S13第九届全国力学史与方法论学术研讨会(负责人郑晓静

一、文献格式的快速引用（一）参考文献的类型参考文献的类型（即引文出处）以单字母方式标识在文献名后并以方括号括起，具体类型标识如下：M ——专著、普通图书 C ——论文集 N ——报纸文章J ——期刊文章 D ——学位论文 R ——研究报告S ——标准 P ——专利对于不属于上述的文献类型，采用字母“Z”标识。

（二）参考文献的格式及实例1、专著类【格式】[序号]作者.书名[M].出版地：出版社，出版年份：起止页码.【举例】[1] 张志建.严复思想研究[M]. 桂林：广西师范大学出版社，1989.[2] 马克思恩格斯全集：第1卷[M]. 北京：人民出版社，1956.[3] [英]蔼理士.性心理学[M]. 潘光旦译注.北京：商务印书馆，1997.[4] 葛家澍，林志军.现代西方财务会计理论[M].厦门：厦门大学出版社，2001：42.[5] Gill, R. Mastering English Literature [M]. London: Macmillan, 1985: 42-45.2、论文集【格式】[序号]作者.篇名[C].出版地：出版者，出版年份：起始页码.【举例】[1] 伍蠡甫.西方文论选[C]. 上海：上海译文出版社，1979：12-17.[2] Spivak,G. Victory in Limbo[C]. Urbana: University of Illinois Press, 1988, .[3] Almarza, . Teacher Learning in Language Teaching [C]. New York: Cambridge University Press. 1996. .3、报纸类【格式】[序号]作者.篇名[N].报纸名，出版日期（版次）.【举例】[6] 李大伦.经济全球化的重要性[N]. 光明日报，1998-12-27(3).[7] French, W. Between Silences: A Voice from China[N]. Atlantic Weekly, 1987-8-15(33).4、期刊类【格式】[序号]作者.篇名[J].刊名，出版年份，卷号（期号）：起止页码.【举例】[1] 王海粟.浅议会计信息披露模式[J].财政研究，2004,21(1)：56-58.[2] 夏鲁惠.高等学校毕业论文教学情况调研报告[J].高等理科教育，2004(1):46-52.[3] 郭英德.元明文学史观散论[J]. 北京师范大学学报（社会科学版），1995（3）.[4] Heider, .& The structure of color space in naming and memory of twolanguages [J]. Foreign Language Teaching and Research, 1999, (3): 62–67.5、学位论文【格式】[序号]作者.篇名[D].出版地：保存者，出版年份：起始页码.【举例】[1] 张筑生.微分半动力系统的不变集[D].北京：北京大学数学系数学研究所,1983：1-7.[2] 刘伟.汉字不同视觉识别方式的理论和实证研究[D].北京：北京师范大学心理系，1998.6、研究报告【格式】[序号]作者.篇名[R].出版地：出版者，出版年份：起始页码.【举例】[1] 冯西桥.核反应堆压力管道与压力容器的LBB分析[R].北京：清华大学核能技术设计研究院，1997：9-10.[2] 白秀水，刘敢，任保平. 西安金融、人才、技术三大要素市场培育与发展研究[R].西安：陕西师范大学西北经济发展研究中心，1998.8、标准【格式】[序号]标准编号,标准名称[S].【举例】[1] GB/T 16159—1996, 汉语拼音正词法基本规则[S].7、专利【格式】[序号]专利所有者.题名[P].国别:专利号,发布日期.【举例】[1] 姜锡洲.一种温热外敷药制备方案[P].中国专利:3,、条例【格式】[序号]颁布单位.条例名称.发布日期【举例】[15] 中华人民共和国科学技术委员会.科学技术期刊管理办法[Z].1991—06—059、译著【格式】[序号]原著作者. 书名[M].译者，译.出版地：出版社，出版年份：起止页码.【举例】[5] 昂温 G，昂温 P S．外国出版史[M]．陈生铮，译．北京：中国书籍出版社，1988．对于英文参考文献，还应注意以下两点：①作者姓名采用“姓在前名在后”原则，具体格式是：姓，名字的首字母. 如： Malcolm Richard Cowley 应为：Cowley, .，如果有两位作者，第一位作者方式不变，&之后第二位作者名字的首字母放在前面，姓放在后面，如：Frank Norris 与Irving Gordon应为：Norris, F. & .；②书名、报刊名使用斜体字，如：Mastering English Literature，English Weekly。

