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张家口市、沧州市2019届高三3月模拟联考数学试卷（理科）（A 卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ＝{x |x ≤－12}，B ＝{x |1＜12x（）＜2}，则（∁R A ）∩B ＝（ ）A ．{x |﹣12≤x ＜0} B ．{x |﹣12＜x ＜0} C ．{x |﹣1≤x ＜－12} D ．{x |﹣1＜x ＜－12}【答案】B【解析】12x（）＝2x -，所以，对于集合B ，有：01222x -<<， 所以，B ＝{x |﹣1＜x ＜0}，又∴；所以，（∁R A ）∩B ＝{x |﹣12＜x ＜0}，故选：B ． 2．复数z ＝，则|z |＝（ ）A ．B ．5C ．D ．【答案】A 【解析】z ＝＝＝＝＝﹣2+i ，则|z |＝＝，故选：A ．3．随着时代的发展，移动通讯技术的进步，各种智能手机不断更新换代，给人们的生活带来了巨大的便利，但与此同时，长时间低头看手机对人的身体如颈椎、眼睛等会造成一定的损害，“低头族”由此而来．为了了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包含老、中、青三个年龄段的1500人中采用分层抽样的方法抽取50人进行调查，已知这50人里老、中、青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里老年人人数为（ ）A ．490B ．390C ．1110D ．410【答案】B【解析】由图可知这50人里老、中、青三个年龄段的分配比例为26%：34%：40%，则这个群体里老年人人数为26%×1500＝390，故选：B．4．已知直线a，b和平面α，a⊂α，则b⊄α是b与a异面的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当b⊄α，则a与b可能相交，即b与a异面不一定成立，即充分性不成立，若b与a异面，则b⊄α成立，即必要性成立，即b⊄α是b与a异面的必要不充分条件，故选：B．5．若变量x，y满足，则使z＝x+2y取得最小值的最优解为（）A．（﹣3，﹣1）B．（）C．（2，﹣1）D．（）【答案】C【解析】作出变量x，y满足对应的平面区域如图：由z＝x+2y得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+由图象可知当直线y＝﹣x+经过点A时，直线y＝﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得A（2，﹣1），则z＝x+2y取得最小值的最优解为（2，﹣1），故选：C．6．在△ABC中，O为△ABC的重心，若＝+，则λ﹣2μ＝（）A．B．﹣1 C．D．【答案】D【解析】设AC的中点为D，因为O为△ABC的重心，所以＝＝＝+＝﹣，所以，μ＝，所以λ﹣2μ＝﹣，故选：D．7．已知函数f（x）＝2sin（）cos（）（ω＞0），且满足f（x+）＝﹣f（x），把f（x）的图象上各点向左平移个单位长度得到函数g（x），则g（x）的一条对称轴为（）A．x＝0 B．x＝C．x＝D．x＝【答案】D【解析】由f（x+）＝﹣f（x），得f（x+π）＝﹣f（x+）＝f（x），即函数的周期是π，且函数关于（，0）对称，f（x）＝2sin（）cos（）＝sin（2ωx﹣），T＝＝π，即ω＝1，则f（x）＝sin（2x﹣），将f（x）的图象上各点向左平移个单位长度得到函数g（x），即g（x）＝sin[2（x+）﹣]＝sin2x，由2x＝kπ+，k∈Z，即x＝+，当k＝1时，对称轴为x＝+＝，故选：D．8．已知函数f（x）＝（）|x|﹣x，且满足f（2a﹣1）＞f（3），则a的取值范围为（）A．a＜﹣1或a＞2 B．﹣1＜a＜2 C．a＞2 D．a＜2【答案】B【解析】f（x）＝（）|x|﹣x＝（）|x|﹣，则f（﹣x）＝f（x），即函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）＝（）x﹣x为减函数，则不等式f（2a﹣1）＞f（3），等价为f（|2a﹣1|）＞f（3），即|2a﹣1|＜3，得﹣3＜2a﹣1＜3，得﹣1＜a＜2，故选：B．9．已知点F（﹣c，0）为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，圆O：x2+y2＝c2与双曲线的两条渐近线在第一、二象限分别交于A，B两点．若AF⊥OB，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【答案】C【解析】点F（﹣c，0）为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，圆O：x2+y2＝c2与双曲线的两条渐近线在第一、二象限分别交于A，B两点．若AF⊥OB，如图：可得渐近线的倾斜角为60°或120°，可得＝，b2＝3a2，所以c2＝4a2，可得e＝＝2．故选：C．10．中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆．七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，…设内一衡直径为a1，衡间距为，则次二衡直径为a2＝a1+d，次三衡直径为a1+2d，…，执行如图程序框图，则输出的T i中最大的一个数为（）A．T1B．T2C．T3D．T4【答案】D【解析】模拟程序的运行，可得i＝1时，T1＝a1a7＝a1（a1+6d）＝a12+6da1，i＝2时，T2＝a2a6＝（a1+d）（a1+5d）＝a12+6da1+5d2，i＝3时，T3＝a3a5＝（a1+2d）（a1+4d）＝a12+6da1+8d2，i＝4时，T4＝a4a4＝（a1+3d）2＝a12+6da1+9d2，可得：T4＞T3＞T2＞T1．故选：D．11．在锐角三角形ABC中，cos（A+）＝﹣，AB＝7，AC＝2，则＝（）A．﹣40 B．40 C．﹣34 D．34【解析】由cos（A+）＝﹣得：cos A cos﹣sin A sin＝﹣，得cos A＝sin A﹣，两边平方得：cos2A＝sin2A﹣sin A+，整理得sin2A﹣sin A+﹣＝0，解得sin A＝或sin A＝﹣（舍去），又A为锐角，∴cos A＝，∴BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos A＝72+（2）2﹣2××＝43，∴BC＝，∴cos B＝＝＝，∴•＝AB•BC•cos（π﹣B）＝7××（﹣）＝﹣40．故选：A．12．某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A．8πB．9πC．D．π【答案】C【解析】作出该棱锥的实物图如下图所示，该几何体为三棱锥P﹣ABC，且△ABC为等腰直角三角形，腰长为BC＝2，如下图所示，过点P作PD⊥平面ABC，则AD⊥CD，以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyx，则点A（1，0，0）、B（2，1，0）、C（0，1，0）、P（0，0，2），设球心的坐标为（x，y，z），则，解得，所以，该棱锥的外接球的半径为，因此，该棱锥的外接球的表面积为．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止，每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p＝0.4．【解析】每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止，每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p，∵该同学本次测试合格的概率为0.784，∴p+（1﹣p）p+（1﹣p）2p＝0.784，解得p＝0.4．故答案为：0.4．14．在（）6的展开式中x3的系数为﹣．【解析】（）6的展开式的通项公式为T r+1＝••（﹣1）r•x12﹣3r，令12﹣3r＝3，求得r＝3，故展开式中x3的系数为••（﹣1）＝﹣，故答案为：﹣．15．点F为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，E为其准线上一点，且EF＝．若过焦点F且与EF垂直的直线交抛物线于A，B两点，且＝3，则p＝1．【解析】设|BF|＝m．∵过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝3|BF|，O为坐标原点，∴|AF|＝3m．如图，作出准线l，AM⊥l，BM⊥l，过B作BH⊥AM，交AM于H，∴由抛物线的性质得：|AB|＝4m，|AH|＝2m．∴∠BAH＝60°，⇒∠EFK＝30°．∴．∵FK＝p，∴p＝．故答案为：1．16．已知函数f（x）＝，g（x）＝ax﹣2（a∈R），满足：①当x＜0时，方程f（x）＝g（x）无解；②当x≥0时，至少存在一个整数x0使f（x0）≥g（x0）．则实数a的取值范围为（，3]．【解析】①当x＜0时，f（x）＝g（x）即﹣ln|x|＝ax﹣2无解，即ax＝2﹣ln（﹣x），a＝无解设h（x）＝，则h′（x）＝＝，由h′（x）＞0得ln（﹣x）﹣3＞0，得ln（﹣x）＞3，得﹣x＞e3，即x＜﹣e3，此时函数h（x）为增函数由h′（x）＜0得ln（﹣x）﹣3＜＞0，得ln（﹣x）＜3，得﹣x＜e3，即﹣e3＜x＜0，此时函数h（x）为，减函数，即当x＝﹣e3时，函数h（x）取得极大值h（﹣e3）＝＝＝，当x＜0且x→0，f（x）→﹣∞，则要使a＝无解，则a＞，②当x≥0时，f（x）的图象如图：当a≤0时，满足f（x0）≥g（x0）的整数由很多，满足条件，当a＞0时，函数f（x）过A（1，1），要至少存在一个整数x0使f（x0）≥g（x0）．则g（1）＝a﹣2≤1，即0＜a≤3，综上a≤3，同时满足①②的实数a的范围满足，即＜a≤3，即实数a的取值范围是（，3]，故答案为：（，3]，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}满足a n+1﹣a n＝0（n∈N*），且a2，a3+2，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝（n∈N*），数列{b n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．【解析】（1）数列{a n}满足a n+1﹣a n＝0（n∈N*），可得数列{a n}为公比为2的等比数列，a2，a3+2，a4成等差数列，可得2（a3+2）＝a2+a4，即有2（4a1+2）＝2a1+8a1，解得a1＝2，则a n＝2n；（2）b n＝＝﹣＝﹣，可得T n＝﹣+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1，由2n+1≥4，可得∈（0，]，则T n的取值范围为（﹣1，﹣]．18．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，上、下底面的面积之比为1：4，侧面A1ABB1⊥底面ABC，并且A1A＝A1B1，∠AA1B＝90°．（1）平面A1C1B∩平面ABC＝l，证明：A1C1∥l；（2）求平面A1C1B与平面ABC所成二面角的正弦值．【解析】（1）证明：三棱台ABC﹣A1B1C1中，A1C1∥AC，且A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以A1C1∥平面ABC，又平面A1C1B∩平面ABC＝l，所以A1C1⊂平面A1C1B，且l⊂平面A1C1B，所以A1C1∥l；（2）根据题意，以AB的中点为原点，AB为x轴，OC为y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示；由题意知，平面ABC的法向量为＝（0，0，1），AB＝2，AA1＝A1B1＝1，∠AA1B＝90°，∴B（1，0，0），A1（﹣，0，），C1（0，，）；则＝（﹣，0，），＝（﹣1，，）；设平面A1C1B的法向量为＝（x，y，z），则，即，化简得；令x＝1，得z＝，y＝﹣，∴＝（1，﹣，）；∴cos＜，＞＝＝＝，∴sin＜，＞＝＝，即平面A1C1B与平面ABC所成二面角的正弦值为．19．（12分）近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线．某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了100天，得到的统计数据如表，x为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图．（1）若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列；（2）令z＝lnx，由散点图判断＝bx+与＝z+哪个更适合于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程．（结果保留一位小数）（3）若一年按365天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额L最大？（年销售额L＝365•入住率•收费标准x）x50 100 150 200 300 400t90 65 45 30 20 20参考数据：＝，＝，＝200，x i y i＝377.5，x＝325000，≈5.1，y i z i≈12.7，z≈158.1，e3≈148.4．【解析】（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，则P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝．∴ξ的分布列为：ξ0 1 2P（2）由散点图可知，＝z+更适合于此模型．其中，，∴所求回归方程为；（3）L＝365（﹣0.5lnx+3）x＝﹣，L′＝，令L′＝0，得lnx＝5，∴x＝e5≈148.4．∴若一年按365天计算，当收费标准约为148.4元/日时，年销售额L最大，最大值约为27083元．20．（12分）如图，菱形ABCD的面积为8，＝﹣4，斜率为k的直线l交y轴于点P，且＝2，以线段BD为长轴，AC为短轴的椭圆与直线l相交于M，N两点（M与A在x轴同侧）．（1）求椭圆的方程；（2）求证：AN与CM的交点在定直线y＝1上．【解析】（1）设∠BAD＝2θ，菱形ABCD的边长为m，∵菱形ABCD的面积为8，＝﹣4，∴|AB|•|AD|•sin2θ＝m2sin2θ＝8，＝||•||•cos2θ＝m2cos2θ＝﹣4，∴m2＝12，tan2θ＝﹣2，∴tan2θ＝＝﹣2，∴tanθ＝，∵线段BD为长轴，AC为短轴的椭圆，∴BD＝2a，AC＝2b，∴＝，a2+b2＝12，∴a2＝8，b2＝4，∴椭圆的方程为+＝1，证明（2）∵＝2，|OA|＝2，∴|OP|＝4，∴直线l的方程为y＝kx+4，由（1）可得A（0，2），C（0，﹣2），设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消y可得（1+2k2）x2+16kx+24＝0，△＝（16k）2﹣4×24（1+2k2）＝32（2k2﹣3）＞0，解得k＞或k＜﹣，又x1+x2＝﹣，x1•x2＝，直线AN的方程为y＝x+2，即x＝直线CM的方程为y＝x﹣2，即x＝消x整理可得＝，即＝，整理可得y＝＝＝+1＝+1＝1，故AN与CM的交点在定直线y＝1上．