2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3-1-1 含答案 精品

直线斜率的三种求法直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个量，是确定直线方程的重要因素，还能为以后直线位置关系及直线与圆位置关系的进一步学习打好基础．．根据倾斜角求斜率例如图，菱形的∠＝°，求两条对角线与所在直线的斜率．分析由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定与的倾斜角，再利用公式＝θ.解∵在菱形中，∠＝°，∴∠＝°，∠＝°.又菱形的对角线互相平分，∴∠＝°，∠＝°.∴∠＝°－∠＝°.∴＝°＝，＝°＝－.评注本题解答的关键是根据几何图形中直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直、两直线的夹角关系等)，确定出所求直线的倾斜角，进而确定直线的斜率．．利用两点斜率公式例直线沿轴正方向平移个单位，再沿轴的负方向平移个单位，恰好与原直线重合，求直线的斜率.分析由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现．因此，本题可以采取在直线上取一点，经过相应的平移后得到一个新点，它也在直线上，则直线的斜率即为的斜率．解设(，)是直线上任意一点，按平移后，点的坐标移动到(－，＋)．∵点也在直线上，∴＝＝－.评注①本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用，同时要注意：点(，)沿轴正方向平移个单位，再沿轴正方向移动个单位，坐标由(，)变为(＋，＋)．②直线过两点(，)，(，)，若＝，≠，则倾斜角等于°，不能利用两点坐标的斜率公式，此时，斜率不存在．．利用待定系数法例如果直线沿轴负方向平移个单位，再沿轴正方向平移个单位后，又回到原来的位置，求直线的斜率．分析本题可以利用例的解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解．除此之外，还可以考虑直线的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果．解设直线的方程为＝＋.把直线左移个单位，上移个单位后直线方程为－＝(＋)＋，即＝＋＋＋.由条件，知＝＋＋＋与＝＋为同一条直线的方程．比较系数，得＝＋＋，解得＝－.评注本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果．直线方程中的“缺陷”．斜截式中斜率“缺陷”。

两条直线的交点坐标
两点间的距离
学习目标.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.掌握两点间距离公式并会应用．
知识点一直线的交点与直线的方程组解的关系
思考直线上的点与其方程＋＋＝的解有什么样的关系？
答案直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．
思考已知两条直线与相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？
答案只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．
思考由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？
答案()若方程组无解，则∥；
()若方程组有且只有一个解，则与相交；
()若方程组有无数解，则与重合．
梳理()两直线的交点
几何元素及关系代数表示
点(，)
直线：＋＋＝
点在直线上＋＋＝
直线与的交点是
()两直线的位置关系
方程组的解一组无数组无解直线与的公共点的个数一个无数个零个
直线与的位置关系相交重合平行
知识点二两点间的距离
已知平面上两点(，)，(，)．
思考当≠，＝时，＝？
答案＝－.
思考当＝，≠时，＝？
答案＝－.
思考当≠，≠时，＝？请简单说明理由．
答案如图，在△中，＝＋，所以＝.
