2013三角函数

2013届高三一轮复习理科数学全能测试（三）三角函数本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）；球的表面积公式：24R S π=（其中R 表示球的半径）；球的体积公式：343V R π=（其中R 表示球的半径）； 锥体的体积公式：Sh V 31=（其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高）；柱体的体积公式Sh V =（其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高）；台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=（其中21,S S 分别表示台体的上，下底面积，h 表示台体的高）．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1、为了得到函数sin 2y x =的图象，可将函数sin(2)6y x π=+的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向左平移12π个单位2、若tan 3α=，则2sin 2cos αα的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.63、在ABC ∆中，若,24,34,60==︒=AC BC A 则角B 的大小为 （ ）A ．30°B ．45°C ．135°D ．45°或135°4、（2012重庆理）设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根,则tan()αβ+的值为（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．35、已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A ．关于点0π⎛⎫⎪3⎝⎭，对称B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫⎪4⎝⎭，对称D ．关于直线x π=3对称6、已知角α的终边上有一点21(,)(0)4P t t t +>，则tan α的最小值为 （ ）A ．12B ．1C D ．27、如果函数3cos(2)y x ϕ=+的图象关于点4(,0)3π中心对称，那么||ϕ的最小值为 （ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 8、（2012浙江理）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图像是9、ABC ∆中,A 、B 、C 对应边分别为a 、b 、c .若x a =,2=b ,︒=45B ,且此三角形有两解,则x 的取值范围为 ( ) A.)22,2( B.22 C.),2(+∞ D. ]22,2(10、已知O 是锐角A B C ∆内一点，满足||||||OC OB OA ==，且 30=∠A ，若m BCC B 2sin cos sin cos =+，则实数=m （ ）A ．23- B．2C ． 12-D ．非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11、如图所示，在平面直角坐标系xOy ，角α的终边与单位圆交于点A ，已知点A 的纵坐标为45，则cos α= 。

2013届重庆高考三角函数大题攻略一、计算公式1、两个口诀：“奇变偶不变，符号看象限”----- 和“一全正，二正弦，三切，四余弦”2、同角三角函数关系：αααtan cos sin = ，1cos sin 22=+αα。

3、和差公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+，βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+，βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+，βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-4、降次扩角：)2sin(21cos sin ααα=•，)2cos 1(21sin 2αα-=，)2cos 1(21cos 2αα+= 5、倍角公式：αααcos sin 22sin =，ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=。

6、辅助角公式：A B B A B A y =++=+=ϕϕαααtan ),sin(cos sin 22其中二、函数公式：以xy sin =为例 1、定义域：R2、值域：[-1,1]3、周期性：ωπ2=T4、奇偶性：奇函数5、单调性：单调增区间：]22,22[ππππ+-k k , 单调减区间：]232,22[ππππ++k k 6、对称轴方程：ππk x +=2，z k ∈7、对称中心：)0,(πk三、三角函数的图像变换振幅A 管上下伸缩，ω管左右伸缩，但是成反比例扩大2倍，ω缩小21，ϕ决定左右平移，但平移单位为ωϕ，b 决定上下平移。

初中函数平移口诀：“左加右减，上加下减”例1．（本小题满分13分）已知函数2()23sin cos 2cos 1(0)f x ax ax ax a =+->图象上的一个最低点为A ，离A 最近的两个最高点分别为B ，C, 2.1616AB AC π=-u u u r u u u r （I ）求a 的值；（II ）求()f x 的单调递增区间． 解：（Ⅰ）()3sin 2+cos 22sin(2)6f x ax ax ax π==+……………3分 令000(,2),(2),(,2)22T T A x B x C x -+-，，其中T 为最小正周期, 则(,4),(,4)22T T AB AC =-=u u u r u u u r 221616416T AB AC π⋅=-+=-u u u r u u u r ,故222T aππ==得2a =；……………7分 （Ⅱ）因为()2sin(4)6f x x π=+ 所以242262k x k πππππ-++≤≤……………10分 解得26212k k x ππππ-+≤≤, 所以()f x 的单调递增区间为[]()26212k k k Z ππππ-+∈，……………13分 特别提醒：周期有六种考法：①直接告诉周期②两条相邻对称轴的距离⨯2=周期③两个相邻的对称中心的距离⨯2=周期④图像与x 轴相邻的交点的距离⨯2=周期⑤两个相邻的最高点的距离=周期⑥两个相邻的最低点的距离=周期17．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分）设函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,A ωπϕπ>>-<< ）在6x π=处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为2π（I ）求()f x 的解析式； （II ）求函数426cos sin 1()()6x x g x f x π--=+的值域。

本章复习与小结三角函数一、三角函数的基本概念 1.角的概念的推广(1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角:)(3600Z k k ∈+⋅=αβ (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 2.角的度量(1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系:8157)180(1)(180'≈==ππ弧度弧度(3)弧长公式:r l ⋅=α 扇形面积公式:22121r lr S α== 3.任意角的三角函数yxx y x rr x y r r y ======ααααααcot tan sec cos csc sin注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、同角三角函数的关系式及诱导公式 （一）诱导公式：απ±⋅2k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“立变平不变，符号看象限”。

如：,27cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ ()⎪⎭⎫⎝⎛--απαπ25sin ;5tan 等。

（二）同角三角函数的基本关系式： ①平方关系1cos sin 22=+αα；αααα2222tan 11cos cos 1tan 1+=⇔=+②商式关系αααtan cos sin =；αααcot sin cos = ③倒数关系1cot tan =αα；1sec cos ;1csc sin ==αααα。

关于公式1cos sin 22=+αα的深化()2cos sin sin 1ααα±=±；αααcos sin sin 1±=±；2cos2sinsin 1ααα+=+如：4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=-注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为 0~ 90角的三角函数。

2、主要用途：a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（①要注意题设中角的X 围，②用三角函数的定义求解会更方便）； b) 化简同角三角函数式； 三、三角函数的性质y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx图象定义域 x ∈R x ∈R x ≠k π+2π(k ∈Z ) x ≠k π(k ∈Z ) 值域 y ∈[－1,1] y ∈[－1,1] y ∈R y ∈R 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在区间[2k π－2π,2k π+2π]上都是增函数在区间[2k π+2π，2k π+23π]上都是减函数 在区间[2k π－2k π]上都是增函数 在区间[2k π，2k π+π]上都是减函数在每一个开区间 (k π－2π, k π+2π) 内都是增函数在每一个开区间（k π,k π+π）内都是减函数周期 T=2πT=2π T=πT=π 对称轴 2ππ+=k xπk x =无无对称 中心()0,πk⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2ππk ⎪⎭⎫⎝⎛0,2πk ⎪⎭⎫⎝⎛0,2πk基础题型归类1.运用诱导公式化简与求值：要求：掌握2k πα+,πα+,α-,πα-,2πα-,2πα+等诱导公式. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 例1.求值：cos600练1 （1）若cos(π+α)=12-，32π<α<2π, 则sin(2π－α)等于.（2）若(cos )cos3f x x =，那么(sin30)f ︒的值为.（3）sin (176-π)的值为.2.运用同角关系化简与求值：要求：掌握同角二式（22sin cos 1αα+=,sin tan cos ααα=），并能灵活运用. 方法：平方法、切弦互化. 例2 （1）化简sin 1sin tan tan sin cos x x x x x x +--； （2）已知51cos sin =+x x , 且π<<x 0, 求x tan 的值.练2 （1）已知81cos sin =⋅αα，且4π＜α＜2π，则ααsin cos -的值为. （2）已知αtan =3, 计算：（i ）2212sin cos sin cos αααα+-； （ii ）αααα22cos 4cos sin 3sin +-. 3.运用单位圆及三角函数线：要求：掌握三角函数线，利用它解简单的三角方程与三角不等式. 方法：数形结合. 例5 （1）已知42ππθ<<，则sin θ、cos θ、tan θ的大小顺序为.（2）函数12()log (sin cos )f x x x =-的定义域为.练5 （1）若1cos 2α>-, 则角α的取值集合为____________.（2）在区间（0，2π）内，使x x cos sin <成立的x 的取值X 围 . 4.弧度制与扇形弧长、面积公式：要求：掌握扇形的弧长与面积计算公式，掌握弧度制. 方法：方程思想.例6 某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的弧度数为.练6 （1）终边在直线y =上的所有角的集合为，其中在－2π～2π间的角有. （2）若α为第三象限角，那么－α，2α、2α为第几象限的角? 5.三角函数的定义、定义域与值域：要求：掌握三角函数定义（单位圆、终边上点），能求定义域与值域. 方法：定义法、数形结合、整体.例7角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－54，则m 的值是.练7 （1）函数()tan(2)13f x x π=--+的定义域为____________.（2）把函数)32sin(π+=x y 的图像上各点的横坐标变为原来的13，再把所得图像向右平移8π，得到. 6.三角函数的图象与性质：要求：掌握五点法作图、给图求式，由图象研究性质. 方法：五点法、待定系数法、数形结合、整体.例8 （1）已知函数()tan(2)26f x x π=++.求()f x 的最小正周期、定义域、单调区间.（2）已知函数3sin(2)4y x π=+.（i ）求此函数的周期，用“五点法”作出其在长度为一个周期的闭区间上的简图. （ii ）求此函数的最小值及取最小值时相应的x 值的集合 练8 （1）函数sin()(0,0,)y A x A ωϕωϕπ=+>><最高点D 的坐标是(2,2)，由最高点运动到相邻的最低点时，函数图象与x 轴的交点坐标是(4，0)，则函数的表达式是 . （2）如图，它表示电流sin()(0,0)I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象. 则其解析式为.（3）函数12log sin(2)4y x π=+的单调减区间为.（4）函数2cos ,[0,2]y x x π=∈的图象和直线y =2所围成的封闭图形的面积为. （5）画出函数3sin(2)3y x π=+，x ∈R 的简图. 并有图象研究单调区间、对称轴、对称中心.7.三角函数的应用（1）某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）函数，记为)(t f y =，下面是某日水深数据： t （时） 03691215182124y （米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经过长期观察，)(t f y =的曲线可以近似看成y=Asin ωt+b 的图象. （i ）根据以上数据求出)(t f y =的近似表达式；（ii ）船底离海底5米或者5米以上是安全的，某船的吃水深度为6.5米（船底离水面距离），如果此船在凌晨4点进港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少时间？（忽略进出时间）.（2）如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式sin()(0,0),I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象.根据图象得到sin()I A t ωϕ=+的一个解析式是 .（3）已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，经过长期的观察，该函数的图象可以近似地看成sin()y A t b ωϕ=++.下表是测得的某日各时的浪高数据：依规定，当浪高不低于1米时浴场才开放，试安排白天内开放浴场的具体时间段.t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y （米） 1.51.00.51.01.51.00.50.991.5。

【专项冲击波】2013年高考数学 讲练测系列 专题04 三角函数（教师版）【考纲解读】1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2x+cos 2x=1,sin tan cos xx x=. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(-2π,2π)内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解,,A ωϕ对函数图象变化的影响.5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【考点预测】从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ωϕ=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现.【要点梳理】1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式.2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:(1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二; (2)“1”的替换: 22sin cos 1αα+=; (3)切弦互化:弦的齐次式可化为切；(4)角的替换:2()()ααβαβ=++-,()22αβαβααββ+-=+-=+;(5)公式变形:21cos 2cos 2αα+=, 21cos 2sin 2αα-=, tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-;(6)构造辅助角(以特殊角为主):sin cos )(tan )ba b aαααϕϕ+=+=.3.函数sin()y A x ωϕ=+的问题: (1)“五点法”画图:分别令0x ωϕ+=、2π、π、32π、2π，求出五个特殊点；(2)给出sin()y A x ωϕ=+的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是ϕ,一般从“五点法”中取靠近y 轴较近的已知点代入突破; (3)求对称轴方程:令x ωϕ+=2k ππ+()k Z ∈,求对称中心: 令x ωϕ+=k π()k Z ∈; (4)求单调区间:分别令22k x ππωϕ-≤+≤22k ππ+()k Z ∈;22k x ππωϕ+≤+≤322k ππ+()k Z ∈,同时注意A 、ω符号. 4.解三角形:(1)基本公式:正弦、余弦定理及其变形公式；三角形面积公式； (2)判断三角形形状时，注意边角之间的互化. 【考点在线】考点1 三角函数的求值与化简此类题目主要有以下几种题型：⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法.⑵考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值的问题. ⑶考查已知三角恒等式的值求角的三角函数值的基本转化方法，考查三角恒等变形及求角的基本知识.例1.已知函数f (x )=)2sin(42cos 2ππ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x .（Ⅰ）求f (x )的定义域； （Ⅱ）若角a 在第一象限且3cos ,5a f a =求（）.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式，同角三角函数的关系等基本知识，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识..【备考提示】：熟练掌握三角函数公式与性质是解答好本类题的关键.练习1: （2012年高考辽宁卷文科6）已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则sin2α=( ) (A) -1 (B) 2-(C) 2(D) 1 【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=- 故选A.考点2 考查sin()y A x ωϕ=+的图象与性质考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用，会用数形结合的思想来解题.例2. (2012年高考浙江卷文科6)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是( )【名师点睛】本题主要考查了三角函数中图像的性质，具体考查了在x 轴上的伸缩变换，在x 轴、y 轴上的平移变化，利用特殊点法判断图像的而变换,考查运算和推理能力，以及求角的基本知识. 【备考提示】三角函数的图象及性质是高考考查的热点内容之一,熟练其基础知识是解答好本类题的关键.练习2.（2012年高考新课标全国卷文科9）已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=( )（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4考点3 三角函数与向量等知识的综合三角函数与平面向量的综合,解答过程中,向量的运算往往为三角函数提供等量条件. 例3. (2012年高考湖北卷理科17)（本小题满分12分）已知向量(c o s s i n ,x x x ωωω=-a ，(cos sin ,)x x x ωωω=--b ，设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1(,1)2ω∈.（1） 求函数f （x ）的最小正周期； （2） 若y=f （x ）的图像经过点(,0)4π,求函数f （x ）在区间3[0,]5π上的取值范围.【名师点睛】本小题主要考查向量的数量积，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查分析问题以及解决问题的能力.【备考提示】熟练三角公式与平面向量的基础知识是解决此类问题的关键. 练习3. （2012年高考江苏卷15）（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC = ．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值． 【解析】（1）∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即cos =3cos AC A BC B ,由正弦定理，得=sin sin AC BCB A，∴sin cos =3sin cos B A A B ,考点4. 解三角形解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.例4. (2012年高考浙江卷理科18) (本小题满分14分)在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝23，sin B cos C ．(Ⅰ)求tan C 的值；(Ⅱ)若a ∆ABC 的面积．【名师点睛】本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力.【备考提示】：解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可.练习 4.（2011年高考山东卷文科17)在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A-2cos C2c-a=cos B b.（I）求sinsinCA的值；（II）若cosB=14，5bABC的周长为，求的长.【考题回放】1. (山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测文)已知点P ()tan ,cos αα在第三象限，则角α的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】因为点P 在第三象限，所以tan 0cos 0αα<⎧⎨<⎩，所以α在第二象限，选B.2.(山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文)函数x y sin =的定义域为],[b a ，值域为]21,1[-，则a b -的最大值与最小值之差等于( ) A. π4 B.38π C. π2 D. 34π 【答案】C【解析】由正弦函数的图象知32)2(6)(min πππ=--=-a b ，,3465613)(max πππ=-=-a b 所以和为π2.故选C.3.(山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试文)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222222c a b ab =++，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形4.(山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考文）将函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为( ) A.1)42sin(+-=πx y B.x y 2cos 2=C.x y 2sin 2=D.x y 2cos -=5.(山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学文)为得到函数cos 2y x =的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ）A.向左平移2π个长度单位 B.向右平移2π个长度单位 C.向左平移4π个长度单位D.向右平移4π个长度单位【答案】C【解析】因为sin 2cos(2)cos(2)cos 2()224y x x x x πππ==-=-=-，所以为了得到函数cos 2y x =的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，选C. 6.(山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测文）函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像，其部分图像如图所示，则()0f =_________.7.(2012年高考山东卷文科5)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是（ ）(A)p 为真 (B)q ⌝为假 (C)p q ∧为假 (D)p q ∨为真 【答案】C【解析】函数x y 2sin =的周期为ππ=22，所以命题p 为假；函数x y cos =的对称轴为Z k k x ∈=,π,所以命题q 为假，所以q p ∧为假，选C.8. (2012年高考广东卷文科6)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32AC ＝（ ） A. 4323332【答案】B【解析】由正弦定理得sin 45AC=,解得AC ＝故选B. 9. (2012年高考湖北卷文科8)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则s inA ∶sinB ∶sinC 为( ) A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶410.（2012年高考安徽卷文科7）要得到函数cos(21)y x =+的图象，只要将函数cos 2y x =的图象（ ）（A ） 向左平移1个单位 （B ） 向右平移1个单位 （C ） 向左平移12 个单位 （D ）向右平移 12个单位11 . (2012年高考湖南卷文科8) 在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于（ ）A 【答案】B【解析】设AB c =，在△ABC 中，由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，即27422cos60c c =+-⨯⨯⨯，2230,(-3)(1)c c c c --=+即=0.又0, 3.c c >∴=设BC 边上的高等于h ，由三角形面积公式11sin 22ABC S AB BC B BC h == ，知1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯ ，解得h =. 12.(2012年高考重庆卷文科5)sin 47sin17cos30cos17-= （ ）（A ）2-（B ）12-（C ）12 （D ）213. (2012年高考天津卷文科7)将函数f(x)=sin x ω（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点（34π，0），则ω的最小值是（ ） （A ）13（B ）1 C ）53（D ）2【答案】D【解析】函数向右平移4π得到函数)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ，因为此时函数过点)0,43(π，所以0)443(sin =-ππω，即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω,所以ω的最小值为2，选D.14. (2012年高考陕西卷理科9) 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）（A ）（B ） 2（C ） 12 （D ） 12-【答案】C【解析】2122cos 2222222=+-≥-+=b ac c ab c b a C ，故选C. 15. (2011年高考山东卷理科6)若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=( ) （A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）23【答案】C【解析】由题意知,函数在3x π=处取得最大值1,所以1=sin3ωπ,故选C.16.(2012年高考全国卷文科15)当函数s i n c o s (02)y x x x π=≤<取得最大值时，x =___________.17. (2012年高考陕西卷文科13)在三角形ABC 中，角A,B,C 所对应的长分别为a ，b ，c ，若a=2 ，B=6π，b= 2 【答案】2【解析】因为已知两边及其夹角，所以直接用余弦定理得b=2. 18. (2012年高考上海卷文科3)函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是【答案】 π【解析】由题意得1()sin cos 2sin 222f x x x x =+=+,所以周期为π. 19.(2011年高考辽宁卷理科16)已知函数f （x ）=Atan （ωx+ϕ）（ω＞0，2π＜ω），y=f （x ）的部分图像如下图，则f （24π）=____________.20. (2011年高考全国新课标卷理科16)在ABC ∆中，60,B AC = 2AB BC +的最大值为 . 【答案】72【解析】在三角形ABC 中，由正弦定理得260sin 3sin sin =︒==C BC A AB ),sin(72sin 4)120sin(2sin 4sin 22ϕ+=+-︒=+=+∴A A A A C BC AB其中，53tan =ϕ，又因为R A ∈，所以最大值为72 21. (2012年高考山东卷文科16)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP的坐标为＿＿＿＿.22.（2012年高考江苏卷11）设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(πα+的值为 ．【答案】50217 【解析】根据4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2571251621)6(cos 2)32cos(2=-⨯=-+=+παπα，因为0)32c o s ( πα+，所以25242571)32sin(2=⎪⎭⎫⎝⎛-=+πα，因为502174sin )32cos(4cos )32sin(]4)32sin[()122sin(=+-+=-+=+ππαππαππαπα. 23. (2012年高考北京卷文科15)（本小题共13分）已知函数xxx x x f sin 2sin )cos (sin )(-=。