21．（12分）已知函数f（x）＝e x（ax+1）．（1）讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）令g（x）＝xlnx﹣x2﹣x+e，当a＝﹣，0＜m＜时，证明：对∀x1，x2∈（0，e2]，使g （x1）＞f（x2）．【解析】（1）f′（x）＝e x（ax+a+1），（x＞0），当a≥0时，由于x＞0，故f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）递增，当a＜0时，①若1+a≤0，a≤﹣1，f′（x）＜0恒成立，f（x）在（0，+∞）递减，②若1+a＞0，a＞﹣1，令f′（x）＝0，得x＝﹣，故f（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减，综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）递增，当﹣1＜a＜0时，f（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减，a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）递减，（2）证明：此时原题目等价于g（x）min＞f（x）max，当a＝﹣时，f（x）＝e x（﹣x+1），由（1）知f（x）在（0，1）递增，在（1，e2]递减，故f（x）max＝f（1）＝，g′（x）＝lnx﹣mx，令p（x）＝lnx﹣mx，p′（x）＝﹣m＝，令p′（x）＝0，解得：x＝＞e2，故p′（x）＞0在（0，e2]恒成立，p（x）在（0，e2]递增，即g′（x）在（0，e2]递增，当x→0时，g′（x）→﹣∞，g′（e2）＝lne2﹣me2＝2﹣me2，由于0＜m＜，故g′（e2）＞0，故存在x0使得g′（x0）＝0，即lnx0﹣mx0＝0，m＝，g′（1）＝﹣m＜0，g′（e）＝1﹣me＞0，故x0∈（1，e），g（x）在（0，x0）递减，在（x0，e2]递增，g（x）min＝g（x0）＝x0lnx0﹣﹣x0+e＝﹣x0+e，令h（x）＝﹣x+e（1＜x＜e），h′（x）＝＜0恒成立，故h（x）在（1，e）递减，h（x）＞h（e）＝，从而g（x）min＞，故命题成立．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一道作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ（1﹣cos2θ）＝8cosθ，直线ρcosθ＝1与曲线C相交于M，N两点，直线l过定点P（2，0）且倾斜角为α，l交曲线C于A，B两点．（1）把曲线C化成直角坐标方程，并求|MN|的值；（2）若|P A|，|MN|，|PB|成等比数列，求直线l的倾斜角α．【解析】（1）由ρ（1﹣cos2θ）＝8cosθ得ρ2﹣ρ2cos2θ+ρ2sin2θ＝8ρcosθ，∴x2+y2﹣x2+y2＝8x，即y2＝4x．由ρcosθ＝1得x＝1，由的M（1，2），N（1，﹣2），∴|MN|＝4．（2）直线l的参数方程为：，联立直线l的参数方程与曲线C：y2＝4x，得t2sin2α﹣4t cosα﹣8＝0，设A，B两点对应的参数为t1，t2，则t1+t2＝，t1t2＝﹣，因为|P A|，|MN|，|PB|成等比数列，∴|P A||PB|＝|MN|2＝16，∴|t1||t2|＝16，∴|t1t2|＝16，∴＝16，∴sin2α＝，∴sinα＝，∵0≤α＜π，∴α＝或α＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≥2；（2）若f（x）≥﹣2x2+m，求实数m的最大值．【解析】（1）f（x）≥2，即|x﹣1|+|x﹣2|≥2，x≥2时，x﹣1+x﹣2≥2，解得：x≥，1＜x＜2时，x﹣1+2﹣x≥2不成立，x≤1时，1﹣x+2﹣x≥2，解得：x≤，故不等式的解集是（﹣∞，]∪[，+∞）；（2）f（x）≥﹣2x2+m，即|x﹣1|+|x﹣2|≥﹣2x2+m，x≥2时，x﹣1+x﹣2≥﹣2x2+m，即m≤2x2+2x﹣3，而y＝2x2+2x﹣3＝2﹣，故m≤﹣，1＜x＜2时，x﹣1+2﹣x≥﹣2x2+m，即m≤2x2+1，故m≤1，x≤1时，1﹣x+2﹣x≥﹣2x2+m，即m≤2x2﹣2x+3，而y＝2x2﹣2x+3＝2+，故m≤，故m的最大值是．。
2019届高三上学期三调考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式得到集合，根据指数函数的性质求出的值域B，取交集即可．【详解】，，则，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的运算，考查解不等式问题，指数函数的性质，准确求出集合A，B是解题的关键，属于基础题．2.已知复数满足：(其中为虚数单位)，复数的虚部等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求出，由此能求出复数的虚部．【详解】∵复数满足：(其中为虚数单位)，∴．∴复数的虚部等于，故选C.【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数代数形式的乘除运算法则的合理运用．3.命题若为第一象限角，则；命题：函数有两个零点，则( )A. 为真命题B. 为真命题C. 为真命题D. 为真命题【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的性质，对于命题可以举出反例，可得其为假，对于命题，根据零点存在定理可得其至少有三个零点，即为假，结合复合命题的真假性可得结果.【详解】对于命题，当取第一象限角时，显然不成立，故为假命题，对于命题∵，，∴函数在上有一个零点，又∵，∴函数至少有三个零点，故为假，由复合命题的真值表可得为真命题，故选C.【点睛】本题主要借助考查复合命题的真假，考查三角函数的性质，零点存在定理的应用，属于中档题．若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，作出判断即可．4.正项等比数列中的，是函数的极值点，则( )A. 1B. 2C.D.【答案】A【解析】【分析】对函数求导，由于，是函数的极值点，可得，，即可得出结果．【详解】，∴，∵，是函数的极值点，∴，又，∴．∴，故选A．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、一元二次方程的根与系数、等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5.已知是正方形的中心，若，其中，，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量加减运算的三角形法则以及平面向量基本定理求出，，即可得出答案．【详解】∵，∴，，∴，故选A．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．平面向量基本定理补充说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行，（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．6.在中，角所对的边分别为，且.若，则的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】结合，利用余弦定理可得，可得，由，利正弦定理可得，代入，可得，进而可得结论.【详解】在中，∵，∴，∵，∴，∵，∴，代入，∴，解得．∴的形状是等边三角形，故选C．【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.如图直角坐标系中，角、角的终边分别交单位圆于、两点，若点的纵坐标为，且满足，则的值( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据点的纵坐标易得，求出，根据三角形的面积公式得到，结合范围得出，将所求等式利用三角恒等式可化简将代入即可得结果.【详解】角、角的终边分别交单位圆于、两点，∵点的纵坐标为，∴，，∵，∴，，又∵，∴，∴，即∴，故选B.【点睛】本题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握公式是解本题的关键．8.已知公比不为1的等比数列的前项和为，且满足、、成等差数列，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】公比不为1的等比数列的前项和为，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得公比，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值.【详解】公比不为1的等比数列的前项和为，、、成等差数列，可得，即为，即，解得（1舍去），则，故选C.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，等差数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.9.已知函数，若函数与图象的交点为，，…，，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合函数的解析式可得，求出的对称轴为，根据两图象的对称关系分为为奇数和偶数即可得出答案．【详解】∵，∴∴的图象关于直线对称，又的图象关于直线对称，当为偶数时，两图象的交点两两关于直线对称，∴，当为奇数时，两图象的交点有个两两对称，另一个交点在对称轴上，∴，故选A．【点睛】本题函数考查了函数的图象对称关系，分类讨论的思想，解题的关键是根据函数的性质得到，属于中档题．10.将函数的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数的图象，且的图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知求得，再由已知得函数的最小正周期为，求得，结合对任意恒成立列关于的不等式组求解．【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度，得，又的图象与直线相邻两个交点的距离为，得，即．∴，当时，，∵，，∴，解得，∴的取值范围是，故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换与性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题．11.已知函数，，在其共同的定义域内，的图象不可能在的上方，则求的取值范围( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件转化为：不等式恒成立，分离参数，然后构造函数利用导数，求解函数的最值即可．【详解】函数，，在其共同的定义域内，的图象不可能在的上方，当时，∴恒成立，化为：，即，；令，（），．令，，函数在单调递增，，∴时，，，函数单调减函数，时，，，函数单调增函数，所以，∴，故选C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值以及恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题.考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.12.已知函数满足，且存在实数使得不等式成立，则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别求出，，求出的表达式，求出的导数，得到函数的单调区间，求出的最小值，问题转化为只需即可，求出的范围即可．【详解】∵，∴，∴，解得，，解得，∴，∴，∴在递增，而，∴在恒成立，在恒成立，∴在递减，在递增，∴，若存在实数使得不等式成立，只需即可，解得：，故选D．【点睛】本题考查了求函数的表达式问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想，属于中档题．由，得函数单调递增，得函数单调递减；注意区分“恒成立问题”与“能成立问题”之间的区别与联系.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.平面向量与的夹角为，，，则等于____________.【答案】【解析】【分析】运用向量的数量积的定义，可得，再由向量的模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值．【详解】由向量与的夹角为，，|，可得，，则，故答案为.【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的模的平方即为向量的平方，考查运算求解的能力，属于基础题.14.在中，分别是内角的对边且为锐角，若，，，则的值为_____________.【答案】【解析】【分析】由已知及正弦定理可得，利用三角形面积公式可得，联立①②可得，，利用同角三角函数基本关系式可求，由余弦定理可得的值.【详解】∵，∴，可得：，①∵，，∴，②∴联立①②可得，，∵，且为锐角，∴，∴由余弦定理可得：，解得：，故答案为.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题.15.已知数列的前项和为，且满足：，，，则__________.【答案】【解析】【分析】，则，化为：，由，，可得，可得数列是等比数列，首项为2，公比为2，即可得出．【详解】，则，化为：．由，，可得，因此对都成立．∴数列是等比数列，首项为2，公比为2．∴，即，故答案为.【点睛】本题考查了等比数列的定义、通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.16.已知函数，，若与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】求出函数关于直线的对称函数，令与的图象有交点得出的范围即可．【详解】关于直线对称的直线为，∴直线与在上有交点，作出与的函数图象，如图所示：若直线经过点，则，若直线与相切，设切点为，则，解得．∴，故答案为.【点睛】本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列的前项和为，且满足，.(1)求的通项公式；(2)求的值.【答案】（1）.；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式；（2）根据数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】(1)设等差数列的公差为，由，得，则有，所以，故.(2)由(1)知，，则，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.18.