即两点(，)，(，)间的距离＝.。

对应学生用书P57知识点一直线的倾斜角高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A 版必修2081921871．给出下列命题：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；⑤若α是直线l 的倾斜角，且sinα＝22，则α＝45°． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y 轴，因此①正确，②③错误． ④中α＝0°时sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为135°，故⑤错误．2．已知直线l 过点(m ，1)，(m ＋1，1－tanα)，则( ) A ．α一定是直线l 的倾斜角 B ．α一定不是直线l 的倾斜角 C ．180°－α不一定是直线l 的倾斜角 D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角 答案 C解析 设θ为直线l 的倾斜角，则tanθ＝1－tanα－1m ＋1－m ＝－tanα．当α＝0°时，tanθ＝0，此时θ＝0°；当α＝30°时，tanθ＝－33，此时θ＝150°．比较各选项可知选C ．知识点二直线的斜率3．下列叙述不正确的是( )A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应C．与y轴垂直的直线的斜率为0D．与x轴垂直的直线的斜率不存在答案 B解析每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每一条直线都有斜率；垂直于y 轴的直线的倾斜角为0°，其斜率为0；垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，其斜率不存在，故A，C，D正确．4．如图，在平面直角坐标系中有三条直线l1，l2，l3，其对应的斜率分别为k1，k2，k3，则下列选项中正确的是( )A．k3>k1>k2B．k1－k2＞0C．k1·k2＜0D．k3＞k2＞k1答案 D解析由图可知，k1＜0，k2＜0，k3＞0，且k2＞k1，故选D．知识点三斜率公式的应用①A(－2，0)，B(－5，3)；②A(3，2)，B(5，2)；③A(3，－1)，B(3，3)；(2)已知直线l过点A(2，1)，B(m，3)，求直线l的斜率及倾斜角的范围．解(1)①∵A(－2，0)，B(－5，3)，∴k AB＝3－0－5－－2＝3－3＝－1，直线AB的倾斜角为135°．②∵A(3，2)，B(5，2)，∴k AB ＝2－25－3＝0．直线AB 的倾斜角为0°．③∵A(3，－1)，B(3，3)；∴直线AB 的倾斜角为90°，斜率不存在． (2)设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α， 当m ＝2时，A(2，1)，B(2，3)．直线AB 的倾斜角为90°，斜率k 不存在； 当m ＞2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＞0，此时，直线l 的倾斜角为锐角，即α∈(0°，90°)； 当m ＜2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＜0，此时，直线l 的倾斜角为钝角，即α∈(90°，180°)．知识点四三点共线问题6．若A(a ，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则a ＋b ＝________．答案 －12解析 由题意得b ＋22＝2a ＋2，ab ＋2(a ＋b)＝0，1a ＋1b ＝－12．对应学生用书P58一、选择题1．已知直线l 的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是( ) A ．0°≤β＜180° B．15°＜β＜180° C ．15°≤β＜180° D．15°≤β＜195° 答案 D解析 因为直线l 的倾斜角为β－15°，所以0°≤β－15°＜180°，即15°≤β＜2．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在直线的斜率是0，则AC ，AB 边所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0C ． 3D ．2 3 答案 B解析 由BC 边所在直线的斜率是0，知直线BC 与x 轴平行，所以直线AC ，AB 的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC ，AB 的斜率之和为0．故选B ．3．若直线l 的斜率为k ，且二次函数y ＝x 2－2kx ＋1的图象与x 轴没有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．(0°，90°) B．(135°，180°)C ．[0°，45°)∪(135°，180°) D．[0°，180°) 答案 C解析 由抛物线y ＝x 2－2kx ＋1与x 轴没有交点，得(－2k)2－4＜0，解得－1<k<1，所以直线l 的倾斜角的取值范围是[0°，45°)∪(135°，180°)，故选C ．4．如果直线l 先沿x 轴负方向平移2个单位长度，再沿y 轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 设A(a ，b)是直线l 上任意一点，则平移后得点A′(a－2，b ＋2)，于是直线l 的斜率k ＝k AA′＝b ＋2－b a －2－a＝－1．故选B ．5．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l 过点P(1，1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 满足( )A ．k≥34或k≤－4B ．k≥34或k≤－14C ．－4≤k≤34D ．34≤k≤4答案 A解析 如图所示，过点P 作直线PC⊥x 轴交线段AB 于点C ，作出直线PA ，PB ．①直线l 与线段AB 的交点在线段AC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为钝角，斜率的范围是k≤k PA ．②直线l 与线段AB 的交点在线段BC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为锐角，斜率的范围是因为k PA ＝－3－12－1＝－4，k PB ＝－2－1－3－1＝34，所以直线l 的斜率k 满足k≥34或k≤－4．