2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 8.2直线与圆

专 题8 直线与圆1. 【2014高考安徽卷文第6题】过点(3,1)P -的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π， 2. 【2014高考北京卷文第7题】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >， 若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.43.【2014高考大纲卷文第16题】直线l 1和l 2是圆222x y +=的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1,3），则l 1与l 2的交角的正切值等于 .4. 【2014高考福建卷文第6题】已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+= 5 . 【2014高考湖北卷文第17题】 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则（1）=b ；（2）=λ .6 .【2014高考湖南卷文第6题】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D - 7.【2014高考江苏卷第9题】在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .8. 【2014高考全国2卷文第12题】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）2,2⎡⎤-⎣⎦ （D ）22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9. 【2014高考山东卷文第14题】 圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为32，则圆C 的标准方程为 .10. 【2014高考四川卷文第9题】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）A 、[5,25]B 、[10,25]C 、[10,45]D 、[25,45]11. 【2014高考浙江卷文第5题】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8-12. 【2014高考重庆卷文第14题】已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.13. 【2014高考江苏第18题】如图：为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处，（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=. （1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？14. 【2014高考全国1文第20题】已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及P O ∆的面积（3）。

1、[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＝2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝02．[2014·浙江卷] 已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－83．[2014·安徽卷] 过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π34．[2014·北京卷] 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．45、[2014·福建卷] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．496．[2014·湖南卷] 若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－117．[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．8、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．9、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )A. [－1，1]B. ⎣⎡⎦⎤－12，12 C. [－2，2] D. ⎣⎡⎦⎤－22，2210．[2014·山东卷] 圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．11．[2014·重庆卷] 已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．1、D 2．B 3．D 4．B 5 C6．C [解析] 依题意可得C 1(0，0)，C 2(3，4)，则|C 1C 2|＝33＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m ，由r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，解得m ＝9.7、25 55 [解析] 由题意可得，圆心为(2，－1)，r ＝2，圆心到直线的距离d ＝|2－2－3|12＋22＝35 5，所以弦长为2r 2－d 2＝2 4－95＝2555 . 8、439、A10．(x －2)2＋(y －1)2＝411．0或6。

直线与圆考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中等，一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现解答题,多考查其几何图形的性质或方程知识．1．直线方程的五种形式（1）点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1（x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．（2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k,不包括y轴和平行于y轴的直线）．（3）两点式:错误!＝错误!（直线过点P1(x1,y1）,P2(x2，y2），且x1≠x2,y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．（4）截距式：错误!＋错误!＝1（a、b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线）．（5）一般式：Ax＋By＋C＝0（其中A，B不同时为0）．2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：(1）两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2。

(2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.提醒当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．3．三种距离公式(1）A（x1，y1),B(x2，y2）两点间的距离：|AB｜＝错误!。

(2)点到直线的距离:d＝错误!(其中点P（x0，y0），直线方程为：Ax＋By＋C＝0)．(3）两平行线间的距离：d＝错误!(其中两平行线方程分别为l1：Ax ＋By＋C1＝0.l2：Ax＋By＋C2＝0)．提醒应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y 的系数应对应相等．4．圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：（x－a)2＋(y－b)2＝r2。

（2）圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．5．直线与圆、圆与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．（2）圆与圆的位置关系：相交、相切、相离,代数判断法与几何判断法.考点一直线的方程及应用例1 （1)过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是（）A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0（2）若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2）x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )A. 2B.错误!C。