在中, 内角,,的对边分别为,, ,且.（1）求角的大小；（2）若的面积为,且,求.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）首先利用正弦定理、三角形内角和定理以及两角和的正弦函数公式化简已知条件式，由此求得的值，从而求得角的大小；（2）首先根据条件等式结合余弦定理得到的关系式，然后根据三角形面积公式求得的值，从而求得的值．试题解析：（1）由及正弦定理可得,,,又因为.（2）①,又由余弦定理得,代入①式得,由余弦定理．,得.考点：1、正弦定理与余弦定理；2、两角和的正弦函数公式；3、三角形面积公式．19.已知数列中，，.(1)求的通项公式；(2)数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知条件推导出，从而得到，由此能求出结果；（2）由，利用裂项求和法求出，从而得到为单调递增数列，由此利用分类讨论思想能求出的取值范围．【详解】(1)证明：由，得，∴，所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列，从而；(2)，.，两式相减得，∴.∴，若为偶数，则，∴，若为奇数，则，∴，∴，∴.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法和分类讨论思想的合理运用．20.已知中，角所对的边分别是，且，其中是的面积，.(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先利用向量的数量积和三角形的面积公式求出结果，，进一步建立等量关系求出结果；（2）利用三角形的面积公式和正弦定理建立方程组，进一步求出结果．【详解】∵，得，得，即，所以，又，∴，故，，.(2)，所以，得①，由(1)得，所以.在中，由正弦定理，得，即②，联立①②，解得，，则，所以.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量数量积的应用，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，方程组的解法，属于基础题型．21.已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)设，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，在定义域单调递减；当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，分为和两种情形，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于对任意的，恒有成立，即，根据，分离，从而求出的范围即可．【详解】(1)函数定义域为，且，令，得，，当时，，函数在定义域单调递减；当时，由，得；由，得或，所以函数的单调递增区间为，递减区间为，.综上所述，当时，在定义域单调递减；当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，.(2)由(1)知当时，函数在区间单调递减，所以当时，，.问题等价于：对任意的，恒有成立，即.因为，则，∴，设，则当时，取得最小值，所以，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．22.已知函数(其中，是自然对数的底数).(1)若，当时，试比较与2的大小；(2)若函数有两个极值点，求的取值范围，并证明：.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而比较大小即可；（2）问题转化为方程有两个根，设，根据函数的单调性，结合函数图象证明即可．【详解】(1)当时，，则，令，，由于，故，于是在为增函数，所以，即在恒成立，从而在为增函数，故.(2)函数有两个极值点，，则是的两个根，即方程有两个根，设，则，当时，，函数单调递增且；当时，，函数单调递增且；当时，，函数单调递增且；要使方程有两个根，只需，如图所示：故实数的取值范围是，又由上可知函数的两个极值点，满足，由得，∴，由于，故，所以.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、二次函数的值域、不等式的求解，考查学生解决问题的能力，属于难题，通过对导函数进行求导，判断导函数的单调性，得到其与0的关系是解题的关键.。
2019年4月河北省张家口市、沧州市2019届高三普通高等学校招生全国统一模拟考试3月联考文科数学A类试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【分析】先由且求出，再和集合求交集即可得出结果.【详解】因为，又所以.故选B【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可求解，属于基础题型.2.复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【分析】由复数模的运算法则可知，据此确定复数的模即可.【详解】由复数模的运算法则可得：.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查复数的模的运算法则及其应用，属于基础题.3.随着时代的发展，移动通讯技术的进步，各种智能手机不断更新换代，给人们的生活带来了巨大的便利，但与此同时，长时间低头看手机，对人的身体如颈椎、眼睛等会造成一定的损害，“低头族”由此而来.为了了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包括老、中、青三个年龄段的人中采取分层抽样的方法抽取人进行调查，已知这人里老、中、青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里老年人人数为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】由题意可知老年人所占的比例为，据此求解老年人的人数即可.【详解】由题意结合分层抽样的定义可知，这个群体里老年人人数为.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查统计图表的识别与应用，属于基础题.4.已知直线和平面，则是与异面的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由题意，若直线b不在平面内，则b与相交或，充分性不成立，反之，若与异面，一定有直线b不在平面内，据此即可得到正确的结论.【详解】由题意，若直线b不在平面内，则b与相交或，不一定有与异面，反之，若与异面，一定有直线b不在平面内，即是与异面的必要不充分条件.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查线面关系有关命题及其应用，充分必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知=（-1，1），||=，|+2|=，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由题中条件先求出向量与的数量积，再由即可求出结果.【详解】因为，所以，又，所以，因此，所以，因此向量与的夹角为.故选D【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，根据向量的数量积运算，即可求解，属于基础题型.6.若变量满足则使取得最小值的最优解为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】首先绘制不等式组表示的平面区域如图所示，然后结合目标函数的几何意义确定使取得最小值的最优解即可【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最小值，联立直线方程：，可得点的坐标为：.本题选择C选项.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.7.已知等比数列的公比为且成等差数列，若，则为（）A. B. C. D.【答案】A【分析】先由等比数列的公比为且成等差数列，求出首项，得出通项公式，进而可得出结果.【详解】因为等比数列的公比为且成等差数列，所以，即，解得，所以，所以,又，因此，所以，解得.故选A【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数列的通项公式即可，属于基础题型.8.已知函数，且满足，则的取值范围为（）A. 或B.C. D.【答案】B【分析】由函数的解+析式易知函数为偶函数，且函数在区间上单调递减，据此脱去f符号求解不等式的解集即可.【详解】由函数的解+析式易知函数为偶函数，且当时，，故函数在区间上单调递减，结合函数为偶函数可知不等式即，结合偶函数的单调性可得不等式，求解绝对值不等式可得的取值范围为.本题选择B选项.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．9.为双曲线的左焦点，圆与双曲线的两条渐进线在第一、二象限分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】不妨设，其中，由斜率公式可得，由直线垂直的充分必要条件可知：，据此可得，然后结合双曲线的离心率公式求解离心率即可.【详解】不妨设，其中，由于，故，由于双曲线的渐近线方程为，结合直线垂直的充分必要条件可知：，据此可得：，整理可得，据此可知：，，双曲线的离心率.本题选择C选项.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．10.中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，….设内一衡直径为，衡间距为，则次二衡直径为，次三衡直径为，…，执行如下程序框图，则输出的中最大的一个数为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出的值，结合等差数列的通项公式可得，由均值不等式的结论即可确定输出的中最大的一个数. 【详解】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出的值，由等差数列通项公式有：，且易知恒成立，则：，当且仅当，即时等号成立.综上可得，输出的中最大的一个数为.本题选择D选项.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．11.已知函数，若函数在上只有三个零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【分析】先对函数化简整理，再由得到其非负根中较小的几个根，再根据函数在上只有三个零点，即可得出结果.【详解】因为，所以，令得，所以或，即或，则或，则非负根中较小的有：；因为函数在上只有三个零点，所以，解得.故选A【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，熟记三角函数性质即可，属于常考题型.12.某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的所有棱长之和为（）A. B.C. D.【答案】C【分析】先由三视图还原几何体，再求出各边长度即可.【详解】由三视图还原几何体如下，三棱锥即为该几何体.又由三视图可知，底面是等腰直角三角形，三棱锥的高为2，所以，，，因此该三棱锥的所有棱长之和为.故选C【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由三视图还原几何体即可，属于基础题型.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则______．【答案】【分析】先由求出，进而可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故答案为【点睛】本题主要考查对数和指数的运算，熟记运算性质即可，属于基础题型.14.高三某宿舍共人，在一次体检中测得其中个人的体重分别为（单位：千克），其中一人因故未测，已知该同学的体重在千克之间，则此次体检中该宿舍成员体重的中位数为的概率为_______．【答案】【分析】先将测过体重的七人体重数据排序，得到此次体检中该宿舍成员体重的中位数为时，未测体重同学体重的范围，再由该同学的体重区间，即可求出结果.【详解】将七个人的体重按顺序排列如下：，若此次体检中该宿舍成员体重的中位数为，只需未测体重的同学体重要小于等于55，又该同学的体重在千克之间，所以此次体检中该宿舍成员体重的中位数为的概率为.故答案为【点睛】本题主要考查与长度有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于基础题型. 15.直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是_____．【答案】【分析】由直线与曲线有两个公共点可得方程有两不等实根，即有两不等实根，令，求出函数的值域即可.【详解】因为直线与曲线有两个公共点，所以方程有两不等实根，即有两不等实根，令，则与函数有两不同交点，因为，所以由得；由得或；因此函数在和上单调递减，在上单调递增，作出函数的简图大致如下：因为；又与函数有两不同交点，所以由图像可得，只需.故答案为【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，只需将函数有交点的问题，转化为方程有零点来处理即可，属于常考题型.16.抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与以为圆心且过原点的圆相切于点，直线交直线于点，交抛物线于两点（在之间），则____．【答案】【分析】先由过点的直线与以为圆心且过原点的圆相切于点，直线交直线于点，求出的长，再由直线的方程与抛物线方程联立，求出点坐标，求出的长，进而可求出的长，即可求出结果.【详解】由题意可得，因为过点的直线与以为圆心且过原点的圆相切于点，所以，，所以在直角三角形中，可得，；因此直线的方程为；又直线交直线于点，所以，因此；又联立得，整理得，解得或，因为在之间且，所以，因此，即, 又,所以，所以，所以.故答案为【点睛】本题主要考查抛物线的简单应用，熟记抛物线的性质即可，属于常考题型.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，的内角的对边分别为为线段上一点，的面积为.求：（1）的长；（2）的值.【答案】(1) (2)【分析】（1）根据，结合余弦定理先求出，进而可得，再由三角形面积公式即可求出结果；（2）根据正弦定理求解即可.【详解】解：（1）由，可知从而由（2）【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.18.高考改革是教育体制改革中的重点领域和关键环节，全社会极其关注.近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“”模式初露端倪.