3.5.1直角三角形的性质和判定(2)检测案

直角三角形的性质与判定教案直角三角形是指其中一个内角为90°的三角形。

在本教案中，我们将学习直角三角形的性质与判定方法。

通过本教案，我们将了解到直角三角形的特点以及如何利用这些特点进行判定。

一、直角三角形的性质1. 边长关系：在直角三角形中，直角边是相对于直角的两条边。

我们可以使用勾股定理来描述直角三角形的边长关系。

根据勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

即，设直角三角形的直角边分别为a和b，斜边为c，那么有a² + b²= c²。

2. 角度关系：在直角三角形中，直角为90°，而其余两个角的和为90°。

即，设直角三角形的一个角为α，另一个角为β，那么有α + β = 90°。

二、直角三角形的判定方法根据直角三角形的性质，我们可以通过以下方法来判定一个三角形是否为直角三角形：1. 根据边长关系判定：若一个三角形的三条边满足勾股定理中的等式关系，即a² + b² = c²或c² = a² + b²，则该三角形是直角三角形。

例如，若一个三角形的边长为3、4、5，则满足3² + 4² = 5²，因此该三角形是直角三角形。

2. 根据角度关系判定：若一个三角形的一个角为90°，则该三角形是直角三角形。

例如，若一个三角形的一个角为90°，另一个角度为45°，则这个三角形是直角三角形，因为90° + 45° = 135°。

3. 综合判定：在某些情况下，我们可以综合使用边长关系和角度关系来判定直角三角形。

例如，若一个三角形的两条边长为5和12，并且夹角为90°，则这个三角形是直角三角形。

因为5² + 12² = 13²，同时夹角为90°。

第三章 全等三角形3．5．1 直角三角形的性质和判定第二课时 含30°角的直角三角形的性质与判定一．预习题纲（1）学习目标展示1．经历探索活动，了解含30°角的直角三角形的性质2．在具体情景中运用含30°角的直角三角形的性质与判定来解决数学问题（2）预习思考1．在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么另一个角是多少？2．在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么斜边上的中线将这个直角三角形分成几个等腰三角形？3．在直角三角形中，如果一个锐角为30°且这个角所对的直角边长为a ，那么斜边长是多少？二．经典例题例1．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，△DBC 是等边三角形，已知BC=12，求AD 的长 【分析】因AD ∥BC ，∠A=90°，∴∠ABC=90°，又△DBC是等边三角形，∴∠ABD=30°，在Rt △ABD 中利用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”可求得AD 的长【简解】因AD ∥BC ，∴∠A+∠ABC=180，又∠A=90°，∴∠ABC=90°，因△DBC 是等边三角形，∴∠DBC=60°，∴∠ABD=30°，因BD=12，AD=6【规律总结】在直角三角形中，如果有一个角是30°，常应用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”来求线段的长或证明线段的倍．分关系三．易错例题例2．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求这个等腰三角形顶角的度数【错解】如图1，在△ABC 中，BD ⊥AC ，因BD=12AB ，∴∠A=30° 【错解分析】错解只考虑了△ABC 是锐角三角形的情况，忽视了△ABC 为钝角三角形的另一种情况【正解】当△ABC 是锐角三角形时，顶角为30°，当△ABC 为钝角三角形时，如图2，CD ⊥BA 交BA 的延长线于D ，因CD=12AC ，∴∠DAC=30°，∴∠BAC=150° 【点拨】在等腰三角形中，当三角形的形状不确定时常分类讨论一．课前预习A B C DA B C D 图1 AB C D 图21． 在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么它所对的直角边等于2． 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 度3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5，则AB=二．当堂训练知识点一：直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半1．如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，若BC=3，则AB= ，BD=2．在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，若AB=10cm ，则BC=3．一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A 处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B 处，上午10时行至C 处，测得灯塔恰好在它的正北方向，问上午8时，该船与灯塔相距多少海里？知识点二： 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30度 4．如图，BD 是△ABC 的高，CD=1，BC=2，AD=3，则∠ABC=5．在直角三角形中，最长边为4，最短边为2，则最长边与最短边的夹角为6．在△ABC 中，如果∠A+∠B=∠C ，且AC=12AB ，求∠B 的度数课时测评：（40分钟，满分100分）一．选择题 （每小题5分，共25分）1． 如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 的度数为（）A ．25°B ．30°C ．45 °D ．60°2．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，则BC ：AB 等于 ( )A B C D 第1题 AB C D 第4题 A B DC E 第1题 东 北ABC 30° 第3题A ． 2：1B ．1：2C ．1：3D ．2 ：33． 等腰三角形的底角为15，腰长为12，则腰上的高为（）A ．3B ．4C ．6D ．124． 在△ABC 中，∠C=90，ED 垂直平分AB 交于D ，交AC 于E ，∠A=30°，则AE 与EC 的关系为（ ）A ．AE=2ECB ．AE=EC C ．EC=2AED ．AE=12EC 5．如图，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∠B=30°，这样图中存在着某些三角形，使其中的一边是另一边的一半，则图中这样的三角形共有（ ） A ．4个 B ．6个 C ．7个 D ．8个二．填空题（每小题5分，共25分）6．在△ABC 中，如果∠A=12∠B ，∠A=13∠C ，则∠A= ，∠B= ，∠C= 7．在直角三角形中，如果有一个锐角多比另一个锐角大30°，则较大锐角为8．△ABC 中，∠AC B=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______．9．如图，ΔABC 中，∠C=90º，∠B=15º，AB 的垂直平分线交BC 于D ，若BD=4cm ，则AC=______10．如图，在△ABC 中，∠A=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC ，AC=12cm ，则CD =三．解答题11．（本题满分12分）如图所示：在ΔABC 中，∠C=90°，∠B=15°AB 的垂直平分线交BC 于D ，且BD=8cm ，求AC 的长．12．（本题满分12分）一艘轮船由南向北航行，在A 处测得小岛P 在西偏北75°方向上，两小时后，船在B 处，测得小岛在西偏北60°方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，若轮AB C D EF 第5题 D C B A 第9题 A B C D 第10题 D E C B A 第11题船仍按每小时15海里的速度向前航行，有无触礁危险？13．（本题满分12分）已知：△ABC 中，∠ACB=90°，AD=BD ，∠A=30°求证：△BDC 是等边三角形．14．（本题满分14分）已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 于M ，猜想CM 与BM 之间有何数量关系，并证明你的猜想。

