区间估计的基本概念前面介绍了参数的点估计，讨论了估计量的优良性准则，给出了寻求估计量最常用的矩估计法和最大似然估计法.参数的点估计是用一个确定的值去估计未知参数，看似精确，实际上把握不大，没有给出误差范围，为了使估计的结论更可信，需要引入区间估计.Neyman(1894–1981)引例在估计湖中鱼数的问题中，若根据一个实际样本，得到鱼数N的最大似然估计为1000条.实际上，N的真值可能大于1000，也可能小于1000.为此，希望确定一个区间来估计参数真值并且满足：1.能以比较高的可靠程度相信它包含参数真值.“可靠程度”是用概率来度量的.2.区间估计的精度要高.可靠度：越大越好估计你的年龄八成在21－28岁之间区间：越小越好被估参数可靠度范围、区间一、置信区间的定义（Confidence Interval ）对于任意θ∈Θ，满足设总体X 的分布函数F (x ,θ)含有一个未知参数θ，θ∈Θ,对于给定常数α(0<α<1)，若由抽自X 的样本X 1,X 2,…,X n 确定两个统计量112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P X X X X X X θθθα<<≥-112ˆ(,,,)nX X X θ212ˆ(,,,)nX X X θ和则称随机区间是θ的置信水平为1−α的置信区间.12ˆˆ(,)θθ和分别称为置信下限和置信上限.1ˆθ2ˆθ（1）当X 连续时，对于给定的α，可以求出置信区间满足此时，找区间使得至少为1−α，且尽可能接近1−α.12ˆˆ(,)θθ112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1nnP X X X X X X θθθα<<=-12ˆˆ(,)θθ112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P X X X X X X θθθα<<=-12ˆˆ()P θθθ<<（2）当X 离散时，对于给定的α，常常找不到区间满足12ˆˆ(,)θθ说明：（2）估计的精度要尽可能高. 如要求区间长度尽可能短，或者能体现该要求的其他准则.（1）要求θ以很大的可能被包含在区间内，即概率尽可能的大.可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.12ˆˆ()P θθθ<<12ˆˆ(,)θθ21ˆˆθθ-（3）对于样本(X 1,X 2,…,X n )112212ˆˆ((,,,),(,,,))n n X X X X X X θθ以1−α的概率保证其包含未知参数的真值.随机区间112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P X X X X X X θθθα<<=-即有：（4）对于样本观测值(x 1,x 2,…,x n )可以理解为：该常数区间包含未知参数真值的可信程度为1−α.112212ˆˆ((,,,),(,,,))n n x x x x x x θθ常数区间只有两个结果，包含θ和不包含θ.此时，不能说：112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P x x x x x x θθθα<<=-没有随机变量，自然不能谈概率如：取1−α=0.95.若反复抽样100次，样本观测值为112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P X X X X X X θθθα<<=-1121ˆˆ((,,),(,,))i i i in n x x x x θθ于是在100个常数区间中，包含参数真值的区间大约为95个，不包含真值的区间大约为5个.12,,,ii i nx x x1,2,,100i =对应的常数区间为1,2,,100i =对一个具体的区间而言，它可能包含θ，也可能不包含θ，包含θ的可信度为95%.1121ˆˆ((,,),(,,))i i i i nnx x x x θθ二、构造置信区间的方法枢轴量法1.寻求一个样本X 1,X 2,…,X n 和θ的函数W =W (X 1,X 2,…,X n ;θ)，使得W 的分布不依赖于θ和其他未知参数，称具有这种性质的函数W 为枢轴量（Pivotal quantity ）.3.若由不等式a <W (X 1,X 2,…,X n ;θ)<b 得到与之等价的θ的不等式2.