内蒙古赤峰市高三数学4月统一考试试题 文(扫描版)

内蒙古赤峰市名校2025届高三上学期联合考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A={x∈Z|x2<5}，B={x|x+1>0}，则A∩B=( )A. (−1,5)B. {0,1,2}C. {1,2}D. (−1,2)2.若复数z满足(2+i)z=10i，则z的虚部为( )A. 2iB. 4C. 2D. 4i3.已知A(2,1)，B(m,4)，BC=(3,1)，若A，B，C三点共线，则m=( )A. 11B. 9C. 7D. 64.已知曲线C：y=e x+x在点A处的切线与直线2x−y+2=0平行，则该切线方程是( )A. 2x−y=0B. 2x−y−2=0C. 2x−y−1=0D. 2x−y+1=05.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,0<ω<5,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则ω=( )A. 247B. 154C. 3D. 46.已知在▵ABC中，M是线段BC上异于端点的任意一点．若向量AM=aAB+bAC，则2a +8b的最小值为( )A. 6B. 12C. 18D. 247.把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是θ′∘C，空气的温度是θ0∘C，则tmin后该物体的温度θ∘C 满足θ=θ0+(θ′−θ0)e−t4.若θ0,θ′不变，在t1min,t2min后该物体的温度分别为θ1∘C,θ2∘C，且θ1>θ2，则下列结论正确的是( )A. t1>t2B. t1<t2C. 若θ′>θ0，则t1>t2；若θ′<θ0，则t1<t2D. 若θ′>θ0，则t1<t2；若θ′<θ0，则t1>t28.在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ABC=90∘，点P在△ABC内部，且∠BPC=90∘，AP=2，记∠ABP=α，则tan2α=( )A. 32B. 23C. 43D. 34二、多选题：本题共3小题，共18分。

内蒙古赤峰市2017届高三数学（4月份）模拟试卷文一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={x|﹣2＜x＜3}N={﹣2，﹣1，0，1}}，则M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}2．复数z=i（2﹣i）（i是虚数单位），则z的共轭复数=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i3．若函数f（x）的定义域为R，则“函数f（x）是奇函数”是“f（0）=0”的（）A．必要不充分条件B．既不充分也不必要条件C．充要条件 D．充分不必要条件4．下列函数中，值域为，则直线l的斜率不小于1的概率为．14．变量x，y满足约束条件，当目标函数z=2x﹣y取得最大值时，其最优解为．15．三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，∠CAB=90°，PC=3，AC=4，AB=5，则此三棱锥外接球的表面积为．16．数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1，n∈N*，则数列的前n项和S n= ．三、解答题（本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosC=b﹣c．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若B=，AC=4，求BC边上的中线AM的长．18．已知长方形ABCD如图1中，AD=，AB=2，E为AB中点，将△ADE沿DE折起到△PDE，所得四棱锥P﹣BCDE如图2所示．（Ⅰ）若点M为PC中点，求证：BM∥平面PDE；（Ⅱ）当平面PDE⊥平面BCDE时，求三棱锥E﹣PCD的体积．19．某校高三特长班的一次月考数学成绩的茎叶图和频率分布直方图1都受到不同程度的损坏，但可见部分如图2，据此解答如下问题：（Ⅰ）求分数在22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=sinθ+cosθ，曲线C3的极坐标方程是θ=．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C3与曲线C1交于点O，A，曲线C3与曲线C2曲线交于点O，B，求|AB|．23．已知函数f（x）=|x+1|．（I）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（Ⅱ）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．- 2 -2017年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={x|﹣2＜x＜3}N={﹣2，﹣1，0，1}}，则M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据交集的定义即可求出【解答】解：集合M={x|﹣2＜x＜3}N={﹣2，﹣1，0，1}}，则M∩N={﹣1，0，1}故选C．2．复数z=i（2﹣i）（i是虚数单位），则z的共轭复数=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：z=i（2﹣i）=2i+1，则z的共轭复数=1﹣2i．故选：A．3．若函数f（x）的定义域为R，则“函数f（x）是奇函数”是“f（0）=0”的（）A．必要不充分条件B．既不充分也不必要条件C．充要条件 D．充分不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数f（x）的定义域为R，则“函数f（x）是奇函数”⇒“f（0）=0”，反之不成立，例如f（x）=x2．【解答】解：函数f（x）的定义域为R，则“函数f（x）是奇函数”⇒“f（0）=0”，反之不成立，例如f（x）=x2．∴函数f（x）的定义域为R，则“函数f（x）是奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件．故选：D．4．下列函数中，值域为的偶函数，不正确，故选B．5．已知向量，若垂直，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣D．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据向量坐标运算的公式，求出向量的坐标．再利用向量与互相垂直，得到它们的数量积等于0，利用两个向量数量积的坐标表达式列方程，可求解m的值．【解答】解∵∴向量=（1﹣4，3+2m）=（﹣3，3+2m）又∵向量与互相垂直，∴•（）=1×（﹣3）+3（3+2m）=0∴﹣3+9+6m=0⇒m=﹣1故选B．6．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）- 4 -A．12 B．24 C．36 D．48【考点】EF：程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．7．圆x2+y2+4x﹣2y+1=0的圆心到直线x+ay﹣1=0的距离等于1，则a=（）A．B．C．D．2【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2+4x﹣2y+1=0，即（x+2）2+（y﹣1）2=4的圆心（﹣2，1），再利用点到直线的距离公式即可得出结论．【解答】解：圆x2+y2+4x﹣2y+1=0，即（x+2）2+（y﹣1）2=4的圆心（﹣2，1）到直线x+ay﹣1=0的距离d==1，∴a=．故选：A．8．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图可知该几何体是一个正方体扣去一个正四棱锥，计算五个正方形的面积与四个等腰三角形的面积即可．【解答】解：由三视图可知该几何体是一个正方体扣去一个正四棱锥，如图．则正四棱锥的侧面是底为4、高为=的等腰三角形，其面积S1=×4×=，所以该几何体的面积为5×4×4+4×S1=80+16，故选：B．9．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1=1，a1+a3+a5=21，则a2+a4+a6=（）- 6 -A．﹣42 B．84 C．42 D．168【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，a1=1，a1+a3+a5=21，可得1+q2+q4=21，解得q．即可得出．【解答】解：设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=1，a1+a3+a5=21，∴1+q2+q4=21，解得q=2．则a2+a4+a6=q（a1+a3+a5）=2×21=42，故选：C．10．己知x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，）B．（，）C．（，π）D．（，π）【考点】H5：正弦函数的单调性；H2：正弦函数的图象．【分析】由极值点可得φ=﹣，解2kπ+＜2x﹣＜2kπ+可得函数f（x）的单调递减区间，结合选项可得．【解答】解：∵x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，∴sin（2×+φ）=1，∴2×+φ=2kπ+，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，不妨取φ=﹣，此时f（x）=sin（2x﹣）令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+可得kπ+＜x＜kπ+，∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，），故选：B．11．已知点A（0，2），抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：2，则△OFN的面积为（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】作出M在准线上的射影K，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线C：y2=mx的焦点F（，0）设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，由|FM|：|MN|=1：2，可得|KM|：|MN|=1：2，则|KN|：|KM|=：1，k FN=﹣k FN==﹣，即有=，求得m=，则三角形OFN的面积为•y N•|OF|=×2×=．故选D．12．设函数在（t，10﹣t2）上有最大值，则实数t的取值范围为（）A．B．C．，则直线l的斜率不小于1的概率为．【考点】CF：几何概型．- 8 -【分析】先求出直线的斜率的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可．【解答】解：由ax+2y﹣3=0得到y=﹣x+，故直线的斜率为﹣，∵直线l的斜率不小于1，∴﹣≥1，即a≤﹣2，∵a∈，∴﹣5≤a≤﹣2，∴直线l的斜率不小于1的概率为=，故答案为：．14．变量x，y满足约束条件，当目标函数z=2x﹣y取得最大值时，其最优解为（2，0）．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最优解．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=2x﹣y得：y=2x﹣z，显然直线过A（2，0）时，z最大，故答案为：（2，0）．15．三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，∠CAB=90°，PC=3，AC=4，AB=5，则此三棱锥外接球的表面积为50π．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】根据已知中PC⊥平面ABC，∠CAB=90°，PC=3，AC=4，AB=5，可得三棱锥P﹣ABC的外接球，即为以PC，AC，AB为长宽高的长方体的外接球，根据已知PC、AC、AB的长，代入长方体外接球直径（长方体对角线）公式，易得球半径，即可求出三棱锥外接球的表面积．【解答】解：PC⊥平面ABC，∠CAB=90°，PC=3，AC=4，AB=5，则该三棱锥P﹣ABC的外接球即为以PC，AC，AB为长宽高的长方体的外接球，故2R==5故R=，三棱锥外接球的表面积为50π．故答案为50π16．数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1，n∈N*，则数列的前n项和S n= ．【考点】8E：数列的求和．【分析】数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1，n∈N*，利用a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1与等差数列的求和公式可得a n，再利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1，n∈N*，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=．∴=2．∴数列的前n项和S n=2++…+=2=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）- 10 -17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosC=b﹣c．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若B=，AC=4，求BC边上的中线AM的长．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理和两角和的正弦公式即可求出；（Ⅱ）利用余弦定理即可求出．【解答】解：（Ⅰ）∵acosC=b﹣c，由正弦定理可得sinAcosC=sinB﹣sinC，∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴cosAsinC=sinC，∵sinC≠0，∴cosA=，∴A=，（Ⅱ）由A=B=，则C=，∴BC=AC=4，AB=4，∴AM=2，由余弦定理可得AM2=BM2+AB2﹣2BM•ABcosB=4+48﹣16•=28，∴AM=2．18．已知长方形ABCD如图1中，AD=，AB=2，E为AB中点，将△ADE沿DE折起到△PDE，所得四棱锥P﹣BCDE如图2所示．（Ⅰ）若点M为PC中点，求证：BM∥平面PDE；（Ⅱ）当平面PDE⊥平面BCDE时，求三棱锥E﹣PCD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取DP中点F，连结EF、FM，推导出FEBM是平行四边形，从而BM∥EF，由此能证明BM∥平面PDE．（Ⅱ）过P作PH⊥DE于H，则PH⊥平面EBCD，三棱锥E﹣PCD的体积V E﹣PCD=V P﹣DEC，由此能求出结果．【解答】证明：（Ⅰ）取DP中点F，连结EF、FM，∵△PDC中，点F、M分别是DP、PC的中点，∴FM DC，又EB DC，∴FM EB，∴FEBM是平行四边形，∴BM∥EF，又EF⊂平面PDE，BM⊄平面PDE，∴BM∥平面PDE．解：（Ⅱ）∵平面PDE⊥平面EBCD，且平面PDE∩平面EBCD=DE，过P作PH⊥DE于H，∴PH⊥平面EBCD，在Rt△PDE中，过P作PH⊥DE于H，∴PH⊥平面EBCD，在Rt△PDE中，由题意得PH=，在Rt△DEC中，DE==2，且DE=EC=2，∴=，∴三棱锥E﹣PCD的体积V E﹣PCD=V P﹣DEC===．- 12 -19．某校高三特长班的一次月考数学成绩的茎叶图和频率分布直方图1都受到不同程度的损坏，但可见部分如图2，据此解答如下问题：（Ⅰ）求分数在22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=sinθ+cosθ，曲线C3的极坐标方程是θ=．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C3与曲线C1交于点O，A，曲线C3与曲线C2曲线交于点O，B，求|AB|．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）先把参数方程转化为普通方程，利用由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得极坐标方程；（Ⅱ）利用|AB|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为，（θ为参数），普通方程为（x﹣3）2+y2=9，x2+y2﹣6x=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得ρ2﹣6ρcosθ=0，∴曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ；（Ⅱ）设点A的极坐标为（ρ1，），点B的极坐标为（ρ2，），则ρ1=6cos=3，ρ2=sin+cos=2，所以AB|=|ρ1﹣ρ2|=1．23．已知函数f（x）=|x+1|．（I）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（Ⅱ）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（I）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由题意可得|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，化简f（ab）﹣为|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，从而证得不等式成立．【解答】解：（I）不等式f（x）＜|2x+1|﹣1，即|x+1|＜|2x+1|﹣1，∴①，或②，或③．解①求得x＜﹣1；解②求得x∈∅；解③求得x＞1．故要求的不等式的解集M={x|x＜﹣1或 x＞1}．（Ⅱ）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，则 f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．- 14 -∴f（ab）﹣=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1| =|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1| =|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．。