三角函数A【知识导读】【方法点拨】三角函数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系，同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”．这一部分的内容，具有以下几个特点：1．公式繁杂.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系，是记住这些公式的关键.2．思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等.3．变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强.4．应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具，并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.第1课 三角函数的概念【考点导读】1． 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算．角的概念推广后，有正角、负角和零角；与α终边相同的角连同角α本身，可构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360 αββ；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握角度与弧度的互换，能运用弧长公式r l α=及扇形的面积公式S ＝lr 21（l 为弧长）解决问题.2． 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点(,)P x y （不同于坐标原点），设OP r =（0r =>），则α的三个三角函数值定义为：sin ,cos ,tan y x yr r xααα===． 从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R ；正切函数的定义域为{|,,}2R k k Z παααπ∈≠+∈．3． 掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记0、6π、4π、3π、2π的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处. 4． 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念．在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题． 【基础练习】1． 885-化成2(02,)k k Z πααπ+≤≤∈的形式是 ．2．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 ． 3．已知角α的终边过点(5,12)P -，则cos α= ， tan α= ．4．tan(3)sin 5cos8-的符号为 ．5．已知角θ的终边上一点(,1)P a -（0≠a ），且a -=θtan ，求θsin ，θcos 的值．解：由三角函数定义知，1a =±，当1a =时，sin θ=cos θ=； 13612ππ-+第二或第四象限 513-125- 正当1a =-时，sin θ=cos θ=． 【范例解析】例1.（1）已知角α的终边经过一点(4,3)(0)P a a a -≠，求2sin cos αα+的值；（2）已知角α的终边在一条直线y =上，求sin α，tan α的值． 分析：利用三角函数定义求解．解：（1）由已知4x a =，5r a =．当0a >时，5r a =，3sin 5α=-，4cos 5α=，则22s i n c o s 5αα+=-；当0a <时，5r a =-，3sin 5α=，4cos 5α=-，则22sin cos 5αα+=．（2）设点()(0)P a a ≠是角α的终边y =上一点，则tan α=当0a >时，角α是第一象限角，则sin α=；当0a <时，角α是第三象限角，则sin α=． 点评：要注意对参数进行分类讨论．例2.（1）若sin cos 0θθ⋅>，则θ在第_____________象限．（2）若角α是第二象限角，则sin 2α，cos 2α，sin 2α，cos 2α，tan 2α中能确定是正值的有____个． 解：（1）由sin cos 0θθ⋅>，得sin θ，cos θ同号，故θ在第一，三象限．（2）由角α是第二象限角，即222k k ππαππ+<<+，得422k k παπππ+<<+，4224k k ππαππ+<<+，故仅有tan2α为正值．点评：准确表示角的范围，由此确定三角函数的符号．例3. 一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？ 分析：选取变量，建立目标函数求最值．解：设扇形的半径为x ㎝，则弧长为(202)l x =-㎝，故面积为21(202)(5)252y x x x =-=--+， 当5x =时，面积最大，此时5x =，10l =，2lxα==， 所以当2α=弧度时，扇形面积最大252cm ．点评：由于弧度制引入，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数．【反馈演练】1．若sin cos θθ>且sin cos 0θθ⋅<则θ在第_______象限． 2．已知6α=，则点(sin ,tan )A αα在第________象限． 3．已知角θ是第二象限，且(P m为其终边上一点，若cos 4m θ=，则m 的值为． 4．将时钟的分针拨快30min ，则时针转过的弧度为 ．5．若46παπ<<，且α与23π-终边相同，则α= ． 6．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_______，这个圆心角所在的扇形的面积是___________．7．（1）已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．（2）若扇形的面积为82cm ，当扇形的中心角α(0)α>为多少弧度时，该扇形周长最小． 简解：（1）该扇形面积22cm ；（2）2182r l yrl +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得162y r r =+≥，当且仅当r =l =2l r α==．二 三 12π-163π11sin211cos1-第2课 同角三角函数关系及诱导公式【考点导读】1.理解同角三角函数的基本关系式；同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系．2.掌握正弦，余弦的诱导公式；诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律，起着变名，变号，变角等作用． 【基础练习】1. tan600°=______． 2. 已知α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=______． 3.已知cos 2πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，且2πϕ<，则tan ϕ＝． 4.sin15°cos75°+cos15°sin105°=___1___． 【范例解析】 例1.已知8cos()17πα-=，求sin(5)απ-，tan(3)πα+的值． 分析：利用诱导公式结合同角关系，求值．解：由8cos()17πα-=，得8cos 017α=-<，α∴是第二，三象限角． 若α是第二象限角，则15sin(5)sin 17απα-=-=-，15tan(3)tan 8παα+==-；若α是第三象限角，则15sin(5)sin 17απα-=-=，15tan(3)tan 8παα+==．点评：若已知正弦，余弦，正切的某一三角函数值，但没有确定角所在的象限，可按角的象限进行分类，做到不漏不重复．例2.已知α是三角形的内角，若1sin cos 5αα+=，求tan α的值． 分析：先求出sin cos αα-的值，联立方程组求解． 解：由1sin cos 5αα+=两边平方，得112sin cos 25αα+⋅=，即242sin cos 025αα∴⋅=-<． 又α是三角形的内角，cos 0α∴<，2παπ∴<<．由249(sin cos )25αα-=，又sin cos 0αα->，得7sin cos 5αα-=． 联立方程组1sin cos 57sin cos 5αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得4tan 3α=-．3 513-点评：由于2(sin cos )12sin cos αααα±=±⋅，因此式子sin cos αα-，sin cos αα+，sin cos αα⋅三者之间有密切的联系，知其一，必能求其二． 【反馈演练】1．已知,_____．2．“21s i n =A ”是“A =30º”的必要而不充分条件． 3．设02x π≤≤,sin cos x x =-，则x 的取值范围是544x ππ≤≤4．已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos 2θ的值是 ．5．（1）已知1cos 3α=-，且02πα-<<，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值． （2）已知1sin()64x π+=，求25sin()sin ()63x x ππ-+-的值． 解：（1）由1cos 3α=-，得tan α=- 原式=2cos 3sin 23tan 4cos sin 4tan αααααα-+-+=--2=- （2）1sin()64x π+= ，225sin()sin ()sin[()]sin [()]63626x x x x ππππππ∴-+-=-++-+ 219sin()cos ()6616x x ππ=+++=．6．已知4tan 3α=-，求（I ）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值；（II ）212sin cos cos ααα+的值． 解：（I ）∵ 4tan 3α=-；所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()173463()23-+=--．（II ）由4tan 3α=-，于是212sin cos cos ααα+2222sin cos tan 152sin cos cos 2tan 13ααααααα++===-++．53-725-第3课 两角和与差及倍角公式（一）【考点导读】1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系；2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系；4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”． 【基础练习】1.sin163sin 223sin 253sin313+=___________．2.x x =． 3. 若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝___________． 4.化简：sin sin 21cos cos 2αααα+=++___________ ．【范例解析】例 .化简：（1）42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+； （2(1sin cos )(sin cos ))θθθθθπ++-<<． （1）分析一：降次，切化弦． 解法一：原式=2221(2cos 1)22sin()4cos ()4cos()4x x x x πππ----22(2cos 1)4sin()cos()44x x x ππ-=--2cos 22sin(2)2x x π=-1cos 22x =． 分析二：变“复角”为“单角”．解法二：原式221(2cos 1)(1tan 22x x -=+22cos 2cos sin 2(sin cos )cos sin x x x x x x x =-⋅++1cos 22x =． 123＋cos2x )3x π+tan α（2）原式2(2sin cos 2cos )(sin cos )θθθθθ+-22cos (sin cos )cos cos 2222cos cos 22θθθθθθθ--⋅==0θπ<< ，022∴<<，cos 02>，∴原式=cos θ-．点评：化简本质就是化繁为简，一般从结构，名称，角等几个角度入手．如：切化弦，“复角”变“单角”，降次等等． 【反馈演练】1．化简22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+ααααtan 2α． 2．若sin tan 0x x ⋅<=．3．若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则a 与b 的大小关系是_________． 4．若sin cos tan (0)2παααα+=<<，则α的取值范围是___________． 5．已知α、β均为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则tan α= 1 .6．化简：222cos 12tan()sin ()44αππαα--⋅+．解：原式=222cos 12sin()4cos ()4cos()4απαπαπα--⋅--cos 22sin()cos()44αππαα=-⋅-cos 21cos 2αα==．7．求证：222sin 22cos cos 22cos x x x x +=．证明：左边=2224sin cos 2cos cos 2x x x x +22222cos (2sin 12cos )2cos x x x x =+-==右边．8．化简：22sinsin 2sin sin cos()αβαβαβ+++．解：原式=22sinsin 2sin sin (cos cos sin sin )αβαβαβαβ++-2222sin sin 2sin sin cos cos 2sin sin αβαβαβαβ=++- 2222sin (1sin )sin (1sin )2sin sin cos cos αββααβαβ=-+-+ 2222sin cos sin cos 2sin sin cos cos αββααβαβ=++ 2(sin cos sin cos )αββα=+)3,4(ππ x a b <2sin ()αβ=+．第4课 两角和与差及倍角公式（二）【考点导读】1.能熟练运用两角和与差公式，二倍角公式求三角函数值；2.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角” ． 【基础练习】1．写出下列各式的值：（1）2sin15cos15︒︒=_________；（2）22cos 15sin 15︒-︒=_________； （3）22sin151︒-=；（4）22sin 15cos 15︒+︒=____1_____．2．已知3(,),sin 25παπα∈=)4πα+=_________．3．求值：（1）1tan151tan15-︒=+︒_______；（2）5cos cos 1212ππ=_________． 4．求值：tan10tan 20tan 20)︒⋅︒+︒=____1____．5．已知tan 32α=，则cos α=________．6．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+=_________． 【范例解析】例1.求值：（1）sin 40(tan10︒；（2．分析：切化弦，通分． 解：（1）原式=sin10sin 40(cos10︒︒︒=sin10sin 40cos10︒︒︒⋅︒2sin(1060)sin 40cos10︒-︒=︒⋅︒2cos 40sin 40cos10︒=-︒⋅︒sin 801cos10-︒==-︒．（2）cos102sin 4011cos10cos10︒︒︒︒=+==︒︒=︒． 12 2317 14－54 12原式2sin 402sin 50sin 80︒︒+︒⋅=2==．点评：给角求值，注意寻找所给角与特殊角的联系，如互余，互补等，利用诱导公式，和与差公式，二倍角公式进行转换． 例2.设4cos()5αβ-=-，12cos()13αβ+=，且(,)2παβπ-∈，3(,2)2παβπ+∈，求c o s 2α，cos 2β．分析：2()()ααβαβ=-++， 2()()βαβαβ=+--．解：由4cos()5αβ-=-，(,)2παβπ-∈，得3sin()5αβ-=，同理，可得5sin()13αβ+=- 33cos 2cos[()()]65ααβαβ∴=-++=-，同理，得63cos 265β=-．点评：寻求“已知角”与“未知角”之间的联系，如：2()()ααβαβ=-++，2()()βαβαβ=+--等．例3.若3cos()45x π+=，177124x ππ<<，求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．分析一：()44x x ππ=+-．解法一：177124x ππ<< ，5234x πππ∴<+<， 又3cos()45x π+=，4sin()45x π∴+=-，4tan()43x π+=-．cos cos[()]4410x x ππ=+-=-，sin 10x ∴=-，tan 7x =． 所以，原式=22((2(281010101775⨯⨯+⨯=--．分析二：22()42x x ππ=+-．解法二：原式=sin 2sin 2tan 1tan x x x x +⋅-sin 2(1tan )sin 2tan()1tan 4x x x x x π+==⋅+- 又27sin 2sin[2()]cos 2()[2cos ()1]424425x x x x ππππ=+-=-+=--+-=， 所以，原式7428()25375=⋅-=-． 点评：观察“角”之间的联系以寻找解题思路．【反馈演练】 1．设)2,0(πα∈，若3sin 5α=，则)4cos(2πα+=__________． 2．已知tan 2α=2，则tanα的值为_______，tan ()4πα+的值为___________ ． 3．若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos =___________． 4．若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，则tan tan αβ= ． 5．求值：11sin 20tan 40-=︒︒． 6．已知232,534cos παππα<≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛+．求⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos πα的值 解：().2sin 2cos 224sin 2sin 4cos 2cos 42cos ααπαπαπα-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 又3cos 0,224πππαα⎛⎫≤<+> ⎪⎝⎭且,47443ππαπ<+≤ 54cos 14sin 2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴παπα 从而25244cos 4sin 222sin 2cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=παπαπαα， 254cos 2122cos 2sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=παπαα 5023125725242242cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πα51 43- 17- 97- 12。