高考数学直线与圆归纳总结直线与圆是高中数学中重要的几何概念。

在高考数学中，直线与圆的相关知识点常常出现，并且在解决几何问题时扮演着重要的角色。

下面将对高考数学中涉及直线与圆的知识进行归纳总结。

一、直线与圆的位置关系1. 直线和圆可能有三种位置关系：相离、相切和相交。

a. 如果直线和圆没有交点，则称直线和圆相离。

b. 如果直线与圆有且仅有一个交点，则称直线与圆相切。

c. 如果直线与圆有两个交点，则称直线与圆相交。

2. 判断直线与圆的位置关系的方法：a. 判断直线与圆相离：计算直线到圆心的距离是否大于圆的半径。

b. 判断直线与圆相切：计算直线到圆心的距离等于圆的半径。

c. 判断直线与圆相交：计算直线到圆心的距离小于圆的半径。

二、直线与圆的方程1. 直线的一般方程：Ax + By + C = 0。

直线的一般方程表示直线上的所有点 (x, y)，满足方程左侧等式。

2. 圆的标准方程：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。

圆的标准方程表示平面上距离圆心 (a, b) 距离为半径 r 的点 (x, y)。

3. 直线与圆的方程应用：a. 直线与圆的相交问题可以通过联立直线和圆的方程求解。

b. 直线与圆的相切问题可以通过判断直线方程是否与圆方程有且仅有一个交点来确定。

三、直线与圆的性质1. 切线与半径的关系：切线与半径的夹角是直角，即切线垂直于半径。

2. 切线的性质：a. 切点：切线与圆的交点称为切点。

b. 切线长度：切点到圆心的距离等于半径的长度。

c. 外切线：若直线与圆内切于一点，则这条直线称为外切线。

d. 内切线：若直线切圆于两个相交点，则这条直线称为内切线。

3. 弦的性质：弦是圆上的两个点之间的线段。

弦的性质有：a. 弦长：弦长等于圆心到弦的距离的两倍。

b. 直径：直径是通过圆心的弦。

直径等于半径的两倍。

四、圆的位置关系1. 同心圆：具有共同圆心的多个圆称为同心圆。

2. 内切圆与外接圆：如果一个圆与另一个圆有且仅有一个切点，则这两个圆称为内切圆与外接圆。

2014高考数学知识点讲析:平面几何初步（直线与圆）2【专题测试】1．将直线绕原点逆时针旋转，再向右平移个单位，所得到的直线为（）A．B．C．D．2.直线mx+ny－1=0同时过第一．三．四象限的条件是：（）A．mn>0 B．mn<0 C．m>0，n<0 D．m<0，n<03.方程（1+4k）x－（2－3k）y+（2－14k）=0所确定的直线必经过点：（）A．（2，2） B．（－2，2） C．（－6，2） D．（）4.圆与直线没有．．公共点的充要条件是（）A．B．C．D．5.已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10 B．20 C．30 D．406.过直线y＝x上的一点作圆的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y＝x对称时，它们之间的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7.过点的直线l经过圆的圆心，则直线l的倾斜角大小为（）A．150°B．120°C．30°D．60°8.（08重庆卷3)圆O1:和圆O2: 的位置关系是（）A.相离B.相交C.外切D.内切9．（2008四川理科4文科6）将直线绕原点逆时针旋转，再向右平移个单位，所得到的直线为（）A．B．C．D．10．设直线与抛物线交于A、B两点，则AB的中点到轴的距离为（）。

A．4 B．3 C．2 D．111.（文）若直线mx＋ny＝4和⊙O∶没有交点，则过（m，n）的直线与椭圆的交点个数（）A．至多一个B．2个C．1个D．0个12.已知点在圆上运动，则代数式的最大值是（）A. B.－ C. D.－二.填空题13. 若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比的值为.14. 已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝，则＝.15.直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+c=0垂直相交于点(1，m)，则a= c=_______ m= .16.两条平行直线分别过点A(6，2)和B(-3，-1)，，各自绕A，B旋转，若这两条平行线距离最大时，两直线方程分别是.三. 解答题17. 一条光线经过点P(2，3)，射在直线l：x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1，1).(1)(2)求这条光线从P到Q的长度.18. 已知圆的方程是：x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0，其中a≠1，且a∈R。

高考文数直线与圆知识点在高考数学的考试中，直线与圆是非常重要的几何知识点。

掌握直线与圆的相关性质和计算方法，对于解题有着重要的指导意义。

本文将介绍一些高考中常见的直线与圆知识点，希望能帮助同学们更好地理解和学习。

1. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交、直线与圆相切和直线与圆相离。

当直线与圆相交时，可能会有两个交点或者一个交点。

这要根据直线与圆的位置关系来判断。

如果直线穿过圆的两个交点，则称为直线与圆相交于两点；如果直线与圆只有一个交点，则称为直线与圆相切。

当直线与圆相离时，直线与圆之间没有任何交点。

2. 直线与圆的性质（1）切线性质：过圆外一点，可作无数条与圆相切的直线，这些相切直线上的切点和该点到圆心的线段相等。

当直线与圆相切时，该直线被称为切线。

切线与圆相切于一个点，且切点到圆心的距离与切点到该点的距离相等。

（2）切线定理：切线所构成的角与该切点与圆心连线所构成的角相等。

当直线与圆相切时，切线与该切点与圆心连线所构成的角相等。

（3）幅度定理：圆心角的幅度是其所对应扇形的幅度的两倍。

圆心角是以圆心为顶点的角，其幅度定义为其所对应扇形的幅度的两倍。

（4）正切定理：切线与半径的正切相等。

当直线与圆相切时，该切线与切点处的半径的正切相等。

3. 直线与圆的计算方法（1）直线方程的计算方法：已知直线上的两个点，可以求出直线的方程。

设直线上两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则直线的方程可以表示为(y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1)。

（2）圆的方程的计算方法：已知圆心和半径，可以求出圆的方程。

设圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，则圆的方程可以表示为(x - h)² + (y - k)² = r²。