绝密★启用前赤峰市高三年级4·20模拟考试试题文科数学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =,{}1,3U A B = ,(){}2,4U A B = ,则集合B 为（ ） A ．{}1,3,5,6,7,8 B ．{}2,4,5,6,7,8 C ．{}5,6,7,8 D ．{}1,2,3,42、已知复数z z 对应向量的模长为2，则（ ）A ．1z =B ．1z =±+C ．1z =±D ．1z =−±3、在“万众创业”的大背景下，“直播电商”已经成为我国当前经济发展的新增长点，已知某电商平台的直播间经营化妆品和食品两大类商品，2022年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一个季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则（ ）A ．该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍；B ．该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的6倍；C ．该直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的3倍；D ．该直播间第三季度食品收入低于前两个季度的食品收入之和.4、函数()21sin f x x x x=−在()(),00,ππ− 上的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ．5、九连环是中国杰出的益智游戏，九连环由9个相互连接的环组成，这9个环套在一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这9个环从柄上解下来(或套上)，规则如下:如果要解下(或套上)第n 环，则第1n −号环必须解下(或套上)，1n −往前的都要解下(或套上)才能实现.记解下n 连环所需的最少移动步数为n a ，已知()12121,2,213n n n a a a a a n −−===++≥，若要解下7环最少需要移动圆环步数为（ ） A ．42 B ．85C ．170D ．3416、下列选项中，命题p 是命题q 的充要条件的是（ ） A ．在ABC 中，:p A B >，:sin sin q A B >.B ．已知x ,y 是两个实数，2:230p x x −−≤，:02q x ≤≤.C ．对于两个实数x ,y ,:8p x y +≠，:3q x ≠或5y ≠.D ．两条直线方程分别是1:260l ax y ++=，()22:110l x a y a +−+−=,12:p l l ∥， :2q a =或1−.7、记函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ =+><< 的最小正周期为T .若()f T =,6x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．68、四叶草曲线是数学中的一种曲线，因形似花瓣，又被称为四叶玫瑰线(如右图)，其方程为()322228xy x y +=，玫瑰线在几何学、数学、物理学等领域中有广泛应用。

2021年内蒙古赤峰市高三4月统一能力测试数学（文）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}{}21,0,1,|20M N x x x =-=--=，则()U C M N ⋂=（ ）A ．{}2B ．{}1-C ．{}2,1,2--D ．{}1,1- 2．已知复数11z i =-，则（ ） A ．z 的实部为12 B ．z 的虚部为12i - C．z =D ．z 的共轭复数为1122i + 3．若方程221y x a+=（α是常数）则下列结论正确的是（ ）A ．任意实数a 方程表示椭圆B ．存在实数a 方程表示椭圆C ．任意实数a 方程表示双曲线D ．存在实数a 方程表示抛物线4．已知()()1,2,2,4a b ==-，且ka b +与b 垂直，则k =（ ） A ．103 B ．203- C ．103- D ．203 5．某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示：根据上表得回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂，其中b ̂=−3.2,a ̂=y −b ̂x ，按此回归方程估计零售价为5元时的销售量估计为（ ）个．A ．16个B ．20个C ．24个D ．28个6．不等式220x x m -+>在R 上恒成立的必要不充分条件是（ ）A ．2m >B ．01m <<C ．0m >D ．1m > 7．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A ．34B ．55C ．78D ．89 8．设n S 是公差1d =-的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则n a =（ ）A ．12n -- B ．12n - C ．12n + D ．12n -+9．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．3100cm B ．398cm C ．388cm D ．378cm 10．已知0,2πωϕ><，若6x π=和76x π=是函数()()cos f x x ωϕ=+的两个相邻的极值点，将()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数y g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．y g x 是奇函数B ．y g x 的图象关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．y g x 的图象关于直线2x π=对称D ．yg x 的周期为π11．已知点(),P x y 满足41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，过点P 的直线与圆2214x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．2 B．．．412．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点和上顶点分别为A B 、，左、右焦点分别是12,F F ，在线段AB 上有且只有一个点P 满足12PF PF ⊥，则椭圆的离心率的平方为（ ） AC二、填空题 13．已知3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且344ππα<<，则cos α=__________． 14．若22)nx 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ．15．已知长方体1111ABCD A B C D -各个顶点都在球面上，13,2,2AB AD A A ===，过棱作AD 该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为___________． 16．已知函数()22ln f x x x a =-+在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则实数a 的取值范围__________．三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项之和为n S ，且满足*1,n n S a n N =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()1n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．如图，在多面体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是正方形，11,AC AB A BC ==∆是正三角形，11111//,2B C BC B C BC =．（1）求证：平面1A AC ⊥平面ABC ； （2）求该几何体的体积．19．从某校随机抽取200名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图： 组号 分组 频数 1 [)0,2 12 2 [)2,4 16 3 [)4,634 4 [)6,8 44 5 [)8,10 50 6 [)10,1224 7 [)12,14 12 8 [)14,16 4 9 [)16,184 合计200（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的,a b 的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．20．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点(4,22A 在椭圆上，且2AF 与x 轴垂直． （1）求椭圆的方程；（2）过2F 作直线与椭圆交于B C 、两点，求COB ∆面积的最大值． 21．设函数()()2ln 0,1xf x x a x aa a =-->≠．（1）当a e =时，求函数()f x 的图像在点()()0,0f 的切线方程；（2）若存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围． 22．选修4-1：几何证明选讲 如图，四边形ABCD 内接于O ，过点A 作O 的切线EP ，交CB 的延长线于P ，035PAB ∠=．（1）若BC 是O 的直径，求D ∠的大小 ；（2）若035PAB ∠=，求证：22DA DCAP PC=． 23．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为8cos 384sin3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是()23400ρρρ--=≥．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标系方程； （2）设直线l 与曲线 C 相交于A B 、两点，求AOB ∠的值． 24．选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()f x x a x b c =-+++的最小值为1． （1）求a b c ++的值； （2）求证：22213a b c ++≥．参考答案1．A 【解析】试题分析：因}2,2{},2,1{},1,0,1{-=-=-=M C N M U ,故}2{)(=N M C U ,应选A. 考点：集合的交集运算. 2．C 【解析】 试题分析：因i i i z 21212111--=-+=-=,故22||=z ,应选C. 考点：复数的概念及运算. 3．B 【解析】 试题分析：显然当时,该方程表示椭圆,故应选B.考点：椭圆的标准方程. 4．C 【解析】试题分析：由题设0)(=⋅+k ,即02=+⋅k ,也即0206=+k ,故310-=k ,应选C.考点：向量的坐标形式及运算. 5．C 【解析】 试题分析：因,,代入b ̂=−3.2,a ̂=y −b ̂x ,可得,则,故当时,,应选C.考点：线性回归方程及运用. 6．C 【解析】试题分析：因不等式恒成立的充要条件是1m >,故当0>m 时,不等式不是恒成立的,故0>m 是不充分条件,应选C.考点：充分必要条件的判定和运用.7．B 【解析】试题分析：由算法流程图所提供的信息可以看出50552101110321>=⨯=+⋅⋅⋅+++=c ,因输出的结果是55=c ,故应选B. 考点：算法流程图的识读和理解. 8．B 【解析】试题分析：由题设可得)64()12(1121-=-a a a ,解之得211-=a ,故n n a n -=---=21)1(21,应选B.考点：等差数列的通项及前n 项和. 9．A 【解析】试题分析：从三视图提供的图形信息和数据信息可知该几何体的一个四棱柱去掉一个三棱锥角所剩余的几何体.其体积10081084)4321(31636=-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=V ,故应选A. 考点：三视图的识读和理解. 10．B 【解析】 试题分析：由题设,故,即,所以；又因为,故,又因为0,2πωϕ><,故,所以.将其图象向左平移6π个单位后得,显然该函数的图象关于点,02π⎛⎫-⎪⎝⎭对称.故应选B. 考点：三角函数的图象和性质.【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以一道求函数解析表达式为()()cos f x x ωϕ=+的实际应用问题为背景,要求研究经过平移后的函数的图象和性质.解答本题时,首先要求确定解析式中的未知参数的值,求得()()cos f x x ωϕ=+,然后向左平移6π个单位后得.这里确定的值是解答本题的关键.11．D 【解析】试题分析：因要使弦AB 最短,则弦心距最大,根据图形可知,圆内部的点)3,1(P 到圆心)0,0(O 距离最大,此时10=OP ,因此最小弦长410142=-=L ,故应选D.考点：线性规划和直线与圆的位置关系的等有关知识的综合运用.【易错点晴】本题考查的是线性规划的有关知识与直线与圆等知识的综合运用.解答时先依据题设条件画出不等式组41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩及圆2214x y +=表示的平面区域和图形,如上图, 借助题设条件可知使弦AB 最短,则弦心距最大. 根据圆的几何性质和不等式表示的区域可知,圆内部的点)3,1(P 到圆心)0,0(O 距离最大,此时10=OP ,因此最小弦长410142=-=L ,从而使问题简捷巧妙获解.12．D 【解析】试题分析：由题设可知以21F F 为直径的圆与直线AB 相切,而直线的方程为1=+-bya x ,即0=+-ab ay bx ,故圆心)0,0(O 到直线0=+-ab ay bx 的距离c cabb a ab d ==+=22,即2c ab =,也即4222)(c c a a =-,所以124=+e e ,解之得2152-=e ,故应选D. 考点：椭圆的几何性质等知识的综合运用.【易错点晴】椭圆是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,运用椭圆的几何性质和题设中的条件将问题转化为圆心)0,0(O 到直线0=+-ab ay bx 的距离c cabb a ab d ==+=22的问题,建立了关于c a ,的方程,从而求得离心率2152-=e .借助椭圆的定义和题设条件建立方程是解答好本题的关键.13．-【解析】 试题分析：因344ππα<<,故,所以，,应填210-. 考点：三角变换及运用． 14．180 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值． 【详解】由题意可得只有第六项的二项式系数5n C 最大，∴n ＝10． 故展开式的通项公式为T r +110rC =•102r x-•2r •x ﹣2r ＝2r •10rC •1052r x-，令1052r -=0，求得r ＝2，故展开式中的常数项是 22210C =180， 故答案为180 【点睛】本题考查了二项式系数与二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题．15．2【解析】试题分析：由题意可知当截面圆的直径是AD 时,过AD 的截面圆的面积最小,即1=r ,又21744921=++=R ,故球心距2131417=-=d ,应填2. 考点：球的几何性质及运用．【易错点晴】球与几何体的外接和内切问题一直是立体几何中的重点和难点问题,也是各级各类考试的重要题型之一.求解时一定要先搞清几何体是怎样与球体内切和外接的,这是解答这类问题的关键也是解好这类问题的突破口.解答本题时,其中的题设条件截面面积最小是较难领会和理解的.只要搞清这句话的含义就能顺利求解球的半径了.因此这是本题的难点,经过分析当截面圆的直径是AD 时,过AD 的截面圆的面积最小,由此可求得求的半径21744921=++=R ,继而求得球心距2131417=-=d . 16．211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：由题设函数()22ln f x x x a =-+在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点可得方程0ln 22=+-a x x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两根.即x x a ln 22-=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两根,也即直线a y =与函数x x x h ln 2)(2-=的图象有两个交点.因x x x x x x h )1)(1(222)(/-+=-=,故当11<<x e时,0)(/<x h ,函数单调递减；当e x <<1时,0)(/>x h ,函数单调递增,其最小值为1)1(=h ,而21)1(,2)(22+=-=e e h e e h ,且)1()(e h e h >,故当2112+≤<e a 时,直线a y =与函数x x x h ln 2)(2-=的图象有两个交点.应填211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦.考点：导数和函数的图像与性质等知识的综合运用．【易错点晴】本题设置的是一道函数()22ln f x x x a =-+在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点的前提下求参数a 的取值范围问题.解答时要先将函数的零点问题转化为方程有两个根的问题.进而分离参数,再运用函数思想将问题转化为研究函数的图象的性质和最大最小值得问题.求解时,先对函数x x x h ln 2)(2-=求到得到xx x x x x h )1)(1(222)(/-+=-=,再求得最小值是212+e ,最后借助函数的图象判定当2112+≤<ea 时, 直线a y =与函数x x x h ln 2)(2-=的图象有两个交点,从而使得问题获解.整个求解过程体现了转化与化归的数学思想和数形结合的思想. 17．(1)12n n a =；(2)332n nn T +=-. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用等比数列的知识求解；(2)借助题设条件运用错位相减法求解. 试题解析：（1）解：∵1n n S a =-，则111n n S a ++=-， 作差得：11n n n a a a ++=-，∴112n n a a +=， 又111S a =-，即111112a a a =-⇒=，知0n a ≠，∴112n n a a +=，∴{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列， ∴1111222n n n a -⎛⎫==⎪⎝⎭（2）由（1）得：12n nn b +=， ∴1231234122222n n n n n T -+=+++++，∴234112341222222n n n n n T ++=+++++，∴23411111111111113342211122222222212nn n n n n n n n T +++-+++=+++++-=+-=--，∴332n n n T +=-考点：等比数列的通项、错位相减法求和等有关知识的综合运用． 18．(1)证明见解析；(2)125. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；(2)借助题设条件运用分解转化法求解. 试题解析：（1）1111AC A B A A AC ====，满足22211A A AC A C +=， 于是1A A AC ⊥，又1,,,A A AB AC AB A AC AB ⊥⋂=在平面ABC 内， 所以1A A ⊥平面ABC（2）依题意得：11111C AB BAC A B CV V V --=+， 而111111111333C A B BA A B BA V S CA -=⨯⨯=⨯⨯=， 11111111111133212C A B C A B C V S A A -⎛=⨯⨯=⨯⨯= ⎝⎭， 故11531212V =+= 考点：空间直线与平面的位置关系中面面垂直的判定、体积转化法等有关知识的综合运用． 19．(1)9.0；(2)125.0；(3)第四组. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用频率分布表和直方图的知识求解；(2)借助题设条件运用频率分布直方图求解；(3)借助频率分布直方图及分布表运用加权平均数公式计算分析推断. 试题解析：（1）根据频数分布表知，200名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有12+4+4=10名，所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是2010.9200-=，故从该校随机选取一名学生，估计其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9（2）课外阅读时间落在组[)4,6内的有34人，频率为0.17，所以0.170.0852a ===频率组距，课外阅读时间落在组[)8,10内的有50人，频率为0.25，所以0.250.1252b ===频率组距 （3）()11536121316534744950112413121541747.68200200t =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（小时），所以样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组 考点：频率分布直方图、频率分布表、加权平均数等有关知识的综合运用．20．(1)2213216x y +=；(2)【解析】试题分析：(1)借助题设条件将点(4,A 在椭圆上建立方程求解；(2)借助题设条件联立方程组,建立目标函数运用基本不等式求解. 试题解析：（1）由已知得：24,b c a ==4a b ==， 故椭圆方程为2213216x y += （2）设BC 的直线方程为()()11224,,,,x ty B x y C x y =+； 由2242320x ty x y =+⎧⎨+-=⎩，得()2228160t y y ++-=，()()222126464212810,t t t y y ∆=++=+>-=，21211422DBC S OF y y ∆=⨯⨯-=⨯=≤，当0t =时取等号，COB ∆面积取最大值为考点：椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式等有关知识的综合运用． 【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问的求椭圆的标准方程问题时,直接依据题设条件将点(4,A 的坐标代入椭圆方程建立方程,然后再结合基本量c b a ,,的关系,求出c b a ,,的值,最终求出椭圆的方程;第二问的求解过程中,先设BC 的直线方程为()()11224,,,,x ty B x y C x y =+,再与椭圆方程联立方程组消去x 得()2228160t y y ++-=.然后再借助坐标之间的关系建立目标函数2221216tt S ++=,最后运用基本不等式求出其最小值,从而使得问题获解. 21．(1)1y =-；(2)[)10,,a e e ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用导数的几何意义求解；(2)借助题设条件运用导数与函数单调性的关系分析推证. 试题解析：（1）当a e =时，()2xf x x x e =--，所以()()12,00xf x x e f ''=--=，又因为()01f =-，所以()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为1y =-（2）因为存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-成立， 而当[]1,1x ∈-时，()()()()12max min f x f x f x f x -≤-， 所以只要()()max min 1f x f x e -≥-即可． 又因为()(),,x f x f x '的变化情况如下表所示：所以()f x 在[]1,0-上是减函数，在[]0,1上是增函数，所以当[]1,1x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为()()1112ln f f a a a--=--， 令()()12ln 0g a a a a a =-->，因为()22121110g a a a a ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，所以函数()g a 在[)0,+∞上是增函数，而()10g =，故当1a >时，()0g a >，即()()11f f >-；当01a <<时，()0g a <，即()()11f f <-．所以，当1a >时，()()101f f e -≥-，即ln 1a a e -≥-，函数ln y a a =-在()1,+∞上是增函数，解得a e ≥；当01a <<时，()()101f f e --≥-，即1ln 1a e a+≥-，函数1ln y a a =+在()0,1上是减函数，解得10a e<≤． 综上可知，所求a 的取值范围为[)10,,a e e⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦考点：导数的几何意义导数在研究函数单调性和最值极值等方面的的综合运用． 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求指定点()()0,0f 处的切线方程,求解时先借助导数求得切点处的导函数值,即为切线的斜率；第二问中借助导数,运用导数求在不等式()()121f x f x e -≥-恒成立的前提下实数a 的取值范围.求解借助导数与函数单调性的关系,先求函数()f x 在闭区间]1,1[-上的最大值和最小值,其中通过构造函数,再分进行分析推证,进而求得实数a 的取值范围,从而使得问题简捷巧妙获解. 22．(1)0125D ∠=；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用圆内接四边形的性质求解；(2)借助题设条件运用相似三角形和圆幂定理推证. 试题解析：（1）解：∵EP 与圆O 相切于点0,35A ACB PAB ∠=∠=，又BC 是圆O 的直径， ∴055ABC ∠=，∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴0180ABC D ∠+∠=，∴0125D ∠=（2）证明 ：∵035DAE ∠=，∴,ACD PAB D PBA ∠=∠∠=∠， ∴ADCABP ∆∆，∴DA DCBP BA=，DBA BDA ∠=∠，∴DA BA =， ∴2DA DC BP =，2AP BP PC =，∴22DA DCAP PC= 考点：相似三角形和圆幂定理等有关知识的综合运用． 23．40y ++=，2216x y +=；(2)23AOB π∠=. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用极坐标和参数方程与直角坐标的互化关系的知识求解；(2)借助题设条件运用直线与圆的位置关系求解. 试题解析：（1）由124x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去t ，得直线l40y ++=，()()2340,140,4ρρρρρ--=+-==曲线C 的直角坐标系方程为2216x y +=（2）C 的圆心()0,0到直线40l y ++=的距离为2d ==，∴121cos 242AOB ∠==，∵1022AOB π<∠<∠，∴123AOB π∠=，故23AOB π∠=考点：极坐标参数方程、直线与圆的位置关系等有关知识的综合运用． 24．(1)1；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用绝对的几何意义求解；(2)借助题设条件运用配方法分析推证.（1）因为0,0,0a b c >>>()f x x a x b c x a x b c a b c =-+++≥---+=++，当且仅当()()0x a x b --≤时取等号，所以1a b c ++=． （2）因为()()()22222222313a b ca b c a b c ++-=++-++()()()2222222222220a b c ab bc ac a b b c c a =++---=-+-+-≥所以22213a b c ++≥考点：绝对值不等式的几何意义和配方法等有关知识的综合运用．。