中国科学技术史学会物理学史专业委员会：主任：首都师范大学李艳平教授；副主任：中国科技大学胡化凯教授、大同大学李海教授、清华大学刘兵教授；秘书：首都师范大学白欣博士。

中国科学技术史学会物理学史专业委员会继续挂靠在首都师范大学物理系。

1998-2005年物理学史部分物理学史中的文献目录，收集范围，以国家出版发行的主要报刊杂志为准，侧重物理学史部分以及相关文章。

分类排序：按年代。

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1998-05年物理学史部分杨振宁：与爱因斯坦比肩的物理学家，高策，科学技术与辩证法，1998，4，34～41朱载堉其人，邓宏里，光明日报，1998年8月21日爱因斯坦的宇宙宗教感情，李醒民，方法，1998，8，9～20理论物理学宗师--洛伦兹，刘乃汤，现代物理知识，1998年 5期42～44科学上的伟大发现——纪念居里夫妇发现放射性元素“钋”和“镭”100 周年，王渝生，中国科学报，1998年10月6日计算物理国家极重点实验室简介．沈龙钧等．物理，1998，27（12）249国家“八六三”计划强辐射重点实验室简介．王建荣．物理，1998，27（12）750冲击破波物理与爆轰物理国家级重点实验室简介．谭华．物理，1998，27（12）751物理学志愿者—核物理学家迈耶．刘义保．现代物理知识，1999，1，39-41伦琴对热学和电学的贡献．王较过等．现代物理知识，1999，1，42-43扭秤的发明应用对物理学发展的贡献．朱湘柱等．现代物理知识，1999，1，44-45量子霍尔效应和诺贝尔物理奖．虞? 跃．科学，1999，51（1），55-57中国现代物理学的创造者张锡钧教授．王? 鹤．科学中国人，1999，1，8-11战时日本的物理学家．Laurie M．Brown，南部阳一郎．科学（中译），1999，3，45-48核物理学家张文裕．陈清泉．新华文摘，1999，3，134-137托马斯?杨与杨氏干涉实验．刁述妍等．物理，1999，（28）3，187-190关于集成电路的发明与发明权争论的历史考察—纪念集成电路发明40周年，阎康年，自然辩证法通讯，1999，2，60-68同上帝对话爱因斯坦传奇，董光璧，中华读书报，1999年4月14日几何动力学观念的确立和升华—时空物理百年回顾, 沈葹. 科学,1999,51(2),40-44科学泰斗,良师益友--深切悼念王淦昌先生, 杜祥琬.物理,1999,28(4),244-245王淦昌与诺贝尔奖. 周志成.百科知识,1999,4,36-37晶体管的发明. 李安平.中国科技月报,1999,5,57-57两弹一星,彪炳史册. 李安平.科学时报,1999年5月31日贝尔实验室连获诺贝尔奖的启示. 阎康年.科技日报,1999年5月1日王淦昌对科学创新的诠释—为怀念王老而作. 吴水清.世界科学*,1999,3,35-37迈特纳和她对发现核裂变的贡献. 戴宏毅等.物理,1999,28(5),308-313对朱载堉异径管律的探讨. 冯德民.西北大学学报(自然),1999,29(2),183-186丽江木氏谱牒版本源流考. 和力民.中央民族大学学报(社科),1999,3,47-51白族音乐对中国古代音乐史的贡献. 董锦汉.中央民族大学学报(社科),1999,3,81-83光本性的认识. 