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苏教版选修2《直线的方向向量与平面的法向量》说课稿一、教材分析1. 教材基本信息•书名：苏教版选修2《直线的方向向量与平面的法向量》•适用对象：高中数学选修2年级学生•出版社：苏教版2. 教材内容概述本章主要介绍了直线的方向向量与平面的法向量的概念和性质，并结合相关例题进行实际运用。
通过学习本章内容，学生能够掌握直线的方向向量与平面的法向量的计算方法，理解它们在解决实际问题中的应用。
3. 教材特点分析本章教材内容相对较为抽象，需要学生具备一定的空间想象能力。
因此，在教学中需要通过具体的例子和图示来帮助学生理解概念，并引导学生探索相关性质和定理的证明过程。
二、教学目标1. 知识与能力目标•掌握直线的方向向量与平面的法向量的定义和性质；•运用向量知识计算直线的方向向量和平面的法向量；•理解直线的方向向量平行于直线的位置向量，平面的法向量垂直于平面的法线；•能够运用直线的方向向量和平面的法向量解决实际问题。
2. 过程与方法目标•引导学生通过观察和分析，主动探索直线的方向向量和平面的法向量的性质；•鼓励学生思考和讨论，提高解决问题的能力；•组织学生进行小组合作学习，促进学生之间的互动和合作。
3. 情感态度与价值观目标•培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力；•提高学生对数学的兴趣和自信心；•培养学生的合作意识和团队精神。
三、教学重点和难点1. 教学重点•直线的方向向量和平面的法向量的计算方法；•直线的方向向量与直线的位置向量的关系；•平面的法向量与平面的法线的关系。
2. 教学难点•直线的方向向量与平面的法向量的概念抽象，需要学生具备空间想象能力；•平面的法向量与平面的法线的关系理解上可能存在困难。
四、教学内容和教学步骤1. 直线的方向向量（1）引入概念直线的方向向量定义：如果直线L上有两不同点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量AB称为直线L的方向向量。
简单来说，直线的方向向量就是连接直线上两个不同点的向量。
直线的方向向量和向量方程教案直线是二维几何中的基本概念之一，对于初学者来说，理解直线的方向向量和向量方程是非常重要的。
本文将介绍直线的方向向量和向量方程的概念，以及相关应用和教学方法。
一、直线的概念直线是二维几何中最简单的图形之一，具有无限延伸、方向唯一和任意两点确定等特点。
在二维平面上，一条直线可以用方程y = kx + b表示，其中k是直线的斜率，b是直线的截距。
二、直线的方向向量在向量中，我们可以通过一个有起点和终点的向量来表示直线的方向。
直线的方向向量即为直线上的任意向量。
一个直线上的任意两个点A和B可以构成一个向量AB，这个向量即为直线的方向向量。
如果直线上的点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），则向量AB的坐标为（x2-x1，y2-y1）。
这个坐标表示了向量的方向和大小。
三、直线的向量方程直线的向量方程是使用向量表示直线的方程。
一条直线的向量方程可以由直线上的一点和直线的方向向量表示。
假设直线上的一些点的坐标为（x0，y0），直线的方向向量为（a，b），则直线的向量方程可以表示为：(x,y)=(x0,y0)+k(a,b)其中k为实数，表示直线上的不同的点。
向量(x0，y0)表示直线上的一些点，k(a，b)表示以(x0，y0)为起点，方向为(a，b)的向量，表示直线上的所有点。
四、直线的教学方法1.理解直线的概念：首先要让学生理解直线的基本特点和定义，直观感受直线的无限延伸、方向唯一和任意两点确定等特点。
2.探索直线的方向向量：通过给出直线上的两个点，让学生尝试求取直线的方向向量，引导学生发现直线的方向向量有无数个的规律。
3.理解向量的加法和乘法：让学生通过向量的几何性质和运算规律，理解向量的加法和乘法。
4.导入直线的向量方程：引导学生通过已知直线上的一个点和直线的方向向量，构建直线的向量方程。
5.探索直线的特殊情况：让学生尝试通过直线的向量方程，推导得到直线的斜率截距等相关概念和表达方式，加深对直线的理解。
F 1
F 2 F 3
a
C'
B'
A'
D'D
A
B
C 四队中学教案纸 （备课人： 学科： ）
备课
时间
教学 课题
教时 计划
1
教学
课时
1
教学 目标 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件
重点难点 教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质；
教学难点：空间向量的线性运算及其性质
教学过程
一、创设情景
1、平面向量的概念及其运算法则；
2、物体的受力情况分析 二、建构数学
1．空间向量的概念：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）
b a AB OA OB
b a OB OA BA
)(R a OP
运算律：
⑴加法交换律：a b b a
⑵加法结合律：)()(c b a c b a
⑶数乘分配律：b a b a
)(
3．共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫
C B A
O
b b b
a
a。
四队中学教案纸 （备课人： 房以广 学科： 高一数学 ）备课时间3.23教学 课题教时计划1教学课时1教学 目标1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量；3．理解向0量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计算。
重点难点1．如何作两向量的和向量2．向量加法定义的理解教学过程（一）复习：1．向量的概念、表示法。
2．平行向量、相等向量的概念。
3．已知O 点是正六边形ABCDEF 的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（ ） （A ）OB 、CD 、FE 、CB （B ）AB 、CD 、FA 、DE （C ）FE 、AB 、CB 、OF （D ）AF 、AB 、OC 、OD（二）新课讲解：1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。