二、填空题6．已知M(2m ，m ＋1)，N(m －2，1)，则当m ＝________时，直线MN 的倾斜角为直角． 答案 －2解析 由题意得，直线MN 的倾斜角为直角，则2m ＝m －2，解得m ＝－2．7．已知点M(5，3)和点N(－3，2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．答案 (1，－5)解析 设P 点坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－5，即P 点坐标为(1，－5)．8．若经过点P(1－a ，1)和Q(2a ，3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13解析 ∵直线PQ 的斜率k ＝3－12a －1－a ＝23a －1，且直线的倾斜角为钝角，∴23a －1<0，解得a<13．三、解答题9．已知点A(1，2)，在坐标轴上有一点P ，使得直线PA 的倾斜角为60 °，求点P 的坐标．解 ①当点P 在x 轴上时，设点P(a ，0)． ∵A(1，2)，∴k PA ＝0－2a －1＝－2a －1．又直线PA 的倾斜角为60 °， ∴－2a －1＝3，解得a ＝1－233， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0．②当点P 在y 轴上时，设点P(0，b)． 同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0，2－3)．综上，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0或(0，2－3)．10．已知实数x ，y 满足关系式x ＋2y ＝6，当1≤x≤3且x≠2时，求y －1x －2的取值范围．解y －1x －2的几何意义是过M(x ，y)，N(2，1)两点的直线的斜率．因为点M 在y ＝3－12x 的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB ，其中A1，52，B3，32．由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是－∞，－32∪12，＋∞．。

3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.掌握两点间距离公式并会应用．知识点一直线的交点与直线的方程组解的关系思考1直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？答案直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．思考2已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？答案只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．思考3由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？答案(1)若方程组无解，则l1∥l2；(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合．梳理(1)两直线的交点(2)两直线的位置关系知识点二 两点间的距离已知平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)． 思考1 当x 1≠x 2，y 1＝y 2时，|P 1P 2|＝？ 答案 |P 1P 2|＝|x 2－x 1|.思考2 当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，|P 1P 2|＝？ 答案 |P 1P 2|＝|y 2－y 1|.思考3 当x 1≠x 2，y 1≠y 2时，|P 1P 2|＝？请简单说明理由．答案 如图，在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2＝|P 1Q |2＋|QP 2|2，所以|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.即两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.类型一 两直线的交点问题命题角度1 代数法判断两直线的位置关系例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l 1：2x －y ＝7和l 2：3x ＋2y －7＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0和l 2：4x －12y ＋8＝0； (3)l 1：4x ＋2y ＋4＝0和l 2：y ＝－2x ＋3.解 (1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －7＝0，3x ＋2y －7＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，－1)．(2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6y ＋4＝0，4x －12y ＋8＝0有无数个解，这表明直线l 1和l 2重合．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y ＋4＝0，2x ＋y －3＝0无解，这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2. 反思与感悟 两条直线相交的判定方法跟踪训练1 直线y ＝2x 与直线x ＋y ＝3的交点坐标是________． 答案 (1,2)解析 联立两方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以两直线的交点坐标为(1,2)．命题角度2 根据交点求参数的值或其范围例2 已知直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围是________． 答案 (－32，2)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝2a ＋1，2x ＋3y ＝a ，得⎩⎨⎧x ＝2a ＋37，y ＝a －27，由⎩⎨⎧2a ＋37>0，a －27<0，得⎩⎪⎨⎪⎧a >－32，a <2.∴－32<a <2.