一、用空间向量解决立体几何问题的思路1.坐标法2.基向量法如果在

空间向量在立体几何中的应用:（1)直线的方向向量与平面的法向量: ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量．由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． （2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系:设直线l ,m 的方向向量分别是a ，b ,平面α ，β 的法向量分别是u ,v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； ④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ; ⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ,k ∈R ; ⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ,b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ,b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ,显然],2π,0(∈θ则⋅=><⋅|||||||,cos |212121v v v v v v②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．设直线a 的方向向量是u ，平面α 的法向量是v ，直线a 与平面α 的夹角为θ ,显然]2π,0[∈θ，则⋅=><⋅|||||||,cos |v u v u v u③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α －l －β 在二面角的棱上任取一点O ,在两个半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α －l －β 的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法： 方法一：如图，若AB ，CD 分别是二面角α －l －β 的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角α －l －β的大小就是向量CD AB 与的夹角的大小．方法二：如图，m 1，m 2分别是二面角的两个半平面α ,β 的法向量，则<m 1，m 2>与该二面角的大小相等或互补．（4）根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题． 【例题分析】例1 如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3,OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1,点S 在棱BB 1上，且B 1S ＝2SB ，点Q ，R 分别是O 1B 1,AE 的中点,求证：PQ ∥RS ．【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ =解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A （3，0，0），B (0，4，0)，O 1（0，0，2)，A 1(3，0，2），B 1（0，4，2），E （3，4，0)．∵AP ＝2P A 1， ∴),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)34,0,3(P同理可得：Q (0，2,2）,R (3，2，0）,⋅)32,4,0(S,)32,2,3(RS PQ =-=∴RS PQ //，又R ∉PQ ,∴PQ ∥RS ．【评述】1、证明线线平行的步骤：（1)证明两向量共线;(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明． 例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1,B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行． 解法一:设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A （4,0，0），M （2，0，4），N （4，2，4）,B (4，4，0)，E （0，2，4)，F （2，4，4)．取MN 的中点K ,EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O （2,2，0)，K （3,1,4），G （1，3，4）．MN ＝（2,2，0)，EF ＝(2，2,0)，AK ＝（－1,1,4），OG ＝（－1，1，4)， ∴MN ∥EF ,OG AK =，∴MN//EF ，AK//OG ，∴MN ∥平面EFBD ，AK ∥平面EFBD ， ∴平面AMN ∥平面EFBD ．解法二：设平面AMN 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3），平面EFBD 的法向量是 b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AN AM a a 得⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231a a a a 取a 3＝1，得a ＝（2，－2，1)．由,0,0==⋅⋅BF DE b b得⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3＝1，得b ＝（2，－2,1)．∵a ∥b ,∴平面AMN ∥平面EFBD ．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D （0，0，0)，A (2，0,0），M (2，1，2）,C （0,2，0），N (2，2，1)．∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM设AM 和CN 所成的角为θ ，则,52||||cos ==⋅CN AM CN AM θ ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52解法二：取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ,连接B 1P ，B 1Q ，PQ ,PC ． 易证明：B 1P ∥MA ，B 1Q ∥NC ，∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角． 设正方体的棱长为2，易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B∴,522cos 11221211=-+=⋅Q B P B PQ Q B P B Q PB∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角（锐角)．例4 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质,适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A （0,0，0），B (0，a ，0），),2,0,0(1a A⋅-)2,2,23(1a aa C 取A 1B 1的中点D ，则)2,2,0(a a D ，连接AD ，C 1D ．则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB aDC ==-= ,0,0111==⋅⋅AA DC AB DC∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角．),2,2,0(),2,2,23(1a aAD a a a AC =-= 23||||cos 111==∴AD AC AD C ， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0),B (0，a ,0），A 1(0，0，a 2），)2,2,23(1a aa C -，从而⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a aa AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝（p ，q ，r ）, 由,0,01==⋅⋅AA AB a a得⎩⎨⎧==,02,0ar aq 取p ＝1，得a ＝(1，0,0)． 设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2π,0[,∈θθ.30,21|||||||,cos |sin 111 ===〉〈=⋅θθa a a AC AC AC 【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角,再利用两角互余转换．例5 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，2=BC ，求二面角A－PB －C 的平面角的余弦值．解法二图解法一：取PB 的中点D ，连接CD ，作AE ⊥PB 于E ． ∵P A ＝AC ＝1，P A ⊥AC ， ∴PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB ． ∵EA ⊥PB ，∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小．