表示：AB BC AC +=．规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=．说明：①共线向量的加法： a b a b +ACEF ODB A B C1） 为起点的对角线AC 就是说明：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行：)()()(b c d b d a c +++=+++如图，一艘船从A 点出发以23/km h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速b ab a a A B D22=+||||AB BC2答：船实际航行速度的大小为=AC c =++c AB BC AC22a b c AC++==+=，|||222(23)8++就是向量AE，其模为8.答：向量a b c一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行。
四队中学教案纸 （备课人： 房以广 学科： 高一数学 ） 备课时间3.30 教学课题 教时 计划 2 教学 课时 1 教学目标1．理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系； 2．能正确地用坐标表示向量； 3．掌握向量的和、差、数乘的坐标表示法。
重点难点 1．平面向量的坐标运算 2．对平面向量的坐标表示的理解教学过程（一）复习：1．平面向量的基本定理：1212a e e λλ=+；2．在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)x y 表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？（二）新课讲解：1．向量的坐标表示的定义：分别选取与x 轴、y 轴方向相同的单位向量i ，j 作为基底，对于任一向量a ，a xi y j =+，（,x y R ∈），实数对(,)x y 叫向量a 的坐标，记作(,)a x y =．其中x 叫向量a 在x 轴上的坐标，y 叫向量a 在y 轴上的坐标。
说明：（1）对于a ，有且仅有一对实数(,)x y 与之对应； （2）相等的向量的坐标也相同； （3）(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)=；（4）从原点引出的向量OA 的坐标(,)x y 就是点A 的坐标。
O x22(,)B x y11(,)A x y yyx O (,)A x y j ia,x y y ++．同理：(,)a b x x y y -=--．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
．向量的坐标计算公式：归纳：（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标；已知(2,1)a =，求a b +，a b -，34a b +的坐标．b 3(2,1)4(3,4)6,19)=+-=．为已知 ABCD 的三个顶点的坐标分别为(-标。
(1,2)+，求x，y．-，b ybx⎧=-23x y。
四队中学教案纸 （备课人： 房以广 学科： 高一数学 ）备课时间 3.28教学 课题教时计划1教学 课时1教学 目标 1．了解平面向量基本定理的概念；2．通过定理用两个不共线向量来表示另一向量或将一个向量分解为两个向量； 3．能运用平面向量基本定理处理简单的几何问题。
重点难点1．平面向量基本定理的应用；2．平面向量基本定理的理解。
教学过程（一）复习引入：（1）向量的加法运算、向量共线定理；（2）设1e ，2e 是同一平面内的两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，下面我们 来研究向量a 与1e ，2e 的关系。
（二）新课讲解： 1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+．其中我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面所有向量的一组基底。
注：①1e ，2e 均非零向量； ②1e ，2e 不唯一（事先给定）； ③1λ，2λ唯一；④20λ=时，a 与1e 共线；10λ=时，a 与2e 共线；120λλ==时，0a =．2．例题分析：例1 已知向量1e ，2e （如图），求作向量12235e e -+． 1e2eAD a b +=+， DB AB AD a =-=1()a b +11a b =--，11()MB DB a b ==-，MC 11MD MB a b =-=-+．如图，OA 、OB 不共线，()AP t AB t R =∈，用OA 、OB 解：∵AP t AB =，OA AP OA AB =+==(OA t OB OA +-已知梯形ABCD 中，||2|AB DC =e =，用e ，e 表示DC 、BC 、MN ．∴1DC AB ==11e =1210e e + AC AB -11e e e e e =+-=- ）连接DN ，则DN CB =，B；（2）求ABC ∆与AMN ∆的面积之比。
江苏省灌南高级中学2014高二数学 直线的方向向量和平面的法向量学案（1） 问题导学 问题1.平面直线的方向向量是如何定义的？唯一吗？问题2.空间直线的方向向量的概念: (1)怎么确定空间直线的方向向量？ （2）空间直线的方向向量是唯一的吗？（3）一个空间向量能够表示几条空间直线的方向向量？问题3.尝试解决如图所示的空间直角坐标系中，棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，F 为棱BC 上的中点，（1）向量BC OC AA ,,'可以分别表示哪条空间直线的方向向量？（2）写出空间直线F A '的一个方向向量，并说明这个方向向量是否可以表示正方体的某条棱所在直线的方向.典型例题例1．已知长方体''''D C B A ABCD -的棱长3',4,2===AA AD AB ，以长方体的顶点'D 为坐标原点，过'D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.1.求下列直线的一个方向向量：')4(;')3(;')2(;')1(DB C A C B AA .2.求证：−−→−1BD 是平面1ACB 的法向量.例2．已知A(1,1,1),B(1,0,0),C(0,1，-1).(1) 写出直线BC 的一个方向向量。
