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初中数学 “特殊化”与“一般化”解题策略发表时间：2011-05-18T16:39:47.983Z 来源：《中学课程辅导●教学研究》2011年第9期供稿作者：李金林郑芸[导读] 在人类认识活动中，常常通过特殊去探索一般，从一般去研究特殊。
李金林郑芸摘要：在人类认识活动中，常常通过特殊去探索一般，从一般去研究特殊。
“特殊化”与“一般化”在初中数学中是经常使用的两种重要方法，是学习和研究初中数学必须掌握的数学解题理论。
关键词：特殊化；一般化；初中数学；解题策略作者简介：李金林，郑芸，任教于浙江省衢州华茂外国语学校。
在教学实际中对于一般情况而言，特殊情况往往比较熟悉且易于认识，因而常把特殊化作为实现化归的途径之一。
数学大师希尔伯特曾讲过这样一段话：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用。
我们寻找一个答案而未能成功的原因，就在于这样的事实，即有一些比手头的问题更简单、更容易的问题没有完全解决，这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并且用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们。
”这段话对解数学题很有指导意义，当我们遇到带有一般性问题的题目感到束手无策时，采用特殊化策略就是一个较好的选择。
然而，由于特殊情况往往涉及过多无关宏旨的枝节，从而掩盖了问题的关键，而一般情况则能避免在枝节问题上纠缠，更能明确地表达问题的本质特征。
同时，由于限制条件减少，涉及范围增大，更容易引起联想，发现各种条件与结论之间的内在联系而使问题往往易于解决。
因此，对很多数学问题，我们可以通过构造一般原型并对其进行分析，然后途径特殊化而获得给定问题的解决，这也是数学中常用的方法。
一、“特殊化”与“一般化”的基本思想1.“特殊化”的基本思想特殊化策略即视原问题为一般，构造其特殊问题，通过对特殊问题的解决而获得原问题的解决。
特殊化作为划归策略，基本思想是很简单的：相对于“一般”而言，“特殊”问题往往显得简单、直观和具体，容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常孕育着一般问题的解决。
中考数学选择题的解法技巧分析
〝学习是先生的特性化行为〞，要允许先生各持己见，尊重先生共同体验。
查字典数学网为大家预备了中考数学选择题的解法技巧，欢迎阅读与选择!
1、扫除法。
是依据题设和有关知识，扫除清楚不正确选项，那么剩下独一的选项，自然就是正确的选项，假设不能立刻失掉正确的选项，至少可以增加选择范围，提高解题的准确率。
扫除法是解选择题的直接方法，也是选择题的常用方法。
2、特殊值法。
即依据标题中的条件，选取某个契合条件的特殊值或作出特殊图形停止计算、推理的方法。
用特殊值法解题要留意所选取的值要契合条件，且易于计算。
此类效果通常具有一个特性：题干中给出一些普通性的条件，而要求得出某些特定的结论或数值。
在处置时可将效果提供的条件特殊化。
使之成为具有普通性的特殊图形或效果，而这些特殊图形或效果的答案往往就是原题的答案。
应用特殊值法解答效果，不只可以选用特别的数值代入原题，使原题得以处置而且可以作出契合条件的特殊图形来停止计算或推理。
3、经过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果。
这类方法在近年来的中考题中常被运用于探求规律性的效果，此类题的主要解法是运用不完全归结法，经过实验、猜想、试误验证、总结、归结等进程使效果得解。
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201X中考数学选择题的解法技巧分析
初中阶段是我们一生中学习的“黄金时期”。
不光愉快的过学期，也要面对一件重要的事情那就是学习。
数学网为大家提供了中考数学选择题的解法技巧分析，希望对大家有所帮助。
1、排除法。
