专题14 以解析几何中与抛物线相关的综合问题为解答题 2018届高考数学百日冲刺讲义

专题三 压轴解答题第三关 以解析几何中与抛物线相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，其次便是抛物线，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.且同学需对抛物线的两个基本问题弄扎实，1.抛物线的基本概念、标准方程、几何性质；2.直线与抛物线的位置关系所引申出来的定点、定值、最值、取值范围等问题.3.抛物线与圆锥曲线的交汇问题 类型一 中点问题典例1已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点，且A,M,B,N 四点在同一个圆上，求直线l 的方程.【答案】（1）24y x =；（2）x-y-1=0或x+y-1=0.（2）依题意知直线l 与坐标轴不垂直，故可设直线l 的方程为1x my =+，（m≠0）代入24y x =中得2440y my --=，设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=－4，故AB 的中点为D （2m 2+1,2m ），221214(1)AB m y y m =+-=+，有直线l '的斜率为－m ，所以直线l '的方程为2123x y m m=-++，将上式代入24y x =中，并整理得2244(23)0y y m m +-+=. 设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4),则234344,4(23)y y y y m m+=-=-+.故MN 的中点为E （22234222214(1)2123,),1m m m MN y y m m m ++++-=+-=）. 由于MN 垂直平分AB ，故A,M,B,N 四点在同一个圆上等价于12AE BE MN ==,从而2221144AB DE MN +=,即222222224224(1)(21)4(1)(2)(2)m m m m m m m +++++++=，化简得 m 2-1=0，解得m=1或m=－1，所以所求直线l 的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.【名师指点】本题考查直线和椭圆、圆的综合运用，考查数形结合思想、转化与化归等思想的运用，中点问题往往的处理办法有两种：一是点差法，设端点坐标带入曲线方程，作差结果涉及中点坐标和直线的斜率；二是利用韦达定理，舍尔不求．【举一反三】已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，又知此抛物线上一点()4,m 到焦点的距离为6． （1）求此抛物线的方程；（2）若此抛物线方程与直线2y kx =-相交于不同的两点A 、B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值． 【解析】（1）由题意设抛物线方程为22y px =（0p ≠），其准线方程为2px =-， ∵()4,A m 到焦点的距离等于A 到其准线的距离，∴462p+=，∴4p =， ∴此抛物线的方程为28y x =．（2）由28,{ 2y x y kx ==-消去y 得()224840k x k x -++=，∵直线2y kx =-与抛物线相交于不同两点A 、B ，则有0,{ 0,k ≠∆>解得1k >-且0k ≠， 由122484k x x k ++==，解得2k =或1k =-（舍去）． ∴所求k 的值为2．类型二 垂直问题典例2 【安徽省皖南八校2018届高三第二次（12月）联考】过抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A B ，两点，当点A 的纵坐标为1时， 2AF =. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若抛物线C 上存在点()2o M y -，，使得MA MB ⊥，求直线l 的方程. 【解析】（Ⅰ） 2:2C x py =的准线方程为2py =-，当点A 纵坐标为1时2AF =， 122p∴+=， 2p ∴=， ∴势物线C 的方程为24x y =.（Ⅱ）()02,M y -Q 在C 上， ()2214y -∴==，又()0,1F ,设l 方程为1y kx =+，由21{ 4y kx x y=+=，得2440x kx --=， 令()11A x y ，， ()22B x y ，，则124x x k +=， 124x x =-， ()1121MA x y =+-u u u v ，， ()2221MB x y =+-u u u v，， 0MA MB MA MB ⊥∴⋅=u u u v u u u v Q ，,()()()()121222110x x y y +++--=Q ，2484402k k k ∴-++-=∴=，或0，当0k =时， l 过M 点（舍），2k ∴=，l ∴方程为21y x =+.【名师指点】直线与直线的垂直关系，首先可以利用垂直关系得斜率之间的关系；其次可以利用向量数量积为0处理，再可以联系圆中的有关知识，利用直径所对的圆周角为直角处理．【举一反三】【广西柳州市2018届高三毕业班上学期摸底联考】已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点()4,P m 到焦点的距离为5. （1）求该抛物线C 的方程；（2）已知抛物线上一点(),4M t ，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且MD ME ⊥，判断直线DE 是否过定点？并说明理由.（2）由（1）可得点()4,4M ，可得直线DE 的斜率不为0， 设直线DE 的方程为： x my t =+，联立2{4x my ty x=+=，得2440y my t --=， 则216160m t ∆=+>①.设()()1122,,,D x y E x y ，则12124,4y y m y y t +==-. ∵()()11224,44,4MD ME x y x y ⋅=--⋅--()()12121212416416x x x x y y y y =-+++-++()2222121212124164164444y y y y y y y y ⎛⎫=⋅-+++-++ ⎪⎝⎭ ()()()2212121212343216y y y y y y y y =-++-++22161232160t m t m =--+-=即2212321616t t m m -+=+，得： ()()226421t m -=+，∴()6221t m -=±+，即48t m =+或44t m =-+， 代人①式检验均满足0∆>，∴直线DE 的方程为： ()4848x my m m y =++=++或()44x m y =-+.∴直线过定点()8,4-（定点()4,4不满足题意，故舍去）. 类型三 面积问题典例3 【2016浙江镇海中学高考模拟】设直线l 与抛物线22x y =交于,A B 两点，与椭圆22143x y +=交于C ，D 两点，直线,,,OA OB OC OD （O 为坐标原点）的斜率分别为1234,,,k k k k ，若OA OB ⊥.（1）是否存在实数t ，满足1234()k k t k k +=+，并说明理由； （2）求OCD ∆面积的最大值.【解析】设直线l 方程为y kx b =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y .联立y kx b =+和22x y =，得2220x kx b --=，则122x x k +=，122x x b =，2480k b ∆=+>. 由OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，得2b =.联立2y kx =+和223412x y +=，得22(34)1640k x kx +++=，所以3421634k x x k +=-+，342434x x k =-+. 由22192480k ∆=->，得214k >.（1）因为121212y y k k k x x +=+=，3434346y yk k k x x +=+=- 所以123416k k k k +=-+.（2）根据弦长公式34CD x =-，得：234CD k =+根据点O 到直线CD的距离公式，得d =所以2141432OCDk S CD d ∆-=•=•， 设2410k t -=>，则24334OCD tS t ∆=≤+， 所以当2t =，即55k =±时，OCD S ∆有最大值3. 【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接表示或者可以利用割补的办法，将面积科学有效表示，其中通过设直线和曲线的交点，利用韦达定理是解决该种问题的关键．【举一反三】【湖北省襄阳市2018届高三1月调研统一测试】动点P 到定点F(0，1)的距离比它到直线2y =-的距离小1，设动点P 的轨迹为曲线C ，过点F 的直线交曲线C 于A 、B 两个不同的点，过点A 、B 分别作曲线C 的切线，且二者相交于点M ． (Ⅰ)求曲线C 的方程； (Ⅱ)求证： 0AB MF ⋅=u u u v u u u u v； (Ⅲ)求△ABM 的面积的最小值．【解析】 (Ⅰ)由已知，动点P 在直线2y =-上方，条件可转化为动点P 到定点()0,1F 的距离等于它到直线1y =-距离，∴动点P 的轨迹是以()0,1F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，故其方程为24x y =．(Ⅱ)证：设直线AB 的方程为： 1y kx =+，由24{ 1x y y kx ==+ 得： 2440x kx --=，设()(),,,A A B B A x y B x y ，则4A B x x k += , 4A B x x =- ．由 24x y = 得： 211,'42y x y x =∴=，∴直线AM 的方程为： ()21142A A A y x x x x -=- ①， 直线BM 的方程为： ()21142B B B y x x x x -=- ②，①－②得： ()()()2222111422B A A B B A x x x x x x x -=-+- ，即 22A B x x x k +==，将2A B x x x += 代入①得： 21111242244B A A A A B A x x y x x x x x --==-，114A B y x x ∴==-，故()2,1M k -， ()()()2,2,,A B A B MF k AB x x k x x ∴=-=--u u u v u u u v()()·220B A B A AB MF k x x k x x ∴=---=u u u vu u u v ， AB MF ∴⊥u u u v u u u v ．(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知，点M 到AB的距离d MF ==()22444A B A B AB AF BF y y k x x k =+=++=++=+Q ，()()3222114141422S AB d k k ∴==⨯+⨯=+≥，∴当0k =时， ABM ∆的面积有最小值4．类型四 范围与定值问题典例4【湖南师大附中2018届高三上学期月考试卷】已知O 为坐标原点，抛物线2:(0)C y nx n =>上在第一象限内的点()2,P t 到焦点的距离为52，曲线C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，直线1l 经过点Q 且垂直于x 轴． （Ⅰ）求Q 点的坐标；（Ⅱ）设不经过点P 和Q 的动直线2:l x my b =+交曲线C 于点A 和B ，交1l 于点E ，若直线PA ， PE ， PB 的斜率依次成等差数列，试问： 2l 是否过定点？请说明理由．【解析】（Ⅰ）由抛物线上的点()2,P t 到焦点的距离为52，得5242n +=，所以2n =，则抛物线方程为22y x =，故曲线C 在点P 处的切线斜率12k =，切线方程为()1222y x -=-，令0y =得2x =-，所以点()2,0Q -．（Ⅱ）由题意知1:2l x =-，因为2l 与1l 相交，所以0m ≠． 设2:l x my b =+，令2x =-，得2b y m +=-，故22,b E m +⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设()11,A x y ， ()22,B x y ， 由2{2x my b y x=+=消去x 得2220y my b --=，则122y y m +=， 122y y b =-，直线PA 的斜率为1121112222222y y y x y --==-+-，同理直线PB 的斜率为222y +，直线PE 的斜率为224b m ++．因为直线PA ， PE ， PB 的斜率依次成等差数列，所以2PA PB PE k k k +=，即122222222m b y y m +++=++，即2422222m m b m b m+++=+-整理得： 24b =， 因为2l 不经过点Q ，所以2b ≠-，所以2b =．故2:2l x my =+，即2l 恒过定点()2,0．【名师指点】对于定值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得；而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解．【举一反三】【贵州省遵义市2018届高三上学期第二次联考数学】设抛物线()240y mx m =>的准线与x 轴交于1F ,抛物线的焦点为2F ，以12F F 、为焦点，离心率12e =的椭圆与抛物线的一个交点为226,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；自1F 引直线交抛物线于P Q 、两个不同的点，设11F P FQ λ=u u u v u u u v.（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程； （Ⅱ）若1,12λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，求PQ 的取值范围.（Ⅱ）由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为()()10y k x k =+≠， 由()21{4y k x y x=+=消去x 整理得2440ky y k -+=（*）∵直线PQ 与抛物线交于两点，∴216160k ∆=->．设()11,P x y ， ()22,Q x y ，则124y y =①，124y y k+=②． ∵11FQ FQ λ=u u u v u u u v， ()11,0F -, ∴()()11221,1,x y x y λ+=+ ∴12y y λ=．③由①②③消去12,y y 得： ()2241k λλ=+．∴PQ == ==4241616k PQ k -=， 将()2241k λλ=+代入上式得()()242222221111616216PQλλλλλλλ+++⎛⎫=-=-=++- ⎪⎝⎭，∵()11,12f λλλλ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭在上单调递减， ∴()()112f f f λ⎛⎫<≤⎪⎝⎭，即1522λλ<+≤， ∴211702164λλ⎛⎫<++-≤ ⎪⎝⎭，∴0PQ <≤即PQ 的求值范围为0,2⎛⎝⎦． 【精选名校模拟】1. 【北京市朝阳区2018届高三第一学期期末理科数学】已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标；（Ⅱ）求证： FT MN P ； （Ⅲ）求线段FN 的长.【解析】（Ⅰ）由抛物线方程24x y =，可得12p= ，可得 ()0,1F （Ⅱ）设()00,P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为001| 2x x k y x =='=. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01,02T x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点， 00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-.又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FT MN P .（Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-， 00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --= 00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则()()0002.........1{11..........2N N N N y x x y y x x =--=+由（1）式得， 02N Nx x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02NN y y y -= ()0N y ≠.又2004x y =，化简得, ()2211N N x y +-= （0N x ≠）.即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外） 即1FN =.2．【河南省南阳市第一中学2018届高三第六次考试】设动点()(),0P x y y ≥到定点()0,1F 的距离比它到x 轴的距离大1，记点P 的轨迹为曲线C . （1）求点P 的轨迹方程；（2）若圆心在曲线C 上的动圆M 过点()0,2A ，试证明圆M 与x 轴必相交，且截x 轴所得的弦长为定值. 【解析】（1）依题意知，动点P 到定点F ()0,1的距离等于P 到直线1y =-的距离， ∴曲线C 是以原点为顶点， F ()0,1为焦点的抛物线． 设曲线C 的方程为22x py =,则12p=， ∴2p =，∴曲线C 方程是24x y = ． （2）设圆心为(),M a b ，则24a b =， ∵圆M 过A ()0,2，∴圆的方程为()()()22222x a y b a b -+-=+-， 令0y =得22440x ax b -+-=．∵()()22244441616160a b a b ∆=--=-+=> ∴圆M 与x 轴必相交，设圆M 与x 轴的两交点分别为E ()1,0x ，G ()2,0x 则122x x a +=， 1244x x b ⋅=-，∴2||EG = ()()221212124x x x x x x -=+-⋅ 24161616a b =-+=，∴EG =4．故圆截x 轴所得的弦长为定值．3 【广州市2018届高三第一学期第一次调研测试】已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 上存在一点E ()2,t 到焦点F 的距离等于3． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点()1,0K -的直线l 与抛物线C 相交于A ， B 两点（A ， B 两点在x 轴上方），点A 关于x 轴的对称点为D ，且FA FB ⊥，求△ABD 的外接圆的方程．【解析】（1）抛物线的准线方程为2px =-， 所以点E ()2t ，到焦点的距离为232p+=． 解得2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =．即2840m -=，又0m > ，解得2m =．所以直线l 的方程为210x +=． 设AB 的中点为()00,x y , 则1202222y y y m +=== 0013x my =-=， 所以直线AB 的中垂线方程为)2223y x -=--． 因为AD 的中垂线方程为0y =，所以△ABD 的外接圆圆心坐标为()5,0．因为圆心()5,0到直线l 的距离为3d =()2212121443AB my y y y =++-=所以圆的半径r ==所以△ABD 的外接圆的方程为()22524x y -+=．4. 【湖南师大附中2018届高三上学期月考试卷】已知抛物线C ： 22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆T ：2212x y +=的一个焦点重合，点()0,2M x 在抛物线上，过焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程以及MF 的值；（Ⅱ）记抛物线的准线C 与x 轴交于点H ，试问是否存在常数R λ∈，使得AF FB λ=u u u v u u u v 且22854HA HB +=都成立？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）依题意，椭圆T ： 2212x y +=中， 222,1a b ==，故2221c a b =-=，故()0,1F ，故12p=，则24p =，故抛物线C 方程为24y x =，将()0,2M x 代入24y x =，记得01x =，故122pMF =+=. （Ⅱ）依题意， ()0,1F ，设:1l x ty =+，设()11,A x y ， ()22,B x y ，联立方程24{ 1y xx ty ==+，消去x ，得2440y ty --=.∴12124{ 4y y t y y +==-①且11221{1x ty x ty =+=+，又AF FB λ=u u u v u u u v则()()11221,1,x y x y λ--=-，即12y y λ=-，代入①得()22214{4y t y λλ-=-=-，消去2y 得2142t λλ=+-，且()1,0H -，则()()222222112211HA HB x y x y +=+++++ ()222212121222x x x x y y =++++++()()()222212121211222ty ty ty ty y y =+++++++++ ()()()2221212148t y y t y y =+++++ ()()221168448t t t t =+++⋅+ 42164016t t =++.由42851640164t t ++=， 解得218t =或2218t =-（舍），故2λ=或12. 5. 已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当12k =时，弦MN的长为（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【解析】（1））当12k =时， ()1:12l y x =+即21x y =- 联立221{2x y y px=-= 消x 得2420y py p -+=由122MN y y p =-=⇒= 所以抛物线C 的标准方程为24y x =；（2）设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12211222=MN t t k t t t t -=-+， 则()212:2MN y t x t t t -=-+即()11220x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=；()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11tt ⇒=，即11t t =（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，易得直线NQ 过定点()1,4-6. 【2018东北名校第四次联合模拟考试】在平面直角坐标系xOy 中， F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，M 是抛物线C 上的任意一点，当M 位于第一象限内时， OFM ∆外接圆的圆心到抛物线C 准线的距离为32.（1）求抛物线C 的方程；（2）过()1,0K -的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，且[]()2,3KA KB λλ=∈u u u r u u u r，点G 为x 轴上一点，且GA GB =，求点G 的横坐标0x 的取值范围.【解析】根据题意，点Q 在FO 的垂直平分线上， 所以点Q 到准线的距离为32422p p p +=⇒=， 所以2:4C y px =.7. 【江西省赣州市红色七校2017-2018届高三第一次联考】已知曲线C 上的点到点F （0，1）的距离比它到直线y=-3的距离小2 （1）求曲线C 的方程（2）过点F 且斜率为K 的直线L 交曲线C 于A 、B 两点，交圆F ：于M 、N 两点（A 、M 两点相邻）若 ，当 时，求K 的取值范围【解析】（1）由题意，动点P （x ，y ）到F （0，1）的距离比到直线y=﹣3的距离小2， ∴动点P （x ，y ）到F （0，1）的距离等于它到直线y=﹣1的距离， ∴动点P 的轨迹是以F （0，1）为焦点的抛物线，标准方程为x 2=4y ；（2）①依题意设直线l 的方程为y=kx +1，代入x 2=4y ，得x 2﹣4kx ﹣4=0，△=（﹣4k ）2+16＞0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=﹣4，∵， ∴（﹣x 2，y 2）=λ（x 1﹣x 2，y 1﹣y 2）， ，，即4k 2+2= ，∵λ∈[]，∴，∵函数f （x ）=x + 在[ ]单调单调递减，∴4k 2+2∈[2，]，∴k 的取值范围是[﹣，]．8. 【辽宁省辽南协作校2017届高三一模拟考试】已知抛物线2:2C y x =，直线:2l y kx =+交C 于A B 、两点， M 是AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于N 点.（1）证明：抛物线C 在N 点处的切线与AB 平行；（2）是否存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过N 点？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明：设()11,A x y ， ()22,B x y ，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=.所以122k x x +=， 4N M kx x ==，所以2,48k k N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为()22'4x x =，所以抛物线在N 点处的切线斜率为k ，故该切线与AB 平行. （2）假设存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过N 点，则12MN AB =. 由（1）知()1212M y y y =+= ()21214224k kx kx ++=+，又因为MN 垂直于x 轴， 所以216|8M N k MN y y +=-=，而212•1AB x x k =-+ 2211?162k k =++. 所以2221161?1624k k k +++=，解得2k =±. 所以，存在实数2k =±使以AB 为直径的圆M 经过N 点.9.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：)0(22>=p px y ，在此抛物线上一点N (2,)m 到焦点的距离是3.（1）求此抛物线的方程；（2）抛物线C 的准线与x 轴交于M 点，过M 点斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点．是否存在这样的k ，使得抛物线C 上总存在点),(00y x Q 满足QB QA ⊥，若存在，求k 的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）24y x =;（2）⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-55,00,55Y . 【解析】试题分析：（1）根据抛物线的定义列式即可求之；（2）根据题意设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程⎩⎨⎧+==)1(42x k y x y ，整理得0442=+-k y ky ，假设存在直线与抛物线交于两点，可得⎩⎨⎧>-≠0161602k k ，得11<<-k 且0≠k ，由QB QA ⊥，可得其斜率之积为-1，1442010-=+⋅+y y y y ，整理0204020=++y ky ，此时应满足080)4(2≥-=∆k ，综上可得5555≤≤-k 且0≠k . 试题解析：（1）抛物线准线方程是2px -=， 322=+pΘ，2p ∴= 故抛物线的方程是24y x =. （2）设),(00y x Q ，),(11y x A ，),(22y x B由⎩⎨⎧+==)1(42x k y x y 得0442=+-k y ky ， 由⎩⎨⎧>-≠0161602k k 得11<<-k 且0≠k . 124y y k+=，124y y =102120101010444y y yy y y x x y y k QA +=--=--=，同理204y y k QB += 由QB QA ⊥得1442010-=+⋅+y y y y ，即：16)(2121020-=+++y y y y y y ， ∴0204020=++y ky ， 080)4(2≥-=∆k，得5555≤≤-k 且0≠k ， 由11<<-k 且0≠k 得，k 的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-55,00,55Y 10. 【广东省珠海市2017-2018学年度第一学期高三摸底考试】已知椭圆1C ，抛物线2C 的焦点均在x 轴上， 1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是()3,23-， ()2,0-， ()4,4-，22,2⎛⎫⎪ ⎪⎭． （1）求1C ， 2C 的标准方程；（2）是否存在直线l 满足条件：①过2C 的焦点F ；②与1C 交于不同的两点,M N 且满足OM ON ⊥u u u u v u u u v？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．（Ⅱ）由椭圆的对称性可设2C 的焦点为F （1，0）， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x = 直线l 交椭圆1C 于点331,,1,M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭·0OM ON ≠u u u u r u u u r，不满足题意当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-， 并设()()1122,,,M x y N x y 由()221{44y k x x y =-+=，消去y 得， ()()222218410k x k x k +-+-=，于是()22121222418,?1414k kx x x x k k-+==++ 21223·14k y y k-=+ ①， 由OM ON ⊥u u u u r u u u r得12120x x y y += ②将①代入②式，得()22222241340141414k k k k k k----==+++，解得2k =± 所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为220x y --=或220x y +-=11. 【湖南师大附中2018届高三上学期月考】已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 与椭圆Γ： 22x＋y 2＝1的一个焦点重合，点M (x 0，2)在抛物线上，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点． (Ⅰ)求抛物线C 的方程以及|MF |的值；(Ⅱ)记抛物线C 的准线与x 轴交于点H ，试问是否存在常数λ∈R ，使得AF FB λ=u u u v u u u v 且|HA |2＋|HB |2＝854都成立？若存在，求出实数λ的值； 若不存在，请说明理由．【解析】(Ⅰ)依题意，椭圆Γ：＋y 2＝1中，a 2＝2，b 2＝1，故c 2＝a 2－b 2＝1，故F ，故＝1，则2p ＝4，故抛物线C 的方程为y 2＝4x ，将M 代入y 2＝4x ，解得x 0＝1，故＝1＋＝2.(Ⅱ)(法一)依题意，F，设l ：x ＝ty ＋1，设A，B，联立方程，消去x ，得y 2－4ty －4＝0.∴①且，又＝λ则＝λ，即y 1＝－λy 2，代入 ①得，消去y 2得4t 2＝λ＋－2，且H ，则|HA |2＋|HB |2＝＋y ＋＋y ＝x ＋x ＋2＋2＋y ＋y ＝＋＋2＋2＋y ＋y ＝＋4t＋8＝＋4t ·4t ＋8＝16t 4＋40t 2＋16.由16t 4＋40t 2＋16＝，解得t 2＝或t 2＝－ (舍)，故λ＝2或.13. 【贵州省遵义航天高级中学2018届高三第五次模拟】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是原点O ，以x 轴为对称轴，且经过点P （1，2）． （1）求抛物线C 的方程；设点A ，B 在抛物线C 上，直线PA ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，|PM |=|PN |．求直线AB 的斜率． 【解析】 (Ⅰ)根据题意,设抛物线C 的方程为由抛物线C 经过点, 得, 所以抛物线C 的方程为(Ⅱ)因为, 所以, 所以, 所以直线PA 与PB 的倾斜角互补, 所以根据题意,直线AP 的斜率存在,设直线AP 的方程为:,将其代入抛物线C 的方程,整理得设,则,, 所以以-k 替换点A 坐标中的k,得所以,所以直线AB 的斜率为-1. 14．己知曲线21:1(0)C y x y =-+≤与x 袖交于A ，B 两点，点P 为x 轴上方的一个动点，点P 与A,B 连线的斜率之积为-4（1）求动点P 的轨迹2C 的方程；（2）过点B 的直线l 与1C ，2C 分别交于点M ,Q （均异于点A ，B ），若以MQ 为直径的圆经过点A ，求∆AMQ 的面积．【答案】（1）221(0)4y x y +=>；（2）832225试题解析：(1)不妨设点A 在点B 左侧，则(1,0),(1,0)A B -设(,)(0)P x y y >，则411AP BP y y k k x x =⋅=-+- 整理得：221(0)4y x y +=> 所以动点P 的轨迹C 2的方程为221(0)4y x y +=> 5分 没有y 的范围扣1分(2)由(1)知，上半椭圆C 2的方程为221(0)4y x y +=>． 易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k(x －1)(k≠0)，代入C 2的方程，整理得(k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0．(*)设点M 的坐标为(x P ，y P )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．QxMAB O y由求根公式，得x M ＝2244k k -+，从而y M ＝284k k -+， ∴点M 的坐标为22248,44k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 7分同理，由()21,01,0y k x k y x y ⎧=-≠⎪⎨=-+≤⎪⎩ 得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k)．由题意可知AM ⊥AQ ，且222228(,),(,2)44k k AM AQ k k k k k -==---++u u u u r u u u r ． ∴0AM AQ ⋅=u u u u r u u u r ，即2224k k -+ [k －4(k ＋2)]＝0， ∵k≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83． 10分 ∴4816,259P Q y y ==- ∴1832||||2225APQ P Q S AB y y ∆=-= 所以APQ ∆的面积为832225． 12分 15.已知抛物线24y x =的焦点为F 2，点F 1与F 2关于坐标原点对称，直线m 垂直于x 轴（垂足为T ），与抛物线交于不同的两点P,Q 且125F P F Q ⋅=-u u u r u u u u r .（I ）求点T 的横坐标0x ；（II ）若以F 1,F 2为焦点的椭圆C过点⎛ ⎝⎭.①求椭圆C 的标准方程；②过点F 2作直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，设22F A F B λ=u u u u r u u u u r ，若[]2,1,TA TB λ∈--+u u r u u r 求的取值范围.【答案】（I ）20=x ；（II ）①1222=+y x]8213,2[+ 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得)0,1(2F ，)0,1(1-F ，设),(00y x P ，),(00y x Q -，由已知521-=⋅F F 得到关于00,y x的一个方程42020-=-y x ；又点),(00y x P 在抛物线上得方程0204x y =，联立方程解得20=x ；（II ）①由已知得椭圆的半焦距1=c ，设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，由椭圆过点⎛ ⎝⎭可得122+=b a ，又1=c 即122=-b a ，从而解得22=a ，12=b ；②容易验证直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1+=ky x ，将直线方程代入椭圆方程得012)2(22=-++ky y k ，设00),,(),,(212211≠≠y y y x B y x A 且，利用根与系数的关系得22221+-=+k k y y ，21221+-=k y y ，因为F F 22λ=，所以λ=21y y ，且[]1,2--∈λ将和平方除以积化简得7202≤≤k ，将所求的模平方通过坐标运算转化为关于k ]8213,2[+。