(2) 设平面∂经过点A,且−→−BC是∂ 的法向量，M(x,y,z )是平面∂ 内任意一点，试写出x,y,z 满足的关系式。
当堂检测1.如图正方体ABCD -1111D C B A 中，E 、F 、G 分别是B B 1、AB 、BC 的中点．（1）证明：F D 1⊥EG ；（2）证明：F D 1⊥平面AEG ；2.已知所有棱长为a 的正三棱锥BCD A -，试建立空间直角坐标系，确定各棱所在直线的方向向量.。
A
B C
D E
F
x
y
z
M
N
四队中学教案纸
备课 时间
教学 课题
教时 计划
1
教学 课时
1
教学 目标
1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系； 2．能用向量方法判断空间线面平行与垂直关系。
重点难点 重点：用向量方法判断空间线面平行与垂直关系 教学难点：用向量方法判断空间线面平行与垂直关系
教学过程
一、复习引入
1、用向量研究空间线面关系，设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面21,αα的法向量分别为21,n n ，则由如下结论
平 行
垂直
1l 与2l 21//e e 21e e ⊥ 1l 与1α
11n e ⊥ 11//n e 1α与2α
21//n n
21n n ⊥
二、数学运用 1、例4 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE
BD ,上，且AE AN BD BM 3
1
,31==
,求证：//MN 平面CDE 证明：建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF 长分别为3a ,3b ,3c
),0,2(c a BM AB NA NM -=++=
又平面CDE 的一个法向量)0,3,0(b AD = 由0=⋅AD NM 得到AD NM ⊥ 因为MN 不在平面CDE 内 所以NM//平面CDE。
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学选修2-2教案：空间向量前的复习教学目标 复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备重点难点教学重点：平面向量的基础知识 教学难点：运用向量知识解决具体问题教学过程 一、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
二、基本运算1、向量的运算及其性质运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 向 量 的 加 法1平行四边形法则 2三角形法则 ),(2121y y x x b a ++=+ a b b a +=+ )()(c b a c b a ++=++ AC BC AB =+ 向 量 的 减 法三角形法则 ),(2121y y x x b a --=- )(b a b a -+=- BA AB -= AB OA OB =- 向 量 的 乘 法1a λ是一个向量,满足: 2λ>0时,a λ与a 同向; λ<0时,a λ与a 异向; λ=0时, a λ=0 ),(y x a λλλ= a a )()(λμμλ= a a a μλμλ+=+)( b a b a λλλ+=+)( a ∥b a b λ=⇔ 向 量 的 数 量 积b a •是一个数 10=a 或0=b 时, b a •=0 20≠a 且0≠b 时, ),cos(||||b a b a b a =• 2121y y x x b a +=• a b b a •=• )()()(b a b a b a •=•=•λλλc b c a c b a •+•=•+)( 22||a a =22||y x a += ||||||b a b a ≤• 2、平面向量基本定理：如果21,e e ρρ是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数21,λλ，使a =r； 注意)(21OB OA OP +=,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b r r 的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==ρρ，则//a b r r 的充要条件是： ；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件：⑴ a b ⊥r r 的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==ρρ，则a b ⊥r r 的充要条件是： ；（坐标表示）课外作业教学反思。
1e 2e aPOA'P'B'C'BA C四队中学教案纸备课时间教学课题 教时 计划1教学课时 1教学 目标 1．掌握及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。
重点难点教学重点：空间向量的基本定理及其推论 教学难点：空间向量的基本定理唯一性的理解教学过程一、创设情景平面向量基本定理的内容及其理解如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, ， 使a r2211e e 二、建构数学1、空间向量的基本定理如果三个向量321,,e e e 不共面，那么对空间任一向量p r，存在一个唯一的有序实数组),,(z y x ，使321e z e y e x p证明：（存在性）设321,,e e e 不共面， 过点O 作p OP e OC e OB e OA ,,,321过点P 作直线PP 平行于OC ，交平面OAB 于点P ；在平面OAB 内，过点P 作直线//,//P A OB P B OA ，分别与直线,OA OB 相交于点,A B ，于是，存在三个实数,,x y z ，使3/2/1/,,e z OC OC e y OB OB e x OA OA∴OP OA OB OC xOA yOB zOC u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r所以321e z e y e x p。