是根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下唯一的选项，自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。
排除法是解选择题的间接方法，也是选择题的常用方法。
2、特殊值法。
即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。
用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。
此类问题通常具有一个共性：题干中给出一些一般性的条件，而要求得出某些特定的结论或数值。
在解决时可将问题提供的条件特殊化。
使之成为具有一般性的特殊图形或问题，而这些特殊图形或问题的答案往往就是原题的答案。
利用特殊值法解答问题，不仅可以选用特别的数值代入原题，使原题得以解决而且可以作出符合条件的特殊图形来进行计算或推理。
3、通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果。
这类方法在近年来的中考题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。
小编为大家提供的中考数学选择题的解法技巧分析大家仔细阅读了吗?最后祝同学们学习进步。
浅谈高考数学选择题中“特殊化法”的应用特殊化法是指运用满足题设条件的某些特殊值对各选择支进行检验或推理，根据“一般成立?圯特殊成立，特殊不成立?圳一般不成立”的原理得到正确结论。
此法的主要特征是取特例（如特殊数值、特殊位置、特殊模型等），解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊，效果愈好。
下面举几个例子来说明用特殊化解题的方法。
一、特殊数值从条件或者选择支中，取一些方便于计算和推理的数值进行验证，从而否定答案，包括取特殊值构造特殊数列或构造特殊项数、取特殊的角等等。
有时候一次能成功，但是有时候必须取两次、三次甚至更多，切忌“一次成功”。
例１.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6=9则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A.12B.10C.8D.2+log35解法１：由9=a5a6=a1q4×a1q5=a12q9，可得a1a2…a10=a110q1+2+3+…+9=a110q45=（a12q9）5=q5=310原式=log3a1a2…a10=10因此选Ｂ。
解法２：由等比中项性质可得9=a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7，原式＝log3（a 5 a 6 ）5=5log39=10。
这两种解法虽然都正确，都是把一道选择题当作一道解答题求解，并没有考虑到选项及选项只有一个是正确的这两个信息。
从这两个信息思考，不管这个数列的通项公式{an}是什么，答案都是唯一确定的。
既然如此，为什么不取一个特殊数列？解法3：令a5=a6=3，满足已知条件，此时是一个公比为１的等比数列，因此各项均为３，而log33=1，于是10个１相加得10，故选Ｂ。
解法3相对于前两个解法减少了运算量，甚至没有运算量，用的时间自然就少，解法自然就简捷。
二、特殊位置对于具有动态的问题，可以优先考虑问题极端情况，包括在中点、端点时的情形、在相等时取到最值的情形、在某个不断变换时的变化趋势和极限状态等。
运用特殊思想，指导数学解题作者：姜威来源：《课程教育研究》2017年第31期特殊化思想，就是将数学难题中普遍出现的难题用特殊情况进行解决，之后再由特殊方法解决一般问题，从整体到部分，再由部分到整体，快速准确地解决数学难题。
特殊化思想将在数学解题中起到事半功倍的效果，老师应在平时的教学中将这种思想加以渗透，提高解题效率。
笔者主要从三个特殊思想指导数学解题：验证特值，高效解题；关注最值，突破问题；善用极限，分析趋势。