第五章三角函数高考导航知识网络5.1 任意角的三角函数的概念典例精析题型一 象限角与终边相同的角【例1】若α是第二象限角，试分别确定2α、2α的终边所在的象限.【解析】因为α是第二象限角，所以k ∙360°＋90°＜α＜k ∙360°＋180°(k ∈Z ).因为2k ∙360°＋180°＜2α＜2k ∙360°＋360°(k ∈Z )，故2α是第三或第四象限角，或角的终边在y 轴的负半轴上.因为k ∙180°＋45°＜α2＜k ∙180°＋90°(k ∈Z )，当k ＝2n (n ∈Z )时，n ∙360°＋45°＜α2＜n ∙360°＋90°，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，n ∙360°＋225°＜α2＜n ∙360°＋270°.所以α2是第一或第三象限角.【点拨】已知角α所在象限，应熟练地确定α2所在象限.如果用α1、α2、α3、α4分别表示第一、二、三、四象限角，则α12、α22、α32、α42分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟记右图，解有关问题就方便多了.【变式训练1】若角2α的终边在x 轴上方，那么角α是( )A.第一象限角B.第一或第二象限角C.第一或第三象限角D.第一或第四象限角【解析】由题意2k π＜2α＜2k π＋π，k ∈Z ， 得k π＜α＜k π＋π2，k ∈Z .当k 是奇数时，α是第三象限角. 当k 是偶数时，α是第一象限角.故选C. 题型二 弧长公式，面积公式的应用【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C ＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值. 【解析】(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，因为α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，所以l ＝10π3 cm ，S 弓＝S 扇－S Δ＝12×10×10π3－12×102×sin 60°＝50(π3－32) cm 2.(2)因为C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，所以R ＝C2＋α，S 扇＝12αR 2＝12α(C 2＋α)2＝C 22∙αα2＋4α＋4＝C 22∙1α＋4α＋4≤C 216，当且仅当α＝4α时，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形的面积有最大值为C 216.【点拨】用弧长公式l ＝ |α| R 与扇形面积公式S ＝12lR ＝12R 2|α|时，α的单位必须是弧度.【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S ，当圆心角α为多少弧度时，该扇形的周长C 有最小值？并求出最小值.【解析】因为S ＝12Rl ，所以Rl ＝2S ，所以周长C ＝l ＋2R ≥22Rl ＝24S ＝4S ， 当且仅当l ＝2R 时，C ＝4S ，所以当α＝lR＝2时，周长C 有最小值4S .题型三 三角函数的定义，三角函数线的应用【例3】(1)已知角α的终边与函数y ＝2x 的图象重合，求sin α；(2)求满足sin x ≤32的角x 的集合. 【解析】(1)由⎩⎨⎧=+=1222y x x y ⇒交点为(－55，－255)或(55，255)， 所以sin α＝±255.(2)①找终边：在y 轴正半轴上找出点(0，32)，过该点作平行于x 轴的平行线与单位圆分别交于P 1、P 2两点，连接OP 1、OP 2，则为角x 的终边，并写出对应的角.②画区域：画出角x 的终边所在位置的阴影部分.③写集合：所求角x 的集合是{x |2k π－4π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }.【点拨】三角函数是用角α的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观.【变式训练3】函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为 .【解析】⇒2k π＜x ≤2k π＋π3，k ∈Z .所以函数的定义域为{x |2k π＜x ≤2k π＋π3，k ∈Z }.总结提高1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如k ·360°＋π3的错误书写.3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙.5.2 同角三角函数的关系、诱导公式典例精析题型一 三角函数式的化简问题【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将α视为锐角后，再判断所求角的象限.【变式训练1】已知f (x )＝1－x ，θ∈(3π4，π)，则f (sin 2θ)＋f (－sin 2θ)＝ .【解析】f (sin 2θ)＋f (－sin 2θ)＝1－sin 2θ＋1＋sin 2θ＝(sin θ－cos θ)2＋(sin θ＋cos θ)2＝|sin θ－cos θ|＋|sin θ＋cos θ|.因为θ∈(3π4，π)，所以sin θ－cos θ＞0，sin θ＋cos θ＜0.所以|sin θ－cos θ|＋|sin θ＋cos θ|＝sin θ－cos θ－sin θ－cos θ＝－2cos θ. 题型二 三角函数式的求值问题【例2】已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2). (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求 θ的值.【解析】(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a|＝|b|知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是sin(2θ＋π4)＝－22.又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.【变式训练2】已知tan α＝12，则2sin αcos α＋cos 2α等于( )A.45B.85C.65D.2【解析】原式＝2sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋11＋tan 2α＝85.故选B.题型三 三角函数式的简单应用问题【例3】已知－π2＜x ＜0且sin x ＋cos x ＝15，求：(1)sin x －cos x 的值；(2)sin 3(π2－x )＋cos 3(π2＋x )的值.【解析】(1)由已知得2sin x cos x ＝－2425，且sin x ＜0＜cos x ，所以sin x －cos x ＝－(sin x －cos x )2＝－1－2sin x cos x ＝－1＋2425＝－75. (2)sin 3(π2－x )＋cos 3(π2＋x )＝cos 3x －sin 3x ＝(cos x －sin x )(cos 2x ＋cos x sin x ＋sin 2x )＝75×(1－1225)＝91125. 【点拨】求形如sin x ±cos x 的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sin x ±cos x 取值符号. 【变式训练3】化简1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.【解析】原式＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2sin 2αcos 2α]1－[(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α＋sin 4α－sin 2αcos 2α)]＝2sin 2αcos 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3sin 2αcos 2α]＝23. 总结提高1.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，如：sin 2(－2α)＋cos 2(－2α)＝1是恒成立的.2.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.5.3 两角和与差、二倍角的三角函数典例精析题型一 三角函数式的化简【例1】化简θθθθθ cos 22)2 cos 2 )(sin cos sin 1(+-++(0＜θ＜π). 【解析】因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以原式＝2cos 2)2 cos 2 )(sin 2 cos 22 cos 2 sin 2(22θθθθθθ-+ ＝2cos 2)2 cos 2 (sin 2 sin 222θθθθ-＝－cos θ. 【点拨】先从角度统一入手，将θ化成θ2，然后再观察结构特征，如此题中sin 2θ2－cos 2θ2＝－cos θ.【变式训练1】化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan(π4－x )sin 2(π4＋x ).【解析】原式＝12(2cos 2x －1)22tan(π4－x )cos 2(π4－x )＝cos 22x 4cos(π4－x )sin(π4－x )＝cos 22x 2sin(π2－2x )＝12cos 2x .题型二 三角函数式的求值【例2】已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2x2cos(π4＋x )sin x的值.【解析】(1)由sin x 2－2cos x 2＝0⇒tan x 2＝2，所以tan x ＝2tan 12tan 22x x ＝2×21－22＝－43. (2)原式＝cos 2x －sin 2x2(22cos x －22sin x )sin x＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )sin x＝cos x ＋sin x sin x ＝1tan x ＋1＝(－34)＋1＝14.【变式训练2】2cos 5°－sin 25°sin 65°＝ .【解析】原式＝2cos(30°－25°)－sin 25°cos 25°＝3cos 25°cos 25°＝ 3.题型三 已知三角函数值求解 【例3】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.【解析】因为tan 2(α－β)＝2tan(α－β)1－tan 2(α－β)＝43， 所以tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2(α－β)＋tan β1－tan 2(α－β)tan β＝1，又tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tan β1－tan(α－β)tan β＝13，因为α∈(0，π)，所以0＜α＜π4，又π2＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4. 【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.【变式训练3】若α与β是两锐角，且sin(α＋β)＝2sin α，则α与β的大小关系是( ) A.α＝β B.α＜βC.α＞βD.以上都有可能【解析】方法一：因为2sin α＝sin(α＋β)≤1，所以sin α≤12，又α是锐角，所以α≤30°.又当α＝30°，β＝60°时符合题意，故选B.方法二：因为2sin α＝sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β，所以sin α＜sin β.又因为α、β是锐角，所以α＜β，故选B.总结提高1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具. (1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题； (2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”； (3)掌握角的演变规律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.5.4 三角恒等变换典例精析题型一 三角函数的求值【例1】已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值.【解析】由4tan α2＝1－tan 2α2，得tan α＝2tan 12tan 22αα-＝12. 由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， 即2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝2tan α＝1. 又因为α、β∈(0，π4)，所以α＋β＝π4.【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.【变式训练1】如果tan(α＋β)＝35，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π4)等于( )A.1318B.1322C.723D.318【解析】因为α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)，所以tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan(α＋β)－tan(β－π4)1＋tan(α＋β)tan(β－π4)＝723.故选C.题型二 等式的证明【例2】求证：sin βsin α＝sin(2α＋β)sin α－2co s(α＋β).【证明】证法一：右边＝sin [(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin αsin α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin αsin α＝sin [(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α＝左边.证法二：sin(2α＋β)sin α－sin βsin α＝sin(2α＋β)－sin βsin α＝2cos(α＋β)sin αsin α＝2cos(α＋β)，所以sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.【点拨】证法一将2α＋β写成(α＋β)＋α，使右端的角形式上一致，易于共同运算；证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖.【变式训练2】已知5sin α＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tan β＝0. 【证明】因为5sin α＝3sin(α－2β)，所以5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]， 所以5sin(α－β)cos β＋5cos(α－β)sin β＝3sin(α－β)cos β－3cos(α－β)sin β， 所以2sin(α－β)cos β＋8cos(α－β)sin β＝0. 即tan(α－β)＋4tan β＝0. 题型三 三角恒等变换的应用【例3】已知△ABC 是非直角三角形.(1)求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ；(2)若A ＞B 且tan A ＝－2tan B ，求证：tan C ＝sin 2B3－cos 2B ；(3)在(2)的条件下，求tan C 的最大值. 【解析】(1)因为C ＝π－(A ＋B )，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－(tan A ＋tan B )1－tan A tan B，所以tan C －tan A tan B tan C ＝－tan A －tan B ， 即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .(2)由(1)知tan C ＝－(tan A ＋tan B )1－tan A tan B ＝tan B 1＋2tan 2B ＝sin B cos Bcos 2B ＋2sin 2B ＝)2cos 2(22 sin B B-∙ ＝sin 2B 2(2－1＋cos 2B 2)＝sin 2B3－cos 2B .(3)由(2)知tan C ＝tan B1＋2tan 2B＝12tan B ＋1tan B≤122＝24， 当且仅当2tan B ＝1tan B ，即tan B ＝22时，等号成立.所以tan C 的最大值为24. 【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识. 【变式训练3】在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，试判断△ABC 的形状.【解析】由已知得tan B ＋tan C ＝3(1－tan B tan C )， 3(tan A ＋tan B )＝－(1－tan A tan B )，即tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝3，tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－33.所以tan(B ＋C )＝3，tan(A ＋B )＝－33. 因为0＜B ＋C ＜π，0＜A ＋B ＜π，所以B ＋C ＝π3，A ＋B ＝5π6.又A ＋B ＋C ＝π，故A ＝2π3，B ＝C ＝π6.所以△ABC 是顶角为2π3的等腰三角形.总结提高三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：①统一角度，即化为同一个角的三角函数；②统一名称，即化为同一种三角函数；③统一结构形式.5.5 三角函数的图象和性质典例精析题型一 三角函数的周期性与奇偶性【例1】已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4＋3cos x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)令g (x )＝f (x ＋π3)，判断g (x )的奇偶性.【解析】(1)f (x )＝2sin x 4cos x 4＋3cos x 2＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin(x 2＋π3)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.(2)g (x )＝f (x ＋π3)＝2sin[12(x ＋π3)＋π3]＝2sin(x 2＋π2)＝2cos x2.所以g (x )为偶函数.【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数.【变式训练1】函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x 的最小正周期T 等于( )A.2πB.πC.π2D.π3【解析】y ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝22(22sin 2x －22cos 2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12，所以T ＝2π2＝π.故选B. 题型二 求函数的值域 【例2】求下列函数的值域： (1)f (x )＝sin 2x sin x1－cos x ；(2)f (x )＝2cos(π3＋x )＋2cos x .【解析】(1)f (x )＝2sin x cos x sin x 1－cos x ＝2cos x (1－cos 2x )1－cos x＝2cos 2x ＋2cos x＝2(cos x ＋12)2－12，当cos x ＝1时，f (x )max ＝4，但cos x ≠1，所以f (x )＜4，当cos x ＝－12时，f (x )min ＝－12，所以函数的值域为[－12，4).(2)f (x )＝2(cos π3cos x －sin π3sin x )＋2cos x＝3cos x －3sin x ＝23cos(x ＋π6)，所以函数的值域为[－23，23].【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难点的关键. 【变式训练2】求y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域.【解析】令t ＝sin x ＋cos x ，则有t 2＝1＋2sin x cos x ，即sin x cos x ＝t 2－12.所以y ＝f (t )＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1.又t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，所以－2≤t ≤ 2.故y ＝f (t )＝12(t ＋1)2－1(－2≤t ≤2)，从而f (－1)≤y ≤f (2)，即－1≤y ≤2＋12.所以函数的值域为[－1，2＋12].题型三 三角函数的单调性【例3】已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(φ＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示.(1)求ω，φ的值；(2)设g (x )＝f (x )f (x －π4)，求函数g (x )的单调递增区间.【解析】(1)由图可知，T ＝4(π2－π4)＝π，ω＝2πT＝2.又由f (π2)＝1知，sin(π＋φ)＝1，又f (0)＝－1，所以sin φ＝－1.因为|φ|＜π，所以φ＝－π2.(2)f (x )＝sin(2x －π2)＝－cos 2x .所以g (x )＝(－cos 2x )[－cos(2x －π2)]＝cos 2x sin 2x ＝12sin 4x .所以当2k π－π2≤4x ≤2k π＋π2，即k π2－π8≤x ≤k π2＋π8(k ∈Z )时g (x )单调递增.故函数g (x )的单调增区间为[k π2－π8，k π2＋π8](k ∈Z ).【点拨】观察图象，获得T 的值，然后再确定φ的值，体现了数形结合的思想与方法. 【变式训练3】使函数y ＝sin(π6－2x )(x ∈[0，π])为增函数的区间是( )A.[0，π3]B.[π12，7π12]C.[π3，5π6]D.[5π6，π]【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选C.总结提高1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.5.6 函数y ＝A sin (ωx ＋ )的图象和性质典例精析题型一 “五点法”作函数图象【例1】设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到.【解析】(1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2(12sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin(ωx ＋π3)，又因为T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)，所以函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)的振幅为2，初相为π3.(2)列出下表，并描点画出图象如图所示.(3)把y ＝sin x 图象上的所有点向左平移π3个单位，得到y ＝sin(x ＋π3)的图象，再把y ＝sin(x ＋π3)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x ＋π3)的图象，然后把y＝sin(2x ＋π3)的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin(2x ＋π3)的图象.【点拨】用“五点法”作图，先将原函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)形式，再令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π求出相应的x 值及相应的y 值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.【变式训练1】函数的图象如图所示，则( )A.k ＝12，ω＝12，φ＝π6B.k ＝12，ω＝12，φ＝π3C.k ＝12，ω＝2，φ＝π6D.k ＝－2，ω＝12，φ＝π3【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k ＝12.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数ω由三角函数的周期决定，由图象可知函数的周期为T ＝4×(8π3－5π3)＝4π，故ω＝12.将点(5π3，0)代入解析式y ＝2sin(12x ＋φ)，得12×5π3＋φ＝k π，k ∈Z ，所以φ＝k π－5π6，k ∈Z .结合各选项可知，选项A 正确.题型二 三角函数的单调性与值域【例2】已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)＋2cos 2ωx ，x ∈R (ω＞0)在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω的值；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间.【解析】(1)f (x )＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＝sin(2ωx ＋π6)＋32. 令2ωx ＋π6＝π2，将x ＝π6代入可得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin(2x ＋π6)＋32，经过题设的变化得到函数g (x )＝sin(12x －π6)＋32，当x ＝4k π＋43π，k ∈Z 时，函数g (x )取得最大值52.令2k π＋π2≤12x －π6≤2k π＋32π，即[4k π＋4π3，4k π＋103π](k ∈Z )为函数的单调递减区间.【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.【变式训练2】若将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点(π3，0)对称，则|φ|的最小值是( )A.π4B.π3C.π2D.3π4【解析】将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到y ＝2sin[3(x －π4)＋φ]＝2sin(3x －3π4＋φ)的图象.因为该函数的图象关于点(π3，0)对称，所以2sin(3×π3－3π4＋φ)＝2sin(π4＋φ)＝0，故有π4＋φ＝k π(k ∈Z )，解得φ＝k π－π4(k ∈Z ).当k ＝0时，|φ|取得最小值π4，故选A.题型三 三角函数的综合应用【例3】已知函数y ＝f (x )＝A sin 2(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2).(1)求φ的值；(2)求f (1)＋f (2)＋…＋f (2 008).【解析】(1)y ＝A sin 2(ωx ＋φ)＝A 2－A2cos(2ωx ＋2φ)，因为y ＝f (x )的最大值为2，又A ＞0， 所以A 2＋A2＝2，所以A ＝2，又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0， 所以12×2π2ω＝2，所以ω＝π4.所以f (x )＝22－22cos(π2x ＋2φ)＝1－cos(π2x ＋2φ)，因为y ＝f (x )过点(1,2)，所以cos(π2＋2φ)＝－1.所以π2＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z )，解得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π4.(2)方法一：因为φ＝π4，所以y ＝1－cos(π2x ＋π2)＝1＋sin π2x ，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋1＋0＋1＝4， 又因为y ＝f (x )的周期为4,2 008＝4×502. 所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 008)＝4×502＝2 008. 方法二：因为f (x )＝2sin 2(π4x ＋φ)，所以f (1)＋f (3)＝2sin 2(π4＋φ)＋2sin 2(3π4＋φ)＝2，f (2)＋f (4)＝2sin 2(π2＋φ)＋2sin 2(π＋φ)＝2，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝4，又因为y ＝f (x )的周期为4,2 008＝4×502. 所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 008)＝4×502＝2 008.【点拨】函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π，可得x ＝k π－φω，两相邻对称轴间的距离为周期的一半，解决该类问题可画出相应的三角函数的图象，借助数形结合的思想解决.【变式训练3】已知函数f (x )＝A cos 2ωx ＋2(A ＞0，ω＞0)的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，则f (2)＋f (4)＋f (6)＋…＋f (20)＝ .【解析】f (x )＝A cos 2ωx ＋2＝A ×1＋cos 2ωx 2＋2＝A cos 2ωx 2＋A 2＋2，则由题意知A ＋2＝6，2π2ω＝8，所以A ＝4，ω＝π8，所以f (x )＝2cos π4x ＋4，所以f (2)＝4，f (4)＝2，f (6)＝4，f (8)＝6，f (10)＝4，…观察周期性规律可知f (2)＋f (4)＋…＋f (20)＝2×(4＋2＋4＋6)＋4＋2＝38.总结提高1.用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，关键是五个点的选取，一般令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整ωx ＋φ的取值，以便列表时能使x 在给定的区间内取值.2.在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母x 本身而言的，无论沿x 轴平移还是伸缩，变化的总是x .3.在解决y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关性质时，应将ωx ＋φ视为一个整体x 后再与基本函数 y ＝sin x 的性质对应求解.5.7 正弦定理和余弦定理典例精析题型一 利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1，cos C ＝34.(1)求sin A 的值；(2)求BC ∙CA 的值.【解析】(1)由cos C ＝34得sin C ＝74.所以sin A ＝BC sin C AB ＝1×742＝148.(2)由(1)知，cos A ＝528.所以cos B ＝－cos(A ＋C )＝－cos A cos C ＋sin A sin C＝－15232＋7232＝－24.所以BC ·CA ＝BC ·(CB ＋)＝BC ∙CB ＋BC ∙ ＝－1＋1×2×cos B ＝－1－12＝－32.【点拨】在解三角形时，要注意灵活应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关知识.【变式训练1】在△ABC 中，已知a 、b 、c 为它的三边，且三角形的面积为a 2＋b 2－c 24，则∠C ＝ .【解析】S ＝a 2＋b 2－c 24＝12ab sin C .所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝cos C .所以tan C ＝1，又∠C ∈(0，π)，所以∠C ＝π4.题型二 利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题【例2】设△ABC 是锐角三角形，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 所对的边长，并且sin 2A ＝sin(π3＋B )sin(π3－B )＋sin 2B .(1)求角A 的值；(2)若AB ∙AC ＝12，a ＝27，求b ，c (其中b ＜c ). 【解析】(1)因为sin 2A ＝(32cos B ＋12sin B )(32cos B －12sin B )＋sin 2B ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B ＝34，所以sin A ＝±32.又A 为锐角，所以A ＝π3.(2)由∙＝12可得cb cos A ＝12.① 由(1)知A ＝π3，所以cb ＝24.②由余弦定理知a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，将a ＝27及①代入得c 2＋b 2＝52.③ ③＋②×2，得(c ＋b )2＝100，所以c ＋b ＝10.因此，c ，b 是一元二次方程t 2－10t ＋24＝0的两个根. 又b ＜c ，所以b ＝4，c ＝6.【点拨】本小题考查两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力.【变式训练2】在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，且满足(2a －c )cos B ＝ b cos C .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积. 【解析】(1)在△ABC 中，由正弦定理得 a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 代入(2a －c )cos B ＝b cos C ，整理得2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C ∙cos B ， 即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ， 在△ABC 中，sin A ＞0,2cos B ＝1， 因为∠B 是三角形的内角，所以B ＝60°.(2)在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ∙cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac ∙cos B ，将b ＝7，a ＋c ＝4代入整理，得ac ＝3. 故S △ABC ＝12ac sin B ＝32sin 60°＝334.题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】(2010陕西)如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点.现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D 点需要多长时间？【解析】由题意知AB ＝5(3＋3)(海里)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，所以∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB，所以DB ＝ADBDAB AB ∠∠∙sin sin ＝︒︒+∙105 sin 45 sin )33(5＝︒︒+︒︒︒+∙60 sin 45 cos 60 cos 45 sin 45 sin )33(5＝53(3＋1)3＋12＝103(海里).又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203海里， 在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ∙BC ∙cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，所以CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时).所以，救援船到达D 点需要1小时.【点拨】应用解三角形知识解决实际问题的基本步骤是： (1)根据题意，抽象地构造出三角形；(2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边与角的对应关系； (3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解； (4)给出结论.【变式训练3】如图，一船在海上由西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件 时，该船没有触礁危险.【解析】由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BMsin(90°－α)＝msin(α－β)，解得BM ＝m cos αsin(α－β)，要使船没有触礁危险需要BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin(α－β)＞n .所以α与β的关系满足m cosαcos β＞n sin(α－β)时，船没有触礁危险.总结提高1.正弦定理、余弦定理体现了三角形中角与边存在的一种内在联系，如证明两内角A＞B与sin A ＞sin B 是一种等价关系.2.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系转化，统一转化为边的关系或统一转化为角的关系，再用恒等变形(如因式分解、配方)求解，注意等式两边的公因式不要随意约掉，否则会漏解.3.用正弦定理求角的大小一定要根据题中所给的条件判断角的范围，以免增解或漏解.5.8 三角函数的综合应用典例精析题型一 利用三角函数的性质解应用题【例1】如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是一半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在上，相邻两边CQ 、CR分别落在正方形的边BC 、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值.【解析】如图，连接AP ，过P 作PM ⊥AB 于M .设∠P AM ＝α，0≤α≤π2，则PM ＝90sin α，AM ＝90cos α，所以PQ ＝100－90cos α，PR ＝100－90sin α， 于是S 四边形PQCR ＝PQ ·PR ＝(100－90cos α)(100－90sin α)＝8 100sin αcos α－9 000(sin α＋cos α)＋10 000. 设t ＝sin α＋cos α，则1≤t ≤2，sin αcos α＝t 2－12.S 四边形PQCR ＝8 100·t 2－12－9 000t ＋10 000＝4 050(t －109)2＋950 (1≤t ≤2).当t ＝2时，(S 四边形PQCR )max ＝14 050－9 000 2 m 2； 当t ＝109时，(S 四边形PQCR )min ＝950 m 2.【点拨】同时含有sin θcos θ，sin θ±cos θ的函数求最值时，可设sin θ±cos θ＝t ，把sin θcos θ用t 表示，从而把问题转化成关于t 的二次函数的最值问题.注意t 的取值范围.【变式训练1】若0＜x ＜π2，则4x 与sin 3x 的大小关系是( )A.4x ＞sin 3xB.4x ＜sin 3xC.4x ≥sin 3xD.与x 的值有关【解析】令f (x )＝4x －sin 3x ，则f ′(x )＝4－3cos 3x .因为f ′(x )＝4－3cos 3x ＞0，所以f (x )为增函数.又0＜x ＜π2，所以f (x )＞f (0)＝0，即得4x －sin 3x ＞0.所以4x ＞sin 3x .故选A. 题型二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)模型的应用【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t ).下表是某日各时的浪花高度数据.经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b .(1)根据以上数据，求出函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放. 请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【解析】(1)由表中数据知，周期T ＝12，所以ω＝2πT ＝2π12＝π6.由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5，由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0， 所以A ＝0.5，b ＝1，所以振幅为12.所以y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题知，当y ＞1时才可对冲浪者开放， 所以12cos π6t ＋1＞1，所以cos π6t ＞0，所以2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π2，即12k －3＜t ＜12k ＋3.①因为0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2，得0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t ≤24.故在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.【点拨】用y ＝A sin(ωx ＋φ)模型解实际问题，关键在于根据题目所给数据准确求出函数解析式. 【变式训练2】如图，一个半径为10 m 的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P 到水面的距离为d m(P 在水面下则d 为负数)，则d (m)与时间t (s)之间满足关系式：d ＝A sin(ωt ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)，且当点P 从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：①A ＝10；②ω＝2π15；③φ＝π6；④k ＝5.其中正确结论的序号是 .【解析】①②④.题型三 正、余弦定理的应用【例3】为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如图所示)，飞机能测量的数据有俯角和A 、B 之间的距离，请设计一个方案，包括：(1)指出需测量的数据(用字母表示，并在图中标示)；(2)用文字和公式写出计算M 、N 间距离的步骤.【解析】(1)如图所示：①测AB 间的距离a ；②测俯角∠MAB ＝φ，∠NAB ＝θ，∠MBA ＝β，∠NBA ＝γ.(2)在△ABM 中 ，∠AMB ＝π－φ－β，由正弦定理得BM ＝AB sin φsin ∠AMB ＝a sin φsin(φ＋β)， 同理在△BAN 中，BN ＝AB sin θsin ∠ANB ＝a sin θsin(θ＋γ)， 所以在△BMN 中，由余弦定理得MN ＝MBN BN BM BN BM ∠-+∙cos 222 ＝a 2sin 2φsin 2(φ＋β)＋a 2sin 2θsin 2(θ＋γ)－2a 2sin θsin φcos(γ－β)sin(φ＋β)sin(θ＋γ). 【变式训练3】一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是 海里/小时.【解析】本题考查实际模型中的解三角形问题.依题意作出简图，易知AB ＝10，∠OCB ＝60°，∠OCA ＝75°.我们只需计算出OC 的长，即可得出船速.在直角三角形OCA 和OCB 中，显然有OB OC＝tan ∠OCB ＝tan 60°且OA OC ＝tan ∠OCA ＝tan 75°， 因此易得AB ＝OA －OB ＝OC (tan 75°－tan 60°)，即有OC ＝AB tan 75°－tan 60°＝10tan 75°－tan 60°＝10tan(30°＋45°)－tan 60° ＝10tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°－tan 60°＝1013＋11－13－3＝5. 由此可得船的速度为5海里÷0.5小时＝10海里/小时.总结提高1.解三角形的应用题时应注意：(1)生活中的常用名词，如仰角，俯角，方位角，坡比等；(2)将所有已知条件化入同一个三角形中求解；(3)方程思想在解题中的运用.2.解三角函数的综合题时应注意：(1)与已知基本函数对应求解，即将ωx ＋φ视为一个整体X ；(2)将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ；(3)换元方法在解题中的运用.。