3．2.1 直线的方向向量与平面的法向量[学习目标] 1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.2.会用待定系数法求平面的法向量．知识点一 直线的方向向量直线l 上的向量e (e ≠0)以及与e 共线的非零向量叫做直线l 的方向向量． 知识点二 平面的法向量如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α，此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量． 思考1．平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？ 答案 相互平行．2．一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？ 答案 不惟一，它们相互平行，但不一定相等．题型一 直线的方向向量及其应用例1 设直线l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，直线l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________. 答案 2解析 由题意，得a ⊥b ，所以a·b ＝(1,2，－2)·(－2,3，m )＝－2＋6－2m ＝4－2m ＝0，所以m ＝2.反思与感悟 若l 1⊥l 2，则l 1与l 2的方向向量垂直；若l 1∥l 2，则l 1与l 2的方向向量平行． 跟踪训练1 若直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，则l 1与l 2的位置关系是________． 答案 垂直解析 因为a·b ＝(1，－3，－1)·(8,2,2)＝8－6－2＝0，所以a⊥b ，从而l 1⊥l 2. 题型二 求平面的法向量例2 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量．解 如图，以A 为原点，以AD →，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则A (0,0,0)，D (12，0,0)，C (1,1,0)，S (0,0,1)，则DC →＝(12，1,0)，DS →＝(－12，0,1)．易知向量AD →＝(12，0,0)是平面SAB 的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)． 反思与感悟 求平面法向量的方法与步骤：(1)求平面ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC →，AB →； (2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )； (3)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AB →＝0，并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系时，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．跟踪训练2 已知A (1,0,1)，B (0,1,1)，C (1,1,0)，求平面ABC 的一个法向量． 解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由题意知AB →＝(－1,1,0)，BC →＝(1,0，－1)． ∵n ⊥AB →，n ⊥BC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝－x ＋y ＝0，n ·BC →＝x －z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＝z .令x ＝1，则y ＝z ＝1.∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)． 题型三 证明平面的法向量例3 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点．求证：D 1F →是平面ADE 的法向量．证明 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，E (1,1，12)，F (0，12，0)，所以AD →＝(－1,0,0)，D 1F →＝(0，12，－1)，AE →＝(0,1，12)，所以AD →·D 1F →＝(－1,0,0)·(0，12，－1)＝0，AE →·D 1F →＝(0,1，12)·(0，12，－1)＝0，所以AD →⊥D 1F →，AE →⊥D 1F →，又AD ∩AE ＝A ， 所以D 1F →⊥平面ADE ，从而D 1F →是平面ADE 的法向量．反思与感悟 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直．跟踪训练3 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，在BC 、DD 1上是否存在点E 、F ，使B 1E →是平面ABF 的法向量？若存在，证明你的结论，并求出点E 、F 满足的条件；若不存在，请说明理由． 解建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,1)，B (1,1,1)，B 1(1,1,0)， 设F (0,0，h )，E (m,1,1)，则AB →＝(0,1,0)，B 1E →＝(m －1,0,1)，FA →＝(1,0,1－h )．∵AB →·B 1E →＝0，∴AB ⊥B 1E .若B 1E →是平面ABF 的法向量，则B 1E →·FA →＝m －1＋1－h ＝m －h ＝0，∴h ＝m .即E 、F 满足D 1F ＝CE 时，B 1E →是平面ABF 的法向量．故存在，且E 、F 满足D 1F ＝CE .