刘义保等.现代物理知识,1999,3,40-42开尔文在电磁理论发展中的作用. 刁述妍等.现代物理知识,1999,3,39-40佩兰测定阿伏伽德罗常数的方法. 张东壁.现代物理知识,1999,3,45-46德布罗意与物质波理论. 王教过.现代物理知识,1999,3,47-48赫兹与电磁波的发现. 潘留占等.物理通报*,1999,1,40-42作为一名物理教师的爱因斯坦. 王荣德.物理通报*,1999,3,36-39从超距作用到场. 胡亚敏.物理通报*,1999,3,40-41原子弹爆炸成功．王渝生，科技日报，1999年7月5日论伽利略在科学史上的地位．吴炜．大自然探索，1999，18（3），117-120赫姆霍兹对能量守恒定律的杰出贡献．罗平,大自然探索，1999，18（3），121-127物理学史上的一场大误会．戴宏毅．自然杂志，1999，21（4），237-239爱因斯坦在上海．陈敬全．科学，1999，51（4），37-39中微子的发现．季淑莉．物理，1999，28（7），434-436玻耳兹曼：一位深受哲学困扰的物理学家．成素梅．自然辩证法通讯，1999，3，64-71，74伽利略与罗马教会．张增一．自然辩证法通讯，1999，3，50-58卢瑟福元素嬗变理论的形成和卢瑟福的贝克利亚演讲．宋德生．自然辩证法通讯，1999，3，59-63，58氢弹爆炸成功. 王渝生，科技日报,1999年9月9日μ子原子被发现. 阎康年，科技日报,1999年9月15日殊途同归拿诺--诺贝尔奖的两个案例（物理）分析. 阎康年，科学新闻周刊,1999年24论爱因斯坦的物理学几何化思想. 陈卫平.科学技术与辩证法,1999,16(5),16-18物理学世界图景的变换及其比较. 冉启锋.科学技术与辩证法,1999,16(5),19-23从爱因斯坦到杨振宁. 吴水清.物理通报,1999,8,38-40论物理假说之源. 金蓉.物理通报,1999,5,43-44超导托马克装置建设，王渝生，科技日报,1999年10月20日阿尔法磁谱仪的永磁体，王渝生，科技日报,1999年10月21日南极长城站建成,分子轨道图形理论,高温超导体研究,水道基因组物理图，王渝生，科技日报,1999年11月11日库仑对科学发展的贡献. 王较过.现代物理知识,1999,6,43-44中西方古代对物质不灭论的认识. 胡化凯.自然辩证法通讯,1999,21(6),55-61亥姆霍兹与马赫:实在论者与实证论者，许良等，科学技术与辩证法,1999,16(6),37-40首任物理学研究所主任李书华. 樊洪业.科学时报,1999年11月30日缅怀钱临照先生对中国物理学会和中国电镜学会的贡献. 吴自勤.物理,1999,28(12),746-747对我的老师钱临照先生的怀念. 李林.物理,1999,28(12),748-750缅怀我国晶体范性及电子显微学研究的先驱钱临照先生. 郭可信.物理,1999,28(12),751-752阿拉果对科学发展的贡献. 王较过.物理,1999,28(12),752-755唐五代至宋敦煌的量器及量制. 高启安.敦煌学辑刊,1999,1,59-73无行说对中国古代物理认识的影响. 胡化凯.管子学刊*,1999,1,74-78物理学百年回顾. 本? 刊.世界科学,2000,2,封底爱因斯坦的相对论灵感。