2013年全国各地高考试题汇编(湖南.文)已知函数()cos cos()3f x x x =⋅-（1）求2()3f π的值（2）求使1()4f x <成立的x 的取值集合 (2013陕西.理)已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R ,设函数()·f x =a b . (1) 求()f x 的最小正周期. (2) 求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(2013湖南.理)已知函数()sin()cos()63f x x x ππ=-+-，2()2sin 2xg x =.（1）若α是第一象限角，且()5f α=，求()g α的值； （2）求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.(2013湖北.文)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=. （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =5b =，求sin sinBC 的值.2013江西.理)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos (cos )cos 0C A A B += （1） 求角B 的大小；若1a c +=，求b 的取值范围 2013四川.理)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别c b a 、、，且53)cos(sin )sin(cos 2cos 22-=++---C A B B A B B A （1）求A cos 的值；若5,24==b a ，求向量在方向上的投影。

(2013新课标Ⅱ.理)ABC ∆在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+. （1）求B ；（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值。

（1）求,a c 的值； （2）求sin()A B -的值.(2013全国卷.文)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,()()a b c a b c a b c ac ++-+= (1)求角B (2)若413sin sin -=C A ，求角C (2013江苏卷)已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，παβ<<<0． （1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥； （2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求βα,的值． 2013上海.理)已知函数()2sin (0)f x x ωω=> (1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值范围;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像.区间[,](,,)a b a b R a b ∈<,满足: ()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点.在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.2010年高考三角函数汇编一、选择题（2010上海文数）18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.2010湖南文数）7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，，则 A.a ＞b B.a ＜b C. a ＝b D.a 与b 的大小关系不能确定（2010浙江理数）（9）设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是 （A ）[]4,2-- （B ）[]2,0- （C ）[]0,2 （D ）[]2,4（2010浙江理数）（4）设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （2010全国卷2理数）（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位（B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位 （2010陕西文数）3.函数f (x )=2sin x cos x 是(A)最小正周期为2π的奇函数 （B ）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数（D ）最小正周期为π的偶函数（2010辽宁文数）（6）设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是 （A ）23 （B ） 43 （C ） 32（D ） 3 （2010辽宁理数）（5）设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是 （A ）23 (B)43 (C)32(D)3 （2010全国卷2文数）已知2sin 3α=，则cos(2)x α-=（A）B ）19-（C ）19（D（2010江西理数）7.E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ ）A. 1627B. 23C. 3D. 34（2010重庆文数）（6）下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是（A ）sin(2)2y x π=+（B ）cos(2)2y x π=+（C ）sin()2y x π=+（D ）cos()2y x π=+ （2010重庆理数）已知函数()sin (0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如题（6）图所示，则A. ω=1 ϕ= 6πB. ω=1 ϕ=- 6πC. ω=2 ϕ= 6πD. ω=2 ϕ= -6π（2010山东文数）（10）观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（A ）()f x (B)()f x - (C) ()g x (D)()g x - （2010四川理数）（6）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=-（C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220y x π=-15、（2010天津文数）（8）5y Asin x x R 66ππωϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点(A)向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变(B) 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(C) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变(D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变（2010天津理数）（7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若22a b -，sin C B =，则A= （A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150 （2010全国卷1理数）(2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=（2010湖南理数）6、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a,b,c ，若∠C=120°，c =,则A 、a>bB 、a<bC 、a=bD 、a 与b 的大小关系不能确定 （2010湖北理数）3.在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B =A －3 B 3 C －3 D 3（2010浙江理数）（11）函数2()sin(2)4f x x x π=--的最小正周期是__________________ .（2010山东文数）（15） 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若a =2b =,sin cos B B +则角A 的大小为 .（2010广东理数）11.已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若则sinC= . （2010福建理数）14．已知函数f(x)=3sin(x-)(>0)6πωω和g(x)=2cos(2x+)+1ϕ的图象的对称轴完全相同。