2024年内蒙古高三数学（文科）4月第二次模拟考试卷2024.04注意事项：1.考生答卷前，务必将自己的姓名､座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}15U x x =-<<，集合A 满足{}03U A x x =≤<ð，则（）A ．0A ∈B ．1A ∉C ．2A∈D ．3A∉2．已知复数13=+z i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．3-B ．3i-C ．1-D ．i-3．设m ，n ∈R ，则“1mn =”是“lg 0lg m n +=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若非零向量a b ､满足||||||a b a b ==+ ，则向量a 与向量a b +的夹角为（）A ．150B ．120C ．60D ．305．从分别写有1,2,3,4,5,6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是3的倍数的概率为（）A ．35B ．25C ．13D ．156．已知函数()222x x af x ++=的值域为M .若()1,M ∞+⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞7．已知数列{}n a 为等比数列，且11a =，916a =，设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，若55b a =，则9S =（）A ．－36或36B ．－36C ．36D ．188．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()()1sin 2R 2sin f x x x x =+∈，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 的最大值为32C ．()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在区间[]0,π上有2个零点9．在平面直角坐标系xOy 中，设()2,4A ，()2,4B --，动点P 满足1PO PA ⋅=-，则tan PBO ∠的最大值为（）A ．22121B ．42929C ．24141D ．2210．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BD 的中点，则直线1B E 与1A D 所成角的余弦值为（）A ．0B ．12C ．22D 311．设()g x 是定义域为R 的奇函数，且()()11g x g x -=+.若1233g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则133g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．23-B ．13-C ．13D ．2312．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线C 的离心率为e ，在第一象限存在点P ，满足12sin 1e PF F ⋅∠=，且1224F PF S a = ，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．抛物线21x y a=的准线方程为1y =，则实数a 的值为.14．在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a =4b =，cos 0c B a ⋅+=，则边c =.15．若实数,x y 满足约束条件502101x y x y x +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最小值为.16．已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为4π的球O 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入m （万元）与科技升级直接收益y （万元）的数据统计如下：序号1234567m234681013y13223142505658根据表格中的数据，建立了y 与m 的两个回归模型：模型①：;ˆ 4.111.8ym =+模型②：21.314.4ˆy m =.(1)根据下列表格中的数据，比较模型①､②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高､更可靠的模型；(2)根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益.回归模型模型①模型②回归方程ˆ 4.111.8ym =+21.314.4ˆym =-()721ˆi i i y y=-∑182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数()()222121ˆ1iii nii y yR R y y ==-=--∑∑越大，模型的拟合效果越好）18．如图，在多面体DABCE 中，ABC 是等边三角形，2,2AB AD DB DC EB EC ======(1)求证：BC AE ⊥；(2)求三棱锥B ACD -的体积.19．已知函数()()()()22ln 120f x a x x a x a =-+-≥.(1)若1x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值；(2)求函数()y f x =的单调区间.20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点()0,1，且焦距为3(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点()1,0S 作两条互相垂直的弦,AB CD ，设弦,AB CD 的中点分别为,M N .证明：直线MN 必过定点.21．已知数列{}n a 为有穷数列，且*N n a ∈，若数列{}n a 满足如下两个性质，则称数列{}n a 为m 的k 增数列：①123n a a a a m +++⋯+=；②对于1i j n ≤<≤，使得<i j a a 的正整数对(),i j 有k 个.(1)写出所有4的1增数列；(2)当5n =时，若存在m 的6增数列，求m 的最小值.（二）选考题：共10分.请者生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所写的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1,cos 3sin cos x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数，2k παπ≠+），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)已知点()2,0P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11PA PB-的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知()223f x x x =++-．(1)求不等式()5f x ≤的解集；(2)若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：11192a b b c a c m++≥+++．1．B【分析】根据全集和集合A 在全集中的补集易得集合A ，逐一判断选项即可.【详解】由{}15U x x =-<<，{}03U A x x =≤<ð，可得{|10A x x =-<<或35}x ≤<则0A ∉，1A ∉，2A ∉，3A ∈，故B 项正确，A,C,D 项均是错误的.故选：B.2．A【分析】由共轭复数以及虚部的概念即可得解.【详解】因为复数13=+z i ，所以13i z =的虚部为3.故选：A.3．B【分析】通过举反例说明“1mn =”不是“lg 0lg m n +=”的充分条件，再由对数的运算性质由lg 0lg m n +=推得1mn =，即得结论.【详解】由1mn =不能推出lg 0lg m n +=，如1m n ==-满足1mn =，但lg ,lg m n 无意义，故“1mn =”不是“lg 0lg m n +=”的充分条件；再由lg 0lg m n +=可得lg()0mn =，即得1mn =，故“1mn =”是“lg 0lg m n +=”的必要条件.即“1mn =”是“lg 0lg m n +=”的必要不充分条件.故选：B.4．C【分析】利用向量加法的三角形法则作出图象，根据图象得答案.【详解】如图：若||||||a b a b ==+，则ABC 为等边三角形则向量a 与向量a b +的夹角为60 .故选：C.5．A【分析】根据题意，用列举法分析“从六张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．【详解】根据题意，从六张卡片中无放回随机抽取2张，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种取法，其中抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数有(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,6)，(5,6)，共9种情况，则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率59315P ==；故选：A ．6．B【分析】化复合函数()222xx af x ++=为()2uf u =，22a u x x =++，根据已知条件()1,M ∞+⊆，确定u 的取值范围，再根据u 的取值范围确定a 的取值范围即可.【详解】因为()222xx af x ++=，令22a u x x =++，所以()2uf u =；令函数22a u x x =++的值域为N ，因为()1,M ∞+⊆，所以()0,N ∞+⊆，所以22x x a ++必须能取到()0,∞+上的所有值，2min4244044a a u ⨯--==≤，解得1a ≤.故选：B 7．C【分析】根据等比数列的通项公式求得44q =，继而求得55b a =的值，利用等差数列前n 项和公式进行计算即可.【详解】数列{}n a 为等比数列，设公比为q ，且11a =，916a =，则89116a q a ==，则44q =，则45514b a a q ===，则()199599362b b S b+⨯===，故选：C.8．D【分析】对于A ，考查函数sin y x =与1sin 22y x =的周期即可；对于B ，考查函数sin y x =与1sin 22y x=的最大值，验证同时取最大值时的条件即可判断；对于C ，利用中心对称的条件进行验证即可；对于D ，令()0f x =，解方程即可.【详解】对于A,因为sin y x =的周期为2π，1sin 22y x =的周期为π，所以()1sin sin 22f x x x =+的周期为2π，故A 错误；对于B,因为函数sin y x =的最大值为1,1sin 22y x =的最大值为12，故两个函数同时取最大值时，()f x 的最大值为32，此时需满足π2π,Z 2x k k =+∈且π22π,Z 2x k k =+∈，不能同时成立，故最大值不能同时取到，故()f x 的最大值不为32，则B 错误；对于C ，()()()1πsin πsin 2π2f x x x ⎡⎤-=-+-⎣⎦1sin sin 22x x =-，则()()π2sin 0f x f x x +-=≠，故()f x 的图象不关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 错误；对于D,因为()()1sin sin 2sin 1cos 02f x x x x x =+=+=时，sin 0x =，又[]0,πx ∈，所以0x =或者πx =；或者1cos 0x +=，此时cos 1x =-，又[]0,πx ∈，所以πx =，综上可知，()f x 在区间[]0,π上有2个零点，故D 正确，故选：D.9．C【分析】设出点(),P x y ，利用数量积的坐标表示得到点P 的轨迹，结合直线与圆的关系进行求解即可.【详解】设(),P x y ，则(),PO x y =-- ，()2,4PA x y =--，则()()241PO PA x x y y ⋅=----=-，即222410x x y y -+-+=，化为()()22124x y -+-=，则点P 的轨迹为以()1,2D 为圆心，半径为2的圆，又44222OB OD k k -====-，所以,,B O D 三点共线，显然当直线PB 与此圆相切时，tan PBO ∠的值最大.又223635,2BD PD +==,则2245441PB BD PD =--=则2241tan 4141PDPBO PB∠==故选：C.10．D【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量的夹角余弦公式求出答案.【详解】以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()()()()112,0,2,0,0,0,2,2,2,1,1,0A D B E，则直线1B E 与1A D 所成角的余弦值为()()1111112,0,21,1,263cos ,244114226A D B E A D B E A D B E⋅--⋅---====+⨯++⨯⋅ 故选：D 11．A【分析】结合抽象函数的奇偶性，周期性求解即可.【详解】若()()11g x g x -=+，且()g x 是定义域为R 的奇函数，故()()g x g x -=-，则()()2g x g x -=+，()()2g x g x -=+，变形得()()()42g x g x g x +=-+=，可得()g x 周期为4，则131123333g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 正确.故选：A12．A【分析】由题意设1PF t =，则22PF t a =-，而121sin aPF F e c∠==，122F F c =，由三角形面积公式可得14=PF a ，从而22PF a =，在12PF F △中，运用余弦定理可得2ba=，由此即可得解.【详解】设1PF t =，则22PF t a =-，而12sin 1e PF F ⋅∠=，所以121sin a PF F e c∠==，所以点P 到12F F 的距离为112sin a PF PF F t c∠=，又122F F c =，所以1221242F PF aS c t a c=⋅⋅= ，解得4t a =，即14=PF a ，从而22PF a =，又因为121sin a PF F e c∠==，所以212cos 1a bPF F c c ⎛⎫∠=- ⎪⎝⎭，在12PF F △中，由余弦定理有()()()22212422cos 242a c a b PF F c a c+-∠==⋅⋅，所以22222444ab a c a b a =+-=+，即22440b ba a-+=，解得2ba=，双曲线C 的渐近线方程为20x y ±=.故选：A.13．14-##0.25-【分析】根据抛物线方程及准线方程列出方程，解出即可.【详解】依题可知114a-=，则14a =-，故答案为：14-.1410【分析】由余弦定理化角为边，化简整理后，代值计算即得.【详解】因cos 0c B a ⋅+=，由余弦定理，22202a c b c a ac+-⋅+=，化简得2223a c b +=，因2a =4b =，故22310c b a =-=1015．5【分析】利用约束条件画出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，结合图形即可得解．【详解】画出约束条件502101x y x y x +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩的可行域如下图所示阴影，由z x y =+，得y x z =-+，移动直线簇y x z =-+，当y x z =-+与50x y +-=重合时，z 取得最小值；联立50210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，则()3,2A ，此时点()3,2A 在直线z x y =+上，故325z =+=．故答案为：5.16．2π【分析】由题意，先求出球的半径，再由球和圆柱的位置关系得到圆柱的底面半径、母线和球的半径的关系，然后利用基本不等式求出圆柱的侧面积的最大值.【详解】设球的半径为R ，圆柱的底面半径为r ，母线为l ，由题意可知，24π4πS R ==解得1R =，又圆柱的两个底面的圆周在表面积为4π的球O 的球面上，所以圆柱的两个底面的的圆心关于球心对称，且22212l r R ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，圆柱的侧面积2πS rl =，0l >，因为22242l l r r rl +≥⨯=，当且仅当2l r =，即2,22r l ==所以1rl ≤，2π2πS rl =≤.故答案为：2π.17．(1)模型①的相关指数小于模型②的相关指数，即模型②的拟合效果精度更高､更可靠.(2)198.6【分析】（1）利用相关指数的定义判断相关性即可.（2）将给定数值代入拟合模型中求预测值即可.【详解】（1）由表格中的数据，182.479.2>，()()()()777722221111182.479.2182.479.2,11i i i i i i i i i i i i y y y y y y y y ====∴>-<-----∑∑∑∑所以，模型①的相关指数小于模型②的相关指数，即模型②的拟合效果精度更高､更可靠.（2）当100m =万元时，科技升级直接收益的预测值为：ˆ21.310014.421314.4198.6y =-=-=（万元）18．(1)证明见解析3【分析】（1）首先取BC 中点O ，连接,AO EO ，根据题意易证AO BC ⊥，EO BC ⊥，从而得到BC ⊥平面AEO ，再根据线面垂直的性质即可得到BC AE ⊥.（2）首先连接DO ，易证DO BC ⊥，DO AO ⊥，即可得到DO ⊥平面ABC ，再根据B ACD D ABC V V --=求解即可.【详解】（1）取BC 中点O ，连接,AO EO.ABC 是等边三角形，O 为BC 中点，AO BC ∴⊥，又,EB EC EO BC =∴⊥，AO EO O ⋂= ，,AO EO ⊂平面AEO ，BC ∴⊥平面AEO ，又AE ⊂平面AEO ，BC AE ∴⊥.（2）连接DO ，如图所示：因为DB DC =，O 为BC 中点，则DO BC ⊥，由2,2AB AC BC DB DC EB EC =======得3,1AO DO ==，又2222,AD AO DO AD =∴+=，DO AO ∴⊥，又AO BC O = ，,AO BC ⊂平面ABC ，DO ∴⊥平面ABC ，所以21133213343B ACD D ABC ABC V V S DO --==⋅⨯⨯⋅== .19．(1)1(2)单调减区间为()0,a ，单调增区间为(),a +∞【分析】（1）由1x =是函数()y f x =的极值点，()01f '=，求解验证即可；（2）利用导函数求解函数的单调区间即可.【详解】（1）函数定义域为()0,∞+，()()22212ax a x af x x +--='，因为1x =是函数()y f x =的极值点，所以()21120f a a -'=+=，解得12a =-或1a =，因为0a ≥，所以1a =.此时()()()221121x x x x f x x x +---=='，令()0f x '>得1x >，令()0f x '<得01x <<，∴()f x 在()0,1单调递减，在()1,∞+单调递增，所以1x =是函数的极小值点.所以1a =.（2）()()()()2221221ax a x aax x a f x x x'+--+-==.因为0a ≥，所以20ax ≥，令()0f x '>得x a >；令()0f x '<得0x a <<；∴函数的单调减区间为()0,a ，单调增区间为(),a ∞+.20．(1)2214x y +=；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，求出,a b 即可求出椭圆E 的方程.（2）直线AB 不垂直于坐标轴时，设出直线方程并与椭圆方程联立求出中点坐标，求出直线MN 即得，再验证,AB CD 之一垂直于x 轴的情况即可.【详解】（1）依题意，椭圆半焦距3c =1b =，则2224a b c =+=，所以椭圆的方程为2214x y +=.（2）当直线AB 不垂直于坐标轴时，设直线AB 的方程为()10x my x =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，由CD AB ⊥，得直线CD 的方程为11x y m=-+，由22144x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得：22(4)230m y my ++-=，则21222Δ16480,4m m y y m -=+>+=+，故()12122824x x m y y m +=++=+，于是224(,44m M m m -++，由1m -代替m ，得2224(,1414m m N m m ++，当22244414m m m=++，即21m =时，直线MN ：45x =，过点4(,0)5K ，当22244414m m m ≠++，即21m ≠时，直线MN 的斜率为2222225144444(1)144m m m m m m m m m --++=--++，直线MN ：22254()44(1)4m m y x m m m +=-+-+，令222224(1)441640,5(4)(4)5(4)5m m y x m m m -+==+==+++，因此直线MN 恒过点4(,0)5K ，当直线,AB CD 之一垂直于x 轴，另一条必垂直于y 轴，直线MN 为x 轴，过点4(,0)5K ，所以直线MN 恒过点4(,0)5K .【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点.21．(1)所有4的1增数列有数列1,2,1和数列1，3(2)7【分析】（1）利用给定的新定义，求出所有符合条件的数列即可.（2）运用给定的新定义，分类讨论求出结果即可.【详解】（1）由题意得124n a a a +++= ，则1124++=或134+=，故所有4的1增数列有数列1,2,1和数列1，3.（2）当5n =时，因为存在m 的6增数列，所以数列{}n a 的各项中必有不同的项，所以6m ≥且*N m ∈，若6m =，满足要求的数列{}n a 中有四项为1，一项为2，所以4k ≤，不符合题意，所以6m >若7m =，满足要求的数列{}n a 中有三项为1，两项为2，符合m 的6增数列.所以，当5n =时，若存在m 的6增数列，m 的最小值为7.22．(1)C ：2231y x -=，直线l ：320x -=(2)23【分析】（1）用消参数法化参数方程为普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化极坐标方程为直角坐标方程；（2）化直线方程为P 点的标准参数方程，代入抛物线方程利用参数几何意义结合韦达定理求解．【详解】（1）曲线C 的参数方程为1,cos 3sin ,cos x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数，2k παπ≠+），所以222221sin ,cos 3cos y x ααα==，所以22 1.3y x -=即曲线C 的普通方程为2231y x -=．直线l 的极坐标方程为πcos 13ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ππcos cos sin sin 133ρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，转换为直角坐标方程为320x -=．（2）直线l 过点(2,0)P ，直线l 的参数方程为32,1,2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）令点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，由32212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2231y x -=，得226390t t ++=，则1233t t +=-，1292t t =，即t 1、t 2为负，故21212211212121212()4||||||11112||||||||||||3t t t t t t t t PA PB t t t t t t t t +----=-====．23．(1)403x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭(2)证明见解析【分析】（1）将()f x 的解析式写出分段函数的形式，解不等式即可.（2）先求()f x 的最小值，方法1：运用多个绝对值之和最小值求法，方法2：运用函数单调性；再运用“1”的代换与基本不等式可证得结果.【详解】（1）223,1()223223,13223,3x x x f x x x x x x x x x --+-≤-⎧⎪=++-=++--<<⎨⎪++-≥⎩即：31,1()5,1331,3x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩①当1x ≤-时，43153x x -+≤⇒≥-，解得413x -≤≤-；②当13x -<<时，550x x +≤⇒≤，解得10-<≤x ；③当3x ≥时，3152x x -≤⇒≤，无解，综上：不等式的解集为403x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．（2）方法1：()2131311304f x x x x x x x x =++-=++-++≥+-++=，当且仅当=1x -时等号成立．所以min ()4f x =，所以4m =，即4a b c m ++==.方法2：由（1）知，()f x 在(,1]-∞-上单调递减，在(1,3)-上单调递增，在[3,)+∞上单调递增，所以min ()(1)4f x f =-=,所以4m =，即4a b c m ++==.∴()()()11111118a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭3188b ca bb c c a a b c a a b b c c a b c c a a b ++++++⎛⎫=++++++ ⎪++++++⎝⎭319222888b c a b b c c a a b c aa b b c c a b c c a a b ⎛⎫++++++≥+⋅+⋅+⋅= ⎪ ⎪++++++⎝⎭，当且仅当a b b c c a +=+=+，即43a b c ===时，等号成立．。

