高中数学人教a版选修2-22.1.2类比推理【练习】(教师版)

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类比推理一、本课数学内容的本质、地位、作用分析数学发现的过程往往包含合情推理的成分,在人类发明、创造活动中，合情推理也扮演了重要的角色。

高中生的学习生活中也有很多合情推理的实例，物理、化学、生物、地理等许多学科中的伟大猜想及定理的产生都源于合情推理.因此，分析合情推理的过程，对于了解数学发现或其他发现的过程是非常重要的。

本节课是归纳推理基础上对合情推理学习的继续，类比和归纳一样是合情推理常用的思维方法，从学生熟悉并感兴趣的具体例子入手，分析它们所反映的思维过程，从中挖掘、提炼出类比推理的一般过程，并概括其含义.在练习和应用中加深对类比推理的认识.通过本节课学生可以真正的体会到数学与其他学科的交叉性、互补性，初步体会科学的方法论在日常生活的作用，有助于学生形成类比推理的思维方式，培养创新精神,为将来合理地提出新思想、新概念、新方法奠定好基础；有助于学生养成良好的科学态度和严谨的学习作风，形成言之有理、论证有据的习惯。

二、教学目标分析：本节课教学目标确立如下：知识与技能：了解类比推理的含义、特点，能利用类比进行简单的推理．过程与方法：通过生活和学习中的实例创设情境、进行探究,提高学生观察猜想、抽象概括的能力，渗透类比的思想方法．情感、态度与价值观:体会类比推理在实际生活和数学发现中的作用,提高学习数学的兴趣,增强创新意识．三、教学问题诊断学生在学习本节内容时主要有以下两个困难:1。

教材习题点拨
教材习题解答
（探究）
类比圆的特征，填写表2－1中球的相关特征，并说说推理的过程．
表2－1
解:特征(如都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合），而已经知道圆的一些已知特征，由此可以推测球的类似特征．由于圆是平面内的基本图形，而球是空间中的基本图形,所以在将圆的基本特征推广为球的类似特征时,要将涉及的平面元素推广为相应的空间元素．
例如，平面内长度（周长)、面积、角等平面元素推广到空间一般为面积(表面积)、体积、二面角等空间元素．
解答如下（表2－1）：
表2－1。

高考新题型--类比题类比型试题能考查学生的数学学习能力、应用能力、探究能力、创新能力，它像一朵耀眼的奇葩频频出现在高考中，现采撷几类与大家共享. 1与已知概念类比例12004年北京）定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5．那么18a 的值为 ，这个数列前n 项和n S 的计算公式为 ．分析：此题类比等差数列定义给出“等和数列”定义，解决此类问题要认真理解所给出的定义，结合所学知识寻求正确解决方法.解：∵{}n a 是等和数列，12a =，公和是5，23a =∴，则3423a a ==，，知23n a =，212()n a n *-=∈N ． 183a =∴，数列{}n a 形如：232323，，，，，，．5()251()22n n n S n n ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数，∴为奇数．评述：这是一道新情境题型，关键要吃透定义，对于n 为奇数时，15512(1)2222n n S S n n -=+=-+=-． 2．与已知数学方法类比例2 （2003年上海春招）设()f x =利用推导等差数列前n 项和的方法――倒序相加法，求(5)(4)(0)(5)(6)f f f f f -+-+++++的值为 ．解：本题类比数学方法，即利用倒序相加法，通过合情猜想即可解决．由()(1)f x f x +-=．设(5)(4)(0)(5)(6)S f f f f f =-+-+++++， 又(6)(5)(0)(4)(5)S f f f f f =+++++-+-，212[(5)(6)]S f f =-+=∴，S =∴3．与已知结论类比例3 （2005年湖南）函数()y f x =的图象与直线x a x b ==，及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[]a b ，上的面积，已知函数sin y x =在π0n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为2()n n *∈N ，则（1）函数sin3y x =在2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为 ；（2）函数sin(3π)1y x =-+在π4π33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为 ． 解析：（1）令3n =，则sin3y x =在π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为23，又∵sin3y x =在π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，和π2π33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积相等，所以sin3y x =在2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为43； （2）由sin(3π)1y x =-+，设33πx ϕ=-，sin31y ϕ=+∴． 又π4π33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵， []303πϕ∈，∴，[0π]ϕ∈，∴．由（1）sin3y ϕ=在π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为23，sin31y ϕ=+∴在[0π]，上的面积为1233324233S S S S S ++=⨯+=+，3421(π0)π3S S =⨯--=-∵，sin(3π)1y x =-+∴在π4π33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为2π3+．。