其中“”指必考科目语文、数学、外语，“”指考生根据本人兴趣特长和拟报考学校及专业的要求，从物理、化学、生物、历史、政治、地理六科中选择门作为选考科目，其中语、数、外三门课各占分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.假定省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体的，以此赋分分、分、分、分.为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，省某高中高一（）班（共人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单科全班排名，每名学生选三科计算成绩），已知这次摸底考试中的物理成绩（满分分）频率分布直方图，化学成绩（满分分）茎叶图如下图所示，小明同学在这次考试中物理分，化学多分.（1）求小明物理成绩的最后得分；（2）若小明的化学成绩最后得分为分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率.【答案】(1)70分 (2) (3)【分析】（1）先求出此次考试物理成绩落在内的频率，再由小明的物理成绩即可得出结果；（2）根据选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体的，以此赋分分、60分、50分、40分，结合茎叶图中数据，即可得出结果；（3）先记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为，用列举法列举出小明的所有可能选法，再列举出小明此次考试选考科目包括化学的选法，基本事件的个数之比就是所求概率.【详解】解：（1），此次考试物理成绩落在内的频率依次为，概率之和为小明的物理成绩为分，大于分.小明物理成绩的最后得分为分.（2）因为40名学生中，赋分分的有人，这六人成绩分别为89,91,92,93,93,96；赋分分的有人,其中包含80多分的共10人，70多分的有4人，分数分别为；因为小明的化学成绩最后得分为分，且小明化学多分，所以小明的原始成绩的可能值为；（3）记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为，小明的所有可能选法有：共种，其中包括化学的有共种，若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，所选科目包括化学的概率为.【点睛】本题主要考查频率分布直方图与茎叶图，以及古典概型，熟记古典概型的概率计算公式即可求解，属于常考题型.19.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，上、下底面的面积之比为1：4，侧面A1ABB1⊥底面ABC，并且A1A=A1B1，∠AA1B=90°．（1）平面A1C1B∩平面ABC=l，证明：A1C1∥l；（2）求四棱锥B-A1ACC1的体积．【答案】（1）见解+析（2）【分析】（1）三棱台中上底面与下底面是平行的，即平面A1B1C1∥平面ABC，再由面面平行的性质定理可以得到；（2）取AB中点O，连接CO，则CO⊥AB，由面面垂直的性质可得CO⊥平面A1ABB1，由已知求得上底面边长，然后利用等积法求四棱锥B-A1ACC1的体积．【详解】（1）证明：如图，∵平面A1B1C1∥平面ABC，且平面A1C1B∩平面ABC=l，A1C1B∩平面A1B1C1=A1C1，∴A1C1∥l；（2）解：∵底面ABC是等边三角形，取AB中点O，连接CO，则CO⊥AB，∵面A1ABB1⊥底面ABC，且面A1ABB1∩底面ABC=AB，∴CO⊥平面A1ABB1，连接A1C，在三棱台ABC-A1B1C1中，∵上、下底面的面积之比为1：4，∴AB=2A1B1，由AB=2，得CO=，A1B1=1，则A1A=A1B1=1，又∠AA1B=90°，∴，则，∴=；由AC=2A1C1，得，∴，∴四棱锥B-A1ACC1的体积．【点睛】本题考查面面平行的性质，使用定理证明立体几何问题时，要注意将定理条件写全；复杂的几何体体积问题往往可以使用“割补法”来解决，还可以利用等积法求多面体的体积．20.如图，菱形的面积为，斜率为的直线交轴于点，且，以线段为长轴，为短轴的椭圆与直线相交于两点（与在轴同侧）.（1）求椭圆的方程；（2）求证：与的交点在定直线上.【答案】（1）（2）见证明【分析】（1）由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组可得，据此确定椭圆方程即可；（2）易得，设直线与椭圆联立可得，求得直线的方程和的方程，联立方程确定交点坐标即可证得题中的结论.【详解】（1）设解得椭圆方程为（2）易得，设直线与椭圆联立，得由得，设，直线的方程为①直线的方程为x ②联立①②消去，得从而命题得证【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.已知函数.（1）讨论在上的单调性；（2）函数在上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）见解+析（2）【分析】（1）先对函数求导，分别讨论和即可得出结果；（2）由在上单调递增推出在上恒成立，即，构造函数，由导数的方法研究其单调性即可得出结果.【详解】解：（1）①即时，在上单调递增；②即时，令，得，在上，在上,在上单调递减，在上单调递增.综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）在上单调递增在上恒成立令，由（1）知，在上为增函数，当，即时，在上为增函数，，得，的取值范围为.当，即时，使在上为减函数，在上为增函数，而，使得成立，舍去，综上，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要用导数的方法研究函数的单调性和最值等，属于常考题型.22.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ（1-cos2θ）=8cosθ，直线ρcosθ=1与曲线C相交于M，N两点，直线l过定点P（2，0）且倾斜角为α，l交曲线C于A，B两点．（1）把曲线C化成直角坐标方程，并求|MN|的值；（2）若|P A|，|MN|，|PB|成等比数列，求直线l的倾斜角α．【答案】（1）y2=4x,4（2）α=或α=【分析】（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=8ρcosθ，∴x2+y2-x2+y2=8x，即y2=4x，由ρcosθ=1得x=1，联立直线与抛物线解得M，N的坐标后可求得|MN|；（2）因为|PA|，|MN|，|PB|成等比数列，∴|PA||PB|=|MN|2=16，联立直线l的参数方程与抛物线，根据参数的几何意义可得．【详解】解：（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=8ρcosθ，∴x2+y2-x2+y2=8x，即y2=4x．由ρcosθ=1得x=1，由的M（1，2），N（1，-2），∴|MN|=4．（2）直线l的参数方程为：(t为参数)，联立直线l的参数方程与曲线C：y2=4x，得t2sin2α-4t cosα-8=0，设A，B两点对应的参数为t1，t2，则t1+t2=，t1t2=-，因为|P A|，|MN|，|PB|成等比数列，∴|P A||PB|=|MN|2=16，∴|t1||t2|=16，∴|t1t2|=16，∴=16，∴sin2α=，∵0≤α＜π，∴sinα=，∴α=或α=．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，极坐标方程与普通方程转化的公式为；在解决直线与抛物线相交的问题时，有时利用直线参数方程的几何意义能优化运算过程，解题时应灵活应用。
2019届河北省省级示范性高中联合体高三3月联考数学（文）试题一、单选题1．下列格式的运算结果为实数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用复数运算化简每个选项即可求解【详解】对A,对B,对C,对D,故选：D【点睛】本题考查复数的运算，熟记运算法则是关键，是基础题2．设集合，则集合可以为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】首先根据一元二次不等式的解法求得集合B，之后根据集合交集中元素的特征，选择正确的结果.【详解】因为，所以当时，，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.3．在平行四边形中，,,则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先求,再求,即可求D坐标【详解】，∴，则D(6,1)故选：A【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记运算法则，准确计算是关键，是基础题4．从某小学随机抽取名同学，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如下：有此表估计这名小学生身高的中位数为（结果保留4位有效数字）（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由表格数据确定每组的频率，由中位数左右频率相同求解即可.【详解】由题身高在,的频率依次为0.05，0.35，0.3,前两组频率和为0.4，组距为10，设中位数为x,则,解x=123.3故选：C【点睛】本题考查中位数计算，熟记中位数意义，准确计算是关键，是基础题.5．如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析图知2a,2b,则e可求.由题2b=16.4,2a=20.5,则则离心率e=.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的离心率，熟记a,b的几何意义是关键，是基础题.6．若函数，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据对数的运算的性质计算即可．【详解】f（x）＝1+|x|，∴f（﹣x）+f（x）＝2+2|x|，∵lg lg2，lg lg5，∴f（lg2）+f（lg）+f（lg5）+f（lg）＝2×2+2（lg2+lg5）＝6，故选：C【点睛】本题考查了对数的运算，函数基本性质，考查了抽象概括能力和运算求解能力，是基础题7．汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为A．32 B．40 C．D．【答案】C【解析】将三视图还原，即可求组合体体积将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为，利用张衡的结论可得故选：C【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题8．若存在等比数列，使得，则公比的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将原式表示为的关系式，看做关于的二次型方程有解问题，利用判别式列不等式求解即可.【详解】由题设数列的公比为q(q≠0),则,整理得=0,当时，易知q=-1，符合题意；但q≠0,当≠0时，，解得故q的最大值为故选：D【点睛】本题考查等比数列，考查函数与方程的思想，准确转化为的二次方程是关键，是中档题.9．已知函数，则下列判断错误的是（）A．为偶函数B．的图像关于直线对称C．的值域为D．的图像关于点对称【答案】D【解析】化简f（x）＝1+2cos4x后，根据函数的性质可得．【详解】f（x）＝1+cos（4x）sin（4x）＝1+2sin（4x）＝1+2cos4x，f（x）为偶函数，A正确；4x得,当k=0时，B正确；因为2cos4x的值域为，C正确；故D错误．故选：D．【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，准确计算是关键，是基础题10．已知，设满足约束条件的最大值与最小值的比值为，则（）A．为定值B．不是定值，且C．为定值D．不是定值，且【答案】C【解析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为3求得实数m的值．.【详解】画出m＞0，x，y满足约束条件的可行域如图：当直线z＝x+y经过点A（2，m+4），z取得最大值，当直线经过B（﹣1，﹣2）时，z取得最小值，故k2为定值．故选：C．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．在棱长为的正方体中，为棱上一点，且到直线与的距离相等，四面体的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题，先确定F的位置，由互相垂直，构造以为棱的长方体，求其外接球半径即可求得球的表面积【详解】过做面B,∴面NF,∴FN 为到直线的距离，则,设解得x=,互相垂直, 以为棱的长方体球心即为O，则球的表面积为4故选：D【点睛】本题考查椎体的外接球，明确点F的位置是突破点，构造长方体是关键，是中档题12．已知函数的导函数满足对恒成立，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】求出函数g（x）的导数，判断函数的单调性，从而得出答案．【详解】令由（x+xlnx）f′（x）<f（x），得（1+lnx）f′（x）f（x）<0，g′（x），则g′（x）<0，故g（x）在递减；故,即,∴故选：A【点睛】本题考查抽象函数的单调性，构造函数，准确构造新函数是突破，准确判断单调性是关键，是中档题二、填空题13．小张要从种水果中任选种赠送给好友，其中芒果、榴莲、椰子是热带水果，苹果、葡萄是温带水果，则小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率为________．【答案】【解析】确定基本事件个数即可求解【详解】由题从种水果中任选种的事件总数为小张送的水果既有热带水果又有温带水果的基本事件总数为小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率为故答案为14．函数的值域为________．【答案】【解析】由函数性质确定每段的值域，再求并集即可【详解】由题单调递增，∴,又=,故函数的值域为故答案为【点睛】本题考查分段函数的值域，三角函数性质，指数函数的性质，熟记函数性质，准确计算是关键，是基础题15．已知分别是双曲线的左、右顶点，为上一点，则的外接圆的标准方程为_______．【答案】【解析】由点为上，求m,由外心设外心坐标M(0,t),M在PB的中垂线上求t即可【详解】为上一点,,解得m=1,则B(1,0),∴PB中垂线方程为+2,令x=0,则y=3,设外接圆心M(0,t),则M(0,3),,∴外接圆的标准方程为故答案为【点睛】本题考查圆的标准方程，双曲型方程，熟记外心的基本性质，准确计算是关键，是基础题16．设为等差数列的前项和，若，则的最小值为______．【答案】【解析】分别利用等差数列的通项公式及求和公式表示已知条件，然后求出得a1，d，在代入求和公式，并利用导数判单调性求最值即可求解．