内蒙古赤峰市数学高三理数第四次联考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1.（2 分）(2019 高一下·安徽月考) 设集合，集合，则A.B.C. D. 2. （2 分） 若复数 z 满足 A . 1+2i B . 1 2i C.其中 i 为虚数单位，则 z=（ ）D.（）3. （2 分） (2017·浙江) 若 x、y 满足约束条件 A . [0，6] B . [0，4] C . [6，+∞） D . [4，+∞），则 z=x+2y 的取值范围是（ ）4.（2 分）过抛物线 （）的焦点的直线 l 交抛物线于、第 1 页 共 15 页两点，如果，则A.8 B.9 C . 10 D . 11 5. （2 分） 随机抽取某中学甲，乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图 ， 则下列关于甲，乙两班这 10 名同学身高的结论正确的是（ ）A . 甲班同学身高的方差较大 B . 甲班同学身高的平均值较大 C . 甲班同学身高的中位数较大 D . 甲班同学身高在 175 以上的人数较多 6. （2 分） (2016 高一上·承德期中) 如图所示，阴影部分的面积 S 是 h 的函数（0≤h≤H），则该函数的图 象是下面四个图形中的（ ）A.第 2 页 共 15 页B. C.D. 7.（2 分）(2018 高二下·揭阳月考) 函数在一个周期的图象如下，此函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 8. （2 分） (2017·腾冲模拟) 某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（ ）第 3 页 共 15 页A.B.C.D.9. （2 分） (2017 高二上·清城期末) 圆柱的底面半径为 r，其全面积是侧面积的 中点，若在圆柱内任取一点 P，则使|PO|≤r 的概率为（ ）倍．O 是圆柱中轴线的A.B.C.D. 10. （2 分） sin（﹣1740°）的值是（ ）A.﹣ B.﹣ C.D.第 4 页 共 15 页11.（2 分）(2016 高三上·上虞期末) 如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为 BC1 的中点，则 DE 与面 BCC1B1 所成角的正切值为（ ）A. B. C.D. 12. （2 分） (2019 高二上·烟台期中) 若函数 取值范围是（ ）A.在区间内是增函数，则实数 的B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13.（1 分）(2012·北京) 己知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点．则的值为________．14. （1 分） (2017·黑龙江模拟) 设 a= dx，则二项式（x+________．第 5 页 共 15 页）（2x﹣）5 的展开式中的常数项是15. （1 分） 已知双曲线的离心率 e=2，则其渐近线方程为________16. （1 分） (2019·江门模拟) 已知 、 、 是锐角△内角 、 、 的对边， 是△的面积，若，，，则 ________．三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)17. （10 分） (2018·枣庄模拟) 已知数列 是等比数列，首项且成等差数列，。