专题三 三角函数1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23co s 2A ＋co s 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D.由23co s 2A ＋co s 2A ＝0，得23co s 2A ＋2co s 2A －1＝0，解得co s A ＝±15.∵A 是锐角，∴co s A ＝15.又a 2＝b 2＋c 2－2bc co s A ，∴49＝b 2＋36－2×b ×6×15，∴b ＝5或b ＝－135.又∵b >0，∴b ＝5. 2．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b＝2，B ＝π6，C ＝π4 ，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2 D.3－1解析：选B.∵B ＝π6，C ＝π4，∴A ＝π－B －C ＝π－π6－π4＝7π12.由正弦定理b sin B ＝csin C，得2sin π6＝c sinπ4，即 212＝c 22， ∴c ＝2 2.∴S △ABC ＝12bcs in A ＝12×2×22s in 7π12＝3＋1.故选B.3．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知s in 2α＝23，则co s 2(α＋π4)＝( )A.16B.13C.12D.23解析：选A.∵s in 2α＝23，∴co s 2(α＋π4)＝1＋cos (2α＋π2)2＝1－sin 2α2＝1－232＝16.4．(2013·高考大纲全国卷)已知α是第二象限角，s in α＝513，则co s α＝( )A ．－1213B ．－513C.513D.1213解析：选A.因为α为第二象限角，所以co s α＝－1－sin 2α＝－1213.5．(2013·高考大纲全国卷)若函数y ＝s in(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2解析：选B.设函数的最小正周期为T ，由函数图象可知T 2＝(x 0＋π4)－x 0＝π4，所以T ＝π2.又因为T ＝2πω，可解得ω＝4.6．(2013·高考山东卷)将函数y ＝s in(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C ．0D ．－π4解析：选B.y ＝s in(2x ＋φ)――→向左平移π8个单位y ＝s in[2(x ＋π8)＋φ]＝s in(2x ＋π4＋φ)． 当φ＝3π4时，y ＝s in(2x ＋π)＝－s in 2x ，为奇函数；当φ＝π4时，y ＝s in(2x ＋π2)＝co s 2x ，为偶函数；当φ＝0时，y ＝s in(2x ＋π4)，为非奇非偶函数；当φ＝－π4时，y ＝s in 2x ，为奇函数．故选B.7．(2013·高考山东卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2 D ．1解析：选B.由正弦定理得：a sin A ＝bsin B，∵B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，∴1sin A ＝32sin A cos A. ∵A 为三角形的内角，∴s in A ≠0.∴co s A ＝32.又0<A <π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3.∴C ＝π－A －B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．由勾股定理得c ＝12＋(3)2＝2.8．(2013·高考浙江卷)已知α∈R ，s in α＋2co s α＝102，则tan 2α＝( ) A.43B.34 C ．－34D ．－43解析：选C.把条件中的式子两边平方，得s in 2α＋4s in αco s α＋4co s 2α＝52，即3co s 2α＋4s inαco s α＝32，所以3cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝32，所以3＋4tan α1＋tan 2α＝32，即3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 9．(2013·高考浙江卷)函数f (x )＝s in x co s x ＋32co s 2x 的最小正周期和振幅分别是( )A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2解析：选A.f (x )＝12s in 2x ＋32co s 2x ＝s in(2x ＋π3)，所以最小正周期为T ＝2π2＝π，振幅A＝1.10．(2013·高考北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，s in A ＝13，则s in B ＝( )A.15B.59C.53D ．1 解析：选B.在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，得s in B ＝b sin Aa ＝5×133＝59.11．(2013·高考北京卷)“φ＝π”是“曲线y ＝s in(2x ＋φ)过坐标原点”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当φ＝π时，y ＝s in(2x ＋φ)＝s in(2x ＋π)＝－s in 2x ，此时曲线y ＝s in(2x ＋φ)必过原点，但曲线y ＝s in(2x ＋φ)过原点时，φ可以取其他值，如φ＝0.因此“φ＝π”是“曲线y ＝s in(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．12．(2013·高考天津卷)函数f (x )＝s in ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．0 解析：选B.∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝s in ⎝⎛⎭⎫2x －π4有最小值－22.13．(2013·高考天津卷)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则s in ∠BAC ＝( )A.1010B.105C.31010D.55解析：选C.由余弦定理可得 AC ＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC＝2＋9－2×2×3×22＝5，于是由正弦定理可得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，于是s in∠BAC ＝3×225＝31010.14．(2013·高考福建卷)将函数f (x )＝s in(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2D.π6解析：选B.∵P ⎝⎛⎭⎫0，32在f (x )的图象上， ∴f (0)＝s in θ＝32. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴θ＝π3， ∴f (x )＝s in ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝s in ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋π3. ∵g (0)＝32，∴s in ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝32. 验证，φ＝56π时，s in ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝s in ⎝⎛⎭⎫π3－53π＝s in ⎝⎛⎭⎫－43π＝32成立． 15．(2013·高考辽宁卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若as in B co s C＋cs in B co s A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A.由正弦定理可得s in As in B co s C ＋s in C ·s in B co s A ＝12s in B ，又因为s in B ≠0，所以s in A co s C ＋s in C co s A ＝12，所以s in(A ＋C )＝s in B ＝12.因为a >b ，所以∠B ＝π6.16．(2013·高考陕西卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b co s C ＋c co s B ＝as in A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 解析：选B.∵b co s C ＋c co s B＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a 22a＝a ＝as in A ，∴s in A ＝1. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．17．(2013·高考湖南卷)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2as in B ＝3b ，则角A 等于( )A.π3B.π4C.π6D.π12解析：选A.在△ABC 中，a ＝2Rs in A ，b ＝2Rs in B (R 为△ABC 的外接圆半径)． ∵2as in B ＝3b ，∴2s in As in B ＝3s in B .∴s in A ＝32.又△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3.18．(2013·高考江西卷)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝E B ＋BC ＋C D ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选D.如图所示，连接OF ，OG ，过点O 作OM ⊥FG ，过点A 作AH ⊥BC ，交DE 于点N .因为弧FG 的长度为x ，所以∠FOG ＝x ，则AN ＝OM ＝co s x 2，所以AN AH ＝AE AB ＝co s x 2，则A E ＝233co s x 2，∴E B ＝233－233co s x 2.∴y ＝E B ＋BC ＋C D ＝433－433co s x 2＋233＝－433co s x 2＋23(0<x <π)．19．(2013·高考四川卷)函数f (x )＝2s in (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π3 B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3解析：选A.∵34T ＝512π－⎝⎛⎭⎫－π3＝34π，∴T ＝π， ∵2πω＝π(ω>0)，∴ω＝2. 由图象知当x ＝512π时，2×512π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－π3(k ∈Z )．∵－π2<φ<π2，∴φ＝－π3.20．(2013·高考江西卷)若s in α2＝33，则co s α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.23解析：选C.co s α＝1－2s in 2α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝1－23＝13.21．(2013·高考湖北卷)将函数y ＝3co s x ＋s in x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6解析：选B.由于y ＝3co s x ＋s in x ＝2co s ⎝⎛⎭⎫x －π6，向左平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝2co s ⎝⎛⎭⎫x ＋m －π6的图象．由于该图象关于y 轴对称，所以m －π6＝k π(k ∈Z ，m >0)，于是m ＝k π＋π6(k ∈Z ，m >0)，故当k ＝0时， m 取得最小值π6.22．(2013·高考重庆卷)4co s 50°－tan 40°＝( )A. 2B.2＋32C. 3 D ．22－1解析：选C.4co s 50°－tan 40°＝4s in 40°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝sin 80°＋sin (60°＋20°)－sin (60°－20°)cos 40°＝sin 80°＋2cos 60°sin 20°cos 40°＝sin 80°＋sin 20°cos 40°＝sin (50°＋30°)＋sin (50°－30°)cos 40°＝2sin 50°cos 30°cos 40°＝3·cos 40°cos 40°＝ 3.23．(2013·高考广东卷)已知s in ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么co s α＝( )A ．－25B ．－15C.15D.25解析：选C.s in ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝co s α，故co s α＝15，故选C. 24．(2013·高考安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3s in A ＝5s in B ，则角C ＝( )A.π3B.2π3C.3π4D.5π6解析：选B.由3s in A ＝5s in B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以co s C ＝a 2＋b 2－c22ab ＝(53b )2＋b 2－(73b )22×53b ×b＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.25．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f (x )＝s in x －2co s x 取得最大值，则co s θ＝________.解析：y ＝s in x －2co s x ＝5(15s in x －25co s x )，设15＝co s α，25＝s in α，则y ＝5(s in x co s α－co s xs in α)＝5s in(x －α)． ∵x ∈R ，∴x －α∈R ，∴y max ＝ 5. 又∵x ＝θ时，f (x )取得最大值， ∴f (θ)＝s in θ－2co s θ＝ 5. 又s in 2θ＋co s 2θ＝1，∴⎩⎨⎧sin θ＝15，cos θ＝－25，即co s θ＝－255.答案：－25526．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f (x )＝s in x －2co s x 取得最大值，则co s θ＝________.解析：y ＝s in x －2co s x ＝5(15s in x －25co s x )，设15＝co s α，25＝s in α， 则y ＝5(s in x co s α－co s xs in α)＝5s in(x －α)． ∵x ∈R ，∴x －α∈R ，∴y max ＝ 5. 又∵x ＝θ时，f (x )取得最大值， ∴f (θ)＝s in θ－2co s θ＝ 5. 又s in 2θ＋co s 2θ＝1，∴⎩⎨⎧sin θ＝15，cos θ＝－25，即co s θ＝－255.答案：－25527．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)函数y ＝co s (2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝s in(2x ＋π3)的图象重合，则φ＝________.解析：y ＝co s (2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位得到y ＝co s [2(x －π2)＋φ]的图象，整理得y＝co s (2x －π＋φ)．∵其图象与y ＝s in(2x ＋π3)的图象重合，∴φ－π＝π3－π2＋2k π，∴φ＝π3＋π－π2＋2k π，即φ＝5π6＋2k π.又∵－π≤φ<π，∴φ＝5π6.答案：5π628．(2013·高考江苏卷)函数y ＝3s in(2x ＋π4)的最小正周期为________．解析：函数y ＝3s in(2x ＋π4)的最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π29．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan(θ＋π4)＝12，则s in θ＋co s θ＝________.解析：∵tan(θ＋π4)＝12，∴1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－13.∴(s in θ＋co s θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋2tan θ＋1tan 2θ＋1＝19－23＋119＋1＝25.∵θ为第二象限角，tan θ＝－13，∴2k π＋3π4<θ<2k π＋π，∴s in θ＋co s θ<0，∴s in θ＋co s θ＝－105.答案：－10530．(2013·高考江西卷)设f (x )＝3s in 3x ＋co s 3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________．解析：由于f (x )＝3s in 3x ＋co s 3x ＝2s in ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，则|f (x )|＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6≤2，要使|f (x )|≤a 恒成立，则a ≥2.答案：[2，＋∞)31．(2013·高考四川卷)设s in 2α＝－s in α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 解析：∵s in 2α＝－s in α，∴2s in αco s α＝－s in α.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，s in α≠0，∴co s α＝－12. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案： 332．(2013·高考大纲全国卷)已知α是第三象限角，s in α＝－13，则cot α＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－13，sin 2α＋cos 2α＝1，且α是第三象限角，可得co s α＝－223，所以cot α＝cos αsin α＝2 2.答案：2 2 33．(2013·高考安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3s in A ＝5s in B ，则角C ＝________.解析：由3s in A ＝5s in B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以co s C ＝a 2＋b 2－c22ab ＝(53b )2＋b 2－(73b )22×53b ×b＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.答案：2π334．(2013·高考浙江卷)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若s in ∠BAM ＝13，则s in ∠BAC ＝________.解析：因为s in ∠BAM ＝13，所以co s ∠BAM ＝223.如图，在△ABM 中，利用正弦定理，得 BM sin ∠BAM ＝AM sin B，所以BM AM ＝sin ∠BAM sin B ＝13sin B ＝13cos ∠BAC .在Rt △ACM 中，有CMAM＝s in ∠CAM ＝s in(∠BAC －∠BAM )．由题意知BM ＝CM ，所以13cos ∠BAC＝s in(∠BAC －∠BAM )．化简，得22s in ∠BAC co s ∠BAC －co s 2∠BAC ＝1.所以22tan ∠BAC －1tan 2∠BAC ＋1＝1，解得tan ∠BAC ＝ 2.再结合s in 2∠BAC ＋co s 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得s in ∠BAC ＝63.答案：6335．(2013·高考福建卷)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，A D ⊥AC ，s in ∠BAC ＝223，AB ＝32，A D ＝3，则B D 的长为________．解析：∵s in ∠BAC ＝s in(90°＋∠BA D)＝co s ∠BA D ＝223，∴在△AB D 中，有B D 2＝AB 2＋A D 2－2AB ·A Dco s ∠BA D ，∴B D 2＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴B D ＝ 3. 答案： 3 36．(2013·高考江西卷)函数y ＝s in 2x ＋23s in 2x 的最小正周期T 为________．解析：由于y ＝s in 2x ＋23s in 2x ＝s in 2x ＋3(1－co s 2x )＝s in 2x －3co s 2x ＋3＝2s in ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3，∴T ＝2π2＝π. 答案：π 37．(2013·高考大纲全国卷)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac .(1)求B ；(2)若s in As in C ＝3－14，求C .解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ， 所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得co s B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以co s (A －C )＝co s A co s C ＋s in As in C ＝co s A co s C －s in As in C＋2s in As in C ＝co s (A ＋C )＋2s in As in C ＝12＋2×3－14＝32，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°， 因此C ＝15°或C ＝45°. 38．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA . 解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得P A 2＝3＋14－2×3×12×co s 30°＝74，故P A ＝72.(2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝s in α.在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3co s α＝4s in α，所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34.39．(2013·高考山东卷)设函数f (x )＝32－3s in 2ωx －s in ωx co s ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝32－3s in 2ωx －s in ωx co s ωx＝32－3·1－cos 2ωx 2－12s in 2ωx ＝32co s 2ωx －12s in 2ωx ＝－s in(2ωx －π3)．因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω>0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－s in(2x －π3)．当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤s in(2x －π3)≤1.因此－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值分别为32，－1.40．(2013·高考江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC长为1 260 m ，经测量，co s A ＝1213，co s C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)在△ABC 中，因为co s A ＝1213，co s C ＝35，所以s in A ＝513，s in C ＝45.从而s in B ＝s in[π－(A ＋C )]＝s in(A ＋C )＝s in A co s C ＋co s As in C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ·s in C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ·s in A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在[1 25043，62514](单位：m/min)范围内．41．(2013·高考浙江卷)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c, 且2as in B ＝3b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．解：(1)由2as in B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝bsin B，得s in A ＝32.因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc co s A ， 得b 2＋c 2－bc ＝36.又b ＋c ＝8，所以bc ＝283.由三角形面积公式S ＝12bcs in A ，得△ABC 的面积为12×283×32＝733.42．(2013·高考北京卷)已知函数f (x )＝(2co s 2x －1)s in 2x ＋12co s 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈(π2，π)，且f (α)＝22，求α的值．解：(1)因为f (x )＝(2co s 2x －1)s in 2x ＋12co s 4x＝co s 2xs in 2x ＋12co s 4x＝12(s in 4x ＋co s 4x ) ＝22s in(4x ＋π4)， 所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f (α)＝22，所以s in(4α＋π4)＝1.因为α∈(π2，π)，所以4α＋π4∈(9π4，17π4)．所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π16.43．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b co s C ＋cs in B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由已知及正弦定理得s in A ＝s in B co s C ＋s in Cs in B ．① 又A ＝π－(B ＋C )，故s in A ＝s in(B ＋C )＝s in B co s C ＋co s Bs in C ．② 由①②和C ∈(0，π)得s in B ＝co s B .又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12acs in B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac co s π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1. 44．(2013·高考天津卷)在△ABC 中， 内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c . 已知bs inA ＝3cs inB ，a ＝3，co s B ＝23.(1)求b 的值；(2)求s in ⎝⎛⎭⎫2B －π3的值. 