七年级数学《有理数：数轴》

第一讲《有理数》《数轴》引言有理数是我们常见的一类数，包括整数和分数。

它们在数学中具有重要的地位，因为它们可以覆盖我们日常生活中的绝大部分数量关系。

在本讲中，我们将介绍有理数的定义、性质和表示方法，以及数轴的概念和使用方法。

一、有理数的定义和性质1.1 定义有理数是可以表示为两个整数的比值的数，其中分母不为零。

整数是有理数的特殊情况，可以看作分母为1的有理数。

有理数可以是正数、负数或零。

1.2 性质有理数有以下性质：•有理数的加法、减法和乘法运算仍然得到有理数。

•有理数的除法运算结果可能是有理数，也可能是无理数（不能表示为两个整数的比值）。

二、有理数的表示方法有理数可以用分数、整数或小数形式表示。

2.1 分数表示法分数是有理数最常见的表示形式，它由一个分子和一个分母组成，分子表示被分割的份数，分母表示总共的份数。

分数可以是正数、负数或零。

2.2 整数表示法整数是没有小数部分的有理数。

它可以是正整数、负整数或零。

2.3 小数表示法小数是有理数的一种特殊表示形式。

它可以有有限的数字部分和无限的循环部分，也可以是有限的数字部分。

三、数轴的概念和使用方法3.1 数轴的定义数轴是由一条直线和一个固定原点组成的图形，用来表示数的大小和位置关系。

原点通常表示零，正方向表示正数，负方向表示负数。

3.2 数轴的使用方法数轴可以用来表示有理数的位置和大小关系。

我们可以通过在数轴上画点、画线段等方式来表示有理数的位置。

数轴上两个数之间的距离，即两个数的差的绝对值，表示它们之间的差别大小。

有理数是我们日常生活中非常重要的数，它包括整数和分数。

有理数可以用分数、整数或小数形式表示，可以在数轴上表示它们的位置和大小关系。

了解和掌握有理数的定义、性质和表示方法，以及数轴的概念和使用方法，对我们的数学学习和实际应用都非常有帮助。

参考文献：•《数学教学参考书》•《高中数学学科教学大纲》。

《有理数、数轴》拓展训练一、选择题1．下列说法：（1）﹣3.56既是负数、分数，也是有理数；（2）正整数和负整数统称为整数；（3）0是非正数；（4）﹣2014既是负数，也是整数，但不是有理数；（5）自然数是整数．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如果一对有理数a，b使等式a﹣b＝a•b+1成立，那么这对有理数a，b叫做“共生有理数对”，记为（a，b），根据上述定义，下列四对有理数中不是“共生有理数对”的是（）A．（3，）B．（2，）C．（5，）D．（﹣2，﹣）3．已知下列各数：﹣3.147，32.8，+3，﹣19，0，8.02，﹣0.12112112…，π中，正有理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．在﹣（﹣），﹣1，0，﹣42，﹣（﹣1）3，﹣（23﹣8）这几个有理数中，负数的个数是（）A．1B．2C．3D．45．如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距一个单位长度，点A、B、C、D对应的数分别为整数a、b、c、d，且d﹣2a＝3，试向：数轴上的原点在哪一点上？（）A．点A B．点B C．点C D．点D6．如图，A、B、C三点在数轴上所表示的数分别为a、b、c，根据图中各点位置，下列各式正确的是（）A．（a﹣1）（b﹣1）＞0B．（c﹣1）（b﹣1）＞0C．（a+1）（b+1）＜0D．（c+1）（b+1）＜07．已知有理数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，每相邻两个点之间的距离是1个单位长度．若3a＝4b﹣3，则c﹣2d为（）A．﹣3B．﹣4C．﹣5D．﹣68．已知a、b在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b从小到排列正确的一组是（）A．﹣a＜﹣b＜a＜b B．﹣b＜﹣a＜a＜b C．﹣b＜a＜b ＜﹣a D．a＜﹣b＜b＜﹣a9．点A1，A2，A3，…，A n（n为正整数）都在数轴上，点A1在原点O的左边，且A1O＝1；点A2在点A1的右边，且A2A1＝2；点A3在点A2的左边，且A3A2＝3；点A4在点A3的右边，且A4A3＝4；…，依照上述规律，点A2018，A2019所表示的数分别为（）A．