小学五年级逻辑思维学习—余数问题

【五年级数学思维拓展】趣味入门—勇闯智慧岛（二）——余数定理(3)了解余数定理，会用余数定理解题1.掌握余数定理2.掌握同余定理1. 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除。

2. 有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数。

3. 有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数。

4.有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33。

求这个数是多少？（即是该课程的课后测试）1. 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数2. 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数3. 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？4. 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)5. 一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？1. 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556-=，594514-=，(56,14)14=，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14。

2. 答案：39336-=，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；3. 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目。

由题意所求的自然数一定是2008-10即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件。

这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，319982337=⨯⨯，共有（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个。

第19讲余数问题知识梳理一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b；当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数相同，则称a，b对于模m同余。

记作：a≡b（mod ｍ）。

读做：ａ同余于ｂ模ｍ。

同余的性质比较多，主要有以下一些：性质（1）：对于同一个出书，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。

比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。

“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。

性质（2）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

性质（3）：对于同意个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。

性质（4）：对于同意个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。

应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。

把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。

典型例题【例1】★求1992×59除以7的余数。

【解析】可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。

1992除以7余4，59除以7余3。

根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。

因为1992×59≡4×3≡5（mod 7），以1992×59除以7的余数是5。

【小试牛刀】求4217×364除以6的余数。

【解析】2【例2】★（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

2014年五年级数学思维训练：余数一、兴趣篇1．（4分）72除以一个数，余数是7．商可能是多少？2．（4分）100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？3．（4分）20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？4．（4分）4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193．规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？5．（4分）某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？20 7的余数是多少？1）2除以6．（4分）（14 11的余数是多少？2）14除以（121 13的余数是多少？）28除以（35的余数是多少？+除以4分）8+8×8+ (7)8．（4分）一个三位数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？9．（4分）有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1．问这个数除以12余数是几？10．（4分）100多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11．请问：一共有多少名小朋友？二．拓展篇11．（4分）1111除以一个两位数，余数是66．求这个两位数．）除以4和125的余数分别是多少？．（4分）（1 12）除以9和11（2的余数分别是多少？13．（4分）一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个．请问：最后一包有多少个零件？分）自然数的个位数字是_________ ．．14（42007200720072007…1．15（4分）算式+2+3++2006计算结果的个位数是多少？23除的余数是多少？．这个自然数被14也余，除以余分）一个自然数除以（16．4492348 ．这个自然数最小是多少？7余23，除以9余19分）一个自然数除以4（．17．18．（4分）刘叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有6只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？分）除以994的余数是多少？19．（20．（4分）把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？21．（4分）有一个大于l的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，求这个数．22．（4分）用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的2倍，如果这个数大于1，那么这个数是多少？三．超越篇23．（4分）从l依次写到99，可以组成一个多位数12345…979899．这个多位数除以11的余数是多少？分）算式计算结果的末两位数字是多少？4 24．（25．（4分）算式1×3×5×7×…×2007计算结果的末两位数字是多少？26．（4分）有5000多根牙签，按以下6种规格分成小包：如果10根一包，最后还剩9根；如果9根一包，最后还剩8根；如果依次以8、7、6、5根为一包，最后分别剩7、6、5、4根．原来一共有牙签多少根？27．（4分）有三个连续自然数，它们小道大依次是5、7、9的倍数，这三个连续自然数最小是多少？28．（4分）请找出所有的三位数，使它除以7、11、13的余数之和尽可能大．．那么四位数是多少？21!= 29．（4分）已知30．（4分）有一些自然数n，满足：2n﹣n是3的倍数，3n﹣n是5的倍数，5n﹣n是2的倍数，请问：这样的，n中最小的是多少？2014年五年级数学思维训练：余数参考答案与试题解析一、兴趣篇1．（4分）72除以一个数，余数是7．商可能是多少？考点：有余数的除法．专题：运算顺序及法则．