【详解】由题意可得，解可得a1＝﹣19，d＝4，∴S n＝﹣19n2n2﹣21n，∴nS n＝2n3﹣21n2，设f（x）＝2x3﹣21x2，f′（x）＝6x（x﹣7），当0＜x＜7时，f′（x）＜0；函数是减函数；当x＞7时，f′（x）＞0，函数是增函数；所以n＝7时，nS n取得最小值：﹣343．故答案为-343【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，准确计算是关键，属于基础试题．三、解答题17．在中，.证明：为等腰三角形.若的面积为，为边上一点，且求线段的长.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】由正弦定理得，由得，利用余弦定理求得b=c 即可证明；由的面积求a,设，在中运用余弦定理求得x，即为所求【详解】（1）证明：，，设的内角的对边分别为，，，由余弦定理可得即，则为等腰三角形.（2），则的面积解得.设，则，由余弦定理可得，解得（负根舍去），从而线段的长为.【点睛】本题考查正余弦定理，同角三角函数基本关系，证明三角形形状，熟练运用定理及三角公式，准确计算是关键，是中档题18．如图，在三棱柱中，平面，为边上一点，，.（1）证明：平面平面.（2）若，试问：是否与平面平行？若平行，求三棱锥的体积；若不平行，请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）两者平行，且.【解析】（1）在中，由，推出，结合，即可证明平面结论得证；（2）取的中点，连接，，，证明四边形为平行四边形，进而证得平面平面与平面平行，由等体积转化，求体积即可【详解】（1）证明：因为平面,所以平面，平面，所以，在中，则，所以，又，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）与平面平行.证明如下：取的中点，连接，，因为，所以，且，所以四边形为平行四边形则同理可证因为，所以平面平面又平面，所以平面因为，所以又，且易证平面所以【点睛】本题考查面面垂直证明，线面平行的判断，三棱锥体积公式，熟练运用定理级性质，准确推理计算是关键，是中档题19．某小学举办“父母养育我，我报父母恩”的活动，对六个年级（一年级到六年级的年级代码分别为）的学生给父母洗脚的百分比进行了调查统计，绘制得到下面的散点图.由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明.建立关于的回归方程，并据此预计该校学生升入中学的第一年（年纪代码为）给父母洗脚的百分比.附注：参考数据：参考公式：相关系数若，则与的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合与的关系.回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）计算得，代入计算公式求值即可判断与的线性相关程度；（2）由公式计算求带入回归直线求得进而求得回归方程，将x=7代入直线，即可确定百分比【详解】（1）因为所以，所以，因为所以，所以由于与的相关系数约为，说明与的线性相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合与的关系.(2)因为，所以所以回归方程为将，代入回归方程可得，所以预计该校学生升入中学的第一年给父母洗脚的百分比为.【点睛】本题考查相关系数r,回归直线方程，熟练运用公式计算是关键，是基础题20．已知点是抛物线上一点，为的焦点．（1）若，是上的两点，证明：，，依次成等比数列.（2）过作两条互相垂直的直线与的另一个交点分别交于，(在的上方），求向量在轴正方向上的投影的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）由在抛物线上求P,再利用焦半径公式求，，，再利用等比数列定义证明即可（2）设直线的方程为，与联立，得，由，求k的范围，并求得P坐标，同理求得Q坐标，则向量在轴正方向上的投影为，求函数的范围即求得结果【详解】（1）证明：在抛物线上，，.，，，，，依次成等比数列.(2)设直线的方程为，与联立，得则，，设，，则，即在的上方，则.以代，得，则向量在轴正方向上的投影为，设函数，则在上单调递减，在上单调递增，从而，故向量在轴正方向上的投影的取值范围为.【点睛】本题考查抛物线的简单性质与应用，直线与抛物线位置关系，范围问题，熟练运用定义，准确计算P,Q坐标，将在轴正方向上的投影表示为k的函数时关键，是中档题. 21．已知函数.讨论的单调性.若，求的取值范围.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】讨论当，时导数符号变化情况求得单调性由的讨论知：时，,解；时，<0,解符合；当时，，构造函数，，求导判单调性解a 的不等式；时，,解a范围，则问题得解【详解】（1）当时，，；，.所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.当时，对恒成立，所以在上单调递增.当时，，；，.所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.（2）①当时，由（1）知在上单调递增，则在上单调递增，所以，解得②当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增.当时，在上单调递增.所以对恒成立，则符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增.所以.设函数，，易得知时，所以，故对恒成立，即符合题意.当时，在上单调递减.所以对恒成立，则符合题意.综上所述：的取值范围为.【点睛】本题考查函数与导数的综合问题，导数与函数单调性与最值，不等式有解问题，分类讨论思想，明确分类标准，不重不漏是关键，是中档题22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，直线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为若与相交于两点，，求；圆的圆心在极轴上，且圆经过极点，若被圆截得的弦长为，求圆的半径【答案】（1）6；（2）13.【解析】（1）将代入,利用t的几何意义及韦达定理即可求解；（2）化直线和圆为普通方程，利用圆的弦长公式求得半径【详解】（1）由，得，将代入，得，则，故.（2）直线的普通方程为，设圆的方程为.圆心到直线的距离为，因为，所以，解得（舍去），则圆的半径为13.【点睛】本题考查直线参数方程，圆的弦长公式，熟练运用直线与圆的位置关系，准确计算是关键，是中档题.23．[选修4-5：不等式选讲]设函数求不等式的解集；证明：【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）零点分段法去绝对值解不等式即可；（2）零点分段分情况证明再由绝对值不等式证明即可【详解】（1）∵，∴，即，当时，显然不合；当时，，解得；当时，，解得.综上，不等式的解集为.（2）证明：当时，；当时，，则；当时，，则.∵，∴.∵，∴.故.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，证明不等式，熟练运算是关键，是中档题。
12019届高三数学测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}230A x x x =-<，(){}ln 2B x y x ==-，则AB =（ ）A ．()2,+∞B ．()2,3C ．()3,+∞D ．(),2-∞2．定义运算a b ad bc c d =-，则满足i01i 2iz -=--（i 为虚数单位）的复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，4816a a =，则63SS =（ ）A ．98B ．9C ．98或78D ．9或7-4．若双曲线221y x m-=的一个焦点为()3,0-，则m =（ ）A ．22 B ．8 C ．9D ．5．在ABC △中，sin B A =，BC =π4C =，则AB =（ ） A B ．5C ．D ．7．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（176两）．问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为（ ） A ．90，86 B ．94，82C ．98，78D ．102，748．已知点()44P ，是抛物线2:2C y px =上的一点，F 是其焦点，定点()14M -，，则M P F △的外接圆的面积为（ ） A ．125π32B ．125π16C ．125π8D ．125π49．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，且ππ33f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ66f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数ω的值可能是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．510．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22x f x x =+，则不等式()213f x -<的解集为（ ） A ．()1-∞，B ．()2-∞，C ．()22-，D ．()12-，11．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，点()00P x y ，是直线20bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为（ ）A ．(]12，B ．(C ．()2+∞，D ．)+∞ 12．设函数()f x '是偶函数()f x 的导函数，()f x 在区间()0+∞，上的唯一零点为2，并且当()11x ∈-，时，()()0xf x f x +<'，则使得()0f x <成立的x 的取值范围是（ ）A ．()22-，B ．()()22-∞-+∞，，C ．()11-，D ．()()2002-，，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2019届高三第三次调研考试数学（文科）附答案全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合}{022≤--=x x x A ，}{1<=x x B ，则)(B C A R = （ ） (A) }{1x x > (B) }{12x x <≤ (C) }{1x x ≥ (D) }{12x x ≤≤ 2．设1i z i =-（i 为虚数单位），则1z =（ ）(A) (B) (C) 12(D) 2 3．等比数列{}n a 中，122a a +=，454a a +=，则1011a a +=（ ）(A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 644. 已知向量a b ⊥r r ，2,a b ==r r 则2a b -=r r （ ）(A) (B) 2 (C) (D)5．下列说法中正确的是（ ）(A) “(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件(B) 若2000:,10p x R x x ∃∈-->，则2:,10p x R x x ⌝∀∈--< (C) 若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题(D) “若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠” 6．已知输入实数12x =，执行如图所示的流程图，则输出的x 是 （ ）(A) 25 (B) 102 (C) 103 (D) 517．将函数()()1cos 24f x x θ=+（2πθ<）的图象向右平移512π个单位后得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于直线9x π=对称，则θ=（ ） (A) 718π (B) 18π (C) 18π- (D) 718π- 8．已知x ,y 满足条件04010x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则y x 的最大值是 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 49．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )(A) 3(B) 3(C) (D)10．已知函数()y f x =的定义域为{}|0x x ≠，满足()()0f x f x +-=，当0x >时，()ln 1f x x x =-+，则函数()y f x =的大致图象是（ ）(A) (B) (C) (D)11．已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆()2241x y +-=上一个动点，则点P 到 点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小值是（ ）(A)1- (B)2 (C) 2 (D)12. 设定义在R 上的函数()y f x =满足任意t R ∈都有()()12f t f t +=，且(]0,4x ∈时， ()()f x f x x'>，则()()()20164201722018f f f 、、的大小关系是（ ）(A) ()()()22018201642017f f f << (B) ()()()22018201642017f f f >>(C) ()()()42017220182016f f f << (D) ()()()42017220182016f f f >>二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2019届河北省高三上学期期末考试文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，，则（）A ．_________B ．_________C ．___________D ．2. 已知，若复数为纯虚数，则（）A ．_________B ．___________C ．D ．3. 已知是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数4. 抛物线的焦点坐标为（）A ．_________B ．___________C ．______________D ．5. 为了了解高一、高二、高三的身体状况，现用分层抽样的方法抽出一个容量为的样本，三个年级学生数之比依次为，已知高一年级共抽取了人，则高三年级抽取的人数为（）A． B． C． D．6. 函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（）7. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A ．_________B ．___________C ．___________D ．