解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得bs in A ＝as in B .又由bs in A ＝3cs in B ，可得a ＝3c .又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2ac co s B ，co s B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由co s B ＝23，得s in B ＝53，进而得co s 2B ＝2co s 2B －1＝－19，s in 2B ＝2s in B co s B ＝459，所以s in ⎝⎛⎭⎫2B －π3＝s in 2B co s π3－co s 2Bs in π3 ＝45＋318.45．(2013·高考福建卷)如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．解：(1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22，由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋MP 2－2OP ·MP ·co s 45°，得MP 2－4MP ＋3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3. (2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OP sin ∠OMP ，所以OM ＝OP sin 45°sin (45°＋α)，同理ON ＝OP sin 45°sin (75°＋α).故S △OMN ＝12·OM ·ON ·s in ∠MON＝14×OP 2sin 245°sin (45°＋α)sin (75°＋α)＝1sin (45°＋α)sin (45°＋α＋30°)＝1sin (45°＋α)⎣⎡⎦⎤32sin (45°＋α)＋12cos (45°＋α)＝132sin 2(45°＋α)＋12sin (45°＋α)cos (45°＋α)＝134[1－cos (90°＋2α)]＋14sin (90°＋2α)＝134＋34sin 2α＋14cos 2α＝134＋12sin (2α＋30°).因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，s in(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN 的面积取到最小值，即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.46．(2013·高考辽宁卷)设向量a ＝(3s in x ，s in x )，b ＝(co s x ，s in x )，x ∈[0，π2]．(1)若|a |＝|b |，求x 的值； (2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 解：(1)由|a |2＝(3s in x )2＋s in 2x ＝4s in 2x ， |b |2＝co s 2x ＋s in 2x ＝1， 及|a |＝|b |，得4s in 2x ＝1.又x ∈[0，π2]，从而s in x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3s in x ·co s x ＋s in 2x＝32s in 2x －12co s 2x ＋12＝s in(2x －π6)＋12， 当x ＝π3∈[0，π2]时，s in(2x －π6)取最大值1.所以f (x )的最大值为32.47．(2013·高考山东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，co s B ＝79.(1)求a ，c 的值；(2)求s in(A －B )的值．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac co s B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋co s B )，又b ＝2，a ＋c ＝6，co s B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，s in B ＝1－cos 2B ＝429，由正弦定理得s in A ＝a sin B b ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角．所以co s A ＝1－sin 2A ＝13.因此s in(A －B )＝s in A co s B －co s As in B ＝10227.48．(2013·高考陕西卷)已知向量a ＝(co s x ，－12)，b ＝(3s in x ，co s 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在[0，π2]上的最大值和最小值.解：f (x )＝(co s x ，－12)·(3s in x ，co s 2x )＝3co s xs in x －12co s 2x ＝32s in 2x －12co s 2x＝co s π6s in 2x －s in π6co s 2x ＝s in(2x －π6)．(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，得当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12；当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f (π2)＝12，∴f (x )的最小值为－12.因此，f (x )在[0，π2]上的最大值是1，最小值是－12.49．(2013·高考安徽卷)已知函数f (x )＝4co s ωx ·s in(ωx ＋π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间[0，π2]上的单调性．解：(1)f (x )＝4co s ωx ·s in(ωx ＋π4)＝22s in ωx ·co s ωx ＋22co s 2ωx＝2(s in 2ωx ＋co s 2ωx )＋2＝2s in(2ωx ＋π4)＋ 2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2s in(2x ＋π4)＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间[0，π8]上单调递增，在区间(π8，π2]上单调递减．50．(2013·高考湖南卷)已知函数f (x )＝co s x ·co s (x －π3)．(1)求f (2π3)的值；(2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合．解：(1)f (2π3)＝co s 2π3·co s π3＝－co s π3·co s π3＝－(12)2＝－14.(2)f (x )＝co s x co s (x －π3)＝co s x ·(12co s x ＋32s in x )＝12co s 2x ＋32s in x co s x ＝14(1＋co s 2x )＋34s in 2x ＝12co s (2x －π3)＋14. f (x )<14等价于12co s (2x －π3)＋14<14，即co s (2x －π3)<0.于是2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π2，k ∈Z .解得k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z .故使f (x )<14成立的x 的取值集合为{x |k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z }．51．(2013·高考江西卷) 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知s in As in B ＋s in Bs in C ＋co s 2B ＝1.(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若C ＝2π3，求ab的值．解：(1)由已知得s in As in B ＋s in Bs in C ＝2s in 2B . 因为s in B ≠0，所以s in A ＋s in C ＝2s in B .由正弦定理得a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列．(2)由C ＝2π3，c ＝2b －a 及余弦定理得(2b －a )2＝a 2＋b 2＋ab ，即有5ab －3b 2＝0，所以a b ＝35.52．(2013·高考湖北卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是 a ，b ，c ，已知co s 2A －3co s (B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求s in Bs in C 的值． 解：(1)由co s 2A －3co s (B ＋C )＝1，得2co s 2A ＋3co s A －2＝0，即(2co s A －1)(co s A ＋2)＝0.解得co s A ＝12或co s A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bcs in A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc co s A ＝25＋16－20＝21， 故a ＝21.又由正弦定理得，s in Bs in C ＝b a s in A ·c a s in A ＝bc a 2·s in 2A ＝2021×34＝57.53．(2013·高考北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， (1)求co s A 的值； (2)求c 的值．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A.所以2sin A cos A sin A ＝263.故co s A ＝63.(2)由(1)知co s A ＝63，所以s in A ＝1－cos 2A ＝33.又因为∠B ＝2∠A ，所以co s B ＝2co s 2A －1＝13.所以s in B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，s in C ＝s in(A ＋B )＝s in A co s B ＋co s As in B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.54．(2013·高考天津卷)已知函数f (x )＝－2s in ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋6s in x co s x －2co s 2x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝－2s in 2x ·co s π4－2co s 2x ·s in π4＋3s in 2x －co s 2x ＝2s in 2x －2co s 2x ＝22s in ⎝⎛⎭⎫2x －π4.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π8上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤3π8，π2上是减函数，又f (0)＝－2，f ⎝⎛⎭⎫3π8＝22，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为22，最小值为－2. 55．(2013·高考四川卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且co s (A －B )co sB －s in(A －B )s in(A ＋C )＝－35.(1)求s in A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解：(1)由co s (A －B )co s B －s in(A －B )s in(A ＋C )＝－35，得co s (A －B )co s B －s in(A －B )s in B＝－35，则co s (A －B ＋B )＝－35，即co s A ＝－35.又0<A <π，则s in A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，所以s in B ＝b sin A a ＝22.由题意知a >b ，则A >B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|co s B ＝22.56．(2013·高考福建卷)已知函数f (x )＝s in(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的周期为π，图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0.将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )的图象．(1)求函数f (x )与g (x )的解析式．(2)是否存在x 0∈⎝⎛⎭⎫π6，π4，使得f (x 0)，g (x 0)，f (x 0)g (x 0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x 0的个数；若不存在，说明理由．(3)求实数a 与正整数n ，使得F (x )＝f (x )＋ag (x )在(0，n π)内恰有2 013个零点．解：法一：(1)由函数f (x )＝s in(ωx ＋φ)的周期为π，ω>0，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.又曲线y ＝f (x )的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，φ∈(0，π)，故f ⎝⎛⎭⎫π4＝s in ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝0，解得φ＝π2， 所以f (x )＝co s 2x .将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝co s x 的图象，再将y ＝co s x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )＝co s ⎝⎛⎭⎫x －π2的图象，所以g (x )＝s in x .(2)当x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π4时，12<s in x <22，0<co s 2x <12，所以s in x >co s 2x >s in x co s 2x . 问题转化为方程2co s 2x ＝s in x ＋s in x co s 2x 在⎝⎛⎭⎫π6，π4内是否有解．设G (x )＝s in x ＋s in x co s 2x －2co s 2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π4，则G ′(x )＝co s x ＋co s x co s 2x ＋2s in 2x (2－s in x )．因为x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π4，所以G ′(x )>0，G (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π4内单调递增．又G ⎝⎛⎭⎫π6＝－14<0，G ⎝⎛⎭⎫π4＝22>0，且函数G (x )的图象连续不断， 故可知函数G (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π4内存在唯一零点x 0，即存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫π6，π4满足题意． (3)依题意，F (x )＝as in x ＋co s 2x ， 令F (x )＝as in x ＋co s 2x ＝0.当s in x ＝0，即x ＝k π(k ∈Z )时，co s 2x ＝1，从而x ＝k π(k ∈Z )不是方程F (x )＝0的解，所以方程F (x )＝0等价于关于x 的方程a ＝－cos 2xsin x ，x ≠k π(k ∈Z )．现研究x ∈(0，π)∪(π，2π)时方程a ＝－cos 2xsin x的解的情况．令h (x )＝－cos 2xsin x，x ∈(0，π)∪(π，2π)，则问题转化为研究直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )，x ∈(0，π)∪(π，2π)的交点情况．h ′(x )＝cos x (2sin 2x ＋1)sin 2x，令h ′(x )＝0，得x ＝π2或x ＝3π2.当x 当x >0且x 当x <π且x 趋近于π时，h (x )趋向于－∞； 当x >π且x 趋近于π时，h (x )趋向于＋∞； 当x <2π且x 趋近于2π时，h (x )趋向于＋∞.故当a >1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π)内无交点，在(π，2π)内有2个交点； 当a <－1时，直线y ＝a 与直线y ＝h (x )在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内无交点； 当－1<a <1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内有2个交点． 由函数h (x )的周期性可知，当a ≠±1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，n π)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，n π)内恰有2 013个交点；又当a ＝1或a ＝－1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π)∪(π，2π)内有3个交点，由正弦函数的周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n ＝671×2＝1 342.综上，当a ＝1，n ＝1 342或a ＝－1，n ＝1 342时，函数F (x )＝f (x )＋ag (x )在(0，n π)内恰有2 013个零点．法二：(1)(2)同法一．(3)依题意，F (x )＝as in x ＋co s 2x ＝－2s in 2x ＋as in x ＋1. 现研究函数F (x )在(0,2π]上的零点的情况．设t ＝s in x ，p (t )＝－2t 2＋at ＋1(－1≤t ≤1)，则函数p (t )的图象是开口向下的抛物线． 又p (0)＝1>0，p (－1)＝－a －1，p (1)＝a －1.当a >1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(－1,0)(另一个零点t 2>1，舍去)，F (x )在(0,2π]上有两个零点x 1，x 2，且x 1，x 2∈(π，2π)；当a <－1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(0,1)(另一个零点t 2<－1，舍去)，F (x )在(0,2π]上有两个零点x 1，x 2，且x 1，x 2∈(0，π)；当－1<a <1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(－1,0)，另一个零点t 2∈(0,1)，F (x )在(0，π)和(π，2π)内分别有两个零点．由正弦函数的周期性可知，当a ≠±1时，函数F (x )在(0，n π)内总有偶数个零点，从而不存在正整数n 满足题意．当a ＝1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(－1,0)，另一个零点t 2＝1；当a ＝－1时，函数p (t )有一个零点t 1＝－1，另一个零点t 2∈(0,1)． 从而当a ＝1或a ＝－1时，函数F (x )在(0,2π]上有3个零点．由正弦函数的周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n ＝671×2＝1 342.综上，当a ＝1，n ＝1 342或a ＝－1，n ＝1 342时，函数F (x )＝f (x )＋ag (x )在(0，n π)内恰有2 013个零点．57．(2013·高考重庆卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc .(1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3co s B co s C 的最大值，并指出此时B 的值．解：(1)由余弦定理得co s A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因为0<A <π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得s in A ＝12.又由正弦定理及a ＝3得S ＝12abs in C ＝12·a sin B sin A·as in C ＝3s in Bs in C ， 因此，S ＋3co s B co s C ＝3(s in Bs in C ＋co s B co s C )＝3co s (B －C )．所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3co s B co s C 取最大值3.58．(2013·高考广东卷)已知函数f (x )＝2co s ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)若co s θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫θ－π6. 解：(1)因为f (x )＝2co s ⎝⎛⎭⎫x －π12， 所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝2co s ⎝⎛⎭⎫π3－π12＝2co s π4＝2×22＝1. (2)因为θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，co s θ＝35， 所以s in θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. 所以f ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝2co s ⎝⎛⎭⎫θ－π6－π12＝2co s ⎝⎛⎭⎫θ－π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫22cos θ＋22sin θ＝co s θ＋s in θ＝35－45＝－15.59．(2013·高考安徽卷) 设函数f (x )＝s in x ＋s in(x ＋π3)．(1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝s in x 的图象经过怎样的变化得到．解：(1)因为f (x )＝s in x ＋12s in x ＋32co s x ＝32s in x ＋32co s x ＝3s in(x ＋π6)，所以当x ＋π6＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝2k π－2π3(k ∈Z )时，f (x )取得最小值－ 3. 此时x 的取值集合为{x |x ＝2k π－2π3，k ∈Z }． (2)先将y ＝s in x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3s in x的图象；再将y ＝3s in x 的图象上所有的点向左平移π6个单位，得y ＝f (x )的图象 60．(2013·高考辽宁卷)设向量a ＝(3s in x ，s in x )，b ＝(co s x ，s in x )，x ∈[0，π2]． (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解：(1)由|a |2＝(3s in x )2＋s in 2x ＝4s in 2x ，|b |2＝co s 2x ＋s in 2x ＝1，及|a |＝|b |，得4s in 2x ＝1.又x ∈[0，π2]，从而s in x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3s in x ·co s x ＋s in 2x ＝32s in 2x －12co s 2x ＋12＝s in(2x －π6)＋12， 当x ＝π3∈[0，π2]时，s in(2x －π6)取最大值1. 所以f (x )的最大值为32. 61．(2013·高考湖南卷)已知函数f (x )＝s in(x －π6)＋co s (x －π3)，g (x )＝2s in 2x 2. (1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解：f (x )＝s in(x －π6)＋co s (x －π3) ＝32s in x －12co s x ＋12co s x ＋32s in x ＝3s in x ， g (x )＝2s in 2x 2＝1－co s x . (1)由f (α)＝335得s in α＝35. 又α是第一象限角，所以co s α>0.从而g (α)＝1－co s α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15. (2)f (x )≥g (x )等价于3s in x ≥1－co s x ，即3s in x ＋co s x ≥1，于是s in(x ＋π6)≥12， 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ， 即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z . 故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }． 62．(2013·高考江西卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知co s C ＋(co s A －3s in A )co s B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解：(1)由已知得－co s (A ＋B )＋co s A co s B －3s in A ·co s B ＝0，即有s in As in B －3s in A co s B ＝0.因为s in A ≠0，所以s in B － 3 co s B ＝0. 又co s B ≠0，所以tan B ＝ 3.又0<B <π，所以B ＝π3. (2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac co s B .因为a ＋c ＝1，co s B ＝12，有b 2＝3⎝⎛⎭⎫a －122＋14. 又0<a <1，于是有14≤b 2<1，即有12≤b <1. 63．(2013·高考重庆卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2.(1)求C ；(2)设co s A co s B ＝325，cos (α＋A )cos (α＋B )cos 2α＝25，求tan α的值． 解：(1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，由余弦定理有co s C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22. 故C ＝3π4. (2)由题意得，(sin αsin A －cos αcos A )(sin αsin B －cos αcos B )cos 2α＝25. 因此(tan αs in A －co s A )(tan αs in B －co s B )＝25. tan 2αs in As in B －tan α(s in A co s B ＋co s As in B )＋co s A ·co s B ＝25， tan 2αs in As in B －tan αs in(A ＋B )＋co s A co s B ＝25.① 因为C ＝3π4，所以A ＋B ＝π4，所以s in(A ＋B )＝22. 因为co s (A ＋B )＝co s A co s B －s in As in B ，即325－s in As in B ＝22. 解得s in As in B ＝325－22＝210. 由①得，tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.。