一、验证特值，高效解题特殊是在一般的基础上，运用特殊方法，巧妙解决数学问题，从而得到正确的结果。
在数学解题中，如果客观题的题目中所要解的答案是一个定量或定值时，有时不需要将题目中所有的条件都用上，可以运用题目中的特殊值，划定范围，缩小题目要求，缩短计算过程，简化解题步骤，快速解出答案，有效节约时间。
例如，我在讲解高中数学“三角函数”和“等差数列”后，选取了这样一道题：已知三角形的三个边是等差数列，那么tanA/2×tanC/2的值恒为__。
这是一道填空题，不需要在卷纸上列出过程，所以就可以用特殊值这种简便的方法加以计算。
题目中知道三角形的三个边是等差数列，对三个角并没有什么要求，所以，就可以假设三角形的三个边的差为0，三角形的三个边相等，即a=b=c，那么，三角形的三个角也相等，即A=B=C=60°，并且带入题目中的式子，tan30°×tan30°为1/3，就可以得出答案。
还有另一种方法，既然题目中说三角形的三个边成等差数列，而实际中，三个边分别为3、4、5的直角三角形的三个边也为等差数列，所以可以设三个边中a=3，b=4，c=5，也得tanA/2×tanC/2也为1/3，两种特殊方法算出的结果相同。
不仅简化了计算过程，而且验证了计算结果，保证结果的准确性。
由特殊到一般贯穿人类发展的始终，在数学学习中也不例外。
通过这个题的讲解，既涉及了等差数列，又涉及了三角函数，将题目中广泛的已知用特殊值加以计算，不仅解决了数学问题，而且发现了数学真理。
特殊化思想在初中数学解题中的应用策略研究作者：刘松风来源：《中学课程辅导·教师通讯》2020年第14期【内容摘要】数学是一门具备较强逻辑性的学科，在实际教学过程中，数学学科更加注重习题解答步骤本身的规划性。
在此背景下，为了能够帮助学生更好的了解以及掌握数学解题方法，教师需要教授学生一些特殊化的解题策略，以此解决那些用普通解题思路无法解决的难题。
本文对这种特殊化的解题策略进行了分析，并通过典型实例探究了初中数学解题过程中特殊化思想的应用策略。
【关键词】特殊化思想初中数学解题培养学生的数学意识与应用数学方法之间存在着密切的联系，数学方法包括了待定系数法、换元法、归纳法、基本图形法以及综合分析法等。
数学家G·波利亚提出，数学存在两个方面的内容，一方面数学被认为是一门严谨科学，由此可见，数学更加像是一个系统化的演绎科学，可是从另一方面来看，数学也像是一种实验性归纳科学。
特殊化思想更像是数学发现以及创造过程中相对具体的一面，这些内容主要凸显在数学基础教育工作中。
当前，随着新课程改革的持续深入，让学生合作交流、自主探讨，获得问题解决的最终结论，在探讨以及交流的整个过程中，让学生自主发挥自身的能力，以后遇到与之类似的问题，能够先讨论特殊情况，然后将其划归为一般方法，以此提升学生学习能力，实现减负和增效的目的。
数学课程并非是将现有的结论转移给学生，而是按照数学思想的实际发展脉络，创设问题的情境，然后利用多种方法，设计一系列的问题，使得学生能够通过对大量图形以及实际问题的分析，从直观想象———猜想———归纳，最终对内容进行验证和证明，使得学生能够参与到数学建构的整个构成中，逐渐的认识与掌握事物，培养创造能力，有效提升数学素质。
一、特殊化思想概述特殊化思想是将原问题作为一般，形成特殊问题，在对特殊问题进行解决的过程中实现对原问题的解答。
特殊化思想被看作是一种划归策略。
相较于一般思想来说，特殊化问题更加的具体、简单以及直观，容易被理解，并且在解决特殊问题的进程中，通常会孕育了一般问题解决方法。
特殊化方法的应用
1）利用特殊值(图形)解选择题
当符合题设条件的对象或元素很多并且结论唯一时，如果直接求解比较困难，不妨在符合条件的范围内选择一个或几个特殊的值(图形)加以考察，通过推理或计算，作出正确的判断。
2）利用特殊化探求问题结论
3）某些与定值、定点、定直线有关的问题，可用特殊化将问题引向极端，舍去不确定的因素，先求出这个定值、定点或定直线，从而使解题方向更加明确。
4）利用特例检验一般结果
一个公式是否正确，可以取特例加以验证。
若发现公式对特例不成立，就可肯定记忆有错；但是公式对特例成立并不能断定该公式就正确。