高二数学科学案§2.1.1 合情推理（2）——类比推理、合情推理【学习目标】1.结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识类比推理在数学发现中的作用【学习难点】利用归纳法进行间接的类比推理【问题导学】预读教材第71—77页有关内容回答下列问题：1.试将平面上的圆与空间的球进行类比，填写教材表格提示：圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合球的定义：对应的类比圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积2.什么是类比推理？其基本步骤是什么？3.类比推理的特点以及类比的原则是什么？4.类比推理的结论一定正确吗？5.什么叫做合情推理，用框图的形式将合情推理的过程写出来。

并叙述合情推理在数学中的作用。

【实践演练】用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.【基础练习】1.下列说法中正确的是（）.A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是类比推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2.下面使用类比推理正确的是（）.A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()bc ac c b a -=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“cb c a c b a +=+ （c≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）3.三角形的面积为()c b a r c b a S ,,,21⋅++=为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）A 、abc V 31=B 、Sh V 31= C 、()r S S S S V 432131+++= （4321,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）D 、)(,)(31为四面体的高h h ac bc ab V ++=. 4.判断下列推理那些是合情推理，那些是不合情推理：（1）c b b a //,//，则c a //； （2）c b c a ⊥⊥,，则c a ⊥（3）三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，五边形的内角和为540°；（4）今天星期日，七天之后也是星期日5.在等差数列{}n a 中，若010=a 有等式n n a a a a a a -+++=+++192121 ()*,19N n n ∈<成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有什么等式成立？ 注意阅读导学方案中的“点拨”体会推理的特征。

2.1.2 类比推理一、教学目标1．通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。

2．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

3．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。

二、教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。

教学难点：用类比进行推理，做出猜想。

三、教学方法：教具准备：与教材内容相关的资料。

课时安排：1课时四、教学过程一．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？二．数学活动我们再看几个类似的推理实例。

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c; (1) a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b⇒ ac=bc;(2) a＞b⇒ ac＞bc;(3) a=b⇒a2=b2;等等。

(3) a＞b⇒a2＞b2;等等。

问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）． 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理的一般步骤：⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。

类比推理
考点一：事物相似性与一致性的理解
.类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质．
[解析] ()两实数相加后，结果是一个实数；两向量相加后，结果仍是一个向量．
()从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律．即＋＝＋；＋＝＋.
(＋)＋＝＋(＋)；(＋)＋＝＋(＋)．
()从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算．＋＝与＋＝都有唯一解，＝－与＝－.
()在实数加法中，任意实数与相加都不改变大小，即＋＝.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，亦不改变该向量的方向，即＋＝.
.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合；球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合．这两个定义很相似．于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质．试将平面上的圆与空间中的球进行类比．
[解析] 圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性．据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系：
弦 ↔ 截面圆，
直径 ↔ 大圆，
周长 ↔ 表面积，
圆面积 ↔ 球体积，
等等．于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所示：
考点二：类比推理
.如图，已知是△内任意一点，连结、、并延长交对边分别于′、′、′，则＋＋＝.
这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”．
＋＋＝＋＋＝＝.
请运用类比思想，对于空间中的四面体－，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明．
[解析]在四面体－中，任取一点，连结，，，并延长分别交四个面于，，，点，则＋＋＋＝.
证明：在四面体－与－中，
＝＝＝＝.
同理有：＝；＝；＝，。