分析：根据在有余数的除法中，余数总比除数小，即除数最小为：余数+1，进而根据“被除数﹣余数=商×除数”解答即可．解答：解：72﹣7=6565=13×5，所以，72除以一个数，余数是7．商可能是5．点评解答此题的关键：根据在有余数的除法中，余数总比除数小，得出余数最大为：除数，然后被除数、数、商和余数四个量之间的关系进行解答即可2．（4分）100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？考同余定理专数的整除分析要求这个除数可能是多少，根据同余定理，先求108这两个数的差，再求出这三差的公约数，然找出不能整108的数，即为这个除数解答解：余数相同，那么除数1084=1的约数除数可能是1，2，4，8，16其中不能整除100和84的有8和16所以除数是8或者16．答：这个除数可能是8或16．点评：解答此题的关键是理解同余定理，求出两个数之差的公因数，进而解决问题．3．（4分）20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？考点：有余数的除法．专题：运算顺序及法则．分析：根据在有余数的除法中，“被除数=商×除数+余数”解答即可．解答：解：20080808÷9=2231200 (1807280)20080808÷8=251010120080808÷25=803232 (8)20080808÷11=1825528答：20080808除以9的余数是1807280；除以25的余数是8；除以8和11没有余数．点评：解答此题根据被除数、除数、商和余数四个量之间的关系进行解答即可．4．（4分）4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193．规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？考点：数字问题．专题：传统应用题专题．分析：能被3整除的条件是：这个整数的各位数字和是3的整数倍；如15，1+6=6，6=3×2，所以15能被3整除；3，通过此题说明了一个问题：数字和除以…1整除，19÷3=6÷3=3…1，则19不能被3再如19，1+9=10，10种，求和，个数有6、193中任意选出2就余数是几；此题从余数是几，则这个数字除以3101、126、173 3余数是几，再分别求出每个运动员打球的盘数，即可得解．除以3，再看和的数字除以2；11÷3=3…解答：解：101+126=227，2+2+7=11，1；13÷3=4…101+173=274，2+7+4=13，3=5；2+9+4=15，15÷101+193=294，2；20÷3=6…126+173=299，2+9+9=20，1；÷3=4…126+193=319，3+1+9=13，13 3=5；，15÷173+193=366，3+6+6=15 （盘），101号运动员打球的盘数为：2+1+0=3 2+2+1=5，126好运动员打球的盘数为：（盘），173号运动员打球的盘数为：1+2+0=3 （盘），193号运动员打球的盘数为：0+1+0=1 5盘．答：打球盘数最多的运动员是126号，打了完成本题关键是根据题意，得出每个运动员打球的盘数，然后得出答案．点评（4个零件．月底300天，在工作期间每人每天可以生产128名工人生产零件，他们每个月工作235．分）某工厂有个．请问：最后一包有多少个零件？17个一包的规格打包，发现最后一包不够17将这些零件有余数的除法应用题考简单应用题和一般复合应用题专用每人每天可以生产的零件个数乘以人数，乘以天数得到零件的总个数，用零件的总个数除以每包的个数分析得到的商是包数，余数是剩下的零件个数，最后一包有的零件个数17122解答解3017=38402317÷=883200 （个）（包）…16=51952 个零件．答：最后一包有16 本题关键弄清得到商表示量是什么，得到的余数表示什么量．点评：20 7的余数是多少？（分）1）2除以6．（414 11的余数是多少？（2）14除以121 13的余数是多少？（3）28除以带余除法．考点：余数问题．专题：6453分析：7的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可；、2…除以（1）分别求出2、2、2645141431414除以…、33、3=）首先根据14（11+3），可得14除以11同余3除以11；然后分别求出3、（2 的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可；11712164512112112113除以2、2、2…，然后分别求出22×（3）首先根据28=（132+2），所以28除以13同余、的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可．6534解答：…1，，2÷7=9…4，2÷7=2…2，2÷7=4…2解：（1）因为÷7=1…13 4，、个一循环，分别是12、、1、2、4…，每31所以从2开始，除以7的余数分别是、2、4 3=6，﹣2）÷因为（2020；7的余数是42所以除以14141414 11，同余3除以，可得（2）根据14=（11+3）14除以11874563…，11=596…5÷…，÷…，11=7…43÷11=221，311=66…33÷11=1989，3÷，…÷因为311=2533 31455…、、、、、的余数分别是开始，除以所以从311541395，每个一循环，分别是、、、、9，，…22）÷5=2因为（14﹣14；的余数是4所以14除以11121121121121 2，×2+2），所以28除以13同余（（3）根据28=1386745 9，…11，2÷13=19…÷，2÷13=2…6，213=4…12，2÷13=9因为2÷13=1…3131112910，1，2÷13=630…2…÷13=7810，2÷13=157…7，2÷13=315…2÷13=39…5，2161514，，2÷13=5041…3÷2÷13=1260…4，213=2520…84、8、3…，79、5、10、、1、2、413所以从2开始，除以的余数分别是3、6、12、11、、4、8，、、9、5、10、71、2个一循环，分别是每123、6、12、11 ÷12=9…10，因为（121﹣3）121．13的余数是2所以28除以此题主要考查了带余除法的性质的应用，以及同余定理的应用．点评：除以5的余数是多少？7．（4分）8+8×8+…带余除法考余数问题专中的整除的数的特点是个位数字，所以只要看个位数字，即可，余数只能分析个解答解：乘积的个位数字分别）的个位数字和是1…所8+8+8+8+4+2+6+8+4+2+6+8+4=5）的个位数字…1所8+8+8+即为余数的余数答：除以整除的特征．解决此题的关键是理解被5点评：．这个数最小是多少？也余1720分）一个三位数除以21余17，除以8．（4求几个数的最小公倍数的方法．：考点数的整除．：专题即可．的最小公倍数加上17，要求这个数最小是多少，就是用20、21分析：因为这个数除以21，除以20都余1720=42021×21和20的最小公倍数是解答：解：420+17=437437．所以这个数最小是437．答：这个数最小是2个数的最小公倍数，然后加上余数，解决问题．点评：此题考查了带余除法，根据题目特点，先求余数是几？1．问这个数除以123分）有一个数，除以余数是2，除以4余数是9．（4带余除法．考点：余数问题．：专题的余数，得则为除以B12A为可以被12整除的部分，利用带余数的除法运算性质，将这个数看成分析：A+B，也相同，归纳出符合要求的B14余，得出43或整除，再结合已知这个数除以3余2，除以A出可以被．只有5 12的余数．整除的部分，为可以被12B则为除以，解答：解：将这个数看成A+BA 整除．3或412A可以被整除，则也可以被”，1423“因为这个数除以余，除以余”，4余1也是“除以3余2，除以所以B 5是符合的．而小于等于11，在这个区间内，只有又因为B是大于等于1 5．答：这个数除以12余数是此题主要考查了带余数的除法运算，假设出这个数，分析得出符合要求的数据．点评：的顺序循环报数，最后一名同学报的11，…，多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按1001，2，310．（4分）．请问：一共有多少名小朋友？13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是112，3，…，数是9；如果按1，找一个数的倍数的方法．考点：数的整除．专题：的最小倍数，由此解答问题．11和13分析：由题意知，一共有多少名小朋友，也就是求，11=13﹣2解：因为9=11﹣2，解答：的公倍数，11与13所以只要再多2个人，人数就是人，符合题意；﹣2=14113的公倍数为143，所以共有14311与，不符合题意．＞100而143×人答：共14此题主要把实际问题转化为求最小倍数的数学问题，解决数学问题，回到实际问题，这是数学中常用的点评种方法二．拓展篇．求这个两位数．