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求值域的方法大全及习题求值域方法常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x=∈的值域。
例2、 求函数x 3y -=的值域。
【同步练习1】函数221xy +=的值域.（2）、配方法：二次函数或可转化为形如cx bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R=-+∈的值域。
例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例3、求()()22log 26log 62log222222-+=++=x x x y 。
（配方法、换元法） 例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+g 的值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
（配方法、换元法）例6、求函数xx y 422+--=的值域。
（配方法）1、求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]x xy x --=-+∈-的最大值与最小值.4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x xf x -=-⋅+的值域. 6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域． 例1、求()f x x =【同步练习3】求函数xx y 21--=的值域。
求值域方法常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
例2、 求函数x 3y -=的值域。
【同步练习1】函数221xy +=的值域.（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（配方法、换元法）例4、设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+g的值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
（配方法、换元法）例6、求函数x x y 422+--=的值域。
（配方法） 【同步练习2】1、求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]xx y x --=-+∈-的最大值与最小值.4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域.6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例1、求()f x x =+【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。
函数值域十三种求法1. 直接观察法利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域 解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]评注：配方法往往需结合函数图象求值域．3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 对于形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a ，2a 不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x 的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:.112..22222222b a y 型：直接用不等式性质k+xbx b. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx nx mx n d. y 型 x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1 例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。
高中求值域练习题及讲解高中数学：求值域练习题及讲解在高中数学中，函数的值域是一个重要的概念，它描述了函数输出的所有可能值的集合。
掌握求值域的方法对于理解函数的性质至关重要。
以下是一些常见的求值域练习题，以及解题思路的详细讲解。
练习题1：已知函数 \( f(x) = \sqrt{x + 2} \)，求其值域。
解题思路：- 首先确定函数的定义域，即 \( x \) 的取值范围使得 \( \sqrt{x+ 2} \) 有意义。
- 由于根号内的值必须非负，因此 \( x + 2 \geq 0 \)，解得 \( x\geq -2 \)。
- 接下来，考虑 \( f(x) \) 的最小值。
当 \( x = -2 \) 时，\( f(x) = \sqrt{0} = 0 \)。
- 随着 \( x \) 的增加，\( f(x) \) 会无限增大，因此值域为\( [0, +\infty) \)。
练习题2：若函数 \( g(x) = \frac{1}{x} \)，求其值域。
解题思路：- 确定函数的定义域，由于分母不能为零，所以 \( x \neq 0 \)。
- 分析函数的单调性，当 \( x > 0 \) 时，\( g(x) \) 随着 \( x \)的增大而减小；当 \( x < 0 \) 时，\( g(x) \) 随着 \( x \) 的减小而减小。
- 因此，\( g(x) \) 没有最大值，但有最小值，当 \( x \) 趋向于正无穷或负无穷时，\( g(x) \) 趋向于 0。
- 值域为 \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)。
练习题3：给定函数 \( h(x) = x^3 - 3x \)，求其值域。
解题思路：- 首先求导数 \( h'(x) = 3x^2 - 3 \)，以确定函数的增减性。
- 解 \( h'(x) = 0 \) 得到 \( x = \pm 1 \)，这两个点可能是极值点。
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为 .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
求函数的值域一、基础知识： 1、求值域的步骤： （1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤） （3）计算出函数的值域2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。
（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。
若()f x 为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。
（2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然 （3）换元法：()f x 的解析式中可将关于x 的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。
（4）最值法：如果函数()f x 在[],a b 连续，且可求出()f x 的最大最小值,M m ，则()f x 的值域为[],m M注：一定在()f x 连续的前提下，才可用最值来解得值域3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。
（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（2y ax bx c =++）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。
（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）例1：函数()2f x x =的值域是（ ）A. [)0,+∞B. 17,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数，求得值域即可。
解：()f x 的定义域为[)1,+∞令t =0t ∴≥ ，则21x t =+()2211521248y t t t ⎛⎫∴=+-=-+ ⎪⎝⎭[)0,t ∈+∞()f x ∴的值域为15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例2（1）函数113x y -=的值域为（ ）A. ()0,+∞B. ()()0,11,+∞C. {}|1x x ≠D. ()1,+∞（2）函数()[]1428,2,2x x f x x +=--∈-的值域为__________（3）函数1ln 1x x e y e +=-的值域为__________思路：（1）本题可视为()3f x y =的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值域问题：令11t x =-，则()(),00,t ∈-∞+∞，所以可得()()30,11,t y =∈+∞（2）如前文所说，()()214282228x x x x f x +=--=-⋅-，将2x 视为一个整体令2x t =，则可将其转化为二次函数求得值域 解：()()214282228xx x x f x +=--=-⋅-令2x t =[]2,2x ∈-1,44t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦()222819y t t t =--=-- ()f x ∴的值域为[]9,0-（3）所求函数为()ln f x ⎡⎤⎣⎦的形式，所以求得11x x e e +-的范围，再取对数即可。
值域_求值域的方法大全及习题加详解(总25页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
（）例2、 求函数x 3y -=的值域。
（）答案：值域是：]3,[-∞ 【同步练习1】函数221xy+=的值域. （）解：}210{≤<y y（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