内蒙古赤峰市2019届高三4月统一考试数学理科试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共6分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合M={﹣2，﹣1，0，1，2}，N={x|＜1}，则M∩N等于（）A．{1} B．{0，1}C．{1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．复数z=﹣3+（1+i）2在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列函数中，不是偶函数的是（）A．y=1﹣x2 B．y=tanx C．y=cos2x D．y=3x+3﹣x4．双曲线=1的左焦点到右顶点的距离为（）A．1 B．2 C．4 D．55．已知变量x与y线性相关，且由观测数据算得样本平均数分别为=4，=3，则由该观测数据算得的线性回归方程不可能是（）A．=0.2x+2.2 B．=0.3x+1.8 C．=0.4x+1.4 D．=0.5x+1.26．若变量x、y满足约束条件则z=4x+y的最大值为（）A．﹣8 B．10 C．12 D．157．某几何体的三视图如图所示．则该几何体的体积等于（）A．B．2 C．D．38．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，3cosA﹣cos（B+C）=1，a=，B=，则b等于（）A．B．3 C．2D．9．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0．|φ|＜）的图象如图所示，则函数y=f（x）+ω的对称中心坐标为（）A．（kπ+，）（k∈Z）B．（3kπ﹣，）（k∈Z）C．（kπ+，）（k∈Z）D．（﹣，）（k∈Z）11．设α为锐角，则“tanα＞2”是“﹣＜tan2α＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．若直线y=a与函数y=||的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（）A．{}B．（0，）C．（，e）D．（，1）∪{}二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的横线上）13．设与的夹角为60°，且||=2，||=，则•=．14．（1﹣）7的展开式中x2的系数为．15．过原点且与直线平行的直线l被圆所截得的弦长为．16．在底面为正方形的四棱锥S﹣ABCD中，SA=SB=SC=SD，异面直线AD与SC所成的角为60°，AB=2，则四棱锥S﹣ABCD的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设S n为等比数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=3．（1）求a n，S n；（2）若a3，S n+5，a5成等差数列，求n的值．18．为调查了解某药物使用后病人的康复时间，从1000个使用该药的病人的康复时间中抽取了24个样本，数据如下图中的茎叶图（单位：周）．专家指出康复时间在7周之内（含7周）是快效时间．（1）求这24个样本中达到快效时间的频率；（2）以（1）中的频率作为概率，从这1000个病人中随机选取3人，记这3人中康复时间达到快效时间的人数为X，求X的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，BC=4，EF=2，四边形EFCB是高为的等腰梯形，EF∥BC，O为EF的中点．（1）求证：AO⊥CF；（2）求二面角F﹣AE﹣B的正弦值．20．设椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且左焦点在抛物线y2=4x的准线上．（1）求椭圆的方程；（2）若在y轴上的截距为4的直线l与椭圆分别交于A，B两点，O为坐标原点，且直线OA，OB的斜率之和等于2，求直线AB的斜率．21．已知函数f（x）=（a＞0）．（1）若a＞，且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为﹣，求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞1时，f（x）＞．请考生在22、23题中任选一题作答，[选修4-1：几何证明选择][选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，圆N的方程为ρ2﹣6ρsinθ=﹣8．（1）求圆N的直角坐标方程；（2）判断直线l与圆N的位置关系．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤14的解集；（2）若f（x）≥a2对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．内蒙古赤峰市2019届高三4月统一考试数学理科试题参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共6分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合M={﹣2，﹣1，0，1，2}，N={x|＜1}，则M∩N等于（）A．{1} B．{0，1}C．{1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合N，结合已知中集合M，和集合的交集运算，可得答案．【解答】解：∵集合M={﹣2，﹣1，0，1，2}，N={x|＜1}=[1，2），∴M∩N={1}，故选：A2．复数z=﹣3+（1+i）2在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由z=﹣3+（1+i）2，得z=﹣3+2i．则复数z=﹣3+（1+i）2在复平面内对应的点的坐标为：（﹣3，2），位于第二象限．故选：B．3．下列函数中，不是偶函数的是（）A．y=1﹣x2 B．y=tanx C．y=cos2x D．y=3x+3﹣x【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：y=tanx在定义域内是奇函数，其余都是偶函数，故选：B4．双曲线=1的左焦点到右顶点的距离为（）A．1 B．2 C．4 D．5【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，由c=，可得c，即可得到左焦点和右顶点，进而得到它们的距离．【解答】解：双曲线=1的a=2，b=，c==3，可得右顶点为（2，0），左焦点为（﹣3，0），可得左焦点到右顶点的距离为5．故选：D．5．已知变量x与y线性相关，且由观测数据算得样本平均数分别为=4，=3，则由该观测数据算得的线性回归方程不可能是（）A．=0.2x+2.2 B．=0.3x+1.8 C．=0.4x+1.4 D．=0.5x+1.2【考点】线性回归方程．【分析】将样本平均数代入回归方程逐一验证．【解答】解：由最小二乘法原理可知样本平均数（4，3）在线性回归方程上．对于A，当x=4时，y=0.8+2.2=3，对于B，当x=4时，y=1.2+1.8=3，对于C，当x=4时，y=1.6+1.4=3，对于D，当x=4时，y=2+1.2=3.2≠3．故选：D．6．若变量x、y满足约束条件则z=4x+y的最大值为（）A．﹣8 B．10 C．12 D．15【考点】简单线性规划．【分析】利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后由z=4x+y得y=﹣4x+z，根据平移直线确定目标函数的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=4x+y得y=﹣4x+z，平移直线y=﹣4x+z，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（4，﹣1），代入z=4x+y得最大值为z=16﹣1=15．故选：D．7．某几何体的三视图如图所示．则该几何体的体积等于（）A．B．2 C．D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱柱与三棱柱的组合体．【解答】解：由三视图可知该几何体上部分为四棱柱，下部分为三棱柱，四棱柱的底面为边长为1的正方形，高为2，三棱柱的底面为等腰直角三角形，直角边为1，三棱柱的高为1，所以几何体的体积V=1×1×2+=．故选C．8．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，3cosA﹣cos（B+C）=1，a=，B=，则b等于（）A．B．3 C．2D．【考点】两角和与差的余弦函数；余弦定理．【分析】由条件利用诱导公式，同角三角函数的基本关系求得cosA、sinA的值，利用正弦定理求得b的值．【解答】解：△ABC中，由3cosA﹣cos（B+C）=3cosA+cosA=4cosA=1，可得cosA=，∴sinA==．再根据a=，B=，利用正弦定理可得=，即=，求得b=2，故选：C．9．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由=（﹣），模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）的值，用裂项法计算即可得解．【解答】解：∵==（﹣），∴模拟执行程序，可得n=10，S=0，i=2满足条件i≤10，S==（1﹣），i=4满足条件i≤10，S=（1﹣）+（﹣），i=6满足条件i≤10，S=（1﹣）+（﹣）+（﹣），i=8满足条件i≤10，S=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣），i=10 满足条件i≤10，S=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣），i=12不满足条件i≤10，退出循环，输出S=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）=（1﹣）=．故选：A．10．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0．|φ|＜）的图象如图所示，则函数y=f（x）+ω的对称中心坐标为（）A．（kπ+，）（k∈Z）B．（3kπ﹣，）（k∈Z）C．（kπ+，）（k∈Z）D．（﹣，）（k∈Z）【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式；再利用正弦函数的图象的对称性，求得y=f（x）+ω的对称中心坐标．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0．|φ|＜）的图象，可得=﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=，求得φ=，f（x）=2sin（x+）．则函数y=f（x）+ω=2sin（x+）+，令x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，故函数y=f（x）+ω=的对称中心坐标为（﹣，），k∈Z，故选：D．11．设α为锐角，则“tanα＞2”是“﹣＜tan2α＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合正切函数的图象和性质以及一元二次不等式的解法进行求解即可．【解答】解：由tanα＞2，α为锐角得60°＜arctan2＜α＜90°，则120°＜2α＜180°则tan（2arctan2）＜tan2α＜0，而tan（2arctan2）=﹣＜0，所以，有“﹣＜tan2α＜0”；充分性成立．∵α为锐角，∴0°＜2α＜180°，∵﹣＜tan2α＜0，∴90°＜2α＜180°，则45°＜α＜90°，则tanα＞1由﹣＜tan2α＜0得﹣＜，即﹣（1﹣tan2α）＞2tanα，即2tan2α﹣3tanα﹣2＞0，解得tanα＞2或tanα（舍），即必要性成立，故“tanα＞2”是“﹣＜tan2α＜0”的充分必要条件，故选：C12．若直线y=a与函数y=||的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（）A．{}B．（0，）C．（，e）D．（，1）∪{}【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象．【分析】先求得函数y=||的定义域为（0，+∞），再分段y=||=，从而分别求导确定函数的单调性，从而解得．【解答】解：函数y=||的定义域为（0，+∞），y=||=，当x∈（0，e﹣1）时，y′=，∵x∈（0，e﹣1），∴lnx＜﹣1，∴y′=＜0，∴y=||在（0，e﹣1）上是减函数；当x∈（e﹣1，+∞）时，y′=﹣，∴当x∈（e﹣1，）时，∴y′＞0，当x∈（，+∞）时，∴y′＜0，∴y=||在（e﹣1，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数；且||=+∞，f（e﹣1）=0，f（）=， ||=0，故实数a的取值范围为（0，），故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的横线上）13．设与的夹角为60°，且||=2，||=，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的定义计算．【解答】解：=2=．故答案为：．14．（1﹣）7的展开式中x2的系数为7．【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．【解答】解：由于（1﹣）7的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，令=2，求得r=6，可得展开式中x2的系数为=7，故答案为：7．15．过原点且与直线平行的直线l被圆所截得的弦长为2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先求出直线l：=0，再求出圆的圆心、半径和圆心（0，）到直线l：=0的距离d，由此能求出直线l被圆所截得的弦长．【解答】解：设与直线平行的直线l为+c=0，∵l过原点，∴c=0，∴直线l：=0，圆的圆心（0，），半径r=，圆心（0，）到直线l：=0的距离d==1，∴直线l被圆所截得的弦长|AB|=2=2=2．故答案为：2．16．在底面为正方形的四棱锥S﹣ABCD中，SA=SB=SC=SD，异面直线AD与SC所成的角为60°，AB=2，则四棱锥S﹣ABCD的外接球的表面积为8π．【考点】球的体积和表面积．【分析】作出直观图，根据所给条件寻找外接球的球心位置，计算球的半径，即可求出四棱锥S﹣ABCD的外接球的表面积为．【解答】解：取底面中心O，BC中点E，连结SO，SE，OE，则OE=AB=1，OA=OB=OC=OD=，SO⊥平面ABCD，∴SO⊥OE，∵AD∥BC，∴∠SCB为异面直线AD，SC所成的角，即∠SCB=60°，∵SB=SC，∴△SBC是等边三角形，∵BC=AB=2，∴SE=，∴SO==．∴OA=OB=OC=OD=OS，即O为四棱锥S﹣ABCD的外接球球心．∴外接球的表面积S=4π×（）2=8π．故答案为：8π．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设S n为等比数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=3．（1）求a n，S n；（2）若a3，S n+5，a5成等差数列，求n的值．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（2）由a3，S n+5，a5成等差数列，可得2（S n+5）=a3+a5，再利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=1，a2=3．∴q==3．∴a n=3n﹣1．S n==．（2）∵a3，S n+5，a5成等差数列，∴2（S n+5）=a3+a5，∴3n﹣1+10=32+34，化为3n=34，解得n=4．18．为调查了解某药物使用后病人的康复时间，从1000个使用该药的病人的康复时间中抽取了24个样本，数据如下图中的茎叶图（单位：周）．专家指出康复时间在7周之内（含7周）是快效时间．（1）求这24个样本中达到快效时间的频率；（2）以（1）中的频率作为概率，从这1000个病人中随机选取3人，记这3人中康复时间达到快效时间的人数为X，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由茎叶图得24个样本中，康复时间在7周之内（含7周）的样本个数为8个，由此能求出这24个样本中达到快效时间的频率．（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，X～B（3，），由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（1）由茎叶图得24个样本中，康复时间在7周之内（含7周）的样本个数为8个，∴这24个样本中达到快效时间的频率p=．（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，X～B（3，），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，0 1 2 3EX==1．19．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，BC=4，EF=2，四边形EFCB是高为的等腰梯形，EF∥BC，O为EF的中点．（1）求证：AO⊥CF；（2）求二面角F﹣AE﹣B的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）推导出AO⊥EF，从而AO⊥平面EFCB，由此能证明AO⊥CF．（2）取BC中点D，以O为原点，OB为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AE﹣B的正弦值．【解答】证明：（1）∵在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，O为EF 的中点，∴AO⊥EF，∵平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF⊥∩平面EFCB=EF，∴AO⊥平面EFCB，∵CF⊂平面EFCB，∴AO⊥CF．解：（2）取BC中点D，以O为原点，OB为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，），E（1，0，0），F（﹣1，0，0），B（2，，0），=（1，0，﹣），=（2，，﹣），设平面ABE的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（，﹣1，1），平面AEF的法向量=（0，1，0），设二面角F﹣AE﹣B的平面角为θ，则cosθ==，sinθ==．∴二面角F﹣AE﹣B的正弦值为．20．设椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且左焦点在抛物线y2=4x的准线上．（1）求椭圆的方程；（2）若在y轴上的截距为4的直线l与椭圆分别交于A，B两点，O为坐标原点，且直线OA，OB的斜率之和等于2，求直线AB的斜率．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）根据抛物线的性质求得其准线方程，即可求得椭圆的焦点坐标，跟据离心率的定义，求得可求a和b，求得椭圆方程；（2）根据椭圆方程，设出直线AB的方程，代入椭圆消去y得到关于x的一元二次方程，利用判别式△＞0，求得k的取值范围，根据韦达定理求得x1+x2及x1•x2，分别求得直线OA及OB的斜率，根据斜率之和等于2，即可求得k的值．【解答】解：（1）由抛物线y2=4x的准线为，x=﹣，∴椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点坐标为（﹣，0），∴c=，由e==，∴a=2，由a2=b2+c2，求得b=1，故椭圆的方程为：，设椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且左焦点在抛物线y2=4x的准线上．（2）设直线l AB：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入椭圆方程整理得：（1+4k2）x2+32kx+60=0，△=（32k）2﹣240（1+4k2）＞0，解得k＞或k＜﹣，由韦达定理可知x1+x2=﹣，x1•x2=，k OA+k OB=+==2k+4×=2k+4×，∵直线OA，OB的斜率之和等于2，即2k+4×=2，解得k=﹣15，∴直线AB的斜率﹣15．21．已知函数f（x）=（a＞0）．（1）若a＞，且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为﹣，求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞1时，f（x）＞．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a=1，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；（2）要证当x＞1时，f（x）＞（a＞0），即证当x＞1时，＞（a＞0），即有当x＞1时，9+lnx＜9x．令g（x）=9+lnx﹣9x（x＞1），求出导数，判断单调性，即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，即有在点（2，f（2））处的切线的斜率为=﹣，解得a=＜（舍去）或a=1，即有f（x）=的导数为f′（x）=，由f′（x）＞0，可得﹣1＜x＜1，由f′（x）＜0，可得x＞1或x＜﹣1．则f（x）的增区间为（﹣1，1），减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；（2）证明：要证当x＞1时，f（x）＞（a＞0），即证当x＞1时，＞（a＞0），即有当x＞1时，9+lnx＜9x．令g（x）=9+lnx﹣9x（x＞1），g′（x）=﹣9＜0，即有g（x）在（1，+∞）递减，则g（x）＜g（1）=0，即有当x＞1时，9+lnx＜9x．故当x＞1时，f（x）＞．请考生在22、23题中任选一题作答，[选修4-1：几何证明选择][选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，圆N的方程为ρ2﹣6ρsinθ=﹣8．（1）求圆N的直角坐标方程；（2）判断直线l与圆N的位置关系．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）根据极坐标和直角坐标的关系进行化简求解即可．（2）消去参数求出直线l的普通方程，求出圆心到直线的距离与半径之间的关系进行判断．【解答】解：（1）∵y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，∴由ρ2﹣6ρsinθ=﹣8得x2+y2﹣6y=﹣8，即x2+（y﹣3）2=1，则圆N的直角坐标方程是x2+（y﹣3）2=1；（2）∵直线l的参数方程为，∴消去参数t得，即3x+4y﹣19=0，则圆心C（0，3）的直线的距离d==＞1，即直线l与圆N的位置关系是相离．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤14的解集；（2）若f（x）≥a2对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）先将不等式等价为：|x﹣2|≤7，再直接去绝对值求解；（2）先用绝对值三角不等式将问题等价为：f（x）min=|a﹣2|≥a2，再分类讨论求解即可．【解答】解：（1）当a=2时，不等式f（x）≤14即为，|x﹣2|+|x﹣2|≤14，所以，|x﹣2|≤7，不等式等价为：﹣7≤x﹣2≤7，解得，﹣5≤x≤9，故原不等式的解集为：{x|﹣5≤x≤9}；（2）因为不等式f（x）≥a2对x∈R恒成立，所以，f（x）min≥a2，根据绝对值三角不等式，|x﹣a|+|x﹣2|≥|（x﹣a）﹣（x﹣2）|=|a﹣2|，即f（x）min=|a﹣2|，所以，|a﹣2|≥a2，分类讨论如下：①当a≥2时，a﹣2≥a2，无解；②当a＜2时，2﹣a≥a2，解得a∈[﹣2，1]，综合以上讨论得，实数a的取值范围为：[﹣2，1]．。

