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三棱锥的几个重要性质,!直角三棱锥的几个性质有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。
循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。
我们已经学习过的直角三角形的性质有： 性质1：Rt Δ的垂心就是直角顶点。
性质2：Rt Δ的两个锐角互余。
性质3：Rt Δ两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质4：Rt Δ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，Rt Δ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。
性质5：Rt Δ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。
性质6：Rt Δ斜边上的中线等于斜边的一半。
(所以Rt Δ的外接圆半径R ＝21c ＝2122b a +)。
性质7：Rt Δ的内切圆半径r ＝22b a b a ab+++＝21(a ＋b －c)。
现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。
如图所示，在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c 。
∵PA 、PB 、PC 两两垂直， ∴PA ⊥面PBC ，PB ⊥面PCA ，PC ⊥面PAB ， ∴面PAB 、面PBC 、面PCA 两两垂直。
作PH ⊥面ABC 于H ，连CH 并延长并交AB 于D ，连PD ，则PH ⊥AB ，PH ⊥CD ，面PCD ⊥面ABC ；而PC ⊥面PAB ⇒PC ⊥AB ，所以AB ⊥面PCD ，∴AB ⊥PD ，AB ⊥CH 。
同理，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 。
由AB ⊥面PCD 知CD ⊥AB ，而PD ⊥AB 且∠APB ＝ 90°，∴∠ABC 、∠CAB 为锐角。
同理，∠BCA 也是锐角，从而有：性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。
由AB ⊥CH ，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 易知，H 是ΔABC 的垂心，由此可得： 性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。
三棱锥的性质三棱锥是一种几何体，由一个底面和三条斜面组成。
本文将探讨三棱锥的各种性质和特点。
一、基本定义和构造三棱锥是一种具有三个侧面和一个底面的多面体。
它的底面是一个三角形，而侧面是三个以底面三个顶点为顶点的三角形。
二、顶点、棱和面的关系1. 顶点：三棱锥有四个顶点，其中三个顶点位于底面的三个角上，第四个顶点是所有棱的共同顶点，位于顶面上。
2. 棱：三棱锥有六条棱，其中三条棱是底面的边，另外三条棱是从顶点向底面的三个顶点连线。
3. 面：三棱锥有四个面，其中三个面是侧面，一个面是底面。
三、特殊类型的三棱锥除了一般的三棱锥外，还有一些特殊类型的三棱锥，包括：1. 直三棱锥：如果三个侧面都与底面的边垂直相交，那么这个三棱锥就是直三棱锥。
2. 正三棱锥：如果底面是等边三角形，并且侧面都是等边三角形，那么这个三棱锥就是正三棱锥。
3. 直交三棱锥：如果底面是一个直角三角形，并且侧面都与底面的边垂直相交，那么这个三棱锥就是直交三棱锥。
四、1. 顶点角和底角之和：三棱锥的所有顶点角的和等于360度，底面的角之和也等于360度。
2. 侧面和侧边：侧面是由底面的边和顶点连接而成的三角形。
侧边是从顶点到底面的边。
3. 面积和体积：三棱锥的侧面积等于底面积的三倍加上底面周长乘以棱长的一半。
体积等于底面积乘以高度的三分之一。
4. 对称性：三棱锥具有一些对称性质，包括轴对称、面对称和中心对称。