第五届全国力学史与方法论学术研讨会由中国力学学会力学史与方法论专业委员会主办，大连理工大学运载工程与力学学部工程力学系、工业装备结构分析国家重点实验室承办的“第五届全国力学史与方法论学术研讨会”于 2011年9月16－18日在大连国航大厦酒店四楼学术报告厅召开。

本届会议的宗旨是充分交流我国力学工作者在该领域所取得的成果，广泛研讨力学史与方法论方面共性的问题，探索力学史与方法论在力学科研与教学中的重大作用，总结力学研究的方法和规律。

本次会议无论是对力学学科的历史，对了解这门学科和预测这门学科的未来、对教学和科学研究，还是对制定科学研究的规划和对已有科学研究成果的评价上，都具有非常重要的意义。

王希诚教授主持会议第二届力学史与方法论专业委员会主任委员隋允康教授致辞© Copy Right Reserved.大会会场大连理工大学副校长薛光致开幕词，她指出，随着科学技术的发展，现代力学所涉及的对象的复杂性越来越突出，开辟了一系列处于科学前沿的新领域，许多研究成果往往引起一个新的产业部门的诞生与革新，力学体系正孕育着重大变革。

在这一特定的历史时期，举办这样的一次盛会，加强对力学史和方法论的研究，无论对于力学学科自身的创新与发展，还是促进力学与其他学科的交叉与融合都非常必要。

全体代表合影参加本次研讨会的代表55人，他们有长期在力学专业从事教学与科研的老教授、专家，也有对力学史与方法论有浓厚兴趣的中青年科研人员和教师。

会上，北京大学武际可教授回顾了老一辈力学家对力学作为基础学科和应用科学所作的定位，指出力学史和方法论研究应当肩负的重任；北京工业大学隋允康教授追忆了著名力学家钱令希院士的研究的大境界和对计算力学、结构优化设计的贡献；上海大学戴世强教授分析了英国哲学家培根的学问观；清华大学余寿文教授提出了对固体力学研究方向和方法的思考；朱克勤教授论述了欧洲早期大学和科学院对近代科学的贡献；郑兆昌教授论述了关于Poincare参数摄动法和共振单、双模态的非线性动力学问题；海军工程大学郭日修教授揭示了布勃诺夫-伽辽金方法产生过程中的一些细节；太原理工大学杨桂通教授从拉赫马杜林的博士论文阐述了力学如何更好地为工程服务的意义；上海交通大学刘延柱教授用摩擦碰撞的KANE问题例示了力学中还存在一类没有完全解决的问题；大连理工大学张鸿庆教授分析了力学、数学和中国传统文化的关系；吴昌华教授介绍了费马大定理的358年的证明史；王希诚教授论述了力学对微创医疗发展的贡献。

通“材”达识，精业报国作者：龚一卓崔可嘉来源：《陕西教育·高教版》2023年第11期西安交通大学微纳尺度材料行为研究中心（Center for Advancing Materials Performance from the Nanoscale，CAMP-Nano）以材料科学与工程一级国家重点学科和金属材料强度国家重点实验室为依托，以微纳尺度材料的结构与性能为主要研究方向，旨在系统定量地构筑起微纳尺度材料的知识理论体系，为其工业化应用奠定坚实的理论根基和方法指导；同时面向国家重大需求，培养基础扎实、素质全面、具备独立科研与创新能力的国际通用人才。

2009年，微纳尺度材料行为研究中心在时任院长孙军教授（2021年当选中国科学院院士）的鼎立支持下正式成立，由美国约翰·霍普金斯大学教授马恩博士担任主任，时任美国海思创纳米力学仪器制造公司应用研究中心主任单智伟博士（现任西安交通大学校长助理、材料学院院长，2021年国际镁协年度人物）担任执行主任，聘请美国麻省理工学院李巨教授为学术委员会主任，共同推进微纳尺度材料知识理论体系建設。

微纳尺度是连接宏观连续介质力学和量子力学的桥梁，也是材料各种性能发生剧烈变化的尺度区间，中心的建立为抢占这一材料学科的世界学术高地争得了先机。

中心先后从美国加州大学伯克利分校、麻省理工学院、德国亚琛工业大学等国际顶尖高校研究所引进十余位高层次青年学者与外籍博士后，率先在校内成立师生联合党支部，首创“夏令营”学生招募模式。

中心秉承先进的理念，建成了一流的平台，打造了一支国际一流的研发队伍，产出了一批成果，培养了一批人才，并因此获批教育部首批“全国高校黄大年式教师团队”。

师德师风：厚德载物心有大我团队现有17位骨干教师，9名技术人员（博士3名，硕士6名）和2名行政人员，在读研究生102人（博士生48人，硕士生54人）。

中心还聘请了4名荣誉教授和来自匹兹堡大学、阿普杜拉国王科技大学、日立高科技公司等的客座教授、兼职教授10余名（均为本领域的著名专家）。

第41卷第5期力学与实践2019年10月“第九届全国力学史与方法论学术研讨会(HMM-IX)暨中国力学大会-2019力学史与方法论分会场”学术活动纪要“第九届全国力学史与方法论学术研讨会(HMM-IX)暨中国力学大会——2019力学史与方法论分会场”于2019年8月250-280在浙江杭州国际博览中心召开。

