一线三等角教案

几何模型——一线三等角教学目标：1、掌握相似三角形的判定和性质，并能熟练运用其解决重要类型“一线三等角”的类型题.2、经历运用相似三角形知识解决问题的过程，体验图形运动、分类讨论、方程与函数等数学思想.3、通过问题的解决，体验探究问题成功的乐趣，积极探索，提高学习几何的兴趣.重点：相似三角形的判定性质及其应用.难点：与相似、函数有关的综合性问题的解决技巧和方法.教学方法：启发式教学方法，尝试指导教学法.一、知识梳理：（图1）（图2）（1）如图1，已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B，那么一定存在的相似三角形有；（2）如图2，已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B，那么一定存在的相似三角形有.二、【专题练习】1.如图，等边△ABC中，边长为4，D是BC上动点，∠EDF=60°，（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，FC=52时，求BE.2.在边长为4的等边ABC∆中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且保持ABCEDF∠=∠，连接EF.(1) 已知BE=1,DF=2，求DE的值； (2) 求证：∠BED=∠DEF.3.在边长为4的等边ABC ∆中，若BD =1时，当△DEF 与△AEF 相似，求BE 的值.4.如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，CF =1，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线EG ，FG 交直线AC 于点M ，N ，（1）写出图中与BEF ∆相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE =x ，MN =y ，，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.5.在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q （不与点B ,C 重合），已知AP =2，求CQ .QC A P三、例题分析例。

一线三等角模型学案副本一线三等角模型是指三个三角形中，有一条公共边，且这三个三角形中的每一个都与该公共边相邻。

该模型在数学中有着广泛的应用，尤其是在平面几何和三角函数领域。

一线三等角模型的基本概念非常直观，但其在实际问题中的应用却十分灵活。

例如，在角度制转换问题中，我们可以利用一线三等角模型来简化计算过程。

另外，在一元二次方程的求解中，该模型也可以为我们提供便利。

除了在数学问题中的应用，一线三等角模型还在其他领域中具有重要价值。

例如，在物理学中的光学问题中，该模型可以用来描述光线在介质中的传播路径。

此外，在计算机图形学中，一线三等角模型也被广泛应用于图像处理和计算机视觉等领域。

一线三等角模型的优点在于其灵活性和可塑性。

该模型可以适应各种不同的场景，并为我们提供解决问题的新思路。

然而，该模型也存在一些缺点，例如在实际应用中可能存在计算复杂度高的问题。

因此，在使用一线三等角模型时，我们需要根据具体问题的情况进行综合考虑。

总之，一线三等角模型是一种重要的数学模型，具有广泛的应用价值。

在实际问题中，我们可以利用该模型来简化计算过程，提高解决问题的效率。

也需要根据具体情况进行合理的应用和评估。

八年级数学学案28全等三角形的复习一线三等角八年级数学学案28：全等三角形的复习一线三等角一、导入在八年级数学学习中，我们学习了一个重要的概念，即全等三角形。

全等三角形是形状和大小都完全相同的两个三角形，它们的对应边相等，对应角也相等。

为了使大家更好地掌握全等三角形的性质和判定方法，本学案将对全等三角形进行深入的复习，并结合一线三等角的概念进行讲解。

二、复习全等三角形1、全等三角形的定义和性质定义：全等三角形是指形状和大小都完全相同的两个三角形。

性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等。

2、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（4）两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。

教学设计全等三角形AAS定理一线三等角模型课程分析：本节课是在学生学完八年级直角坐标系和一次函数之后，全等三角形定理在函数中的应用过程，包括在坐标系中如何构造全等三角形，要求学生对AAS定理的熟练应用，能在直角坐标系中等腰直角三角形为模版，找出直角点的坐标来。

一线三等角模型在几何和函数中都有重要应用，包括两者结合的综合题，树立学生的一线三等角的数学模型思想，会让学生再解这类题时更加得心应手。

因此，本节课的复习目标是：复习目标：1.能熟练运用AAS定理证三角形全等体会“一线三等角”几何模型在解题中的作用.2.能构造出“一线三等角”模型，能提炼出“一线三等角”几何模型,提高解决问题的能力.学情分析：本班的学生学习数学的热情较高，基础挺好，思维比较活跃，研究的气氛比较浓，但需要进行适当的引导，一方面鼓励他们学习、提问的热情，一方面利用他们不同的见解，不同的看法，推进课堂进度，使问题回归知识本质从而使学生成为课堂的主人。