第7讲抛物线,)1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质1．辨明两个易误点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．(2)对于抛物线标准方程中参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．2．与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．1.教材习题改编 抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(0，2) C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，－132D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132C 由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，－132，故选C.2.教材习题改编 以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4xD 由准线x ＝1知，抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且p2＝1，p ＝2，所以方程为y 2＝－4x ，故选D.3．M 是抛物线y 2＝2px (p >0)位于第一象限的点，F 是抛物线的焦点，若|MF |＝52p ，则直线MF 的斜率为( )A ．43B ．53C ．54D ．52A 设M (x 0，y 0)，由|MF |＝52p ，得x 0＋p 2＝5p2，所以x 0＝2p .所以y 20＝2px 0＝4p 2，取正根得y 0＝2p . 即M 的坐标为(2p ，2p )， 又F 的坐标为(p2，0)，所以k MF ＝2p －02p －p 2＝43，故选A.4．动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .y 2＝4x5.教材习题改编 抛物线x 2＝2py (p >0)上的点P (m ，2)到焦点F 的距离为3，则该抛物线的方程为________．根据抛物线定义可知2＋p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y .x 2＝4y抛物线的定义及其应用(1)若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO的面积为( )A ．22B ．24C ．12D ．14(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．【解析】 (1)由题意知，抛物线准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知， 点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ， 解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝24.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【答案】 (1)B (2)4若本例(2)中的B 点坐标改为(3，4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.1．(2017·云南省统一检测)设经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交但不经过圆心D ．相交且经过圆心B 设圆心为M ，过点A 、B 、M 作准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1、M 1， 则|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|， 所以|AB |＝|BB 1|＋|AA 1|，|MM 1|＝12|AB |，即圆心M 到准线的距离等于圆的半径， 故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．2．(2017·长春调研)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．355B ．2C ．115D ．3B 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点F 为(1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.抛物线的标准方程及性质(高频考点)抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度．高考对抛物线的考查主要有以下三个命题角度： (1)求抛物线方程；(2)由已知求参数p ； (3)抛物线方程的实际应用．(1)(2016·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)若抛物线的焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点，则抛物线的标准方程为________．【解析】 (1)由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B.(2)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3，令y ＝0，得x ＝4，所以抛物线的焦点坐标可能为(0，－3)或(4，0)．当焦点坐标为(0，－3)时，设方程为x 2＝－2py (p >0)，则p2＝3，所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点坐标为(4，0)时，设方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x . 所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . 【答案】 (1)B (2)x 2＝－12y 或y 2＝16x(1)求抛物线的标准方程的方法①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． (2)确定及应用抛物线性质的技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．角度一 求抛物线方程1．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则抛物线的方程是( )A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8xD 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由抛物线的定义知1＋p2＝3，即p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x .角度二 由已知求参数p2．(2017·襄阳调研测试)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8B 因为△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆面积为9π，所以圆的半径为3，又因为圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，所以p 2＋p4＝3，所以p ＝4.角度三 抛物线方程的实际应用3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．建立坐标系如图所示．则可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．因为点(2，－2)在抛物线上，所以p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y . 当y ＝－3时，x ＝± 6.所以水位下降1米后，水面宽为26米． 2 6直线与抛物线的位置关系(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ， ON 的方程为y ＝ptx ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)． 又y 23＝8x 3，所以2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2., )——忽视焦点位置而致误已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．【解】 由题意，设抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)． 设公共弦MN 交y 轴于A ， 则|MA |＝|AN |，且|AN |＝ 5. 因为|ON |＝3，所以|OA |＝32－（5）2＝2，所以N (5，±2)． 因为N 点在抛物线上，所以5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，58，准线方程为y ＝－58.抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程为y ＝58.(1)解决本题易忽视焦点位置可在y 轴的正半轴也可在负半轴上两种情况，误认为a >0，从而导致漏解．(2)对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线方程有如下特点： ①当焦点在x 轴上时，可将抛物线方程设为y 2＝ax (a ≠0)； ②当焦点在y 轴上时，可将抛物线方程设为x 2＝ay (a ≠0)．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的焦点重合，则抛物线的准线方程为________．由椭圆x 29＋y 25＝1，得c 2＝9－5＝4，即c ＝2，故椭圆的焦点坐标为(±2，0)． 即抛物线的焦点坐标为(±2，0)．所以当p >0时，抛物线的准线方程为x ＝－2； 当p <0时，抛物线的准线方程为x ＝2. x ＝2或x ＝－2, )1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0B M 到准线的距离等于M 到焦点的距离， 又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516.2．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±22D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±1 A 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22.3．(2016·高考全国卷甲)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A ．12B ．1C ．32D ．2D 易知抛物线的焦点为F (1，0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1，2)代入曲线y ＝k x(k ＞0)得k ＝2.4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32， 则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 5．直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝6xD ．y 2＝－4xB 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由抛物线定义可得|x 1|＋|x 2|＋p ＝8，又AB 的中点到y 轴的距离为2，即|x 1|＋|x 2|＝4，所以p ＝4，所以y 2＝－8x .故选B.6．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则下列关于|AB |·|CD |的值的说法中，正确的是( )A ．等于1B ．等于4C ．最小值是1D ．最大值是4A 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝（y 1y 2）216.而y 1y 2＝－4，故|AB |·|CD |＝1.7．(2017·资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点P (－4，－2)的抛物线方程是________．设抛物线方程为x 2＝my ，将点P (－4，－2)代入x 2＝my ，得m ＝－8. 所以抛物线方程是x 2＝－8y . x 2＝－8y8．(2017·云南省第一次统一检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，○· M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与○·M 相切，那么p 的值为________．将○·M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又因为抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－p 2＝2，p ＝12或4.12或49．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，如果A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1＝________．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F . 又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ， 故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1， 所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.π210．(2017·豫东、豫北十校联考)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积为45，则抛物线方程为________．由双曲线方程5x 2－y 2＝20知其渐近线方程为y ＝±5x ，由题意可设抛物线方程为y2＝2px (p >0)，故其准线方程为x ＝－p2，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A ，B ，则不妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，52p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－52p ，故S △ABO ＝12×5p ×p 2＝54p 2＝45，解得p 2＝16，又因为p >0，所以p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x .y 2＝8x11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)因为点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又因为F (1，0)，所以k FA ＝43，因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.所以FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.12．(2017·长春一模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A ．13B ．23 C.34 D.43A 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.13．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点． (1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．(1)由已知得抛物线的焦点为F (1，0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x2得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1. (2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0. |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝m 2＋1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝m 2＋1·（4m ）2－4×（－4） ＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1， 即x ±2y －1＝0.14．已知圆C 过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．(1)由题意，点C 到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， 故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k （x ＋1），消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系有y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1，0)． 所以S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|， ＝12|ON ||y 1－y 2| ＝12×1×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16.。

椭圆、双曲线、抛物线的基本问题【考点梳理】1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)；(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)；(3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离).2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)；(3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0).3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系①在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝c a ＝1－b 2a 2.②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝c a ＝1＋b 2a 2. (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ；焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，0).②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±a b x ，焦点坐标F 1(0，－c )，F 2(0，c ).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程x ＝－p 2. ②抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程y ＝－p 2. 4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.(2)过抛物线焦点的弦长抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .【题型突破】题型一、圆锥曲线的定义及标准方程【例1】(1)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1，0)是一个定点，则|PQ |＋|PN |的最小值为( )A.3B.4C.5D.2＋1 (2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 24＝1B.x 28－y 28＝1C.x 24－y 28＝1D.x 28－y 24＝1【答案】(1)A (2)B【解析】(1)由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F (1，0)，又N (1，0)，所以N 与F 重合.过圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心M 作抛物线准线的垂线MH ，交圆于Q ，交抛物线于P ，则|PQ |＋|PN |的最小值等于|MH |－1＝3.(2)由e ＝2知a ＝b ，且c ＝2a .∴双曲线渐近线方程为y ＝±x .又k PF ＝4－00＋c ＝4c＝1，∴c ＝4，则a 2＝b 2＝c 22＝8. 故双曲线方程为x 28－y 28＝1.【类题通法】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理.如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快.2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.【对点训练】(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1B.x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1D.3x 25－3y 220＝1(2)已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是________.【答案】(1)A (2) 2【解析】(1)依题意得b a ＝12，①又a 2＋b 2＝c 2＝5，②联立①②得a ＝2，b ＝1.∴所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝22，所以有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1为直角，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||PF 2|＝12×22×1＝ 2.题型二、圆锥曲线的几何性质【例2】(1)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34(2)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________.【答案】(1)B (2)y ＝±22x【解析】(1)不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点F (c ，0)，则直线l 的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0. 由题意|－bc |b 2＋c2＝12b ，且a 2＝b 2＋c 2， 得b 2c 2＝14b 2a 2，所以e ＝c a ＝12.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程：⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，消去x 得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2b 2a 2p ，又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p 2，即y 1＋y 2＝p ，∴2b 2a 2p ＝p ，即b 2a 2＝12⇒b a ＝22.∴双曲线渐近线方程为y ＝±22x .。