内蒙古赤峰市2020届高三4月统一能力测试理数试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设全集为R ，集合{}{}2|1,|2M x x N x Z x =>=∈≤，则()R C M N ⋂=（） A ．{}0 B ．{}2 C ．{}1,0,1- D ．{}2,0,2- 2.已知复数11z i =-，则（ ） A ．z 的实部为12 B ．z 的虚部为12i - C ．22z = D ．z 的共轭复数为1122i +3.设n S 是公差0d ≠的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则33S a =（ ） A ．95 B ．3 C ．94D ．2 4.已知命题1:12p x ≤≤，命题()():10q x a x a ---≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,13⎛⎤⎥⎝⎦5.在区间()0,3上任取一个实数a ，则不等式()2log 410a -<成立的概率是（ ） A ．14 B ．13 C ．16 D ．1126.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ）A ．42B ．43C ．6D ．257.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线24y x =的准线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，则AOB ∆的面积为（ ） A ．2 B ．23 C ．32D ．3 8.某程序框图如图所示，若输出i 的值为63，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．27S >B ．27S ≤C ．26S ≥D ．26S <9.若函数()y f x =的导函数为()y f x '=，且()sin 2x 3cos2f x x '=，则下列说法正确的是（ ） A ．()y f x =的周期为2π B ．()y f x =在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称 D ．()y f x =是偶函数10.点S A B C 、、、2的同一球面上，点S 到平面ABC 的距离为12，3AB BC CA ===则点S 与ABC ∆中心的距离为（ ） A 32 C ．1 D ．1211.动点P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上异于椭圆顶点()()A ,0,0a B a -、的一点，12,F F 为椭圆的两个焦点，动圆M 与线段112F P F F 、的延长线及线段2PF 相切，则圆心M 的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ） A ．抛物线 B ．椭圆 C ．双曲线的右支 D ．一条直线 12.若关于x 的不等式()()211xa ax e x a ->->-有且仅有两个整数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．235,43e ⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．31,2e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦ C ．235,23e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．235,43e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若()()411x ax +-的展开式中2x 的系数为10，则实数a =__________．14.已知实数,x y 满足2000x y a x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，其中()3201a x dx =-⎰，则目标函数23z x y =-的最小值为_________．15.在ABC ∆中，G 为重心，BE 为AC 上的中线，()1//,4AG CD AD AB AC R λλ=+∈u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则λ的值为___________．16.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2*112,,1nn nS a a n N S +=-=-∈+，则n S =__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,C A B 对边分别为,,a b c ，且c a <，已知2CB BA =-u u u v u u u vg ，tan 22,b 3B ==．（1）求a 和c 的值；（2）求()sin B C -的值． 18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB 垂直于AD 和BC ，平面SAB ⊥底面ABCD ，且2,1,2,3SA SB AD AB BC =====．（1）求证：SB ⊥平面SAD ； （2）求二面角D SC B --的余弦值． 19.（本小题满分12分）某地区业余足球运动员共有15000人，其中男运动员9000人，女运动员6000人，为调查该地区业余足球运动员每周平均踢足球所占用时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位业余足球运动员每周平均踢足球所占用时间的样本数据（单位：小时），得到业余足球运动员每周平均踢足球所占用时间的频率 分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[](](](](](]0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12．将“业余运动员的每周平均踢足球所占用时间超过4小时”定义为“热爱足球”． （1）应收集多少位女运动员的样本数据？（2）估计该地区每周平均踢足球所占用时间超过4小时的概率；（3）在样本数据中，有80位女运动员“热爱足球”，请画出“热爱足球与性别”列联表，并判断是否有99%的把握认为“热爱足球与性别”有关．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.010 0.0050k2.7063.841 6.635 7.87920.（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆22:15x E y +=的左、右焦点，12,F F 关于直线20x y +-=的对称点是圆C 的一条直径的两个端点． （1）求圆C 的方程；（2）设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为,m n ，当mn 最大时，求直线l 的方程． 21.（本小题满分12分）设函数()22ln f x x bx a x =+-．（1）当5,1a b ==-时，求()f x 的单调区间；（2）若对任意[]3,2b ∈--，都存在()21,x e ∈（e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为8cos 384sin3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是()23400ρρρ--=≥．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标系方程； （2）设直线l 与曲线 C 相交于A B 、两点，求AOB ∠的值． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()f x x a x b c =-+++的最小值为1． （1）求a b c ++的值； （2）求证：22213a b c ++≥．内蒙古赤峰市2020届高三4月统一能力测试理数试题参考答案一、选择题二、填空题 13. -1或53； 14．-18 ；15．54； 16．223n - 三、解答题（1）证明：∵2CB BA =-u u u v u u u v g ，∴2BA BC =u u u v u u u vg ， ∵cos 2,tan 22ca B B ==，∴6ac =，sin 22242sin 339c B C b ===g ，a b c =>，C 为锐角． 22427cos 1sin 199C C ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ()227142102sin sin cos cos sin 93B C B C B C -=-=-=g g ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18．解：（1）由平面SAB ⊥底面ABCD ，面SAB ⋂面,DA AB,DA ABCD AB =⊥⊂面ABCD ， 所以DA ⊥平面,SAB SB ⊂面SAB ，所以SB AD ⊥． 又因为2,2SA SB AB ===，所以,SA SB SA AD A ⊥⋂=，因此SB ⊥平面SAD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）过点S 作SO AB ⊥于点O ，则SO ⊥底面ABCD ，过O 作//OE AD ，以,,OA OE OS 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．则()()()()()1,0,0,1,0,0,1,3,0,1,1,0,0,0,1A B C D S --． 所以()()1,1,1,2,2,0SD DC =-=-u u u v u u u v，设平面SCD 的一个法向量为()1111,,n x y z =u v ，则111111100,2200x y z SD n x y DC n ⎧+-=⎧=⎪⎨⎨-+==⎪⎩⎩u u u v u vg u u u v u v g ，不妨设11x =，得 ()11,1,2n =u v．设平面SBC 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u v ，则()()1,0,1,0,3,0SB BC =--=u u v u u u v，2222200,300x z SB n y BC n ⎧--=⎧=⎪⎨⎨==⎪⎩⎩u u v u u v g u u u v u u v g ， 令21x =，得()21,0,1n =-u u v，所以121212cos ,n n n n n n ===u v u u vu v u u v g u v u u v g ， 而二面角D SC B --为钝二面角，所以二面角D SC B --的余弦值为6-．．．．．．．．．．12分 19．解：（1）600030012015000⨯=，所以应收集120女运动员的样本数据．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （2）由频率分布直方图得()120.1000.0250.75-⨯+=，所以该地区每周平均踢足球占用时间超过4小时的概率的估计值为0.75．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（3）由（2）知，300位足球运动员中有3000.75225⨯=人的每周平均踢足球时间超过4小时，75人的每周平均踢足球占用时间不超过4小时，所以热爱足球与性别列联表如下：结合列联表可算得中()223003580145402007.407 6.6351801207522527k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为“该地区热爱足球与性别有关”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20．解：（1）由2215x y +=，得()()122,0,F 2,0F -，圆C 的半径 为2 ，圆心C 为原点O 关于20x y +-=的对称点，设圆心()00,C x y ，则000012022y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，解得0022x y =⎧⎨=⎩，故圆C 的方程为()()22224x y -+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）设直线l 的方程为2x ty =+，则圆心到直线的距离d =，所以n ==，由22215x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，可得 ()225410ty ty ++-=，设直线l 与椭圆E 的两上交点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则12122241,55t y y y y t t +=-=-++g ，于是)212215t m y y t +==-=+，)()22214514t mn t t +===≤+++g当且仅当t =所以直线l 的方程为20x-=或20x --=．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：（1）当5,1a b ==-时，()225ln f x x x x =--，其定义域为()0,+∞，()()()245154541x x x x f x x x x x-+--'=--==，由()0f x '<，得514x -<<，由()0f x '>，得1x <-或54x >，因为定义域为()0,+∞，所以()f x 的递减区间为50,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的递增区间为5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）令()[]22ln ,3,2g b xb x a x b =+-∈--，则()g b 为增函数，根据题意，对任意[]3,2b ∈--，存在()21,x e ∈，使得()0f x <成立，则()()2max 222ln 0g b g x x a x =-=--<在()21,e 上有解，令()222ln h x x x a x =--，只需存在()201,x e ∈，使得()()010h x h <=即可，因为()24242a x x ah x x x x--'=--=，又令()()2242,1,x x x a x e ϕ=--∈，()()2820,1,x x x e ϕ'=->∈，所以()x ϕ在()21,e 上单调递增，所以()()12x a ϕϕ>=-，当2a ≤时，()0x ϕ>，即()0h x '>，所以()h x 在()21,e 上单调递增，所以()()10h x h >=，不符合题意．当2a >时，()()242120,42a e e e a ϕϕ=-<=--，若()20e ϕ≤，即()422242212a e e e e ≥-=->时，()0x ϕ<，即()0h x '<，()h x 在()21,e 上单调递减，又()10h =，所以存在()201,x e ∈，使得()00x ϕ<，若()20e ϕ>，即42242a e e <<-时，在()21,e 上存在实数m ，使得()0m ϕ=，即()1,x m ∈时，()()0,0x h x ϕ'<<，所以()h x 在()1,m 上单调递减，所以()01,x m ∈，使得()()010h x h <=，综上所述，当2a >时，对任意[]3,2b ∈--，存在()21,x e ∈，使得()0f x <成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22．解：（1）由1242x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去t ，得直线l40y ++=，()()2340,140,4ρρρρρ--=+-==曲线C 的直角坐标系方程为2216x y +=．．．．．．．．16分 （2）C e 的圆心()0,0到直线40l y ++=的距离为2d ==，∴121cos 242AOB ∠==，∵1022AOB π<∠<∠，∴123AOB π∠=，故23AOB π∠=．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23．解：（1）因为0,0,0a b c >>>()f x x a x b c x a x b c a b c =-+++≥---+=++，当且仅当()()0x a x b --≤时取等号，所以1a b c ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）因为()()()22222222313a b c a b c a b c ++-=++-++()()()2222222222220a b c ab bc ac a b b c c a =++---=-+-+-≥所以22213a b c ++≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