除以一个两位数，余数是66（4分）111111带余除法考余数问题专；又因为余数小于除数，但15911，所以两位因数有11分析因11166=1041045=611195=16，所以只9符合题意，即这个两位数9，此155 19，×11×解：因为1111﹣66=1045，1045=5解答：95；，55，所以两位因数有：11，19 ，＜，5566∵余数小于除数，但是11，19 符合题意，∴只有95 ．95=11…66即这个两位数是95，此时1111÷．答：这个两位数是95 的差，进而将其分解质因数．1111与66点评：此题主要考查了带余除法的性质的应用，解答此题的关键是求出125的余数分别是多少？1）除以4和12．（4分）（的余数分别是多少？和11（2）除以9带余除法．：考点余数问题．：专题里，，再放到下一个4214，余数仍然是1，得到4除后余数是1，放到下一个4211421，除以）分析：（1421被．1，依此类推，无论多少个421，余数都是又得到1421，余数还是1，以此类推，无46，除以125，余数仍然是余数是46，放到下一个421中，得到46421同理421除以125 ．，余数都是46论多少个421整除，还同样被9整除，18个808个）被9整除的数的特点是数字和是9的倍数，所以9808一定被9（2 ；，所以余数是3…3=48，48÷9=538+83有个808，数字和是（）×可以被整除808，结果余数是0，所以每两个，除以，与下一个除以80811余数是5808得到580811一个11余数为几，即可得解．除以整除，只要看最后一个被个，则1120808118081…421÷4=105解答：解：（1）1…1421÷4=355 ．421，余数都是1里，又得到1421，余数还是1，依此类推，无论多少个再放到下一个42146 …421÷125=346...46421÷125=371 ．，余数都是46125，余数仍然是46，以此类推，无论多少个421放到下一个421中，得到46421，除以．和464和125的余数分别是1答：除以整除，还9808同样被9整除，18个整除的数的特点是数字和是2）被99的倍数，所以9个808一定被（，×3=48808，数字和是（8+8）有3个3，所以余数是；÷9=5 (348)5 11=73…808÷11=528 5808÷可以被整除，所以每两个808，除以11，结果余数是0除以11余数是5，与下一个808得到5808一个80除1余数2801整除，只要看最后一801，的余数分别答：除1完成本题要根据余数的不同分别讨论解决点评个一包的规格打包，最19天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按13．（4分）一年有365 个．请问：最后一包有多少个零件？后一包不够1有余数的除法应用题考简单应用题和一般复合应用题专用每天生产的零件个数乘以天数得到零件的总个数，用零件的总个数除以每包的个数，得到的商是包数，分析：余数是剩下的零件个数就是最后一包有的零件个数．19÷×365解答：解：123419÷=450410 （个）…15=23705（包）个零件．答：最后一包有15 本题关键弄清得到商表示量是什么，得到的余数表示什么量．点评：．分）自然数4的个位数字是714．（乘除法中的巧算．考点：，得4167﹣）除以、8、6、2的循环出现，故用（2分析：除去第一个外，其余的每4个2相乘都有个位数字是4．，最终确定自然数的个位数字是7出是16组余2，所以个位数字是8 的循环出现，为一组；、2、8、64 解答：解：除去第一个2外，其余的每4个2相乘都有个位数字是（个）；4=16（组）…2（67﹣1）÷，2相乘的个位数字是8个所以67．﹣1=7 则自然数的个位数字是8 ．故答案为：7 2连乘时积的变化规律，再进一步求得解．点评：此题考查乘法中的巧算，关键是找出2007200720072007计算结果的个位数是多少？…+2分）算式（15．41+3++2006：乘积的个位数．考点计算问题（巧算速算）．专题：200720072007200720072007分析：65，4，5的个位数是8，3的个位数是7，4的个位数是1的个位数是1，2的个位数是2007200720072007200711，9的个位数是9，10的个位数是0的个位数是6，7的个位数是3，8的个位数是2，，2，9，0；1+8+7+4+5+6+3+2+9+0=451个数一循环，依次为，8，7，4，5，6，3，的个位数是1…，每102007200720072007计算结果的个位数同算式，所以算式1+2+3+…+20062006÷10=200…6 200×45+1+8+7+4+5+6=931的个位数相同，即它的个位数是1，据此解答即可．2007200720072007解答：44，的个位数是1，2的个位数是的个位数是8，3，的个位数是解：172007200720072007，，6的个位数是6，7的个位数是3，8的个位数是25的个位数是5200720072007的个位数是的个位数是9，100，11的个位数是1…，9 6，3，2，9，0；7每10个数一循环，依次为1，8，，4，5，，10=200…6因为1+8+7+4+5+6+3+2+9+0=45，2006÷2007200720072007的个位数相同，×+200645+1+8+7+4+5+6=931计算结果的个位数同算式所以算式1+2+3200…+ 即它的个位数是．1200720072007点评：的个位数依次…3、1、2、此题主要考查了乘积的个位数问题的应用，解答此题的关键是判断出1个数一循环，14除的余数是多少？48也余23．这个自然数被（4分）一个自然数除以49余23，除以16带余除法考余数问题专44的最小公倍数2，因也2，则这个自然数44一个自然数除分析42，除48 的余数，即可得解．23除以1448÷14=7×24整除，只要看互质，所以这个数是49×48+23，然后除以14，49×9…23÷14=1解答：解：．14除的余数是9答：这个自然数被整除．能被1448+23，49×48点评：关键是明白这个自然数是49×．这个自然数最小是多少？余7余9，除以2317．（4分）一个自然数除以19公倍数和最小公倍数．考点：数的整除．专题：7，列出方程，求解即可．，除以23余x 分析：设这个自然数为，根据这个自然数除以19余9 x，根据题意，可得解答：解：设这个自然数为，、n都是自然数）x=19m+9=23n+7（m ，x﹣7=19m+2=23n整理得：，×12+223因为×10=19 ，﹣7=230所以x ，解得x=237 237．即这个自然数最小是237．答：这个自然数最小是此题主要考查了有余数的除法各部分之间的关系的应用．点评：5只；如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2．18（4分）刘叔叔养了400多只兔子，如果每6只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4 只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？公因数和公倍数应用题．考点：约数倍数应用题．专题：1即可得到答案．多一些的公倍数，用这个公倍数减去的最小公倍数，进一步找出比、、求分析：357400这三个数两两互质，、7解：3、5解答：所以它们的最小公倍数是这三个数的乘积，7=105 ××532=210 ×1053=315 105×4=420 105×1=419420﹣419只兔子．答：刘叔叔一共养了只兔子关在一每3只”可以理解为“点评：本题关键理解好“每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2即可得到答的公倍数减去15，7由此理解后面的内容，即求出个笼子里，那么最后一个笼子里少1只”3，案．99的余数是多少？4分）除以19．（带余除法考余数问题专的余数，9，余数是几，就看几12并列除除9刚好整除，这样求12里有多少分析12可得解99=1243667910334577解12312312312312312解答次个整36=212并列能整912129099=12436612312312的余数912并列除9答129整除，是解决此题的关键并列可以点评找到几123个水果没有分出去．请问：剩个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个苹果，90个橘子，13020．（4分）把63 下个数最多的水果剩下多少个？公因数和公倍数应用题．考点：约数倍数应用题．专题：即可得到剩下的水果的总数，然后把水果的总25分析：求出苹果、梨、橘子的总个数，然后用水果的总个数减去个数分解质因式，确定出学生的人数，然后进一步求出剩下水果的个数，进一步确定剩下个数最多的水果．25=258﹣解：63+90+130解答：43×258=2×3 人，由此可知学生的人数是43 （个）×43=20余下的苹果的个数：63﹣1 43=4（个）90﹣2×余下橘子的个数：43=1（个）﹣3×余下梨的个数：1301＞20＞4 个．所以余下的苹果最多，剩下20 个．