专题三 压轴解答题第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系． 类型一 中点问题典例1 【山东省济南市2018届高三上学期期末考试】已知点()2,1P -在椭圆()222:102x y C a a +=>上，动点,A B 都在椭圆上，且直线AB 不经过原点O ，直线OP 经过弦AB 的中点. （1）求椭圆C 的方程和直线AB 的斜率； （2）求PAB ∆面积的最大值.【解析】1）将()2,1P -代入22212x y a +=，得， 2222112a +=， 28a =， 椭圆方程为22182x y += 设直线:AB y kx m =+， ()11,A x y ， ()22,B x y ， ,A B 的中点为()00,M x y由22{ 182y kx mx y =++=得()222148480k xkmx m +++-=()012214214km x x x k =+=-+， 00214my kx m k =+=+， 直线OP 经过弦AB 的中点，则OM OP k k =，0012y x =-，142m km =--， 12k =设()()()()32222f m m m m =--+-<<，则()()()()333222f m m m m ⎡⎤=--++-⎣'⎦()()2421m m =--+求得()()max 127f m f =-=，所以max S ==.【名师指点】本题考查直线和椭圆、圆的综合运用，考查数形结合思想、转化与化归等思想的运用，中点问题往往的处理办法有两种：一是点差法，设端点坐标带入曲线方程，作差结果涉及中点坐标和直线的斜率；二是利用韦达定理，舍尔不求．【举一反三】【福建厦门一中2017届上学期期中，21】（本题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>右焦点F 是抛物线22:4C y x =的焦点，M 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且53MF =． （1）求1C 的方程；（2）已知菱形ABCD 的顶点A C 、在椭圆1C 上，顶点B D 、在直线7710x y -+=上，求直线AC 的方程．（2）因为直线BD 的方程为7710x y -+=，ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，设直线AC 的方程为y x m =-+，代入椭圆1C 的方程为22143x y +=，得22784120x mx m -+-=，由题意知，()2264284120m m m ∆=-->⇔<<设()()1122,,,A x y C x y ，则()121212886,22777m m m x x y y m x x m +=+=-+=-+=， 所以AC 中点坐标为43,77m m ⎛⎫⎪⎝⎭， 由ABCD 为菱形可知，点43,77m m ⎛⎫⎪⎝⎭在直线BD 上，所以(437710177m mm -+=⇒=-∈． ∴直线AC 的方程为1y x =--，即10x y ++=． 类型二 垂直问题典例2 【天津市部分区2018届高三上学期期末考试】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为1F ，离心率为12， 1F 为圆22:2150M x y x ++-=的圆心. （1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，过2F 且与l 垂直的直线1l 与圆M 交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的取值范围. 【解析】（1）由题意知12c a =，则2a c =， 圆M 的标准方程为()22116x y ++=，从而椭圆的左焦点为()110F -，，即1c =， 所以2a =，又222b a c =-，得b =所以椭圆的方程为： 22143x y +=.（iii ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为()1y k x =- ()0k ≠，并设()11,A x y ， ()22,B x y .由()221,{ 1,43y k x x y =-+=得()22224384120k x k x k +-+-=. 显然0∆>，且2122843k x x k +=+， 212241243k x x k -=+.所以()212212143k AB x k +=-=+.过2F 且与l 垂直的直线()11:1l y x k =--，则圆心到1l，所以CD ==故四边形ACBD 面积：12S AB CD ==可得当l 与x 轴不垂直时，四边形ACBD 面积的取值范围为(12, ).综上，四边形ACBD面积的取值范围为12⎡⎣． 【名师指点】直线与直线的垂直关系，首先可以利用垂直关系得斜率之间的关系；其次可以利用向量数量积为0处理，再可以联系圆中的有关知识，利用直径所对的圆周角为直角处理． 【举一反三】【河北衡水中学2017届高三上学期五调，20】（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆22(2)(2Q x y -+=的圆心Q 在椭圆C上，点P 到椭圆C（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆C 于,A B 两点，直线2l 交圆Q 于,C D 两点，且M 为CD 的中点，求MAB ∆面积的取值范围.【解析】（Ⅰ）因为椭圆C 的右焦点(),0,2F c PF c =，…………1分( 在椭圆C 上，22421a b∴+=，…………2分 由224a b -=得228,4a b ==，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.…………4分（Ⅱ）由题意可得1l 的斜率不为零，当1l 垂直x 轴时，M AB ∆的面积为14242⨯⨯=，…………5分当1l 不垂直x 轴时，设直线1l的方程为：y kx =则直线2l的方程为：()()11221,,,y x A x y B x y k =-，由22184x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()221240k x ++-=，所以12122412x x x x k -+==+，…………7分则12AB x -=8分又圆心(Q 到2l的距离1d =<21k >，…………9分又,MP AB QM CD ⊥⊥，所以M 点到AB 的距离等于Q 点到AB 的距离，设为2d，即2d =10分所以M AB ∆面积212S AB d ===11分 令()2213,t k =+∈+∞，则110,,3S t ⎫⎛⎫∈=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，综上，M AB ∆面积的取值范围为⎤⎥⎝⎦.…………12分类型三 面积问题典例3 设椭圆()222:11x E y a a +=>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知FA FA e OF OA+=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）动直线l 过点()2,0N -，l 与椭圆E 交于P Q 、两点，求OPQ ∆面积的最大值. 【解析】（Ⅰ）由椭圆的几何性质得,,FA a c OF c OA a =-==，由FA FAc OFOA +=得()22112c a c a c a c a⎛⎫-+=⇔= ⎪⎝⎭ ，2221a c b-==， 解得a =（Ⅱ）由题l 与x 轴不重合，设l 的方程是2x my =-，由22212x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222220my y -+-=，即()222420m y my +-+=，因直线与椭圆有相异交点，()2216820m m ∆=-+>，解得m >或m <12122242,22m y y y y m m +==++，12y y -==2112OPQS ON y y ∆=-=，令0t =>，则2442OPQ S t t t ∆==≤=++当2t m =⇒=OPQ ∆面积的最大值是2.【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接或者利用割补的办法表示面积，若含有多个变量可通过变量间的关系，将其转化为一个变量的函数，利用函数思想其值域，其中往往会涉及中点、弦长、垂直、共线问题，韦达定理是转化桥梁．【举一反三】【吉林省长春市重点中学联合模拟考】已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的短轴长为，点()3,0A ， P 是C 上的动点， F 为C 的左焦点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点P 在y 轴的右侧，以AP 为底边的等腰ABP ∆的顶点B 在y 轴上，求四边形FPAB 面积的最小值. 【解析】（Ⅰ）依题意得2222{b c a a b c===+解得{a b == ∴椭圆C 的方程是22162x y += （Ⅱ）设()00000,(0,0)P x y y y x ≠设线段AP 中点为M ∵()3,0A ∴AP 中点003,)22x y M+（，直线AP 斜率为003yx - 由ABP ∆是以AP 为底边的等腰三角形∴BM AP ⊥ ∴直线AP 的垂直平分线方程为00003322y x x y x y -+⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭令0x = 得2200090,2y x B y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ∵2200162x y += ∴2002302y B y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 由()2,0F - ∴四边形FPAB面积2000002355322222y S y y y y ⎛⎫⎛⎫--=+=+≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当00322y y =即0y =FPAB面积的最小值为. 类型四 范围与定值问题典例 4 【山东省菏泽市2018届高三上学期期末考试】已知抛物线2:2C x py =的焦点为F ，且过点()2,2A ，椭圆2222:1(0)x y D a b a b +=>>的离心率为e =B 为抛物线C 与椭圆D 的一个公共点，且3=2BF . （1）求椭圆D 的方程；（2）过椭圆内一点()0,P t 的直线l 的斜率为k ，且与椭圆C 交于,M N 两点，设直线OM ， ON （O 为坐标原点）的斜率分别为1k ， 2k ，若对任意k ，存在实数λ，使得12+=k k k λ，求实数λ的取值范围. 【解析】（1）由点()2,2A 在抛物线2:2C x py =上，得22=22p ⨯，解得1p =.所以抛物线C 的方程为22x y =，其焦点10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设(),B m n ，则由抛物线的定义可得1322BF n ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得1n =，代入抛物线方程可得222m n ==，解得m =()B ，椭圆C 的离心率e ==a =，又点()B 在椭圆上，所以22211a b +=，解得2a =， b = 所以椭圆D 的方程为22142x y +=.由题意得点()0,P t 在椭圆内，故202t ≤<，即4022λ≤-<，解得2λ≥.【名师指点】对于定值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得；而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解．【举一反三】【陕西省西安市2018届高三上学期期末考试】已知椭圆C ： 22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为32，短轴端点到焦点的距离为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）设A ， B 为椭圆C 上任意两点， O 为坐标原点，且OA OB ⊥.求证：原点O 到直线AB 的距离为定值，并求出该定值. 【解析】（1）由题意知，c e a ==，2=，又222a b c =+， 所以2a =，c = 1b =所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）证明：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB的方程为x =. 此时，原点O 到直线AB当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， ()11A x y ，， ()22B x y ，.由221{ 4x y y kx m+==+得()222148440k x kmx m +++-= 则()()()()2222284144416140km kmk m =-+-=+-> ，122814kmx x k +=-+， 21224414m x x k -=+则()()2212122414m k y y kx m kx m k -=++=+，由OA OB ⊥得1OA OB k k ⋅=-，即12121y y x x ⋅=-， 所以2212122544014m k x x y y k--+==+，即()22415m k =+， 所以原点O 到直线AB的距离为d ==综上，原点O 到直线AB【精选名校模拟】1．【湖北七校联考】如图，一张坐标纸上一已作出圆()22:18E x y ++=及点()1,0P ，折叠此纸片，使P与圆周上某点'P 重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线'EP 的交点为M ，令点M 的轨迹为C .（1）求轨迹C 的方程；（2）若直线:l y kx m =+与轨迹C 交于两个不同的点,A B ，且直线l 与以EP 为直径的圆相切，若23,34OA OB ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦，求ABO ∆的面积的取值范围.【解析】（1）折痕为'PP 的垂直平分线，则'MP MP =，由题意知圆E的半径为∴'ME MP ME MP EP +=+=， ∴E 的轨迹是以E P 、为焦点的椭圆，且a =1c =，∴2221b a c =-=，∴M 的轨迹C 的方程为2212x y +=. （2）l 与以EP 为直径的圆221x y +=相切，则O 到l 即直线AB 的距离：1=，即221m k =+，由221{ 2x y y kx m+==+，消去y ，得()222124220k x kmx m +++-=， ∵直线l 与椭圆交于两个不同点，∴()()2222216812180k m kmk ∆=-+-=>， 20k >，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则122412kmx x k +=-+， 21222212m x x k -=+， ()()1212y y kx m kx m =++= ()22212122112k k x x km x x m k-+++=+，又1212OA OB x x y y ⋅=+= 22112k k ++，∴222133124k k +≤≤+，∴2112k ≤≤，11122AOBS AB ∆=⨯⨯=2222412m k -⨯=+设42k k μ=+，则324μ≤≤，∴AOB S ∆== 3,24μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∵AOB S ∆关于μ在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦23AOB S ∆≤≤，∴AOB ∆的面积的取值范围是23⎤⎥⎣⎦. 2．【河南省南阳市第一中学2018届高三上学期第八次考试】已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>，()1,0F c -， ()2,0F c 为椭圆的两个焦点， M 为椭圆上任意一点，且1MF ， 2MF 构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3. (1)求椭圆E 的方程；(2)若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥，求出该圆的方程.【解析】(1)由题知12122F F MF MF =+，即222c a ⨯=，得2a c =① 又由223b a =，得232b a =②，且222a b c =+，综合解得1,2,c a b ==. ∴椭圆E 的方程为22143x y +=. (2)假设以原点为圆心， r 为半径的圆满足条件.(i)若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y kxm =+，则r =， 2221m r k =+①由221{ 43x y y kx m+==+消去y ，整理得()()222348430k x kmx m +++-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，有1222122834{ 4334kmx x k m x x k +=-+-=+，又∵OA OB ⊥ ，∴12120x x y y +=， 即()()22222224138340km k m m k m +--++=，化简得()221217m k =+.② 由①②求得2127r =，所求圆的方程为22127x y +=. (ii)若AB 的斜率不存在，设()11,A x y ，则()11,B x y -，∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅= ，有22110x y -=， 2211x y =，代入2211143x y +=，得21127x =，此时仍有221127r x ==. 综上，总存在以原点为圆心的圆22127x y +=满足题设条件. 3．【河南省商丘市2017-2018学年度第一学期期高三考试】在平面直角坐标系中，已知两点()M ，)N，动点P满足PM =PN 的中垂线交线段PM 于Q 点.（1）求Q 点的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0D 的直线l 与轨迹C 相交于,A B 两点，设点()3,2E ，直线,AE BE 的斜率分别为12,k k ，问12k k +是否为定值？并证明你的结论.【解析】（Ⅰ）以题意可得： NQ PQ =,NQ MQ +=>， 所以Q 点的轨迹C 是以,M N为焦点，长轴长为且a c =所以2221b a c =-=， 1b =所以轨迹C 的方程为2213x y +=. （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由221{ 13x x y =+=，解得1,3x y ==±，设,1,A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，122233222k k ++=+=. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，将()1y k x =-代入2213x y +=整理化简，得()2222316330k x k x k +-+-=， 依题意，直线l 与轨迹C 必相交于两点，设()()1122,,,A x y B x y ，则2122631k x x k +=+， 21223331k x x k -=+， 又()111y k x =-， ()221y k x =-， 所以()()()()()()1221121212122323223333y x y x y y k k x x x x --+----+=+=---- ()()()()()1221121221321393k x x k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++ ()()()121212121212224693x x k x x x x x x x x ⎡⎤-++-++⎣⎦=-++()22122222223361222463131633933131k k x x k k k k k k k ⎡⎤--++⨯-⨯+⎢⎥++⎣⎦=--⨯+++ ()()2212212621k k +==+ 综上得： 12k k +为定值2.（说明：若假设直线l 为1x my =+，按相应步骤给分）4. 已知点P 是圆1F ： ()2218x y ++=上任意一点，点2F 与点1F 关于原点对称，线段2PF 的垂直平分线与1PF 交于M 点.（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点10,3G ⎛⎫ ⎪⎝⎭的动直线l 与点M 的轨迹交于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点Q 使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.（2）当直线l 的斜率存在时，可设其方程为13y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y 联立2212{13x y y kx +==+可得()2291212160k x kx ++-=， 由求根公式可得()()121222416,312912k x x x x k k+=-⋅=-++ 假设在y 轴上存在定点()0,Q m ，使以AB 为直径的圆恒过这个点，则AQ BQ ⊥即0AQ BQ ⋅=∵()()1122,,,AQ x m y BQ x m y =--=--()()1212121211 33AQ BQ x x m y m y x x m kx m kx ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，()()()()()22222121221818961512110339912m k m m m k x x k m x x m k -+--⎛⎫=++-++-+== ⎪+⎝⎭， 由2218180{96150m m m -=--=解得1m =-∴在y 轴上存在定点()0,1Q -，使以AB 为直径的圆恒过这个点.当直线l 的斜率不存在时，经检验可知也满足以AB 为直径的圆恒过点()0,1Q -.因此在y 轴上存在定点()0,1Q -，使以AB 为直径的圆恒过这个点.5. 【湖南省常德市2018届高三上学期检测考试（期末）】已知圆2221:(0)C x y r r +=>的一条直角是椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴，动直线:l x my n =+，当l 过椭圆2C上一点1,2D ⎛ ⎝⎭且与圆1C 相交于点A B 、时，弦AB（1）求圆即椭圆2C 的方程；（2）若直线l 是椭圆2C 的一条切线， M N 、是切线上两个点，其横坐标分别为那么以MN 为直径的圆是否经过x 轴上的定点？如果存在，求出定点坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）当l OD ⊥时， AB 最小，OD r ==⇒=由已知，可知a =又点D ⎛⎝⎭在椭圆上2C 上， 2111,122b b +=∴= 综上，圆1C 的方程为222x y +=，椭圆2C 的方程为2212x y +=. （2）联立方程221{ 2x y x my n+==+，得到()2222220m y mny n +++-=，由l 与椭圆相切，得到()()2222224422020m n m n m n ∆=-+-=⇒-+=，①易知0m ≠，设以MN 为直径的圆经过()0,0E x，设())12,M y Ny则有())20102012,,,,20EM x y EN x y EM EN x y y ==⋅=-+=，而2121222,,n n n y y y y m m m-===，② 由①②可知， 22222200222222m x m n n EM EN x m m-+--⋅=-+=()()22222220022210m x m m n xm mm---+-===，要使上式成立，有只有当01x =±，故经过定点()1,0-与()1,0.6. 【浙江省台州市2018届高三上学期期末质量评估数学试题】已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ， 2F ，左顶点为A，点P 在椭圆上，且△12PF F的面积为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过原点O 且与x 轴不重合的直线交椭圆C 于E ， F 两点，直线分别与轴交于点．求证：以MN 为直径的圆恒过焦点1F ， 2F ，并求出△1F MN 面积的取值范围． 【解析】（Ⅰ）12122PF F S c ∆=⨯ ， 2c ∴=，又点P在椭圆C 上， 222314a a ∴+=-， 42980a a ∴-+=， 解得28a =，或21a =（舍去），又224ab -=， 24b ∴=，所以椭圆C 的方程为22184x y +=；（Ⅱ）()A - ， ()12,0F -， ()22,0F ，方法一：当直线EF 的斜率不存在时， E ， F 为短轴的两个端点，则()0,2M ， ()0,2N -，11F M F N ∴⊥， 22F M F N ⊥，则以MN 为直径的圆恒过焦点1F ， 2F ，当EF 的斜率存在且不为零时，设直线EF 的方程为()0y kx k =≠， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --，由22,{ 184y kx x y=+=，消去y 得22812x k =+，所以0x =0y = 所以直线AE的方程为y x =+，因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =即点M ⎛⎫ ⎝，同理可得点N ⎛⎫⎝，11,F M F N ⎛⎛∴== ⎝⎝， 110FMF N ∴⋅= ， 11F M F N ∴⊥，同理22F M F N ⊥，则以MN 为直径的圆恒过焦点1F ， 2F ， 当EF 的斜率存在且不为零时，4MN ==>， ∴△1F MN 面积为11|42OF MN ⋅，又当直线EF 的斜率不存在时， 4MN =，△1F MN 面积为1142OF MN ⋅=， ∴△1F MN 面积的取值范围是[)4,+∞．方法二：当E ， F 不为短轴的两个端点时，设()(0000,,0,E x y x x ≠≠±， 则()00,F x y --，由点E 在椭圆C 上， 220028x y ∴+=， 所以直线AE的方程为y x =+，令0x =得y =即点M ⎛⎫ ⎝，同理可得点N ⎛⎫⎝，以MN 为直径的圆可化为222000220088088x y y x y y x x +-+=--，代入220082x y -=-，化简得220440x x y y y ++-=， 令220,{ 40,y x y =+-=解得2,{ 0,x y =±=∴以MN 为直径的圆恒过焦点()12,0F -， ()22,0F ，02001688y MN x y ∴==-，又022y -<<， 4MN ∴>, ∴△1F MN 面积为11|42OF MN ⋅，当E ， F 为短轴的两个端点时， 4MN =，△1F MN 面积为1142OF MN ⋅=， ∴△1F MN 面积的取值范围是[)4,+∞．7. 【河北省石家庄市2018届高三毕业班教学质量检测】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于A,B 两点. （1）若以1|AF|为直径的动圆内切于圆22x y 9+=，求椭圆的长轴长；（2）当1b =时，问在x 轴上是否存在定点T ，使得•TA TB为定值？并说明理由. 【解析】（Ⅰ）设1AF 的中点为M ，在三角形12AFF 中，由中位线得： ()2111112222OM AF a AF a AF ==-=- 当两个圆相内切时 ，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即1132OM AF =- 所以3a =，椭圆长轴长为6.（Ⅱ）由已知1b =，c = 3a =，所以椭圆方程为2219x y += 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为：(y k x =+ 设()()1122A ,,,x y B x y由(2299{x y y k x +==+得()2222917290k x x k +++-=0∴∆>恒成立212291x x k ∴+=-+ 212272991k x x k -=+(221212291k y y kx x k -=++=+设()0,0T x()212120012TA TB x x x x x x y y ⋅=-+++()2220002971991x k x k +++-=+当()2200097199x x ++=-即09x =-TA TB ⋅ 为定值207981x -=-当直线AB斜率不存在时，不妨设11,33A B ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当9T ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭时117939381TA TB ⋅=⋅-=- （，）（），为定值 综上：在X轴上存在定点T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，使得TA TB ⋅ 为定值781- 8. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 经过点)221(，M ，其离心率为22，设直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于B A 、两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知直线l 与圆3222=+y x 相切，求证：OB OA ⊥（O 为坐标原点）； （Ⅲ）以线段OAOB ，为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=（O 为坐标原点），求实数λ的取值范围． 【解析】（Ⅰ）222c e a b c a ===+ 离心率，222a b ∴= 222212x y b b ∴+=椭圆方程为，将点(1M 代入，得21b =，22a =∴所求椭圆方程为2212x y +=．（Ⅲ）由（Ⅱ）可得121222()212my y k x x m k+=++=+， 由向量加法平行四边形法则得OA OB OP += ，OP OQ λ= ，OA OB OQ λ∴+=（ⅰ）当0m =时，点A 、B 关于原点对称，则0λ= 此时不构成平行四边形，不合题意．（ⅱ）当0m ≠时，点A 、B 不关于原点对称，则0λ≠， 由OA OB OQ λ+= ，得12121(),1().Q Q x x x y y y λλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 即224,(12)2.(12)Q Q km x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩点Q 在椭圆上，∴有222242[]2[]2(12)(12)km m k k λλ-+=++，化简，得222224(12)(12)m k k λ+=+．2120k +≠ ，∴有2224(12)m k λ=+． ①又222222164(12)(22)8(12)k m k m k m ∆=-+-=+- ， ∴由0∆>，得2212k m +>． ②将①、②两式，得2224m m λ> 0m ≠ ，24λ∴<，则22λ-<<且0λ≠． 综合（ⅰ）、（ⅱ）两种情况，得实数λ的取值范围是22λ-<<且0λ≠．9. 【湖北省重点中学联考】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆方程；（2）过点()0,2P 的直线与椭圆交于M N 、两个不同的点，求线段MN 的垂直平分线在x 轴截距的范围． 【解析】（1）2212x y += （2）PM 的斜率不存在时， MN 的垂直平分线与x 轴重合，没有截距，故PM 的斜率存在. 设PM 的方程为2y kx =+，代入椭圆方程得： ()2212860k x kx +++= PM 与椭圆有两个不同的交点()()22841260k k ∴∆=-+⨯>，即232k >，即k >或k < 设()()1122,,,,M x y N x y MN 的中点()0,0Q x y 则120002242,221212x x k x y kx k k +==-=+=++ MN ∴的垂直平分线 的方程为222141212k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭∴ 在x 轴上的截距为222242121212k k kk k k-=-+++ 设()2212xf x x =-+，则()()()22222112x f x x-+'=， 232x ∴>时， ()0f x '>恒成立2x ∴>时，()0;42f x x -<<<-时()04f x << MN ∴的垂直平分线在x轴上的截距的范围是⎛⎫⎛⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭10. 【浙江省嘉兴市2018届高三上学期期末考试】如图， AB 为半圆()2210x y y +=≥的直径，点,D P是半圆弧上的两点， OD AB ⊥， 30POB ∠=︒．曲线C 经过点P ，且曲线C 上任意点M 满足：MA MB +为定值.（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 交于不同的两点,E F ，求OEF ∆面积最大时的直线l 的方程．【解析】（Ⅰ）根据椭圆的定义，曲线C 是以()()1,0,1,0A B -为焦点的椭圆，其中22c =，12P ⎫⎪⎪⎝⎭.2a PA PB =+==∴ 232a =， 212b =，曲线C 的方程为2213122x y +=； （Ⅱ）设过点D 的直线l 的斜率为k ，则:1l y kx =+.由221,{263,y kx x y =++=得()()()22212426324310k k k ∆=-⋅+⋅=->， ()()()22212426324310k k k ∆=-⋅+⋅=->， 121222123,,2626k x x x x k k+=-⋅=++ ∴12EF x x =-=又 点O到直线l 的距离d = ∴ OEF ∆的面积12s EF d =⋅⋅=,0λλ=>，则111222s λλ==≤=+当且仅当2λλ=，即212,1k k λ-==±时， OEF ∆面积取最大值4. 此时直线l 的方程为1y x =+或1y x =-+．11. 【山东省寿光市2018届高三上学期期末考试】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ， C 上的动点P 到两焦点的距离之和为4，当点P 运动到椭圆C 的上顶点时，直线1PF 恰与以原点O 为圆心，以椭圆C 的离心率为半径的圆相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左右顶点分别为A B 、，若PA PB 、交直线6x =于M N 、两点.问以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【解析】试题解析：（1）由椭圆定义可知24a =， 2a =， 直线1:0PF bx cy bc -+=，ca=， ∴1b =，故椭圆C 的标准方程为： 2214x y +=.（2）设PA k k =，点()00,P x y ，则()2,0A -， ()2,0B ，由20200022000011422444PA PBx y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---，得： 14PB k k =-，直线AP 方程为： ()2y k x =+，令6x =，则8y k =，故()6,8M k ； 直线BP 方程为： ()124y x k =--，令6x =，则1y k =-，故16,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭；因为1880M N y y k k=⋅-=-<，故以MN 为直径的圆与x 轴交于两点，设为,G H ， 在以MN 为直径的圆中应用相交弦定理得：188GK HK MK NK k k⋅=⋅=⋅-=，因为GK HK =，所以GK HK ==，从而以MN 为直径的圆恒过两个定点()6G -， ()6H +.12. 【广西壮族自治区玉林高中2017届高三高考冲刺模拟】已知椭圆C 的中心在原点，离心率等于12，它的一个短轴端点恰好是抛物线2x =的焦点. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知()2,3P 、()2,3Q -是椭圆上的两点， ,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点. ①若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值； ②当,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.【解析】（1）由题意得抛物线的焦点为(0,F ，∴b = ∵12c e a ==， ∴222222221214c a b a e a a a --==== ∴216a =，∴椭圆C 的方程为2211612x y +=． （2）①由题意设直线AB 方程为12y x t =+， 由2212{ 11612y x t x y =++=消去y 整理得22120x tx t ++-=， ∵直线AB 与椭圆交于两点，∴()2224123480t t t ∆=--=-+>，解得44t -<<．设()()1122,,,A x y B x y ， 则2121212x x t x x t +=-=-，， 又()()2,3,2,3P Q -， ∴12162PBQ S x x ∆=⨯⨯-==∴当0t =时，S 取得最大 即四边形APBQ 面积的最大值为②当APQ BPQ ∠=∠时，直线,PA PB 的斜率之和为0， 设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为k -， 故直线PA 的方程为()32y k x -=-， 由()2232{3448y k x x y -=-+=消去y 整理得 ()()()22223483244912480k xk k x k k ++-++--=，∴()12823234k k x k-+=+，同理()22823234k k x k++=+．∴2122161234k x x k-+=+， 1224834kx x k --=+∴()12212112412AB k x x k y y k x x x x +--===--，故直线AB 的斜率为定值12． 13. 【河北省张家口市2018届高三上学期期末考试】过椭圆C ：2221(03)9x y b b+=<<的上顶点A 作相互垂直的两条直线，分别交椭圆于不同的两点M ， N （点M ， N 与点A 不重合）（Ⅰ）设椭圆的下顶点为()0,B b -，当直线AM2ANB AMB S S ∆∆=，求b 的值； （Ⅱ）若存在点M ， N ，使得AM AN =，且直线AM ， AN 斜率的绝对值都不为1，求b 的取值范围.（Ⅱ）容易得1AM x =22189bk b k =+，2AN x =22189bk b k =+. 由AM AN =2219b k =+， 即222399b k b k k +=+，整理，得()()2222190k b k b k b ⎡⎤-+-+=⎣⎦.不妨设0k >，且1k ≠则()222290b k b k b +-+=有不为1的正根.只要()2422940{90b b b b∆=--≥-->解得0b <<b ∴的取值范围是(.14. 【山东省德州市2018届高三上学期期末考试】已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右有顶点分别是A 、B ，上顶点是D ，圆O ： 221x y +=的圆心O 到直线BD抛物线2y =的焦点重合． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）平行于x 轴的动直线与椭圆和圆在第一象限内的交点分别为P 、Q ，直线AP 、BP 与y 轴的交点记为M ， N ．试判断MQN ∠是否为定值，若是，证明你的结论．若不是，举反例说明． 【解析】（Ⅰ）BD 方程为：1x ya b+=即为： bx ay ab +=由题意得 c ==整理得： 42523120a a -+=24a =， 235a =（舍） ∴2221b a c =-= 椭圆C ： 2214x y += （Ⅱ）设直线AP ： ()2y k x =+，令0x =得2y k = ∴()0,2M k()221{ 42x y y k x +==+ ()222214161640k xk x k +++-=()22164214P k x k -⋅-=+ ∴222814P k x k-=+∴()24214P P ky k x k =+=+ ∴222284,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭22241142824214P BP P k y k k k x kk+===----+ ∴BP 方程为： ()124y x k=--令0x =得12y k =∴10,2N k ⎛⎫ ⎪⎝⎭设()00,Q x y ，则22001x y +=且02414P ky y k ==+∴()2000122QM QN x k y y k ⎛⎫⋅=+-- ⎪⎝⎭ 220001212x y k y k ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭2202414142202214k k ky k k k++=-⨯=-⨯=+ ∴QM QN ⊥即： 90MQN ∠=所以MQN ∠是定值为9015. 【北京市西城区2018届高三上学期期末考试】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过()2,0A ， ()0,1A )两点．(I)求椭圆C 的方程及离心率；(Ⅱ)设点Q 在椭圆C 上．试问直线40x y +-=上是否存在点P ，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由． 【解析】（Ⅰ）由题意得， 2a =， 1b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=． 设椭圆C 的半焦距为c ，则c ，所以椭圆C 的离心率2c e a ==．此时 182,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，或()2,2P ．经检验，符合四边形PAQB 是平行四边形， 所以存在 182,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，或()2,2P 满足题意．。