【成才之路】 2015-2016 学年高中数学 2.1.1 第 2 课时类比推理练习新人教 A 版选修 2-2一、选择题1．下边几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，概括出全部三角形的内角和都是180°③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的全部椅子都坏了④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n 边形的内角和是(n－ 2) ·180°(n∈N*，且n≥3)A ．①②B．①③④C．①②④D．②④[答案 ] [分析 ]C①是类比推理；②④是概括推理，∴①②④都是合情推理．2．平面几何中，有边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a，类比上述命题，棱长为 a 的正四周体内任一点到四个面的距离之和为()A.43 a6B. 3aC.54a6D. 4a[答案 ]B[分析 ]将正三角形一边上的高32a 类比到正四周体一个面上的高63 a，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四周体切割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四周体的体积”证明．3．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线相互平行”的性质，可推出以下空间结论：①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一平面的两个平面相互平行，则此中正确的结论是()A ．①②B．②③C．③④D．①④[答案 ]B[分析 ]依据立体几何中线面之间的地点关系知，②③是正确的结论．4． (2015 海·南文昌中学高二期中)设△ ABC 的三边长分别为a、b、 c，△ ABC 的面积为2S；类比这个结论可知：四周体P－ ABC 的四个面的面积S，内切圆半径为 r ，则 r ＝a＋b＋c分别为 S1、 S2、 S3、S4，内切球的半径为 r，四周体 P－ ABC 的体积为 V，则 r＝()V2VA.S1＋ S2＋ S3＋ S4B．S1＋ S2＋ S3＋ S43V4VC.S1＋S2＋S3＋ S4D．S1＋ S2＋ S3＋ S4[答案 ]C[分析 ]将△ ABC 的三条边长 a、b、c 类比到四周体 P－ ABC 的四个面面积S1、S2、S3、S4，将三角形面积公式中系数1，类比到三棱锥体积公式中系数1，进而可知选 C.23证明以下：以四周体各面为底，内切球心 O 为极点的各三棱锥体积的和为1V，∴ V＝ S1r31113V＋3S2r ＋3S3r ＋3S4r ，∴ r＝S1＋S2＋S3＋S4.5．给出下边类比推理命题(此中Q为有理数集，R 为实数集， C 为复数集)：① “若 a， b∈R，则 a－b>0? a>b”类比推出“若 a， b∈C，则 a－ b>0? a>b”；② “若 a，b，c，d∈R，则复数 a＋bi ＝c＋ di? a＝ c，b＝d”类比推出“若 a，b，c，d∈Q，则 a＋ b 2＝ c＋ d 2? a＝ c， b＝d”；③若“a，b∈R，则 a－ b＝0? a＝ b”类比推出“若 a，b∈C，则 a－b＝ 0? a＝ b”．此中类比结论正确的个数是()A ． 0B． 1C．2D． 3[答案 ]C[分析 ]在实数集中，a>b? a－ b>0，但在复数集中，不全为实数的两个数不可以比较大小，如a＝ 2＋ i， b＝ 1＋ i ，有 a－b＝ 1>0 ，但 a>b 不建立；∵ a、 b、c、 d∈Q，∴ a－ c， b－d∈Q，∵ a＋ b 2＝ c＋d2，∴ (a－ c)＋ (b－ d)a－ c＝ 0，∴a＝ c2＝ 0，∴，故②正b－ d＝ 0b＝ d确；由复数相等的定义知，若a＝ x1＋ y1i( x1、y1∈R)，b＝ x2＋ y2i(x2、y2∈R)，则由 a－ b＝( x1 x1－ x2＝ 0x1＝ x2－x2)＋ (y1－ y2)i ＝ 0?，∴，∴ a＝b，故③正确．y1－ y2＝ 0y1＝ y26．由代数式的乘法法例类比获得向量的数目积的运算法例：① “mn＝ nm”类比获得“a·b＝b·a”；② “(m＋ n)t＝mt＋ nt”类比获得“(a＋b) ·c＝a·c＋b·c”；③ “(m ·n)t ＝ m( n ·t) ” 比获得 “(a ·b ) ·c ＝ a ·(b ·c ) ”；④ “t ≠0，mt ＝ xt? m ＝ x ” 比获得 “p ≠0， a ·p ＝x ·p ? a ＝ x ”；⑤ “|m ·n|＝ |m| |n|· ” 比获得 “|a ·b |＝ |a | ·|b | ”；ac aa ·c a⑥ “ ＝ ” 比获得 “ ＝ ”．