通过计算直线方程和圆的方程，可以解决很多与直线与圆有关的几何问题。

4. 直线与圆的应用在实际生活和工作中，直线与圆的知识点也有很多应用。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作专 题8 直线与圆1. 【2014高考安徽卷文第6题】过点(3,1)P -的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π，2. 【2014高考北京卷文第7题】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >， 若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.3. 【2014高考大纲卷文第16题】直线l 1和l 2是圆222x y +=的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1,3），则l 1与l 2的交角的正切值等于 .4.【2014高考福建卷文第6题】已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=5. 【2014高考湖北卷文第17题】 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则（1）=b ；（2）=λ .【答案】（1）21-；（2）21 【解析】试题分析：设),(y x M ，因为||||MA MB λ=，所以])2[()(22222y x y b x ++=+-λ，6.【2014高考湖南卷文第6题】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -7.【2014高考江苏卷第9题】在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .8. 【2014高考全国2卷文第12题】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）2,2⎡⎤-⎣⎦ （D ）22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.【2014高考四川卷文第9题】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）学科网A 、[5,25]B 、[10,25]C 、[10,45]D 、[25,45]11.【2014高考浙江卷文第5题】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8-【答案】B12.【2014高考重庆卷文第14题】已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且 BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.【答案】0或6【解析】试题分析：圆C 的标准方程为：()()22129x y ++-=,所以圆C 的圆心在()-12，，半径3r =又直线0x y a -+=与圆C 交于,A B 两点，且AC BC ⊥,所以圆心C 到直线0x y a -+=的距离322d =.所以，()221232211a --+=+-，整理得：33a -=解得：0a =或6a =. 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、点到直线的距离公式.13. 【2014高考江苏第18题】如图：为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处，（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=. （1）求新桥BC的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？yx14.【2014高考全国1文第20题】已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积。