2018高考数学小题精练+B 卷及解析：专题（14）圆锥曲线及解析 专题（14）圆锥曲线1．抛物线2x y a=的焦点坐标为（0，－1），实数a 的值等于（ ）A ． 4B ． －4C ． 14D ． 14- 【答案】B点睛：抛物线的焦点和准线： （1）22y px =，焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-；（2）22x py =，焦点为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p y =-． 2．若双曲线221:1742x y C a -=+与双曲线222:1116y x C a -=-的焦距相等，则实数a 的值为（ ）A ． -1B ． 1C ． 2D ． 4 【答案】C【解析】由题意得420,110,7421162a a a a a +>->++=-+∴=，选C ．3．已知点A 是双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）右支上一点， F 是右焦点，若AOF ∆（O 是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率e 为（ ）A ．B ．C ． 1+D ． 1【答案】D【解析】依题意及三角函数定义,点A (c cosπ3,c sin π3),即A (12c , c )，代入双曲线方程22221x y a b-=，可得 b 2c 2−3a 2c 2=4a 2b 2,又c 2=a 2+b 2,得e 2e +1，故选：D ． 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等． 4．过双曲线的左焦点F 作圆的切线，设切点为M ，延长FM 交双曲线1C 于点N ，若点M 为线段FN 的中点，则双曲线C 1的离心率为（ ）A ． +1B ．C ． C ．【答案】C【解析】112,2,22FN b F N a FN F N a b a ==-=⇒=，则c e a ===． 故选C ． 5．以的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D6．已知圆O ： 224x y +=，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段1PP （1P 在y 轴上），M 在直线1PP 上且112PMPP = ，则动点M 的轨迹方程是( ) A ．4x 2+16y 2=1 B ． 16x 2+4y 2=1 C ．221416x y += D ． 221164x y +=【答案】D【解析】设()()()1111,,,,0,M x y P x y P y ,则由112PM PP =得112,x x y y == ,因为22114x y += 所以2244x y +=,即221164x y +=,选D ． 7．已知双曲线：的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C ． 2D ．【答案】A8．经过双曲线右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线的条数为（ ）A ． 4条B ． 3条C ． 2条D ． 1条 【答案】B【解析】由双曲线，可得，若只与双曲线右支相交时，的最小值距离是通径长度为此时有两条直线符合条件；若只与双曲线两支相交时，此时的最小距离是实轴两顶点的即距离长度为，距离无最大值；此时有条直线符合条件；综上可得，共有条直线符合条件，故选B ．【方法点睛】本题主要考查双曲线的方程及几何性质、分类讨论思想．属于难题．分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点． 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中．解得本题的关键是讨论直线与双曲线一支交于两点、或者分别与两支交于两点．9．已知是椭圆的两个交点，过的直线与椭圆交于两点，则的周长为（ ）A ． 16B ． 8C ． 25D ． 32 【答案】A【解析】因为椭圆的方程我，所以，由题意的定义可得的周长，故选A ．10．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，已知12PF PF ⊥，且12||2||PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A BC ．2D 【答案】D考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的离心率及勾股定理．11．点,A F 分别是椭圆22:11612x y C +=的左顶点和右焦点, 点P 在椭圆C 上, 且PF AF ⊥,则AFP ∆的面积为（ ） A ． 6 B ．9C ．12D ．18【答案】B 【解析】试题分析：因为,A F 分别是椭圆22:11612x y C +=的左顶点和右焦点, 点P 在椭圆C 上, 且PF AF ⊥， 所以，AFP ∆为直角三角形，2x =时，可得1234y ==，即3PF =，又因为426AF =+=，所以AFP ∆面积为1163922S AF PF =⨯⨯=⨯⨯=，故选B ．考点：1、椭圆的标准方程及几何性质；2、三角形面积公式．12．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交点依次为H A F O ,,,，则OHFA的最大值为（ ） A ．21 B ．31 C ．41 D ．【答案】C考点：直线与圆锥曲线位置关系，基本不等式．【思路点晴】本题考查椭圆的基本概念与性质．椭圆的中心在原点故(0,0)O ，椭圆的右焦点为(),0F c ，椭圆的右顶点为(),0A a ，椭圆的右准线与x 轴的交点为2,0a H c ⎛⎫⎪⎝⎭．以上几个属于椭圆的基本量．根据题意求出FAOH，化简成离心率的表达式，然后利用基本不等式就可以求出最大值．利用基本不等式时要注意等号是否成立．专题15 圆锥曲线1．以的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】双曲线的焦点为，顶点为，双曲线的顶点为焦点，长半轴长为的椭圆中，，椭圆的方程为，故选D ．2．已知双曲线：的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C ． 2D ． 【答案】A3．经过双曲线右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线的条数为（ ）A ． 4条B ． 3条C ． 2条D ． 1条 【答案】B【解析】由双曲线，可得，若只与双曲线右支相交时，的最小值距离是通径长度为此时有两条直线符合条件；若只与双曲线两支相交时，此时的最小距离是实轴两顶点的即距离长度为，距离无最大值；此时有条直线符合条件；综上可得，共有条直线符合条件，故选B．【方法点睛】本题主要考查双曲线的方程及几何性质、分类讨论思想．属于难题．分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中．解得本题的关键是讨论直线与双曲线一支交于两点、或者分别与两支交于两点．4．已知是椭圆的两个交点，过的直线与椭圆交于两点，则的周长为（）A． 16 B． 8 C． 25 D． 32【答案】A【解析】因为椭圆的方程为，所以，由题意的定义可得的周长，故选A．5．已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】A6．设双曲线：的右焦点为，过作渐近线的垂线，垂足分别为，，若是双曲线上任一点到直线的距离，则的值为（）A． B． C． D．无法确定【答案】B【解析】由题意，易得，直线的方程为：，设P，则=∴，故选：B7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 到其准线的距离为2，过焦点且倾斜角为60︒的直线与抛物线交于M ，N 两点，若'MM l ⊥，'NN l ⊥，垂足分别为'M ，'N ，则''M N F ∆的面积为（ ）A ．． C ． D ． 【答案】B8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，在双曲线上存在点P 满足12122PF PF F F +≤,则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ． 12e <≤B ． 2e ≥C ． 1e <≤． e ≥【答案】B【解析】因为OP 为12PF F ∆的边12F F 的中线，可知()1212PO PF PF =+，双曲线上存在点P 满足12122PF PF F F +≤，则42PO c ≤，由PO a ≥，可知42a c ≤，则2e ≥，选B ．9．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A B 、，交其准线于点C ，若点F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为（ ）A ． 5B ． 6C ． 163D ． 203【答案】C【解析】如图：过点A 作AD l ⊥交l 于点D ．AF : )y 1x =-．与抛物线24y x =联立得：231030x x -+=．12103x x +=．121016233AB x x p =++=+=． 故选C ．10．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 作圆222a y x =+的切线分别交双曲线的左、右两支于点C B ,，且2CF BC =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 3±=B ．x y 22±=C ．x y )13(+±=D ．x y )13(-±= 【答案】C考点：1．双曲线的定义；2．双曲线的渐近线．11．设21,F F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积为（ ）A ．B ．2C ．25D ．5 【答案】A 【解析】试题分析：双曲线焦点三角形面积公式为2tan2b S θ=，其中12F PF θ∠=，所以本题面积为11tan 45=．考点：双曲线焦点三角形．12．已知点1F 、2F 是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足12||2||F F OP =，12||3||PF PF ≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(1,)+∞B ．)+∞C ．D ．5(1,]2【答案】C【解析】考点：1、椭圆的几何性质；2、椭圆的定义及离心率．。