bc b b ·c b 此中 比 正确的个数是 ()A ． 1B ． 2C ．3D ． 4[答案 ] B[分析 ] 由向量的有关运算法 知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故B.二、填空7．能够运用下边的原理解决一些有关 形的面 ：假如与一固定直 平行的直被甲、乙两个封 的 形所截得的 段的比都k ，那么甲的面 是乙的面 的k 倍．你可以从 出的 形①、②中领会 个原理． 在 ③中的两个曲 的方程分 是x 2 y 2a 2＋b 2＝1(a>b>0) 与 x 2＋ y 2＝ a 2，运用上边的原理， ③中 的面________________ ．[答案 ] πab[分析 ]因为 与 截y 所得 段之比b b 2b a，即 k ＝ ，∴ 面S ＝ πa ·＝ πab.aa8．在等差数列 { a n } 中，若 a 10＝ 0， 有等式 a 1＋ a 2＋⋯ ＋ a n ＝ a 1＋ a 2＋ ⋯＋ a 19－ n (n<19 ， n ∈ N * ) 成 立 ， 比 上 述 性 ， 相 地 ： 在 等 比 数 列 { b n } 中 ， 若 b 9 ＝ 1 ， 有 等 式__________________ 建立．[答案 ] b 1b 2⋯ b n ＝ b 1b 2⋯ b 17－ n (n ＜ 17， n ∈ N * )[分析 ]解法 1：从剖析所供给的性 下手： 由 a 10＝ 0，可得 a k ＋ a 20－ k ＝ 0，因此当 n<19－n ，有 a 1＋a 2＋ ⋯ ＋ a 19－n ＝ a 1＋ a 2＋ ⋯ ＋a n ＋ a n ＋1＋ a n ＋2＋ ⋯ ＋ a 19－ n ，－ 2na n ＋ 1＋ a 19－ n ＝ 0，∴等式建立． 同理可得 n>19而 a n ＋ 1＋ a n ＋ 2＋ ⋯＋ a 19－n ＝2－n 的情况．由此可知：等差数列 { a n } 之因此有等式建立的性 ，关 在于在等差数列中有性 ：a n＋1＋ a 19－n ＝ 2a 10＝ 0， 似地，在等比数列 { b n } 中，也有性 ： b n ＋ 1·b 17－ n ＝ b 92＝ 1，因此获得答案： b 1 2⋯ b n ＝ b 1 2⋯ b 17－n *)． b b (n<17， n ∈ N解法 2：因在等差数列中有“和”的性 a1＋ a2＋⋯＋ a n＝a1＋a2＋⋯＋ a19－n(n＜19， n ∈N*n9＝ 1，可知有“ ”的性 b12n＝b1217－n(n )建立，故在等比数列{ b } 中，由 b b ⋯b b ⋯ b＜17， n∈N* )建立 . (1)明以下：当 n＜ 8 ，等式 (1) b1b2⋯ b n＝ b1b2⋯ b n b n＋1⋯b17－n，即： b n＋1·b n＋2⋯ b17－n＝ 1.(2)∵b9＝ 1，∴ b k＋1·b17－k＝ b29＝1.∴ b n＋1b n＋2⋯ b17－n＝ b179－2n＝1.∴ (2)式建立，即 (1)式建立；当 n＝8 ， (1)式即： b9＝ 1 然建立；当 8＜n＜ 17 ， (1) 式即：b1b2⋯ b17－n·b18－n·⋯b n＝ b1b2⋯ b17－n，即： b18－n·b19－n⋯b n＝ 1(3)∵b9＝ 1，∴ b18－k·b k＝ b29＝ 1，∴b18－n b19－n·⋯·b n＝ b2n9－17＝ 1，∴ (3)式建立，即 (1)式建立．上可知，当等比数列{ b n} 足 b9＝ 1 ，有：b1b2⋯ b n＝ b1b2⋯ b17－n(n＜ 17， n∈N* )建立．9．(2014 ～ 2015 ·湖南沙中学、沙城一中考 )在平面几何里有射影定理：△ ABC 的两 AB⊥ AC，D 是 A 点在 BC 上的射影， AB2＝ BD ·BC.拓展到空，在四周体 A－BCD中， DA ⊥平面 ABC，点 O 是 A 在平面 BCD 内的射影，比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC 、△ BDC 三者面之关系 ________________ ．[答案 ]2＝ S△△△S ABC OBC·S DBC[分析 ]将直角三角形的一条直角比到有一棱AD 与一面 ABC 垂直的四棱的面 ABC 的面，将此直角 AB 在斜上的射影及斜的，比到△ABC 在底面的2射影△ OBC 及底面△ BCD 的面可得 S△ABC＝ S△OBC·S△DBC.