2014年赤峰市高三统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

其中第Ⅱ卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

本卷满分150分，考试用时120分钟注意事项：1.答题前，考生务必先自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2. 选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔记清楚。

3. 请按照题号的各题在答题的区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4. 保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z 满足i z i 2)1(=⋅-，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D.A.（-1，1）B.（-1，-1）C.（1，1）D. （1，-1）2.已知集合{})2lg(x y R x M -=∈=，{}12-=∈=x y R y N ，则（ ） A. N M = B. ∅=⋂N M C. N M ⊇ D. R N M =⋃ 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24942=++a a a ，则9S = （ ） A. 36 B. 72 C. 144 D.70 4.已知下列四个命题：R x p ∈∃01:，使得1020-=x x ； ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∀2,0:2πx p ，都有x x ＜sin ；R x p ∈∀:3，都有22x x ＞； R x p ∈∃04:，使得1ln 020-≥x x ；A.2p ,4pB. 1p ,4pC. 2p ,3pD. 1p , 3p5.设函数xa x f -=4)(，x x gb log 4)(-=，ex x h -=4)(的图像都经过点)2,21(p ，若函数)(x f ，)(x g ，)(x h 的零点分别为1x ，2x ，3x ，则1x +2x +3x =（ ）A.67 B. 56 C. 45 D. 23 6.由曲线x y x y π2,sin ==围成的封闭图形面积为 （ ）A.41π-B. 22π-C. 2πD. 22π+7.某几何体三维视图如图所示，若它的面积为80，则x =（ ） A.π32 B.π16C.π8 D. π48.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤=42,12y x y x ay x 若y x z +=既有最大值也有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A.121＜＜a -B. 1＜aC. 10＜a ≤D. 0＜a 9.设在四边形ABCD 中，DC AB ⊥,若5,3==AD AB ,则BD AC ⋅=（ ） A. -16 B.16 C. 25 D.1510.将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任意房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有两个房间无人选择的安排方式的总数为（ ） A. 900 B.1500 C. 1800 D.144011.设1F ，2F 是双曲线)00(12222＞，＞b a by a x =-的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两个分支分别交于A 、B ，若2ABF ∆为等边三角形，则该双曲线的渐近线的方程为（ ） A. x y 33±= B. x y 2±= C. x y 6±= D. x y 15±= 12.已知)(x f 是定义于R 上的奇函数，当0≥x 时，)0()(＞a a a x x f --=，且对任意R x ∈,恒有)()1(x f x f ≥+，则实数a 的取值范围是（ ）A. (]40，B. (]20，C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛210，D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛410，第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