2018，﹣2019B．1009，﹣1010C．﹣2018，2019D．﹣1009，1010 10．如图，M，N，P，Q，R分别是数轴上五个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN＝NP＝PQ＝QR＝1．数a对应的点在N与P之间，数b对应的点在Q与R之间，若|a|+|b|＝3，则原点可能是（）A．M或Q B．P或R C．N或R D．P或Q二、填空题11．把下列各数填在相应的大括号内：15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，π，1.负分数集合{…}非负整数集合{…}．12．定义：A＝{b，c，a}，B＝{c}，A∪B＝{a，b，c}，若M＝{﹣1}，N＝{0，1，﹣1}，则M∪N＝{}．13．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如＝+，＝+，＝+，…，请你根据对上述式子的观察，把表示为两个单位分数之和应为．14．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D 对应的数分别为整数a、b、c、d，且d﹣2a＝4，则数轴的原点对应的字母是．15．数轴上100个点所表示的数分别为a1、a2、a3…、a100，且当i为奇数时，a i+1﹣a i＝2，当i为偶数时，a i+1﹣a i＝1，①a5﹣a1＝；②若a100﹣a11＝2m﹣6，则m＝．16．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位．（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，经过秒M与点N相距54个单位；（2）若点M、N、P同时都向右运动，经过秒点P到点M，N的距离相等．三、解答题17．把下列各数填在相应的集合内：100，﹣99%，π，0，﹣2008，﹣2，5.2，，6，，﹣0.3，1.020020002…18．已知快递公司坐落在一条东西走向的街道上，某快递员从快递公司取件后在这条街道上送快递，他先向东骑行1千米到达A店，继续向东骑行2千米到达B店，然后向西骑行5千米到达C店，最后回到快递公司．（1）以快递公司为原点，以向东方向为正方向，用1厘米表示1千米，画出数轴，并在数轴上表示出A，B，C三个店的位置．（2）C店离A店有多远？（3）快递员一共骑行了多少千米？19．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别是1、﹣1、﹣2，E是线段BC的中点，点P从点A出发，向左运动，速度是每秒0.3个单位，设运动的时间是t秒．（1）点E表示的数是；（2）在t＝3，t＝4这两个时间中，使点P更接近原点O的时间是哪一个？（3）若点P分别在t＝8，t＝n两个不同的位置时，到点E的距离完全一样，求n的值；（4）设点M在数轴上表示的数是m，点N在数轴上表示的数是n，式子的值可以体现点M和点N之间距离的远近，这个式子的值越小，两个点的距离越近．20．如图，在数轴上点A表示的有理数为﹣6，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度在数轴上由A向B运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）（1）求t＝1时点P表示的有理数；（2）求点P与点B重合时的t值；（3）在点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，求点P与点A的距离；（用含t的代数式表示）（4）当点P表示的有理数与原点的距离是3个单位长度时，直接写出所有满足条件的t值．《有理数、数轴》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题1．下列说法：（1）﹣3.56既是负数、分数，也是有理数；（2）正整数和负整数统称为整数；（3）0是非正数；（4）﹣2014既是负数，也是整数，但不是有理数；（5）自然数是整数．