在解题过程中有时需要进行比较复杂而又冗长的计算，最终算得的结果又不“漂亮”，对所得答案的正确性自己感到吃不准。
这时就可以用特例帮助检验其正确性。
若对特例不成立，则计算必定有误；若对特例结果成立，虽然还不能断定计算结果一定正确，但至少可增强我们对答案的信任程度。
妙用特殊化思想巧解中考数学选择题
特殊化思想就是把研究对象或问题从原有范围缩到小范围或个别情形进行考察的思维
方法。
用特殊化思想解题的理论依据是“一般包含特殊，特殊属于一般”，其解题的思维路线如下：
因此，对于选择题，要检验一般性结论是否成立，只要验证特殊情况是否满足要求即可
判断结论是否正确。
那么，怎样应用特殊化思想求解选择题呢？下面本文将结合往年全国各省市中考数学选择题，向大家详细介绍：
一含字母类选择题赋特殊值求解
例1（2009年江苏省中考题）如下图1所示，数轴上A,B 两点分别表示实数a,b,则下
列结论正确的是（ ）
图1
0>+b Aa 0>Bab 0>-b Ca 0>-b a D
解：由图1知，1,10-<<<b a ，不妨令5.1,5.0-==b a ，则01<-=+b a ，
075.0<-=ab ，02>=-b a ，01<-=-b a ，综观各个选项，只有C 项正确，故选C
例2（2006年天津市中考题）若10<<x ，则3
2,,x x x 的大小关系是（ ）
32
x x
Ax << 23
x x
Bx << x x
Cx
<<2
3
x x
Dx
<<3
2
解：10<<x ∴令2
1=
x ，则4
12
=
x
，8
13
=
x ，从而有x x x <<2
3
，故选C 。
例3（2004年宁波市中考题）已知b a ,为实数，且1=ab ，设1
1
++
+=
b b a a M ，
1
11
1++
+=
b a N ，则N M ,的大小关系是（ ）
N M A >. N M B =. N M C <. 不确定D
解：1=ab ∴令1==b a ，则11
111
111
1
=++
+=
++
+=b b a a M ，
11
111
111
11
1=++
+=
++
+=
b a N ，从而有N M =，故选B
例4（2009年深圳市中考题）若不等式组 2
3122662x x x x +>
+-<-的整数解是（ ）
21.、A 321.、、B 33
1.
<<x C 210.、、D
解：依题意知，题目求的是“整数解”，而C 项包含分数，所以先被排除；对比A,B 和D 项发现，它们的共同部分是“21和”，而不同的是“0和3”。
所以，我们抓住不同的特值进行验证即可得知答案。
当0=x 时，2
32
3,
112,626,662=+=+=--=-x x x x 不满足
2
312x x +>
+，从而知0不合题意；当3=x 时，3
2
3,
712,026,062=+=+=-=-x x x x
不满足x x 2662-<-，从而知3不合题意。
故B 和D 被排除，选A 。
小结：赋特殊值法是求解含字母类中考数学选择题的最有效武器。
其求解关键在依据题意，选准特殊值验证。
像以上四例从题设条件出发，赋予我们常见的特殊值去求解，从而使得解题过程既简便又快捷。
二判断型或探索条件型的选择题用特殊值断定
例5（2001年山东省中考题）若a 为实数，则下列代数式中，一定是负数的有（ ）
2
.a A - 2
)1(.+-a B 2
.a
C -
)1(.+--a D
解：0,0,0)1(,02
22≥-≥≥+≥a a
a a
∴
当0)
1(2
2
2
=-==+=a a
a a
时，0)
1(2
2
2
=-=+-=-a
a a
，
01)1(<-=+--a ,故选D
例6（2001年天津市中考题）若b a >，且c 为实数，则（ ）
bc ac A >. bc ac B <. 22
.bc ac
C > 2
2
.bc
ac
D ≥
解：c 为实数 ∴令0=c ，则bc ac =，2
2
bc
ac =
纵观各个选项，只有选项D 符合要求，故选D
例7（2009年成都市中考题）若关于x 的一元二次方程0122
=--x kx 有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（ ）