明以下：如，直OD 与 BC 订交于点 E，∵AD⊥平面 ABE，∴ AD⊥ AE， AD ⊥BC，又∵ AO⊥平面 BCD，∴ AO⊥ DE ，AO⊥ BC.∵AD∩AO＝ A，∴BC⊥平面 AED ，∴BC⊥ AE， BC⊥ DE.1∴ S △ ABC ＝ 2BC ·AE ，1S△BOC ＝2BC ·OE ，1S△BCD＝2BC ·DE.在 Rt △ADE 中，由射影定理知 22AE ＝ OE ·DE ，∴ S △ ABC ＝ S △ BOC ·S △ BCD .三、解答10．先解答 (1) ，再依据 构 比解答(2)．(1)已知 a 、 b 数，且 |a|<1， |b|<1，求 ： ab ＋1> a ＋ b.(2)已知 a 、 b 、 c 均 数，且|a|<1， |b|<1， |c|<1，求 ： abc ＋ 2>a ＋ b ＋ c.[分析 ](1)ab ＋ 1－( a ＋b)＝ (a － 1)(b － 1)>0.(2)∵ |a|<1， |b|<1， |c|<1，据 (1) 得(ab) ·c ＋ 1>ab ＋ c ，∴ abc ＋ 2＝ [( ab) ·c ＋ 1]＋1>(ab ＋ c)＋ 1＝ (ab ＋1)＋ c>a ＋ b ＋c.[点 ] (1)与 (2) 的条件与 有着同样的 构，通 剖析(1) 的推 程及 的组成行 比推行得出： (ab) ·c ＋ 1＞ab ＋ c 是关 ．用 推理可推出更一般的 ：a i 数， |a i |＜ 1，i ＝ 1、 2、⋯ 、 n ， 有： a 1 a 2⋯ a n＋( n － 1)＞ a 1＋ a 2＋ ⋯ ＋a n .一、11．以下 比推理适合的是()A ．把 a(b ＋ c)与 log a (x ＋ y) 比， 有log a (x ＋y) ＝log a x ＋log a yB ．把 a(b ＋ c)与 sin(x ＋ y) 比， 有 sin(x ＋ y)＝ sinx ＋sinyC ．把 (ab)n 与 (a ＋ b)n 比， 有 (a ＋ b) n ＝ a n ＋ b nD ．把 a(b ＋ c)与 a ·(b ＋ c ) 比， 有a ·(b ＋c )＝ a ·b ＋a ·c[答案 ] D[分析 ] A ，B ， C 没有从本 属性上 比，是 比，进而出 ． 12．如 所示， 中心在座 原点，→ →F 左焦点，当 FB ⊥ AB ，其离心率5－ 1，此 被称 “黄金 ”． 比 “黄金 ”，可推2算出 “黄金双曲 ”的离心率 e 等于 ()5＋ 15－ 1 A.B ．22C. 5－1 D ． 5＋1[答案 ] Ax2y2[分析 ]以下图，设双曲线方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)，则 F(－c,0) ，B(0， b)， A(a,0)，→→∴ FB＝ (c， b)， AB＝ (－ a，b)，→→→→2又∵ FB⊥ AB，∴ FB ·AB＝ b － ac＝0，∴c2－ a2－ ac＝0，∴e2－ e－ 1＝0，∴ e＝1＋5或 e＝1－5(舍去 )，22故应选 A.13． (2013 ·师大附中期中辽)类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边(2)中位线长等于底边长的一半(3)三内角均分线交于一点可得四周体的对应性质：(1)随意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四周体的交于同一极点的三条棱的中点的平面面积等于该极点所对的面面积的(3)四周体的六个二面角的均分面交于一点此中类比推理方法正确的有()A ． (1)B． (1)(2)C．(1)(2)(3)D．都不对[答案] C 1 4[分析 ]以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理获得的结论能否正确与类比推理方法能否正确其实不等价，方法正确结论也不必定正确．二、填空题14． (2014 ·阳一中模拟阜 )若等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，则 S2n－1＝(2n－ 1)a n.由类比推理可得：在等比数列{ b n} 中，若其前n 项的积为P n，则 P2n－1＝ ________________.[答案 ]b n2n－ 1[分析 ]将等差数列前n 项和类比到等比数列前n 项的积，将等差中项的“倍数”类比到等比中项的“乘方”．