8. 如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以的的速度由处出发，沿北偏东方向进行海面巡逻，当航行半小时到达处时，发现北偏西方向有一艘船，若船位于的北偏东方向上，则缉私艇所在的处与船的距离是（）A．____________________ B ．C ．______________D ．9. 若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（）A ．_________B ．______________C ．___________D ．10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B．______________C ．____________________D ．11. 已知分别为双曲线的左，右焦点，为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（）A ．___________B ．_________C ．___________D ．12. 已知函数，．若不等式对所有的，都成立，则的取值范围是（）A ．______________B ．___________C ．_________D ．二、填空题13. 设向量，是相互垂直的单位向量，向量与垂直，则实数________.14. 若满足约束条件，则的最大值为_______ ．15. 直三棱柱中，，，，则该三棱柱的外接球的体积为________ ．16. 函数是常数，且）的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为；②将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数；③ ；④ ；⑤ ，其中正确的是_______ ．三、解答题17. 设数列的前项和，且是的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．18. 随机抽取某中学甲乙两班各名同学，测量他们的身高（单位：），获得身高数据的茎叶图如图．（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这名同学中随机抽取两名身高不低于的同学，求身高为的同学身高被抽中的概率．19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，面，为的中点．（1）求证：平面；（2）设，，，求点到平面的距离．20. 已知椭圆的左右焦点分别为和，由个点，，和组成了一个高为，面积为的等腰梯形．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线和椭圆交于两点，求面积的最大值．四、填空题21. 设函数．．已知曲线在点处的切线与直线平行．（1）求的值；（2）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的实根？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．五、解答题22. 选修4-1：几何证明选讲已知是半圆的直径，，点是半圆上一点，过作半圆的切线，过点作于，交半圆于，．（1）求证：平分；（2）求的长．23. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线，为曲线上的动点，定点．（1）将曲线的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求、两点的最短距离．24. 选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集为 ,求参数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
2019年普通高等学校招生全国统一模拟考试文科数学一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由且求出，再和集合求交集即可得出结果.【详解】因为，又所以.故选B【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可求解，属于基础题型.2.复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由复数模的运算法则可知，据此确定复数的模即可.【详解】由复数模的运算法则可得：.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查复数的模的运算法则及其应用，属于基础题.3.随着时代的发展，移动通讯技术的进步，各种智能手机不断更新换代，给人们的生活带来了巨大的便利，但与此同时，长时间低头看手机，对人的身体如颈椎、眼睛等会造成一定的损害，“低头族”由此而来.为了了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包括老、中、青三个年龄段的人中采取分层抽样的方法抽取人进行调查，已知这人里老、中、青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里老年人人数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知老年人所占的比例为，据此求解老年人的人数即可.【详解】由题意结合分层抽样的定义可知，这个群体里老年人人数为.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查统计图表的识别与应用，属于基础题.4.已知直线和平面，则是与异面的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题意，若直线b不在平面内，则b与相交或，充分性不成立，反之，若与异面，一定有直线b不在平面内，据此即可得到正确的结论.【详解】由题意，若直线b不在平面内，则b与相交或，不一定有与异面，反之，若与异面，一定有直线b不在平面内，即是与异面的必要不充分条件.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查线面关系有关命题及其应用，充分必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题中条件先求出向量与的数量积，再由即可求出结果.【详解】因为，所以，又，所以，因此，所以，因此向量与的夹角为.故选D【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，根据向量的数量积运算，即可求解，属于基础题型.6.若变量满足则使取得最小值的最优解为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先绘制不等式组表示的平面区域如图所示，然后结合目标函数的几何意义确定使取得最小值的最优解即可【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最小值，联立直线方程：，可得点的坐标为：.本题选择C选项.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.7.已知等比数列的公比为且成等差数列，若，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由等比数列的公比为且成等差数列，求出首项，得出通项公式，进而可得出结果.【详解】因为等比数列的公比为且成等差数列，所以，即，解得，所以，所以,又，因此，所以，解得.故选A【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数列的通项公式即可，属于基础题型.8.已知函数且满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，进而可求出结果.【详解】因为，所以，所以函数为定义在R上的偶函数；又时，单调递减，所以由偶函数的对称可得：时，单调递增，所以由可得，解得.故选C【点睛】本题住考查函数的基本性质，灵活运用函数的单调性和奇偶性即可，属于基础题型.9.为双曲线的左焦点，圆与双曲线的两条渐进线在第一、二象限分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】不妨设，其中，由斜率公式可得，由直线垂直的充分必要条件可知：，据此可得，然后结合双曲线的离心率公式求解离心率即可.【详解】不妨设，其中，由于，故，由于双曲线的渐近线方程为，结合直线垂直的充分必要条件可知：，据此可得：，整理可得，据此可知：，，双曲线的离心率.本题选择C选项.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．10.中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，….设内一衡直径为，衡间距为，则次二衡直径为，次三衡直径为，…，执行如下程序框图，则输出的中最大的一个数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出的值，结合等差数列的通项公式可得，由均值不等式的结论即可确定输出的中最大的一个数. 【详解】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出的值，由等差数列通项公式有：，且易知恒成立，则：，当且仅当，即时等号成立.综上可得，输出的中最大的一个数为.本题选择D选项.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．11.已知函数，若函数在上只有三个零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先对函数化简整理，再由得到其非负根中较小的几个根，再根据函数在上只有三个零点，即可得出结果.【详解】因为，所以，令得，所以或，即或，则或，则非负根中较小的有：；因为函数在上只有三个零点，所以，解得.故选A【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，熟记三角函数性质即可，属于常考题型.12.某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的所有棱长之和为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先由三视图还原几何体，再求出各边长度即可.【详解】由三视图还原几何体如下，三棱锥即为该几何体.又由三视图可知，底面是等腰直角三角形，三棱锥的高为2，所以，，，因此该三棱锥的所有棱长之和为.故选C【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由三视图还原几何体即可，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题.13.已知，则______．【答案】【解析】【分析】先由求出，进而可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故答案为【点睛】本题主要考查对数和指数的运算，熟记运算性质即可，属于基础题型.14.高三某宿舍共人，在一次体检中测得其中个人的体重分别为（单位：千克），其中一人因故未测，已知该同学的体重在千克之间，则此次体检中该宿舍成员体重的中位数为的概率为_______．【答案】【解析】【分析】先将测过体重的七人体重数据排序，得到此次体检中该宿舍成员体重的中位数为时，未测体重同学体重的范围，再由该同学的体重区间，即可求出结果.【详解】将七个人的体重按顺序排列如下：，若此次体检中该宿舍成员体重的中位数为，只需未测体重的同学体重要小于等于55，又该同学的体重在千克之间，所以此次体检中该宿舍成员体重的中位数为的概率为.故答案为【点睛】本题主要考查与长度有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于基础题型. 15.直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】由直线与曲线有两个公共点可得方程有两不等实根，即有两不等实根，令，求出函数的值域即可.【详解】因为直线与曲线有两个公共点，所以方程有两不等实根，即有两不等实根，令，则与函数有两不同交点，因为，所以由得；由得或；因此函数在和上单调递减，在上单调递增，作出函数的简图大致如下：因为；又与函数有两不同交点，所以由图像可得，只需.故答案为【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，只需将函数有交点的问题，转化为方程有零点来处理即可，属于常考题型.16.抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与以为圆心且过原点的圆相切于点，直线交直线于点，交抛物线于两点（在之间），则____．【答案】【解析】【分析】先由过点的直线与以为圆心且过原点的圆相切于点，直线交直线于点，求出的长，再由直线的方程与抛物线方程联立，求出点坐标，求出的长，进而可求出的长，即可求出结果.【详解】由题意可得，因为过点的直线与以为圆心且过原点的圆相切于点，所以，，所以在直角三角形中，可得，；因此直线的方程为；又直线交直线于点，所以，因此；又联立得，整理得，解得或，因为在之间且，所以，因此，即, 又,所以，所以，所以.故答案为【点睛】本题主要考查抛物线的简单应用，熟记抛物线的性质即可，属于常考题型.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，的内角的对边分别为为线段上一点，的面积为.求：（1）的长；（2）的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）根据，结合余弦定理先求出，进而可得，再由三角形面积公式即可求出结果；（2）根据正弦定理求解即可.【详解】解：（1）由，可知从而由（2）【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.18.高考改革是教育体制改革中的重点领域和关键环节，全社会极其关注.近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“”模式初露端倪.其中“”指必考科目语文、数学、外语，“”指考生根据本人兴趣特长和拟报考学校及专业的要求，从物理、化学、生物、历史、政治、地理六科中选择门作为选考科目，其中语、数、外三门课各占分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.假定省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体的，以此赋分分、分、分、分.为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，省某高中高一（）班（共人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单科全班排名，每名学生选三科计算成绩），已知这次摸底考试中的物理成绩（满分分）频率分布直方图，化学成绩（满分分）茎叶图如下图所示，小明同学在这次考试中物理分，化学多分.