∈，所以(0,3)t ∈，()22322312f x t at t at ≥-⇒--≥-⇒+≥，因为(0,3)t ∈，所以由21122t at a t t+≥⇒≤+，因为(0,3)t ∈，所以12t t +≥=，当且仅当1t t =时取等号，即1t =时，取等号，因此当()1,27x ∈时，()3f x ≥-恒成立，只需221a a ≤⇒≤，所以实数a 的取值范围为(,1]-∞.18．记函数()f x =A ，()g x =定义域为B .(1)求A ，B ；(2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】(1){1A x x =<-或}2x ≥；当1a >-，()1,2B a a =-；当1a <-，()2,1B a a =-；(2)()[)1,11,3,2⎛⎤-∞---+∞ ⎥⎝⎦ 【分析】（1）求解两个函数有意义的条件，根据不等式的解集得到定义域A ，B ；（2）若B A ⊆，由两个集合的范围分类讨论，列不等式求实数a 的取值范围.【详解】（1）函数()f x =4201x x +-≥+，解得1x <-或2x ≥，所以函数()f x 的定义域{1A x x =<-或}2x ≥.函数()g x =()()120x a a x -+->，得()()120x a x a ⎡⎤---<⎣⎦，当1a >-，有12a a -<，不等式解得12a x a -<<；当1a <-，有12a a ->，不等式解得21a x a <<-；当1a =-，有122a a -==-，不等式无解.所以当1a >-，函数()g x 的定义域()1,2B a a =-；当1a <-，函数()g x 的定义域()2,1B a a =-；（2）若B A ⊆，当1a >-时，有21a ≤-或12a -≥，解得112a -<≤-或3a ≥；当1a <-时，有11a -≤-或22a ≥，解得1a <-.所以实数a 的取值范围为()[)1,11,3,2⎛⎤-∞---+∞ ⎥⎝⎦ 19．设sin cos P a b c θθ=++.(1)若2,1P a b c ====，求出满足条件的角θ的解集；(2)当1a b ==时，若存在[]2,2P ∈-使关于θ的方程sin cos P a b c θθ=++在02πθ⎡⎤∈⎢⎣⎦，时均有解，求实数c 的取值范围.【答案】(1){|24x k πθπ+=或2,Z 42k k ππθπ⎫+=+∈⎬⎭(2)5,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由2,1P a b c ====，得sin 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解；（2）由1a b ==得到cos 2sin 6t c c πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，求得t 的值域A ，根据题意，由[]2,2A ⊆-求解.【详解】（1）解：由2,1P a b c ====，得sin cos 1θθ+=，即sin 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2,Z 44k k ππθπ+=+∈或32,Z 44k k ππθπ+=+∈，则2,Z k k θπ=∈或2,Z 2k k πθπ=+∈，所以满足条件的角θ的解集是{|24x k πθπ+=或2,Z 42k k ππθπ⎫+=+∈⎬⎭；（2）当1a b ==时，cos 2sin 6t c c πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，因为02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以2,663πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin ,162πθ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1,12t c c ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，因为存在[]2,2P ∈-使关于θ的方程sin cos P a b c θθ=++在02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时均有解，所以12212c c ⎧+≥-⎪⎨⎪+≤⎩，解得512c -≤≤，所以实数c 的取值范围是5,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.20．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，求：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时候后，学生才能回到教室.【答案】（1）0.110,(00.1)1,(0.1)16t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，（2）0.6【分析】（1）利用函数图像，借助于待定系数法，求出函数解析式，（2）结合图像可知由药物释放完毕后的函数解析式中的0.25y <可求得结果【详解】（1）由图可知直线的斜率为1100.1k ==，所以图像中线段的方程为10(00.1)y t t =≤≤，因为点(0.1,1)在曲线116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭上，所以0.11116a-⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0.1a =，所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为0.110,(00.1)1,(0.1)16t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，即0.110.2516t -⎛⎫< ⎪⎝⎭，解得0.6t >，所以从药物释放开始，至少需要经过0.6小时，学生才能回到教室21．已知函数()f x 在定义域D 上是严格增函数.(1)若()f x =()f x 的值域；(2)若()[]12241log ,,(04)214x x x f x D t t t x+-=++=-<<++的值域为[],m n ，求m n +的值；(3)若()0,D =+∞，且对定义域D 内任意自变量x 均有()()11f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭成立，试求()f x 的解析式.【答案】(1)[；(2)4；(3)()12f x x=.【分析】（1）先求出函数的定义域，然后根据函数的单调性可求出函数的最值，从而可求出函数的值域；（2）根据函数在D 上是严格增函数，可得()12241log 214t t t m f t t--++=-=+++-，()12241log 214t t t n f t t+-==++++，然后相加化简可得答案；（3）由已知可得111()()11()f f x f f f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫+⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，则有()11()1()f f f x f x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭，再根据其单调性和已知条件可得()111()x f x f x x +=+，从而可求出()f x 的解析式.【详解】（1）由22010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得11x -≤≤，因为y =和y =[1,1]-上均为增函数，所以()f x =[1,1]-上为增函数，所以min ()(1)f x f =-=，max ()(1)2f x f ===，所以()f x的值域为[；（2）因为()[]12241log ,,(04)214x x x f x D t t t x+-=++=-<<++的值域为[],m n ，且()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以()12241log 214t t t m f t t--++=-=+++-，()12241log 214t t t n f t t +-==++++，所以()()m n f t f t +=-+112224241log 1log 214214t t t t t t t t-++-+-=++++++-++1222442log 212144t t t t t t t ++-⎛⎫=+++⋅ ⎪++-+⎝⎭22(21)2log 211t t +=+++224=+=；（3）因为对定义域D 内任意自变量x 均有()()11f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭成立，所以111()()11()f f x f f f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫+⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()()111()()1()f x f f x f f f x f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⋅+⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()11()1()f f f x f x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭，因为函数()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以11()1()f f x x x f x x⎛⎫++= ⎪⎝⎭+，所以()111()x f x f x x+=+，所以()()()()()()211f x f x xf x f x xf x f x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎥⎣⎦，所以()()210xf x f x x --=，解得()12f x x ±=，因为函数()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以()f x =。
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