设计思路：本节课采用“诱思探究教学”，让学生在教师导向性信息的指引下，动用所有的感官，亲身体验，独立思考，自主探究，合作学习。

使本节课的教学任务得以顺利的完成。

充分体现“已诱达思，启智悟道”的教学精髓。

本节课采用学生动手和多媒体教学相结合的教学方法。

一方面增强了学生的动手能力，增加了学生的学习兴趣，另一方面通过演示使得导向性信息更加明确，有利于学生严密思维习惯的养成。

教学过程： 导入：构造全等三角形时，技巧性不够，缺少数学模型思想，针对以上这个问题，引出复习目标。

一：归纳篇： 1.通过做习题1:已知：如图，AB=AD,∠C=∠BAD=∠E=90,点C 、A 、E 共线。

求证：（1）∠1=∠2 （2）△ABC ≌△DAE第一个结论是应用的同角的余角相等这个结论。

第二个全等的结论运用的是AAS 定理的，（让学生 体会用AAS 定理证全等，关键是证角相等） 从而让学生观察本题特点，引出一线三直角 数学模型。

《相似三角形之一线三等角》教学ppt课件2023-10-26CATALOGUE目录•引言•相似三角形基本概念•一线三等角定理及其应用•课堂活动与练习•总结与回顾01引言•相似三角形是初中数学的重要内容，而一线三等角是相似三角形的一种重要类型。

通过学习本课，学生能够深入理解相似三角形的性质和判定方法，提高数学思维和解决问题的能力。

课程背景课程目标学会如何利用一线三等角判定两个三角形相似；掌握一线三等角的定义和性质；培养学生的自主学习和合作学习能力。

通过案例分析，培养学生的数学思维和解决问题的能力；教学策略利用PPT课件引导学生逐步深入学习；采用讲解、示范、小组讨论等多种教学方法，帮助学生掌握知识；通过案例分析，让学生了解一线三等角的应用；组织课堂练习和小组讨论，加深学生对知识的理解和应用。

02相似三角形基本概念如果两个三角形三边对应成比例，那么这两个三角形相似。

定义如果$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$，那么$\bigtriangleup ABC\backsim \bigtriangleup DEF$。

数学符号表示相似三角形的定义相似三角形的性质对应角相等相似三角形对应角相等，可以用$\bigtriangleup ABC \backsim \bigtriangleup DEF$推出$\angle A =\angle E$，$\angle B = \angle F$，$\angle C = \angle D$。

对应边成比例相似三角形对应边成比例，可以用$\bigtriangleup ABC \backsim \bigtriangleup DEF$推出$\frac{a}{d} = \frac{b}{e} = \frac{c}{f}$。

定义法根据相似三角形的定义进行判断，即判断两个三角形三边对应成比例。

平行线法通过平行线构造相似三角形，即利用平行线的性质，将两个三角形放在平行线上，通过移动使得对应边成比例，从而证明两个三角形相似。

“一线三等角”型相似教学目标：1、了解“一线三等角”型相似三角形的基本模型，建立模型解题意识；2、能熟练利用“一线三等角”型相似模型解决数学问题.教学重点：识别、构造“一线三等角”型相似模型并应用.教学难点：构造“一线三等角”型相似模型并灵活运用.教学方法：探究式教学法教学过程：1、建立模型：（1）如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，点B、C、D在同一直线上，则△ABC∽△CDE．（2）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．则△ABD∽△DCE．简介：两个等角的一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧。