本次会议由中国力学学会力学史与方法论专业委员会暨中国科技史学会力学史分会主办，浙江大学航空航天学院承办。

会议分两天进行：8月27日上午，首先由中国力学学会力学史与方法论专业委员会主任委员郑晓静院士致开幕词,随后进行特邀报告；8月28日上午，分为两个平行分会场报告。

本次会议共有近40名专家学者与会报告。

会议还吸引了来自全国众多单位的力学界资深教授、活跃在力学科研与教学第一线的中青年教师以及力学专业研究生参加。

郑晓静院士致辞8月27日上午会场8月27日上午会场前合影在学术交流过程中，10位力学前辈做了精彩纷呈的大会邀请报告：北京大学武际可教授探讨了关于力学史的分期问题，指出现代力学并不是从哥廷根数学学派开始，并提岀了力学史分期的四个基本原则；北京大学王敏中教授结合几个有趣的思维故事，强调了灵感和顿悟在科学研究中的重要性，还介绍了他自己由于顿悟而发表的两篇重要学术论文;北京大学王大钧教授认为虽然工程是结构力学的主要应用领域，但定性理论也在悄悄发展，他和大家分享了自己在结构理论解的存在性、静变形解和模态解的研究成果，以及和美学的联系；清华大学余寿文教授激情洋溢地介绍了他在力学研究中的几个案例以及对力学研究的深刻认识，指出力学研究应百花齐放、不局限于纯理论或纯应用；上海交通大学刘延柱教授建议采用高斯原理为代表的优化方法研究力学问题，指出这类方法具有约束条件能够自动实现等优点；北京工业大学隋允康教授总结出恩师钱令第5期633“第九届全国力学史与方法论学术研讨会(HMM-IX)暨中国力学大会——2019力学史与方法论分会场”学术活动纪要希先生的四个学术特点：在工程与力学之间的洒脱 跨越力，对于数值计算工具的敏锐追推力，在理论与 应用中的高超建模力，在学术上高屋建令瓦和高瞻远瞩的深邃洞察力，并且探讨了成因；天津大学姜楠 教授代王振东教授报告，介绍了冯卡门教授在成立IUTAM 中所起的作用、以及与周培源、顾毓瑪等中国力学家的联系；同济大学嵇醒教授以断裂力学的 裂纹扩展为例，介绍了该领域的几个里程碑工作，强调了科学研究中发展创新智慧的重要性；香港科技 大学余同希教授以20世纪塑性力学和冲击动力学领域的四篇里程碑工作为例，同样强调了巨大、创新的思维跳跃是推动学科发展的主要动力；中科院力 学所的王柏懿教授回忆了力学所在中科大力学系建立中的作用，尤其是钱学森等老一辈科学家的重要 贡献。

龙源期刊网
上海大学揭牌成立“力学与工程科学学院”
作者：郭漪
来源：《学生导报·高中版》2019年第17期
上海大学力学与工程科学学院揭牌仪式暨力学学科前沿研讨会日前举行。

中国力学学会理事长杨卫院士、中国学位与研究生教育学会理事会副会长郑晓静院士、上海大学张统一院士、中国力学学会副理事长方岱宁院士、北京大学魏悦广院士、中国科学院力学研究所何国威院士、南京航空航天大学郭万林院士等全国力学领域的多位著名专家莅临。

众所周知，钱伟长被誉为中国近代“力学之父”，力学学科的很多人都深受钱老等老一辈科学家的影响。

钱老曾经说过：“我没有专业，国家的需要就是我的专业。

”在这种精神的引领下，一代又一代力学工作者凭借深厚的学术造诣、宽广的科学视角，在关系国计民生的重要领域为祖国和人民作出了彪炳史册的重大贡献。

而这一次，从老牌到“力学系”，升级为全新的“力学与工程科学学院”——实则标志着上海大学力学学科的发展将实现飞跃，步入全新的发展阶段。

上海大学力学与工程科学学院党委书记郭兴明介绍，未来，该学院将进一步突出力学核心地位，将重点瞄准航空航天、海洋工程及新材料等和国家戰略发展息息相关的领域，不断夯实学科基础，加强工程学科知识，将科研的优势转化为人才培养的优势。