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）﹣3.56既是负数、分数，也是有理数，正确；（2）正整数和负整数统称为整数，错误，还有0；（3）0是非正数，正确；（4）﹣2014既是负数，也是整数，但不是有理数，错误，﹣2014是有理数；（5）自然数是整数，正确．正确的有3个，故选：C．【点评】本题考查了有理数的分类，解决本题的关键是熟记有理数的分类．2．如果一对有理数a，b使等式a﹣b＝a•b+1成立，那么这对有理数a，b叫做“共生有理数对”，记为（a，b），根据上述定义，下列四对有理数中不是“共生有理数对”的是（）A．（3，）B．（2，）C．（5，）D．（﹣2，﹣）【分析】利用题中的新定义判断即可．【解答】解：A、由（3，），得到a﹣b＝，a•b+1＝+1＝，不符合题意；B、由（2，），得到a﹣b＝，a•b+1＝+1＝，不符合题意；C、由（5，），得到a﹣b＝，a•b+1＝+1＝，不符合题意；D、由（﹣2，﹣），得到a﹣b＝﹣，a•b+1＝+1＝，符合题意，故选：D．【点评】此题考查了有理数，弄清题中的新定义是解本题的关键．3．已知下列各数：﹣3.147，32.8，+3，﹣19，0，8.02，﹣0.12112112…，π中，正有理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据有理数的定义，可得答案．【解答】解：32.8，+3，8.02正有理数，故选：B．【点评】本题考查了有理数，有理数是有限小数或无限不循环小数．4．在﹣（﹣），﹣1，0，﹣42，﹣（﹣1）3，﹣（23﹣8）这几个有理数中，负数的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】先化简，再根据负数的定义，即可解答．【解答】解：﹣（﹣）＝，﹣42，＝﹣16，﹣（﹣1）3＝，﹣（23﹣8）＝﹣（8﹣8）＝0，在﹣（﹣），﹣1，0，﹣42，﹣（﹣1）3，﹣（23﹣8）这几个有理数中，负数有：﹣1，﹣42，共2个，故选：B．【点评】本题考查了有理数，解决本题的关键是熟记有理数的分类．5．如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距一个单位长度，点A、B、C、D对应的数分别为整数a、b、c、d，且d﹣2a＝3，试向：数轴上的原点在哪一点上？（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】由图可知D点与A点相隔三个单位长度，即d﹣a＝3；又已知d﹣2a＝3，可解得d＝3，a＝0，即A为原点．【解答】解：∵由图可知D点与A点相隔三个单位长度，且点A、B、C、D对应的数分别为整数a、b、c、d，∴d﹣a＝3①，又∵d﹣2a＝3②，∴由①②可解得d＝，3，a＝0，即A为原点．故选：A．【点评】此题主要考查了数轴知识点，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．6．如图，A、B、C三点在数轴上所表示的数分别为a、b、c，根据图中各点位置，下列各式正确的是（）A．（a﹣1）（b﹣1）＞0B．（c﹣1）（b﹣1）＞0C．（a+1）（b+1）＜0D．（c+1）（b+1）＜0【分析】根据数轴得出c＜﹣1＜0＜a＜1＜b，求出a﹣1＜0，b﹣1＞0，c﹣1＜0，a+1＞0，b+1＞0，c+1＜0，再根据有理数的运算法则判断即可．【解答】解：∵从数轴可知：c＜﹣1＜0＜a＜1＜b，∴a﹣1＜0，b﹣1＞0，c﹣1＜0，a+1＞0，b+1＞0，c+1＜0，∴（a﹣1）（b﹣1）＜0，（c﹣1）（b﹣1）＜0，（a+1）（b+1）＞0，（c+1）（b+1）＜0，∴只有选项D正确；选项A、B、C都错误，故选：D．【点评】本题考查了数轴和有理数的运算法则，能根据数轴得出c＜﹣1＜0＜a ＜1＜b是解此题的关键．7．已知有理数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，每相邻两个点之间的距离是1个单位长度．若3a＝4b﹣3，则c﹣2d为（）A．﹣3B．﹣4C．﹣5D．﹣6【分析】设a表示是数为x，则b、c、d表示的数分别是x+1，x+2，x+3，据此列出关于x的方程，通过解方程可以求得它们所表示的数．【解答】解：设a表示是数为x，则b、c、d表示的数分别是x+1，x+2，x+3．