人教版八年级数学上册第十一章《直角三角形的性质和判定》教案一、教学目标【知识与技能】掌握直角三角形的两个锐角互余。

掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。

【过程与方法】会用直角三角形的性质进行有关推理和计算。

【情感态度与价值观】让学生体会从一般到特殊的思想。

二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。

四、教学重难点【教学重点】探索并掌握直角三角形的两个锐角互余。

【教学难点】经历直角三角形性质的探索过程，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。

能利用直角三角形的性质和判定解决一些简单问题，会用直角三角形的性质进行有关推理和计算。

五、课前准备教师：课件、三角尺、量角器等。

学生：三角尺、直尺、量角器。

六、教学过程（一）导入新课本节课开始之前，先给大家讲一个故事：在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷.你知道其中的道理吗？老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因而是不可能的.（出示课件2）（二）探索新知1.探索直角三角形的性质教师问1：三角形的内角和是多少度？学生回答：三角形内角和为180°.教师问2：我们学习过的三角形按角分类，分为哪些呢？学生回答：所有的三角形只能分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.今天我们将要一块儿学习三角形里面特殊又别致的一个三角形，大家知道是什么吗？出示直角三角形的图形：学生回答：直角三角形.教师讲解：那么老师说它不一般，而且很特殊，那它到底有些什么样的特殊地方呢？下面我就请大家作为探宝者，把它的秘密都给发掘出来教师问3：如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度? （出示课件4）学生回答：30°+60°=90°，45°+45°=90°.教师让同学们利用手里的工具（直尺、量角尺）,随意构建任何大小的直角三角形，等同学们画完以后，让同位互换所画的三角形.教师问4：请同学们量出自己手中的直角三角形的两个锐角，计算一下它们的和是多少度？学生回答：两个锐角的和是90°.教师问5：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？如何证明呢？（出示课件5）学生回答：在直角三角形ABC中，因为∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=180°，即∠A +∠B=90°.教师问6：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？学生回答：直角三角形的两个锐角互余.教师总结：（出示课件6）直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余．应用格式：在Rt△ABC 中，∵∠C =90°，∴∠A +∠B =90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．探究1：利用直角三角形的性质证明角相等或求角的度数例1：（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？（出示课件7）师生共同解答如下:方法一（利用平行的判定和性质）：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠A=∠D.方法二（利用直角三角形的性质）：∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D.（2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.（出示课件8）师生共同解答如下：解：∠A=∠C. 理由如下：∵∠B=∠D=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠C.出示课件9，学生自主练习解答。