五、应用和扩展三棱锥作为一种几何体，在实际生活和科学研究中有广泛的应用，例如建筑物的设计、物体的体积计算等。
此外，三棱锥的性质也可以扩展到其他多面体的研究中。
总结：三棱锥是一种具有底面和三个侧面的多面体，其顶点、棱和面之间有一些特定的关系。
了解三棱锥的性质对于几何学的学习和实际应用都具有重要意义。
通过研究和理解三棱锥的性质，我们可以更好地理解几何学的基本概念和定理，并应用于实际问题的解决。
立体几何之三棱锥知识要点三棱锥是一个具有四个面的多面体，其中三个面是三角形，而第四个面是一个底面，底面是一个任意形状的多边形。
三棱锥的重要特点和性质如下：1.三棱锥的顶点：三棱锥有一个顶点，它是三个侧面的顶点的共同顶点。
2.三棱锥的侧棱：三棱锥有三条侧棱，它们连接顶点和底面上的顶点。
3.三棱锥的高：三棱锥的高是从顶点垂直地延伸到底面的最短距离。
4.三棱锥的底面积：三棱锥的底面积是底面上所围成的面积。
5.三棱锥的侧面积：三棱锥的侧面积是三个侧面所围成的总面积。
6.三棱锥的表面积：三棱锥的表面积是底面积和侧面积的总和。
7.三棱锥的体积：三棱锥的体积可以通过以下公式计算：V=(1/3)*底面积*高。
8.三棱锥的角度性质：三棱锥有三个顶点的角，它们是顶点和底面上的两个相邻顶点围成的角。
9.正三棱锥：如果三棱锥的三个侧面都是等边三角形，并且顶点和底面上的顶点间的连线垂直于底面，那么这个三棱锥是正三棱锥。
10.斜三棱锥：如果三棱锥不是正三棱锥，则被称为斜三棱锥。
斜三棱锥没有任何特殊的角度性质。
11.直三棱锥：如果三棱锥的顶点和底面上的顶点通过一根直线相连接，则这个三棱锥是直三棱锥。
12.斜高：斜三棱锥的高与形状有关，不能通过简单的垂直延伸来获得。
13.圆锥：当底面是一个圆形时，三棱锥被称为圆锥。
14.锥截面：如果一个平面截过三棱锥，截面的形状取决于平面的方向。
15.等面积：如果三棱锥的两个三角形侧面有相等的面积，那么三棱锥的两个侧面角也是相等的。
三棱锥的这些重要特点和性质对我们理解和解决与三棱锥相关的问题非常有帮助。
通过理解和应用这些知识，我们可以计算三棱锥的体积、表面积，以及解决各种与三棱锥相关的几何问题。
正三棱锥特性
1.对称性：正三棱锥具有空间对称性。
其底面、顶点和每个侧面都可以通过旋转重合。
这种对称性使得正三棱锥在建筑和工程上应用广泛。
2.面积和体积：正三棱锥的表面积可以通过计算底面和四个侧面的面积来得到。
其体积可以通过计算底面面积乘以高度再除以三来得到。
这些公式使得正三棱锥的表面积和体积计算变得简单。
3.角度：正三棱锥的底面是一个正三角形，其三个角均为60度。
而四个侧面均为等边三角形，其三个角也均为60度。
这些角度的关系使得正三棱锥的各个面相互平行，从而使得其形状非常稳定。
4.稳定性：正三棱锥由于具有对称性和稳定的角度关系，使得其在建筑和工程中应用非常广泛。
例如在塔楼、桥梁和其他结构中，正三棱锥可以作为支撑物或者结构的基础。
5.应用：正三棱锥的稳定性和对称性，使得其在建筑、工程和数学等领域中应用广泛。
例如在建筑中，正三棱锥可以作为塔楼或者建筑的支撑物；在工程中，正三棱锥可以用于制造机械零件或者工业设备。
在数学中，正三棱锥可以用于计算几何和三维图形的推导。
直角三棱锥的几个性质高中课本《立体几何(必修)》总复习参考题第5题是：“将正方形截去一个角，求证截面是锐角三角形．”本题研究的对象实际上是一种特殊的三棱锥——经过同一顶点的三条棱两两垂直的三棱锥．我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥．从结构上看，直角三棱锥是平面的直角三角形在空间内的扩展．循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质．循着直角三角形的射影定理探究直角三棱锥可以得到：性质1在三棱锥V－ABC中，VA、VB、VC两两垂直，那么△VAB、△VBC、△VCA的面积分别是它们在面ABC内的射影的面积和△ABC的面积的比例中项：证明：如图，作VH⊥面ABC，垂足是H，连AH、BH，则△HAB是△VAB在面ABC内的射影，连CH并延长之交AB于D，连VD．∵VC⊥VA，VC⊥VB，∴VC⊥面VAB，∴VC⊥AB，VC⊥VD．由三垂线定理的逆定理得CD⊥AB，又由三垂线定理得VD⊥AB．∵VH⊥面ABC，∴VH⊥CD．