另据了解，为了构建本科、硕、博人才培养体系，上大力学学科于今年5月成立了“上海大学钱伟长力学班”。

纳米受限环境中水分子输运的物理力学研究的开题报告题目：纳米受限环境中水分子输运的物理力学研究一、选题意义水分子在纳米尺度下的输运特性是纳米技术和生物医学工程等领域研究的热点之一。

现有研究多是针对大分子物质的输运特性进行研究，对于水分子的每一个传输周期的物理过程认识不够深入。

另外，纳米孔、水分子的分子特性以及周围环境等因素都对水分子输运过程产生一定的影响，需要深入研究。

二、研究内容本研究旨在通过仿真研究的方法，探究纳米尺度下水分子输运的物理力学特性。

主要包括以下研究内容：1.基于物理力学理论建立纳米受限环境中水分子输运的数学模型。

2.通过分子动力学模拟方法研究纳米孔径、表面特性等因素对水分子输运的影响。

3.研究水分子在纳米孔中的输运速率、输运距离、输运模式以及输运机制等。

4.研究水分子在纳米孔口周围的分子动力学特性和周围环境对水分子输运的影响。

5.利用计算机模拟方法对水分子输运特性进行可视化展现和分析。

三、研究方法1.搜集相关文献，深入研究水分子在纳米尺度下的输运特性及相关物理力学理论，建立数学模型。

2.采用分子动力学模拟方法，对水分子在纳米孔中的输运特性进行仿真模拟。

3. 利用可视化软件进行数据处理和结果分析，对水分子输运特性进行可视化展现。

四、预期研究结果1.建立纳米受限环境中水分子输运的数学模型，分析不同因素对水分子输运特性的影响。

2.深入研究水分子在纳米孔中的输运规律，探究水分子在输运过程中的机制。

3.得出水分子在纳米孔中的输运特性，包括输运速率、输运距离、输运模式等。

4. 结合可视化软件对水分子在纳米孔中的输运过程进行可视化展现，以更清晰直观的方式展现水分子输运的物理力学特性。

五、研究实施计划第1-3个月：文献综述和相关知识的学习。

第4-6个月：基于物理力学理论建立纳米受限环境中水分子输运的数学模型。

第7-9个月：利用分子动力学模拟方法，研究纳米孔径、表面特性等因素对水分子输运的影响。

第10-12个月：研究水分子在纳米孔中的输运速率、输运距离、输运模式以及输运机制等；利用计算机模拟方法，对水分子输运特性进行可视化展现和分析。

收稿日期:1998-06-17.基金项目:国家自然科学基金(19572031)、国家杰出青年科学基金(19725207)、国家教委高校博士点专项基金、国防科工委科研项目和西安交通大学机械结构强度与振动国家重点实验室基金等资助.作者简介:郑晓静(1959-),女,教授,博士. 文章编号:0455-2059(1999)02-0017-04周期变系数常微分方程动力系统稳定性分析的Liapunov 指数判据郑晓静,武建军,周又和(兰州大学力学系,甘肃兰州　730000)摘要:对于周期变系数常微分方程(组)描述的动力系统,建立了稳定性分析的Liapunov 指数的判别准则:当其动力系统的全部Liapunov 特征指数小于零时,动力系统就是稳定性的;否则,如果动力系统中只要有一个Lia punov 特征指数大于零,则动力系统就丧失稳定性.这一判别方法对于高维变系数常微分方程动力系统,相对于稳定性分析的Flo quet 经典方法而言,具有计算量小和定量搜索方便等优点.关键词:周期变系数;常微分方程(组);动力系统;稳定性分析;Lia punov 特征指数中图分类号:O 175.13 文献标识码:A0　引言对于周期变系数常微分方程动力系统d Yd t =A (t )Y (t ),(1)A (t +T )=A (t )为n ×n 阶的已知系数矩阵,这里T 为动力系统参数变换的一已知周期、Y (t )是由未知函数构成的n 阶列阵,其稳定性分析的经典方法多数是采用Floquet 理论来进行的[1～3].亦即,通过数值生成方程(1)的基解矩阵后,再由基解矩阵的全部特征值来判断其动力系统是否稳定.对于高维动力系统,这种方法的计算量与难度将成倍增长,从而导致搜寻基解矩阵全部特征值的工作就变得并不容易.从非线性动力系统分叉与混沌的理论中,我们知道Liapunov 特征指数用来表示相邻轨线间平均指数发散或收敛的一种度量,在研究非线性动力系统混沌方面显示出了重要作用[4].