若有第三个与之相等的角、其顶点在该直线上，角的两边（或两边所在直线）分别与两等角的非共线边（或该边所在直线）相交，此时通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角型”相似三角形．应用1、如图，在边长为9的正方形中，为上一点，连接.过点作ABCD F AB CF F ，交于点,=3，则等于( )FE CF ⊥AD E AF AE A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5应用2、如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数A 6(0)y x x =-<B 1(0)y x x=>的图像上，且，则的值为( )90AOB ∠=︒AO OBA. 6B. 3 D. 2应用3、如图，在等边中，为边上一点，且，求ABC ∆D BC 60,3,2ADE BD CE ∠=︒== 的边长.ABC ∆应用4、如图，等腰三角形OAB 的一边OB 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为(6，8)，OA=OB ．动点P 从原点O 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向点B 匀速运动，动点Q 从原点O 出发，沿y 轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q 作x 轴的平行线，分别交OA 、AB 于E 、F ，连结PE 、PF ．设动点P 、Q 同时出发，当点P 到达点B 时，点Q 也停止运动，它们运动的时间为t 秒(t ≥0)．(1)点E 的坐标为___________，F 的坐标为 ___________ ；(均用t 来表示)(2)是否存在某一时刻t ，使∠EPF 为直角?若存在，请求出此时刻t 的值：若不存在，请说明理由．应用5、如图，已知点A 是双曲线y =在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长2x 交另一分支于点B ，以AB 为边作等边△ABC ，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线y =(k <0)上运动，则k 的值是 .k x4、课堂小结感悟：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________5、练习与作业：1．如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=，则小正方形的周长为（ ）A．B．C．D．2．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（ ）A． B． C． D．OABC O A x3.如图，将一张矩形纸片放在平面直角坐标系中，为原点，点在轴的正半轴C y OCD BD C OA上，点在轴的正半轴上.在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处.若=10,=5，则点的坐标为___________ .E OA CD E4. △ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．。

几何模型——一线三等角教学目标：1、掌握相似三角形的判定和性质，并能熟练运用其解决重要类型“一线三等角”的类型题.2、经历运用相似三角形知识解决问题的过程，体验图形运动、分类讨论、方程与函数等数学思想.3、通过问题的解决，体验探究问题成功的乐趣，积极探索，提高学习几何的兴趣.重点：相似三角形的判定性质及其应用.难点：与相似、函数有关的综合性问题的解决技巧和方法.教学方法：启发式教学方法，尝试指导教学法.一、知识梳理：（图1）（图2）（1）如图1，已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B，那么一定存在的相似三角形有；（2）如图2，已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B，那么一定存在的相似三角形有.二、【专题练习】1.如图，等边△ABC中，边长为4，D是BC上动点，∠EDF=60°，（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，FC=52时，求BE.2.在边长为4的等边ABC∆中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且保持ABCEDF∠=∠，连接EF.(1) 已知BE=1,DF=2，求DE的值； (2) 求证：∠BED=∠DEF.3.在边长为4的等边ABC ∆中，若BD =1时，当△DEF 与△AEF 相似，求BE 的值.4.如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，CF =1，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线EG ，FG 交直线AC 于点M ，N ，（1）写出图中与BEF ∆相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE =x ，MN =y ，，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.5.在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q （不与点B ,C 重合），已知AP =2，求CQ .QC A P三、例题分析例。

一线三等角互动精讲【知识梳理】【例题精讲】题型一、一线三等角（直角）例1、已知如图1，△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于E，CE⊥AE于E．（1）证明：BD=DE+CE；（2）若直线AE绕点A点顺时针旋转，当点B、C在AE同侧且BD＜CE，其它条件不变，在图2上画出此时的图，并直接写出BD与DE、CE的关系，不须证明；（3）继续绕点A顺时针旋转，当B、C在AE同侧且BD＞CE其它条件不变，在图3上画出此时的图，并写出BD与DE、CE的关系，请加以证明．例2、已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A、B分别是x轴和y轴上的一动点。

(1) 如图1，若点C的横坐标为－4，求点B的坐标；(2) 如图2，BC交x轴于D，若点C的纵坐标为3，A(5，0)，求点D的坐标；(3) 如图3，分别以OB、AB为直角边在第三、四象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，EF交y轴于M，求S△BEM∶S△ABO。