（1）求小明物理成绩的最后得分；（2）若小明的化学成绩最后得分为分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率.【答案】(1)70分 (2) (3)【解析】【分析】（1）先求出此次考试物理成绩落在内的频率，再由小明的物理成绩即可得出结果；（2）根据选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体的，以此赋分分、60分、50分、40分，结合茎叶图中数据，即可得出结果；（3）先记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为，用列举法列举出小明的所有可能选法，再列举出小明此次考试选考科目包括化学的选法，基本事件的个数之比就是所求概率.【详解】解：（1），此次考试物理成绩落在内的频率依次为，概率之和为小明的物理成绩为分，大于分.小明物理成绩的最后得分为分.（2）因为40名学生中，赋分分的有人，这六人成绩分别为89,91,92,93,93,96；赋分分的有人,其中包含80多分的共10人，70多分的有4人，分数分别为；因为小明的化学成绩最后得分为分，且小明化学多分，所以小明的原始成绩的可能值为；（3）记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为，小明的所有可能选法有：共种，其中包括化学的有共种，若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，所选科目包括化学的概率为.【点睛】本题主要考查频率分布直方图与茎叶图，以及古典概型，熟记古典概型的概率计算公式即可求解，属于常考题型.19.如图，在三棱台中，底面是边长为的等边三角形，上、下底面的面积之比为，侧面底面，并且.（1）平面平面，证明：；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质即可证明出结论成立；（2）先由以及面积之比为相似比的平方，得到与的长度，再过点作交于，证明底面，最后由即可求出结果.【详解】（1）证明：几何体为棱台，平面平面平面，平面平面（2）解：，则面积之比为相似比的平方，而，又过点作交于，由于侧面底面为交线.底面，在中，易求得..【点睛】本题主要考查线面平行的性质以及四棱锥的体积，熟记线面平行的性质定理和棱锥的体积公式即可，属于常考题型.20.如图，菱形的面积为，斜率为的直线交轴于点，且，以线段为长轴，为短轴的椭圆与直线相交于两点（与在轴同侧）.（1）求椭圆的方程；（2）求证：与的交点在定直线上.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组可得，据此确定椭圆方程即可；（2）易得，设直线与椭圆联立可得，求得直线的方程和的方程，联立方程确定交点坐标即可证得题中的结论.【详解】（1）设解得椭圆方程为（2）易得，设直线与椭圆联立，得由得，设，直线的方程为①直线的方程为x ②联立①②消去，得从而命题得证【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.已知函数.（1）讨论在上的单调性；（2）函数在上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先对函数求导，分别讨论和即可得出结果；（2）由在上单调递增推出在上恒成立，即，构造函数，由导数的方法研究其单调性即可得出结果.【详解】解：（1）①即时，在上单调递增；②即时，令，得，在上，在上,在上单调递减，在上单调递增.综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）在上单调递增在上恒成立令，由（1）知，在上为增函数，当，即时，在上为增函数，，得，的取值范围为.当，即时，使在上为减函数，在上为增函数，而，使得成立，舍去，综上，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要用导数的方法研究函数的单调性和最值等，属于常考题型.22.在直角坐标系中，以为极点，轴为正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，直线过定点且倾斜角为交曲线于两点.（1）把曲线化成直角坐标方程，并求的值；（2）若成等比数列，求直线的倾斜角.【答案】(1) 答案见解析 (2) 或【解析】【分析】（1）将极坐标方程化为直角坐标方程可得C的直角坐标方程为联立直线方程确定MN的长度即可；（2）联立直线的参数方程和C的直角坐标方程可得,结合韦达定理可知.据此得到关于的三角方程，解方程即可确定直线的倾斜角.【详解】（1）得，即曲线的直角坐方程为,直线为，代入，得.（2）直线的参数方程为（为参数），代入得:,即恒成立.设两点对应的参数分别为..由于成等比数列，,从而或.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23.已知.（1）解不等式；（2）若，求实数的最大值.【答案】(1) 或 (2) 最大值为【解析】【分析】（1）由题意可得，分类讨论求解不等式的解集即可；（2）原问题等价于恒成立，考查函数的性质确定实数m的最大值即可.【详解】（1）或或得或无解或.所以不等式的解集为或.（2）恒成立恒成立令结合二次函数的性质分析可知，在上单调递减，在上单调递增..实数的最大值为.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2019年河北省张家口市、沧州市高考数学一模试卷（文科）（A卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，集合B＝{x∈Z|﹣2＜x≤2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，1}D．{﹣1，1，2} 2．（5分）复数z＝，则|z|＝（）A．B．5C．D．3．（5分）随着时代的发展，移动通讯技术的进步，各种智能手机不断更新换代，给人们的生活带来了巨大的便利，但与此同时，长时间低头看手机对人的身体如颈椎、眼睛等会造成一定的损害，“低头族”由此而来．为了了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包含老、中、青三个年龄段的1500人中采用分层抽样的方法抽取50人进行调查，已知这50人里老、中、青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里老年人人数为（）A．490B．390C．1110D．4104．（5分）已知直线a，b和平面α，a⊂α，则b⊄α是b与a异面的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知＝（﹣1，1），||＝，|+2|＝，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．6．（5分）若变量x，y满足，则使z＝x+2y取得最小值的最优解为（）A．（﹣3，﹣1）B．（）C．（2，﹣1）D．（）7．（5分）已知等比数列{a n}的公比为2且a2，a3+2，a4成等差数列，若＝32，则n为（）A．4B．5C．8D．108．（5分）已知函数f（x）＝（）|x|﹣x，且满足f（2a﹣1）＞f（3），则a的取值范围为（）A．a＜﹣1或a＞2B．﹣1＜a＜2C．a＞2D．a＜29．（5分）已知点F（﹣c，0）为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，圆O：x2+y2＝c2与双曲线的两条渐近线在第一、二象限分别交于A，B两点．若AF⊥OB，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．10．（5分）中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆．七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，…设内一衡直径为a1，衡间距为，则次二衡直径为a2＝a1+d，次三衡直径为a1+2d，…，执行如图程序框图，则输出的T i中最大的一个数为（）A．T1B．T2C．T3D．T411．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx﹣）sin（ωx）（ω＞0），若函数g（x）＝f （x）+在[0，]上有且只有三个零点，则ω的取值范围为（）A．[2，）B．（2，）C．[）D．（）12．（5分）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的所有棱长之和为（）A．2B．4+4C．2+5D．4+5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知3x＝，则log2x2＝．14．（5分）高三某宿舍共8人，在一次体检中测得其中7个人的体重分别为60，55，60，55，65，50，50（单位：千克），其中一人因故未测，已知该同学的体重在50～60千克之间，则此次体检中该宿舍成员体重的中位数为55的概率为．15．（5分）直线y＝x与曲线y＝alnx有两个公共点，则实数a的取值范围是．16．（5分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点H（﹣，0）的直线与以F为圆心且过原点的圆相切于点N，直线FN交直线l于点M，交抛物线于A，B两点（A 在M，N之间），则＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2（b2+c2）＝2a2+bc，b＝，E为线段AB上一点，BE＝BC，△ACE的面积为．求：（1）AE的长；（2）的值．18．（12分）高考改革是教育体制改革中的重点领域和关键环节，全社会极其关注，近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3+x”模式初露端倪．其中“3”指必考科目语文、数学、外语，“x”指考生根据本人兴趣特长和拟报考学校及专业的要求，从物理、化学、生物、历史、政治、地理六科中选择3门作为选考科目，其中语数、外三门课各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．假定A省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体的15%、35%、35%、15%，依次赋分70分、60分、50分、40分．为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，A省某高中高一（1）班（共40人）举行了一次摸底考试（选考科目全考，单科全班排名，每名学生选三科计算成绩），已知这次摸底考试中的物理成绩（满分100分）频率分布直方图，化学成绩（满分100分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中物理86分，化学70多分．（1）求小明物理成绩的最后得分；（2）若小明的化学成绩最后得分为60分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，上、下底面的面积之比为1：4，侧面A1ABB1⊥底面ABC，并且A1A＝A1B1，∠AA1B＝90°．（1）平面A1C1B∩平面ABC＝l，证明：A1C1∥l；（2）求四棱锥B﹣A1ACC1的体积．20．（12分）如图，菱形ABCD的面积为8，＝﹣4，斜率为k的直线l交y轴于点P，且＝2，以线段BD为长轴，AC为短轴的椭圆与直线l相交于M，N两点（M 与A在x轴同侧）．（1）求椭圆的方程；（2）求证：AN与CM的交点在定直线y＝1上．21．（12分）已知函数f（x）＝e x（x+a）（a∈R）．（1）讨论f（x）在[0，+∞）上的单调性；（2）函数g（x）＝e x（x﹣）﹣﹣tx在[0，+∞）上单调递增，求实数t的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一道作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ（1﹣cos2θ）＝8cosθ，直线ρcosθ＝1与曲线C相交于M，N两点，直线l过定点P（2，0）且倾斜角为α，l交曲线C于A，B两点．（1）把曲线C化成直角坐标方程，并求|MN|的值；（2）若|P A|，|MN|，|PB|成等比数列，求直线l的倾斜角α．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≥2；（2）若f（x）≥﹣2x2+m，求实数m的最大值．2019年河北省张家口市、沧州市高考数学一模试卷（文科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，集合B＝{x∈Z|﹣2＜x≤2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，1}D．{﹣1，1，2}【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，集合B＝{x∈Z|﹣2＜x≤2}＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：B．2．（5分）复数z＝，则|z|＝（）A．B．5C．D．【解答】解：z＝＝＝＝＝﹣2+i，则|z|＝＝，故选：A．3．（5分）随着时代的发展，移动通讯技术的进步，各种智能手机不断更新换代，给人们的生活带来了巨大的便利，但与此同时，长时间低头看手机对人的身体如颈椎、眼睛等会造成一定的损害，“低头族”由此而来．为了了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包含老、中、青三个年龄段的1500人中采用分层抽样的方法抽取50人进行调查，已知这50人里老、中、青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里老年人人数为（）A．490B．390C．1110D．410【解答】解：由图可知这50人里老、中、青三个年龄段的分配比例为26%：34%：40%，则这个群体里老年人人数为26%×1500＝390，故选：B．4．（5分）已知直线a，b和平面α，a⊂α，则b⊄α是b与a异面的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当b⊄α，则a与b可能相交，即b与a异面不一定成立，即充分性不成立，若b与a异面，则b⊄α成立，即必要性成立，即b⊄α是b与a异面的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）已知＝（﹣1，1），||＝，|+2|＝，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，＝（﹣1，1），则＝．∵|+2|＝．∴6＝|+2|2＝（）2＝＝2+4•2+4•＝10+4•••＝10+8•．∴＝﹣．∴向量与的夹角为．故选：D．6．（5分）若变量x，y满足，则使z＝x+2y取得最小值的最优解为（）A．