利用向量法判断直线与平面平行例4 已知u 是平面α的一个法向量，a 是直线l 的一个方向向量，若u ＝(3,1,2)，a ＝(－2,2,2)，则l 与α的位置关系是________． 错解 因为u ·a ＝(3,1,2)·(－2,2,2) ＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0， 所以u ⊥a ，所以l ∥α.错因分析 错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别．实际上，本例中由向量u ⊥a 可得l ⊂α或l ∥α. 正解 因为u ·a ＝(3,1,2)·(－2,2,2) ＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0. 所以u ⊥a ，所以l ⊂α或l ∥α. 答案 l ⊂α或l ∥α1．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.答案 6152解析 由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝152.2．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的所有棱、面对角线、体对角线所对应的向量中，是平面A 1B 1CD 的法向量的是____________________． 答案 AD 1→或C 1B →或D 1A →或BC 1→3．若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是________． ①(0,1,2) ②(3,6,9)③(－1，－2,3)④(3,6,8)答案 ②解析 向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线．4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，则m ＝________.答案 －8解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为(1，12，2)，∴(2，m,1)·(1，12，2)＝0.∴2＋12m ＋2＝0.∴m ＝－8.5．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是________．(填序号) ①AB →；②AA 1→；③B 1B →；④A 1C 1→. 答案 ②③解析 ∵AA 1⊥平面ABC ，B 1B ⊥平面ABC ， ∴AA 1→与B 1B →可以作为平面ABC 的法向量．1.直线的方向向量的应用利用方向向量可以确定空间中的直线．若有直线l ，点A 为直线上的点，向量a 是l 的方向向量，在直线l 上取AB →＝a ，则对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使AP →＝tAB →，这样，点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置还可以具体地表示出直线l 上的任意点． 2．平面的法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：(1)设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．(3)根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0.(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量．。
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量学 习 目 标核 心 素 养 1.理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点)2.会用待定系数法求平面的法向量．(难点)3.平面法向量的设法．(易错点) 通过求直线的方向向量和平面的法向量，培养数学运算素养.1．直线的方向向量我们把直线l 上的向量e (e ≠0)以及与e 共线的非零向量叫做直线l 的方向向量．2．平面的法向量如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α.此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量．思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？[提示] 不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量．1．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A ．(1,2,3)B ．(1,3,2)C ．(2,1,3)D ．(3,2,1) A [AB →＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．]2．已知直线l 过A (3,2,1)，B (2,2,2)，且a ＝(2,0，x )是直线l 的一个方向向量，则x ＝________.[解析] AB →＝(－1,0,1)，由题意知，a ∥AB →，则存在实数λ，使a ＝λAB →，即(2,0，x )＝λ(－1,0,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝－λ，x ＝λ，∴λ＝－2，x ＝－2.[答案] －23．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交C [因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .]4．已知AB →＝(2,2,1)，AC →＝(4,5,3)，则平面ABC 的一个单位法向量可表示为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23，23 [设平面的法向量为a ＝(x ，y ，z )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ AB →·a ＝0，AC →·a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0.