1.->k A 01.≠->k k B 且 1.<k C 01.≠<k k D 且
解：由一元二次方程的定义知0≠k ，从而排除A 和C ；再由原方程有两个不相等实数根得，04)2(2
>+-=∆k 解得1->k ，从而排除D ，选B 。
例８（200８年内蒙古自治区中考题）若分式
m
x x
+-21
2
不论取何实数总有意义，则
m
的取值范围是（ ）
1.≥m A 1.>m B 1.≤m C 1.<m D 解：1)1(11222
2
2
-+-=-++-=+-m x m x x m x x
分式
m
x x
+-212
总有意义
∴
不论x 取何实数，01)1(2
≠-+-m x 恒成立
又0)1(2
≥-x 01>-∴m 则1.>m 故选B
例9（2007年武汉市中考题）若1≤a ，则3)1(a -化简后为（ ）
1)1(--a a A a a B --1)1( a a C --1)1( 1)1(--a a D 解：1≤a ，∴不妨令0=a ，此时1)1(--a a 和1)1(--a a 无意义，从而排除A 、D ；当0=a 时，1)
1(3
=-a ，11)1(=--a a ，11)1(-=--a a ，故选B
小结：特殊值“０”是判断型或探索条件型中考数学选择题的利刃剑。
像例5—例8，倘若我们在求解时，没有充分考虑“0”这种特殊情况，则极易会出错；而例9则用“0”作判断工具，从而把问题简单化。
所以，我们求解选择题时，要高度重视“0”这个特殊值，从而远离命题人设置的陷阱。
三“任意点”选择题作特殊化处理
图2
B
D
图3
B
C
例10（2008年茂名市中考模拟题）如左上图2,E 是平行四边形ABCD 对角线AC 上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
ABCD
AED BEC S S S A 平行四边形
2
1.>
+∆∆ ABCD
AED DEC S S S B 平行四边形
2
1.>
+∆∆
DEC BEC S S C ∆∆=. ABE DEC BEC S S S D ∆∆∆=+.
解：E 是平行四边形ABCD 对角线AC 上任意一点 ∴假设E 是AC 的中点，则由平行四边形的性质知，E 也是BD 的中点，即DE BE = 此时，E D B ,,三点共线，则C 到BE 的距离和C 到DE 的距离相等，从而知，BEC
∆
底边BE 上的高和DEC ∆底边DE 上的高相同
DEC BEC S S ∆∆=∴.（同高等底的两个三角形的面积相等） 故选C
例11（2003年河北省中考题）如右上图3，E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BC BE =,P 为CE 上任意一点，BC PQ ⊥于点Q ,BE PR ⊥于点
R ,则PR PQ +的值是（ ）
2
2A
2
1B
2
3C
3
2D
解：P 为CE 上任意一点
∴不妨把P 置于E 点位置，即P 与E 重合（如图3所示），此时， BE PR ⊥不存在，即0=PR
又 在正方形ABCD 中，0
45=∠CBD 即0
45=∠QBP ,且1==BC BE
2
245
sin 1sin 0
=
⋅=∠⋅=∴QBP BE PQ 故2
2=
+PR PQ 即选A
小结：把某条线段上的任意点问题作特殊化处理的重要法宝是把这个任意点置于此条线段的中点或者此条线段的两个端点的位置来考虑问题。
像例10把任意点E 置于AC 的中点的位置，再结合平行四边形的性质和“同高等底的两个三角形的面积相等”的性质求解，从而化繁为简，化难为易；而例11则把任意点P 作极端化处理——把P 置于E 点位置来考虑问题，从而化抽象为具体，化陌生为熟悉。
综上可见，用特殊化思想求解中考数学选择题是非常巧妙的。
但是，并不是所有题目都可以用特殊化思想求解。
尤其对于解答题，倘若我们盲目地用特殊化思想求解，则会犯以偏概全的毛病，从而把问题弄巧成拙。
所以，我们在用特殊化思想解题时，必须结合题设条件，做到具体问题具体分析，才能在中考中立于不败之地。