文[5]将动力系统的Liapunov 特征指数用来判别常系数线性常微分方程动力系统的稳定性,其主要结果为:常系数线性常微分方程动力系统的Liapunov 特征指数等于其微分方程系数矩阵的特征值之实部,这样,就不难给出判别其动力系统稳定性的Liapunov 特征指数判别法则.由于Liapunov 特征指数可以由动力系统的数值积分获得,它相对于搜寻系数(或基解)矩阵全部特征值的数值方法而言将是简便易操作的.对于周期变系数的常微分方程动力系统的稳定性分析,还没有给出用Liapunov 特征指数来判别其动力系统稳定性的判据.本文针对方程(1)的周期变系数动力系统,建立了由Liapunov 特征指数判别其动力系统第35卷第2期1999年6月兰州大学学报(自然科学版)J o urnal of Lanzho u U niv er sity (N atura l Sciences)V o l.35No.2June 1999稳定性的判别法则,然后以典型的M athieu方程给出了Liapunov特征指数判别稳定性的数值算例.1　Liapunov指数的稳定性判据对于周期变系数常微分方程(1)的动力系统,记初始条件为Y(t0)=Y0.(2)于是动力系统(1)的Liapunov指数定义为[4]e(Y0,Y)=limt→∞1t‖Y(Y0,t)‖‖Y(Y0,t0)‖.(3)设e i(i=1,2,…,n)是Y的n维正交单位基向量,则e i=e(e i,Y)=limt→∞1t‖Y(e i,t)‖,　i=1,2,…,n(4)称为动力系统(1)或以(1)式为切向量演化方程的动力系统的Liapunov特征指数.由文[4]知:Liapunov特征指数(4)式还可以通过由对应于动力方程(1)式的点变换Y j+1=G(Y j)(5)来给出.记其点变换的平均时间为f(>0),且记M(Y j)=G(Y j)Y j.(6)在引入K j=[M(Y j)M(Y j-1)…M(Y1)]1/j(7)后,设λi(K j)为矩阵K j的第i个特征值(i=1,2,…,n),则点映射(5)式的n个Liapunov特征指数可以表示为[4]e map i=limj→∞ln|λi(K j)|,(8)而且有关系式e mapi=f e i,　i=1,2,…,n.(9)对于周期变系数的动力系统,设Υ(t)是方程(1)的基解矩阵,即有dΥ(t)d t=A(t)Υ(t).(10)于是(1)式的通解可以表示为Y(t)=Υ(t)C0,(11)其中:C0为n阶的积分常数列阵.由Flo quet理论知[6]:Y(t+T)也是方程(1)的通解.并且存在非奇异矩阵Q,使得Y(t+T)=QY(t)(12)成立.记Y j=Y(t0+j T),　j=0,1,2,…,(13)则由(12)式得到点变换式Y j+1=QY j.(14)于是(6)式中的M=Q,进而K j=[Q j]1/j.(15)设λi(Q)为矩阵Q的特征值,则由(15)式得到|λi(K j)|=|λi(Q)|,　i=1,2,…,n.(16)这样将(16)式代入(8)式后,得到e map i=ln|λi(Q)|,　i=1,2,…,n,(17)18 兰州大学学报(自然科学版) 第35卷进而由(17)和(9)式便得到动力方程(1)的Liapunov 指数为e i =1fln |λi (Q )|,　i =1,2,…,n .(18)由周期变系数微分方程的Floquet 理论知:当所有|λi (Q )|<1时,周期变系数的常微分方程动力系统(1)是稳定的;而当有一特征值|λi (Q )|>1时,动力系统就丧失稳定性.因此,得到用Liapunov 特征指数判别周期变系数常微分方程动力系统稳定性的判据如下:定理　对于周期变系数常微分方程组(1)式描述的动力系统,当其所有Liapunov 特征指数ei <0(i =1,2,…,n )时,其动力系统是稳定的;然而,如果有一个Liapunov 特征指数e k >0(k ∈(1,2,…,n )),则动力系统就出现动力失稳.2　数值算例为了表明用Lia punov 特征指数判别动力系统(1)稳定性的有效性,这里我们以典型的Mathieu 方程[3]x ¨+2a x+(a +b co s t )x =0(20)为例来给出有关计算结果.