答：剩下个数最多的水果剩下20 本题关键求出发给的学生的人数，然后确定出余下水果最多的是那种水果．点评：得到相同的余数，求这个数．、205262l．21（4分）有一个大于的整数，用它除300、同余定理．考点：余数问题．：专题与262与262的差，以及a﹣b），由此找出300分析：a，b数被一个数d去除，有相同的余数，那么d可以整除（的公约数就是要求的数．205的差，它们的非1 ，300﹣262=38解：这个数除300、262，得到相同的余数，所以这个数整除解答：，262﹣205=57同理，这个数整除．57的公约数19因此，它是38、本题利用同余定理的性质，得出要求的数是被除数两两之间差的公约数，从而得解．点评：2分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的和90．（4分）用6122 ，那么这个数是多少？倍，如果这个数大于1带余除法．：考点余数问题．：专题；那么两个等式左2ca的余数就是c，则180除以除以a 余数是2c；90除以a余数是假设这个数是分析：a，61 ，分解质因数，即可得解．减去61右相减，余数被减去了，即得到的被除数能被a整除，所以只要把180 c，则：90除以a余数是a 解：假设这个数是，61除以a余数是2c；解答：2ca=62ca=9761=119=191017=因6517=9符合题意10=1答：这个数的因数69倍减6就是所求的数的整数倍，从而转化为点评解决此题的关键是理9三．超越篇的余数是多少？979899．这个多位数除以11依次写到99，可以组成一个多位数12345…l23．（4分）带余除法考余数问题专整除，因此可以先求出此数奇数位上的和以及偶数位11整除的数，奇数位和与偶数位和的差能分析的和．99……67 89 10 11 解：在此数前补一位0不影响．即01 23 45 解答：往后，1011整除．则上数，从如上每两位一段．易知，被11整除的数，奇数位和，与偶数位和的差，能被9次．0到9出现偶数位上，数字1到9均出现10次．奇数位上，9+25=45×（1+3+5+7+9）（0+1+2+3…+9）×9+因此奇数位和= 则他们的差，=45×10+20）×10+（0+2+4+6+8）=偶数位和（1+2+3…+9 偶﹣奇25﹣×9=45×10+20﹣45整的话．这个差将被119），减少4整除，而要是调整奇数位的最后一位（=45﹣5=40 不能被1199的个位除．．11除余4能被意味着01 23 45 …95 11整除，则原数被．的余数是4答：这个多位数除以11 11整除．解决此题的关键是理解被点评：11整除的数，奇数位和与偶数位和的差能被4分）算式计算结果的末两位数字是多少？24．（乘积的个位数．考点：计算问题（巧算速算）．专题：只要求出计算结果的末两位数字是多少，分析：要求算式的余数，即为其末两位数字，据此解答即可．的和除以100 ，除以100的余数为49除以100的余数为7，7×7解答：解：7 100的余数为1；7除以100的余数等于43×7除以，7×7×7除以100的余数为437×7×7×的余数等于7，…×7×7×7除以100而7×7 43，1，所得的余数，4个数一循环，依次为7，49，则7+7×7+…+7×7×…除以100 2008÷4=502，因为=50200，100的余数同余502×（7+49+43+1）所以算式计算结果除以0，又因为50200除以100余数为．所以算式计计算结果的末两位数字是00所得的余100…+7×7×…除以7+点评：此题主要考查了乘积的个位数问题的应用，解答此题的关键是分析出：7+7×．，49，43，1数，4个数一循环，依次为5××7×…×2007计算结果的末两位数字是多少？25．（4分）算式1×3考乘积的个位数专计算问题（巧算速算分析经过相邻的两个奇数相乘2n+=100+200n+72因为是奇数相乘，有下面这个规律22n+，这个规律是7经过相邻的两个奇数相乘后变272n+2n+=300+600n+22变77最后两位！最后两位28n+和8n+1开始的，也就是时8n+！和88+，所以计算结果的末两位数字7又因2013=25解：因为是奇数相乘，有下面这个规律解答72n+=100+200n+72经过相邻的两个奇数相乘后变22n+22n+=300+600n+227经过相邻的两个奇数相乘后变72n+时这个规律是1开始的，也就是28n+！和8！最后两位7和8n+最后两位8n+又因2013=258+所以计算结果的末两位数字75 ．×7×…×2007计算结果的末两位数字是75×答：算式1×35！）！和（8n﹣1）2点评：此题主要考查了乘积的个位数问题的应用，解答此题的关键是分析出：当n＞时，（8n+1 ）!最后两位是75．）最后两位是25，（8n+3!和（8n+5根一包，最后还9根一包，最后还剩9根；如果分）有26．（45000多根牙签，按以下6种规格分成小包：如果10 根．原来一共有牙签多少根？、46、5根为一包，最后分别剩7、6、57剩8根；如果依次以8、、公因数和公倍数应用题．考点：约数倍数应用题．专题：、7、7、6、5根为一包，最后也分别剩根，分析：根据10根一包，最后还剩99根一包，最后还剩8根，分别以8 得解．5的公倍数减去1、7、6、5的公倍数，再求出87、6、、根，可以推知此数加上、65、41就是8 5的公倍数、解答：解：这个数+1=8、76、5=840 4××7×3×578、、6、的最小公倍数为：26=5040 满足×5000多这个条件的公倍数是840 1=5039﹣（根）牙签的数量就是5040 根．答：原来一共有牙签5039 的公倍数，再用它减去、、、多）的解决此题关键在于求出符合条件（点评：500087651即可．27．（4分）有三个连续自然数，它们小道大依次是5、7、9的倍数，这三个连续自然数最小是多少？考点：最大与最小．专题：传统应用题专题．分析：17，19和21这三个数都是奇数，且相邻的两个数都相差2，所以它们的最小公倍数仍然是一个奇数，这个最小公倍数分别加上5、7、9所得到的和都是偶数，且相邻的两个数仍然相差2，我们把这三个和分别除以2，就可以得到一组符合题目要求的连续自然数．5、7、9最小公倍数是5×7×9=315，315+5=320能被5整除，315+7=322能被7整除，315+9=24能被9整除，所以320，322，324分别能被5、7、9整除，这三个数都是偶数，且都相差2，把这三个数分别除以2，得到160，161，162，它们也一定能分别被5、7、9整除，又因为160小于最小公倍数315，所以160，161，162是符合题目要求的最小的一组，因此这三个连续自然数中最小的那个数最小是160．解答：解：5、7、9最小公倍数是5×7×9=315，315+5=320能被5整除，315+7=322能被7整除，315+9=2能整除所323232分别能整除这三个数都是偶数，且都相，把这三个数分别除得161616，它们也一定能分别整除又因16小于最小公倍31所161616是符合题目要求的最小的一组因此这三个连续自然数中最小的那个数最小16点评完成此题是在了这一组数的基础上求出最小公倍数，然后用最小公倍数分别加所到的和都是偶数，且相邻的两个数仍然相，我们把这三个和分别除，就可以得到一组符合题目要的连续自然数，从而求出三个连续自然数中最小的那个数28．（4分）请找出所有的三位数，使它除以7、11、13的余数之和尽可能大．考最大与最小专传统应用题专题分析根据题意要使余数之和最大三个余数只能分别11那么这个三位数加就能同时11整除，所以所求的三位数11的公倍数减，则它最小是111=100，它是一个四数，不符合题意，因此，余数之和最大时，三个余数分别112111；然后类讨论，求出满足题意的三位数即可解答解：根据题意，要使余数之和最大，三个余数只能分别11那么这个三位数加就能同时11整除所以所求的三位数为7、11、13的公倍数减去1，则它最小是：7×11×13﹣1=1000，它是一个四位数，不符合题意，因此，余数之和最大时，三个余数分别为5、10、12 或6、9、12或6、10、11；（1）当三个余数分别为5、10、12时，则这个数加1后能被11、13整除，且它被7除后余5，所以所求的三位数为：11×13k﹣1，它被7除的余数为：3k﹣1=5，解得k=2，所以这个三位数是：11×13×2﹣1=285；（2）当三个余数分别为6、9、12时，则这个数加1后能被7、13 整除，且它被11除后余9，所以所求的三位数为：7×13k﹣1，它被11除的余数为3k﹣1=9+11，解得k=7，所以这个三位数是：7×13×7﹣1=636；（3）当三个余数分别为6、10、11，则这个数加1后能被7、11整除，且它被13除后余11，所以所求的三位数为：7×11k﹣1，它被13除的余数为：12k﹣1=11，解得k=1，所以这个数是：7×11﹣1=76，它是一个两位数，不符合题意；综上，三位数285、636除以7、11、13的余数之和最大．此题主要考查了最大与最小问题的应用，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是判断出余数和最点评：大的情况．是多少？分）已知21!=．那么四位数29．（4定义新运算．考点：。