因为等差数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，则 S2n－1＝(2n－ 1)a n.因此类比可得：2n－ 1在等比数列 { b n} 中，若其前n 项的积为P n，则 P2n－1＝ b n.15．在以原点为圆心，半径为r 的圆上有一点P(x0， y0)，则圆的面积 S 圆＝πr2，过点 P2x2y2的圆的切线方程为x0x＋ y0y＝ r.在椭圆a2＋b2＝1(a>b>0) 中，当离心率 e 趋近于 0 时，短半b 就 近于 半a ，此 就 近于 ． 比 的面 公式得 面S 椭圆＝2 2P(x 0， y 0)的 的切 方程， x y________________. 比 上一点 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0)上一点 P(x 1， y 1)的 的切 方程________________ ．[答案 ]πabx 1 y 12·x ＋ 2·y ＝ 1ab[分析 ] 当 的离心率 e 近于 0 ， 近于 ， 此 a ，b 都 近于 的半径r ，故由 的面 S ＝ πr 2＝ π·rr ，猜想 面 S 椭 ＝ π·a ·b ，其 格 明可用定 分 理．而由2x 0y 0切 方程 x 0·x ＋ y 0·y ＝ r 形得 r 2·x ＋ r2·y ＝ 1， 上一点P(x 1，y 1)的 的切 方程x 1 y 12·x ＋ 2·y ＝ 1，其 格 明可用 数求切 理．ab三、解答16．我 知道：12＝ 1，2 222 ＝ (1＋ 1) ＝ 1 ＋ 2×1＋1，2224 ＝ (3＋ 1) ＝ 3 ＋ 2×3＋1， ⋯⋯n 2＝ (n － 1)2＋ 2(n － 1)＋ 1， 左右两 分 相加，得n 2＝ 2×[1＋ 2＋ 3＋ ⋯ ＋(n －1)] ＋n∴ 1＋ 2＋ 3＋ ⋯＋ n ＝nn ＋ .2比上述推理方法写出求 12＋ 22＋ 32＋ ⋯ ＋n 2 的表达式的 程．[分析 ]我 S 1( n) ＝1＋ 2＋ 3＋⋯ ＋ n ，S 2(n) ＝1 2＋22＋ 32＋ ⋯ ＋ n 2，⋯ ， S k (n)＝ 1 k ＋ 2k ＋ 3k ＋ ⋯ ＋ n k (k ∈N *)．已知13＝ 1，23＝ (1＋ 1)3＝ 13＋ 3×12＋ 3×1＋ 1， 33＝ (2＋ 1)3＝ 23＋ 3×22＋ 3×2＋ 1，33324 ＝(3＋1) ＝3 ＋ 3×3 ＋ 3×3＋ 1，⋯⋯n 3＝ (n － 1)3＋ 3(n － 1)2＋ 3(n － 1)＋ 1.将左右两 分 相加，得S 3(n) ＝[S 3(n)－ n 3]＋ 3[S 2(n)－ n 2] ＋3[ S 1(n)－ n] ＋ n.由此知 S 2( n)＝n 3 ＋ 3n 2＋ 2n － 3S 1 n＝ 2n 3＋ 3n 2 ＋n n n ＋n ＋3＝6 .617．(2015 隆·化县高二期中 )在 Rt △ABC 中， AB ⊥ AC ，AD ⊥ BC 于 D ，求证： 1 2＝12 AD AB1＋ AC 2，那么在四周体 A －BCD 中，类比上述结论，你能获得如何的猜想，并说明原因．[剖析 ]利用平面中的射影定理证明；将平面中的三角形类比成空间的三棱锥，三角形的两边垂直类比成三棱锥的三棱垂直，获得类比性质．经过作协助线将空间的证明问题转变为三角形中的性质．[分析 ]如图 (1)所示，由射影定理AD 2＝ BD ·DC ， AB 2＝ BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，11BC 2∴AD2＝BD ·DC ＝BD ·BC ·DC ·BC又 BC 2＝ AB 2＋ AC 2 ，221 1∴ AD 2＝ AB 2·AC 2 ＝AB 2＋ AC 2.111∴ AD 2＝ AB 2＋ AC 2.AB ＋AC1类比 AB ⊥ AC ，AD ⊥BC 猜想：四周体 ABCD 中， AB 、 AC 、 ADBC 2＝AB 2·AC 2.两两垂直，1111AE ⊥平面 BCD.则 AE 2＝ AB 2＋ AC 2＋AD 2.如图 (2)，连结 BE 延伸交 CD 于 F ，连结 AF.∵ AB ⊥ AC ， AB ⊥ AD ， ∴ AB ⊥平面 ACD .而 AF? 平面 ACD ，∴ AB ⊥ AF .在 Rt △ABF 中， AE ⊥ BF ，11 1∴ AE 2＝ AB 2＋ AF 2. 在 Rt △ACD 中， AF ⊥CD ，1 1 1∴ AF 2＝ AC 2＋ AD 2∴121 21 21 2，故猜想正确．AE＝AB＋AC＋AD。