1．2直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定；2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．(重点，难点)一、情境导入古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？二、合作探究探究点一：直角三角形的性质与判定【类型一】 判定三角形是否为直角三角形角形的是( )A ．∠A ＋∠B ＝∠C B ．∠A －∠B ＝∠CC ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3D ．∠A ＝∠B ＝3∠C解析：由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角的度数，再判断其形状．A 中∠A ＋∠B ＝∠C ，即2∠C ＝180°，∠C ＝90°，为直角三角形，同理，B ，C 中均为直角三角形，D 选项中∠A ＝∠B ＝3∠C ，即7∠C ＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形．故选D.方法总结：在判定一个三角形是否为直角三角形时要注意直角三角形中有一个内角为90°. 【类型二】 直角三角形的性质的应用D ，CE⊥AB 于E.(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由．(2)如果∠A 是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？解析：(1)根据垂直的定义可得△ABD 和△BCE 都是直角三角形，再根据直角三角形两锐角互余可得∠1＋∠B ＝90°，∠2＋∠B ＝90°，从而得解；(2)根据垂直的定义可得∠D ＝∠E ＝90°，然后求出∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，再根据∠3、∠4是对顶角解答即可．解：(1)∠1＝∠2.∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴△ABD 和△BCE 都是直角三角形，∴∠1＋∠B ＝90°，∠2＋∠B ＝90°，∴∠1＝∠2；(2)结论仍然成立．理由如下：∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠D ＝∠E ＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，∵∠3＝∠4(对顶角相等)，∴∠1＝∠2.方法总结：本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．探究点二：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，CD ⊥AB 于D .求：(1)AC 的长； (2)S △ABC ； (3)CD 的长．解析：(1)由于在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，根据勾股定理即可求出AC 的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S △ABC ；(3)根据CD ·AB ＝BC ·AC 即可求出CD .解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，∴AC ＝AB 2－BC 2＝12cm ；(2)S △ABC ＝12CB ·AC ＝30cm 2；(3)∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12CD ·AB ，∴CD ＝AC ·BC AB ＝6013cm. 方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】 分类讨论思想在勾股定理中的应用在△的高AD ＝12，试求△ABC 周长．解析：本题应分两种情况进行讨论：(1)当△ABC 为锐角三角形时，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，运用勾股定理可将BD 和CD 的长求出，两者相加即为BC 的长，从而可将△ABC 的周长求出；(2)当△ABC 为钝角三角形时，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，运用勾股定理可将BD 和CD 的长求出，两者相减即为BC 的长，从而可将△ABC 的周长求出．解：此题应分两种情况进行讨论：(1)当△ABC 为锐角三角形时，在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝152－122＝9，在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝132－122＝5，∴BC ＝BD ＋CD ＝5＋9＝14，∴△ABC 的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC 为钝角三角形时，在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝152－122＝9.在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝132－122＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC 的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC 为锐角三角形时，△ABC 的周长为42；当△ABC 为钝角三角形时，△ABC 的周长为32.方法总结：在题目未给出具体图形时，应考虑三角形是锐角三角形还是钝角三角形，凡符合题设的情况都要考虑，体现了分类讨论思想，这是解无图几何问题的常用方法．探究点三：勾股定理的逆定理 【类型一】 判断三角形的形状如图，正方形网格中有△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对 解析：∵正方形小方格边长为1，∴BC ＝42＋62＝213，AC ＝22＋32＝13，AB ＝12＋82＝65.在△ABC 中，∵BC 2＋AC2＝52＋13＝65，AB 2＝65，∴BC 2＋AC 2＝AB2，∴△ABC 是直角三角形．故选A.方法总结：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【类型二】 利用勾股定理的逆定理证明垂直关系如图，在正方形ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝14AD ，求证：CE ⊥EF .证明：连接CF ，设正方形的边长为4.∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝4.∵点E为AB 中点，AF ＝14AD ，∴AE ＝BE ＝2，AF ＝1，DF＝3.由勾股定理得EF 2＝12＋22＝5，EC 2＝22＋42＝20，FC2＝42＋32＝25.∵EF 2＋EC 2＝FC 2，∴△CFE 是直角三角形，∴∠FEC ＝90°，即EF ⊥CE .方法总结：利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要方法．【类型三】 运用勾股定理的逆定理解决面积问题如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝8，BC ＝6，CD ＝24，AD ＝26，求四边形ABCD 的面积．解析：连接AC ，根据已知条件运用勾股定理的逆定理可证△ACD 为直角三角形，然后代入三角形面积公式将△ABC 和△ACD 这两个直角三角形的面积求出，两者面积相加即为四边形ABCD 的面积．解：连接AC ，∵∠B ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．∵AC 2＝AB 2＋BC 2＝82＋62＝102，∴AC ＝10.在△ACD 中，∵AC 2＋CD 2＝100＋576＝676，AD 2＝262＝676，∴AC 2＋CD 2＝AD 2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD＝12×6×8＋12×10×24＝144. 方法总结：此题将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，既考查了对勾股定理逆定理的掌握情况，又体现了转化思想在解题时的应用．探究点四：互逆命题与互逆定理写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题．(1)两直线平行，同旁内角互补； (2)垂直于同一条直线的两直线平行；(3)相等的角是内错角；(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．解析：分别找出各命题的题设和结论将其互换即可．解：(1)同旁内角互补，两直线平行．真命题；(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内)．真命题；(3)内错角相等．假命题；(4)等边三角形有一个角是60°.真命题．方法总结：一个定理不一定有逆定理，只有当它的逆命题为真命题时，它才有逆定理．三、板书设计1．直角三角形的性质与判定直角三角的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形．2．勾股定理及勾股定理的逆定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．本节课充分发挥了学生动手操作能力、分类讨论能力、交流能力和空间想象能力，让学生充分体验到了数学思考的魅力和知识创新的乐趣，突显教学过程中的师生互动，使学生真正成为主动学习者.。