第九章 平面解析几何 9.6 抛物线试题 理 北师大版1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F 叫作抛物线的焦点，直线l 叫作抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质【知识拓展】1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )1．(2016·四川)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,0)答案 D解析 ∵对于抛物线y 2＝ax ，其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，∴对于y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)．2．(2016·张掖一诊)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 准线方程为x ＝－1.根据题意，可得|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]答案 C解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________． 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0)．将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .5．(2017·合肥月考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________． 答案 2解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，圆x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16， 则圆心为(3,0)，半径为4.又因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，所以3＋p2＝4，解得p ＝2.题型一 抛物线的定义及应用例1 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 答案 4解析 如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ， 交抛物线于点P 1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.引申探究1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝16＋4＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋－2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．(2016·西安市铁一中学模拟)已知点P是抛物线y2＝－8x上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x＋y－10＝0的距离是d2，则d1＋d2的最小值是( )A. 3 B．2 3 C．6 2 D．3答案 C解析∵抛物线方程是y2＝－8x，∴抛物线的焦点为F(－2,0)，准线方程是x＝2(如图)，∴d 1＋d 2的最小值是焦点F 到直线x ＋y －10＝0的距离，即(d 1＋d 2)min ＝|－2＋0－10|1＋1＝6 2.题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程例2 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8y D ．x 2＝16y答案 D解析 ∵x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，ba＝ 3. x 2＝2py (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意得p21＋32＝2，∴p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y . 命题点2 抛物线的几何性质例3 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0)．由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p2AB |－p ＋p24＝2p(定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．(1)(2016·全国乙卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8(2)(2016·昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( ) A.33 B ．1 C.233D ．2 答案 (1)B (2)A解析 (1)不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0,22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5， 点A (x 0,22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，① 点A (x 0,22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＝r 2，③ 联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B. (2)设|AF |＝a ，|BF |＝b ，分别过A 、B 作准线的垂线，垂足分别为Q 、P ， 由抛物线的定义知，|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |， 在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b . |AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120° ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab . 又ab ≤(a ＋b2)2，所以(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－14(a ＋b )2＝34(a ＋b )2，得到|AB |≥32(a ＋b )， 所以|MN ||AB |≤12a ＋b32a ＋b＝33， 即|MN ||AB |的最大值为33.题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题例4 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2) ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点． (1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． (1)证明 由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0， 且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)． 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)， 所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1(x ≠1)．思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．(2016·北京东城区质检)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．解 (1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p.所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x . (2)依题意知l 与坐标轴不垂直， 故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 的中点为E (2m 2＋2m 2＋3，－2m)，|MN |＝ 1＋1m2|y 3－y 4|＝m 2＋2m 2＋1m 2，由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋(2m ＋2m )2＋(2m2＋2)2＝m 2＋2m 2＋m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.7．直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．思维点拨 (3)中证明QA →·QB →＝0.规范解答解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1my ，∴它的焦点F (0，14m)．[2分](2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[4分](3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.[6分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m )．[8分]得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m)，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m)，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m)＝0，[10分]结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞)．∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．[12分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤： 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．1．(2017·昆明质检)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，如果OA →·OB →＝－12，那么抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x答案 C解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋p 2)(my 2＋p 2)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2答案 B解析 ∵y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.3．(2016·上饶四校联考)设抛物线C ：y 2＝3px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x 答案 C解析 ∵抛物线C ：y 2＝3px (p >0)的焦点为F (3p 4，0)，∴|OF |＝3p4，∵以MF 为直径的圆过点(0,2)，设A (0,2)，连接AF ，AM ，可得AF ⊥AM ，在Rt△AOF 中，|AF |＝4＋9p 216，∴sin∠OAF ＝|OF ||AF |＝3p 44＋9p 216，根据抛物线的定义，得直线AO 切以MF 为直径的圆于点A ，∴∠OAF ＝∠AMF ， 可得在Rt△AMF 中，sin∠AMF ＝|AF ||MF |＝3p 44＋9p 216，∵|MF |＝5，|AF |＝4＋9p 216，∴4＋9p 2165＝3p 44＋9p 216，整理得4＋9p 216＝15p 4，解得p ＝43或p ＝163，∴C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( ) A ．－4 B ．4 C ．p 2D ．－p 2答案 A解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，∴x 1x 2＝p 24；∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2， ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴， 可设AB 的直线方程为y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.∴y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4. 5．(2016·江西南昌第一次模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是线段PF 与C 的一个交点，若|FP |＝3|QF |，则|QF |等于( ) A.83 B.52 C ．3 D ．2 答案 A解析 如图所示，过点Q 作QM ⊥l ，设l 与x 轴交于点K ，由抛物线定义知，|MQ |＝|QF |， 由△PMQ ∽△PKF ，得|MQ |：|KF |＝|PQ |∶|PF |＝2∶3， 所以|QF |＝|MQ |＝23|KF |＝23×4＝83， 故选A.6．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1,0)，则|PF ||PA |的最小值是( )A.12B.22C.32D.223 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1， 如图，过P 作PN 垂直直线x ＝－1于N ，由抛物线的定义可知|PF |＝|PN |，连接PA ， 在Rt△PAN 中，sin∠PAN ＝|PN ||PA |， 当|PN ||PA |＝|PF ||PA |最小时，sin∠PAN 最小， 即∠PAN 最小，即∠PAF 最大，此时，PA 为抛物线的切线，设PA 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，解得k ＝±1，所以∠PAF ＝∠NPA ＝45°， |PF ||PA |＝|PN ||PA |＝cos∠NPA ＝22，故选B. 7．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案 12解析 焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，方法一 直线AB 的斜率为33， 所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.方法二 由抛物线焦点弦的性质可得 |AB |＝2p sin 2θ＝3sin 230°＝12. 8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝MB →，则p ＝________. 答案 2解析 如图， 由AB 的斜率为3，知∠α＝60°，又AM →＝MB →， ∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ， 则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°， ∴|BP |＝12|AB |＝|BM |.∴M 为焦点，即p2＝1，∴p ＝2.9．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝________.答案 6解析 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， 准线方程为x ＝－2.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，c ＝2，c a ＝12，可得a ＝4，b 2＝16－4＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.把x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3.从而|AB |＝6.10.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________．答案 (2,4) 解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条． 当k 存在时，x 1≠x 2， 则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2， 又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2. 由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1， 即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上．将x ＝3代入y 2＝4x ， 得y 2＝12，则有－23<y 0<2 3. 因为点M 在圆上， 所以(x 0－5)2＋y 20＝r 2， 故r 2＝y 20＋4<12＋4＝16.又y 20＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)， 所以4<r 2<16，即2<r <4.11．(2016·沈阳模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0.所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x . (2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.12．设P ，Q 是抛物线y 2＝2px (p >0)上相异两点，P ，Q 到y 轴的距离的积为4，且OP →·OQ →＝0.(1)求该抛物线的标准方程；(2)过点Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴的交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．解 (1)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， ∵OP →·OQ →＝0，则x 1x 2＋y 1y 2＝0.又点P ，Q 在抛物线上，∴y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，代入得y 212p ·y 222p ＋y 1y 2＝0，y 1y 2＝－4p 2， ∴|x 1x 2|＝y 1y 224p2＝4p 2.又|x 1x 2|＝4， ∴4p 2＝4，p ＝1，∴抛物线的标准方程为y 2＝2x .(2)设直线PQ 过点E (a,0)且方程为x ＝my ＋a ， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋a ，y 2＝2x ，消去x 得y 2－2my －2a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2a ，①设直线PR 与x 轴交于点M (b,0)， 则可设直线PR 的方程为x ＝ny ＋b ，并设R (x 3，y 3)，同理可知，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 3＝2n ，y 1y 3＝－2b ，②由①②可得y 3y 2＝ba.由题意得，Q 为线段RT 的中点， ∴y 3＝2y 2，∴b ＝2a .又由(1)知，y 1y 2＝－4，代入①， 可得－2a ＝－4，∴a ＝2， ∴b ＝4，y 1y 3＝－8， ∴|PR |＝1＋n 2|y 1－y 3| ＝1＋n 2·y 1＋y 32－4y 1y 3＝21＋n 2·n 2＋8≥4 2. 当n ＝0，即直线PR 垂直于x 轴时， |PR |取最小值4 2.13.如图，由部分抛物线：y 2＝mx ＋1(m >0，x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C ”，若“黄金抛物线C ”经过点(3,2)和(－12，32)．(1)求“黄金抛物线C ”的方程；(2)设P (0,1)和Q (0，－1)，过点P 作直线l 与“黄金抛物线C ”相交于A ，P ，B 三点，问是否存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)∵“黄金抛物线C ”过点(3,2)和(－12，32)，∴r 2＝(－12)2＋(32)2＝1,4＝3m ＋1，∴m ＝1.∴“黄金抛物线C ”的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)．(2)假设存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ，显然直线l 的斜率存在且不为0，设直线l ：y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝x ＋1，消去y ，得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0， ∴x B ＝1－2k k 2，y B ＝1－kk，即B (1－2k k 2，1－k k)，∴k BQ ＝k1－2k，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＝1，消去y ，得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0，∴x A ＝－2k k 2＋1，y A ＝1－k 2k 2＋1，即A (－2k k 2＋1，1－k2k 2＋1)，∴k AQ ＝－1k， ∵QP 平分∠AQB ，∴k AQ ＋k BQ ＝0，∴k1－2k －1k ＝0，解得k ＝－1±2，由图形可得k ＝－1－2应舍去，∴k ＝2－1，∴存在直线l ：y ＝(2－1)x ＋1，使得QP 平分∠AQB .。

2018高考数学备考百日闯关江苏专版专题2.1以解析几何中定点、定值为背景的解答题附解析专题二 压轴解答题第一讲 以解析几何中定点、定值为背景的解答题【名师综述】解析几何中的定值、定点、定线问题仍是高考考试的重点与难点，都是探求"变中有不变的量".一般运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元等基本思想方法. 类型一 定值问题典例 1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2，左焦点()2,0F -，直线:l y t =与椭圆交于,A B 两点， M 为椭圆上异于,A B 的点.（1）求椭圆E 的方程；（2）若()1M -，以AB 为直径的圆P 过M 点，求圆P 的标准方程； （3）设直线,MA MB 与y 轴分别交于,C D ，证明： OC OD ⋅为定值.【答案】（1）22184x y +=（2）2217039x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（3）见解析 【解析】（2）设(),A s t ，则(),B s t -，且2228s t +=.① ∵以AB 为直径的圆P 过M 点 ∴MA MB ⊥ ∴0MA MB ⋅=，又∵()1MA s t =++，()1MB s t =-+∴()22610s t -++=.②由①②解得： 13t =，或1t =-（舍） ∴2709s =. 又∵圆P 的圆心为AB 的中点()0,t ，半径为2ABs =， ∴圆P 的标准方程为2217039x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.（3）设()00,M x y ，则MA l 的方程为()0000t y y y x x s x --=--，若k 不存在，显然不符合条件. 令0x =得000C tx sy y s x --=-；同理00D tx sy y s x --=--，∴OC OD⋅000000C D tx sy tx sy y y s x s x -+--=⋅=⋅---222222220000222200t x s y t x s y x x x s--==-- ()()()2222002282828282t y t y y t ---=--- 2202288422t y t y -==-为定值. 【名师指点】对于定值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得；而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解．【举一反三】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312⎛⎫⎪⎝⎭，.F 为椭圆的右焦点， ,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点.⑴求椭圆的标准方程； ⑵若AF FC =，求BFFD的值； ⑶设直线AB ， CD 的斜率分别为1k ， 2k ，是否存在实数m ，使得21k mk =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）73 （3）53m = 【解析】（2）若AF FC =，由椭圆对称性，知31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 此时直线BF 方程为3430x y --=，由223430,{ 1,43x y x y--=+=，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），故()11713317BF FD --==-． （3）设00,)A x y （，则()00,B x y --，直线AF 的方程为()0011y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得()2220000156815240x x y x x ---+=，因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x -=-，又(),c C C x y 在直线()0011y y x x =--上，所以()000031152Cc y y y x x x -=-=--， 同理， D 点坐标为0085(52x x ++， 03)52y x +，所以000002100000335252558585335252y y x x y k k x x x x x --+-===+--+-， 即存在53m =，使得2153k k =．类型二 定点问题典例2 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ，B 为椭圆的上顶点， 12BF F ∆A 为椭圆的右顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,M N 两点（,M N 不是左、右顶点），且满足MA NA ⊥，试问：直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.【答案】(Ⅰ) 22143x y +=；（Ⅱ）直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫⎪⎝⎭，. 【解析】（Ⅱ）设()11M x y ，， ()22N x y ，，联立22{ 1.43y kx m x y =++=，得()()222348430k x mkx m +++-=， ()()22222264163430340m k k mk m ∆=-+->+->，即()1222122834{ 43·.34mkx x km x x k +=-+-=+， 又()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，因为椭圆的右顶点为()20A ，， ∴1MA NA k k =-，即1212·122y yx x =---， ∴()121212240y y x x x x +-++=，∴()()22222234431640343434m k mmkkkk--+++=+++，∴2271640m mk k ++=． 解得： 12m k =-， 227km =-，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时， l 的方程为()2y k x =-，直线过定点()20，，与已知矛盾； 当227k m =-时， l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，【名师指点】解析几何中有关定点问题等综合性问题，它涉及到解析几何中的定义、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系，同时又与三角函数、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系，解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整性．【举一反三】已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点()1,0T 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点(),0S s ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由.【答案】(1) 曲线C 的方程为2219x y += ()3x ≠±;(2)见解析. 【解析】（Ⅱ）由已知直线l 过点()1,0T ， 设l 的方程为1x my =+，则联立方程组221{99x my x y =++=，消去x 得 ()229280m y my ++-=,设()()1122,,,P x y Q x y ，则12212229{89m y y m y y m +=-+-=+，直线SP 与SQ 斜率分别为11111SP y y k x s my s ==-+- ， 22221SQ y y k x s my s==-+-， ()()121111SP SP y y k k my s my s =+-+-()()()1222121211y y m y y m s y y s =+-++-()()2228991sm s -=-+-.当3s =时， ()282991SP SP k k s -==--；当3s =-时， ()2811891SP SP k k s -==--. 所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值. 类型三 定线问题典例3 已知抛物线C ： 22y px =（0p >）的焦点是椭圆M ： 22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点，且两曲线有公共点23⎛ ⎝⎭（1）求椭圆M 的方程；（2）椭圆M 的左、右顶点分别为1A ， 2A ，若过点()40B ，且斜率不为零的直线l 与椭圆M 交于P ， Q 两点，已知直线1A P 与2A Q 相较于点G ，试判断点G 是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.【答案】(1) 22143x y += (2) 点G 在定直线1x =上 【解析】∴22221{ 424199a b a b-=+=， 解得224,3a b ==， 椭圆M 的方程为22143x y += （2）方法一当点P 为椭圆的上顶点时，直线l40y +-=，此时点(P ，85Q ⎛ ⎝⎭，则直线120A P l y -+=和直线2:20A Q l y +-=，联立20 20y y -+=+-=，解得G ⎛ ⎝⎭， 当点P 为椭圆的下顶点时，由对称性知：1,2G ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 猜想点G 在直线1x =上，证明如下：由条件可得直线PQ 的斜率存在， 设直线()():40PQ y k x k =-≠， 联立方程()224{34120y k x x y =-+-=，消y 得： ()2222343264120k x k x k +-+-=有两个不等的实根，()()()24222324434163169140k k k k ∆=-⋅+-=⋅->， 2104k ∴<<设()()1122,,,P x y Q x y ，则21223234k x x k +=+， ()21226412*34k x x k -⋅=+则直线()111:22A P y l y x x =++与直线()222:22A Q yl y x x =-- 联立两直线方程得()()12122222y yx x x x +=-+-（其中x 为G 点横坐标） 将1x =代入上述方程中可得1212322y y x x -=+-， 即()()()()122134242k x x k x x --=--+， 即证()1212410160x x x x -++= 将()*代入上式可得()2222464121032163434k kk k ⨯-⨯-+++()2222161632034034k k k k --++==+，此式成立∴点G 在定直线1x =上. 方法二由条件可得直线PQ 的斜率存在， 设直线()():40PQ y k x k =-≠ 联立方程()224{34120y k x x y =-+-=， 消y 得： ()2222343264120k x k x k +-+-=有两个不等的实根，()()()24222324434163169140k k k k ∆=-⋅+-=⋅->， 2104k ∴<<设()()()112233,,,,,P x y Q x y G x y ，则21223234k x x k+=+， 2122641234k x x k -⋅=+12x x ∴-==由1A ，P ， G 三点共线，有： 311322y y x x =++ 由2A ， Q ， G 三点共线，有：323222y y x x =-- 上两式相比得()()()()()()212133121224222242y x k x x x x y x k x x +-++==---- ()()()()12122112121238338x x x x x x x x x x x x -++--==--++-+，解得31x =∴点G 在定直线1x =上．【名师指点】设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.【举一反三】如图，设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F ∆的面积为2. （1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的圆，其方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 【解析】从而1DF =112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此2DF =所以122a DF DF =+=2221a b a c ==-=因此，所求椭圆的标准方程为：2212x y +=【精选名校模拟】1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y x =与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于点A ， B （A 在x 轴上方），且AB =.设点A 在x 轴上的射影为N ，三角形ABN 的面积为2（如图1）. （1）求椭圆的方程；（2）设平行于AB 的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q . ①求证：直线OQ 的斜率为定值；②设直线OQ 与椭圆相交于两点C ， D （D 在x 轴上方），点P 为椭圆上异于A ， B ， C ， D 一点，直线PA 交CD 于点E ， PC 交AB 于点F ，如图2，求证： AF CE ⋅为定值.【答案】（1）22163x y += (2) ①12-②【解析】(2)设平行AB 的直线的方程为y x m =+，且0m ≠，① 联立22{ 163y x mx y =++=，得到2234260x mx m ++-=， 所以12223Q x x m x +==-， 3Q Q my x m =+=； 故，直线OQ 的斜率为13=223Q OQ Q m y k m x ==--（定值）②由题意可知1,:,:2A AB y x OQ y x ==-，联立方程组221,2{1,63y x x y =-+=得()()2,1,2,1,C D --设()00,P x y ，先考虑直线斜率都存在的情形：直线:AP y x =， 联立方程组：{12y x y x==-得x y y x E ⎛⎫--,直线()001:122y PC y x x ++=--, 联立方程组： ()001122{y y x x y x++=--=得0000000022,33x y x y F y x y x ⎛⎫++ ⎪+-+-⎝⎭,则000023x y AF y x +==+-CE ==，所以AF CE ⋅==当直线斜率不存在时结果仍然成立.2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ： 2214x y +=的左顶点A 作直线l ，与椭圆C 和y 轴正半轴分别交于点P ， Q ．（1）若AP PQ =，求直线l 的斜率；（2）过原点O 作直线l 的平行线，与椭圆C 交于点M N ，，求证：2AP AQMN ⋅为定值．【答案】（1）k =2）见解析。

专题14 解析几何解题技巧—巧施转化，柳暗花明一．【学习目标】1.掌握圆锥曲线的定义；2．掌握焦点三角形的应用和几何意义； 3.掌握圆锥曲线方程的求法； 4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系； 5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。

二．【知识点总结】1.椭圆定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数(大于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) 22221,(0)x y a b a b +=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c =(2) 22221,(0)x y a b b a +=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c =3．椭圆的几何性质以22221,(0)x y a b a b+=>>为例(1)范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O(3)顶点：长轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，短轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；长轴长12||2A A a =，短轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =.(4)离心率,01,ce e e a=<<越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆． (5) ,,a b c 的关系：222c a b =-. 4．双曲线的定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 5．双曲线的标准方程(1) 22221,(0,0)x y a b a b -=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c(2) 22221,(0,0)x y a b b a-=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c6．双曲线的几何性质以22221,(0,0)x y a b a b-=>>为例(1)范围：,x a x a ≥≤-．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O(3)顶点：实轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，虚轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；实轴长12||2A A a =，虚轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =.(4)离心率,1ce e a=> (5) 渐近线方程b y x a=±. 7．抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫抛物线的准线. 8．抛物线的标准方程(1) 22222,2,2,2,(0)y px y px x py x py p ==-==->．对应的焦点分别为：(,0),(,0),(0,),(0,)2222p p p p F F F F --. (2)离心率1e =. 三．【题型归纳】（一）利用向量转化几何条件 （二）面积条件的转化 （三）弦长的转化 （四）角平分线的转化 四．【题型方法】（一）利用向量转化几何条件例1．如图，已知满足条件3z i i -=（其中i 为虚数单位）的复数z 在复平面xOy 上的对应点(),Z x y 的轨迹为圆C （圆心为C ），定直线m 的方程为360x y ++=，过()1,0A -斜率为k 的直线l 与直线m 相交于N 点，与圆C 相交于P Q 、两点，M 是弦PQ 中点. （1）若直线l 经过圆心C ，求证：l 与m 垂直；（2）当PQ =l 的方程；（3）设t AM AN =⋅u u u u r u u u r，试问t 是否为定值？若为定值，请求出t 的值，若t 不为定值，请说明理由.【答案】（1）证明见详解；（2）1x =-或4340x y -+=；（3）t 为定值且5t =- 【解析】（1）证明如下： 因为33z i i -=，所以()22:34C x y +-=，所以圆心()0,3C ，半径2R =；又因为()1,0A -，所以()30301l k -==--且13m k =-，所以1l m k k ⋅=-，所以l 与m 垂直；（2）当直线l 的斜率不存在时，:1l x =-，此时2221=2PQ d R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()244112PQ =⨯-=，所以3PQ =当l 的斜率存在且为k 时，():1l y kx =+，2321k d R k -==+，所以22223PQ R d =-=43k =，此时:4340l x y -+=； 综上：直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=；（3）当直线l 的斜率不存在时，可知：()()51,3,1,,1,03M N A ⎛⎫---- ⎪⎝⎭，所以()50,3,0,3AM AN ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u u r u u u r ，所以5t AM AN =⋅=-u u u u r u u u r，即5t =-；当直线l 的斜率存在且为k 时，设():1l y k x =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立()()22134y k x x y ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩可得：()()2222126650k x kk x k k ++-+-+=，所以2122321M x x k k x k +-+==+，()22311M M k ky k x k +=+=+，即222233,11k k k k M k k ⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭，所以222133,11k k k AM k k ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭u u u u r ；又由()1360y k x x y ⎧=+⎨++=⎩可得：365,1313k k N k k ---⎛⎫⎪++⎝⎭，所以55,1313k AN k k --⎛⎫= ⎪++⎝⎭u u u r ，故()()()()()()()()()222225351131555113113113k k k k k k t AM AN k k k k k k -+-++--=⋅=+==-++++++u u u u r u u u r， 综上可知：t 为定值，且5t =-.练习1．已知1F 、2F 分别是椭圆2214xy +=的两焦点，点P 是该椭圆上一动点，则12PF PF ∈⋅u u u v u u u v _________.【答案】[]2,1-【解析】由椭圆2214x y +=知，焦点1(F，2F ，设(,),22P x y x -≤≤，则()22122221(,),)3384134PF PF x y x x x x y y x ⋅=-⋅-=+-==+---u u u r u u u u r ，22x -≤≤Q ，204x ∴≤≤，故12[2,1]PF PF ⋅∈-u u u r u u u u r，故答案为：[]2,1-练习2．已知椭圆：()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点为()1,0,F M 点的坐标为()0,b ，O 为坐标原点，OMF ∆是等腰直角三角形.（1）求椭圆Γ的方程；（2）经过点()0,2C 作直线AB 交椭圆Γ于,A B 两点，求AOB ∆面积的最大值；（3）是否存在直线l 交椭圆于,P Q 两点，使点F 为PQM ∆的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2（3）43y x =-.【解析】（1）由OMF ∆是等腰直角三角形，可得1,b a ===故椭圆方程为2212x y +=；（2）设过点()0,2C 的直线AB 的方程为2y kx =+，,A B 的横坐标分别为,A B x x ， 将线AB 的方程为2y kx =+代入椭圆方程， 消元可得222(1+2)860,16240k x kx k ++=∆=->，∴232k >， 2286,1212A B A B k x x x x k k∴+=-=++，A B x x ∴-== 令2k t =，则3,2A B x x t >-=令32u t =-，则0,A B u x x >-==（当且仅当2u =时取等号）又AOB ∆面积122A B A B x x x x =⨯⨯-=-，∴△AOB 面积的最大值为2； （3）假设存在直线l 交椭圆于,P Q 两点，且使点F 为PQM ∆的垂心， 设()()1122,,,P x y Q x y ，因为(0,1),(1,0)M F ，所以1PQ k =．于是设直线l 的方程为y x m =+，代入椭圆方程， 消元可得2234220x mx m ++-=．由>0∆，得23m <，且21212422,33m m x x x x -+=-=, 由题意应有0MP FQ ⋅=u u u r u u u r，所以()()1221110x x y y -+-=，所以()212122(1)0x x x x m m m ++-+-=．整理得222242(1)033m mm m m -⨯--+-=．解得43m =-或1m =． 经检验，当1m =时，PQM ∆不存在，故舍去． ∴当43m =-时，所求直线l 存在，且直线l 的方程43y x =-练习3．已知点12F F 、为椭圆的两个焦点，其中左焦点()13,0F -的坐标为，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，P 为椭圆上一点。