在Rt△VCD中，由射影定理得VD2 = HD·CD，循着直角三角形的勾股定理探究直角三棱锥可以得到．性质2在三棱锥V－ABC中，VA、VB、VC两两垂直，那么它的四个面(由性质1可直接推出性质2，证明从略．)设直角三角形的两个锐角为α、β，由二者互余有sin2α＋sin2β = 1和cos2α＋cos2β = 1．循此对直角三棱锥进行探究可以得到：性质3在三棱锥V－ABC中，VA、VB、VC两两垂直．若VA、VB、VC与面ABC所成的角分别是α、β、γ，则sin2α＋sin2β＋sin2γ = 1；略证：(1)如图，作VH⊥面ABC，垂足是H，连AH并延长之交BC于E，连VE，则∠VAE就是VA与面ABC所成的角，故∠VAE = α．仿性质1的证明可得VA⊥VE，VE⊥BC，AE⊥BC，根据性质2得由VE⊥BC、AE⊥BC知∠VEA是面VBC与面ABC所成二面角的平面性质4在三棱锥V－ABC中，VA、VB、VC两两垂直且其长度分别为a、b、c，那么，(1)这个三棱锥的外接球的半径为(2)这个三棱锥的内切球的半径为(对于(1)，可将直角三棱锥补成长方体后加以推证；对于(2)，可将内切球的球心与三棱锥的各顶点相连把三棱锥分割成四个小三棱锥后利用体积进行推证．证明从略．)。
三棱锥的性质三棱锥，是一种几何图形，也称为三角锥，是由一个三角形的底面和三条侧棱组成的多面体。
在数学中，三棱锥具有许多独特的性质，本文将介绍三棱锥的几何特征和相关性质。
1. 三棱锥的定义三棱锥是一种多面体，由一个三角形作为底面，同时有三条从底面顶点引出并相交于一个顶点的棱组成。
这里的三角形称为底面，而相交于同一顶点的三条棱称为侧棱。
2. 三棱锥的特征•底面三角形的性质：三棱锥的底面是一个三角形，其性质与任意三角形相同，例如三角形内角和等于180度等。
•侧棱的性质：三棱锥的侧棱是从底面顶点引出的边，连接到顶点的棱，与底面的三边相交，构成侧面三角形。
•侧面三角形的性质：侧面三角形是三棱锥的侧棱与底面各边所构成的三角形，具有独特的性质，例如侧面三角形的高度等于三棱锥的高度。
3. 三棱锥的体积计算三棱锥的体积计算公式为：$$V = \\frac{1}{3} \\times A_{\\text{底面}} \\times h$$其中， \(A_{\text{底面}}\) 为底面的面积， \(h\) 为三棱锥的高度。
4. 三棱锥的表面积计算三棱锥的表面积计算公式为：$$S = A_{\\text{底面}} + \\frac{1}{2} \\times P_{\\text{底面}} \\times l$$其中， \(P_{\text{底面}}\) 为底面的周长， \(l\) 为侧棱的长度， \(A_{\text{底面}}\) 为底面的面积。
5. 三棱锥的稳定性与其他多面体相比，三棱锥的稳定性较差，当三棱锥的高度较大时，容易发生摇晃和倾倒现象。
因此，在建筑结构和工程设计中，往往需要通过增加底面的支撑或加固侧棱等方法来提高三棱锥的稳定性。
结语综上所述，三棱锥作为一种特殊的多面体，具有独特的几何特征和性质。
通过了解和掌握三棱锥的性质，我们可以更好地理解和运用它在数学和实际生活中的应用。
希望本文的介绍能够帮助读者对三棱锥有更深入的理解。
直角三棱锥的几个性质有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。
循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。
我们已经学习过的直角三角形的性质有： 性质1：Rt Δ的垂心就是直角顶点。
性质2：Rt Δ的两个锐角互余。
性质3：Rt Δ两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质4：Rt Δ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，Rt Δ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。
性质5：Rt Δ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。
性质6：Rt Δ斜边上的中线等于斜边的一半。
(所以Rt Δ的外接圆半径R ＝21c ＝2122b a +)。