【名师精讲】2014届高考数学一轮轻松突破 1.8.4直线与圆、圆与圆的位置关系 文一、选择题1．点M(x0，y0)是圆x2＋y2＝a2(a ＞0)内不为圆心的一点，则直线x0x ＋y0y ＝a2与该圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交解析：由已知得x20＋y20＜a2，且x20＋y20≠0，又∵圆心到直线的距离d ＝a2x20＋y20＞a ， ∴直线与圆相离．答案：C2．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )A ．4B ．4 2C ．8D ．8 2解析：依题意，可设圆心坐标为(a ，a)、半径为r ，其中r ＝a ＞0，因此圆方程是(x －a)2＋(y －a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a ＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝2×102－4×17＝8，选C.答案：C3．若a 、b 、c 是直角三角形的三边(c 为斜边)，则圆x2＋y2＝2截直线ax ＋by ＋c ＝0所得的弦长等于( )A ．1B ．2C. 3 D ．2 3答案：B4．若圆x2＋y2－4x －4y －10＝0上至多有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．(－∞，2－3]B ．[2＋3，＋∞)C ．(－∞，2－3]∪[2＋3，＋∞)D ．[2－3，2＋3]答案： C5．直线xsin θ＋ycos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2＋y2＝4的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案：B6．已知圆x2＋y2＋x －6y ＋3＝0上的两点P 、Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称，且OP ⊥OQ(O 为坐标原点)，则直线PQ 的方程为( )A ．y ＝－12x ＋32B ．y ＝－12x ＋32或y ＝－12x ＋54C ．y ＝－12x ＋14D ．y ＝－12x ＋12或y ＝－12x ＋54解析：由P 、Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称知直线kx －y ＋4＝0过已知圆的圆心(－12，3)，则k ＝2，直线PQ 的斜率kPQ ＝－12. 设直线PQ 的方程为y ＝－12x ＋b ，P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则P 、Q 两点的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－12x ＋b x2＋y2＋x －6y ＋3＝0的解，消去y 得54x2＋(4－b)x ＋b2－6b ＋3＝0，故x1＋x2＝－－5， ①x1x2＝－6b ＋5， ② 由OP ⊥OQ ⇒x1x2＋y1y2＝0⇒x1x2＋(－12x1＋b)·(－12x2＋b)＝0， 54x1x2－b 2(x1＋x2)＋b2＝0， 将①，②代入得b ＝32或b ＝54. 所以直线PQ 的方程为y ＝－12x ＋32或y ＝－12x ＋54.故选B. 答案：B二、填空题7．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是__________．解析：设圆心为(a,0)(a ＜0)，则|a|2＝2，解得a ＝－2， 故圆O 的方程为(x ＋2)2＋y2＝2.答案：(x ＋2)2＋y2＝28．过原点的直线与圆x2＋y2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．解析：设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0.由于直线kx －y ＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于12－22＝0，即圆心位于直线kx －y ＝0上．于是有k －2＝0，即k ＝2，因此所求直线方程是2x －y ＝0.答案：2x －y ＝09．若⊙O ：x2＋y2＝5与⊙O1：(x －m)2＋y2＝20(m ∈R)相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__________．解析：依题意得|OO1|＝5＋20＝5，且△OO1A 是直角三角形，S △OO1A ＝12·|AB|2·|OO1|＝12·|OA|·|AO1|，因此|AB|＝2·|OA|·|AO1||OO1|＝2×5×255＝4. 答案：4三、解答题10．根据下列条件求圆的方程：(1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上；(2)已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为4 3.解析：(1)显然，所求圆的圆心在OP 的垂直平分线上，OP 的垂直平分线方程为x ＋y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，2x ＋3y ＋1＝0，得圆心C 的坐标为(4，－3)．又因为圆的半径r ＝|OC|＝5，所以所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，①将P ，Q 点的坐标分别代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4D －2E ＋F ＝－20， ②D －3E －F ＝10. ③令x ＝0，由①得y2＋Ey ＋F ＝0，④由已知|y1－y2|＝43，其中y1、y2是方程④的两根，所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F ＝48.⑤解②③⑤组成的方程组，得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，或D ＝－10，E ＝－8，F ＝4，故所求圆的方程为x2＋y2－2x －12＝0，或x2＋y2－10x －8y ＋4＝0.11．已知m ∈R ，直线－(m2＋1)y ＝4m 和圆x2＋y2－8x ＋4y ＋16＝0.(1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？ 解析：(1)直线l 的方程可化为y ＝m m2＋1x －4m m2＋1， 直线l 的斜率k ＝m m2＋1， 因为|m|≤12(m2＋1)， 所以|k|＝|m|m2＋1≤12， 当且仅当|m|＝1时等号成立．所以，斜率k 的取值范围是[－12，12]． (2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k(x －4)，其中|k|≤12.圆C 的圆心为C(4，－2)，半径r ＝2.圆心C 到直线l 的距离为d ＝21＋k2. 由|k|≤12，得d≥45＞1， 即d ＞r 2. 从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3. 所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧． 12．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R.(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；(2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C ：x2＝4y 是否相切？说明理由．解析：方法一：(1)依题意，点P 的坐标为(0，m)．因为MP ⊥l ，所以0－m 2－0×1＝－1， 解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)． 从而圆的半径r ＝|MP|＝－＋－＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y2＝8.(2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ，所以直线l′的方程为y ＝－x －m.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x －m ，x2＝4y得x2＋4x ＋4m ＝0.Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．(1)当m ＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C 相切；(2)当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l′与抛物线C 相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C 不相切． 方法二：(1)设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y2＝r2.依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P(0，m)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋m2＝r2，|2－0＋m|2＝r ，解得⎩⎨⎧ m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y2＝8.(2)同方法一．。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作专 题8 直线与圆1. 【2014高考安徽卷文第6题】过点(3,1)P -的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π，2. 【2014高考北京卷文第7题】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >， 若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.3. 【2014高考大纲卷文第16题】直线l 1和l 2是圆222x y +=的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1,3），则l 1与l 2的交角的正切值等于 .4.【2014高考福建卷文第6题】已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=5. 【2014高考湖北卷文第17题】 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则（1）=b ；（2）=λ .【答案】（1）21-；（2）21 【解析】试题分析：设),(y x M ，因为||||MA MB λ=，所以])2[()(22222y x y b x ++=+-λ，6.【2014高考湖南卷文第6题】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -7.【2014高考江苏卷第9题】在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .8. 【2014高考全国2卷文第12题】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）2,2⎡⎤-⎣⎦ （D ）22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.【2014高考四川卷文第9题】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）学科网A 、[5,25]B 、[10,25]C 、[10,45]D 、[25,45]11.【2014高考浙江卷文第5题】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8-【答案】B12.【2014高考重庆卷文第14题】已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且 BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.【答案】0或6【解析】试题分析：圆C 的标准方程为：()()22129x y ++-=,所以圆C 的圆心在()-12，，半径3r =又直线0x y a -+=与圆C 交于,A B 两点，且AC BC ⊥,所以圆心C 到直线0x y a -+=的距离322d =.所以，()221232211a --+=+-，整理得：33a -=解得：0a =或6a =. 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、点到直线的距离公式.13. 【2014高考江苏第18题】如图：为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处，（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=. （1）求新桥BC的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？yx14.【2014高考全国1文第20题】已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积。

【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点32圆的方程、直线与圆的位置关系、空间直角坐标系加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标圆的方程、点与圆的关系；垂径定理的运用；圆的方程的求法；直线与圆的位置关系；圆的切线方程和弦长问题；圆的综合问题的解题思路；会建立右手直角坐标系，准确找到点的坐标.二.知识梳理1.空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；2.空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．3．圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆4. 圆的标准方程：圆心为，半径为，若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是5.圆的标准方程的两个基本要素：6.圆的一般方程：只有当时，①表示的曲线才是圆，把形如①的表示圆的方程称为圆的一般方程（1）当时，①表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；（2）当时，方程①只有实数解，，即只表示一个点（-，-）;（3）当时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形7.研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。

直线与圆的位置关系有三种，若，则 ;;8.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2， ① ② ③ ④ ⑤9.过圆上一点的切线方程：圆为切点的切线方程是。