专题14 直线与抛物线的位置关系 一、定点1、已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点(4,0)M ． （1）若点F 到直线ll 的斜率；（2）设A ，B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值答案： （12）证明见详解.解析： （1）设出直线方程，根据点到直线的距离公式，即可求得直线；（2）设出直线方程，联立抛物线方程，根据韦达定理，利用直线垂直，从而得到的斜率关系，即可证明. 【详解】（1）由条件知直线l 的斜率存在，设为0k ， 则直线l 的方程为：0(4)y k x =-， 即0040k x y k --=．从而焦点(1,0)F 到直线l（2）证明：设直线AB 的方程为(0)y kx b k =+≠，联立抛物线方程24y x =，消元得：222(24)0k x kb x b +-+=． 设()11,A x y ，()22,B x y ， 线段AB 的中点为()00,P x y ，因为PM AB ⊥，1PM AB k k ∴⋅=-． 将M 点坐标代入后整理得：即可得：222kb k -=. 【点睛】本题考查抛物线中的定值问题，涉及直线方程的求解，韦达定理，属综合基础题.2、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220y px p =>上一点其焦点F 的距离为4.（1）求抛物线的方程与准线方程；（2）直线l 与抛物线相交于,A B 两点(,A B 位于x 轴的两侧)，若3OA OB ⋅=，求证直线l 恒过定点.答案： （1）22y x =，（2）见详解解析： （1）先计算n ，根据抛物线的定义，可得.（2）假设直线方程，然后与抛物线方程联立，利用韦达定理，表示出3OA OB ⋅=，可得结果. 【详解】（1在抛物线上，72,pn =或7p = 当7p =时， 所以，抛物线的方程为22y x=，（2）设直线l 的方程为x y a λ=+，由22x y ay xλ=+⎧⎨=⎩，得，2220.y y a λ--= 设()()1122,,,A x y B x y ， 则12122,2y y y y a λ+==-.由221212121222y y OA OB x x y y y y ⋅=+=⋅+()22234a OA OB a -⋅=-=得3a =或1a =-.当1a =-时，1222,,y y a A B =-=位于x 轴的同侧，舍去；当3a =时，1226,,y y a A B =-=-位于x 轴的两侧，即直线l 的方程为3x y λ=+， 所以，直线l 恒过()3,0. 【点睛】本题主要考查抛物线中过顶点的问题，难点在于找到方程x y a λ=+中,a λ的关系，属中档题.3、已知1F 、2F 分别为椭圆1C :22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点，其中1F 也是抛物线22:4C x y =的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且15||3MF =.（1）求椭圆1C 的方程;（2）已知点(1,3)P 和圆O :222x y b +=，过点P 的动直线l 与圆O 相交于不同的两点,A B ，在线段AB 上取一点Q ，满足:AP PB λ=-，AQ QB λ=，(0λ≠且1λ≠±).求证:点Q 总在某定直线上.答案：（1（2）+33x y =. 试题分析：（1）设()00M x y ，，由已知得M 的坐标，代入椭圆的方程中可求得,,a b c ，可得椭圆1C 的方程；（2）由向量的坐标运算和向量相等的条件，以及点在圆上可得出点Q 所在的直线.详解：（1）设()00M x y ，，因为点M 在抛物线2C 上，且又点M 在抛物线1C 上，所以，且1c =，即221b a =-，解得224,3a b ==，所以椭圆1C 的方程（2）设()()1122,,A B x y x y ，，(),Q x y ，因为AP PB λ=-，所以()()1122131,3x y x y λ=-----，，即有()()()121211312x x y y λλλλ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，，， 又AQ QB λ=，所以()()1122,x x y y x x y y λ-=---，，即有()()()()1212+1+3+1+4x x x y y y λλλλ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，，所以()()()()13+24⨯⨯得：()()()2222211222+++13x y x x y y λλ=--，又点A 、B 在圆223x y +=上，所以22221122+3+3x y x y ==，，又1λ≠±，所以+33x y =，故点Q 总在直线+33x y =上.【点睛】本题考查椭圆和抛物线的简单几何性质，以及直线与圆的交点问题，属于较难题.二、定值1、抛物级22(0)x py p =>的焦点F 到直线2py =-的距离为2. （1）求抛物线的方程；（2）设直线1y kx =+交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，分别过A ，B 两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为P ，求证：PF AB ⊥.答案： （1）24x y =；（2）证明见解析试题分析：（1）利用抛物线的定义求出p 即可得出结论；（2）联立直线和抛物线的方程，得出韦达定理，设切线PA 的斜率为PA k ，切线PB 的斜率为PB k ，点P 坐标为(),m n ，利用已知条件对函数214y x =求导得出切线的斜率，写出切线方程，求出两切线的交点坐标，利用1PF AB k k ⋅=-，即可得出结论.详解：（1）由题意知：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则焦点F 到直线2py =-的距离为：222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭， 所以抛物线的方程为：24x y =； （2）证明：把直线1y kx =+代入24x y =消y 得：2440x kx --=，又216160k ∆=+>， 利用韦达定理得121244x x kx x +=⎧⎨⋅=-⎩，由题意设切线PA 的斜率为PA k ，切线PB 的斜率为PB k ，点P 坐标为(),m n ，，切线PA 的方程为：()()i ii -利用韦达定理化简整理得：2m k =，把2m k =代入()i 整理得：则()()2,1,0,1P k F -，则PF AB ⊥ 【点睛】本题主要考查了利用定义求抛物线的方程，直线与抛物线应用.做这道题的时候要注意，利用韦达定理，得出两根的关系，设出两切线的交点，认真计算.属于中档题. 2、已知圆()22:11F x y +-=，动点(),M x y ()0y ≥，线段FM 与圆F 交于点N ，MH x ⊥轴，垂足为H ，（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设()()000,2P x y y >为曲线C 上的一点，过点P 作圆F 的两条切线，12,k k 分别为，求点P 的坐标. 答案： （1）24x y =（2试题分析：()1利用抛物线的概念及标准方程直接得结论;()2设过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，则圆心()0,1F 到切线的距离为求解． 详解：()1圆F 的圆心为()0,1F ，半径为1，又MH x ⊥轴，垂足为H∴动点()(),0M x y y ≥到点()0,1F 等于到直线1y =-的距离．故动点()(),0M x y y ≥的轨迹是以()0,1F 为焦点的抛物线，2p ∴=，则动点M 的轨迹C 的方程是24x y =；()2设过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，则圆心()0,1F 到切线的距离为化简得，()()2220000012120x k x y k y y ---+-=，两切线斜率分别为1k ，2k ，，又()00,P x y 为曲线C 上的一点，由()1知，2004x y =，，即20113430y y -+=， 或03y =， 02y >，03y ∴=，则 ∴点P【点睛】本题考查了抛物线的概念及标准方程和定点与定值问题．属于中档题.3、等腰直角△AOB 内接于抛物线2:2C y px =(0p >)，其中O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥，△AOB 的面积是16. （1）求抛物线C 的方程；（2）抛物线C 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于M ？N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=，2EN NF λ=，证明：12λλ+是一个定值.答案： （1）24y x =；（2）证明见解析.试题分析：（1）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线方程、两点之间距离公式可得12x x =，结合面积即可得点A 坐标，代入即可得解；（2）设直线():10MN x my m =+≠，点()33,M x y ，()44,N x y ，由平面向量的知识. 详解：（1）设点()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y px =，2222y px =，因为△AOB 为等腰直角三角形，OA OB ⊥，所以22221122x y x y +=+，所以22112222x px x px ，化简得()()121220x x x x p -++=，由1>0x ，20x >，0p >可得1220x xp ，所以120x x -=即12x x =，所以点A 、点B 关于x 轴对称， 又△AOB 的面积是16不妨设点()4,4A ，所以1624p =⋅，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =；（2）证明：由题意可知点()1,0F ，直线MN 的斜率存在且不为0， 设直线():10MN x my m =+≠，点()33,M x y ，()44,N x y ，，3,x EM ⎛ =，()331,x y MF -=-，4,x EN ⎛=()441,x y NF -=-，因为1EM MF λ=，2EN NF λ=，由241y xx my ⎧=⎨=+⎩消去x 可得2440y my --=，>0∆， 所以344y y m +=，344y y =-， 所以12λλ+是一个定值,且121λλ+=-.【点睛】本题考查了抛物线方程的求解及直线、平面向量与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.4、如图所示，倾斜角为α的直线经过抛物线28y x =的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点.（1）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（2）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P .证明||||cos2α-FP FP 为定值，并求此定值.答案： （1）,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；2x =-（2）证明见解析；定值为8试题分析：（1）根据抛物线标准方程得28p =，从而易得焦点坐标和准线方程； （2）设点,A B 的坐标分别为()(),,,A A B B x y B x y .直线AB 的斜率为tan k α=，则直线方程为(2)y k x =-，代入抛物线方程整理后可和A B x x +，这样可得AB 中点E 的坐标(,)E E x y ，由直线m 与AB 垂直可得m 的方程，在此方程中令0y =得P x ，计算化简||||cos2α-FP FP 得定值．详解：解（1）设抛物线的标准方程为22y px =，则28p =，从而4p =. 因此焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标为（2，0），又准线方程的一般式为2p x =-.从而所求准线的方程为2x =-.（2）设点,A B 的坐标分别为()(),,,A A B B x y B x y .直线AB 的斜率为tan k α=，则直线方程为(2)y k x =-.将此式代入28y x =，得()22224240k x k x k -++=. 故()2242++=A B k x x k.记直线m 与AB 的交点为(),E E E x y ，则()22222A B E k x x x k++==，故直线m 的方程为令0y =，得点P 的横坐标.【点睛】本题考查由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程，考查直线与抛物线相交中的定值问题．直线与抛物线相交，可设交点坐标为()(),,,A A B B x y B x y ，再写出直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得,A B A B x x x x +，本题中由此可得中点坐标(,)E E x y ．这就是解析几何中的设而不求的思想方法，务必掌握住．5、已知()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线C ：()220x py p =>上不同两点.（1）若抛物线C 的焦点为F ，()00,D x y 为AB 的中点，且042AF BF y +=+，求抛物线C 的方程；（2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交点Q ，且线AB ，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由. 答案： （1）28x y =；（2）存在，AB ：试题分析：(1)根据抛物线的定义求解即可.(2)设AB ：()0,0y kx m k m =+≠>,联立直线与抛物线的方程,再转换可得进而利用点坐标与韦达定理代入化简求解即可. 详解：解：（1）由抛物线的定义得12AF BF y y p +=++00242y p y =+=+,∴4p =,∴所求抛物线方程为28x y =.（2）由题意得AB 的斜率存在设AB ：()0,0y kx m k m =+≠>,222202y kx mx pkx pm x py=+⎧⇒--=⎨=⎩,∴122x x pk +=,122x x pm =-,,21222y y pk m +=+,作'AA x ⊥轴,'BB x ⊥轴,垂足为'A ,'B ,【点睛】本题主要考查了抛物线的定义运用,同时也考查了联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理表达弦长进行化简求解的问题.属于中档题.6、已知O 为原点，抛物线()2:208C x py p =<<的准线与y 轴的交点为H ，P 为抛物线C 上横坐标为4的点，已知点P 到准线的距离为5. （1）求C 的方程；（2）过C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若以AH 为直径的圆过B ，求.答案： （1）24x y =；（2）4.试题分析：（1，求得p 后即可得解；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为()10y kx k =+≠，联立方程组结合韦达定理可得124x x =-，由圆的性质、进而可得221216x x -=，再由抛物线的性质即可得解.详解：（1，解得2p =或8p =（舍）， ∴抛物线方程为24x y =；（2）由题意抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，准线方程为1y =-，()0,1H -， 由题意可知，直线AB 的斜率存在且不为0，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为()10y kx k =+≠， 代入抛物线方程可得2440x kx --=，>0∆， ∴124x x k +=，124x x =-，①由AH BH ⊥可得1HB k k ⋅=-，∴整理得()()1212110y y x x -++=，即把①代入②得221216x x -=，【点睛】本题考查了抛物线性质的应用及方程的求解，考查了直线与抛物线的综合问题，关键是对题目条件合理转化，属于中档题.7、设抛物线C ：()220y px p =＞的焦点为F ，经过点F 的动直线l 交抛物线C 于()()1122A x y B x y ，、，两点，且12 4.y y =-（1）求抛物线C 的方程；（2）若点M 是抛物线C 的准线上的一点，直线MF 、MA 、MB 的斜率分别为012k k k 、、，求证：当01k =时，12k k +为定值.答案： （1）24y x =；（2）122k k +=.试题分析：（1）设直线l 方程为即可求解；（2）根据条件求出M 点坐标，12k k +用12,y y 表示，再利用根与系数关系，即可证明结论. 【详解】（1）抛物线C ：()220y px p =>的焦点设直线l 方程为 ，消去x 得，2220y pmy p --=，22212124(1)0,2,4p m y y pm y y p ∆=+>+==-=-，2p =，所以抛物线方程为24y x =；（2）抛物线准线方程为2x =-，设 直线l 方程为1x my =+，212124,4y y m y y p +==-=-所以12k k +为定值. 【点睛】本题考查求抛物线的标准方程及其性质，考查直线与抛物线的位置关系，要注意根与系数关系设而不求的应用，属于中档题.8、已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ，1C 和2C 有公共焦点F ，点F 在x 轴正半轴上，且1C 的长轴长、短轴长及点F 到直线 （Ⅰ）当2C 的准线与直线的距离为15时，求1C 及2C 的方程；（Ⅱ）设过点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P ，Q 两点，交2C 于M ，N 两点．当时，求||MN 的值． 试答案： （Ⅰ）1C ：，2C ：212y x =（Ⅱ）试题分析：（1）依据题设条件“1C 的长轴长、短轴长及点F 到直线求得2a c =，从而求出1C 的右准线方程为4x c =，然后借助题设“2C 的准线与直线的距离为15”建立方程求出3c =，求出1C 及2C 的方程；（2）先建立直线l 的方程l ：y x c =-，后与椭圆方程联立，借助求出c 的值，再与曲线1C 的方程联立求出 解：（Ⅰ）设1C ：，其半焦距为c (0)c >．则2C ：24y cx =．，得2a c =．1C 的右准线方程为，即4x c =．2C 的准线方程为x c =-．由条件知515c =，所以3c =，故6a =，从而1C ：，2C ：212y x =．（Ⅱ）由题设知l ：y x c =-，设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ．，即2223412x y c +=由2223412x y c y x c ⎧+=⎨=-⎩，知34,x x 满足227880x cx c --=，，所以129x x += 点睛：圆锥曲线是高中数学教材中较为典型的传统内容，也是高考每年重点考查的知识内容之一．本题以椭圆与抛物线两种圆锥曲线为背景设置问题，旨在考查椭圆、抛物线的标准方程与几何性质等基础知识，以及运用代数中的方程解决几何问题的各种综合能力．解答本题的第一问时，先依据题设条件“1C 的长轴长、短轴长及点F 到直线求得2a c =，从而求出1C 的右准线方程为4x c =，然后借助题设“2C 的准线与直线的距离为15”建立方程求出3c =，求出1C 及2C 的方程；求解本题的第二问，先建立直线l 的方程l ：y x c =-，后与椭圆方程联立，求出c 的值，再与曲线1C 的方程联立求出的值使得问题获解．9、已知抛物线21:4C y x =与圆2222:C x y r +=一个交点的横坐标线l 与1C 相切于点P ，与2C 交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点. （1）求2C 的方程；（2）若OA OB ⊥，求.答案： （1）221x y +=；（2试题分析：（1）将抛物线方程和圆方程联立，消去y ，得到关于x 的方程，然后将交点代入方程中，可求出圆的半径，可得2C 的方程；（2）设直线l 的方程为x ky m =+，与抛物线方程联立成方程组，消元后判别式等于零，得到20k m +=，直线方程与圆的方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系，再结合OA OB ⊥，可得22210m k --=，从而可求出k ，m 的值，从而可求出点P 的坐标，详解：（1）联立抛物线1C 与圆2C 的方程：22224y xx y r⎧=⎨+=⎩，得2240x x r +-=，解得21r =，所以2C 的方程为221x y +=.（2）设直线l 的方程为x ky m =+，联立直线l 与抛物线1C 的方程24x ky my x=+⎧⎨=⎩，得2440y ky m --=，由于直线l 与1C 相切，所以()()24440k m ∆=---=，即20k m +=①联立直线l 与圆2C 的方程：221x ky m x y =+⎧⎨+=⎩，得()2221210k y kmy m +++-=设()11,A x y ，()22,B x y ，则由OA OB ⊥得，12120x x y y +=，即()()()()221212121210ky m ky m y y k y y km y y m +++=++++=化简得，22210m k --=②，将①代入②得：2210m m +-=，解得1m =-或12m =（舍去），21k =，所以1k =±， 故直线l 的1x y =±-. 解方程组214x y y x =±-⎧⎨=⎩得，切点P 的坐标为()11,2P ，()21,2P -. （1）当P 的坐标为()11,2P 时，此时()0,1A ，()1,0B -，故2224PA PB =⨯=； （2）当P 的坐标为()21,2P -时，此时()1,0A -，()0,1B -，故2224PA PB =⨯=. 所以，4PA PB =.【点睛】本题主要考查抛物线方程、圆的方程、向量等综合知识，考查推理论证、转化与化归及运算求解能力，属于较难题.三、面积1、已知点()0,2A ，()2,0B .若点C 在抛物线2y x =上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案： D解析： 由题意可得22AB =，AB 的方程为221x y +=，2(,)C m m ，求出点C 到AB 的距离d 的值，再代入面积公式得21|2|22222m m +-⨯⨯=，由此求得m 的值，从而得出结论．详解：由题意可得22AB =，AB 的方程为221x y+=，即20x y +-=． 设点2(,)C m m ，则点C 到AB 的距离2|2|2m m d -=+．由于ABC ∆的面积为2，故有21|2|22222m m +-⨯⨯=，化简可得2|2|2m m +-=， 222m m ∴+-=①，或222m m +-=-②．解①求得1172m -+=或1172m --=；解②求得0m =或1m =-． 综上可得，使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为4.故选：D. 【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质的应用，点到直线的距离公式，一元二次方程的解法，属于中档题．2、在直角坐标系xOy 中，PAF △是以PF 为底边的等腰三角形，PA 平行于x 轴，点()1,0F ，且点P 在直线1x =-上运动.记点A 的轨迹为C.（1）求C 的方程. （2）直线AF 与C 的另一个交点为B ，等腰PAF △底边的中线与直线1x =-的交点为Q ，试问QAB 的面积是否存在最小值？若存在，求出该值；若不存在，请说明理由.答案： （1）()240y x x =≠；（2）存在，值为4.试题分析：（1）根据抛物线的定义得轨迹C 为抛物线（去除顶点），从而可得其方程； （2）设直线AB 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入抛物线方程整理可得1212,y y y y +，由抛物线的焦点弦弦公式求得弦长AB ，再求出点Q 到直线AB 的距离，求得三角形面积（表示为t 的函数），由函数性质可得最小值． 详解：（1）由题意得PA 与直线1x =-垂直，且PA PF =， 故点A 到定点()1,0F 的距离和到直线1x =-的距离相等， 由抛物线的定义可得，C 是以()1,0F 为焦点， 直线1x =-为准线的抛物线(除原点O)，故C 的方程为()240y x x =≠.（2）存在．设直线AB 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty --=， 则()21610t ∆=+>，124y y t +=，124y y =-. 因为111x ty =+，221x ty =+，所以21242x x t +=+，又P 的坐标为()11,y -，所以PF故PAF △底边的中线所在的直线方程为令1x =-，得 故Q 的坐标为()1,2t -.点Q 到直线ABQABS=故当0t =时，QABS取得最小值4.【点睛】本题考查用定义求轨迹方程，考查抛物线的焦点弦性质及抛物线中三角形面积问题．解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为1x ty =+，代入抛物线方程应用韦达定理得1212,y y y y +，然后用1212,y y y y +去表示出弦长，把三角形面积表示为参数t 的函数，再由函数知识得最小值．3、已知抛物线C ：2y x a =+，点P 是C 上的不同于顶点的动点，C 上在点P 处的切线l 分别与x 轴轴交于点A 、B ．若存在常数t 满足对任意的点P 都有PA tPB =． （Ⅰ）求实数a ，t 的值；（Ⅱ）过点P 作l 的垂线与C 交于不同于P 的一点D ，求PBD △面积的最小值．答案：试题分析：（Ⅰ）先求导数，利用导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，即得A 、B 坐标，根据坐标化简PA tPB =，最后根据等式恒成立得a ，t 的值；（Ⅱ）先设D ，根据向量垂直坐标表示得P 与D 横坐标关系，再根据两点间距离公式得结果.详解：（Ⅰ）设1111(,)(0,)P x y x y a ≠≠，则211y x a =+，22y x a y x '=+∴=2111111111:2()2222()l y y x x x y y x x x y y x x y a ∴-=-∴-=--=--，，，即11:22l y y a x x +-=．l 分别与x 轴轴交于点A 、B ，()10,2B a y -．PA tPB =∴0∵存在常数t 满足对任意的点P 都有PA tPB =∴ （Ⅱ）设22(,)D x y ，DP PB ⊥0DP PB ∴⋅=()()()()222121211121211,,2,,2DP PB x x y y x y x x x x x x ⋅=--⋅--=---⋅ ()()2221121122x x x x x x =----∵12x x ≠，10x≠，故()112120x x x ++=，即又DP PB ⊥，故PBD △的面积为()()()()222222221614141211411()88x x x x x f x x x +-+-+'=⋅=⋅．11(0,),()0;(,),()0;2323x f x x f x ''∴∈<∈+∞>∴()f x 在10,23⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，在1,23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数． ∴当123x =时，()f x 的最小值是439．故PBD △面积的最小值是439． 【点睛】本题考查抛物线切线方程、等式恒成立、抛物线中三角形面积、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属较难题.4、已知点F 是抛物线2:4C x y =的焦点，P 是其准线l 上任意一点，过点P 作直线PA ，PB 与抛物线C 相切，A ，B 为切点，PA ，PB 与x 轴分别交于Q ，R 两点．（1）求焦点F 的坐标，并证明直线AB 过点F ； （2）求四边形ABRQ 面积的最小值．答案： （1）(0,1)F ，证明见解析；（2）3试题分析：（1）由点斜式设出直线,AP BP 的直线方程，再由P 在,PA PB 上，得出直线AB 的方程，从而证明直线AB 过点F ；（2）将直线AB 的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理，抛物线的性质，点到直线的距离公式得出PAB S ∆，PQR S ∆，再由四边形ABRQ 的面积PAB PQR S S S ∆∆=-，结合导数得出四边形ABRQ 面积的最小值． 详解：（1）由题意可知(0,1)F又P 在,PA PB 上,所以直线AB过焦点（2）由（1代入2:4C x y =得20240x x x --= 则1201224x x x x x +=⎧⎨=-⎩由（1则四边形ABRQ 的面积当2t ≥时，()0f t '>即函数()f t 在[2,)+∞上是增函数 则四边形ABRQ 面积的最小值为3【点睛】本题主要考查了抛物线中直线过定点问题，抛物线中的四边形的面积问题，属于中档题.5、已知抛物线()2:20C y px p =>经过点（1）写出抛物线C 的标准方程及其准线方程，并求抛物线C 的焦点到准线的距离； （2）过点()2,0且斜率存在的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，且点B 关于x与x 轴交于点M . （i 的坐标；（ii与OAB 面积之和的最小值.答案： 1焦点到准线的距离为1；（2）（i ）(2,0)M -，（ii 试题分析：（1）由抛物线C 经过点，求得抛物线的方程为22y x =，再结合抛物线的几何性质，即可求解；（2）（i ）设过点()2,0的直线:2l x my =+，联立方程组，求得1212,y y y y +，再由直线AD 的方程，0y =，即可求解M 的坐标；（ii ）利用三角形的面积公式，求得OAM ∆与OAB ∆面积之和的表示，结合基本不等式，即可求解.详解：（1）由题意，抛物线()2:20C y px p =>经过点解得1p =，所以抛物线的方程为22y x =，1.（2）（i ）设过点()2,0的直线:2l x my =+， 代入抛物线22y x =的方程，可得2240y my --=，设直线l 与抛物线C 的交点112222(,),(,),(,)A x y B x y D x y -，且10y >，则212122,4,4160y y m y y m +==-∆=+>，所以直线AD的方程为令0y =，可得()21211()2y y y x y -⋅-=-，所以21211122()()4x y y y y y y =-⋅-+==-，所以2x =-，所以(2,0)M -，1212111422OAB OAM S y y y y S y y y ∆∆-++=+=++=11114422242y y y y =+≥⋅=， 当且仅当1142y y =时，即12y =时等号成立， 所以OAM ∆与OAB ∆面积之和的最小值为42.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。