引申探究若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则a 的取值范围又如何？ 解 由例2得交点坐标为(2a ＋37，a －27)，则由⎩⎨⎧2a ＋37<0，a －27<0，得a <－32.反思与感悟 解决此类问题的关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围．跟踪训练2 若直线l 1：y ＝kx ＋k ＋2与l 2：y ＝－2x ＋4的交点在第一象限，则实数k 的取值范围是( )A ．k >－23B ．k <2C ．－23<k <2D ．k <－23或k >2答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－kk ＋2，y ＝6k ＋4k ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧2－kk ＋2>0，6k ＋4k ＋2>0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2<k <2，k <－2或k >－23， ∴－23<k <2.故选C.类型二 求过两条直线交点的直线方程例3 求过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两直线的交点坐标为(－35，－75)．又所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y ＋75＝－3(x ＋35)，即15x ＋5y ＋16＝0. 方法二 设所求直线方程为 (2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以有⎩⎪⎨⎪⎧(2＋λ)×1－(λ－3)×3＝0，(2＋λ)×(－1)－(2λ－3)×3≠0，得λ＝112.代入(*)式，得(2＋112)x ＋(112－3)y ＋(2×112－3)＝0，即15x ＋5y ＋16＝0. 引申探究本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解． 解 设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0， 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直， 3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34，所以所求直线方程为5x －15y －18＝0.反思与感悟 求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括l 2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程．跟踪训练3 直线l 经过原点，且经过另两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0的交点，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x －y ＝0 C ．x ＋2y ＝0 D ．x －2y ＝0答案 B解析 设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0， 即(2＋λ)x ＋(3－λ)y ＋8－λ＝0， 因为l 过原点，所以λ＝8. 则所求直线方程为2x －y ＝0. 类型三 两点间的距离公式及其应用例4 如图，已知△ABC 的三顶点A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)，(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．解 (1)方法一 ∵|AB |＝ (3＋3)2＋(－3－1)2＝52， |AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52， 又|BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝104， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二 ∵k AC ＝7－11－(－3)＝32，k AB ＝－3－13－(－3)＝－23，则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB . 又|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52， |AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52，∴|AC |＝|AB |，∴△ABC 是等腰直角三角形． (2)S △ABC ＝12|AC |·|AB |＝12(52)2＝26，∴△ABC 的面积为26.反思与感悟 (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理． 跟踪训练4 已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值． 解 设P (x,0)，|P A |＝(x ＋1)2＋(－2)2， |PB |＝(x －2)2＋(－7)2， ∵|P A |＝|PB |，∴(x ＋1)2＋4＝(x －2)2＋7， 得x ＝1，∴P (1,0)， ∴|P A |＝(1＋1)2＋4＝2 2.1．已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们的交点是( ) A ．(－1，13)B ．(13，1)C ．(1，13)D ．(－1，－13)答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝0，3x ＋5y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝1.2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5 D ．－1或5 答案 C解析 |AB |＝(a ＋2)2＋42＝5， 解得a ＝1或－5.3．已知△ABC 的顶点坐标为A (－1,5)，B (－2，－1)，C (2,3)，则BC 边上的中线长为________． 答案17解析 BC 的中点坐标为(0,1)，则BC 的中线长为(－1－0)2＋(5－1)2＝17.4．斜率为－2，且过两条直线3x －y ＋4＝0和x ＋y －4＝0交点的直线方程为________． 