性质7：Rt Δ的内切圆半径r ＝22b a b a ab+++＝21(a ＋b －c)。
现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。
如图所示，在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c 。
∵PA 、PB 、PC 两两垂直， ∴PA ⊥面PBC ，PB ⊥面PCA ，PC ⊥面PAB ， ∴面PAB 、面PBC 、面PCA 两两垂直。
作PH ⊥面ABC 于H ，连CH 并延长并交AB 于D ，连PD ，则PH ⊥AB ，PH ⊥CD ，面PCD ⊥面ABC ；而PC ⊥面PAB ⇒PC ⊥AB ，所以AB ⊥面PCD ，∴AB ⊥PD ，AB ⊥CH 。
同理，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 。
由AB ⊥面PCD 知CD ⊥AB ，而PD ⊥AB 且∠APB ＝90°，∴∠ABC 、∠CAB 为锐角。
同理，∠BCA 也是锐角，从而有：性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。
由AB ⊥CH ，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 易知，H 是ΔABC 的垂心，由此可得： 性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。
直角三棱锥的性质综述作者：苏进文来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2011年第10期摘要：本文定义三个侧面两两互相垂直的三棱锥称为直角三棱锥，笔者通过深入探究，给出直角三棱锥的若干性质，并证明这些性质结论的正确性，供同行教学参考.关键词：直角三棱锥；定义；性质；证明定义：三个侧面两两互相垂直的三棱锥，称为直角三棱锥直角三棱锥在高三复习立体几何时经常遇到，学生非常熟悉它的一些基本性质：三条侧棱两两互相垂直，相对棱互相垂直；其中一条侧棱垂直于另外两条侧棱所在侧面；顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心；底面三角形为锐角三角形；体积等于侧棱长乘积的；外接球半径的平方等三条侧棱长的平方和的. 除此之外，本文再介绍一些棱长与高，侧面积与底面积，侧面或侧棱与底面所成的角，内切球半径等之间的关系.如图1，记直角三棱锥P－ABC的侧棱PA=a，PB=b，PC=c，顶点P在底面△ABC内的射影为O，高PO=h，内切球半径为γ，△PAB，△PBC，△PAC，△ABC的面积分别是S1，S2，S3和S.图1性质1：=++.证明：如图1，易证PD⊥AB，PO⊥DC，PC⊥PD. 于是PO=，PD=，从而==，因此=++.性质2：S+S+S=S2.证明：如图1，S=AB•CD=••===，于是S2=S+S+S.性质3：=+++.证明：如图1，VP-ABC=abc=S1γ+S2γ+S3γ+Sγ，整理得=.又S2=S+S+S=2+2+2，故2S=. 于是==+++=+++.性质4：S=S•S△AOB，S=S•S△BOC，S=S•S△AOC.证明：如图1，S=AB2•PD2，S△AOB=AB•DO，S=AB•DC.又PD⊥PC，PO⊥DC，所以PD2=DO•DC. 于是S=S•S△AOB.同理可证，S=S•S△BOC，S=S•S△AOC.性质5：直角三棱锥的侧面与底面所成角的余弦的平方和等于1.证明：如图1，不妨设侧面PAB，PBC，PAC与底面ABC所成角分别为α，β，γ，则cosα=，cosβ=，cosγ=. 于是cos2α+cos2β+cos2γ=++=++==1.推论：如果直角三棱锥的侧棱长相等，则侧面与底面所成角的余弦值均为.性质6：直角三棱锥的底面与其中一侧面所成角的正切的平方等于底面每一条边与该侧面所成角的正切的平方和.证明：如图1，不妨设底面ABC与侧面PAB所成的角为θ，边CA，CB，AB与侧面PAB 所成的角分别为θ1，θ2，θ3，易证∠PDC=θ，∠CAP=θ1，∠CBP=θ2，θ3=0. 因为PD•AB=PA•PB，AB2=PA2+PB2，所以PD2==. 于是tan2θ===+=tan2θ1+tan2θ2. 