余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。

当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。

余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。

（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。

（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。

例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。

例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。

注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。

例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。

例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。

注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。

例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。

5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。

将5056分解质因数，得到5056=26×79。

由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。

例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。

余数基本关系式：被除数÷除数＝商……余数（0≤余数＜除数）余数基本恒等式：被除数＝除数×商＋余数知识梳理1. 一般地，如果是整数，是整数（不为0），若有，也就是，，我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

2.与的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和，当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

3. a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数的积，当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例1一串数1、2、4、7、11、16、22、29、……这串数的组成规律为第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推，那么这串数左起第1992个数除以5的余数是_____。

分析与解：设这串数为a1、a2、a3、…、a1992、…，依题意知a＝11a＝1＋12a＝1＋1＋23a＝1＋1＋2＋34a＝1＋1＋2＋3＋45……a＝1＋1＋2＋3＋…＋1991＝1＋996×19911992因为996÷5＝199……1，1991÷5＝398……1，所以996×1991的积除以5余数为1，1＋996×1991除以5的余数是2。

因此，这串数左起第1992个数除以5的余数是2。

例2除以13所得的余数是_____。

分析与解：因为222222＝2×111111＝2×111×1001＝2×111×7×11×13 所以222222能被13整除。

又因为2000＝6×333＋2，＝，22÷13＝1……9，所以要求的余数是9。

例3有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，三个余数的和是25。

五年级数奥－－余数问题(详细分析讲解）各种与余数有关的整数问题,其中包括求方幂的末位数字,计算具有规律的多位数除以小整数的余数，以及用逐步试算法找出满足多个余数条件的最小数等．1.分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【分析与解】因为两个数和的余数同余与余数的和．有101,126,173,193除以3的余数依次为2,0,2,1．则101号运动员与126,173,193号运动员依次进行了2,1,0盘比赛,共3盘比赛；126号运动员与101,173,193号运动员依次进行了2,2,l盘比赛,共5盘比赛；173号运动员与101,126,193号运动员依次进行了1,2,0盘比赛,共3盘比赛；193号运动员与101,126,173号运动员依次进行了0,1,0盘比赛,共1盘比赛．所以,打球盘数最多的运动是126号,打了5盘．评注:两个数和的余数,同余与余数的和；两个数差的余数,同余与余数的差；两个数积的余数,同余与余数的积.2.自然数的个位数字是多少?【分析与解】我们先计算的个数数字,再减去1即为所求.(特别的如果是O,那么减去1后的个位数字因为借位为9)将一个数除以10,所得的余数即是这个数的个位数字.而积的余数,同余余数的积．有2除以10的余数为2,2×2除以10的余数为4,2×2×2除以10的余数为8,2×2×2×2除以i0的余数为6；2×2×2×2×2除以i0的余数为除以10的余数为4, 除以10的余数为8, 除以10的余数为6；…………也就是说,n个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环．因为67÷4=16……3，所以除以10的余数同余与2×2×2,即余数为8,所以除以10的余数为7．即的个位数字为7．评注：n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环．3.算式7+7×7+…+ 计算结果的末两位数字是多少?【分析与解】我们只用算出7+7×7+…+7 的和除以100的余数,即为其末两位数字．7除以100的余数为7,7×7除以100的余数为49,7×7×7除以100的余数为43,7 ×7 ×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；而除以100的余数等于的余数,即为7,……这样我们就得到一个规律除以100所得的余数,4个数一循环,依次为7,49,43,1．1990÷4=497……2,所以7+7×7+…+7×7×…的和除以100的余数同余．497×(7+49+43+1)+7+49=49756,除以100余56．所以算式7+7×7+…+ 计算结果的末两位数字是56．4.1990…1990除以9的余数是多少?【分析与解】能被9整除的数的特征是其数字和能被9整除,如果这个数的数字和除以9余a,那么再减去a而得到的新数一定能被9整除,因而这个新数加上a后再除以9,所得的余数一定为a,即一个数除以9的余数等于其数字和除以9的余数．的数字和为20×(1+9+9+0)＝380，380的数字和又是3+8=11,11除以9的余数为2,所以除以9的余数是2．5.将1,2,3，…,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少?