（）例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
（）解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（）（配方法、换元法）解：………所以当41=x 时，y 有最小值-2。
故所求函数值域为[-2，+∞）。
例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+的值域．解：12()4321(23)8xx x f x +=-+=--，02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-，∴函数的值域为[84]--，．评注：配方法往往需结合函数图象求值域． 例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
（★★）例2、 求函数x 3y -=的值域。
（★★） 答案：值域是：]3,[-∞ 【同步练习1】函数221xy+=的值域. （★★）解：}210{≤<y y（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
（★★）例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
（★★★）解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（★★★★）（配方法、换元法）解：………所以当41=x 时，y 有最小值-2。
故所求函数值域为[-2，+∞）。
例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+的值域．解：12()4321(23)8xx x f x +=-+=--，02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-，∴函数的值域为[84]--，． 评注：配方法往往需结合函数图象求值域． 例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
（★★★★）（配方法、换元法）解：()()[]713421342113426421+-+-=-+-=x x x x y =()31134212++-x ，所以27≥y ，故所求函数值域为[72 ，+∞]。
例6、求函数x x y 422+--=的值域。
（★★★）（配方法）][2,0∈y 。
【同步练习2】（★★★）1、求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域. （★★）2、求函数342-+-=x x e y 的值域. （★★★）3、求函数421,[3,2]xx y x --=-+∈-的最大值与最小值. （★★★★）4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. （★★★）5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域. （★★★）6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
（★★★★） 最大值2lg 。
（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例1、求()f x x =+0t =>，则21(0)x t t =-≥，222155()(1)1244f x f t t t t ⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭≤，所以函数值域为5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，4．评注：利用引入的新变量t ，使原函数消去了根号，转化成了关于t 的一元二次函数，使问题得以解决．用换元法求函数值域时，必须确定新变量的取值范围，它是新函数的定义域． 小结：【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。
解：由021≥-x ，得21≤x 。
令()021≥=-t t x 得212t x -=，于是()11212122++-=--=t t t y ，因为0≥t ，所以21≤y 。
故所求函数值域为[-∞，12]。
例2、求函数221x x x y +-=的值域。
解：设⎪⎭⎫⎝⎛≤=2sin πααx ，则 ()⎪⎭⎫⎝⎛-+=-+=+=42sin 22212cos 1212sin 21sin cos sin 2πααααααy 。
所以221221+≤≤-y ，故所求函数值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-221221，。
【同步练习4】求函数2x 54x y -++=的值域。
解：由0x 52≥-，可得5|x |≤故可令],0[,cos 5x π∈ββ=4)4sin(10sin 54cos 5y +π+β=β++β=∵π≤β≤04544π≤π+β≤π∴当4/π=β时，104y max += 当π=β时，54y min -=故所求函数的值域为：]104,54[+-小结：【同步练习5】1、求函数x x y 21-+=的值域. （★★）2、求函数2)1x (12x y +-++=的值域。
（★★★★） 解：因0)1x (12≥+- 即1)1x (2≤+故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β= 1)4sin(2+π+β=∵π≤π+β≤π≤β≤4540,0211)4sin(201)4sin(22+≤+π+β≤∴≤π+β≤-∴ 故所求函数的值域为]21,0[+3、已知函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡95,83，求函数)(21)(x f x f y -+=的值域. （★★★）（4）、函数有界性法（方程法）直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例1、求函数3sin 3sin +-=x x y 的值域。
解：因为03sin ≠+x ，所以3sin 3sin -=+x y x y ，则()yy x -+=113sin 由于1sin ≤x ，所以()1113≤-+yy ，解得212-≤≤-y 。
故所函数的值域为[-2，-12 ]。
求函数1122+-=x x y 的值域110112<≤-∴≥-+=y yyx [)11-∴原函数的值域为例2、求函数3cos 21sin 3+-=x x y 的值域。
解：因为03cos 2≠+x ，所以1sin 33cos 2-=+x y x y ， 即13cos 2sin 3+=-y x y x ，所以9413cos 942sin 943222++=+-+y y x y y x y ，令943cos 2+=y ϕ，942sin 2+=y y ϕ得()9413sin 2++=-y y x ϕ，由194132≤++y y ，解得542≤≤-y ，故所函数的值域为[-2，45 ]。
【同步练习6】求函数11x x e y e -=+，2sin 11sin y θθ-=+，2sin 11cos y θθ-=+的值域. 110112sin 11|sin |||1,1sin 22sin 12sin 1(1cos )1cos 2sin cos 1)1,sin()sin()11即又由解不等式，求出，就是要求的答案x x x e yy e y e y y y y y y yx y x x y θθθθθθθθθθθθ-+=⇒=>-+-+=⇒=≤+--=⇒-=++-=++=++=+≤≤（5）、数形结合法（函数的图像）：对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化．其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例1、 求函数2223(20)()23(03)x x x f x x x x ⎧+--<⎪=⎨--⎪⎩，≤ ≤≤的值域．分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域． 解：作图象如图所示．(1)(1)4f f -==-∵，(2)3f -=-，(3)0f =，(0)3f =-，∴函数的最大值、最小值分别为0和4-，即函数的值域为[40]-，．例2、 求函数22)8x ()2x (y ++-=的值域.解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(B -间的距离之和。
由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10|AB ||8x ||2x |y ==++-= 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10|AB ||8x ||2x |y =>++-= 故所求函数的值域为：],10[+∞例3、求函数5x 4x 13x 6x y 22++++-=的值域.解：原函数可变形为：2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和， 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，43)12()23(|AB |y 22min =+++==，故所求函数的值域为],43[+∞例4、求函数5x 4x 13x 6x y 22++-+-=的值域. 解：将函数变形为：2222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的距离之差。
即：|BP ||AP |y -=由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点'P ，则构成'ABP ∆，根据三角形两边之差小于第三边，有26)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<-即：26y 26<<-（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有26|AB |||BP ||AP ||==- 综上所述，可知函数的值域为：]26,26(-注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。
如：例17的A ，B 两点坐标分别为：（3，2），)1,2(--，在x 轴的同侧；例18的A ，B 两点坐标分别为（3，2），)1,2(-，在x 轴的同侧。