如图建立空间直角坐标系，则C （0，0，0）,A (1，0，0），B （0，2，0)，P （1,0，1），由D 是PB 的中点,得D ⋅)21,22,21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点，从而⋅)43,42,43(E∴)21,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA ∴⋅=>=<33||||,cos DC EA DC EA DC EA 即二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅33 解法二:如图建立空间直角坐标系，则A （0，0，0),)0,1,2(B ，C （0,1，0)，P (0，0,1），).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP设平面P AB 的法向量是a ＝(a 1,a 2，a 3），平面PBC 的法向量是b ＝（b 1,b 2，b 3）． 由,0,0==⋅⋅AB AP a a得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,02,0213a a a 取a 1＝1，得).0,2,1(-=a 由0,0==⋅⋅CP CB b b 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 取b 3＝1，得b ＝（0,1，1）．∴⋅-=>=<⋅33||||,cos b a b a b a∵二面角A －PB －C 为锐二面角， ∴二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅=-33|33| 【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量,转化为这两个向量的夹角;应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．练习一、选择题： 1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，则二面角E －A 1D 1－D 的平面角的正切值是（ ） (A)2（B ）2（C)5（D)222．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是（ ) (A)30° （B)45° (C)60° （D)90°3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ） (A)31 （B ）32 （C)33 (D ）32 4．如图，α ⊥β ，α ∩β ＝l ，A ∈α ，B ∈β ，A ,B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α ，β 所成的角分别是θ 和ϕ,AB 在α ，β 内的射影分别是m 和n ，若a ＞b ，则下列结论正确的是（ ）（A)θ ＞ϕ,m ＞n （B ）θ ＞ϕ，m ＜n （C)θ ＜ϕ,m ＜n(D ）θ ＜ϕ,m ＞n二、填空题:5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______． 6．已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33,则该正四棱柱的体积等于______．7．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______．4题图 7题图 9题图 8．四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，==BC AB AD 21,P A ⊥底面ABCD ,PD 与底面ABCD 所成的角是30°．设AE 与CD 所成的角为θ ，则cos θ ＝______． 三、解答题：9．如图,正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC ．(Ⅰ)证明：A 1C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值． 10．如图,在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4π=∠ABC ，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点,N 为BC 的中点．(Ⅰ)证明：直线MN ∥平面OCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小．11．如图，已知直二面角α －PQ －β ,A ∈PQ ，B ∈α ,C ∈β ，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α 所成的角为30°．（Ⅰ）证明：BC ⊥PQ ；（Ⅱ)求二面角B －AC －P 平面角的余弦值．练习答案一、选择题：1．B 2．A 3．B 4．D 二、填空题：5．60° 6．2 7．548．42三、解答题：9题图 10题图 11题图 9．以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系D －xyz ．依题设，B (2,2，0)，C （0，2，0)，E （0，2，1），A 1（2,0，4）．),0,2,2(),1,2,0(==DB DE ).4,0,2(),4,2,2(11=--=DA C A（Ⅰ）∵,0,011==⋅⋅DE C A DB C A ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ． 又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE ．（Ⅱ）设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则.,1DA DE ⊥⊥n n ∴⎩⎨⎧=+=+.042,02z x z y 令y ＝1，得n ＝（4，1，－2)．⋅==4214||||),cos(111C A C A C A n n ∴二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值为⋅4214 10．作AP ⊥CD 于点P ．如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ,y ，z 轴建立坐标系．则A （0，0,0)，B (1，0，0），)0,22,22(),0,22,0(-D P ，O (0,0，2）,M （0，0，1），⋅-)0,42,421(N （Ⅰ）⋅--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421(OD OP MN 设平面OCD 的法向量为n ＝（x ,y ,z ），则,0,0==⋅⋅OD OP n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-.022222,0222z y x z y 取,2=z ,得).2,4,0(=n ∵,0=⋅n MN ∴MN ∥平面OCD ． （Ⅱ）设AB 与MD 所成的角为θ ，,3π,21||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--==⋅θθMD AB MD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为⋅3π11．（Ⅰ）证明：在平面β 内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB ．∵α ⊥β ,α ∩β ＝PQ ，∴CO ⊥α ． 又∵CA ＝CB ，∴OA ＝OB ．∵∠BAO ＝45°，∴∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°，∴BO ⊥PQ ,又CO ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面OBC ，∴PQ ⊥BC ．(Ⅱ）由（Ⅰ)知，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ⊥OB ，故以O 为原点,分别以直线OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如图）．∵CO ⊥α ，∴∠CAO 是CA 和平面α 所成的角,则∠CAO ＝30°．不妨设AC ＝2，则3=AO ，CO ＝1．在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°,∴.3==AO BO∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB设n 1＝(x ，y ，z ）是平面ABC 的一个法向量,由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅,0,0AC AB n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03,033z y y x 取x ＝1，得)3,1,1(1=n ． 易知n 2＝（1,0,0）是平面β 的一个法向量． 设二面角B －AC －P 的平面角为θ ,∴,55||||cos 2121==⋅⋅n n n n θ即二面角B －AC －P 平面角的余弦值是⋅55。