故由3a＝4b﹣3，得到3x＝4x+4﹣3，解得x＝﹣1，所以b、c、d表示的数分别是0，1，2，所以c﹣2d＝1﹣2×2＝1﹣4＝﹣3，即c﹣2d为﹣3．故选：A．【点评】本题考查了数轴．此题借助于一元一次方程求得点A、B、C、D所表示的数．8．已知a、b在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b从小到排列正确的一组是（）A．﹣a＜﹣b＜a＜b B．﹣b＜﹣a＜a＜b C．﹣b＜a＜b ＜﹣a D．a＜﹣b＜b＜﹣a【分析】将a、b、﹣a、﹣b表示在数轴上，继而可从小到大排列．【解答】解：如图所示：，把a、b、﹣a、﹣b从小到大排列为：a＜﹣b＜b＜﹣a．故选：D．【点评】本题考查了数轴、有理数的大小比较，解答本题的关键是结合数轴求解．9．点A1，A2，A3，…，A n（n为正整数）都在数轴上，点A1在原点O的左边，且A1O＝1；点A2在点A1的右边，且A2A1＝2；点A3在点A2的左边，且A3A2＝3；点A4在点A3的右边，且A4A3＝4；…，依照上述规律，点A2018，A2019所表示的数分别为（）A．2018，﹣2019B．1009，﹣1010C．﹣2018，2019D．﹣1009，1010【分析】根据题意得出规律：当n为奇数时，An＝﹣，当n为偶数时，An ＝，把n＝2018，2019代入求出即可．【解答】解：根据题意得：A1＝﹣1，A2＝1，A3＝﹣2，A4＝2，…，当n为奇数时，An＝﹣，当n为偶数时，An＝，∴A2019＝﹣＝﹣1010，A2018＝＝1009．故选：B．【点评】此题主要考查了数字变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．10．如图，M，N，P，Q，R分别是数轴上五个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN＝NP＝PQ＝QR＝1．数a对应的点在N与P之间，数b对应的点在Q与R之间，若|a|+|b|＝3，则原点可能是（）A．M或Q B．P或R C．N或R D．P或Q【分析】先利用数轴特点确定a，b的关系从而求出a，b的值，确定原点．【解答】解：∵MN＝NP＝PQ＝QR＝1，∴|MN|＝|NP|＝|PQ|＝|QR|＝1，∴|MR|＝4；①当原点在P点时，|a|+|b|＜3，又因为|a|+|b|＝3，所以，原点不可能在P点；②当原点在N或R时且|NA|＝|BR|时，|a|+|b|＝3；③当原点在M点时，|a|+|b|＞3，又因为|a|+|b|＝3，所以，原点不可能在M点；综上所述，此原点应是在N或R点．故选：C．【点评】此题主要考查了数轴的定义和绝对值的意义．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简后根据整点的特点求解．二、填空题11．把下列各数填在相应的大括号内：15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，π，1.负分数集合{﹣，﹣3.1…}非负整数集合{15，0…}．【分析】根据负分数，非负整数的定义即可判断．【解答】解：负分数集合{﹣，﹣3.1…}非负整数集合{15，171，0，…}．故答案为﹣，﹣3.1，15，171，0；【点评】本题考查有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．12．定义：A＝{b，c，a}，B＝{c}，A∪B＝{a，b，c}，若M＝{﹣1}，N＝{0，1，﹣1}，则M∪N＝{1，0，﹣1}．【分析】根据新定义解答即可得．【解答】解：∵M＝{﹣1}，N＝{0，1，﹣1}，∴M∪N＝{1，0，﹣1}，故答案为：1，0，﹣1．【点评】本题主要考查有理数，根据题意理解新定义是解题的关键．13．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如＝+，＝+，＝+，…，请你根据对上述式子的观察，把表示为两个单位分数之和应为＝+．【分析】根据题意得出所求两个单位分数之和即可．【解答】解：根据题意得：＝+，故答案为：＝+【点评】此题考查了有理数，弄清题意是解本题的关键．14．