教学设计问题1、直角三角形的表示方法三角形用什么符号表示？那么直角三角形又用什么符号表示呢？三角形ABC 表示△ABC，直角三角形可以用符号“Rt△”，直角△ABC表示方法：Rt△ABC．问题2探究直角三角形的性质请同学们画一个直角△ABC，其中△C=90°，用量角器分别量出出△A、△B的度数，并且求出△A+△B的值．追问：通过对问题3的计算你发现△A和△B有什么关系？追问：结合图形你能写出已知、求证和证明吗？几何推理过程．如图3，在Rt△ABC中．△△A+△B +△C= 180°(三角形内角和定理）．而△C= 90°．△ △A+△B= 90°．结论：直角三角形的两个锐角互余．追问：此直角三角形性质用几何语言该怎样表示？△△ABC是直角三角形△ △A+△B= 90°．问题3我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形两锐角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由．推理过程如下：如图5，在△ABC中．△A+△B+△C=180°（三角形内角和定理），△△A+△B=90°（已知），△△C=90，△△ABC是直角三角形(直角三角形定义）例题尝试：例1 如图4，△C=△D=90° ，AD、BC相交与点E．△CAE与△DBE有什么关系？为什么？1、（1）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，则∠A=_ _．（2）若∠C =∠A+∠B，则△ABC是______三角形．（3）在△ABC中，∠A=90°，∠B=2∠C，求∠B，∠C的度数．2、如图，在Rt△ABC中，若∠ACD=∠B，CD⊥AB，△ABC为直角三角形吗？为什么？1、如图,从A处观测C处时仰角30CAD∠=,从B处观测C处时仰角45CBD∠=,从C处测量A、B两处时视角∠ACB是多少? 教师出示问题学生合作交流。