答案 2x ＋y －4＝0解析 设所求直线方程为3x －y ＋4＋λ(x ＋y －4)＝0， 即(3＋λ)x ＋(λ－1)y ＋4－4λ＝0， ∴k ＝3＋λ1－λ＝－2，解得λ＝5.∴所求直线方程为2x ＋y －4＝0.5．点A 在第四象限，A 点到x 轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A 的坐标． 解 由题意得A 点的纵坐标为－3，设A (x ，－3)， 则(x －0)2＋(－3－0)2＝5，x ＝±4. 又点A 在第四象限，∴x ＝－4(舍)， ∴A (4，－3)．1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)．2．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．课时作业一、选择题1．直线x ＝1和直线y ＝2的交点坐标是( ) A ．(2,2) B ．(1,1) C ．(1,2) D ．(2,1)答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2得交点坐标为(1,2)，故选C.2．已知两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值是( ) A ．－24 B ．6C ．±6D ．以上都不对答案 C解析 联立两条直线的方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －k ＝0，x －ky ＋12＝0，解得x ＝k 2－363＋2k ，∵两直线交点在y 轴上，∴k 2－363＋2k ＝0，∴k ＝±6(经检验知符合题意)．3．已知直角坐标平面上连接点(－2,5)和点M 的线段的中点是(1,0)，那么点M 到原点的距离为( ) A ．41 B.41 C.39 D ．39答案 B解析 设M (x ，y )，由题意得⎩⎨⎧1＝－2＋x 2，0＝5＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－5，∴M (4，－5)．则M 到原点的距离为(4－0)2＋(－5－0)2＝41.4．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，12 B.⎣⎡⎭⎫－14，12。

3.2.3直线的一般式方程学习目标1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．知识点一直线的一般式方程 思考1直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)来表示吗？ 答案能．思考2关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？ 答案一定．思考3当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示怎样的直线？B ＝0呢？ 答案当B ≠0时，由Ax ＋By ＋C ＝0，得y ＝－A B x －C B，所以该方程表示斜率为－A B，在y 轴上截距为－C B的直线；当B ＝0时，A ≠0，由Ax ＋By ＋C ＝0，得x ＝－CA ，所以该方程表示一条垂直于x 轴的直线． 梳理直线的一般式方程知识点二直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系梳理类型一直线的一般式方程 命题角度1求直线的一般式方程例1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是3，且经过点A (5,3)；(2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (3)经过点A (－1,5)，B (2，－1)两点； (4)在x 轴，y 轴上的截距分别为－3，－1. 解(1)由直线方程的点斜式得y －3＝3(x －5)，即3x －y －53＋3＝0.(2)由斜截式得直线方程为y ＝4x －2， 即4x －y －2＝0.(3)由两点式得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，即2x ＋y －3＝0.(4)由截距式得直线方程为x－3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0.反思与感悟(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋CB ＝0，只需确定A B ，CB的值，因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．跟踪训练1根据条件写出下列直线的一般式方程：(1)斜率是－12，且经过点A (8，－6)的直线方程为________________；(2)经过点B (4,2)，且平行于x 轴的直线方程为________________； (3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32和－3的直线方程为________________；(4)经过点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)的直线方程为________________． 答案(1)x ＋2y ＋4＝0(2)y －2＝0(3)2x －y －3＝0(4)x ＋y －1＝0 命题角度2由含参数的一般式求参数例2设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0. (1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________； (2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________. 答案(1)－53(2)－2解析(1)令y ＝0，则x ＝2m －6m2－2m －3，∴2m －6m2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3(舍去)． ∴m ＝－53.(2)由直线l 化为斜截式方程 得y ＝m2－2m －32m2＋m －1x ＋6－2m 2m2＋m －1，则m2－2m －32m2＋m －1＝1， 得m ＝－2或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝－2.反思与感悟(1)方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，需满足A ，B 不同时为0.