又因为tanθ3=tan0=0，从而tan2θ=tan2θ1+tan2θ2+tan2θ3.性质7：设点Q是直角三棱锥P－ABC的底面上一点，则（1）PQ的平方等于点Q到各侧面的距离的平方和；（2）PQ与侧棱所成角的余弦的平方和等于1；（3）PQ与侧面所成角的余弦的平方和等于2.分析：当Q在底边上时，易证结论成立；当Q不在底边上时，过点Q作三个平面分别平行三个侧面，它们与三个侧面围成一个长方体，且QP为长方体的对角线，从而由长方体的性质即可获证.性质8：直角三棱锥的侧棱与底面所成角的余弦的平方和等于2.分析：如图1，设侧棱PA，PB，PC与PO所成的角依次为α′，β′，γ′，与底面ABC所成角依次为φ1，φ2，φ3，由性质7（2）知，cos2α′+cos2β′+cos2γ′=1. 又由于φ1，φ2，φ3分别与α′，β′，γ′互余，故可得cos2φ1+cos2φ2+cos2φ3=2.性质9：直角三棱锥的底面每一条边与三条侧棱所成的角的余弦的平方和等于1，与三个侧面所成角的余弦平方和等于2.分析：如图1，底面边AB与侧棱PA，PB所成的角为Rt△PAB的两锐角，又由AB⊥PC，易证结论成立.性质10：设直角三棱锥P－ABC内任一点M到平面PBC，PAC，PAB，ABC的距离分别为d1，d2，d3，d4，则+++=1.证明：如图1，因为==，所以同理可得=，=，=.于是+++===1.。
直角三棱锥的几个性质 有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。
循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。
我们已经学习过的直角三角形的性质有：性质1：Rt Δ的垂心就是直角顶点。
性质2：Rt Δ的两个锐角互余。
性质3：Rt Δ两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质4：Rt Δ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，Rt Δ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。
性质5：Rt Δ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。
性质6：Rt Δ斜边上的中线等于斜边的一半。
(所以Rt Δ的外接圆半径R ＝21c ＝2122b a +)。
性质7：Rt Δ的内切圆半径r ＝22b a b a ab +++＝21(a ＋b －c)。
现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。
如图所示，在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c 。
∵PA 、PB 、PC 两两垂直， ∴PA ⊥面PBC ，PB ⊥面PCA ，PC ⊥面PAB ， ∴面PAB 、面PBC 、面PCA 两两垂直。
作PH ⊥面ABC 于H ，连CH 并延长并交AB 于D ，连PD ，则PH ⊥AB ，PH ⊥CD ，面PCD ⊥面ABC ；而PC ⊥面PAB ⇒PC ⊥AB ，所以AB ⊥面PCD ，∴AB ⊥PD ，AB ⊥CH 。
同理，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 。
由AB ⊥面PCD 知CD ⊥AB ，而PD ⊥AB 且∠APB ＝90°，∴∠ABC 、∠CAB 为锐角。
同理，∠BCA 也是锐角，从而有：性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。
由AB ⊥CH ，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 易知，H 是ΔABC 的垂心，由此可得： 性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。