内蒙古赤峰市2024届高三下学期4.20模拟考试理科数学试题一、单选题1．已知抛物线C 的方程为 x =−116y 2, 则此抛物线的焦点坐标为（ ） A ．(-4,0)B ． −14C ．(-2,0)D ． −122．已知a r ，b r 是两个不共线的向量，命题甲：向量+r r ta b 与2a b -r r 共线；命题乙: 12t =-，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知ABC V 的两个顶点,A B 的坐标分别是()()1,0,1,0-，且,AC BC 所在直线的斜率之积等于()0m m ≠，则（ ）A ．当0m <时，顶点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，并除去()()1,0,1,0-两点B ．当0m <时，顶点C 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆，并除去()()1,0,1,0-两点 C ．当0m >时，顶点C 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线，并除去()()1,0,1,0-两点D ．当0m >时，顶点C 的轨迹是焦点在y 轴上的双曲线，并除去()()1,0,1,0-两点 4．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑，已知鳖臑P ABC -的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积为（单位：cm 2）（ ）A ．164πB ．64πC ．100πD ．256π5．从正六边形的六个顶点中任取三个顶点，则这三个顶点可以构成直角三角形的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．456．下列说法中，正确命题的个数为（ ）① 已知随机变量X 服从二项分布1,3B n ⎛⎫⎪⎝⎭，若()316E X +=，则5n =.②对具有线性相关关系的变量x ，y ，其线性回归方程为ˆ0.3yx m =-，若样本点的中心为(),2.8m ，则实数m 的值是4-.③以模型e kx y c =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，求得线性回归方程为0.34z x =+，则c 、k 的值分别是4e 和0.3.④若样本数据12310,,,,x x x x L 的方差为2，则数据:121021,21,,21x x x ---L 的方差为16 A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．设函数 22210,2210,log 210x y x x y x y x x =+-=+-=+-的零点分别为a ,b ,c , 则（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<8．已知函数e(2)()ln x f x x-=，下列函数是奇函数的是（ ） A ．()11f x ++B ．()11f x -+C ．()11f x --D ．()11f x +-9．设点 P 是椭圆 22:13625x y C +=上一点, 12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点, 且12PF F V 的重心为G ，若 2,PF PF =₁₂则1PFG V 的面积为（ ）A ．BC ．D 10．如图，边长为4的等边△ABC ，动点P 在以BC 为直径的半圆上.若 ,AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r则12λμ+的取值范围是（ ）A ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．16,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．在ABC V 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 已知²2,?²10,c a b =+=,BC AC 边上的中线,AM BN 相交于点 P , 则直线,AM BN 的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°12．2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了“双减”政策，极大缓解了教育的“内卷”现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图所示.它的画法是这样的：取第一个正方形ABCD 各边的四等分点E ，F ，G ，H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的四等分点M ，N ，P ，Q ，作第3个正方形MNPQ ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形ABCD 边长为1a ，后续各正方形边长依次为23,,,,n a a a L L ；如图阴影部分，设直角三角形AEH 面积为1b ，后续各直角三角形面积依次为23,,,,n b b b L L ，若18a =，下列说法中正确的个数是（ ）①35;a =②375;32b =③1lim 16;n i n i b →∞==∑④n n a b ⋅是公比为58的等比数列.A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．复数2i z =-, 则 z =.141111ABCD A B C D -中，以1A 为球心、2为半径的球与正方体的面ABCD 相交，则交线长为.15．将函数 ()()π2sin ω06f x x ω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移 π6ω个单位，得到函数()y g x =的图象，若函数y =g (x )在 ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的取值范围是.16．已知直线 2y x =+与圆 ()(22:18C x y -+=-,A B 两点，则直线,AC BC 倾斜角之和为.三、解答题17．如图, 在三棱台 A B C ABC -₁₁₁中, 111A B C V 和ABC V 都为等边三角形, 且边长分别为2和4， 2,90,CC ACC BCC =∠=∠=︒₁₁₁G 为线段 AC 的中点, H 为线段 BC 上的点, 1//A B 平面1C GH .(1)求证: 点 H 为线段BC 的中点; (2)求二面角 C GH B --₁₁的余弦值. 18．已知数列 a n 满足()*321223n a a a a n n n++++=∈N L . (1)求数列 a n 的通项公式； (2)已知数列 b n 满足12nn n a b +=. ①求数列 b n 的前n 项和n T ； ②若不等式()12nn n n T λ-<+对任意*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围. 19．我国大部分省市已经实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式，“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数(Raw Score)计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从化学、生物、政治、地理四门学科中“再选”两门学科，以等级分(Grade Scoring)计入高考成绩.按照这个方案，“再选”学科的等级分赋分规则如下：将考生的原始成绩从高到低划分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为2211,R R G GR R G G --=--其中R ₁，R ₂分别表示原始分区间的最低分和最高分，( ,G G ₁₂分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，R 表示考生的原始分，G 表示考生的等级分，规定原始分为R 时，等级分为G .某次化学考试的原始分最低分为45，最高分为94，呈连续整数分布，分成五组：第一组[45，55)，第二组[55,65), 第 三 组 [65,75), 第 四 组 [75,85), 第 五 组[85，95)，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.(1)根据频率分布直方图求a ，b 的值，并估计此次化学考试原始分的平均值； (2)按照等级分赋分规则，估计此次考生化学成绩A 等级的原始分区间；(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某同学化学成绩的原始分为83，试计算其等级分.20．已知 π,π.4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(1)将sin x ，cos x ，x ，2112x -+按由小到大排列，并证明；(2)令 ()2e cos 2sin sin ,xf x x x x x x =+-- 求证: ()f x 在π,π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内无零点.21．已知点P 为圆 ():2?²4C x y -+=上任意一点， ()2,0,A -线段P A 的垂直平分线交直线PC 于点M ，设点M 的轨迹为曲线H . (1)求曲线H 的方程;(2)若过点M 的直线l 与曲线H 的两条渐近线交于S ，T 两点，且M 为线段ST 的中点. (i)证明：直线l 与曲线H 有且仅有一个交点； (ii)求21OS OT+的取值范围.22．直角坐标系xOy 中，曲线C₁的参数方程为 sin2sin cos k k x y θθθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为 cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩，，（t 为参数， 0.a >）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线3C 的极坐标方程为 0θα=，其中0α满足 01tan .2α=(1)当 1k =时，求曲线C₁的普通方程；(2)当 4k =时，若C₁与3C 在第一象限的交点在2C 上，求a 的值. 23．已知 x y ≠， (1)化简①22;x y x y-- ②33x y x y--(2)用数学归纳法证明： n n x y -能被x y -整除.。

内蒙古赤峰市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知在长方体中，，，在线段上取点M，在上取点N，使得直线平面，则线段MN长度的最小值为（）A．B．C．D．第(2)题已知函数，且对于任意的，有，设的最小值为，记，则下列区间为函数的一个递减区间的是（）A．B．C．D．第(3)题过原点的直线l与曲线交于A，B两点，现以x轴为折痕将上下两个半平面折成60°的二面角，则|AB|的最小值为（）A．2B．C．4D．12第(4)题已知，则（）A．B．C．D．第(5)题已知全集，则（）A．B．C．D．第(6)题若函数在区间上有两个零点，则（）A．B．C．D．第(7)题若,则A．B．C．D．第(8)题已知集合，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，都是复数，下列正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则第(2)题在正方体中，分别是棱，上的点，且平面平面，则（）A．平面B．平面平面C．平面D．平面面第(3)题已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，，点到双曲线C的渐近线的距离为，直线l与双曲线C交于，两点，则（）A．双曲线C的标准方程为B．若直线l过点，且A，B两点都在双曲线C的右支上，则C．若直线l过原点，为双曲线C上的一点，则直线PA，PB的斜率之积为D．若点，直线l的斜率存在且过点，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知平行四边形中，满足，动点满足，则的最小值为______．第(2)题问题“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”源自南北朝张邱建所著的《张邱建算经》，该问题的答案是__________．第(3)题同时投掷枚质地均匀的骰子，所得点数相同的概率是 ___________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，且到直线：的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆交于，两个不同的点，为坐标原点，是椭圆上的一点，且四边形是平行四边形，求四边形的面积.第(2)题如图，在直三棱柱中，为棱上一点，且．(1)证明：平面平面；(2)求二面角的大小．第(3)题设粗圆的左焦点为F，上顶点为P，离心率为．O是坐标原点，且．(1)求椭圆C的方程；(2)A、B分别是椭圆长轴的左右两个端点，过点的直线交椭圆于M、N两点（与A、B均不重合），设直线的斜率分别是．讨论是否为定值，若是求出定值，若不是请说明理由．第(4)题某射击运动员进行射击训练，已知其每次命中目标的概率均为．(1)若该运动员共射击6次，求其在恰好命中3次的条件下，第3次没有命中的概率；(2)该运动员射击训练不超过n（）次，当他命中两次时停止射击（射击n次后，若命中的次数不足两次也不再继续），设随机变量X为该运动员的射击次数，试写出随机变量X的分布列，并证明．第(5)题如图，在平面四边形中，，，，．(1)求的长；(2)求的正弦值．。

高三4月模拟考试理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(1)(4)0Ax x x =+-≤，{}2log 2B x x =≤，则AB =（ ）A ．[]2,4-B ．[)1,+∞C ．(]0,4D ．[)2,-+∞ 2.若复数21a ii+-在复平面内所对应的点在实轴上，则实数a =（ ） A ．2 B ．-2 C ．1 D ．03.已知0b >，0a >且1a ≠，则“(1)(1)0a b -->”是“log 0a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.设x ，y 满足约束条件24122x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．6B ．173 C ．203D ．-1 5.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解，如图是解决这类问题的程序框图，若输入16n =，则输出的结果为（ ）A ．23B ．47C ．24D ．486.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某直三棱柱被一平面所截得到的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．127.在平面直角坐标系xoy 中，以(1,0)-为圆心且与直线2360()mx y m m R +--=∈相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是（ ）A ．22(1)16x y ++= B ．22(1)25x y ++= C ．22(1)20x y ++= D ．22(1)36x y ++=8.“一支参加科技创新竞赛的师生的队伍中，包括我在内，总共是13名.下面讲到的人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化.在这此师生中：①学生不少于老师；②男老师多于女学生；③女学生多于男学生；④至少有一位女老师.”，由此推测这位说话人是（ ）A ．男学生B ．女学生C ．男老师D ．女老师 9.已知函数()sin cos ()g x m x n x x R =+∈，若1x x =是函数()g x 的一条对称轴，且1tan 2x =，则点(,)m n 所在的直线方程为（ ）A ．20x y +=B ．20x y -=C ．20x y +=D ．20x y -= 10.已知点P 是抛物线24x y =-的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点Q 在抛物线上，且满足QF PQ λ=，当λ取得最小值时，点Q 恰好在以P ，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．212 B ．512C ．51D 2111.在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin A B c bC a b--=+，若a =22b c +的取值范围是（ ）A ．(]20,24B ．(]10,12C ．[]10,12D ．(]5,6 12.函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'()f x 为()f x 的导函数，且满足()'()f x f x x<-，则不等式2(2)(2)(4)f x x f x +>--的解集是（ ）A ．(0,2)B ．(2,)+∞C ．(2,3)D ．(3,)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.()322x x -+的展开式中含x 项的系数为 ．14.A 、B 两人进行一局围棋比赛，A 获胜的概率为0.8，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计B 获胜的概率.先利用计算器成计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4，5，6，7表示A 获胜；8，9表示B 获胜，这样能体现A 获胜的概率为0.8.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组.例如，产生30组随机数：034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 616 804 560 111 410 959 774 246 762 428 114 572 042 533 237 322 707 360 751，据此估计B 获胜的概率为 ．15.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC 且3PA =，ABC ∆的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 ．16.在平行四边形ABCD 中，边AB ，AD 的长分别为2，1，120ADC ∠=，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列{}n a 是各项都为正数的等比数列，满足12a =，且1a ，21a +，3a 成等差数列，数列{}n b 满足*12323()n b b b nb n n N +++⋅⋅⋅+=∈.（1）求{}n a 和{}n a 的通项公式； （2）设nn na cb =，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S . 18.如今我们的互联生活日益丰富，除了可以很方便地购，上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解络外卖在A 市的普及情况，A 市某调查机构借助络进行了关于络外卖的问卷调查，并从参与调查的民中抽取了300人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用络外卖的情况与性别有关？（2）①现从所抽取的女民中利用分层抽样的方法再抽取6人，再从这6人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人偶尔或不用络外卖的概率；②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的民中随机抽取5人赠送礼品，记其中经常使用络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，160A AC ∠=，124AC AA ==，点D ，E 分别是1AA ，BC 的中点.（1）证明：//DE 平面11A B C ；（2）若2AB =，60BAC ∠=，求二面角1B AA E --的余弦值. 20.经过点(2,3)A 且中心在坐标原点，焦点在x 轴上椭圆C 的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）设过右焦点F 且不垂直于x 轴的直线L 与椭圆C 相交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在一点P ，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S 、2S ，使得12PMS S PN=.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 21.已知函数ln ()x af x x+=，a R ∈. （1）求函数()f x 的极值；（2）设()()xg x x k e k =-+，k Z ∈， 2.71828e =为自然对数的底数，当1a =时，若1(0,)x ∃∈+∞，2(0,)x ∀∈+∞，不等式124()()0f x g x +>成立，求k 的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系xoy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C 的极坐标方程为42)4πρθ=-.（1）求曲线1C ，2C 公共弦所在的直线的极坐标方程；（2）设M 点在曲线1C 上，N 点在曲线2C 上，求MN 的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知,x y R ∈，且1x y +=. （1）求证：22334x y +≥； （2）当0xy >时，不等式1121a a x y+≥-++恒成立，求a 的取值范围.。