【分析与解】1,2,3,...,30这30个数从左往右依次排列成一个51位数为：123456...910 (15)...19202l...25 (2930)记个位为第l位,十位为第2位,那么：它的奇数位数字和为:0+9+8+7+6+…+l+9+8+7+6+…+1+9+7+5+3+l=115：它的偶数位数字和为:3+ + +8+6+4+2=53；它的奇数位数字和与偶数位数字和的差为115—53：62．而62除以1l的余数为7．所以将原来的那个51位数增大4所得到的数123456…910…15…192021…25…2934就是1l倍数,则将123456…910…15…192021…25…2934减去4所得到数除以11的余数为7．即这个51位数除以11的余数是7．评注:如果记个位为第1位,十位为第2位,那么一个数除以11的余数为其奇数位数字和A减去偶数位数字和B的差A-B=C,再用C除以1l所得的余数即是原来那个数的余数.(如果减不开可将偶数位数字和B减去奇数位数字和A,求得B-A=C,再求出C除以1l的余数D,然后将11-D即为原来那个数除以11的余数)．如:123456的奇数位数字和为6+4+2=12,偶数位数字和为5+3+1=9,奇数位数字和与偶数位数字和的差为12-9=3,所以123456除以11的余数为3．又如:654321的奇数位数字和为1+3+5=9,偶数位数字和为2+4+6=12,奇数位数字和减不开偶数位数字和,那么先将12-9=3,显然3除以11的余数为3,然后再用11-3=8,这个8即为654321除以11的余数．6.一个1994位的整数,各个数位上的数字都是3.它除以13,商的第200位（从左往右数)数字是多少?商的个位数字是多少?余数是多少?【分析与解】这个数即为，而整除13的数的特征是将其后三位与前面的数隔开而得到两个新数，将这两个新数做差，这个差为13的倍数．显然有能够被13整除,而1994÷6=332……2，即而是13的倍数，所以除以13的余数即为33除以13的余数为7．有,而,所以除以13所得的商每6个数一循环,从左往右依次为2、5、6、4、1、0．200÷6=33……2,所以除以所得商的第200位为5．除以13的个位即为33除以13的个位，为2．即商的第200位(从左往右数)数字是5,商的个位数字是2,余数是7．7.己知：a= .问:a除以13的余数是几?【分析与解】因为1能被13整除,而1991÷3=663……2．有a= =1×1 +1×1 +1×+1×1 +…+1×1 +19911991所以a除以13的余数等于19911991除以13的余数8．8.有一个数,除以3余数是2,除以4余数是1.问这个数除以12余数是几?【分析与解】我们将这个数加上7,则这个数能被3整除,同时也能被4整除,显然能被12整除,所以原来这个数除以12的余数为12-7=5．9.某个自然数被247除余63,被248除也余63.那么这个自然数被26除余数是多少?【分析与解】我们将这个数减去63,则得到的新数能被247整除,也能被248整除,而相邻的两个整数互质,所以得到的新数能被247×248整除,显然能被26整除．于是将新数加上63除以26的余数等于63除以26的余数为11．所以这个自然数被26除余数是11．10.一个自然数除以19余9,除以23余7.那么这个自然数最小是多少?【分析与解】这个自然数可以表达为19m+9,也可以表达为23n+7,则有19m+9=23n+7，即23n-19m=2，将未知数系数与常数对19取模,有4n≡2(mod 19)．n最小取10时,才有4n≡2(mod 19).所以原来的那个自然数最小为23×lO+7=237．评注：有时往往需要利用不定方程来清晰的表示余数关系,反过来不定方程往往需要利用余数的性质来求解．11.如图15-l,在一个圆圈上有几十个孔(少于100个).小明像玩跳棋那样从A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔.他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步,正好回到4孔.问这个圆圈上共有多少个孔?【分析与解】设这个圆圈有n个孔,那么有n除以3余1,n除以5余1.n 能被7整除．则将n-1是3、5的倍数,即是15的倍数,所以n=15t+1,又因为凡是7的倍数,即15t+1=7A,将系数与常数对7取模,有t+1≡0(mod7),所以t取6或6与7的倍数和.对应孔数为15×6+l=91或91与105的倍数和，满足题意的孔数只有91．即这个圆圈上共有91个孔．12.某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1,2,3，…,12.他们的依次是12个连续的六位自然数,并且每家的都能被这家的门牌整除.已知这些的首位数字都小于6,并且门牌是9的这一家的也能被13整除,问这一家的是什么数?【分析与解】设这12个连续的自然数为n+1,n+2,n+3,…,n+12,那么有它们依次能被1,2,3,…,12整除,显然有凡能同时被1,2,3,…,12整除.即n为1,2,3,…,12的公倍数．[1,2,3,…,12]=23×32×5×7×11=27720,所以n是27720的倍数,设为27720k.则有第9家的门牌为27720k+9为13的倍数,即27720k+9=13A.将系数与常数对13取模有:4k+9≡0(mod 13),所以后可以取l或1与13的倍的和.有要求n+1,n+2,n+3,…,n+12,为六位数,且首位数字都小于6,所以k只能取14,有7n=27720×14=388080．那么门牌是9的这一家的是388080+9=388089．13.有5000多根牙签,可按6种规格分成小包.如果10根一包,那么最后还剩9根.如果9根一包,那么最后还剩8根.第三、四、五、六种的规格是,分别以8,7,6,5根为一包,那么最后也分别剩7,6,5,4根.原来一共有牙签多少根?【分析与解】设这包牙签有n根,那么加上1根后为n+1根此时有n+1根牙签即可以分成10根一包，又可以分成9根一包,还可以分成8、7、6、5根一包.所以,n+1是10、9、8、7、6、5的倍数,即它们的公倍数．[10,9,8,7,6,51=23×32×5×7=2520,即n+1是2520的倍数,在满足题下只能是2520×2=5040,所以n=5039．即原来一共有牙签5039根．14.有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少?【分析与解】设这个除数为M,设它除63,90,130所得的余数依次为a,b,c,商依次为A,B,C．63÷M=A……a90÷M=B……b130÷M=C……ca+b+c=25,则(63+90+130)-(a+b+c)=(A+B+C)×M,即283-25=258=(A+B+C)×M．所以M是258的约数.258=2×3×43,显然当除数M为2、3、6时,3个余数的和最大为3×(2-1)=3，3×(3-1)=6,3×(6-1)=15,所以均不满足．而当除数M为43×2,43×3,43×2×3时,它除63的余数均是63,所以也不满足．那么除数M只能是43,它除63,90,130的余数依次为20,4,1,余数的和为25,满足．显然这3个余数中最大的为20．15.一个数去除551,745,1133,1327这4个数,余数都相同.问这个数最大可能是多少?【分析与解】这个数A除55l,745,1133,1327,所得的余数相同,所以有551,745,1133,1327两两做差而得到的数一定是除数A的倍数．1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-551=77 6,1133-551=582．这些数都是A的倍数,所以A是它们的公约数,而它们的最大公约数(194，388，194，582，776，582)=194．所以,这个数最大可能为194．。