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别为整数a、b、c、d，且d﹣2a＝4，则数轴的原点对应的字母是B．【分析】由图可知D点与A点相隔三个单位长度，即d﹣a＝3；又已知d﹣2a＝4，可解得a＝﹣1，则b＝0，即B为原点．【解答】解：根据题意，知d﹣a＝3，即d＝a+3，将d＝a+3代入d﹣2a＝4，得：a+3﹣2a＝4，解得：a＝﹣1，∴点A表示的数是﹣1，则点B表示原点，故答案为：B．【点评】此题主要考查了数轴知识点，解题的关键根据题意求得a的值．15．数轴上100个点所表示的数分别为a1、a2、a3…、a100，且当i为奇数时，a i+1﹣a i＝2，当i为偶数时，a i+1﹣a i＝1，①a5﹣a1＝6；②若a100﹣a11＝2m ﹣6，则m＝70．【分析】依题意当i为奇数时，a i+1﹣a i＝2，当i为偶数时，a i+1﹣a i＝1寻找规律可得a5﹣a1＝a5﹣a4+a4﹣a3+a3﹣a2+a2﹣a1＝（a5﹣a4）+（a4﹣a3）+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）＝1+2+1+2+1＝6a100﹣a11＝a100﹣a99+a99﹣a98+…+a12﹣a11＝（a100﹣a99）+（a99﹣a98+）…+（a12﹣a11）＝2+1+2+1+…+2＝2×45+1×44＝134从而得到答案．【解答】解：①∵当i为奇数时，a i+1﹣a i＝2，当i为偶数时，a i+1﹣a i＝1∴a5﹣a1＝a5﹣a4+a4﹣a3+a3﹣a2+a2﹣a1＝（a5﹣a4）+（a4﹣a3）+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）＝1+2+1+2＝6；②∵a100﹣a11＝a100﹣a99+a99﹣a98+…+a12﹣a11＝（a100﹣a99）+（a99﹣a98+）…+（a12﹣a11）＝2+1+2+1+…+2＝2×45+1×44＝134∴a100﹣a11＝134＝2m﹣6，∴m＝70故答案为：6、70．【点评】本题主要考查了通过找规律解决问题，解题的关键点是找规律．16．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位．（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，经过5秒M与点N相距54个单位；（2）若点M、N、P同时都向右运动，经过或秒点P到点M，N的距离相等．【分析】（1）设经过x秒点M与点N相距54个单位，由点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，得出2x+6x+14＝54求出即可；（2）首先设经过t秒点P到点M，N的距离相等，得出（2t+6）﹣t＝（6t﹣8）﹣t或（2t+6）﹣t＝t﹣（6t﹣8），进而求出即可．【解答】解：（1）设经过x秒点M与点N相距54个单位．依题意可列方程为：2x+6x+14＝54，解方程，得x＝5．故答案为：5．（2）设经过t秒点P到点M，N的距离相等．（2t+6）﹣t＝（6t﹣8）﹣t或（2t+6）﹣t＝t﹣（6t﹣8），t+6＝5t﹣8或t+6＝8﹣5tt＝或t＝，故答案为：或．【点评】此题主要考查了数轴，根据已知点运动速度得出以及距离之间的关系得出等式是解题关键．三、解答题17．把下列各数填在相应的集合内：100，﹣99%，π，0，﹣2008，﹣2，5.2，，6，，﹣0.3，1.020020002…【分析】根据有理数的分类，可得答案．【解答】解：．【点评】本题考查了有理数，熟记有理数的分类是解题关键．18．已知快递公司坐落在一条东西走向的街道上，某快递员从快递公司取件后在这条街道上送快递，他先向东骑行1千米到达A店，继续向东骑行2千米到达B店，然后向西骑行5千米到达C店，最后回到快递公司．（1）以快递公司为原点，以向东方向为正方向，用1厘米表示1千米，画出数轴，并在数轴上表示出A，B，C三个店的位置．（2）C店离A店有多远？（3）快递员一共骑行了多少千米？【分析】（1）根据题意画出数轴，在数轴上表示出A、B、C三点即可；（2）根据数轴上两点间的距离公式即可得出结论；（3）把各数的绝对值相加即可．