5432215215221=⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+=OD OD S S S DCMDMB BCM △△△ ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,54D题型二、一线三等角（一般角）例3、如图，在△ABC中，AB=AC，P、M分别在BC、AC边上，且∠APM=∠B，AP=MP，求证：△APB≌△PMC例4、已知，M是等边△ABC边BC上的点，如图，连接AM，过点M作∠AMH＝60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交于点H，过H作HD⊥BC于点D(1) 求证：MA＝MH(2) 猜想写出CB、CM、CD之间的数量关系式，并加以证明【课堂练习】1、如图，等腰Rt △ACB 中，∠ACB=90°,∠CAB=∠CBA=45°，AC=BC ，E 点为射线CB 上一动点，连接AE ，作AF ⊥AE 且AF=AE ．（1）如图1，过F 点作FG ⊥AC 交AC 于G 点，求证：△AGF ≌△ECA, AG=EC ； （2）如图2，在（1）的条件下，连接BF 交AC 于D 点，若AD=3CD ，求证：E 点为BC 中点；（3）如图3，当E 点在CB 的延长线上时，连接BF 与AC 的延长线交于D 点，若34=BE BC ，则________=CDAD2、等腰Rt△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝90°，点A、点B分别是y轴、x轴上的两个动点。

相似三角形的判定---“一线三等角”
一、教学目标
1.学生会运用两组对应角分别相等的两个三角形为相似三角形的判定方法证明两个三角形相似。

2.学生经历观察、比较、归纳的学习过程，归纳出“一线三等角”图形的基本特征，并且能够在不同的背景中认识和把握基本图形。

3.学生在学习过程中感受几何直观图形对几何学习的重要性。

二、教学重点、难点
1、重点：运用判定方法解决“一线三等角”的相关计算与证明
2、难点：在不同背景中识别基本图形
三、教学方法：教师主导与学生合作探究相结合。

四、教学过程
四知识巩固：
1已知，如图，在矩形ABCE 中，
D 为EC 上一点，沿线段AD 翻折，使得点
E 落在BC 上，若BC=12,BE ∶EC=2∶1.求AB 的长
A
B
C
D
E
借助此题，让学生感到在矩形中因为矩形四个角为直角
的特点，容易和“一线三直
角”基本图形建立联系。

本题融入了轴对称的变换，
让题目更鲜活
教师引导学生观察图形，找基本图
形。

师生共同完成
2. 在平面直角坐标系中，A(0,1),B （2,0），AC ⊥AB,AC=
3.
求点C 的坐标。

B
A
C
在坐标系中感受基本图形的作用。

引导学生分析如果要求出点c 的坐标应求那条线段的长？鼓励学生添加辅助线，构造
基本图形。

学生到黑板
上完成。

《相似专题——“一线三等角"模型》教学设计一、【教材分析】教学目标知识 技能 经历观察、比较、归纳的学习过程，归纳出“一线三等角”模型的基本特征，并且能够在不同的背景中认识和把握基本模 型。

程法 过小1、培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；2、体会由特殊到一般思想、分类讨论思想和化归思想方法。

情感 态度 敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决 新问题.教学 重点归纳“一线三等角”模型的基本特征。

教学 难点在不同的背景中识别“一线三等角”模型，以及灵活解决该模 型的相关问题。

学情分析该班级学生已完成了中考第一轮基本知识点的复习，对相似的 判定以及相似性质的运用较熟练。

为提升综合解决问题的能 力，设计了 “一线三等角”模型的专题训练。

教学内容分析《相似》一章的教学内容位于人教版九年级下册第二十七章， 是中考的重要考点之一，而“一线三等角”模型也曾多次出现在中考的压轴题里面，因此有必要对“一线三等角”模型进行 专题训练。

二、【教学过程】【归纳1】“K 字型”条件：三个直角结论： △CBE s^EAD问题设计环节一•从特殊到一般师生活动学生回忆曾接触 过的K 字型，教师 引导学生回答：K 字型题目一般给 出什么条件，能得 到什么结论。

设计 意图通过回忆K 字型的 条件与结论，为归纳 “一线三等角”模型 的基本特征作铺垫。

几何画板展示三个直角变为三个相等的锐角或钝角。

【归纳2】“一线三等角”条件:①有三个相等的角；②三等角顶点在同一直线上。

结论：△CBE s^EAD 学生思考：当三个直角变为三个相等的锐角或钝角的时候，两三角形相似的结论是否还成立？教师引导学生得出证明两三角形相似的过程，并归纳出“一线三等角”模型的基本特征。

NB的对应角为NC的对应角为NBEC的对应角为BC的对应边为BE的对应边为CE的对应边为则, ________ 学生找准相似三角形的三对对应角，三对对应边，从而得出进一步推论：对应边的比相等。