当点在圆外时，表示切点弦的方程。

一般地，曲线为切点的切线方程是：。

当点在圆外时，表示切点弦的方程。

学案50 直线、圆的位置关系导学目标： 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．自主梳理1．直线与圆的位置关系位置关系有三种：________、________、________. 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：利用判别式Δ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x 或y 整理成一元二次方程后，计算判别式Δ(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系： d <r ⇔________，d ＝r ⇔________，d >r ⇔________. 2．圆的切线方程若圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，点P (x 0，y 0)在圆上，则过P 点且与圆x 2＋y 2＝r 2相切的切线方程为____________________________．注：点P 必须在圆x 2＋y 2＝r 2上．经过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上点P (x 0，y 0)的切线方程为________________________． 3．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法运用韦达定理及弦长公式 |AB |＝1＋k 2|x A －x B |＝(1＋k 2)[(x A ＋x B )2－4x A x B ].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． 4．圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系可分为五种：________、________、________、________、________. 判断圆与圆的位置关系常用方法： (几何法)设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径为r 1、r 2 (r 1≠r 2)，则|O 1O 2|>r 1＋r 2________；|O1O 2|＝r 1＋r 2______；|r 1－r 2|<|O 1O 2|<r 1＋r 2________；|O 1O 2|＝|r 1－r 2|________；0≤|O 1O 2|<|r 1－r 2．(2)已知两圆x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则与两圆共交点的圆系方程为________________________________________________________________，其中λ为λ≠－1的任意常数，因此圆系不包括第二个圆．当λ＝－1时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0. 自我检测 1．(2010·江西)直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪[)0，＋∞C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.⎣⎡⎦⎤－23，0 2．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝03．(2011·宁夏调研)圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．过点(0,1)的直线与x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为( ) A ．2 B ．2 3 C ．3 D ．2 55．(2011·聊城月考)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离探究点一 直线与圆的位置关系例1 已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程； (2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值时点P 的坐标．变式迁移1 从圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1外一点P (2,3)向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方程．探究点二 圆的弦长、中点弦问题 例2 (2011·汉沽模拟)已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0. (1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．变式迁移2已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线kx－y－4k＋3＝0.(1)证明：不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点；(2)求当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长．探究点三圆与圆的位置关系例3已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．变式迁移3已知⊙A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，⊙B：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0.当a，b变化时，若⊙B始终平分⊙A的周长，求：(1)⊙B的圆心B的轨迹方程；(2)⊙B的半径最小时圆的方程．探究点四 综合应用例4 已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问在圆C 上是否存在两点A 、B 关于直线y ＝kx －1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．变式迁移4 已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M 、N 两点．(1)求实数k 的取值范围；(2)若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值．1．求切线方程时，若知道切点，可直接利用公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径来求，但注意有两条．2．解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式．这就是通常所说的“几何法”和“代数法”． 3．判断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入手．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切或相交 C ．相交 D ．相切 2．(2011·珠海模拟)直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m 等于( ) A.3或－ 3 B ．－3或3 3C ．－33或 3D ．－33或3 3 3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 34．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离为1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6)C ．(4,6]D ．[4,6] 5．(2010·全国Ⅰ)已知圆O 的半径为1，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么P A →·PB →的最小值为( )A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2二、填空题(每小题4分，共12分)6．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 7．(2011·三明模拟)已知点A 是圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋4y －5＝0上任意一点，A 点关于直线x ＋2y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________.8．(2011·杭州高三调研)设直线3x ＋4y －5＝0与圆C 1：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，若圆C 2的圆心在线段AB 上，且圆C 2与圆C 1相切，切点在圆C 1的劣弧AB 上，则圆C 2的半径的最大值是________．三、解答题(共38分) 9．(12分)圆x 2＋y 2＝8内一点P (－1,2)，过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点．(1)当α＝3π4时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程．10．(12分)(2011·湛江模拟)自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．11．(14分)已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.求： (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．学案50 直线、圆的位置关系自主梳理1．相切 相交 相离 (1)相交 相切 相离 (2)相交 相切 相离 2.x 0x ＋y 0y ＝r 2 (x 0－a)(x －a)＋(y 0－b)(y －b)＝r 2 4.(1)相离 外切 相交 内切 内含 相离 外切 相交 内切 内含 (2)(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0自我检测1．A 2.D 3.B 4.B 5.B 课堂活动区例1 解题导引 (1)过点P 作圆的切线有三种类型： 当P 在圆外时，有2条切线； 当P 在圆上时，有1条切线； 当P 在圆内时，不存在．(2)利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类．(3)切线长的求法：过圆C 外一点P 作圆C 的切线，切点为M ，半径为R ， 则|PM|＝|PC|2－R 2.解 (1)将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ， 由|k ＋2|1＋k 2＝2，解得k ＝2±6，得y ＝(2±6)x.②当直线在两坐标轴上的截距不为零时， 设直线方程为x ＋y －a ＝0， 由|－1＋2－a|2＝2，得|a －1|＝2，即a ＝－1，或a ＝3.∴直线方程为x ＋y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0.综上，圆的切线方程为y ＝(2＋6)x ，或y ＝(2－6)x ， 或x ＋y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0. (2)由|PO|＝|PM|，得x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2， 整理得2x 1－4y 1＋3＝0.