【解答】解：（1）如图所示：；（2）C店离A店：1﹣（﹣2）＝3千米；（3）快递员一共行了：|1+|+|2|+|﹣5|+|2|＝10千米．【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴的特点及数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．19．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别是1、﹣1、﹣2，E是线段BC的中点，点P从点A出发，向左运动，速度是每秒0.3个单位，设运动的时间是t秒．（1）点E表示的数是﹣；（2）在t＝3，t＝4这两个时间中，使点P更接近原点O的时间是哪一个？（3）若点P分别在t＝8，t＝n两个不同的位置时，到点E的距离完全一样，求n的值；（4）设点M在数轴上表示的数是m，点N在数轴上表示的数是n，式子|m﹣n|的值可以体现点M和点N之间距离的远近，这个式子的值越小，两个点的距离越近．【分析】（1）根据实数在数轴上的排列特点和绝对值的意义，先根据E点到原点的距离是确定该数的绝对值是，在根据该点在原点的左侧还是右侧判断其符号．（2）分别求出两个时间点上点P的位置，即可判断；（3）根据t＝8时，求出点P到E点的距离，确定t＝n时P点的位置，即可求n的值；（4）根据数轴上两点间的距离公式即可．【解答】解：（1）根据实数在数轴上的排列特点和绝对值的意义，E点到远点的距离是，符号是“﹣”，故答案是：﹣．（2）当t＝3，t＝4时0.3t的值分别是0.9、1.2．根据出发点A的位置，可以确定当t＝0.3时，点P的位置位于原点O的右侧距离原点O0.1个单位长度，而当t＝0.4时，点P的位置位于原点O的左侧距离原点O0.2个单位长度，故答案是t﹣0.3．（3）当t＝8时，0.8t＝2.4．，结合图形可以确定此时点P的位置位于点E的左侧距离点E0.1个单位长度．所以，数轴上到点E的距离相同的点应该是﹣1.6．此时点P到点A距离是2.6个单位长度，所以r＝2.6÷0.3＝8．故答案是8（4）根据数轴上两点间的距离公式点M和N的距离等于|m﹣n|，故答案是|m﹣n|．【点评】本题考查了数轴与两点间的距离的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论20．如图，在数轴上点A表示的有理数为﹣6，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度在数轴上由A向B运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）（1）求t＝1时点P表示的有理数；（2）求点P与点B重合时的t值；（3）在点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，求点P与点A的距离；（用含t的代数式表示）（4）当点P表示的有理数与原点的距离是3个单位长度时，直接写出所有满足条件的t值．【分析】（1）根据P点的速度，有理数的加法，可得答案；（2）根据两点间的距离公式，可得AB的长度，根据路程除以速度，可得时间；（3）根据速度乘以时间等于路程，可得答案；（4）根据速度乘以时间等于路程，可得答案．【解答】解：（1）当t＝1时3×1＝3﹣6+3＝﹣3所以点P所表示的有理数是﹣3；（2）当点P与点B重合时，点P所运动的路程为|6﹣（﹣6）|＝12所以t＝12÷3＝4；（3）点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，点P与点A的距离分为2中情况：当点P到达点B前点P与点A的距离是3t；当点P到达点B再回到点A的运动过程中点P与点A的距离是：24﹣3t；（4）当点P表示的有理数与原点（设原点为O）的距离是3个单位长度时，则有以下四种情况：当点P由点A到点O时：OP＝AO﹣3t，即：6﹣3t＝3，∴t＝1；当点P由点O到点B时：OP＝3t﹣AO，即：3t﹣6＝3，∴t＝3；当点P由点B到点O时：OP＝18﹣3t，即：18﹣3t＝3，∴t＝5；当点P由点O到AO时：OP＝3t﹣18，即：3t﹣18＝3，∴t＝7，即：当点P表示的有理数与原点的距离是3个单位长度时，t值的值为1秒或3秒或5秒或7秒；【点评】本题考查了数轴，利用了速度与时间的关系，分类讨论是解题关键．。