第四讲 余数问题知识点：1、在有余数的除法里，如果被除数和除数都能被同一自然数整除，那么余数也能被这个自然数整除。

例如：60÷25=2……10，255,605，，那么一定有1052、在有余数的除法里，如果除数和余数能被同一自然数整除，那么被除数也能被这个自然数整除。

例如：3、一个自然数被另一个自然数n 除时，余数只能是0，1，2，……（n-1)。

例如：4、如果两个整数被另一自然数n 除时（n 为整数），余数相同，则它们的差必定能被n 整除。

例如：5、如果整数a 和b 除以同一个自然数m ，所得的余数相同，c 和d 除以同一自然数m ，余数也相同，那么a+c ，b+d 除以m 所得的余数也相同。

例如：一、例题讲解例1、被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和余数。

例2、一个自然数除以3余1，除以5余3，加上2就能被7整除，这个自然数最小是多少？例3、自然数a 除以7余3，自然数b 除以7余4，（a+b ）除以7余几？例4、整数1111…111除以6的余数是几？2012个1例5、2012个7组成一个2012位数，被13除后余数是多少？商的各位数字之和是多少？例6、1～400的整数中，被3、5、7除都余2的数共有多少个？二、拓展训练1、有一个自然数，用它去除63、91、129得到3个余数的和是25，这个自然数是多少？2、在1～200这200个自然数中，被3或7除都余2的数有多少个？3、自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a大于b，那么a减去b的差除以7，余数是多少？4、有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。

这个数多少？5、11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是多少？三、能力检测1、71427和19的积被7除，余数是几？2、69、90、125被某个自然数除时，余数相同，试求这个自然数的最大值。