(2)令x ＝0可得在y 轴上的截距．令y ＝0可得在x 轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程注意验根．跟踪训练2若方程(a 2＋5a ＋6)x ＋(a 2＋2a )y ＋1＝0表示一条直线，则实数a 满足______． 答案a ≠－2解析由⎩⎪⎨⎪⎧a2＋5a ＋6＝0，a2＋2a ＝0，得a ＝－2，∵方程(a 2＋5a ＋6)x ＋(a 2＋2a )y ＋1＝0表示一条直线， ∴a ≠－2.类型二由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直 命题角度1利用两直线的位置关系求参数例3(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？ 解方法一(1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3. (2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1， 即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 方法二(1)令2×3＝m (m ＋1)， 解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. ∴m 的值为2或－3. (2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.反思与感悟对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论：设直线l 1与l 2的方程分别为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)，则l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧A1B2－A2B1＝0，B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.跟踪训练3已知直线l 1：ax ＋2y －3＝0，l 2：3x ＋(a ＋1)y －a ＝0，求满足下列条件的a 的值． (1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解(1)∵l 1∥l 2，∴⎩⎨⎧a (a ＋1)－3×2＝0，2×(－a )－(－3)(a ＋1)≠0，解得a ＝2.(2)a ×3＋2×(a ＋1)＝0，得a ＝－25.命题角度2求平行、垂直的直线方程例4已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直．解方法一(1)l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为 y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.方法二(1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠－12)． 将(－1,3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.反思与感悟一般地，直线Ax ＋By ＋C ＝0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.这是经常采用的解题技巧．跟踪训练4已知点A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0. 求：(1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．解(1)将与直线l 平行的直线方程设为3x ＋4y ＋C 1＝0，又过点A (2,2)，所以3×2＋4×2＋C 1＝0，所以C 1＝－14.所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.(2)将与l 垂直的直线方程设为4x －3y ＋C 2＝0，又过点A (2,2)，所以4×2－3×2＋C 2＝0，所以C 2＝－2， 所以直线方程为4x －3y －2＝0.1．在直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是()A ．30°B ．60°C ．150°D ．120° 答案C解析直线斜率k ＝－33，所以倾斜角为150°，故选C.2．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为() A ．A ≠0B ．B ≠0C ．A ·B ≠0D ．A 2＋B 2≠0 答案D解析方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0. 3．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过() A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 答案C解析由ax ＋by ＝c ，得y ＝－ab x ＋cb ，∵ab <0，bc <0，∴直线的斜率k ＝－ab>0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限．4．已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0， (1)若l 1∥l 2，则m ＝________； (2)若l 1⊥l 2，则m ＝________. 答案(1)－1(2)12解析(1)由题意知⎩⎨⎧1×3－m (m －2)＝0，2m 2≠6×3，得m ＝－1.(2)由题意知1×(m －2)＋m ×3＝0， 得m ＝12.5．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l 的方程． 解由题意，设l 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0， 将点(1,2)代入l 的方程 3＋4×2＋C ＝0，得C ＝－11， ∴直线l 的方程为3x ＋4y －11＝0.1．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k 1＝k 2且b 1≠b 2；若都不存在，则还要判定不重合． (2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0，或A 1C 2－A 2C 1≠0.