第三章 全等三角形3．5．1 直角三角形的性质和判定第二课时 含30°角的直角三角形的性质与判定一．预习题纲（1）学习目标展示1．经历探索活动，了解含30°角的直角三角形的性质2．在具体情景中运用含30°角的直角三角形的性质与判定来解决数学问题（2）预习思考1．在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么另一个角是多少？2．在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么斜边上的中线将这个直角三角形分成几个等腰三角形？3．在直角三角形中，如果一个锐角为30°且这个角所对的直角边长为a ，那么斜边长是多少？二．经典例题例1．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，△DBC 是等边三角形，已知BC=12，求AD 的长 【分析】因AD ∥BC ，∠A=90°，∴∠ABC=90°，又△DBC是等边三角形，∴∠ABD=30°，在Rt △ABD 中利用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”可求得AD 的长【简解】因AD ∥BC ，∴∠A+∠ABC=180，又∠A=90°，∴∠ABC=90°，因△DBC 是等边三角形，∴∠DBC=60°，∴∠ABD=30°，因BD=12，AD=6【规律总结】在直角三角形中，如果有一个角是30°，常应用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”来求线段的长或证明线段的倍．分关系三．易错例题例2．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求这个等腰三角形顶角的度数【错解】如图1，在△ABC 中，BD ⊥AC ，因BD=12AB ，∴∠A=30° 【错解分析】错解只考虑了△ABC 是锐角三角形的情况，忽视了△ABC 为钝角三角形的另一种情况【正解】当△ABC 是锐角三角形时，顶角为30°，当△ABC 为钝角三角形时，如图2，CD ⊥BA 交BA 的延长线于D ，因CD=12AC ，∴∠DAC=30°，∴∠BAC=150° 【点拨】在等腰三角形中，当三角形的形状不确定时常分类讨论一．课前预习A B C DA B C D 图1 AB C D 图21． 在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么它所对的直角边等于2． 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 度3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5，则AB=二．当堂训练知识点一：直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半1．如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，若BC=3，则AB= ，BD=2．在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，若AB=10cm ，则BC=3．一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A 处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B 处，上午10时行至C 处，测得灯塔恰好在它的正北方向，问上午8时，该船与灯塔相距多少海里？知识点二： 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30度 4．如图，BD 是△ABC 的高，CD=1，BC=2，AD=3，则∠ABC=5．在直角三角形中，最长边为4，最短边为2，则最长边与最短边的夹角为6．在△ABC 中，如果∠A+∠B=∠C ，且AC=12AB ，求∠B 的度数课时测评：（40分钟，满分100分）一．选择题 （每小题5分，共25分）1． 如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 的度数为（）A ．25°B ．30°C ．45 °D ．60°2．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，则BC ：AB 等于 ( )A B C D 第1题 AB C D 第4题A B DC E 第1题A ． 2：1B ．1：2C ．1：3D ．2 ：33． 等腰三角形的底角为15，腰长为12，则腰上的高为（）A ．3B ．4C ．6D ．124． 在△ABC 中，∠C=90，ED 垂直平分AB 交于D ，交AC 于E ，∠A=30°，则AE 与EC 的关系为（ ）A ．AE=2ECB ．AE=EC C ．EC=2AED ．AE=12EC 5．如图，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∠B=30°，这样图中存在着某些三角形，使其中的一边是另一边的一半，则图中这样的三角形共有（ ） A ．4个 B ．6个 C ．7个 D ．8个二．填空题（每小题5分，共25分）6．在△ABC 中，如果∠A=12∠B ，∠A=13∠C ，则∠A= ，∠B= ，∠C= 7．在直角三角形中，如果有一个锐角多比另一个锐角大30°，则较大锐角为8．△ABC 中，∠AC B=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______．9．如图，ΔABC 中，∠C=90º，∠B=15º，AB 的垂直平分线交BC 于D ，若BD=4cm ，则AC=______10．如图，在△ABC 中，∠A=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC ，AC=12cm ，则CD =三．解答题11．（本题满分12分）如图所示：在ΔABC 中，∠C=90°，∠B=15°AB 的垂直平分线交BC 于D ，且BD=8cm ，求AC 的长．12．（本题满分12分）一艘轮船由南向北航行，在A 处测得小岛P 在西偏北75°方向上，两小时后，船在B 处，测得小岛在西偏北60°方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，若轮AB C D EF 第5题 D C B A 第9题 A B C D 第10题B船仍按每小时15海里的速度向前航行，有无触礁危险？13．（本题满分12分）已知：△ABC 中，∠ACB=90°，AD=BD ，∠A=30°求证：△BDC 是等边三角形．14．（本题满分14分）已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 于M ，猜想CM 与BM 之间有何数量关系，并证明你的猜想。