对于给定的置信水平1−α，定出两个常数a 和b ，使得P {a <W (X 1,X 2,…,X n ;θ)<b }=1−α112212ˆˆ(,,,)(,,,)n n X X X X X X θθθ<<即有P {a <W (X 1, X 2,…, X n ;θ)<b }关键：1.枢轴量W (X 1, X 2,…, X n ;θ)的构造2.两个常数a ,b 的确定一般从θ的一个良好的点估计出发构造，比如MLE因此，是θ的一个置信水平为1−α的置信区间.112212ˆˆ{(,,,)(,,,)}1n n P X X X X X X θθθα=<<=-12ˆˆ(,)θθf (w )ababab1−α1−α1−α希望置信区间长度尽可能短.对于任意两个数a 和b ，只要使得f (w )下方的面积为1−α，就能确定一个1−α的置信区间.f(w)abab ab1−α1−α1−α当W 的密度函数单峰且对称时，如：N (0,1),t 分布等，当a =−b 时求得的置信区间的长度最短.如：b =z α/2或t α/2(n )当W 的密度函数不对称时，如χ2分布，F 分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间.χ21−αα/2α/222()n αχ21-2()n αχ单个正态总体参数的区间估计一、单个正态总体的情形X 1, X 2,…, X n 为来自正态总体N (μ,σ2)的样本，置信水平1−α.样本均值样本方差11nii X X n ==∑2211()1nii S X X n ==--∑0-4-3-2-1012340.050.10.150.20.250.30.350.4是枢轴量W 是样本和待估参数的函数，其分布为N (0,1)，完全已知由于是μ的MLE ，且是无偏估计，由抽样分布定理知X ~(0,1)X W N nμσ-=1.均值μ的置信区间（方差σ2已知情形）单峰对称-4-3-2-1012340.050.10.150.20.250.30.350.4即等价变形为选择两个常数b =−a =z α/222{}1X P z z nααμασ--<<=-22{}1P X z X z nnαασσμα-<<+=-1−αα/2α/2z α/2−z α/2简记为因此，参数μ的一个置信水平为1−α的置信区间为22(,)X z X z nnαασσ-+2()X z nασ±置信区间的长度为22n l z nασ=说明：2.置信区间的中心是样本均值；4.样本容量n 越大，置信区间越短，精度越高；1.l n 越小，置信区间提供的信息越精确；5.σ越大，则l n 越大，精度越低.因为方差越大，随机影响越大，精度越低.3.置信水平1−α越大，则z α/2越大.因此，置信区间长度越长，精度越低；22n l z nασ=22(,)X z X z nnαασσ-+2.均值μ的置信区间（方差σ2未知情形）想法：用样本标准差S 代替总体标准差σ.是枢轴量包含了未知未知参数σ，~(0,1)X W N nμσ-=此时，因此不能作为枢轴量.~(1)X T t n Snμ-=-由抽样分布理论知：使即枢轴量~(1)X T t n Snμ-=-22((1)(1))1X P t n t n Snααμα---<<-=-22{(1)(1)}1P t n T t n ααα--<<-=-选择两个常数b =−a =t α/2 (n -1)等价于因此，方差σ2未知情形下均值μ的一个置信水平为1−α的置信区间为22{(1)(1)}1S S P X t n X t n nnααμα--<<+-=-22((1),(1))X t n X t n nnαα--+-例1.现从中一大批糖果中随机取16袋，称得重量（以克记）如下：506508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设每袋糖果的重量近似服从正态分布. 试求总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间.解：这是单总体方差未知，总体均值的区间估计问题.均值μ的置信水平1−α的置信区间为22((1),(1))x t n x t n nnαα--+-根据给出的数据，算得这里10.95,16n α-==/20.025(1)(15) 2.1315t n t α-==503.75, 6.2022x s ==因此，μ的一个置信水平为0.95的置信区间为6.20226.2022(503.75 2.1315,503.75 2.1315)1616(500.4,507.1)-⨯+⨯=此区间包含μ的真值的可信度为95%.22((1),(1))x t n x t n nnαα--+-3.方差σ2的置信区间（均值μ未知）σ2的常用点估计为S 2，且是无偏估计。