空间向量在立体几何中的应用教学设计一、教学目标1.知识目标：了解空间向量的概念和性质，掌握空间向量的基本运算法则。

2.能力目标：能够应用空间向量的知识解决立体几何中的问题，如线段长度、向量共线、线段垂直等。

3.情感目标：培养学生的观察力和分析问题的能力，增强解决问题的自信心。

二、教学重点与难点1.教学重点：空间向量的概念和运算法则。

2.教学难点：将空间向量的知识应用到立体几何问题中。

三、教学准备白板、黑板笔、投影仪、屏幕、计算器等。

四、教学过程Step 1 引入1.教师出示两个立方体模型并提问：你们能用线段表示两个立方体顶点之间的距离吗？2.引出空间向量的概念，并与平面向量进行比较，说明二者的区别。

Step 2 理论讲解1.教师通过投影仪将空间向量的定义、表示和性质呈现给学生，学生做好笔记。

2.教师讲解空间向量的基本运算法则，例如加法、数乘和点乘，并通过具体的例题演示计算过程。

Step 3 实例分析1. 教师出示一道题目：“已知直线l: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$，过直线l上一点A(2,3,4)，作与直线垂直的平面，并找出平面与原点O(0,0,0)的距离。

”2.请学生先思考如何解决这个问题，然后汇报自己的解题思路。

3.教师引导学生运用空间向量的知识来解答问题，并逐步给予提示。

4.学生进行计算，分组讨论和交流思路。

Step 4 拓展应用1.教师设计一道拓展题：“已知线段AB与线段CD的中点E重合，向量BD的坐标为(1,2,3)，向量CE的坐标为(4,5,6)，求向量AD的坐标。

”2.学生尝试解答，提出自己的解题思路。

3.教师引导学生应用向量共线的性质来解答问题，并逐步给予提示。

4.学生进行计算，分组讨论和交流思路。

Step 5 总结与归纳1.教师引导学生回顾本节课的学习内容，总结空间向量的基本性质和运算法则。

2.学生通过小组合作的方式归纳学习过程中的思考和解题方法。

空间向量在立体几何中的应用教学目标1、知识与技能(1) 进一步理解向量垂直的充要条件；(2)利用向量法证明线线、线面垂直；(3)利用向量解决立体几何问题,培养学生数形结合的思想方法；2、过程与方法通过学生对空间几何图形的认识，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的坐标将几何问题代数化，提高学生应用知识的能力。

3、情感态度与价值观通过空间向量在立体几何中的应用，让学生感受数学、体会数学的美感，从而激发学数学、用数学的热情。

教学重点建立恰当的空间直角坐标系,用向量法证明线线、线面垂直。

教学难点、关键建立恰当的空间直角坐标系,直线的方向向量; 正确写出空间向量的坐标。

教学方法启发式教学、讲练结合教学媒体ppt课件学法指导交流指导，渗透指导.课型新授课教学过程一、知识的复习与引人自主学习1.若=x i+y j+z k，那么（x，y，z）叫做向量的坐标，也叫点P的坐标.2. 如图，已知长方体的边长为AB=2,AD=2,1AA '=．以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，试求长方体各个顶点及A C '中点G 的坐标．3.设a =（x 1，y 1，z 1），b =（x 2，y 2，z 2），那么±=（x 1±x 2，y 1±y 2， ）， ⊥⇔ b a ∙=x 1x 2+y 1y 2+ =0.4.设M 1（x 1，y 1，z 1），M 2（x 2，y 2，z 2），则 12M M =（2121,x x y y --， ） [探究]1．直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有 个． 2．空间位置关系的向量表示[合作探究]二、新授课：利用空间向量证明线线垂直、线面垂直例1、如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为BC 的中点，N 为AB 的中点，P 为BB 1的中点．(Ⅰ)求证：BD 1⊥B 1C ；(Ⅱ)求证：BD 1⊥平面MNP ．设计意图：使学生明确空间向量在证明线线垂直、线面垂直中的作用。