人教版初中七年级数学第一单元有理数数轴一、教学目标（一）学习目标1.理解数轴的意义和数轴上的点与有理数的对应关系；2.会正确画出数轴，会根据数轴上的点读出所表示的有理数，会用数轴上的点表示给定的有理数；3.掌握从数与形两方面考虑问题的方法，能够用数轴解决现实生活中的实际问题。

（二）学习重点理解数轴上的点与有理数的对应关系（三）学习难点用数轴上的点表示有理数，并用数轴解决现实生活中的实际问题。

二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）规定了原点、正方向、单位长度的一条直线叫作数轴；（2）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，数轴上的原点表示的数是0；（3）一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。

2.预习自测（1）下列表示的数轴，正确的是（ ）【知识点】数轴-2 0 -1 2 1 -1 -2 0 1 2 3 -3 -1 0 1 2 3-2 0 2 AB C D【解题过程】解：单位长度不统一，故A 错误；－1、－2标反了，故B 错误；没有正方向，故D 错误，所以应选C【思路点拨】根据数轴的三要素即可判断.【答案】 C（2）在数轴上，原点及原点右边的数是（ ）A ．正数B ．负数C ．整数D ．非负数【知识点】数轴【解题过程】解：在数轴上，原点及原点右边表示的数是非负数。

【思路点拨】根据数轴的概念即可求解；【答案】D（3）在数轴上表示－3，0，5，4，21-的点中，在原点左边的点有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【知识点】数轴【解题过程】在数轴上表示－3，0，5，4，21-的点中，在原点左边的点有－3，21- 【思路点拨】根据数轴的概念知，在原点左边的点表示负数即可求解.【答案】C（4）如图，在数轴上，A 、B 、C 、D 、E 各表示什么数？【知识点】数轴【解题过程】解：由图可知：A 表示－1，B 表示1.5，C 表示－1.5，D 表示－3.5，E 表示3.【思路点拨】可先观察该点在原点的左侧或是右侧，判断其正负，再看该点到原点的距离即可判断.【答案】A 表示－1，B 表示1.5，C 表示－1.5，D 表示－3.5，E 表示3.（二）课堂设计1.知识回顾（1）什么叫正数？什么叫负数？ -3-4-2-1 2 3A B C D E（2）整数和分数统称什么数？整数包括哪些数？分数包括哪些数？2.问题探究探究一理解数轴的意义★●活动①探究：在一条东西向的马路上,有一个汽车站,汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境.师问：（1）用什么可表示马路？方向呢？（2）可以以什么地方为基准点？为什么？(分组讨论,交流合作,动手操作）师生合作画出对应的图形师问：能否用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系呢？生答：问题中，由于“东”与“西”、“左”与“右”都是具有相反意义，所以可以用正、负数来表示它们。

《数轴》七年级数学教案（精选6篇）《数轴》七年级数学教案1教学目标1.了解数轴的概念和数轴的画法，掌握数轴的三要素；2.会用数轴上的点表示有理数，会利用数轴比较有理数的大小；3.使学生初步了解数形结合的思想方法，培养学生相互联系的观点。

教学建议一、重点、难点分析本节的重点是初步理解数形结合的思想方法，正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数，并会比较有理数的大小。

难点是正确理解有理数与数轴上点的对应关系。

数轴的概念包含两个内容，一是数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可，二是这三个要素都是规定的。

另外应该明确的是，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数。

通过学习，使学生初步掌握用数轴解决问题的方法，为今后充分利用“数轴”这个工具打下基础二、知识结构有了数轴，数和形得到了初步结合，这有利于对数学问题的研究，数形结合是理解数学、学好数学的。

重要思想方法，本课知识要点如下表：定义三要素应用数形结合规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴原点正方向单位长度帮助理解有理数的概念，每个有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点并非都是有理数比较有理数大小，数轴上右边的数总比左边的数要大在理解并掌握数轴概念的基础之上，要会画出数轴，能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数，要知道所有的有理数都可以用数轴上的点表示，会利用数轴比较有理数的大小。

《数轴》七年级数学教案2教学目标：1、正确理解数轴的意义，理解数轴的三要素。

2、掌握有理数在数轴上的表示法，以及利用数轴比较有理数的大小。

3、理解相反数的意义及求法。

4、对学生渗透数形结合的思想方法，培养学生的观察、归纳与概括的能力。

重点难点：1、正确掌握数轴的画法；用数轴上的点表示有理数；求已知数的相反数。

2、有理数和数轴上的的点的对应关系。

教学方法：合作探究交流学法指导：观察归纳概括教学过程：一、情景引入：（1）你会读温度计吗？完成课本43页最上面的读温度计的问题。

《数轴》说课稿《数轴》说课稿（通用3篇）在教学工作者开展教学活动前，通常需要用到说课稿来辅助教学，说课稿是进行说课准备的文稿，有着至关重要的作用。

怎样写说课稿才更能起到其作用呢？下面是小编为大家整理的《数轴》说课稿（通用3篇），仅供参考，欢迎大家阅读。

《数轴》说课稿1一、说教材首先谈谈我对教材的理解，《数轴》是人教版初中数学七年级上册第一章的内容，本节课的内容是数轴的概念概念，三要素，和用数轴表示数。

有理数已经在上一节已经进行了讲解，并且之前也有生活中的温度计的常识性经验，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。