令z ＝1，得y ＝－1，x ＝12，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，1 故平面ABC 的一个单位法向量为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23，23.]直线的方向向量及其应用【例1】 (1)已知直线l 1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,8)，且l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.(2)在空间直角坐标系中，已知点A (2,0,1)，B (2,6,3)，P 是直线AB 上一点，且满足AP ∶PB ＝3∶2，则直线AB 的一个方向向量为________，点P 的坐标为________．[思路探究] (1)利用两直线的方向向量共线求解；(2)AB →即是直线AB 的一个方向向量，利用AP →＝35AB →求点P 的坐标． (1)－14 6 (2)(0,6,2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，185，115 [(1)由l 1∥l 2可知，向量(－7,3,4)和(x ，y,8)共线，所以x －7＝y 3＝84，解得x ＝－14，y ＝6. (2)AB →＝(0,6,2)是直线AB 的一个方向向量．由AP ∶PB ＝3∶2，得AP →＝35AB →. 设P (x ，y ，z )，则(x －2，y ，z －1)＝35(0,6,2)， 即x －2＝0，y ＝185，z －1＝2·35， 解得x ＝2，y ＝185，z ＝115， 所以直线AB 的一个方向向量是(0,6,2)，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，185，115.]1．应注意直线AB 的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置． 1．若直线l 1的方向向量a ＝(1,3x ，－2)，直线l 2的方向向量b ＝(－2,2y,5)，且l 1⊥l 2，则xy ＝________.2[因为l 1⊥l 2，所以a ·b ＝0，即－2＋6xy －10＝0，所以xy ＝2.]求平面的法向量【例2】 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SBA 与平面SCD 的法向量．[思路探究] 因为与平面垂直的向量为平面的法向量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用直接法求出；若没有，设出法向量n ，再利用待定系数法求解．[解] ∵AD ，AB ，AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，以AD →，AB →，AS →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SBA 的法向量， 设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，有n ⊥DC →，n ⊥DS →，则n ·DC →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12. n ·DS →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，12.1．利用待定系数法求平面法向量的步骤2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个取特殊值，得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n ＝(x ，y ，z )的某个坐标为某特定值时，一定要注意这个坐标不为0.2．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BB 1，C 1D 1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN 的一个法向量．[解] 以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)．设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AN →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，1. 设平面AMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AM →＝y ＋12z ＝0，n ·AN →＝－x ＋12y ＋z ＝0，令y ＝2，∴x ＝－3，z ＝－4，∴n ＝(－3,2，－4).方向向量与法向量的特征[1．如何正确地判断直线的方向向量？ [提示] (1)在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备以下两个方面的限制：①不能为零向量；②与该直线平行或重合．(2)与直线l 平行的任意非零向量a 都是直线的方向向量，且直线l 的方向向量有无数个．(3)给定空间中任意一点A 和非零向量a ，就可以确定惟一一条过点A 且平行于向量a 的直线．(4)表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反．2．过空间任意一定点P ，能否作出平面α的法向量？能作几条？[提示] 由于过空间任意一点P ，有且仅有一条直线PO 垂直于平面α，因此，过空间任意一点都能作出平面α的法向量．由于直线PO 的方向向量有无数个，因此，过点P 的平面α的法向量也有无数个．3．求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？[提示] 根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了．4．依据待定系数法求出的平面法向量惟一吗？