2013年高考解析分类汇编3：三角函数一、选择题1 ．（2013年高考大纲卷（文2））已知a 是第二象限角,5sin ,cos 13a a ==则 （ ）A ．1213-B ．513-C ．513D ．1213【答案】A【解析】因为135sin =α，α为第二象限角，所以1312cos -=α.故选A.2 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文9））函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为【答案】C ;【解析】函数()(1cos )sin f x x x =-为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B.02x π<<时，()0f x >，排除A. ()(1cos)sin1222f πππ=-=,排除D,选C.3 ．（2013年高考四川卷（文6））函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是（ ）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π 【答案】A【解析】43129312543ππππ==+=T ，所以π=T ，所以πωπ=2，2=ω，)42sin(2)(+=x x f ，所以πϕπk =+-⨯)3(2，所以32ππϕ+=k ，又22πϕπ<<-，所以3πϕ-=，选A.4 ．（2013年高考湖南（文5））在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A .3π B .4π C .6π D .12π【答案】A【解析】本题考查正弦定理的应用。

由正弦定理得得2sin sin A B B =,即sin A =，以为三角形为锐角ABC ∆，所以3A π=,选A.5 ．（2013年高考福建卷（文））将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象,若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ,则ϕ的值可以是 （ ）A ．35π B ．65π C ．2πD ．6π【答案】B【解析】本题考查的三角函数的图像的平移．把)23,0(P 代入)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ，解得3πθ=，所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ，把)23,0(P 代入得，πϕk =或6ππϕ-=k ，观察选项，故选B6 ．（2013年高考陕西卷（文9））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 （ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】A【解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以A A B C C B sin sin cos sin cos sin =+ 又A C B B C C B sin )sin(cos sin cos sin =+=+。

【金识源】（3年高考2年模拟1年原创）最新2013版高考数学专题04 三角函数（解析版）【考点定位】2014考纲解读和近几年考点分布2013考纲解读考纲原文：三角函数（1）任意角的概念、弧度制①了解任意角的概念. ②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.（2）三角函数①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. ②能利用单位圆中的三角函数线推导出，π±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出的图像，了解三角函数的周期性. ③理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴交点等）.理解正切函数在区间（）内的单调性. ④理解同角三角函数的基本关系式：⑤了解函数的物理意义；能画出的图像，了解参数对函数图像变化的影响. ⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.三角恒等变换（1）和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.（2）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.解三角形（1）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考纲解读：三角题目一般不难；三角函数重点考查化简求值、图像变换、恒等变换；解答题中单纯的三角变换问题已不多见，要重视解三角形，特别是实际应用问题。

解答题也要重视与其它知识的综合，如平面向量。

近几年考点分布分析近五年的全国高考试题，有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%，试题的内容主要有两方面;其一是考查三角函数的性质和图象变换;尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题;其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求植，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是高考命题的一个常考的基础性的题型。

三角函数一、三角函数的概念 1．角的概念的推广：（1）角：角可以看成平面内 （一条射线）绕着端点从一个位置 （旋转）到另一个位置所成的 （图形）。

旋转开始时的射线叫做角的 （始边），旋转终止时的射线叫做角的 （终边），旋转过的平面部分叫做角的 （内部），射线的端点叫做角的 （顶点）。

（2）角的分类： 角分为 、 、 。

（按角的旋转方向）（正角、负角、零角。

） （3）在直角坐标系内讨论角①象限角：使角α的顶点与原点重合，始边 （与x 轴正半轴重合），终边落在第几象限，则称α为 （第几象限角）；。

②象限界角：若角的终边 （落在坐标轴上时），就说这个角不属于任何限角，它叫做 （象限界角）。

③与角α终边相同的角的集合为 。

（4）弧度制①1弧度的角： （长度等于半径的弧所对的圆心角）叫做１弧度的角。

②规定：正角的弧度数是 （正数）；负数的弧度数是 （负数）；零角的弧度数是 （零）。

角α弧度数的绝对值=||α （lr），l 是以角α作为圆心角时所对的弧的长，r 是圆的半径。

③用弧度作为单位度量角的单位制叫做弧度制。

比值lr与所取的r 的大小 ，（无关）仅与 。

（角的大小有关）④弧度与角度的换算：=0360 弧度，=0180 弧度， １弧度≈0)180(π，（057.30）= （81570'）⑤弧长公式： 扇形面积公式：=扇形S 。

特殊角的三角函数值: α 6π 4π 3π2π65π 32π 43π π23ππ2sin cos tan2．任意角的三角函数定义（1）任意角的三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边上任意一点P 的坐标是),(y x ，它与原点的距离是r r (>0)，那么α的四个三角函数定义为：=αsin ， =αcos ， =αtan ，它们都是以角为 ，（自变量）以比值为 （函数值）的函数。

（2）三角函数在各个象限内的符号口诀是 .3．三角函数线：设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P ，过P 作垂直x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的 ，（正射影）由三角函数的定义知，点P 的坐标为 。

第 4 讲三角函数的定义与公式应用知识构造图知识梳理一、弧度制与随意角的三角函数1．角的观点：一条射线绕着端点旋转所成的图形．按其旋转方向分为：正角，零角，负角． 2．任一已知角的弧度数的绝对值l ； 180180 57.30 ；πrad ， 1radrπ3．三角函数定义：在平面直角坐标系中，P(x ，y) 为 终边上原点外的随意一点，rx 2y 2 ，的正弦： siny；余弦： cosx；正切： tany ；rrx4．同角三角函数的基本关系式：sin 2x cos 2x 1 ，sin xtan x ．cos x二、引诱公式角πk(kZ ) 与的三角函数值的关系：奇变偶不变，符看象限．（ k 的奇偶，函数名互变）2三、三角恒等变换1．两角和与差的三角函数正弦公式： S :sin() sin coscos sin ，S :sin()sin cos cos sin；余弦公式： C +:coscos cossin sin ，C :coscoscossinsin ；正切公式： T: tan()tan tan， T : tan(tan tan．1tan tan)tan tan12．二倍角公式sin22sin cos ； cos2cos2sin22cos211 2sin 2；tan 22tan．1 tan23．协助角公式asin x bcosx a2b2sin x，此中 tan b ．a 真题再现（ 2011 北京理 15）已知函数 f x 4cos xsin x π1．6⑴求 f x的最小正周期；⑵求 f x在区间π，π上的最大值和最小值．64【分析】⑴ f ( x) 的最小正周期为π．⑵ f ( x) 的最大值和最小值分别是2和1．小题热身1、若角2π的终边上有一点 4 , a ，则 a 的值是（）3A ． 3B．4 3C．4 3D ． 3 3【分析】 B ；2、（ 2013广东华师中山附中高三第五次月考理1）已知角的终边在第二象限，则的终边2所在的象限为（）A ．第一或第二象限B ．第一或第三象限C．第二或第四象限D．第一或第四象限【分析】 B3、两个圆心角同样的扇形的面积之比为1: 2 ，则两个扇形周长的比为（）A．1:2B．1: 4C．1: 2D．1:8【分析】 C4、若 tan 3 ，则sin22sin cos3cos2（）A ．1B ．3C ．1 D ． 35555 【分析】 B ．5、设 tan3，则 sin 2 的值为（）3A ．3B ．1 C ．1D ．32222【分析】 D6、3 sin 70（）2 cos 210A ．1B ．2 C ． 2D ．3222【分析】 C ；7、（ 2012 江西文）若sincos 1，则 tan2（ ）sincos2A ． 3B ．3C ．4D ．44 433【分析】 B8、（2012 山东理）若 π，π， sin 23 7，则 sin（）428A ．3B ．4C ．7D ．35544【分析】 D9、若 cos4 1 tan2（）是第三象限的角，则，51 tan2A ．1B ．1C ． 2D ． 222【分析】 A ；10、 （2011 北京西城二模文理 6）函数 y sin( x) (0) 的部分图象如右图所示， 设 P 是图象的最高点， A ，B 是图象与 x 轴的交点，则 tanAPB（）yC ．8D ．4A ．10B ． 8P77【分析】 BAOB x经典精讲4.1 随意角、弧度制与三角函数的观点考点 1：三角函数符与象限角【例1】⑴若 sin0且 tan0，则在第象限．⑵若 sin cos0 ，则角在第象限．⑶已知 sin cos1，则角在第象限．⑷若为第二象限角且cos cos，则在第 _______象限．222【分析】⑴ 三；⑵二或四；⑶ 二；⑷三；考点 2：弧长与扇形面积【例2】⑴已知长为3，宽为1的长方形木块，在桌面上无滑动地翻腾，翻腾到第四次时被一个小木板档住，如图，使木板底面与桌面成30的角，则点 A 走过的行程为_______， A 点走过的弧度所在的扇形的总面积为________．A A3A 13B CA2D30⑵已知扇形 AOB的周长为 l ，求其面积 S 与半径r之间的函数关系式 S r ，并求出其最大值．⑶如下图，某住所小区的平面图呈圆心角为120的扇形 AOB ．小区的两个进出口设置在点 A 及点 C 处，且小区里有一条平行于BO 的小道 CD ．已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10分钟，从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟，若这人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径 OA 的长（精准到 1 米）．CA BDO【分析】 ⑴9 2 3 ， 7 ；6 π 4 πll l2⑵ S r r r ，最大值为 l．2 , r,2 π 12 16⑶ 445米考点 3：同角三角函数的基本关系 【例3】 ⑴tan x 1sin 2 x ．tan x⑵若 cos 1，且是第四象限角，那么 sin， tan．5⑶tan1，则 sincos．2⑷ 若 cos 2sin5 ，则 tan．【分析】 ⑴ tanx ； ⑵ 2 6 ， 26；⑶2；⑷2．5 54.2 引诱公式考点 4：引诱公式【例4】 ⑴ 记 cos( 80 ) k ，那么 tan100（ ）A ．1 k 2B ． 1 k 2C ．kk kkk 2D ．k211 ⑵ 已知 cos31m ，则 sin239 tan149 的值是（）22A ．1 mB ． 1 m 2C ．m 1D ．1 m 2mm⑶已知 sin xπ 1，则 sin 5π xsin 2 π x_______ ．646 3sin πcos 2πtan3π πtan⑷已知是第三象限角，f2，化简sinπf；若 cos3π 1，则 f的值为．2 5【分析】 ⑴ B ；⑵ B ；⑶19；16⑷ cos ，2 6· 54.3 三角恒等变换考点 5：和差角公式【例5】 ⑴若 sinA ．7 2 10⑵tan 20⑶若 0cos24 ， 是第三象限的角，则 sinπ （）45B ．7 2C ．2D ． 21010 10tan 403 tan 20 tan 40 的值是 ____________．π， π 0 ， cos π1， cos π 23，则2 243 4 3．⑷ 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．① sin 2 13 cos 2 17 sin13 cos17 ② sin 2 15cos 2 15 sin15 cos15③ 218 2sin18 cos12sin cos 12④ sin 2 18 cos 2 48 sin 18 cos48⑤ sin 225cos 2 55 sin 25 cos55试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；并依据计算结果，将该同学的发现推行三角 恒等式：．【分析】 ⑴A ；⑵ 3 ；⑶5 39⑷ 34sin 2 x cos 2 30 x sin x cos 30 x34考点 6：倍角与半角公式 【例 6】 ⑴ 已知角的极点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线 y 2 x 上，则cos 2．⑵若 cos2 3， sin2 4 ，则角 的终边落在直线（）上．55A ． 24 x 7 y 0B ． 24x 7 y 0C ． 7x 24 y 0D ． 7 x 24 y 0⑶已知为第三象限的角，sin π5，则 tan π 2．254⑷ 已知 cos xπ 2， xπ，3π ．则 sin x ________， tan 2xπ__________ ．410244 ⑸ 设为锐角，若 cos4，则 sin 2π的值为．6512【分析】 ⑴ 3 ．5⑵ B ；⑶1；7⑷ 4, 315 17 ⑸17 250课后习题一、选择题1、 若 sin2 0 ，且 A ．第一象限角【分析】 C ；cos0 ，则角 是（B ．第二象限角）C ．第三象限角D ．第四象限角2、（北京东城一模文）已知 sin452，且090 ，则 cos 的值为（）10A ．5B ．12C ．3D ．413 13 5 5【分析】 D3、（ 2011 浙 江 理 6）若0＜＜π π π 1 ， cosπ 3， 则， -＜ ＜ 0， cos3423224c o s（）2A ．3B ．3 C ．5 3D ．63399【分析】 C4、（ 2012 上海文）若 S nsin πsin 2π (i)n π（ n N ），则在 S 1, S 2 ,..., S 100 中，正数的个7 77数是（ ）A ．16B ． 72C ． 86D ． 100【分析】 C二、填空题5、 若216 ， l 7π，则 r ________（此中扇形的圆心角为 ，弧长为 l ，半径为 r ）【分析】3566、已知为钝角， sin1，则 tan．3【分析】247、（ 2011 年全国卷）已知π, π ， sin5，则 tan2．25【分析】4 ．38、（ 2010 全国 I 卷）已知为第三象限的角，cos23，则 tan π 2．54【分析】 179、（ 2013 广东汕头高三上期末文12）已知： cosπ 3，则 sin 2a π cos5π的636 6值为 ________．【分析】23 ．3三、解答题10、 （ 2010 上海卷文理 19）已知 0πx ，化简：2lg cos x tan x 12sin 2xlg2 cos xπlg 1 sin 2 x ．24【分析】 原式0 ．11、 （ 2013 北京西城二模理15 文 16）如图，在直角坐标系 xOy 中，角的极点是原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且π，π．将角 的终边按逆时针方向旋转 π，交单位圆于6 23点 B ．记 A x 1 ， y 1 ， B x 2 ，y 2 ．⑴若 x11，求 x2；3⑵分别过 A ，B 作 x 轴的垂线，垂足挨次为 C ，D ．记△AOC的面积为 S1，△BOD的面积为 S2．若 S1 2S2，求角的值．【分析】⑴x21 2 6 ．6⑵π．4。