3、一个十几岁的男孩，把自己的岁数写在父亲的岁数之后，组成一个四位数，从这个四位数中减去他们父子两人岁数差的差得到4289。

五年级余数知识点总结一、余数的概念余数是指一个数除以另一个数所得到的剩下的数。

在数学中，余数通常用符号“r”表示，如果一个数a能被另一个数b整除，那么a ÷ b的商就是能整除的商，而a ÷ b的余数就是余数。

二、余数的求法1. 余数的求法有两种方法，一种是用长除法，一种是直接用模运算。

2. 用长除法求余数：将被除数除以除数，得到的商就是整数部分，余下的数是余数。

3. 用模运算求余数：a ÷ b的余数可以用a mod b或者a % b表示，其中mod是取模运算符，%是求余运算符。

三、余数的性质1. 余数的大小一定小于除数，举例来说，如果5 ÷ 2，得到的商是2，余数是1，这个余数小于2。

2. 余数的性质和奇偶性：如果一个数除以2得到的余数是0，那么这个数是偶数；如果余数是1，这个数是奇数。

3. 余数的加减乘除：如果a ÷ b得到的余数是r1，c ÷ d得到的余数是r2，那么a + c ÷ b +d得到的余数是(r1 + r2) mod b。

四、余数的应用1. 余数在计算机编程中的应用：在计算机编程中，余数常常用于对整数进行分类，判断整数的奇偶性，计算某个范围内能整除的数等。

2. 余数在数论中的应用：在数论中，余数可以用于计算最大公约数、最小公倍数，判断整数的性质，如奇偶性、能否被某个数整除等。

3. 余数在日常生活中的应用：在日常生活中，余数也有很多应用，如计算时间、计算金钱、分配物品等。

五、余数的练习方法1. 通过长除法练习求余数，例如计算98 ÷ 5的余数。

2. 通过模运算练习求余数，例如计算127 mod 8的余数。

3. 通过应用题练习余数的应用，如计算2小时30分钟后是几点，计算8个苹果分给3个人每个人能得到多少苹果等。

六、余数的注意事项1. 在计算余数时，要注意除数是不可以为0的，因为任何数除以0都是无穷大。

2. 在计算余数时，要注意不能将除数与余数直接相加，要进行模运算计算。

余数问题一、余数的性质1、关于和的余数：（A+B）÷M的余数=（A÷M的余数+B÷M的余数）÷M的余数例如：求（635+493）÷7的余数：635÷7的余数是5，493÷7的余数是3，（5+3）÷7的余数是1，所以（635+493）÷7的余数就是1。

2、关于积的余数：（A×B）÷M的余数=（A÷M的余数）×（B÷M的余数）÷M 的余数例如：求（84×907）÷9的余数：84÷9余数是3，907÷9余数是7，3×7÷9的余数是3，所以（84×907）÷9的余数就是3。

3、两个数除以一个数，如果余数相同（我们叫这两个数同余），那么这两个数的差（大减小）能被这个数整除。

例如：94÷6=15……4；64÷6=10……4，则（94-64）能被6整除（30÷6=5）二、怎样求余数当被除数较大时，可以用“弃整法”来求余数。

例如：求63037360除以7的余数。

先弃63000000得到37360，再弃35350得到2010，除以7的余数是1。

三、除数是一些特殊数的余数的规律1、一个数除以2的余数：这个数是奇数余数为1，这个数是偶数余数为0。

2、一个数除以3或9的余数，等于这个数的各位数字之和除以3或9的余数。

例如：52547896÷3的余数=（5+2+5+4+7+8+9+6）÷3的余数，就是1。

3、一个数除以4的余数等于末两位数除以4的余数。

例如：664631646÷4的余数=46÷4的余数，就是2。

4、一个数除以5的余数，等于这个数的末位数除以5的余数。

例如：127除以5的余数等于7除以5的余数，就是2。

5、一个数除以8的余数等于这个数的末三位数除以8的余数。

五年级数学余数知识点总结一、余数的概念1. 除法与余数在数学中，余数是指对一个整数进行另一个整数的除法运算所得到的未被整除的部分。

比如，当我们用12除以5时，商是2，余数是2，即12 ÷ 5 = 2 ... 2。

2. 余数的性质（1）余数永远小于除数（2）如果一个数能被另一个数整除，那么它的余数一定是03. 余数的计算方法（1）利用长除法进行计算（2）利用数学定理进行计算二、余数的求解1. 长除法求余长除法是一种求解多位数的除法运算的方法，它可以用来求解任意两个整数的商和余数。

2. 余数的计算法则余数的计算法则是指在进行长除法时，如何计算出正确的余数。

比如，我们用38除以9，首先得到商是4，然后38 - 9 × 4 = 38 - 36 = 2，所以余数是2。

3. 余数的特殊情况当被除数是10的整数倍时，余数肯定是个位数；当被除数是100的整数倍时，余数肯定是十位数；当被除数是1000的整数倍时，余数肯定是百位数；依次类推。

三、余数的应用1. 余数与整除数余数与整除数是相对的概念，一个数的余数是另一个数的整除数。

2. 余数与循环余数可能会出现循环的情况，即在进行长除法计算时，出现重复的余数。

3. 余数与问题解决在实际问题中，余数经常用来解决一些计算问题，比如分配物品、计算时间等。

四、余数的性质和规律1. 余数的性质余数的性质主要包括以下几个方面：（1）余数一定小于除数（2）如果一个数可以被另一个数整除，那么它的余数一定是0（3）两个数的余数相同，他们相除得到的商也必定相同；（4）两个数的余数不同，他们相除得到的商可能相同也可能不同。

2. 余数的规律余数有很多规律，比如：（1）如果一个数的个位数是5或0，那么它能被5整除，余数一定是0；（2）如果一个数的个位数是0或者2、4、6、8，那么它能被2整除，余数一定是0；（3）如果一个数的个位数是0、1、2、3、4，那么它能被3整除，余数一定是0；（4）…….五、余数与整除的关系1. 余数与整除是密不可分的关系，一个数的余数是另一个数的整除数。