在Rt ΔPAB 中，PD ·AB ＝PA ·PB ⇒PD ＝22b a ab+；在Rt ΔPCD 中，CD 2＝PD 2＋PC 2＝(22ba ab +)2＋c 2＝22222222b a a c c b b a +++；在Rt ΔPCD 中，PH ⊥CD ，∴PD ·PC ＝CD ·PH ⇒PH 2＝222CD PC PD ⋅＝22222222222)(b a a c c b b a c b a ab +++⋅+＝222222222a c c b b a c b a ++，∴21PH＝222222222c b a a c c b b a ++＝21a ＋21b ＋21c 。
因此有： 性质2：②直角三棱锥顶点到底面的距离为h 满足关系式21h ＝21a ＋21b ＋21c 。
因PH ⊥面ABC ， ∴侧棱PC 与底面ABC 所成角为∠PCH ＝α，则有sin 2∠PCH ＝sin 2α＝22CD PD ＝22222222222)(b a a c c b b a b a ab ++++＝22222222ac c b b a b a ++。
同理,侧棱PB 与底面ABC 所成角为∠PBH ＝β,sin 2∠PBH ＝sin 2β＝22222222ac c b b a a c ++，侧棱PA 与底面ABC 所成角为∠PAH ＝γ，sin 2∠PBH ＝sin 2γ＝22222222ac c b b a a c ++，所以sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝1。
因此，性质3：①直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方和等于1。
三条侧棱与底面所成角，和三个侧面与底面所成角互为余角。
由AB ⊥PD,AB ⊥CD ，∴侧面PAB 与底面ABC 所成角为∠PDC ＝θ,由PC ⊥PD 知θ＋α＝90°,∴sin 2α＝sin 2(90°－θ)＝cos 2θ。
类似推理，由sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝1。
易得：sin 2θ＋sin 2δ＋sin 2ϕ＝1。
另外，tan(P-AB-C)＝tan ∠PDC ＝PD PC ＝22b a abc +＝c 2211b a +，同理，tan(P-BC-A)＝a 2211c b +，tan(P-CA-B)＝b 2211ac +。
所以， 性质3：②直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦值的平方和等于1。
各角的正切值：tan(P-AB-C)＝c 2211b a +，tan(P-BC-A)＝a 2211c b +，tan(P-CA-B)＝b 2211a c +。
如图，Q 为底面ΔABC 内任一点，作点Q 到面PAB 的距离为RQ ＝d 1，到面PBC 的距离为RT ＝d 2，到面PCA 的距离为RS ＝d 3，容易得到：PQ 2＝RQ 2＋RP 2＝RQ 2＋RT 2＋RS 2＝d 12＋d 22＋d 32性质4：①底面内任一点到顶点距离的平方，等于它到三个侧面距离的平方和。
QP 与棱PA所成角的余弦值cos 2α＝22PQ SP ＝22PQ RT ，QP 与棱PB 所成角的余弦值cos 2β＝22PQ TP ＝22PQRS ，QP 与棱PA 所成角的余弦值cos 2γ＝22PQ RQ ， 在PQ 2＝RQ 2＋RT 2＋RS 2两边同时除以PQ 2，得cos 2γ＋cos 2α＋cos 2β＝1； 性质4：②直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三条棱分别构成三个角，其余弦值的平方和为1。
QP 与面PAB 所成角的余弦值cos 2θ＝222PQ RT RS +，QP 与面PBC 所成角的余弦值cos 2δ＝222PQ RQ RS +，QP 与面PCA 所成角的余弦值cos 2ϕ＝222PQRQ RT +，由PQ 2＝RQ 2＋RT 2＋RS 2得2×PQ 2＝RS 2＋RT 2＋RS 2＋RQ 2＋RT 2＋RQ 2,两边同时除以PQ 2，得cos 2θ＋cos 2δ＋cos2ϕ＝2，∴ 1－sin 2θ＋1－sin 2δ＋1－sin 2ϕ＝2，得sin 2θ＋sin 2δ＋sin 2ϕ＝1。
性质4：③直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三个侧面分别构成三个角，其正弦值的平方和为1。