（﹣3，﹣1）B．（）C．（2，﹣1）D．（）【解答】解：作出变量x，y满足对应的平面区域如图：由z＝x+2y得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+由图象可知当直线y＝﹣x+经过点A时，直线y＝﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得A（2，﹣1），则z＝x+2y取得最小值的最优解为（2，﹣1），故选：C．7．（5分）已知等比数列{a n}的公比为2且a2，a3+2，a4成等差数列，若＝32，则n为（）A．4B．5C．8D．10【解答】解：∵等比数列{a n}的公比为2且a2，a3+2，a4成等差数列，∴2（a3+2）＝a2+a4，∴2（a1×4+2）＝2a1+，解得a1＝2，∴，∵＝32，∴＝25．解得n＝4．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝（）|x|﹣x，且满足f（2a﹣1）＞f（3），则a的取值范围为（）A．a＜﹣1或a＞2B．﹣1＜a＜2C．a＞2D．a＜2【解答】解：f（x）＝（）|x|﹣x＝（）|x|﹣，则f（﹣x）＝f（x），即函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）＝（）x﹣x为减函数，则不等式f（2a﹣1）＞f（3），等价为f（|2a﹣1|）＞f（3），即|2a﹣1|＜3，得﹣3＜2a﹣1＜3，得﹣1＜a＜2，故选：B．9．（5分）已知点F（﹣c，0）为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，圆O：x2+y2＝c2与双曲线的两条渐近线在第一、二象限分别交于A，B两点．若AF⊥OB，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：点F（﹣c，0）为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，圆O：x2+y2＝c2与双曲线的两条渐近线在第一、二象限分别交于A，B两点．若AF⊥OB，如图：可得渐近线的倾斜角为60°或120°，可得＝，b2＝3a2，所以c2＝4a2，可得e＝＝2．故选：C．10．（5分）中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆．七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，…设内一衡直径为a1，衡间距为，则次二衡直径为a2＝a1+d，次三衡直径为a1+2d，…，执行如图程序框图，则输出的T i中最大的一个数为（）A．T1B．T2C．T3D．T4【解答】解：模拟程序的运行，可得i＝1时，T1＝a1a7＝a1（a1+6d）＝a12+6da1，i＝2时，T2＝a2a6＝（a1+d）（a1+5d）＝a12+6da1+5d2，i＝3时，T3＝a3a5＝（a1+2d）（a1+4d）＝a12+6da1+8d2，i＝4时，T4＝a4a4＝（a1+3d）2＝a12+6da1+9d2，可得：T4＞T3＞T2＞T1．故选：D．11．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx﹣）sin（ωx）（ω＞0），若函数g（x）＝f （x）+在[0，]上有且只有三个零点，则ω的取值范围为（）A．[2，）B．（2，）C．[）D．（）【解答】解：f（x）＝2sin（ωx﹣）sin（ωx）＝2sin（ωx﹣+）sin（ωx）＝﹣2cos（ωx）sin（ωx）＝﹣sin（2ωx+），由g（x）＝f（x）+＝0得f（x）＝﹣，即﹣sin（2ωx+）＝﹣，得sin（2ωx+）＝，∵0≤x≤，∴0≤2ωx≤πω，则≤2ωx+≤πω+，∵sin＝，∴要使sin（2ωx+）＝，在0≤x≤上有三个根，∴+2π≤ωπ+＜+4π，得2π≤ωπ＜，即2≤ω＜，即ω的取值范围是[2，），故选：A．12．（5分）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的所有棱长之和为（）A．2B．4+4C．2+5D．4+5【解答】解：根据棱锥的三视图知，该棱锥是三棱锥，把三棱锥A﹣BCD放入长、宽、高分别为2、1、2的长方体中，如图所示；则该棱锥的所有棱长之和为AB+BC+CA+AD+BD+CD＝+++++2＝2+2+5．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知3x＝，则log2x2＝﹣2．【解答】解：∵；∴；∴；∴；∴．故答案为：﹣2．14．（5分）高三某宿舍共8人，在一次体检中测得其中7个人的体重分别为60，55，60，55，65，50，50（单位：千克），其中一人因故未测，已知该同学的体重在50～60千克之间，则此次体检中该宿舍成员体重的中位数为55的概率为．【解答】解：高三某宿舍共8人，在一次体检中测得其中7个人的体重分别为60，55，60，55，65，50，50（单位：千克），其中一人因故未测，已知该同学的体重50～60千克之间，∵此次体检中该宿舍成员体重的中位数为55，∴因故未测这人的体重在55～60之间，由几何概型得此次体检中该宿舍成员体重的中位数为55的概率为：p＝＝．故答案为：15．（5分）直线y＝x与曲线y＝alnx有两个公共点，则实数a的取值范围是（e，+∞）．【解答】解：若y＝x与曲线y＝alnx有两个公共点，则alnx＝x，x＞0时，有两个根，当x＝1时，方程不成立，即x≠1，则方程等价为a＝，设h（x）＝，则h′（x）＝＝，由h′（x）＞0得lnx﹣1＞0，即lnx＞1，得x＞e，此时h（x）为增函数，由h′（x）＜0得lnx﹣1＜0，即lnx＜1且lnx≠0，得0＜x＜e且x≠1，此时h（x）为减函数，即当x＝e时，函数h（x）取得极小值h（e）＝＝e，当0＜x＜1时，h（x）＜0，作出函数h（x）的图象如图：要使a＝有两个不同的实根，则a＞e，即实数a的取值范围是（e，+∞），故答案为：（e，+∞）16．（5分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点H（﹣，0）的直线与以F为圆心且过原点的圆相切于点N，直线FN交直线l于点M，交抛物线于A，B两点（A 在M，N之间），则＝9．【解答】解：如图，依题意可得|HF|＝p，|NF|＝，⇒∠MFH＝60°，∴|MF|＝2p，|MN|＝2p﹣＝．直线AB的方程为y＝﹣（x﹣）．联立抛物线y2＝2px（p＞0），可得．⇒x A＝，∴|AN|＝|AF|﹣|FN|＝．则＝故答案为：9．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2（b2+c2）＝2a2+bc，b＝，E为线段AB上一点，BE＝BC，△ACE的面积为．求：（1）AE的长；（2）的值．【解答】解：（1）∵2（b2+c2）＝2a2+bc，∴b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A＝＝，∴sin A＝，∵S△ACE＝＝＝．∴AE＝1．（2）∵BC＝BE，∴∠BCE＝∠BEC，又∠BEC+∠AEC＝180°，∴sin∠BEC＝sin∠AEC．∴＝＝＝＝．18．（12分）高考改革是教育体制改革中的重点领域和关键环节，全社会极其关注，近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3+x”模式初露端倪．其中“3”指必考科目语文、数学、外语，“x”指考生根据本人兴趣特长和拟报考学校及专业的要求，从物理、化学、生物、历史、政治、地理六科中选择3门作为选考科目，其中语数、外三门课各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．假定A省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体的15%、35%、35%、15%，依次赋分70分、60分、50分、40分．为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，A省某高中高一（1）班（共40人）举行了一次摸底考试（选考科目全考，单科全班排名，每名学生选三科计算成绩），已知这次摸底考试中的物理成绩（满分100分）频率分布直方图，化学成绩（满分100分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中物理86分，化学70多分．（1）求小明物理成绩的最后得分；（2）若小明的化学成绩最后得分为60分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率．【解答】解：（1）小明同学在这次考试中物理86分，由频率分布直方图得，分数在[80，100]的频率为：[1﹣（0.015+0.025+0.035+0.005）]×10+0.005×10＝0.15，∴小明物理成绩的最后得分为70分．（2）∵小明的化学成绩最后得分为60分，∴小明化学成绩应该按考生成绩从高到低排列，按照占总体的15%～50%，∴小明化学的原始成绩的可能值为[70，80）．（3）小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，基本事件总数n＝＝10，小明此次考试选考科目包括化学包含的基本事件个数m＝＝4，∴小明此次考试选考科目包括化学的概率P＝＝＝．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，上、下底面的面积之比为1：4，侧面A1ABB1⊥底面ABC，并且A1A＝A1B1，∠AA1B＝90°．（1）平面A1C1B∩平面ABC＝l，证明：A1C1∥l；（2）求四棱锥B﹣A1ACC1的体积．【解答】（1）证明：如图，∵平面A1B1C1∥平面ABC，且平面A1C1B∩平面ABC＝l，A1C1B∩平面A1B1C1＝A1C1，∴A1C1∥l；（2）解：∵底面ABC是等边三角形，取AB中点O，连接CO，则CO⊥AB，∵面A1ABB1⊥底面ABC，且面A1ABB1∩底面ABC＝AB，∴CO⊥平面A1ABB1，连接A1C，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，∵上、下底面的面积之比为1：4，∴AB＝2A1B1，由AB＝2，得CO＝，A1B1＝1，则A1A＝A1B1＝1，又∠AA 1B＝90°，∴，则，∴＝；由AC＝2A1C1，得，∴，∴四棱锥B﹣A1ACC1的体积．20．（12分）如图，菱形ABCD的面积为8，＝﹣4，斜率为k的直线l交y轴于点P，且＝2，以线段BD为长轴，AC为短轴的椭圆与直线l相交于M，N两点（M 与A在x轴同侧）．（1）求椭圆的方程；（2）求证：AN与CM的交点在定直线y＝1上．【解答】解：（1）设∠BAD＝2θ，菱形ABCD的边长为m，∵菱形ABCD的面积为8，＝﹣4，∴|AB|•|AD|•sin2θ＝m2sin2θ＝8，＝||•||•cos2θ＝m2cos2θ＝﹣4，∴m2＝12，tan2θ＝﹣2，∴tan2θ＝＝﹣2，∴tanθ＝，∵线段BD为长轴，AC为短轴的椭圆，∴BD＝2a，AC＝2b，∴＝，a2+b2＝12，∴a2＝8，b2＝4，∴椭圆的方程为+＝1，证明（2）∵＝2，|OA|＝2，∴|OP|＝4，∴直线l的方程为y＝kx+4，由（1）可得A（0，2），C（0，﹣2），设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消y可得（1+2k2）x2+16kx+24＝0，△＝（16k）2﹣4×24（1+2k2）＝32（2k2﹣3）＞0，解得k＞或k＜﹣，又x1+x2＝﹣，x1•x2＝，直线AN的方程为y＝x+2，即x＝直线CM的方程为y＝x﹣2，即x＝消x整理可得＝，即＝，整理可得y＝＝＝+1＝+1＝1，故AN与CM的交点在定直线y＝1上．21．（12分）已知函数f（x）＝e x（x+a）（a∈R）．（1）讨论f（x）在[0，+∞）上的单调性；（2）函数g（x）＝e x（x﹣）﹣﹣tx在[0，+∞）上单调递增，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝e x（x+a+1）．当﹣a﹣1≤0，即a≥﹣1时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在[0，+∞）上的单调递增．当﹣a﹣1＞0，即a＜﹣1时，可得函数f（x）在[0，﹣a﹣1）内单调递减，在（﹣a﹣1，+∞）内单调递增．综上可得：当a≥﹣1时，函数f（x）在[0，+∞）上的单调递增．当a＜﹣1时，函数f（x）在[0，﹣a﹣1）内单调递减，在（﹣a﹣1，+∞）内单调递增．（2）g′（x）＝e x（x﹣）﹣tx﹣t，∵函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g′（x）＝e x（x﹣）﹣tx﹣t≥0．∴t≤，x∈[0，+∞）．令h（x）＝，x∈[0，+∞）．则h′（x）＝＞0．∴函数h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．∴h（x）≥h（0）＝﹣．∴t≤．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一道作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ（1﹣cos2θ）＝8cosθ，直线ρcosθ＝1与曲线C相交于M，N两点，直线l过定点P（2，0）且倾斜角为α，l交曲线C于A，B两点．（1）把曲线C化成直角坐标方程，并求|MN|的值；（2）若|P A|，|MN|，|PB|成等比数列，求直线l的倾斜角α．【解答】解：（1）由ρ（1﹣cos2θ）＝8cosθ得ρ2﹣ρ2cos2θ+ρ2sin2θ＝8ρcosθ，∴x2+y2﹣x2+y2＝8x，即y2＝4x．由ρcosθ＝1得x＝1，由的M（1，2），N（1，﹣2），∴|MN|＝4．（2）直线l的参数方程为：，联立直线l的参数方程与曲线C：y2＝4x，得t2sin2α﹣4t cosα﹣8＝0，设A，B两点对应的参数为t1，t2，则t1+t2＝，t1t2＝﹣，因为|P A|，|MN|，|PB|成等比数列，∴|P A||PB|＝|MN|2＝16，∴|t1||t2|＝16，∴|t1t2|＝16，∴＝16，∴sin2α＝，∴sinα＝，∵0≤α＜π，∴α＝或α＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≥2；（2）若f（x）≥﹣2x2+m，求实数m的最大值．【解答】解：（1）f（x）≥2，即|x﹣1|+|x﹣2|≥2，x≥2时，x﹣1+x﹣2≥2，解得：x≥，1＜x＜2时，x﹣1+2﹣x≥2不成立，x≤1时，1﹣x+2﹣x≥2，解得：x≤，故不等式的解集是（﹣∞，]∪[，+∞）；（2）f（x）≥﹣2x2+m，即|x﹣1|+|x﹣2|≥﹣2x2+m，x≥2时，x﹣1+x﹣2≥﹣2x2+m，即m≤2x2+2x﹣3，而y＝2x2+2x﹣3＝2﹣，故m≤﹣，1＜x＜2时，x﹣1+2﹣x≥﹣2x2+m，即m≤2x2+1，故m≤1，x≤1时，1﹣x+2﹣x≥﹣2x2+m，即m≤2x2﹣2x+3，而y＝2x2﹣2x+3＝2+，故m≤，故m的最大值是．。