即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．当|PM|取最小值时，即OP 取得最小值，直线OP ⊥l ， ∴直线OP 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 变式迁移1 解 设圆切线方程为y －3＝k(x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0，∴1＝|k ＋2－2k|k 2＋1，∴k ＝34，另一条斜率不存在，方程为x ＝2.∴切线方程为x ＝2和3x －4y ＋6＝0.圆心C 为(1,1)，∴k PC ＝3－12－1＝2，∴过两切点的直线斜率为－12，又x ＝2与圆交于(2,1)，∴过切点的直线为x ＋2y －4＝0.例2 解题导引 (1)有关圆的弦长的求法：已知直线的斜率为k ，直线与圆C 相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，点C 到l 的距离为d ，圆的半径为r.方法一 代数法：弦长|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2；方法二 几何法：弦长|AB|＝2r 2－d 2. (2)有关弦的中点问题：圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系． 解 (1)方法一如图所示，|AB|＝43，取AB 的中点D ，连接CD ，则CD ⊥AB ，连接AC 、BC ， 则|AD|＝23，|AC|＝4，在Rt △ACD 中，可得|CD|＝2.当直线l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式，得|－2k －6＋5|k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝34.当k ＝34时，直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. ∴所求直线的方程为3x －4y ＋20＝0或x ＝0. 方法二 当直线l 的斜率存在时， 设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx ，即y ＝kx ＋5.联立直线与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5，x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0，消去y ，得(1＋k 2)x 2＋(4－2k)x －11＝0.① 设方程①的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k －41＋k2，x 1x 2＝－111＋k2.②由弦长公式，得1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝4 3.将②式代入，解得k ＝34，此时直线方程为3x －4y ＋20＝0.又k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x ＝0. ∴所求直线的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. (2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D(x ，y)，则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0， (x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0. 变式迁移2 (1)证明 由kx －y －4k ＋3＝0， 得(x －4)k －y ＋3＝0.∴直线kx －y －4k ＋3＝0过定点P(4,3)． 由x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0， 即(x －3)2＋(y －4)2＝4， 又(4－3)2＋(3－4)2＝2<4.∴直线和圆总有两个不同的交点．(2)解 k PC ＝3－44－3＝－1.可以证明与PC 垂直的直线被圆所截得的弦AB 最短，因此过P 点斜率为1的直线即为所求，其方程为y －3＝x －4，即x －y －1＝0.|PC|＝|3－4－1|2＝2，∴|AB|＝2|AC|2－|PC|2＝2 2.例3 解题导引 圆和圆的位置关系，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，有时得不到确切的结论，通常还是从圆心距d 与两圆半径和、差的关系入手．解 对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后 C 1：(x －m)2＋(y ＋2)2＝9； C 2：(x ＋1)2＋(y －m)2＝4. (1)如果C 1与C 2外切，则有(m ＋1)2＋(－2－m )2＝3＋2. (m ＋1)2＋(m ＋2)2＝25.m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2. (2)如果C 1与C 2内含，则有(m ＋1)2＋(m ＋2)2<3－2.(m ＋1)2＋(m ＋2)2<1，m 2＋3m ＋2<0， 得－2<m<－1，∴当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2外切； 当－2<m<－1时，圆C 1与圆C 2内含．变式迁移3 解 (1)两圆方程相减得公共弦方程 2(a ＋1)x ＋2(b ＋1)y －a 2－1＝0.① 依题意，公共弦应为⊙A 的直径，将(－1，－1)代入①得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0.②设圆B 的圆心为(x ，y)，∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ay ＝b ，∴其轨迹方程为x 2＋2x ＋2y ＋5＝0.(2)⊙B 方程可化为(x －a)2＋(y －b)2＝1＋b 2.由②得b ＝－12[(a ＋1)2＋4]≤－2，∴b 2≥4，b 2＋1≥5.当a ＝－1，b ＝－2时，⊙B 半径最小， ∴⊙B 方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5.例4 解题导引 这是一道探索存在性问题，应先假设存在圆上两点关于直线对称，由垂径定理可知圆心应在直线上，以AB 为直径的圆经过原点O ，应联想直径所对的圆周角为直角利用斜率或向量来解决．因此能否将问题合理地转换是解题的关键．解 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9， 圆心为C(1，－2)．假设在圆C 上存在两点A 、B ，则圆心C(1，－2)在直线y ＝kx －1上，即k ＝－1. 于是可知，k AB ＝1.设l AB ：y ＝x ＋b ，代入圆C 的方程， 整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0，b 2＋6b －9<0， 解得－3－32<b<－3＋3 2. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝12b 2＋2b －2.由OA ⊥OB ，知x 1x 2＋y 1y 2＝0， 也就是x 1x 2＋(x 1＋b)(x 2＋b)＝0， ∴2x 1x 2＋b(x 1＋x 2)＋b 2＝0，∴b 2＋4b －4－b 2－b ＋b 2＝0，化简得b 2＋3b －4＝0， 解得b ＝－4或b ＝1，均满足Δ>0.即直线AB 的方程为x －y －4＝0，或x －y ＋1＝0.变式迁移4 解 (1)方法一 ∵直线l 过点A(0,1)且斜率为k ， ∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1.将其代入圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1， 得(1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0.①由题意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k 2)×7>0， 得4－73<k<4＋73.方法二 同方法一得直线方程为y ＝kx ＋1， 即kx －y ＋1＝0.又圆心到直线距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|k 2＋1，∴d ＝|2k －2|k 2＋1<1，解得4－73<k<4＋73.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由①得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4＋4k 1＋k 2x 1x 2＝71＋k2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1 ＝4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12⇒k ＝1(经检验符合题意)，∴k ＝1.课后练习区1．C 2.C 3.D 4.A 5.D 6．1 7.－10 8.19．解 (1)当α＝3π4时，k AB ＝－1，直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0.(3分)故圆心(0,0)到AB 的距离d ＝|0＋0－1|2＝22， 从而弦长|AB|＝28－12＝30.(6分) (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝8，x 22＋y 22＝8，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 即－2(x 1－x 2)＋4(y 1－y 2)＝0，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.(10分)∴直线l 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.(12分) 10.解 已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切．(4分)设l 的方程为y －3＝k(x ＋3)，则 |5k ＋2＋3|12＋k 2＝1，(8分)即12k 2＋25k ＋12＝0.∴k 1＝－43，k 2＝－34.则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0. (12分)11．解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M(1,3)，N(5,6)， 半径分别为11和61－m.(1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m. 解得m ＝25＋1011.(4分)(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离，故只有61－m －11＝5. 解得m ＝25－1011.(8分)(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0.(12分)由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2× 112－⎣⎢⎡⎦⎥⎤|4＋3×3－23|42＋322＝27.(14分)。