数轴是一个重要概念，后续的直角坐标系也是以数轴为基础的。

它是学生第一次学习正式接触数形结合思想，在整个数学体系中有着不可或缺的作用。

二、说学情接下来谈谈学生的实际情况。

新课标指出学生是教学的主体，所以要成为符合新课标要求的教师，深入了解所面对的学生可以说是必修课。

本阶段的学生已经具备了一定的分析能力，也能做出简单的逻辑推理，而且在生活中也为本节课积累了很多经验。

所以，学生对本节课的学习是相对比较容易的。

三、说教学目标根据以上对教材的分析以及对学情的把握，我制定了如下三维教学目标：（一）知识与技能了解数轴的概念，能用数轴上的点准确地表示有理数。

（二）过程与方法通过观察与实际操作，体会有理数与数轴上的点的对应关系，体会数形结合的思想。

（三）情感态度价值观在数与形结合的过程中，体会数学学习的乐趣。

四、说教学重难点我认为一节好的数学课，从教学内容上说一定要突出重点、突破难点。

而教学重点的确立与我本节课的内容肯定是密不可分的。

那么根据授课内容可以确定本节课的教学重点是：用数轴上的点表示有理数。

数形结合的思想方法学生首次正式接触，所以本节课的教学难点是：数形结合的思想方法。

五、说教法和学法现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。

初中数学《数轴》说课稿初中数学《数轴》说课稿1尊敬的各位老师们：你们好！今天我说课的题目是人教版数学七年级上册第一章第2节《数轴》。

下面，我将从背景分析、教学目标设计、、课堂结构和教学媒体设计、教学过程设计及教学评价设计等几个方面对本课的设计进行说明。

一.背景分析1. 教材的地位及作用“数轴”是人教版七年级数学上册第一章第二节“有理数”的重点内容之一，是在引进了负数及分析了有理数的分类后给出的。

数轴是理解有理数的概念与运算的重要工具，利用这个数学工具不但可以理解有理数的概念、大小比较等，还可以利用它来解决一些实际问题：包括绝对值，有理数的运算等，非常直观地把数与点结合起来，渗透着初步的数形结合的思想。

对以后的知识概念及实际问题的解决起着举足轻重的作用。

2. 教学重点、难点的分析教学的重点：1)正确理解数轴的概念;2)正确掌握数轴的画法和用数轴上的点表示有理数。

教学的难点：正确理解有理数与数轴上点的对应关系，体会数形结合的数学思想。

3. 教材的处理1)通过观察温度计及师生互动表示课本第10页中的问题，使学生明白数与形的对应，初步认识数形结合的美妙之处。

2)通过讲解数轴的概念，概括出数轴三要素，指导学生正确地画出数轴。

3)通过练习，使学生准确地掌握数轴的概念，并会用数轴表示有理数，进一步体会数形结合。

4)通过课本第11页的归纳，使学生深化对数轴概念的理解。

二、教学目标设计1. 知识技能1)掌握数轴的概念，并理解其三要素，能正确地画出数轴。

2)会用数轴上的点表示给定的有理数，会根据数轴上的点读出所表示的有理数。

理解任何有理数在数轴上都有唯一的点与之对应2.数学思考1)通过观察与思考，建立数轴的概念。

2)通过对数轴的学习，初步体会对应的思想、数形结合的思想。

3.解决问题会利用数轴解决有关问题。

4.情感态度通过对数轴的学习，向学生渗透数形结合的数学思想，让学生知道数学________于实践，培养学生对数学的学习兴趣。