空间中直线、平面的平行、垂直教学设计（一）教学内容空间直线、平面间的平行、垂直关系的向量表示，证明直线、平面位置关系的判定定理.（二）教学目标通过用向量方法判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系．发展用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行、垂直关系的判定定理的能力．提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.（三）教学重点及难点重点：用向量方法解决空间图形的平行、垂直问题．难点：建立空间图形基本要素与向量之间的关系，如何把立体几何问题转化为空间向量问题．（四）教学过程设计新课导入：因为空间向量可以表示空间中的点、直线、平面，所以自然地会联想到利用空间向量及其运算可以表示“直线与直线”“直线与平面”和“平面与平面”之间的平行、垂直等位置关系，解决此问题的关键是转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.教材对空间中直线、平面的平行和垂直两种位置关系分开研究，首先研究空间中直线、平面的平行.1.空间中直线、平面的平行问题1：由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？师生活动：学生思考，教师点拨.问题1.1由直线与直线平行，可以得到直线的方向向量间有什u1l1u2l2的方向向量分别为u,v ,则l 1//l 2u //v u =λv , λ∈R.问题1.2由直线与平面平行、平面与平面平行，可以得到直线与面平行.得出结论：直线与平面平行还可以用直线的方向向量与平面法向量垂直进行，平面平行可以转化为法向量共线，教师可以结合右图启发学生对此进行研究.设计意图: 实现将直线平行与直线的方向向量平行的互相转化，直线和平面的平行与直线的方向向量和平面法向量垂直的转化，平面平行与平面法向量共线的转化. 2．空间中直线、平面的平行例题例2. 已知:如图，a ⊄β，b ⊂β，a ⋂b =P ， a //α，b //α. 求证:α//β.师生活动：学生读懂题意，尝试分析解答.老师引导分析.分析：设平面α的法向量为n ，直线a ，b 的方向向量分别为u ，v ，则由已知条件可得n·u =n·v =0，由此可以证明n 与平面β内的任意一个向量垂直，即n 也是β的法向量.学生完成证明, 教师示范解答. 证明：如图，取平面α的法向量n ，直线a ，b 的方向向量u ，v .αn 1βn 2a buvP αnβ因为a //α，b //α， 所以n·u =0，n·v =0.因为a ⊂β，b ⊂β，a ⋂b =P ，所以对任意点Q ∈β，存在x ，y ∈R,使得 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =xu +yv . 从而n·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =n·(xu +yv )=xn· u +yn· v =0. 所以，向量n 也是平面β的法向量．故α//β.设计意图：例2是用向量方法证明平面与平面平行的判定定理，设置例2的目的是使学生体会利用法向量证明两个平面平行的一般基本思路.例3.如图在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=4，BC=3，CC 1=2． 线段BC 上是否存在点P ，使得A 1P//平面 ACD 1? 师生活动：学生读懂题意，尝试解答.老师引导分析.分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，以及平面ACD 1的法向量n 等都可以用坐标表示．如果点P 存在，那么就有n·A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，由此通过向量的坐标运算可得结果.学生完成求解，教师示范解答.解:以D 为原点，DA ，DC ，DD 1，所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A,C,D 1的坐标分别为(3,0,0)，(0,4,0)，(0,0,2)， 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,4,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,2). 设n =(x,y,z )是平面ACD 1的法向量， 则n·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−3x +4y =0−3x +2z =0),所以x =23z ，y =12z .取z =6,则x =4,y =3, 所以n =(4,3,6)是平面ACD 1的一个法向量,由A,C,B 1的坐标分别为（3,0,2)，(0,4,0)，(3,4,2)， 得A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,-2)DABC D 1A 1B 1C 1设点P 满足B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λB 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ≤1)， 则B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3λ,0,-2λ)，所以A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3λ,4,-2λ).令n·A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得-12λ+12-12λ=0，解得λ=12，这样的点P 存在 所以,当B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即P 为B 1C 的中点时，A 1P//平面ACD 1.设计意图：例3是用向量方法判断直线与平面平行的问题，设置例3的目的是使学生体会利用法向量和坐标法解决直线与平面平行问题的一般思路.本题也可以利用共面的充要条件求解. 3.空间中直线、平面的垂直问题2：在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？师生活动：教师引导学生结合图形研究线与面垂直，两平面垂直.教师引导学生类比已经经历了研究空间中直线、平面平行的过程，对直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直关系的研究可以类似地进行，让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式.问题2.1 直线l 1，l 2的方向向量分别为v 1，v 2，直线l 1，l 2垂直时,方向向量v 1，v 2有什么关系？师生活动：让学生自主探究显现垂直时，直线方向向量v 1，v 2有什么关系，教师展示答案.问题 2.2：由直线与平面的垂直关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系呢？师生活动：让学生自主探究线面垂直时，直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系，教师展示答案.