2014届高三数学一轮复习精讲精练：8.4直线与圆的位置关系|OA|=|CB|=1 ∴|PO|2=|PC|2，从而2222)4()2(-+-=+b a b a化简得实数a 、b 间满足的等量关系为: 052=-+b a . 例3.已知圆C 与两坐标轴都相切，圆心C 到直线y x=-2. 求圆C 的方程.解：设圆C 半径为r ，由已知得：22a b r a a b ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩ ∴11a b r ==⎧⎨=⎩，或11a b r ==-⎧⎨=⎩∴圆C 方程为2222(1)(1)1,(1)(1)1x y x y -+-=+=或＋＋.例4.如图，在平面直角坐标系x O y 中，平行于x 轴且过点A(33，2)的入射光线l 1被直线l ：y =33x 反射．反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1, l 2都相切.(1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB+PQ 的最小值及此时点P 的坐标．xyO ABll解：（1）直线1:2,l y =设1232l l D D交于点，则（，）.l的倾斜角为30，260l ∴的倾斜角为，23.k ∴=∴反射光线2l所在的直线方程为23(23)y x -=-. 即340x y --=.已知圆C 与1l A 切于点，设C （a,b),圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上，38b a ∴=+ ,又圆心C 在过点A 且与1l 垂直的直线上，33a ∴=381b a ∴=+=-，圆C 的半径r=3，故所求圆C 的方程为22(33)(1)9x y -++=.（2）设点()0,4B -关于l 的对称点0(,)B x y '，则0000432243y x y x ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，得(23,2)B '-,固定点Q 可发现，当B P Q '、、共线时，PB PQ+最小，故PB PQ+的最小值为32213B C '-=-.此时由1332123333y x y x ⎧+-=⎪+⎪--⎨⎪=⎪⎩得31()2P . 【反馈练习】1.圆x 2+y 2-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为320x -+=2.已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆xy x222=+有两个例4交点时，其斜率k 的取值范围是22-（，3.设m>0,则直线2(x+y)+1+m=0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为相切或相离解析：圆心到直线的距离为d=21m+,圆半径为m . ∵d-r=21m +-m =21(m-2m +1)=21(m -1)2≥0,∴直线与圆的位置关系是相切或相离.4.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有个数为35.点P 从(1,0)出发,沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为)23,21(-6.若圆04122=-++mx y x 与直线1-=y 相切，且其圆心在y 轴的左侧，则m 的值为347.设P 为圆122=+y x上的动点，则点P 到直线1043=--y x 的距离的最小值为 1 .8.已知平面区域00240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩恰好被面积最小的圆222:()()C x a y b r -+-=及其内部所覆盖．(1)试求圆C 的方程.(2)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点,.A B 满足CA CB ⊥,求直线l 的方程.解:(1)由题意知此平面区域表示的是以(0,0),(4,0),(0,2)O P Q 构成的三角形及其内部,且△OPQ 是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是5,所以圆C 的方程是22(2)(1)5x y -+-=.(2)设直线l 的方程是:y x b =+. 因为CA CB ⊥,所以圆心C到直线l10,221011=+解得:15b=-±.所以直线l的方程是:15y x=-±.。