底面三角形的面积S ABC ∆＝21AB ·CD ＝2122b a +·22222222b a a c c b b a +++＝21222222a c c b b a ++，这也可以当成直角三棱锥的一个性质：性质5：①直角三棱锥底面三角形的面积S ＝21222222a c c b b a ++。
在Rt ΔPCD 中，PD 2＝HD ·CD ，两边同乘以41AB 2得41AB 2·PD 2＝41AB 2·HD ·CD ，即S PAB ∆2＝S HAB ∆·S ABC ∆；同理，S PBC ∆2＝S HBC ∆·S ABC ∆；S PCA ∆2＝S HCA ∆·S ABC ∆。
性质5：②直角三棱锥侧面面积是其在底面的射影面积与底面面积的比例中项。
把S PAB ∆2＝S HAB ∆·S ABC ∆；S PBC ∆2＝S HBC ∆·S ABC ∆；S PCA ∆2＝S HCA ∆·S ABC ∆；这三个式子相加，得S ABC ∆2＝S PAB ∆2＋S PBC ∆2＋S PCA ∆2。
性质5：③直角三棱锥三个侧面面积的平方和，等于底面面积的平方。
直角三棱锥P-ABC 中，在点A 处，cos ∠PAB ·cos ∠PAC ＝AB PA ·AC PA ＝ACAB PA ⋅2， cos ∠BAC ＝AC AB BC AB AC ⋅-+2222＝ACAB PC PB AB AC ⋅+-+2)(2222 ＝AC AB PB AB PC AC ⋅-+-22222＝AC AB PA PA ⋅+222＝ACAB PA ⋅2＝cos ∠PAB ·cos ∠PAC ； 即cos ∠BAC ＝cos ∠PAB ·cos ∠PAC ；同理，点B 处，cos ∠ABC ＝cos ∠PBA ·cos ∠PBC ；点C 处，cos ∠ACB ＝cos ∠PCB ·cos ∠PCA 。
所以性质6：直角三棱锥底面端点处，侧棱与底面两边所成角的余弦积，等于底面角的余弦值。
将直角三棱锥补成长方体，则直角三棱锥的外接球也是长方体的外接球，其球心是长方体的中心，半径为长方体对角线的一半。
因此有性质7：①直角三棱锥外接球的半径R ＝21222c b a ++。
设直角三棱锥内切球半径为r ，球心为Ｏ，连OA,OB,OC ，则把直角三棱锥分成四个小三棱锥，∴ V ABC P -＝V PAB O -＋V PBC O -＋V PCA O -＋V ABC O -，∵ S ABC ∆＝21222222a c c b b a ++，∴ 31×21ab ×c ＝31×21ab ×r ＋31×21bc ×r ＋31×21ca ×r ＋31×21×222222a c c b b a ++×r ， ∴ r ＝222222a c c b b a ac bc ab abc+++++。
所以，性质7：②直角三棱锥内切球的半径r ＝222222a c c b b a ac bc ab abc+++++。
现在将以上所探究到的直角三棱锥性质小结如下：性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。
性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。
②直角三棱锥顶点到底面的距离为h 满足关系式21h ＝21a ＋21b ＋21c。
性质3：①直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方和等于1。
三条侧棱与底面所成角，和三个侧面与底面所成角互为余角。
②直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦值的平方和等于1。
各角的正切值：tan(P-AB-C)＝c 2211b a +，tan(P-BC-A)＝a 2211c b +，tan(P-CA-B)＝b 2211a c +。
性质4：①底面内任一点到顶点距离的平方，等于它到三个侧面距离的平方和。
②直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三条棱分别构成三个角，其余弦值的平方和为1。
③直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三个侧面分别构成三个角，其正弦值的平方和为1。