解析几何热点一 圆锥曲线的标准方程与几何性质圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常考题型.【例1】(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1D.x 2－y 23＝1(2)若点M(2，1)，点C 是椭圆x 216＋y 27＝1的右焦点，点A 是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值为________.(3)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与抛物线y 2＝2px(p ＞0)有相同的焦点F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点，若直线PQ 经过焦点F ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为________.答案 (1)D (2)8－26 (3)2－1解析 (1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点为F(2，0)，则a 2＋b 2＝4，①双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，由题意得2ba 2＋b2＝3，② 联立①②解得b ＝3，a ＝1， 所求双曲线的方程为x 2－y23＝1，选D.(2)设点B 为椭圆的左焦点，点M(2，1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，而a ＝4，|BM|＝（2＋3）2＋1＝26，所以(|AM|＋|AC|)最小＝8－26.(3)因为抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点F 为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设椭圆另一焦点为E.如图所示，将x ＝p 2代入抛物线方程得y ＝±p，又因为PQ 经过焦点F ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p 且PF⊥OF.所以|PE|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋p 2＝2p ， |PF|＝p ，|EF|＝p. 故2a ＝2p ＋p ，2c ＝p ，e ＝2c2a＝2－1.【类题通法】(1)在椭圆和双曲线中，椭圆和双曲线的定义把曲线上的点到两个焦点的距离联系在一起，可以把曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离，也可以结合三角形的知识，求出曲线上的点到两个焦点的距离.在抛物线中，利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题. (2)求解与圆锥曲线的几何性质有关的问题关键是建立圆锥曲线方程中各个系数之间的关系，或者求出圆锥曲线方程中的各个系数，再根据圆锥曲线的几何性质通过代数方法进行计算得出结果.【对点训练】已知椭圆x 24＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A ，B 两点，以下结论：①△ABF 2的周长为8；②原点到l 的距离为1；③|AB|＝83.其中正确结论的个数为( ) A.3 B.2C.1D.0答案 A解析 ①由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AF 2|＝4，|BF 1|＋|BF 2|＝4，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB|，所以△ABF 2的周长为|AB|＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，故①正确；②由条件，得F 1(－2，0)，因为过F 1且倾斜角为45°的直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋2，则原点到l 的距离d ＝|2|2＝1，故②正确；③设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 24＋y 22＝1，得3x 2＋42x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－423，所以|AB|＝1＋1·|x 1－x 2|＝83，故③正确.故选A. 热点二 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.【例2】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，2)在C 上.(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. (1)解 由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0，b ≠0)， A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x M ，y M ). 将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【类题通法】解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值. 第二步：探究一般情况.探究一般情形下的目标结论. 第三步：下结论，综合上面两种情况定结论.【对点训练】已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点F(1，0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点. (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点.(1)解 因为抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x.(2)证明 ①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，－t .因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t 24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32.所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，联立得⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0. 根据根与系数的关系得y A y B ＝4b k ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y B x B ＝－12，即x A x B ＋2y A y B ＝0.即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0，解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32.所以y A y B ＝4bk＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ， 即y ＝k(x －8).综上所述，直线AB 过定点(8，0). 热点三 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.【例3】平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D.直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M. ①求证：点M 在定直线上；②直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标.(1)解 由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2，因为抛物线E 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1.(2)①证明 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22(m>0)，由x 2＝2y ，可得y′＝x ，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m(x －m).即y ＝mx －m 22.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，D(x 0，y 0).联立方程⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ>0，得0<m<2＋5(或0<m 2<2＋5).(*)且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝2m 34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22（4m 2＋1），因为y 0x 0＝－14m. 所以直线OD 方程为y ＝－14mx ，联立方程⎩⎨⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上.②由①知直线l 的方程为y ＝mx －m 22，令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G ⎝⎛⎭⎪⎫0，－m 22，又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 34m 2＋1，－m 22（4m 2＋1）， 所以S 1＝12·|GF|·m ＝（m 2＋1）m4，S 2＝12·|PM|·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m （2m 2＋1）28（4m 2＋1）.所以S 1S 2＝2（4m 2＋1）（m 2＋1）（2m 2＋1）2.设t ＝2m 2＋1，则S 1S 2＝（2t －1）（t ＋1）t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t ＋2，当1t ＝12， 即t ＝2时，S 1S 2取到最大值94，此时m ＝22，满足(*)式，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14.因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14.【类题通法】圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法、或利用判别式构造不等关系、利用隐含或已知的不等关系建立不等式等方法求最值、范围；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值. 【对点训练】如图，设抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF|－1. (1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围.解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离， 由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F(1，0)， 可设A(t 2，2t)，t ≠0，t ≠±1.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s≠0)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy －4＝0.故y 1y 2＝－4，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t .又直线AB 的斜率为2tt 2－1， 故直线FN 的斜率为－t 2－12t，从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t.所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M(m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得2tt 2－m ＝2t ＋2t t 2－t 2＋3t 2－1， 于是m ＝2t 2t 2－1，所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞). 热点四 圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立.涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题.【例4】已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M.(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由. (1)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0，b ≠0)， A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x M ，y M ).将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kbk 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k ，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. (2)解 四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k ＞0，k ≠3.由(1)得OM 的方程为y ＝－9k x.设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎨⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m2得x 2P＝k 2m 29k 2＋81，即x P＝±km 3k 2＋9.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入l 的方程得b ＝m （3－k ）3，因此x M ＝k （k －3）m 3（k 2＋9）.四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M .于是±km 3k 2＋9＝2×k （k －3）m 3（k 2＋9）， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i ＞0，k i ≠3，i ＝1，2，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形.【类题通法】(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法. 【对点训练】在平面直角坐标系xOy 中，过点C(2，0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2). (1)求证：y 1y 2为定值；(2)是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由. (1)证明 法一 当直线AB 垂直于x 轴时， y 1＝22，y 2＝－2 2. 因此y 1y 2＝－8(定值). 当直线AB 不垂直于x 轴时， 设直线AB 的方程为y ＝k(x －2)， 由⎩⎨⎧y ＝k （x －2），y 2＝4x ，得ky 2－4y －8k ＝0. ∴y 1y 2＝－8.因此有y 1y 2＝－8为定值.法二 设直线AB 的方程为my ＝x －2， 由⎩⎨⎧my ＝x －2，y 2＝4x ，得y 2－4my －8＝0. ∴y 1y 2＝－8.因此有y 1y 2＝－8为定值. (2)解 设存在直线l ：x ＝a 满足条件， 则AC 的中点E ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋22，y 12，|AC|＝（x 1－2）2＋y 21. 因此以AC 为直径的圆的半径r ＝12|AC|＝12（x 1－2）2＋y 21＝12x 21＋4， 又点E 到直线x ＝a 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1＋22－a 故所截弦长为 2r 2－d 2＝214（x 21＋4）－⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋22－a 2 ＝x 21＋4－（x 1＋2－2a ）2＝－4（1－a ）x 1＋8a －4a 2.当1－a ＝0，即a ＝1时，弦长为定值2，这时直线方程为x ＝1.。

【知识梳理】解析几何的20个微专题[1]专题1：直线与方程知识梳理： （1）直线的倾斜角定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为︒0.倾斜角的范围为[)︒︒180,0. （2）直线的斜率：定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即=k αtan .倾斜角是︒90的直线，斜率不存在. （3） 过两点的直线的斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式：当21x x ≠时，1212x x y y k --=；当21x x =时，斜率不存在.注：①任何直线都有倾斜角，但不是任何直线都有斜率，倾斜角是︒90的直线的斜率不存在.②斜率随倾斜角的变化规律：③可以用斜率来证明三点共线，即若AC AB k k =，则C B A ,,三点共线. 直线方程的五种形式注意：①求直线方程的方法主要有两种：一是直接法，根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程；二是待定系数法，先设出直线方程，再根据条件求出待定系数，最后代入求出直线方程.但使用直线方程时，一定要注意限制条件，以免解题过程中丢解.②截距与距离的区别：截距可为一切实数，纵截距是直线与y 轴交点的纵坐标，横截距是直线与x 轴交点的横坐标，而距离是一个非负数.直线与直线位置关系1．两条直线的交点若直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A 相交，则交点坐标是方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的解. 2．两条直线位置关系的判定 （1）利用斜率判定若直线1l 和2l 分别有斜截式方程1l ：11b x k y +=和2l ：22b x k y +=，则 ①直线1l ∥2l 的等价条件为2121,b b k k ≠=. ②直线1l 与2l 重合的等价条件为2121,b b k k ==.③直线1l 与2l 相交的等价条件为21k k ≠；特别地，1l ⊥2l 的等价条件为121-=⋅k k .若1l 与2l 斜率都不存在，则1l 与2l 平行或重合.若1l 与2l 中的一条斜率不存在而另一条斜率为0，则1l 与2l 垂直.（2）用直线一般式方程的系数判定设直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，则 ①直线1l ∥2l 的等价条件为0012211221≠-=-C B C B B A B A 且. ②直线1l 与2l 重合的等价条件为0012211221=-=-C B C B B A B A 且.③直线1l 与2l 相交的等价条件为01221≠-B A B A ；特别地， 1l ⊥2l 的等价条件为02121=+B B A A .注：与0=++CBy Ax 平行的直线方程一般可设为0=++m By Ax 的形式，与0=++C By Ax 垂直的直线方程一般可设为0=+-n Ay Bx 的形式.（3）用两直线联立的方程组的解的个数判定设直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，将这两条直线的方程联立，得方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A ，若方程组有惟一解，则1l 与2l 相交，此解就是1l ，2l 交点的坐标；若方程组无解，此时1l 与2l 无公共点，则1l ∥2l ；若方程组有无数个解，则1l 与2l 重合.3. 直线系问题（1）设直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A若1l 与2l 相交，则0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ表示过1l 与2l 的交点的直线系（不包括2l ）；若1l ∥2l ，则上述形式的方程表示与与2l 平行的直线系.（2）过定点),(00y x 的旋转直线系方程为))((00R k x x k y y ∈-=-（不包括0x x =）；斜率为0k 的平行直线系方程为)(0R b b x k y ∈+=.注：直线系是具有某一共同性质的直线的全体，巧妙地使用直线系，可以减少运算量，简化运算过程. 距离公式与对称问题 1.距离公式（1）两点间的距离公式平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离=21P P 212212)()(y y x x -+-.特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离=OP 22y x +.若x P P //21轴时，=21P P 21x x -；若y P P //21轴时，=21P P 21y y -. （2）点到直线的距离公式已知点),(000y x P ，直线l ：0=++C By Ax ，则点0P 到直线l 的距离=d 2200BA CBy Ax +++.已知点),(000y x P ，直线l ：a x =，则点0P 到直线l 的距离=d a x -0. 已知点),(000y x P ，直线l ：b y =，则点0P 到直线l 的距离=d b y -0. 注：用此公式求解点到直线距离问题时，直线方程要化成一般式. （3）两条平行直线间的距离公式已知两平行直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，若点),(000y x P 在1l 上，则两平行直线1l 和2l 的距离可转化为),(000y x P 到直线2l 的距离.已知两平行直线1l ：01=++C By Ax 和2l ：02=++C By Ax ，则两直线1l 和2l 的距离=d 2221BA C C +-.注：用此公式求解两平行直线间的距离时，直线方程要化成一般式，并且y x ,项的系数必须对应相等. 2.对称问题 （1）中心对称 ①点关于点的对称点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(001y b x a P --. ②直线关于点的对称在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线的方程，或者求出一个对称点，再利用1l ∥2l ，由点斜式求出直线的方程，或者在所求直线上任取一点),(y x ，求出它关于已知点的对称点的坐标，代入已知直线，即可得到所求直线的方程. (2）轴对称①点关于直线的对称点),(00y x P 关于b kx y +=的对称点为),(111y x P ,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++⋅=+-=⋅--b x x k y y k x x y y 22101010101,由此可求出11,y x .特别地, 点),(00y x P 关于a x =的对称点为),2(001y x a P -，点),(00y x P 关于b y =的对称点为)2,(001y b x P -. ②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称直线相交，一是已知直线与对称直线平行. 本章知识结构专题2：圆的标准方程与一般方程知识梳理:⑴.圆的一般方程的概念：当 时，二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程。