直角三角形的性质与判定直角三角形是一种特殊的三角形，具有独特的性质和判定条件。

本文将介绍直角三角形的定义、性质以及判定方法。

一、直角三角形的定义直角三角形是指其中一个角为直角（90度）的三角形。

三角形的三个内角之和为180度，因此直角三角形的其他两个角的度数之和为90度。

二、直角三角形的性质1. 斜边、直角边和对角线的关系在直角三角形中，斜边是直角三角形的最长边，对应直角边是直角三角形的次长边，而对角线是直角三角形的最短边。

这是由勾股定理所决定的，即斜边的长度等于直角边长度的平方和的平方根。

例如，对于直角边长分别为a和b的直角三角形，斜边的长度为√(a^2 + b^2)。

2. 直角三角形的角度关系直角三角形中，直角边与斜边的夹角为90度，而直角边与非直角的两个角之和为90度。

这意味着直角三角形中的两个非直角角度互为余角，即一个角的余角等于另一个角本身。

例如，如果一个角为30度，则另一个角为60度，它们互为余角。

三、直角三角形的判定方法在给定三条边的长度时，我们可以通过以下方法判断是否为直角三角形：1. 勾股定理勾股定理是判定一个三角形是否为直角三角形的重要方法。

根据勾股定理，如果一个三角形的最长边的平方等于其他两边的平方和，则该三角形为直角三角形。

2. 角度判定在一个三角形中，如果两个角的度数之和为90度，则该三角形为直角三角形。

通过测量三角形的角度可以判断是否为直角三角形。

3. 边长关系在一个三角形中，如果两条边的长度满足a^2 + b^2 = c^2，则该三角形为直角三角形。

其中，a、b表示两个直角边的长度，c表示斜边的长度。

四、直角三角形的应用直角三角形的性质和判定方法在实际生活中有广泛的应用。

例如，在建筑领域中，直角三角形的性质被用于测量和确定建筑物的角度和边长。

在航海和航空领域中，直角三角形的性质被用于计算飞行器和船只的航向和位置。

总结：直角三角形是一种具有独特性质的三角形，其中一个角为90度。

1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时勾股定理要点感知直角三角形的性质定理(勾股定理)：直角三角形两直角边a、b的平方和等于__________的平方.即a2+b2=c2.预习练习△ABC中,∠C＝90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.(1)若a＝5,b＝12,则c＝__________；(2)若c＝41,a＝40,则b＝__________.知识点勾股定理1.在△ABC中，∠C=90°，如果AB=10，BC∶AC=3∶4，那么BC=( )A.6B.8C.10D.以上都不对2.一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的斜边长为( )A.6B.8C.10D.123.已知一个三角形三个内角的比是1∶2∶1,则它的三条边的比是( )A.1∶2∶1B.1∶2∶1C.1∶2∶3D.1∶4∶14.如图,长方形OABC的边OA长为2,边AB长为1,OA在数轴上,以原点O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是( )A.2.5B.22C.3D.55.如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合.若BC＝5，CD＝3，则BD的长为( )A.1B.2C.3D.46.在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为__________.7.等腰△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=12 cm，则BC边上的高是__________cm.8.一个直角三角形的斜边长比直角长边大2，另一直角边长为6，则斜边长为__________.9.如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，AD=15，且AD⊥AC，求BD长.10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，CD⊥AB交AB于点D.求：(1)AC的长；(2)△ABC的面积；(3)CD的长.11.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为( )A.5B.6C.7D.2512.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为( )A.3B.23C.33D.4313.将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角,如图,则三角板的最大边的长为( )A.3 cmB.6 cmC.32 cmD.62 cm14.如图，在直线l上依次摆放着三个正方形，已知中间斜放置的正方形的面积是6，则正放置的两个正方形的面积之和为( )A.6B.5C.6D.3615.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( )A.53B.52C.4D.516.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD=6，DE=5，则CD的长等于__________.17.已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为__________.18.如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD的长.19.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.20.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB 于点E，交BC于点F，若AE=4，FC=3，求EF长.参考答案要点感知斜边c预习练习 13 91.A2.C3.A4.D5.D6.67.88.109.∵AD⊥AC，AC=20，AD=15，∴222015∴BD=BC-CD=32-25=7.10.(1)∵∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，∴AC=8 cm；(2)S△ABC =12BC·AC=12×6×8=24(cm2)；(3)∵S△ABC =12BC·AC=12CD·AB，∴CD=·BC ACAB=245cm.11.A 12.D 13.D 14.A 15.C 16.8 17.57 18.