2014年高考一轮复习热点难点精精：8.2直线与圆一、圆的方程(-)圆的方程的求法※和关链接※a、b、r的方程组，求1. 确定圆的方程的主要方法是待定系数法。

如果选择标准方程，即剔关于a、b、r或直接求出圆心(a,b )和半径r.2. 如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方程。

圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法。

设庚圆的方程为：2+2+ + + =0( 2+ 2 一4 > 0),x y Dx Ey F D E F 由三个条件得到关于D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组确定D E、F的值。

3•以A(x ,y ),B(x ,y )为直径的两端点的圆的方程为(x xi)(x x2) (y yi)(y y2) 01 12 24.确定圆心位置的方法(1) 圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2) 圆心在任意一弦的垂直平分线上；(3) 两圆相切吋，切点与两圆圆心线注：在求圆的方程时，常用到圆的以下必修质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂直上；(3)两圆心或外切时，切点与两圆圆心三点线。

※例题解析※K例23(1)过点A(-2,4) >B(3,-1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程___________________(2)求经过点A(-2,-4),且与直线丨:x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程・【方法诠昭)可设圆的方程的一般形式，刑A(-2,4) > B(3,-1)两点在圆上及圆在x轴上截得的弦长等于6,得出三个方程，解方程组即可确定圆的方程；(2)可先设圆心坐标为C(a,b),由圆心与切点连线与切线垂直及圆心到圆上点的距离相等得出关于a、b的两个方程，解方程组即可得到圆心坐标，再求出半径，得出圆的方程；也可直接求出圆心坐标，再求出半径，得出圆的方程・- 3F +8)+( +)=(2 2a 2(b 4=—< 11 a = 一解得：i 2x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A 、B 两点的坐标代入得2D-4E_F = 20 3D_E + F = JO '再令y=O,得 x2+Dx+F 二0,设 x1> x2 是方程的两根，由 |x 1-x 2|=6 得，D2-4F=36,2D-4E - F = 20 I 由 < 3D — E + F =—40_，解得♦ 2D 4F 36D =-6=* 0因此，所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-8=0或 x2+y2-6x-8y=0.答案：x2+y2-2x-4y-8=0或 x2+y2-6x-8y=0(2)方法一：设圆心坐标为C(a,b),依题意得:半径r112(63"— 5、0+ 一 =2)2 2[D=-2 I , > E = -4 或=—解析：(1)设圆的方程为分线方程为；x+y-4=0；又因为圆心WB 且与直线丨垂直的思路解析：由条件可设圆的标准方程求解，也可设圆的一般方程，侃鸞鑛11125因此, 所求圆的方程为:方法二 依醪盛得一，If 心敢B 的垂專平分线上，而AB 的垂直平直线上，而此直线方程为:x y 4 0 f解方程组侍:3x y 18 011孑，以下同方法一 •II 例23求与x 轴相切，圆心査线3爲上，且被直线5截得的弦"7的圆的方程。

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：8.1直线与方程一、直线的倾斜角与斜率 （一）直线的倾斜角 ※相关链接※2．已知斜率k 的范围，求倾斜角α的范围时，若k 为正数，则α的范围为(0,)2π的子集，且k=tan α为增函数；若k 为负数，则α的范围为(,)2ππ的子集，且k=tan α为增函数。

若k 的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。

※例题解析※〖例〗已知直线的斜率k=-cos α(α∈R).求直线的倾斜角β的取值范围。

思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。

解答：1cos 1,1cos 1.11,1tan 1,30,443[0,],.44k ααβππββπππβπ-≤≤∴-≤-≤-≤≤∴-≤≤∴≤≤≤≤⎡⎫∴⎪⎢⎣⎭即或倾斜角的范围为 （二）直线的斜率及应用 ※相关链接※ 1、斜率公式：2121y y k x x -=-与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同；2、求斜率的一般方法：（1）已知直线上两点，根据斜率公式 212121()y y k x x x x -=≠-求斜率；（2）已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； 3、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。

注：斜率变化分成两段，090是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。

※例题解析※〖例〗设,,a b c 是互不相等的三个实数，如果333(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：0a b c ++=思路解析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。

解答：332233222222,,,.,()()0.,0.AB AC AB AC a b c A a b a ab b a b a c a ac c a cA B C a ac c a ac c b c a b c b c a b c ∴-==++--==++-∴=++=++-++=≠∴++=互不相等，过、B 、C 任两点的直线的斜率均存在。