C 单元 三角函数C1 角的概念及任意的三角函数1．C1，C2，C6[2013·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，则tan 2α的值是________． 1.3 [解析] 方法一：由已知sin 2α＝－sin α，即2sin αc os α＝－sin α，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×（－3）1－3＝ 3. 方法二：同上得cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可得α＝2π3，所以tan 2α＝tan 4π3＝ 3. C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式2．C2[2013·全国卷] 已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C.513 D.12132．A [解析] cos α＝－1－sin 2 α＝－1213. 3．C2，C5[2013·广东卷] 已知函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫θ－π6. 3．解：C3 三角函数的图像与性质4．C3[2013·江苏卷] 函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 4．π [解析] 周期为T ＝2π2＝π. 5．C3[2013·辽宁卷] 设向量a ＝(3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x ∈0，π2. (1)若|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f(x)＝a·b ，求f(x)的最大值．5．解：(1)由|a|2＝(3sin x)2＋(sin x)2＝4sin 2 x ，|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1.及|a|＝|b|，得4sin 2 x ＝1.又x ∈0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f(x)＝a·b ＝3sin x·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin2x －π6＋12，当x ＝π3∈0，π2时，sin2x －π6取最大值1.所以f(x)的最大值为32. 6．C3[2013·山东卷] 函数y ＝xcos x ＋sin x 的图像大致为( )6．D [解析] ∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x ＋sin x)＝－f(x)，∴y ＝xcos x ＋sin x 为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B ，当x ＝π2，y ＝1>0，x ＝π，y ＝－π<0，故选D. 7．C3、C5、C9[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________．7．－2 55 解析 f(x)＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫15sin x －25cos x ，令cos α＝15，sin α＝25，则f(x)＝5sin(x －α)．当θ－α＝2kπ＋π2，即θ＝2kπ＋π2＋α(上述k 为整数)时，f(x)取得最大值，此时 cos θ＝－sin α＝－2 55.C4 函数 的图象与性质8．C4[2013·安徽卷] 设函数f(x)＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f(x)的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变化得到．8．解：(1)因为f(x)＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sinx ＋π6，所以当x ＋π6＝2kπ－π2(k ∈Z)，即x ＝2kπ－2π3(k ∈Z)时，f(x)取得最小值－ 3.此时x 的取值集合为(2)先将y ＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3sin x 的图像；再将y ＝3sin x 的图像上所有的点向左平移π6个单位，得y ＝f(x)的图像． 9．C4，C5，C6，C7[2013·北京卷] 已知函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f(α)＝22，求α的值． 9．解：(1)因为f(x)＝(2cos 2 x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x·sin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4， 所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f(α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16. 10．C4[2013·全国卷] 若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图1－1所示，则ω＝( )A ．5B ．4C ．3D ．210．B [解析] 根据对称性可得π4为已知函数的半个周期，所以2πω＝2×π4，解得ω＝4. 11．C4[2013·福建卷] 将函数f(x)＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图像．若f(x)，g(x)的图像都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2 D.π611．B [解析] g(x)＝f(x －φ)＝sin[2(x －φ)＋θ]，由sin θ＝32，－π2<θ<π2，得θ＝π3，又sin(θ－2φ)＝32，结合选项，知φ的一个值为5π6，故选B. 12．C4[2013·湖北卷] 将函数y ＝3cos x ＋sin x(x ∈R )的图像向左平移m(m ＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π612．B [解析] 结合选项，将函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像向左平移π6个单位得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2cos x ，它的图像关于y 轴对称，选B.13．C4[2013·江西卷] 设f(x)＝3sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f(x)|≤a ，则实数a 的取值范围是________．13．a≥2 [解析] |f(x)|max ＝2，则a≥2.14．C4[2013·新课标全国卷Ⅱ] 函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝________.14.5π6 [解析] 由已知，y ＝cos(2x ＋φ)的图像向右平移π2得到y ＝cos(2x －π＋φ)＝－cos(2x ＋φ)．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋56π，两个函数图像重合，故φ＝56π. 15．C4，C7[2013·山东卷] 设函数f(x)＝32－3sin 2 ωx －sin ωx cos ωx(ω>0)，且y ＝f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值． 15．解：(1)f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当π≤x≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1.[来源:学,科,网]因此－1≤f(x)≤32. 故f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 16．C4[2013·天津卷] 函数f(x)＝sin2x －π4在区间0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．0 16．B [解析] ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，当2x －π4＝－π4时，f(x)有最小值－22.17．C4[2013·四川卷] 函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2<φ<π2的部分图像如图1－3所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6 D ．4，π317．A [解析] 由半周期T 2＝11π12－5π12＝π2，可知周期T ＝π，从而ω＝2，于是f(x)＝2sin(2x ＋φ)．当x ＝5π12时，f ⎝⎛⎭⎫5π12＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1，于是5π6＋φ＝2kπ＋π2(k ∈Z)，因为－π2<φ<π2，取k ＝0，得φ＝－π3. 18．F3，C4[2013·陕西卷] 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x)，x ∈R ，设函数f(x)＝a·b . (1)求f (x)的最小正周期； (2)求f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 18．解： f(x)＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x)＝3cos xsin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(1)f(x)的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f(x)取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f(0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12，∴f(x)的最小值为－12.因此，f(x)在0，π2上最大值是1，最小值是－12. 19．C4[2013·浙江卷] 函数f(x)＝sin xcos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，219．A [解析] f(x)＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin2x ＋π3，则最小正周期为π；振幅为1，所以选择A. C5 两角和与差的正弦、余弦、正切20．C5[2013·江西卷] 若sin α2＝33，则cos α＝( ) A ．－23 B ．－13 C.13 D.2320．C [解析] cos α＝1－2sin 2 α2＝13，故选C. 21．C5，C8，F1[2013·四川卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A＋C)＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 21．解：(1)由cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35，得cos(A －B)cos B －s in(A －B)sin B ＝－35. 则cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35.又0<A<π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝b sin B， 所以，sin B ＝bsin A a ＝22.由题知a>b ，则A>B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c 2－2×5c×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22. 22．C5和C8[2013·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc.(1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos Bcos C 的最大值，并指出此时B 的值．22．解：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因为0<A<π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bcsin A ＝12·asin B sin A·asin C ＝3sin Bsin C ，因此，S ＋3cos Bcos C ＝3(sin Bsin C ＋cos Bcos C)＝3cos(B －C)．所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos Bcos C 取最大值3. C6 二倍角公式23．C6[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12 D.2323．A [解析] cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝16，故选A. 24．C6、E1和E3[2013·重庆卷] 设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．24.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π [解析] 根据二次函数的图像可得Δ＝(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2 α－cos 2α≤0，转化为2sin 2 α－(1－2sin 2 α)≤0，即4sin 2α≤1，即－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，故α∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π. C7 三角函数的求值、化简与证明25．C7、C8[2013·全国卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac.(1)求B ；(2)若sin Asin C ＝3－14，求C. 25．解：(1)因为(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos (A －C)＝cos Acos C ＋sin Asin C ＝cos Acos C －sin Asin C ＋2sin Asin C＝cos(A ＋C)＋2sinAsin C ＝12＋2×3－14＝32，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°. 26．C7，C8[2013·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知bsin A ＝3csin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值；(2)求sin2B －π3的值． 26．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝b sin B，可得bsin A ＝asin B ，又由bsin A ＝3csin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2a ccos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos 2B ＝2cos 2 B －1＝－19，sin 2B ＝2sin Bcos B ＝4 59.所以sin2B －π3＝sin 2Bcos π3－cos 2Bsin π3＝4 5＋318. C8 解三角形27．C8[2013·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.π3B.2π3C.3π4D.5π627．B [解析] 根据正弦定理，3sin A ＝5sin B 可化为3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，解得b ＝3a 5，c ＝7a 5.令a ＝5t(t>0)，则b ＝3t ，c ＝7t ，在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25t 2＋9t 2－49t 22×5t×3t ＝－12，所以C ＝2π3. 28．C8[2013·北京卷] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( ) A.15 B.59 C.53D ．1 28．B [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即313＝5sin B ，解得sin B ＝59. 29．C8，C9[2013·福建卷] 如图1－6，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝2 2，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．图1－629．解：(1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝2 2，由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋MP 2－2OP·MP·cos45°，得MP 2－4MP ＋3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3.(2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OP sin ∠OMP ，所以OM ＝OPsin 45°sin （45°＋α），同理ON ＝OPsin 45°sin （75°＋α）.故S △OMN ＝12OM·ON·sin ∠MON ＝14×OP 2sin 2 45°sin （45°＋α）sin （75°＋α）＝1sin （45°＋α）sin （45°＋α＋30°）＝1sin （45°＋α）⎣⎡⎦⎤32sin （45°＋α）＋12cos （45°＋α）＝132sin 2（45°＋α）＋12sin （45°＋α）cos （45°＋α）＝1 34[1－cos （90°＋2α）]＋14sin （90°＋2α） ＝1 34＋34sin 2α＋14cos 2α＝1 34＋12sin （2α＋30°）.因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN 的面积取到最小值．即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.30．C8[2013·湖北卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c.已知cos 2A －3cos(B ＋C)＝1.(1)求角A 的大小； (2)若△ABC 的面积S ＝5 3，b ＝5，求sinB sin C 的值．30．解：(1)由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc·32＝34bc ＝5 3，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21.又由正弦定理得sin Bsin C ＝b a sin A·c asin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57. 31．C8[2013·湖南卷] 在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b.若2asin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π3 B.π4 C.π6 D.π1231．A [解析]由正弦定理可得2sin Asin B ＝3sin B ．又sin B≠0，所以sin A ＝32.因为A 为锐角，故A ＝π3，选A . 32．C8[2013·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin Asin B ＋sin Bsin C ＋cos 2B ＝1.(1)求证：a ，b ，c 成等差数列； (2)若C ＝2π3，求a b的值． 32．解：(1)证明：由题意得sin Asin B ＋sin Bsin C ＝2sin 2 B ，因为sin B≠0，所以sin A ＋sin C ＝2sin B ，由正弦定理，有a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列．(2)由C ＝2π3，c ＝2b －a 及余弦定理得(2b －a)2＝a 2＋b 2＋ab ，即有5ab －3b 2＝0，所以a b ＝35. 33．C8[2013·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若asin Bco s C ＋csin Bcos A ＝12b ，且a>b ，则∠B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π633．A [解析] 由正弦定理可以得到sin Asin Bcos C ＋sin Csin Bcos A ＝12sin B ，所以可以得到sin Acos C ＋sin Ccos A ＝12，即sin(A ＋C)＝sin B ＝12，则∠B ＝π6，故选A. 34．C8[2013·新课标全国卷Ⅱ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．2 3＋2 B.3＋1 C ．2 3－2 D.3－134．B [解析]b sin B ＝c sin C ＝2 2.又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝712π，∴△ABC 的面积为12×2×2 2×sin 7π12＝22×6＋24＝3＋1. 35．C8[2013·山东卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3 B ．2 C. 2 D ．135．B [解析] 由正弦定理a sinA ＝b sinB ，即1sinA ＝3sinB ＝32sinAcosA ，解之得cosA ＝32，∴A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，∴c ＝a 2＋b 2＝()32＋12＝2.36．C8[2013·陕西卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcos C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定36．A [解析] 结合已知bco s C ＋ccos B ＝asin A ，所以由正弦定理可知sin B cos C ＋sin Ccos B ＝sin Asin A ，即sin (B ＋C)＝sin 2＝sin 2＝1，故A ＝90°，故三角形为直角三角形．37．H1，C8，E8[2013·四川卷] 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．37．(2，4) [解析] 在以A ，B ，C ，D 为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC ，BD 交点上时，到四个顶点的距离之和最小．AC 所在直线方程为y ＝2x ，BD 所在直线方程为y ＝－x ＋6，交点坐标为(2，4)，即为所求．38．C8[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．538．D [解析] 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得25cos 2A ＝1.因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝15.在△ABC 中，根据余弦定理，得49＝b 2＋36－12b×15，即b 2－125b －13＝0，解得b ＝5或－135(舍去)． 39．C8[2013·浙江卷] 在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asin B ＝ 3b.(1)求角A 的大小； (2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．39．解：(1)由2asin B ＝ 3b 及正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝ 32.因为A 是锐角，所以A ＝π3. (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得b 2＋c 2－bc ＝36.又b ＋c ＝8，所以bc ＝283. 由三角形面积公式S ＝12bcsin A ，得△ABC 的面积为7 33. C9 单元综合40．C9[2013·江苏卷] 如图1－4，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35. (1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？图1－440．解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45，从而sin B ＝sin[π－(A ＋C)] ＝sin(A ＋C)＝sin Acos C ＋cos Asin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t)m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．因为0≤t≤1 040130，即0≤t≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B，得 BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C.设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．41．C9[2013·江苏卷] 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．41．(1)由题|a －b|2＝2，即(a －b)2＝a 2－2a·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b ＝2，即a·b ＝0，故a ⊥b.(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6. 42．C9[2013·新课标全国卷Ⅰ] 函数f(x)＝(1－cos x)·sin x 在[－π，π]的图像大致为()图1－242．C [解析] 函数f(x)是奇函数，排除选项B.当x ∈[0，π]时f(x)≥0，排除选项A.对函数f(x)求导，得f ′(x)＝sin xsinx ＋(1－cos x)cos x ＝－2cos 2 x ＋cos x ＋1＝－(cos x －1)(2cos x ＋1)，当0<x<π时，若0<x<2π3，则f′(x)>0，若2π3<x<π，则f′(x)<0，即函数在(0，π)上的极大值点是x ＝2π3，故只能是选项C 中的图像． 43．[2013·成都一诊] 已知sin x ＋cos x sin x －cos x＝3，则tan x 的值是( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－243．C [解析] 由sin x ＋cos x sin x －cos x ＝3，可变形为sin x cos x ＋1sin x cos x－1＝3，即tan x ＋1tan x －1＝3，解得tan x ＝2 44．[2013·广安一诊] 已知曲线y ＝sin x x在点M(π，0)处的切线为l ，若θ为l 的倾斜角，则点P(sin θ，tan θ)在( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限44．A [解析] 由题意得y′＝⎝⎛⎭⎫sin x x ′＝（sin x ）′·x －x′·sin x x 2＝xcos x －sin x x 2，所以tan θ＝k l ＝y′|x ＝π＝－ππ2＝－1π<0.又θ为l 的倾斜角，则0<θ<π，所以sin θ>0，所以P(sin θ，tan θ)在第四象限．45．[2013·烟台期中] 函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的最大值与最小值之和等于( ) A ． 4π B. 8π3 C ． 2 π D. 4π345．C [解析] 由正弦函数的图像知(b －a)min ＝π6－⎝⎛⎭⎫－π2＝2π3，(b －a)max ＝π6－(－7π6)＝4π3，所以和为2π.故选C. 46．[2013·许昌模拟] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的单调递减区间为____________________． 46.⎣⎡⎦⎤3π8＋kπ，7π8＋kπ(k ∈Z) [解析] 由π2＋2kπ≤2x －π4≤3π2＋2kπ(k ∈Z)，得3π8＋kπ≤x≤7π8＋kπ(k ∈Z)，即函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8＋kπ，7π8＋kπ(k ∈Z)．47．[2013·吉林实验中学二模] 把函数y ＝sin x(x ∈R )的图像上所有点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈R C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R 47．C [解析] 将函数y ＝sin x(x ∈R)的图像上所有点向左平移π3个单位长度可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像，将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像上所有点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，故选C. 48．[2013·南昌调研] K13－3图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R )的部分图像，为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x(x ∈R )的图像上所有点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 48．A [解析] 由图像可知原函数的周期为T ＝56π＋π6＝π，ω＝2πT ＝2，代入x ＝－π6，由五点法得－π6×2＋φ＝0，解得φ＝π3，原函数的解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.将y ＝sin x 的图像向左平移π3个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，即可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，故选A.。