解题技巧专题解决抛物线中与系数abc有关的问题抛物线是解析几何中的一个重要概念，它在数学中有广泛的应用。

抛物线的一般方程可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

本文将结合解题技巧专题，分析抛物线方程中与系数a、b、c有关的问题，并提供解决方法和实例说明。

1.确定抛物线的开口方向：对于抛物线方程y = ax^2 + bx + c，可以通过系数a的正负来确定抛物线的开口方向。

当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。

例题：给定抛物线方程y=-2x^2+3x+1，确定抛物线的开口方向。

解：由于a=-2<0，所以抛物线开口朝下。

2.确定抛物线的顶点坐标：抛物线的顶点是其图像的最高点或最低点，可以通过顶点公式来确定。

顶点公式为(x,y)=(-b/2a,f(-b/2a))，其中b为系数b，a为系数a。

例题：给定抛物线方程y=2x^2-4x+3，确定抛物线的顶点坐标。

解：根据顶点公式，我们有x=-(-4)/(2*2)=1，代入方程得y=2*1^2-4*1+3=1、所以，抛物线的顶点坐标为(1,1)。

3.确定抛物线与x轴的交点：抛物线与x轴的交点即方程的解，可以通过解一元二次方程来确定交点。

解一元二次方程需要用到求根公式，即x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

例题：已知抛物线y=x^2-3x+2，确定抛物线与x轴的交点。

解：将方程与x轴的交点令为y=0，得到x^2-3x+2=0。

代入求根公式，我们有x=(3±√(3^2-4*1*2))/(2*1)=1和x=2、所以，抛物线与x轴的交点为(1,0)和(2,0)。

4.确定抛物线与y轴的交点：抛物线与y轴的交点即方程在x=0处的解，可以直接求出。

例题：已知抛物线y=-3x^2+2x-1，确定抛物线与y轴的交点。

解：将x=0代入方程，我们有y=-(0)^2+2(0)-1=-1、所以，抛物线与y轴的交点为(0,-1)。

专题五 解析几何解答题1．【2018浙江名校协作体高三上学期考试】如图，已知抛物线的焦点在抛物线22:1C y x =+上，点是抛物线上的动点．（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线，A 、B 分别为两个切点，求P A B ∆面积的最小值．【答案】(Ⅰ) 1C 的方程为24x y = 其准线方程为1y =-；(Ⅱ)2．【解析】试题分析；（I ）由题意抛物线1C 的焦点为抛物线2C 的顶点（01，），由此算出2p =，从而得到抛物线1C 的方程，得到1C 的准线方程；试题解析：（Ⅰ） 1C 的方程为24x y = 其准线方程为1y =-．（Ⅱ）设22P t t （，），()11,A x y ，()22,B x y ，则切线P A 的方程：()1112y y x x x -=-，即211122y x x x y =-+，又2111y x =+，所以1122y x x y =+-，同理切线P B 的方程为2222y x x y =+-， 又P A 和P B 都过P 点，所以211222420{420tx y t tx y t-+-=-+-=，所以直线A B 的方程为2420tx y t -+-=．联立2242{ 1y tx t y x =+-=+得22410x tx t -+-=，所以122124{1x x t x x t +=⋅=-．所以12A B x =-=．点P 到直线A B的距离26+2t d ==所以P A B ∆的面积()()322212312312S A B d t t ==+=+所以当0t =时，S 取最小值为2．即P A B ∆面积的最小值为2． 2．【2018广东深圳市高三一模】已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的离心率为12，直线:24l x y +=与椭圆有且只有一个交点T ．（I ）求椭圆C 的方程和点T 的坐标；（II ） O 为坐标原点，与O T 平行的直线'l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求O A B 的面积最大时直线'l 的方程．【答案】（I ）椭圆C 的方程为2222413x y aa+=，点T 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭；（II）32y x =-32y x =+．【解析】试题分析：（I ） 根据椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的离心率为12，直线:24l x y +=与椭圆有且只有一个交点，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 、c ，即可得结果；（II ） 设直线'l 的方程为32y x t =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2232{143y x txy=++=消去y ，利用韦达定理，弦长公式以及点到直线距离公式与三角形面积公式可得12O A BSd A B=试题解析：（I ）由12c a=，得2234b a=，故2234b a =．则椭圆C 的方程为2222413x y aa+=．由222224{ 413x y x y aa+=+=，消去x ，得2216161603y y a-+-=．①由0∆=，得24a =．故椭圆C 的方程为22143xy+=．所以32T y =，所以点T 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭； （II ）设直线'l 的方程为32y x t =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2232{143y x txy=++=消去y ，得2212124120x tx t ++-=， 则有12212{33x x tt x x +=--=，由()()22124124120t t ∆=-⨯⨯->，得212t <，A B === 设原点到直线'l 的距离为d ．则d =所以12O A BSd A B ===所以当2612t =<时，即t =±时，O A B 的面积最大． 所以直线'l的方程为32y x =-或32y x =+3．【2018贵州遵义市高三上学期第二次联考】设抛物线()240y m x m =>的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点为2F ，以12F F 、为焦点，离心率12e =的椭圆与抛物线的一个交点为2,33E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；自1F 引直线交抛物线于P Q 、两个不同的点，设11F P F Q λ=．（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程； （Ⅱ）若1,12λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，求P Q 的取值范围．【答案】(Ⅰ)椭圆的方程为22143xy+=；抛物线的方程是：24yx =．(Ⅱ) 0,2⎛⎝⎦． 【解析】试题分析： (Ⅰ) 设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b ab+=>>，根据椭圆上的点及离心率可得关于,a b 的方程组，求得,a b 可得椭圆的方程；根据椭圆的焦点坐标可得1m =，进而可得抛物线方程．(Ⅱ)设出直线P Q 的方程，与椭圆方程联立消元后根据根与系数的关系及弦长公式可得P Q ，再根据λ的范围，利用函数的有关知识求得P Q 的范围即可． 试题解析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b ab+=>>，由题意得22424199{12a bc aa +===，解得224{ 3a b==，∴椭圆的方程为22143xy+=，∴点2F 的坐标为()1,0， ∴1m =，∴抛物线的方程是24y x =．（Ⅱ）由题意得直线P Q 的斜率存在，设其方程为()()10y k x k =+≠，由()21{4y k x yx=+=消去x 整理得2440k y y k -+=（*）∵直线P Q 与抛物线交于两点， ∴216160k ∆=->． 设()11,P x y ，()22,Q x y ， 则124y y =①，124y y k+=②．∵11F Q F Q λ=，()11,0F -， ∴()()11221,1,x y x y λ+=+ ∴12y y λ=．③由①②③消去12,y y 得：()2241k λλ=+．∴P Q ====4241616kP Qk-=，将()2241k λλ=+代入上式得()()242222221111616216P Qλλλλλλλ+++⎛⎫=-=-=++- ⎪⎝⎭，∵()11,12f λλλλ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭在上单调递减，∴()()112f f f λ⎛⎫<≤⎪⎝⎭，即1522λλ<+≤，∴211702164λλ⎛⎫<++-≤ ⎪⎝⎭，∴02P Q <≤，即P Q 的求值范围为0,2⎛⎝⎦．4．【2018广东江门市高三3月模拟（一模）中，已知点，的斜率之积【答案】(Ⅰ；(Ⅱ【解析】试题分析：（Ⅰ）设出点P ，试题解析：，，5．【2018河南新乡市高三模拟】已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q ．（I ）D 是抛物线C 上的动点，点E (－1，3)，若直线AB 过焦点F ，求|DF |＋|DE |的最小值； （II ）是否存在实数p ，使22Q A Q B Q A Q B +=-？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由． 【答案】（I ）5，（II ）存在，14p =．【解析】试题分析：（I ）由题意可得()F 0,2，设过D 作D G l ⊥于G ，则DF DE +=D G D E+，当E 、D 、G 三点共线时，D F D E+取最小值235+=．（II ） 假设存在实数p 满足题意，抛物线2x 2p y =与直线y2x 2=+联立，设()11A x ,y ，()22B x ,y ，则12x x 4p+=，12x x 4p=-，整理得24p 3p 10+-=，解得1p4=或p 1=-（舍去）． 试题解析：（I ）直线220x y -+=与y 轴的交点为()0,2，()0,2F ∴，则抛物线C 的方程为28xy =，准线l ：2y =-．设过D 作D G l ⊥于G ，则D F D E += D G D E +， 当E 、D 、G 三点共线时，D F D E +取最小值235+=．（II ）假设存在，抛物线22x p y =与直线22y x =+联立方程组得：2440x p x p --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x p +=，124x x p =-，()2,2Q p p ∴．2Q A Q B+2Q A Q B=-，Q A Q B ∴⊥．则0Q AQ B ⋅=得：()()1222x p x p --+()()12220y p y p --=，()()1222x p x p --+ ()()122222220x p x p +-+-=，()()1212546x x p x x +-++28840p p -+=，代入得24310p p +-=，解得14p =或1p =-（舍去）．6．【2018广东六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）高三下学期第三次联考】已知椭离心别为椭左、右顶点，足．、，试问：在【答案】（I（II1．【解析】试题分析：（Ⅱ）由题意时，试题解析：（Ⅰ）依题意得、，，∴解得．∵，∴，∴，故椭圆的方程为．（Ⅱ）假设存在满足条件的点．当直线与轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意．因此直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去整理得，设、，则，，∵∴要使对任意实数，为定值，则只有，此时．故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值．7．【2018湖北武汉市高中毕业生2．（I）求椭圆的方程；（II上任意一点，，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．【答案】（I（II）答案见解析．【解析】试题分析：（I）由题设有，所求椭圆方程为（II，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理得到解析：（I椭圆方程为：（II，则直线，直线，．，得方程为：．令得故直线8．【2018山西太原市高三3（I）求椭圆方程；（II上，并求出定直线的方程．【答案】（I（II【解析】试题分析：（I）将点（II入化简可得定值1．试题解析：（I（II上，假设直线过椭圆上顶点，则显然成立，所以在定直线9．【2018四川南充市高三第二次（3的离心率为（I（II【答案】（I（II【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意，列出关于，且，即可求解实数试题解析：（I上，所以（II，又，所以的取值范围为．10．【2018河南豫南豫北高三第二次联考】已知：如图，两同心圆：221+=．P为大圆上一x yx y+=和224动点，连结O P（O为坐标原点）交小圆于点M，过点P作x轴垂线P H（垂足为H），再过点M作直线P H 的垂线M Q，垂足为Q．（I）当点P在大圆上运动时，求垂足Q的轨迹方程；（II ）过点03⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的直线l 交垂足Q 的轨迹于A B 、两点，若以A B 为直径的圆与x 轴相切，求直线l 的方程． 【答案】（I ）2214xy+=；（II ）直线l的方程为：330x y ±-=．试题解析：（I ）设垂足(),Q x y ，则(),2P x y ，因为(),2P x y 在224x y +=上，所以2244x y +=，所以2214xy+=，故垂足Q 的轨迹方程为2214xy+=．（II ）设直线l的方程为()()1122,,,3x m y A x y B x y =+，则有21A B y y ==-，又因为圆与x 轴相切，所以12212y y y +=-，即()()()()22121222212121214y y y y my y y y y y +++==-+-（*）由223{14x m y xy =++=消去x 整理得()2244039mym y +++=，因为直线l 与椭圆交于A B 、两点，所以()222414464440399m m ⎛⎫-∆=-⨯+⨯=> ⎪ ⎪⎝⎭，解得249m >．又()()1212224,3494y y y y mm-+==++，将上式代入（*）式中得()22224441929116011059m mmm⨯⨯+=-=-+⨯，解得1m =±．满足0∆>．故所求的直线l的方程为3x y =±+，即330x y ±-=．。

专题三 压轴解答题第三关 以解析几何中与抛物线相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，其次便是抛物线，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从由消去x 得，则， 122y y b =-，直线PA 的斜率为，同理直线PB 的斜率为222y +，直线PE 的斜率为224b m ++．因为直线PA ， PE ， PB 的斜率依次成等差数列，所以，即，即整理得： 24b =，因为2l 不经过点Q ，所以2b ≠-，所以2b =．故，即2l 恒过定点()2,0．【名师指点】对于定值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得；而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解．【举一反三】【福建省宁德市2018-2019学年度第一学期期末高三质量检测】在平面直角坐标系中，过动点作直线的垂线，垂足为，且满足，其中为坐标原点，动点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）过点作与轴不平行的直线，交曲线于，两点，点，记，，分别为，，的斜率，求证：为定值. 【解析】（Ⅰ）设，则，，，.∵，∴，代入整理得，曲线的方程为.（Ⅱ）设直线的方程为，，联立，整理得，设，，则，∵，，∴，∴为定值.【精选名校模拟】1.【湖北省2019届高三1月联考测试】已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点.的外接圆与抛物线的准线相切，外接圆的周长为.（1）求抛物线的方程；（2）已知不与轴垂直的动直线与抛物线有且只有一个公共点，且分别交抛物线的准线和直线于、两点，试求的值.【解析】（1）∵的外接圆的圆心必在线段的中垂线上且外接圆与准线相切，外接圆的周长为∴外接圆的半径即∴抛物线的方程为（2）解法一：由题知直线的斜率存在且不为0 ∴可设：由消去得∵直线与抛物线只有一个公共点，∴即∵直线：与准线交于∴即同理∴2．【安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测】已知点在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为. 直线与抛物线交于两点，且线段的中点为.（Ⅰ）求直线的方程.（Ⅱ）点是直线上的动点，求的最小值.【解析】（Ⅰ）抛物线的准线方程为,抛物线方程为设,直线的方程为即（Ⅱ）都在直线上，则，设8分又当时，的最小值为3 【河南省部分省示范性高中2018-2019学年高三数学】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，，且.（1）求抛物线的方程；（2）圆与抛物线顺次交于四点，所在的直线过焦点，线段是圆的直径，，求直线的方程..（2）由题设知与坐标轴不垂直，可设，代入，得.设，，则，，故的中点为，.又因为，所以的斜率为，过的中点，所以的方程为，即.将上式代入，并整理得.设，，则，，故的中点为，.因为是直径，所以垂直平分，所以四点在同一个圆上等价于，所以，即，化简得，解得或，所以或.4. 【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试】过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点， （1）若线段中点的横坐标为3，求的值；（2）求的取值范围.【解析】（1）设，，则，由抛物线的定义知.（2）设，，直线的方程为.由得即，.由，得. 由抛物线的定义知，. 则.因为，所以.故的取值范围是.5. 已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当12k =时，弦MN 的长为. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.【解析】（1））当12k =时，即21x y =-联立221{2x y y px=-= 消x 得由所以抛物线C 的标准方程为24y x =；（2）设，则，则即；同理：； .由()1,0-在直线MN 上11tt ⇒=，即11t t =（1）； 由()1,1-在直线MQ 上将（1）代入（2）将（2）代入NQ 方程，易得直线NQ 过定点()1,4-6. 【湖北省荆门市龙泉中学2019年高三年级11月月考】已知抛物线的焦点坐标为（1）求抛物线的标准方程. （2）若过的直线与抛物线交于两点，在抛物线上是否存在定点,使得以为直径的圆过定点.若存在，求出点,若不存在，说明理由. 【解析】（1）抛物线的焦点坐标为，所以，所以a=2，故得方程为.（2）设，，由于直线斜率一定存在，故设,联立得，，由题知,即即，即化简可得：，当时等式恒成立，故存在定点（2,2）7. 【河北省廊坊市省级示范校高中联合体2019届高三上学期第三次联考】设抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，.（1）求抛物线的方程；（2）已知过点作直线与抛物线相切于点，证明：.【解析】（1）解：由题意可知，，的方程为，设，，由，得，故，所以，所以，故抛物线的方程为.（2）证明：设点，，因为，所以.切线方程为，即.令，可解得，所以.所以，，，所以.8. 【五省优创名校2019届高三联考】在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x－2）2＋y2＝1外切，且圆P与直线x＝－1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）设过定点S（－2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（2）假设存在曲线C上的点M满足题设条件，不妨设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，，，所以，③显然动直线l的斜率存在且非零，设l：x＝ty－2，联立方程组，消去x得y2－8ty＋16＝0，由Δ＞0得t＞1或t＜－1，所以y1＋y2＝8t，y1y2＝16，且y1≠y2，代入③式得，令（m为常数），整理得，④因为④式对任意t∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立，所以，所以或，即M（2，4）或M（2，－4），即存在曲线C上的点M（2，4）或M（2，－4）满足题意．9.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：，在此抛物线上一点N(2,)m到焦点的距离是3.（1）求此抛物线的方程；（2）抛物线C 的准线与x 轴交于M 点，过M 点斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点．是否存在这样的k ，使得抛物线C 上总存在点),(00y x Q 满足QB QA ⊥，若存在，求k 的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】（1）抛物线准线方程是2p x -=，322=+p，2p ∴= 故抛物线的方程是24y x =. （2）设),(00y x Q ，),(11y x A ，),(22y x B由得，由得11<<-k 且0≠k .124y y k+=，124y y =，同理由QB QA ⊥得，即：，∴，，得且0≠k ，由11<<-k 且0≠k 得，k的取值范围为10.设点，动圆经过点且和直线相切．记动圆的圆心的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程;（Ⅱ）过点作互相垂直的直线、分别交曲线于和,求四边形面积的最小值．【解析】（Ⅰ）过点作垂直直线于点依题意得．所以动点的轨迹为是以为焦点，直线为准线的抛物线．即曲线的方程是（Ⅱ）依题意，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，由得的方程为．将代入化简得．设则同理可得四边形的面积当且仅当即时，故四边形面积的最小值是11.【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知抛物线的焦点为，是上一点，且.（1）求的方程；（2）设点是上异于点的一点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交于点，证明：直线过定点.【解析】（1）解：根据题意知，，①因为，所以.②.联立①②解的，.所以的方程为.由点的任意性，得，所以.即直线恒过定点.13.【贵州省遵义航天高级中学2018届高三第五次模拟】在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点O，以x轴为对称轴，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的方程；设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|=|PN|．求直线AB的斜率．【解析】(Ⅰ)根据题意,设抛物线C的方程为由抛物线C经过点,得,所以抛物线C的方程为(Ⅱ)因为,所以,所以,所以直线PA与PB的倾斜角互补,所以根据题意,直线AP的斜率存在,设直线AP的方程为:,将其代入抛物线C的方程,整理得设,则,,所以以-k替换点A坐标中的k,得所以,所以直线AB的斜率为-1.14．己知曲线与x袖交于A，B两点，点P为x轴上方的一个动点，点P与A,B连线的斜率之积为-4（1）求动点P的轨迹2C的方程；（2）过点B的直线l与1C，2C分别交于点M ,Q（均异于点A，B），若以MQ为直径的圆经过点A，求 AMQ的面积．【答案】（1）；（2）832 225试题解析：(1)不妨设点A在点B左侧，则设，则整理得：所以动点P的轨迹C2的方程为5分没有y的范围扣1分(2)由(1)知，上半椭圆C2的方程为．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入C2的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0．(*)设点M的坐标为(x P，y P)，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根． 由求根公式，得x M ＝2244k k -+，从而y M ＝284k k -+， ∴点M 的坐标为． 7分 同理，由得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k)．由题意可知AM ⊥AQ ，且． ∴，即2224k k -+ [k －4(k ＋2)]＝0， ∵k≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83． 10分 ∴∴所以APQ ∆的面积为832225． 12分。