设DC=x，则BD=14-x.在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理可得： (14-x)2+AD 2=152，x 2+AD 2=132.两式相减得(14-x)2-x 2=56.解得x=5. 在Rt △ACD 中，由勾股定理得AD=12.19.∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠CBD=30°. ∴AD=DB.又∵Rt △CBD 中，CD=5 cm ， ∴BD=10 cm.∴∴20.连接BD ，∵等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上中点， ∴BD ⊥AC ，BD=CD=AD ，∠ABD=∠C=45°. ∵DE ⊥DF ， ∴∠FDC=∠EDB.在△EDB 与△FDC 中，,,ABD C FDC EDB BD CD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△EDB ≌△FDC. ∴BE=FC=3.∴AB=7，则BC=7. ∴BF=4.在Rt △EBF 中，EF 2=BE 2+BF 2=32+42， ∴EF=5.第2课时 勾股定理的实际应用要点感知 应用勾股定理解决实际问题时，应先根据题意画出几何图形，分析图形中各线段之间的数量关系，正确运用勾股定理求解.求边长时，一般有两种情况：一是直接运用勾股定理通过计算求解，二是借助勾股定理列方程求解.预习练习 (2019·东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行__________米.知识点1 直接利用勾股定理1.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )A.12米B.13米C.14米D.15米2.如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( )A.3.8米B.3.9米C.4米D.4.4米3.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为( )A.5米B.3米C.(5+1)米D.3米4.假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，仅走了1千米，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( )A.20千米B.14千米C.11千米D.10千米5.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为__________m.知识点2 利用勾股定理列方程求解6.小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为( )A.2 mB.2.5 mC.2.25 mD.3 m7.在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为( )A.13 mB.12 mC.4 mD.10 m8.如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C 处，若在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为__________米.9.如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？10.为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为( )A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米11.如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B 取∠ABD=120°，BD=210 m，∠D=30°，要正好能使A、C、E成一直线，那么E、D两点的距离等于( )A.1053 mB.2103 mC.703 mD.105 m12.在长、宽、高分别为12 cm、4 cm、3 cm的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为( )A.5 cmB.12 cmC.13 cmD.153 cm13.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为__________mm.14.如图,一辆小汽车在一条东西走向的城市公路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路边的车速检测仪的正前方30 m处,过了2 s后,测得小汽车与车速检测仪的距离为50 m,问这辆小汽车是否超速了？（中华人民共和国交通管理条例规定：小汽车在城市公路上行驶时的速度不得超过70 km/h）15.为了丰富居民的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB=25 km，CA=15 km，DB=10 km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？16.两条公路OM、ON相交成30度角，在公路OM上，距O点80米的A处有一所小学，当拖拉机沿公路ON方向行驶时，路两旁50米以内会受到噪音的影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么拖拉机沿ON方向行驶时，是否会给小学带来噪声影响？若受影响，计算影响的时间.参考答案预习练习 101.A2.B3.C4.D5.4806.A7.B8.39.设BD=x米，则AD=(10+x)米，CD=(30-x)米，根据题意得(30-x)2-(x+10)2=202.解得x=5.即树的高度是10+5=15（米）.10.A 11.A 12.C 13.15014.小汽车超速了.理由：在Rt△ABC中,AC=30 m,AB=50 m,根据勾股定理得：22AB AC小汽车的速度是40÷2=20(m/s)=72(km/h).而规定速度为70 km/h,72>70，∴小汽车超速了.15.设AE=x km，则BE=(25-x)km.在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152.