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性． 2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k 1k 2＝－1. (2)一般地，设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 第二种方法可避免讨论，减小失误．课时作业一、选择题1．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为() A ．－2B ．2C ．－3D ．3 答案D解析由已知得m 2－4≠0，且2m2－5m ＋2m2－4＝1，解得m ＝3或m ＝2(舍去)．2．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则() A ．C ＝0，B >0B ．A >0，B >0，C ＝0 C ．AB <0，C ＝0D ．AB >0，C ＝0 答案D解析通过直线的斜率和截距进行判断．3．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为() A.3，1B.3，－1C ．－3，1D ．－3，－1答案D解析原方程化为x 1a ＋y1b＝1，∴1b＝－1，∴b ＝－1.又∵ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－ab ＝a ，且3x －y －3＝0的倾斜角为60°，∴k ＝tan120°，∴a ＝－3，故选D.4．两条直线mx ＋y －n ＝0和x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是() A ．m ＝1B ．m ＝±1C.⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1D.⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ≠1答案D解析令m ×m ＝1×1，得m ＝±1.当m ＝1时，要使x ＋y －n ＝0与x ＋y ＋1＝0平行，需n ≠－1. 当m ＝－1时，要使－x ＋y －n ＝0与x －y ＋1＝0平行，需n ≠1. 5．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是()A ．y ＝－3xB ．y ＝3xC ．x －3y ＋2＝0D ．x ＋3y －2＝0答案B 解析如图，已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°， 则直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°. ∴l 的斜率k ＝tan α＝tan60°＝3，∴l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .6．在同一直角坐标系中表示直线ax －y ＝0与x －y ＋a ＝0(a ≠0)正确的是()答案C解析若a >0，直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点在y 轴正半轴上，直线x －y ＋a ＝0过第一、二、三象限，而直线ax －y ＝0过定点(0,0)，倾斜角为锐角，此时各选项都不正确；若a <0，则直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点在y 轴负半轴上，直线过第一、三、四象限，而直线y ＝ax 过定点(0,0)，且倾斜角为钝角，故C 正确． 7．若直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的斜率为() A ．1B ．－1 C ．－2或1D ．－1或2 答案D解析当直线ax ＋y －2－a ＝0过原点时，可得a ＝－2. 当直线ax ＋y －2－a ＝0不过原点时，由题意知，当a ＝0时，直线l 与x 轴无交点，当a ≠0时，直线l 在x 轴上的截距为2＋aa ，与在y 轴上的截距2＋a 相等，可得2＋aa ＝2＋a ，解得a ＝1，或a ＝－2. 综上知，a ＝－2或1. 所以直线l 的斜率为－1或2. 二、填空题8．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________． 答案 －415解析把(3,0)代入已知方程，得(a ＋2)×3－2a ＝0， ∴a ＝－6，∴直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0， 令x ＝0，得y ＝－415.9．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l 的方程为________． 答案4x ＋3y －12＝0或4x ＋3y ＋12＝0解析由题意可设与直线3x －4y －7＝0垂直的直线的方程为4x ＋3y ＋c ＝0， 令y ＝0，得x ＝－c 4，令x ＝0，得y ＝－c 3，则S △＝12|－c 4·(－c 3)|＝6， 得c 2＝122，c ＝±12，∴直线l 的方程为4x ＋3y －12＝0或4x ＋3y ＋12＝0.10．若直线mx －y ＋(2m ＋1)＝0恒过定点，则此定点是________．答案(－2,1)解析由y ＝mx ＋2m ＋1，得y －1＝m (x ＋2)，所以直线恒过定点(－2,1)．11．直角坐标平面上一机器人在行进中始终保持到两点A (a,0)(其中a ∈R )和B (0,1)的距离相等，且机器人也始终接触不到直线l ：y ＝x ＋1，则a 的值为________．答案1解析根据题意可知机器人在线段AB 的中垂线上运动，且轨迹与直线l ：y ＝x ＋1平行，由此可得AB ⊥l ，因此k AB ·k l ＝－1，即1－00－a×1＝－1，解得a ＝1. 三、解答题12．若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线．(1)求实数m 需满足的条件；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值．解(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ m2－3m ＋2≠0，m －2≠0，解得m ≠2. (2)由题意知，m ≠2，由－m2－3m ＋2m －2＝1，解得m ＝0. 13．(1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0.