问题2.3：由平面与平面的垂直关系,可以得到这两个平面的法向量间有什么关系呢？师生活动：让学生自主探究面面垂直时，两个平面的法向量间有什么关系，教师展示答案.设计意图：让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式，进一步体会空间向量在研究直线、平面间位置关系中的作用. 4.空间中直线、平面的垂直例题例4 如图，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1， ∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，求证：直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1.师生活动：学生读懂题意，尝试解答，老师引导分析.分析：根据条件建立适当的基底向量，通过向量运算证明直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1.证明：设AB a =，AD b =，1AA c =，则{,,}a b c 为空间的一个基底且1AC a b c =+-，BD b a =-，1BB c =.因为AB ＝AD ＝AA 1＝1， ∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°， 所以2221ab c ===，12a b b c c a ⋅=⋅=⋅=. 在平面BDD 1B 1上，取BD 、1BB 为基向量，则对于面BDD 1B 1上任意一点P ，存在唯一的有序实数对(λ,μ)，使得1BP BD BB λμ=+. 所以，1111()()()0AC BP AC BD AC BB a b c b a a b c c λμλμ⋅=⋅+⋅=+-⋅-++-⋅=. 所以1AC 是平面BDD 1B 1的法向量． 所以A 1C ⊥平面BDD 1B 1.设计意图：设置例 4 的目的是使学生体会“基底法”比“坐标法”更具有一般性.教学时要注意让学生体会空间向量基本定理在证明中的作用，体会用空间向量解决问题的一般方法.例 5 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.师生活动：学生读懂题意，尝试解答.老师引导分析,学生完成证明.已知：如图，l⊥α，1⊂β,求证：α⊥β.证明：取直线 l 的方向向量u⃗，平面β的法向量n⃗.因为l⊥α，所以u⃗是平面α的法向量.因为1⊂β，而n⃗是平面β的法向量，所以u⃗⊥n⃗.所以α⊥β.设计意图：设置例 5 的目的是使学生体会利用法向量证明平面与平面垂直的一般思路.教学时要注意突出直线的方向向量和平面的法向量的作用，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系完全转化为两个向量之间的关系，通过向量的运算，得到空间图形的位置关系.5.课堂小结，反思感悟（1）知识总结：（2）学生反思：①通过这节课，你学到了什么知识？②回顾这节课的学习，空间中用向量法判断直线、平面平行与垂直用的具体方法？③在解决问题时，用到了哪些数学思想？设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,教给学生如何总结，提升学生的数学“学习力”. 6.课堂检测与评价1. 如图，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面AB 1，面A 1C 1的中心. 求证：EF//平面ACD 1.证明:设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz , 则根据题意A(2,0,0)，C( 0,2,0)，D 1(0,0,2 )，E( 2,1,1 )， F( 1,1,2 ) 所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)， 设n=( x , y ,z )是平面ACD 1的一个法向量，则n ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⊥AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以{n ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0n ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2z =0)，取x = 1，则y =1，z = 1，所以n = ( 1,1,1 ) 又EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n =(−1,0,1)·(1,1,1)= − 1+1=0，所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n , 所以EF 平面ACD 1.2.如图所示，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明：由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直．以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝(－2,0，12)． 设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 则⎩⎨⎧ n 1·AA1→＝0，n 1·AC→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1.∴n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 则⎩⎨⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0，令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1.∴n 2＝(1，－1,4)． ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .设计意图：第一题证明线面平行，第二题用向量法证明面面垂直，恰当建系向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度，可以使学生巩固课上所学习的知识.7.作业布置完成教材：第31页练习第1，2题第33页练习第1，2，3题第41 页习题1.4 第5，8，11题（六）教学反思1.认识与运用向量及其运算中数与形的关联，体会转化思想.教学中应结合几何图形予以探讨，特别要重视平行六面体、长方体模型作用，引导学生借助图形理解它们，注意避免不联系几何意义的死记硬背;2.深化理解向量运算的作用,正是有了向量运算，向量才显示其重要性.要引导学生结合几何问题，关注向量运算在分析解决问题中的作用;3.重视综合方法、基底向量方法、建立坐标系方法各自特点的分析与归纳，综合方法以逻辑推理作为工具解决问题，基底向量方法利用向量的概念及其运算解决问题，坐标方法利用数及其运算来解决问题，坐标方法常与向量运算结合起来使用，根据它们的具体条件和特点选择合适的方法.总之新的教材，让学生经历向量由平面向空间的推广，重视了知识的发生、发展过程，使学生学会数学思考和推理.。