同理可得：DE2=(25-x)2+102.若CE=DE，则x2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：图书室E应该建在距A点10 km处，才能使它到两所学校的距离相等.16.过点A作AD⊥ON于点D，即点A到ON的最短距离为AD，已知在Rt△OAD中，∠O=30°，OA=80，可得AD=40＜50，故学校会受到拖拉机的影响；在D点两侧分别取两点E、F，使得AE=AF=50，在Rt△ADE中，AE=50，AD=40，可得DE=30，又易证Rt△ADE≌Rt△ADF，即DE=DF=30，即EF=60.又拖拉机的速度为18千米/时，故拖拉机经过EF段所用的时间t=0.0618×3 600=12（s）.答：拖拉机会给小学带来噪声影响，影响时间为12秒.第3课时勾股定理的逆定理要点感知直角三角形的判定定理(勾股定理的逆定理)：如果一个三角形的三边长a、b、c有下面的关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是__________三角形.预习练习1-1三角形的三边长满足（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形1-2以下列数组为三角形的边长：①5,12,13；②10,12,13；③7,24,25；④6,8,10,其中能构成直角三角形的有( )A.4组B.3组C.2组D.1组知识点勾股定理的逆定理1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A.4，5，6B.1.5，2，2.5C.2，3，4D.1，2，32.已知三角形的三边长之比为1∶1∶2，则此三角形一定是( )A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3.已知两条线段的长分别为2 cm、3 cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是( )A.1 cmB.5 cmC.5 cmD.1 cm与5cm4.如图，正方形小方格边长为1，则网格中的△ABC是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对c +|a-8|+(b-15)2=0，则△ABC的形状是( )5.若a、b、c表示△ABC的三边，且满足17A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6.在Rt△ABC中，若AC=2，BC=7，AB=3，则下列结论中正确的是( )A.∠C=90°B.∠B=90°C.△ABC是锐角三角形D.△ABC是钝角三角形7.在△ABC中，a=2，b=6，c=22，则最大边上的中线长为( )A.2B.3C.2D.以上都不对8.三角形三边长分别为4、8、43,则该三角形最小角与最大角依次是( )A.30°,60°B.30°,90°C.60°,90°D.45°,90°9.若在△ABC中，AB=5 cm，BC=6 cm，BC边上的中线AD=4 cm，则∠ADC的度数是__________度.10.如图,一根电线杆高8 m.为了安全起见,在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6 m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.2 m(不计捆缚部分),则电线杆与地面__________(填“垂直”或“不垂直”).11.如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，AC=23，∠C=30°，求∠B的大小.12.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )A.CD、EF、GHB.AB、EF、GHC.AB、CF、EFD.GH、AB、CD13.已知一个三角形的三边长分别为n+1，n+2，n+3，则当n=__________时，这个三角形是直角三角形.14.如图所示,是一个零件的形状,按规定这个零件中的AD与CD必须互相垂直,工人师傅通过测量得到A到C的距离是10 cm,AD=8 cm,CD=6 cm.问这个零件是否合格？15.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,BC=3,AB=4,AD=12,CD=13.求四边形ABCD的面积.16.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.17.如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5.(1)判断△DEC的形状，并说明理由；(2)求∠ADB的度数.参考答案要点感知直角预习练习1-1 C1-2 B1.B2.D3.D4.A5.B6.A7.A8.B9.90 10.不垂直11.∵△ABC中，AB=2，BC=4，3，∴AB2+AC2=4+12=16=BC2.∴∠A=90°.∴∠B+∠C=90°.又∵∠C=30°，∴∠B=60°.12.B 13.214.合格.连接AC.∵AD2+CD2=82+62=102=AC2,根据勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°,∴零件合格.15.连接AC.∵∠ABC=90°,在Rt△ABC中，BC=3,AB=4,∴在△ACD中,∵AC2+AD2=52+122=132=CD2, ∴△ACD是直角三角形.∴S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=12×3×4+12×5×12=36.16.证明：∵CD是AB边上的高，∴△ADC和△BCD都是直角三角形.∴AC2＝AD2+CD2，BC2＝BD2+CD2.∴AC2+BC2=AD2+CD2+BD2+CD2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=(AD+BD)2＝AB2.∴△ABC是直角三角形.17.(1)根据旋转的性质，得AD=EC=4，BD=BE=3，AB=BC，∠DBE=∠ABC=60°，∠ADB=∠BEC.∴△ABC和△DBE均为等边三角形.∴DE=BD=3.∵CD=5，∴DE2+EC2=32+42=52=CD2.故△DEC为直角三角形.(2)∵△DEC为直角三角形，∴∠DEC=90°.又∵△BDE为等边三角形，∴∠BED=60°.故∠BEC=90°+60°=150°，即∠ADB=150°.。