①若这两条直线垂直，求k 的值；②若这两条直线平行，求k 的值．解①根据题意，得(k －3)×2(k －3)＋(4－k )×(－2)＝0，解得k ＝5±52. ∴若这两条直线垂直，则k ＝5±52.②根据题意，得(k －3)×(－2)－2(k －3)×(4－k )＝0，解得k ＝3或k ＝5.经检验，均符合题意．∴若这两条直线平行，则k ＝3或k ＝5.(2)求平行于直线2x －y ＋3＝0，且与两坐标轴围成的直角三角形的面积为9的直线方程．解设直线方程为2x －y ＋c ＝0，设直线在x 轴与y 轴上的截距分别为－c 2和c ， ∴S △＝12×|－c 2|×|c |＝9，解得c ＝±6. ∴所求直线方程为2x －y －6＝0或2x －y ＋6＝0.四、探究与拓展14．已知坐标平面内两点A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是_____． 答案3解析由题可知直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1， 若P 点坐标为(x ，y )，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3，故xy 的最大值为3. 15．经过点A (1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程． 解当截距为0时，设直线方程为y ＝kx ，又直线过点A (1,2)，则得斜率k ＝2，即y ＝2x ；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a ＝1或x a ＋y －a＝1. ∵直线过点A (1,2)，则得a ＝3或a ＝－1.即x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.这样的直线有3条：y ＝2x ，x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.。

两条直线平行与垂直的判定学习目标.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直.能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题．知识点一两条直线平行的判定思考如图，设对于两条不重合的直线与，其倾斜角分别为α与α，斜率分别为与，若∥，α与α之间有什么关系？与之间有什么关系？答案α与α之间的关系为α＝α；对于与之间的关系，当α＝α≠°时，＝，因为α＝α，所以α＝α，即＝.当α＝α＝°时，与不存在．思考对于两条不重合的直线与，若＝，是否一定有∥？为什么？答案一定有∥.因为＝⇒α＝α⇒α＝α⇒∥.梳理类型斜率存在斜率不存在前提条件α＝α≠°α＝α＝°对应关系∥⇔＝∥⇐两直线斜率都不存在图示知识点二两条直线垂直的判定思考如图，设直线与的倾斜角分别为α与α，斜率分别为与，且α<α，若⊥，α与α之间有什么关系？为什么？答案α＝°＋α，因为三角形任意一外角等于与它不相邻两内角之和．思考已知(°＋α)＝－，据此，如何推出思考中两直线的斜率、之间的关系？答案因为α＝°＋α，所以α＝(°＋α)，由于(°＋α)＝－，α＝－，即αα＝－，所以·＝－.思考如果两直线的斜率存在且满足·＝－，是否一定有⊥？如果⊥，一定有·＝－吗？为什么？答案当·＝－时，一定有⊥.不妨设<，即α为钝角，因为·＝－，则有αα＝－，所以α＝－＝(°＋α)，则α＝°＋α，所以⊥.当⊥时，不一定有·＝－，因为如果直线和分别平行于轴、轴，则不存在，所以·＝－不成立．梳理。

学习目标.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活选择直线方程的形式并熟练运用待定系数法求解，渗透数形结合、分类讨论的数学思想．
．直线的倾斜角与斜率
()直线的倾斜角α的范围是°≤α<°.
()＝
()斜率的求法：
①依据倾斜角；②依据直线方程；③依据两点的坐标．
．直线方程的几种形式的转化
．两条直线的位置关系
设：＋＋＝，：＋＋＝，则
()平行⇔－＝且－≠；
()相交⇔－≠；
()重合⇔＝λ，＝λ，＝λ(λ≠)或＝＝(≠)．
．距离公式
()两点间的距离公式．
已知点(，)，(，)，
则＝.
()点到直线的距离公式．
①点(，)到直线：＋＋＝的距离＝；
②两平行直线：＋＋＝与：＋＋＝的距离＝.
类型一待定系数法的应用
例直线被两条直线：＋＋＝和：－－＝截得的线段的中点为(－)，求直线的方程．
解方法一设直线与的交点为(，)，由已知条件，得直线与的交点为(－－，－)，并且满足即
解得
因此直线的方程为＝，
即＋＋＝.
方法二设直线的方程为－＝(＋)，
即－＋＋＝.
由
得＝.
由
得＝.
则＋＝－，。

学习目标.能熟练求出两直线的交点坐标.理解直线过定点的含义.能解决简单的对称问题.体会坐标法的基本思想．知识点一两直线的交点坐标已知直线：：＋＋＝；：＋＋＝，点(，)．()若点在直线：＋＋＝上，则有：＋＋＝.()若点是直线与的交点，则有：知识点二两直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线与的公共点的个数一个无数个零个直线与的位置关系相交重合平行知识点三两点间的距离公式()条件：点(，)，(，)．()结论：＝.()特例：点(，)到原点()的距离＝.类型一直线恒过定点问题例求证：不论取什么实数，直线(－)＋(＋)－(－)＝都经过一定点，并求出这个定点坐标．证明方法一对于方程(－)＋(＋)－(－)＝，令＝，得－－＝；令＝，得＋＋＝.解方程组得两条直线的交点坐标为(，－)．将点(，－)代入方程组左边，得(－)×＋(＋)×(－)－(－)＝.这表明不论取什么实数，所给直线均经过定点(，－)．方法二将已知方程(－)＋(＋)－(－)＝整理为(＋－)＋(－＋＋)＝.由于取值的任意性，有解得所以不论取什么实数，所给直线均经过定点(，－)．反思与感悟解含有参数的直线恒过定点的问题()方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．()方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为＋＋＋λ(＋＋)＝，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成－＝(－)的形式，则表示所有直线必过定点(，)．跟踪训练不论为何实数，直线(－)＋(－)＝－恒过的定点坐标是．答案(，－)解析方法一取＝，得直线＝－.取＝，得直线＝.故两直线的交点为(，－)，下面验证直线(－)＋(－)＝－恒过点(，－)．。