[提示] 不惟一．利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组⎩⎪⎨⎪⎧ n ·a ＝0，n ·b ＝0有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，利用赋值法，只要给x ，y ，z 中的一个赋特殊值(常赋值－1,0,1)即可确定一个法向量，赋值不同，所得法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量．5．利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关系？[提示] (1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)．【例3】 根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系．(1)平面α，β的法向量分别是u ＝(－1,1，－2)，ν＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12； (2)直线l 的方向向量a ＝(－6,8,4)，平面α的法向量u ＝()2，2，－1.[思路探究] 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系．[解] (1)∵u ＝(－1,1，－2)，ν＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12， ∴u ·ν＝(－1,1，－2)·⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12＝－3＋2＋1＝0， ∴u ⊥ν，故α⊥β.(2)∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)，∴u ·a ＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0，∴u ⊥a ，故l ⊂α或l ∥α.3．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系．(1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)；(2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9，0)．[解] (1)∵a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，∴a ·b ＝8－6－2＝0，∴a ⊥b ，即l 1⊥l 2.(2)∵u ＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9,0)，∴ν＝－3u ，∴ν∥u ，即α∥β.引入直线的方向向量和平面的法向量这两个概念之后，使空间点线面的位置关系数量化，也就是说，每一种特殊的点、线、面位置关系(如线线平行、垂直，线面平行、垂直，面面平行、垂直)都对应着一个重要的等量关系．如何巧妙地利用这些等量关系，正是解题的关键所在．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量AB →是直线l 的一个方向向量，则向量BA →也是l 的一个方向向量．( )(2)若向量a 是直线l 的一个方向向量，则向量k a 也是直线l 的一个方向向量．( )(3)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( )(4)一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．( )(5)一个平面的法向量就是这个平面的垂线的方向向量．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．已知直线l 过A (3,2,1)，B (2,2,2)，且a ＝(2,0，x )是直线l 的一个方向向量，则x ＝( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3B [AB →＝(－1,0,1)，由题意知，a ∥AB →，则存在实数λ，使a ＝λAB →，即(2,0，x )＝λ(－1,0,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝－λ，x ＝λ，∴λ＝－2，x ＝－2.]3．已知A (1,0,0)，B (1,0,1)，C (0,1,1)，则平面ABC 的法向量为________． (1,1,0)(答案不唯一) [设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝z ＝0，n ·AC →＝－x ＋y ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝0，即n ＝(1,1,0)．则平面ABC 的一个法向量为(1,1,0)．]4．如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝BB 1＝1，求平面ABC 1的一个法向量．[解] 法一：设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y,1)．∵B (0,0,0)，A (0,1,0)，C 1(1,0,1)，∴BA →＝(0,1,0)，BC 1→＝(1,0,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝y ＝0，n ·BC 1→＝x ＋1＝0，解得x ＝－1，y ＝0，∴n ＝(－1,0,1)． 法二：设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵B (0,0,0)，A (0,1,0)，C 1(1,0,1)，∴BA →＝(0,1,0)，BC 1→＝(1,0,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BA →＝y ＝0，n ·BC 1→＝x ＋z ＝0，令z ＝1，则x ＝－1，y ＝0，∴n ＝(－1,0,1)．。