为了获得Liapunov 特征指数和Q =Υ(T )矩阵,这里我们采用Rung e-Kutta 法给出周期变系数动力方程组(1)式的数值积分响应与矩阵Q 的生成.设时间步为t k ,则由(4)式可以给出对应于e i 的Liapunov 特征指数近似值为e (k )i =1t k ‖Y (e i ,t k )‖.(19)这里,Y (e i ,t k )表示由方程(1)在初值条件Y (0)=e i 下的数值积分响应.随着k 的增大,e (k )i 将收敛到某一确定的值(见附图),从而得到Lia punov 特征指数e i 的定量值.其次,为了求出Q 矩阵的全部特征值,我们先将Q 约化为Hessenberg 阵,再利用收敛较快的带原点位移的双重QR 算法求出Q 矩阵的特征值.在其稳定区域和不稳定区域中各取4点后[3],依上述数值方法求出的相应Liapunov 特征指数和Q 矩阵的特征值列于附表.从中可以看出:本文给出的用Lia punov 特征指数判断系统稳定性的结果与由Flo quet 理论Q 矩阵特征值判别的结果完全相同.(a)a =0.5,b = 3.0,a = 1.0 (b)a =0.5,b = 4.0,a = 1.0附图　M athieu 方程的Liapunov 特征指数随时间的演化Fig.　V ariatio n of Lia punov cha racteristic num ber s for M athieu equa tio n with time19第2期 郑晓静等:周期变系数常微分方程动力系统稳定性分析的Liapunov 指数判据 附表　Mathieu方程的Liapunov特征指数与Q矩阵特征值Table　Liapunov characteristic numbers f or Mathieu equation and characteristic values for matrix Q参数点类型a b a Liapunov特征指数e1e2Q矩阵的特征值λ1λ2S1S2 S3 S4 U1 U2 U3 U4稳定点不稳定点0.5 3.0 1.0-0.13-0.85-4.83×10-3-0.39-0.5 2.0 1.5-0.56-0.95-2.53×10-3-0.03 -0.5 2.5 2.0-0.28-1.700.17 3.6×10-50.0 5.0 2.5-0.01-2.35-4.02×10-7-0.920.5 4.0 1.00.19-1.18 3.23 5.8×10-4-0.5 3.0 1.50.25-1.74-1.57×10-5- 5.0 -0.5 1.0 2.00.19-2.18 3.37 1.1×10-6 -0.5 5.0 2.50.11-2.61-5.96×10-8- 1.98参　考　文　献[1]　N ay feh A H,M oo k D T.N onlinea r o scillatio ns[M].N ew Yo rk:J oh n 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stem,the dy namic system beco mes unstable.This criterion has the merits o f smaller computation a nd simpler searching m ethod as compared with the m ethod based on th e Floquet theo ry which needs to search all characteristic v alues of ma trix o f basic solutio ns o f the dynamic system w hen the system is o f hig h dim ensio n.Key words:periodically v ariable coefficients;ordinary differential equa tions;dy namic system;ana lysis of stability;Liapunov characteristic num ber20 兰州大学学报(自然科学版) 第35卷。